概率习题精选精讲

概 率

（1）随机事件——概率学把“可能性”引进数学

在概率学中，我们称一定发生的事件为必然事件，不可能发生的事件是不可能事件，可能发生也可能不发生的事件是随机事件. 概率也就是事件发生的可能性.所以必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0，而随机事件的概率在区间（0，1）之中. 【例1】 同时掷两枚骰子，则以下事件各是什么事件？ （1） 点数之和是正整数； （2） 点数之和小于2； （3） 点数之和是3的倍数.

【解析】（1）是必然事件，（2）是不可能事件；（3）是随机事件.

（2）等可能事件——概率公式的起源

如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且这n 个结果出现的可能性相同，则称这类事件为等可能事件.由此导出基本概率公式是：

()m

P A n =

.（其中n 和 m 分别表示基本事件总数和事件A 发生的次数.） 【例2】将一枚骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．成等差数列的概率为 （ ） Ａ．

19

Ｂ．

112 Ｃ．1

15

Ｄ．

1

18

【解析】抛掷一枚骰子后，出现任何一面的可能性相同.所以本题属于等可能事件. 一枚骰子连续抛掷三次，则基本事件总数3

6

216n ==；设事件A ；连掷3次所得点数依次成等差数列，那么3数相等时有111，

222，…666等六种；3数不相等时有123，234，345，456，135，246及其反序数等12个.于是事件A 发生的次数61218m =+=种.

故()181

21612

P A =

=.选B.

（3）互斥事件——概率的加法原理

在某种试验中，不能同时发生的事件称为互斥事件.如果A 、B 是互斥事件，那么：

()()()P A B P A P B ⋃=+.

【例3】在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ ）

A ．

310 B ．15 C ．110 D ．112

【解析】设小球标注的数字之和为3与6的事件分别为A 、B.显然A 与B 不能同时成立，是互斥事件. 由于基本事件总数

2

510.n C ==事件

A 只有1+2=3一种，；事件

B 有1+5=2+4=6两种，.∵A 与B 互斥，

()()()12

3

10

10

P A B P A P B +∴⋃=+=

=.选A.

（4）对立事件——两互斥事件的特写

在一次试验中，如果事件A 与B 一定恰有一个发生，则称事件A 与B 是对立事件. 注意对立事件必然互斥，但是互斥事件不一定对立. 一般地，记A 的对立事件为

A .由于A 与A 具有互补性，所以()()1P A P

B +=.这是简化概率计算的基本公式.

【例4】8个篮球队中有2个强队，先任意将这8个队分成两个组(每组4个队)进行比赛，这两个强队被分在一个组内的概率是多少? 【解析】 我们用a 、b 分别记八个队中的两个强队. 令C =“a 队与b 队分在同一组”， 则C =“a 队与b 队不在同一组”.

a 队与

b 队不在同一组，只能分成两种情况：a 队在第一组，b 队在第二组，此时有C 3

6·C 3

3＝C 3

6种分法；a 队在第二组，b 队在第一

组，此时有C 36·C 33＝C 36种分法.这些分法中任何两种都是不同的，因此，有C 36+ C 3

6种分法. 八个队平分成的两组的分法共C

48

·C

44

= C

48

种.每一种分法是一基本事件，任何两个基本事件都是等可能的.这样，

P (C )=7

4

1454545C C C 4

8

3

636 =⨯⨯+⨯=

+，

∴P (C )=1-P (C )=1-

74=7

3. 【点评】 应抓住两个强队被分在一组和不同一组是对立的事件，由此入手来解之.

（5）相互独立事件——概率的乘法原理

如果事件A 与B 的发生互相没有影响，则称事件A 与B 为相互独立事件.

特别注意：不能将互斥事件与相互独立事件搞混，前者相互约束，而后者相互无关；前者不可能同时发生，而后者可以同时发生. 如果A 与B 是相互独立事件，那么A 与B 同时发生的概率是：()()()P

A B P A P B ⋅=⋅.

【例5】甲、乙两个袋中均有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲袋装有4个红球、2个白球, 乙袋装有1个红球、5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球,则取出的两球都是红球的概率为 ．(答案用分数表示)

【分析】分别从甲、乙两袋中随机地取球，则取球的结果相互没有影响.所以本题中发生的事件是相互独立事件. 【解析】两袋中各有6个球，则各取1球的基本事件总数为1

1

66

36C C ⋅=.

设从甲袋中取出一个球是红球的事件为A ，从乙袋中取出一个球是红球的事件为B ，那么()()41

,66

P A P B =

=.故“取出的两球都是红球的概率”是()()411

669

P

A P

B ⋅=

⨯=.

（6）独立重复试验——加法原理与乘法原理的复合

在调查某事件发生的概率时，往往要做大量重复的试验.这些试验不仅相互独立，而且都是同一类型的等可能事件.我们称这种试验为独立重复试验.

独立重复试验中的概率计算公式是：()()

1k

k k n

n P k C P P =-.

【例6】甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是（ ）

(A1 0．216 (B)0．36 (C)0．432 (D )0．648

【分析】两人赛球不止一局，且每局每人获胜的概率相同.所以本题这种赛球属于独立重复试验. 【解析】设事件A ：在“3局2胜”的球赛中甲获胜，则A 有3种可能. （1） 前两局甲胜，其概率为21

0.6P =；

（2） 1、3局胜，2局负，其概率为220.60.40.60.60.4P =⨯⨯=⨯ （3） 首局负，2、3局胜，其概率为230.40.60.60.60.4P =⨯⨯=⨯

显然3种情况互斥，()()20.610.40.40.648P

A ∴=++=，故选D.

【说明】本题虽然属于独立重复试验.的题型，却有不能死套公式.这是因为：如果甲前两局获胜，则无须打第3局.

（7）和事件——概率计算与集合计数

在某次试验中，如果事件A 与B 不互斥，则计算A 与B 都发生的概率不能用简单的加法，这是因为事件A 与B 含有交叉的部分，而