概率习题精选精讲
专题1.8概率精讲精练-2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍 (解析版)【人教版】
专题1.8概率精讲精练【目标导航】【知识梳理】一、确定事件和随机事件1、确定事件必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。
不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。
2、随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。
二、频率与概率1. 概率的概念一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A).2. 频率与概率的关系当我们大量重复进行试验时，某事件出现的频率逐渐稳定到某一个数值，把这一频率的稳定值作为该事件发生的概率的估计值.学科+网三、概率的计算1. 公式法一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率为P(A)＝n m2. 列表法当一次试验要涉及两个因素(例如掷两个骰子)并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.3. 画树状图当一次试验要涉及3个或更多的因素(例如从3个口袋中取球)时，列表就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图.4. 几何概型一般是用几何图形的面积比来求概率，计算公式为：P(A)＝A事件发生的面积总面积,解这类题除了掌握概率的计算方法外，还应熟练掌握几何图形的面积计算.5. 游戏公平性判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率都相等，则游戏公平，否则不公平.【典例剖析】【考点1】随机事件【例1】（2021•扬州）下列生活中的事件，属于不可能事件的是（ ）A．3天内将下雨B．打开电视，正在播新闻C．买一张电影票，座位号是偶数号D．没有水分，种子发芽【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．【解答】解：A、3天内将下雨，是随机事件；B、打开电视，正在播新闻，是随机事件；C、买一张电影票，座位号是偶数号，是随机事件；D、没有水分，种子不可能发芽，故是不可能事件；故选：D．【变式1.1】（2021•东湖区模拟）掷一枚质地均匀的硬币6次，下列说法正确的是（ ）A．必有3次正面朝上B．可能有3次正面朝上C．至少有1次正面朝上D．不可能有6次正面朝上【分析】根据等可能事件发生的可能性，以及可能性的大小进行判断即可．【解答】解：掷一枚质地均匀的硬币，可能正面向上，也可能反面向上，可能性是均等的，不会受到前一次的影响，掷一枚质地均匀的硬币6次，不一定3次正面朝上，因此A选项不符合题意，“可能有3次正面朝上”是正确的，因此B选项正确；可能6次都是反面向上，因此C不符合题意，有可能6次正面向上，因此D选项不符合题意；故选：B．【变式1.2】（2020秋•饶平县校级期末）下列事件中，属于必然事件的为（ ）A．打开电视机，正在播放广告B．任意画一个三角形，它的内角和等于180°C．掷一枚硬币，正面朝上D．在只有红球的盒子里摸到白球【分析】打开电视机，正在播放广告是随机事件；任意画一个三角形，它的内角和等于180°是必然事件；掷一枚硬币，正面朝上是随机事件；在只有红球的盒子里摸到白球是不可能事件，综合做出判断即可．【解答】解：打开电视机，可能在播广告，也可能不在播放广告，因此A选项不符合题意，任意三角形的内角和都是180°，因此选项B符合题意，掷一枚硬币，可能正面朝上，也可能反面向上，因此选项C不符合题意，在只有红球的盒子里是摸不到白球的，因此选项D不符合题意，故选：B．【变式1.3】（2021•越秀区模拟）在等腰三角形、等腰梯形、平行四边形、矩形中任选两个不同的图形，那么下列事件中为不可能事件的是（ ）A．这两个图形都是轴对称图形B．这两个图形都不是轴对称图形C．这两个图形都是中心对称图形D．这两个图形都不是中心对称图形【分析】直接利用轴对称图形以及中心对称图形的定义、结合不可能事件的定义分析得出答案．【解答】解：A．等腰三角形和等腰梯形都是轴对称图形，是可能的，因此选项A不符合题意；B．等腰三角形、等腰梯形、平行四边形、矩形中有3个图形是轴对称图形，故这两个图形都不是轴对称图形是不可能事件，因此选项B符合题意；C．平行四边形和矩形都是中心对称图形，是可能的，因此选项C不符合题意；D．等腰三角形和等腰梯形都不是中心对称图形，是可能的，因此选项D不符合题意；故选：B．【考点2】事件的可能性【例2】（2020秋•徐汇区期末）从标有1，2，3，…，20的20张卡片中任意抽取一张，可能性最大的是（ ）A．卡片上的数字是合数B．卡片上的数字是2的倍数C．卡片上的数字是素数D．卡片上的数字是3的倍数【分析】可能性最大的是就是符合条件的卡片最多的．【解答】解：A、卡片上的数字是合数：4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，共11张；B、卡片上的数字是2的倍数2×1，2×2，2×3，2×4，2×5，2×6，2×7，2×8，2×9，2×10，共10张；C、卡片上的数字是素数的有2，3，5，7，11，13，17，19，共8张；D、卡片上的数字是3的倍数3×1，3×2，3×3，3×4，3×5，3×6，共6张．故选：A．【变式2.1】（2020秋•瑞安市期中）某班有25名男生和20名女生，现随机抽签确定一名学生做代表参加学代会，则下列选项中说法正确的是（ ）A．男、女生做代表的可能性一样大B．男生做代表的可能性较大C．女生做代表的可能性较大D．男、女生做代表的可能性的大小不能确定【分析】求出男、女生做代表的可能性，判断即可．【解答】解：A、错误．男、女生做代表的可能性分别为2545=59，2045=49，男生的可能性大．本选项不符合题意．B、正确．本选项符合题意．C、错误．男生的可能性大．本选项不符合题意．D．错误．本选项不符合题意．故选：B．【变式2.2】（2021秋•利川市期末）在一次比赛前，教练预言说：“这场比赛我们队有70%的机会获胜”，则下列说法中与“有70%的机会获胜”的意思接近的是（ ）A．他这个队赢的可能性较大B．若这两个队打10场，他这个队会赢7场C．若这两个队打100场，他这个队会赢70场D．他这个队必赢【分析】概率值只是反映了事件发生的机会的大小，不是会一定发生．不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于0并且小于1．【解答】解：A、根据概率的意义，正确；B、概率仅仅反映了这一事件发生的可能性的大小，若这两个队打10场，他这个队可能会赢7场，但不会是肯定的，所以错误；C、和B一样，所以错误；D、根据概率的意义，错误．故选：A．【变式2.3】（2022秋•丰顺县校级月考）宋代陆游所作的哲理诗《冬夜读书示子聿》有如下四句：①纸上得来终觉浅；②少壮工夫老始成；③绝知此事要躬行；④古人学问无遗力．这四句诗歌的顺序被打乱了，兰兰想把这几句诗歌调整为正确的顺序，则她第一次就调整正确的可能性大小是（ ）A ．112B ．118C ．124D ．130【分析】根据四句诗随机排列组合的情况得出结论即可．【解答】解：四句诗随机排列组合共有4×3×2＝24（种），正确的顺序只有一种，故第一次就调整正确的可能性大小是124，故选：C ．【考点3】概率公式【例3】（2021秋•松山区期末）如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A 和B ，在余下的点中任取一点C ，使△ABC 为直角三角形的概率是（ ）A ．12B ．25C ．47D ．37【分析】找到可以组成直角三角形的点，根据概率公式解答即可．【解答】解：如图，C 1，C 2，C 3，C 4均可与点A 和B 组成直角三角形．P =47，故选：C ．【变式3.1】（2021秋•牟平区期末）下列计算3②3a 2﹣2a ＝a ③（2a 2）3＝6a 6④a 8÷a 4＝a 2⑤−3，其中任意抽取一个，运算结果正确的概率是（ ）A ．35B ．25C ．15D ．45【分析】随机事件A 的概率P （A ）＝事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．【解答】解：运算结果正确的有⑤，则运算结果正确的概率是15，故选：C ．【变式3.2】（2021秋•紫阳县期末）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了灰色．现在要从其余13个白色小方格中任选出一个也涂成灰色，则使整个涂灰部分为轴对称图形的概率是（ ）A ．213B ．313C ．413D ．513【分析】根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格，再利用概率公式求解即可．【解答】解：如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形．则使整个涂灰部分为轴对称图形的概率是413．故选：C ．【变式3.3】（2022秋•成安县期中）如图所示的是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅲ”所在区域内的概率是（ ）A ．14B ．112C ．16D ．712【分析】由图知，“Ⅲ”所在区域读音的圆心角度数为360°﹣90°﹣60°＝210°，再根据概率公式求解即可．【解答】解：由图知，“Ⅲ”所在区域读音的圆心角度数为360°﹣90°﹣60°＝210°，所以指针落在数字“Ⅲ”所在区域内的概率是210°360°=712，故选：D ．【考点5】几何概率【例4】（2022秋•玄武区期中）如图，在一块正三角形飞镖游戏板上画一个正六边形（图中阴影部分），假设飞镖投中游戏板上的每一点是等可能的（若投中边界或没有投中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，则飞镖投中阴影部分的概率为（ ）A ．13B ．49C ．12D ．23【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【解答】解：如图，根据等边三角形和正六边形的性质，可知图中所有小三角形的面积都相等，∴任意投掷飞镖一次，飞镖投中阴影部分的概率为69=23．故选：D ．【变式4.1】（2022秋•湖口县期中）如图，一个小球在地板上滚动，并随机停在某块方砖上，如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（ ）A．13B．23C．14D．12【分析】用黑砖的面积除以总面积即可得出答案．【解答】解：由图知，若设方砖的边长为a，则地板的总面积为3a×4a＝12a2，黑砖的面积为12×2a×3a＝3a2，∴小球最终停留在黑砖上的概率是3a212a2=14，故选：C．【变式4.2】（2022秋•明山区校级月考）如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，那么它最终停留在黑色区域的概率是（ ）A．18B．14C．38D．12【分析】根据几何面积得出概率即可．【解答】解：由图知，黑色区域的面积占大正方形面积的616=38，∴它最终停留在黑色区域的概率是3 8，故选：C．【变式4.3】（2022•南京模拟）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为（ ）A．12B．13C．25D．35【分析】随机事件A的概率P（A）＝事件A发生时涉及的图形面积除以一次试验涉及的图形面积，设正六边形的边长为a，过A作AD⊥BC于D，过B作BE⊥CE于E，先求出△ABC的面积，阴影的面积＝3S△ABC，再求出△BCE的面积，代入公式计算即可．【解答】解：设正六边形边长为a，过A作AD⊥BC于D，过B作BE⊥CE于E，如图所示：∵正六边形的内角为180°−360°6=120°，在Rt △ACD 中，∠ADC ＝90°，∠CAD ＝60°，AC ＝a ，则AD =12a ，CD =，∴BC =2CD =，∴在Rt △BCE 中，∠BEC =90°，∠BCE =60°，BC =，则CE ，BE =32a ，则灰色部分面积为3S △ABC =3×12BC ⋅AD =3×12××12a 2，白色区域面积为2S △BCE =2×12CE ⋅BE ×32a =2，2，飞镖落在白色区域的概率P 212，故选：A ．【考点5】用频率估计概率【例5】（2022秋•金水区校级期中）一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入6个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中66次摸到黑球，估计盒中大约有白球（ ）A ．28个B ．29个C ．30个D ．32个【分析】可根据“黑球数量÷黑白球总数＝黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑白球总数＝黑球个数+白球个数“，“黑球所占比例＝随机摸到的黑球次数÷总共摸球的次数”．【解答】解：设盒子里有白球x 个，得：66x =66400，解得：x ≈30．经检验结果符合题意．答：盒中大约有白球30个．故选：C．【变式5.1】（2021秋•禹州市期末）木箱里装有仅颜色不同的9张红色和若干张蓝色卡片，随机从木箱里摸出一张卡片后记下颜色后再放回，经过多次的重复实验，发现摸到红色卡片的频率稳定在0.6附近，则估计木箱中蓝色卡片有（ ）A．6张B．8张C．10张D．4张【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：设木箱中蓝色卡片有x个，根据题意得：x=1﹣0.6，x9解得：x＝6，经检验x＝6是原方程的解，则估计木箱中蓝色卡片有6张．故选：A．【变式5.2】（2021秋•无为市期末）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的小球共40个，除颜色不同外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在25%和45%，则口袋中白色球的个数可能是（ ）A．4B．8C．12D．16【分析】用球的总个数分别乘以摸到红色球和黑色球的频率求出其对应个数，继而可得答案．【解答】解：由题意知，红色球的个数为40×25%＝10（个），黑色球的个数为40×45%＝18（个），所以口袋中白色球的个数为40﹣10﹣18＝12（个），故选：C．【变式5.3】（2021秋•宛城区期末）某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ）A ．从装有相同质地的3个红球和2个黄球的暗箱中随机取一个红球B ．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”C ．先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面D ．抛掷两枚质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数之和超过7【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P ＝0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．【解答】解：A 、从装有相同质地的3个红球和2个黄球的暗箱中随机取一个红球，取到的红球的概率是35=0.6，不符合题意；B 、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为13≈0.33，符合题意；C 、先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面的概率是14=0.25，不符合题意；D 、抛掷两枚质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数之和超过7的概率1536，不符合题意．故选：B ．【考点6】树状图与列表法求概率【例6】（2021秋•宜城市期末）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4．先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m ，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n ．（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有（m ，n ）可能的结果；（2）若m ，n 都是方程x 2﹣7x +12＝0的解时，则小明获胜；若m ，n 都不是方程x 2﹣5x +6＝0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，m ，n 都是方程x 2﹣5x +6＝0的解的结果有4个，m ，n 都不是方程x 2﹣5x +6＝0的解的结果有2个，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）树状图如图所示：（2）∵m ，n 都是方程x 2﹣7x +12＝0的解，∴m＝3，n＝4，或m＝4，n＝3，由树状图得：共有12个等可能的结果，m，n都是方程x2﹣7x+12＝0的解的结果有4个（包括m＝n＝3，和m＝n＝4两种情况），同理m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解（m＝2，n＝3，或m＝3，n＝2）的结果有2个，小明获胜的概率为412=13，小利获胜的概率为212=16，∴小明获胜的概率大．【变式6.1】（2021秋•利川市期末）第一盒中有2个白球、1个黄球，第二盒中有1个白球、1个黄球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个盒中随机取出1个球，用列表法或画树状图法求下列事件的概率：（1）取出的2个球都是黄球；（2）取出的2个球中1个白球、1个黄球．【分析】（1）列表展示所有6种等可能的结果数，找出2个球都是黄球的结果数，然后根据概率公式求解；（2）找出2个球中1个白球、1个黄球的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：列表如下：第一个盒子第二个盒子白球白球黄球白球（白球，白球）（白球，白球）（白球，黄球）黄球（白球，黄球）（白球，黄球）（黄球，黄球）所有可能情况有6种，（1）所有可能情况有6种．其中2个黄球的可况有1种，P=1 6；（2）所有可能情况有6种，其中1个黄球一个白球的可能情况有3种，P=1 2．【变式6.2】（2021秋•平泉市期末）佳佳和琪琪两位同学玩抽数字游戏，5张卡片上分别写有2，4，6，8，x这5个数字，其中两张卡片上的数字是相同的．从中随机抽出一张，已知P(抽到数字6的卡片)=2 5．（1）求这5张卡片上的数字的众数．（2）若佳佳已抽走一张数字2的卡片，琪琪准备从剩余4张卡片中抽出一张．①所剩的4张卡片上数字的中位数与原来5张卡片上数字的中位数是否相同？并简要说明理由．②琪琪先随机抽出一张卡片后放回，之后又随机抽出1张，用列表法（或树状图）求琪琪两次都抽到数字6的概率．【分析】（1）根据抽到数字6的卡片的概率为25可得x值，从而可得众数；（2）①分别求出前后两次的中位数即可；②画出树状图，再根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）∵2、4、6、8、x这五个数字中，P（抽到数字6的卡片）=2 5，则数字6的卡片有2张，即x＝6，∴五个数字分别为2、4、6、6、8，则众数为：6；（2）①相同，理由是：原来五个数字的中位数为：6，抽走数字2后，剩余数字为4、6、6、8，则中位数为：662=6，所以前后两次的中位数相同；②根据题意画树状图如下：可得共有16种等可能的结果，其中两次都抽到数字6的情况有4种，则琪琪两次都抽到数字6的概率为：416=14．【变式6.3】（2022秋•福鼎市期中）某中学在参加“创文明城，点赞泉城”书画比赛中，杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班（用A，B，C，D表示），对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图．请根据以上信息，回答下列问题：（1）杨老师采用的调查方式是 抽样调查 （填“普查”或“抽样调查”）；（2）请补充完整条形统计图，并计算扇形统计图中C班作品数量所对应的圆心角度数 150° ．（3）如果全班征集的作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生，现要在获得一样等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求恰好选取的两名学生性别不同的概率．【分析】（1）杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查．（2）由题意得：所调查的4个班征集到的作品总数为：6÷90360=24（件），C 班作品的件数为：24﹣4﹣6﹣4＝10（件）；继而可补全条形统计图；用C 班作品数除以总作品数再乘360°即可求出扇形统计图中C 班作品数量所对应的圆心角度数．（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两名学生性别不同的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查．故答案为：抽样调查．（2）所调查的4个班征集到的作品数为：6÷90360=24（件），C 班有24﹣（4+6+4）＝10（件），补全条形图如图所示，扇形统计图中C班作品数量所对应的圆心角度数360°×1024=150°；故答案为：150°；（3）画树状图得：∵共有20种等可能的结果，两名学生性别不同的有12种情况，∴恰好选取的两名学生性别不同的概率为1220=35．【考点7】概率与函数方程综合题【例7】（2020秋•兰州期中）已知a，b可以取﹣2，﹣1，1，2中的任意一个值（a≠b），则直线y＝ax+b 经过第一、二、四象限的概率是 ．【分析】列表得出所有等可能的结果数，找出a与b都为正数，即为直线y＝ax+b经过第一、二、四象限的情况数，即可求出所求的概率．【解析】列表如下：﹣2﹣112﹣2（﹣1，﹣2）（1，﹣2）（2，﹣2）﹣1（﹣2，﹣1）（1，﹣1）（2，﹣1）1（﹣2，1）（﹣1，1）（2，1）2（﹣2，2）（﹣1，2）（1，2）所有等可能的情况数有12种，其中直线y＝ax+b经过第一、二、四象限的情况数有4种，则P=412=13．故答案为：1 3．【变式7.1】（2020秋•金牛区校级期中）从﹣1，0，1，2，3这五个数中，随机取出一个数，记为a，那么使关于x的方程2x a2=1有解，且使关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0有两个不相等的实数根的概率为 ．【分析】由题意得使关于x 的方程2x a2=1有解，且使关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +a ＝0有两个不相等的实数根的a 的值有4个，由概率公式即可得出答案．【解析】∵使关于x 的方程2x a2=1有解，∴a 可取﹣1，0，1，2，3这五个数，∵一元二次方程x 2﹣3x +a ＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（﹣3）2﹣4×1×a ＝9﹣4a ＞0，解得：a ＜94，∴a 可取﹣1、0、1、2，共有四个，∴从﹣1，0，1，2，3这五个数中，随机取出一个数，符合条件的有4个，∴使关于x 的方程2x a2=1有解，且使关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +a ＝0有两个不相等的实数根的概率为45，故答案为：45．【变式7.2】（2020秋•金牛区校级期中）有五张大小形状相同的卡片，分别写有1～5这五个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽取一张，记卡片上的数字为a ，则a 的值使得关于x 的分式方程ax−2x−2−1=6x−2有整数解的概率为 ．【分析】解分式方程得出x =6a−1，根据分式方程有整数解得出a ≠4且a ≠1，再分别求出a ＝2、3、5时x 的值，利用概率公式即可得出答案．【解析】∵ax−2x−2−1=6x−2，∴ax ﹣2﹣（x ﹣2）＝6，∴（a ﹣1）x ＝6，则x =6a−1，∵分式方程有整数解，∴6a−1≠2且a ﹣1≠0，∴a ≠4且a ≠1，当a ＝2时，x ＝6；当a ＝3时，x ＝3；当a ＝5时，x =32（舍），∴使分式方程有整数解的a 的值有两个，∴a 的值使得关于x 的分式方程ax−2x−2−1=6x−2有整数解的概率为25，故答案为：25．【变式7.3】（2020秋•武侯区校级期中）有六张正面分别标有数字﹣1，0，1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，则抽取的卡片上的数字为不≥x−5的解的概率为 ．【分析】先求出不等式组的整数解，再由概率公式可求解．≥x−5，∴1＜x ≤4，∴不等式组的整数解为2，3，4，≥x−5的解的概率=36=12，故答案为12．【变式7.4】（2020秋•锦江区校级期中）已知a 为正整数，且二次函数y ＝x 2+（a ﹣7）x +3的对称轴在y 轴右侧，则a 使关于y 的分式方程ay−4y−1−2=y 1−y 有正整数解的概率为 ．【分析】利用二次函数的性质得到−a−72＞0，解得a ＜7，求得a 的值为1，2，3，4，5，6，再把分式方程化为1﹣ay +4y ﹣12＝1，解得y =2a−1，接着分别把a 的值代入确定分式方程为整数解所对应的a 的值，然后根据概率公式求解．【解析】∵二次函数y ＝x 2+（a ﹣7）x +3的对称轴在y 轴右侧．∴−a−72＞0，∴a ﹣7＜0，∴a ＜7，∵a 是正整数，∴a 的值为1，2，3，4，5，6，分式方程ay−4y−1−2=y 1−y 可化为ay ﹣4﹣2（y ﹣1）＝﹣y ，解得y =2a−1，∵关于y 的分式方程ay−4y−1−2=y 1−y 有正整数解，∴a ﹣1＞0，解得a ＞1，当a ＝2时，y ＝2，当a ＝3时，y ＝1；∴a 使关于y 的分式方程ay−4y−1−2=y 1−y 有正整数解的概率为=26=13．故答案为：13．【变式7.5】（2020秋•青羊区校级期中）从﹣3，0，12，1，2这5个数中任取一个数记为m ，则能使二次函数y ＝（x ﹣2）2+m的顶点在x 轴上方的概率为 35 ．【分析】根据概率公式直接求解即可．【解析】∵在﹣3，0，12，1，2这5个数中，能使二次函数y ＝（x ﹣2）2+m 的顶点在x 轴上方的3个，分别是12，1，2，∴能使二次函数y ＝（x ﹣2）2+m 的顶点在x 轴上方的概率为35；故答案为：35．【考点8】游戏的公平性【例8】（2021秋•古丈县期末）学完《概率初步》后，小诚和小明两个好朋友利用课外活动时间自制A 、B 两组卡片共5张，A 组三张分别写有数字2，4，6，B 组两张分别写有3，5．它们除了数字外没有任何区别．他俩提出了如下两个问题请你解答：（1）随机从A 组抽取一张，求抽到数字为2的概率；（2）随机地分别从A 组、B 组各抽取一张，请你用列表或画树状图的方法表示所有等可能的结果；（3）如果他俩还制定这样一个游戏规则：若选出的两数之积为3的倍数，则小诚获胜；否则小明获胜．请问这样的游戏规则对小诚、小明双方公平吗？请说明理由．【分析】（1）A 组共有3张卡片，其中2有1张，据此解答．（2）根据题意画出树状图即可；（3）根据（1）计算出各自获胜的概率即可得出结论．【解答】解：（1）∵A组共有3张卡片，其中2有1张，∴P（抽到数字为2）=1 3．（2）画树状图如下：∴有六种等可能的结果；（3）不公平，理由如下：由（1）知，2×3＝6是3的倍数；2×5＝10不是3的倍数；4×3＝12是3的倍数；4×5＝20不是3的倍数；6×3＝18是3的倍数；6×5＝30是3的倍数；故小诚获胜的概率为46=23，小明获胜的概率是13，∴这样的游戏规则对小诚、小明双方不公平．【变式8.1】（2021秋•逊克县期末）淘淘和明明玩骰子游戏，每人将一个各面分别标有1，2，3，4，5，6的正方体骰子掷一次，把两人掷得的点数相加，并约定：点数之和等于6，淘淘赢；点数之和等于7，明明赢；点数之和是其它数，两人不分胜负．（1）请你用“画树状图”或“列表”的方法分析说明此游戏是否公平．（2）请你基于（1）问中得到的数据，设计出一种公平的游戏规则．（列出一种即可）【分析】（1）用列举法列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式求出淘淘和明明赢的概率，然后进行比较，即可得出答案；（2）根据概率公式进行设计，设计出两个人的概率相等即可．【解答】解：（1）根据题意列表如下：和123456。
人教版高中数学精讲精练选择性必修三7.1 条件概率及全概率(解析版)
7.1条件概率及全概率公式考法一条件概率【例1-1】（2023·云南）某校有7名同学获省数学竞赛一等奖，其中男生4名，女生3名．现随机选取2名学生作“我爱数学”主题演讲．假设事件A 为“选取的两名学生性别相同”，事件B 为“选取的两名学生为男生”，则()|P B A =（）A ．14B ．34C ．13D ．23【答案】D【解析】由题意得，事件A 包含的样本点数()2234C C 9n A =+=，事件A 和B 包含的样本点数()24C 6n AB ==，所以()()()62|93n AB P B A n A ===.故选：D【例1-2】（2024·陕西汉中）袋中有除颜色外完全相同的6个小球，其中4个白球和2个红球，现从袋中不放回地连取两个．在第一次取得白球前提下，则第二次取得红球的概率为（）A ．0.25B ．0.4C ．0.5D ．0.6【答案】B【解析】设第一次取得白球为事件A ，第二次取得红球为事件B ，所以在第一次取得红球前提下，则第二次取得白球的概率为：42()265(|)0.445()565P AB P B A P A ⨯⨯====⨯⨯.故选：B.【一隅三反】1．（2024·辽宁）小张､小王两家计划国庆节期间去辽宁游玩，他们分别从“丹东凤凰山，鞍山千山，本溪水洞，锦州笔架山，盘锦红海滩”这五个景点中随机选择一个游玩，记事件A ：“两家至少有一家选择丹东风凰山”，事件B ：“两家选择景点不同”.则概率()P B A =（）A ．23B ．59C ．45D ．89【答案】D【解析】由题意可知:A 两家都没选择丹东凤凰山，即()44165525P A =⨯=，所以()()9125P A P A =-=，而:AB 有一家选择丹东凤凰山，另一家选别的景点，则()4255P AB ⨯=⨯，所以()()()88259925P AB P B A P A ===.故选：D2．（2024·全国·高二假期作业）现有若干大小、质地完全相同的黑球和白球，已知某袋子中装有3个白球、2个黑球，现从袋中随机依次摸出2个球，若第一次摸出的是白球，则放回袋中；若第一次摸出的是黑球，则把黑球换作白球，放回袋中.记事件A =“第一次摸球摸出黑球”，事件B =“第二次摸球摸出白球”，则()P B A =（）A ．625B ．825C ．35D ．45【答案】D【解析】根据题意可知，2()5P A =第一次摸出黑球且第二次摸出白球的概率()2485525P A B ⋂=⨯=，则()8()4252()55P A B P B A P A ⋂===,故选：D.3．（2024·北京）俗话说“斜风细雨不须归”，在自然界中，下雨大多伴随着刮风.已知某地8月份刮风的概率为1331，下雨的概率为1131，既刮风又下雨的概率为731.记事件A 为“8月份某天刮风”，事件B 为“8月份某天下雨”，则()P B A =（）A ．711B ．713C ．731D ．1131【答案】B【解析】根据题意可得()()()1311,,1317331P A P B P AB ===利用条件概率公式可得()()()7731131331P AB P B A P A ===.故选：B4．（2024·江西）我国的生态环境越来越好，旅游的人越来越多．现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩．记事件A 为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件B 为“两位游客选择的景点相同”，则()P B A 等于（）A ．111B ．211C ．19D ．29【答案】A【解析】由题意，知()()66551111,66366636P A P AB ⨯-⨯====⨯⨯，所以()()()111P AB P B A P A ==．故选：A ．考法二条件概率性质【例2-1】（2024·湖北）已知A ，B 是一个随机试验中的两个事件，若()12P A B =，()13P B A =，则()()()P AB P AB P AB +等于（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】因为()12P A B =，所以()1()2P AB P B =，即()2()P B P AB =，同理，由()13P B A =得()3()P A P AB =，因为()()()2()P B P AB P AB P AB =+=，所以()()P AB P AB =，()()()3()P A P AB P AB P AB =+=，所以()2()P AB P AB =，所以()()3()3()()P AB P AB P AB P AB P AB +==．故选：A.【例2-2】（2023上·高二课时练习）下列式子成立的是（）A ．()()P AB P B A =∣∣B ．()01P BA <<∣C ．()()()P AB P A P BA =⋅∣D ．()()()P AB P B P BA =⋅∣【答案】C【解析】由条件概率公式知()()()()(),()P AB P AB P AB P B A P B P A ==∣∣，但是()P A 不一定等于()P B ，所以选项A 错误；根据条件概率的性质可知()01P B A ≤≤∣，所以选项B 错误；由条件概率公式()()()P AB P BA P A =∣可得出()()()P AB P A P BA =⋅∣，所以选项C 正确；由条件概率公式()()()P AB P AB P B =∣可得出()()()P AB P B P AB =⋅∣，所以选项D 错误.故选：C【例2-3】（2023·云南保山）（多选）,A B 为随机事件，已知()0.5P A =，()0.3P B =，下列结论中正确的是（）A ．若,AB 为互斥事件，则()0.8P A B +=B ．若,A B 为互斥事件，则()0.8P A B +=C ．若,A B 相互独立，则()0.65P A B +=D ．若()|0.3P B A =，则,A B 相互独立【答案】ACD【解析】A 选项，根据互斥事件的加法公式可得，()()()0.50.30.8P A B P A P B +=+=+=，A 选项正确；B 选项，若,A B 为互斥事件,故()0P AB =，类似集合的运算：A B A B = ，由()()()()1()101P A B P A B P A B P AB P AB +====-=-= ，故B 选项不正确；C 选项，由于,A B 是相互独立事件，故()()()P AB P A P B =，于是()()()()0.50.30.50.30.65P A B P A P B P AB +=+-=+-⨯=，C 选项正确；D 选项：)()(|)0.3()(P AB P B A P B A P ===，即()()()P AB P A P B =，于是,A B 相互独立，D 选项正确.故选：ACD.【一隅三反】1．（2024·广西）（多选）设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且1()2P A =，11()24P B =，7(24P AB AB +=，则下列结论中正确的是（）A ．1()8P AB =B ．5()6P A B +=C ．9()11|P A B =D ．()||)(P A B P B A =【答案】AB【解析】因为1()2P A =，11()24P B =，所以1()2P A =，13(24P B =.因为AB 与AB 为互斥事件，所以()0P AB AB ⋅=，所以(()()()()(P AB AB P AB P AB P AB AB P AB P AB +=+-⋅=+()()()()P B P AB P A P AB =-+-1112()224P AB =+-724=，所以1()3P AB =，故111()1()8()243P B P A P B AB =-=-=，故A 正确；115()(()()()()[()()](()236P A B P A P B P AB P A P B P B P AB P A P AB +=+-=+--=+=+=，故B 正确；1()83()11()1124|P AB P A B P B ===，故C 错误；1()38()11()1124|P AB P A B P B ===，11()()()123()1()()3|2P AB P A P AB P B A P A P A --===，所以()||)(P A B P B A ≠，故D 错误.故选:AB.2．（2024·福建）（多选）已知随机事件,,A B C 满足()01P A <<，()01P B <<，()01P C <<，则下列说法正确的是（）A ．不可能事件∅与事件A 互斥B ．必然事件Ω与事件A 相互独立C ．()()()P AC P AB C P AB C =+∣∣∣D ．若()()||P A B P A B =，则()()12P A P A ==【答案】ABC【解析】因为不可能事件∅与事件 A 不会同时发生，所以互斥，故选项A 正确；因为)1,()(),())()((P A P A P P A P P AΩ=Ω=Ω=,所以()()()P A P A P Ω=Ω，所以必然事件Ω与事件 A 相互独立，故选项B 正确；因为AB AB A = ，且,AB AB 互斥，所以()()()P AC P AB C P AB C =+∣∣∣，故选项C 正确；对于选项D ，假如做抛掷一枚骰子1次的试验，设事件B 为出现点数小于等于4，事件A 为出现点数小于等于2，则()()||P A B P A B =，但12(),(),()(),33P A P A P A P A ==≠故选项D 错误.故选:ABC.3．（2024下·全国·高二随堂练习）（多选）玻璃缸中装有2个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球．记“第一次取得黑球”为1A ，“第一次取得白球”为2A ，“第二次取得黑球”为1B ，“第二次取得白球”为2B ，则（）A ．()()1122P AB P A B =B ．()()1221P A B P A B =C ．()()11211P B A P B A +<∣∣D ．()()21121P B A P B A +>∣∣【答案】BD【解析】由题意，第一次取得黑球的概率()12116C 1C 3P A ==，第一次取得白球的概率()14216C 2C 3P A ==，第一次取黑球、第二次取黑球的概率()1121111165C C 1C C 15P A B ==，第一次取白球、第二次取白球的概率()1143221165C C 2C C 5P A B ==，()()1122P A B P A B ≠，所以A 错误；第一次取黑球、第二次取白球的概率()1124121165C C 4C C 15P A B ==，第一次取白球、第二次取黑球的概率()1142211165C C 4C C 15P A B ==，()()1221P A B P A B =，所以B 正确；由()()()111111115153P A B P B A P A ===，()()()122114415153P A B P B A P A ===，得()()11211P B A P B A +=，所以C 错误；由()()()211224215253P A B P B A P A ===，得()()2112615P B A P B A +=>，所以D 正确．故选：BD4．（2023·河南平顶山）（多选）一个口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，每次从中随机取出一个球，若取到红球，则往口袋里再放入一个白球，若取到白球，则往口袋里再放入一个红球，取出的球不放回.像这样取两次球，设事件()1,2i A i =为“第i 次取到红球”，事件()1,2j B j =为“第j 次取到白球”，事件C 为“两次取到的球颜色相同”，则（）A ．1A 与2A 相互独立B ．()2135P B A =∣C ．()12825P B A =D ．()825P C =【答案】BCD【解析】对于A ，()()()112262414,,5552555552533232P A P A A P A ==⨯==⨯+⨯=，则()()()2112P P A A A P A ≠，所以1A 与2A 不相互独立，故A 错误；对于B ，()21P B A ∣是指在第一次取出红球的条件下，第二次取出白球的概率，第一次取出红球后，再放入一个白球，袋中变为2个红球和3个白球，此时取出白球的概率为35，故B 正确；对于C ，()12P B A 是第一次取到白球且第二次取到红球的概率，()122485525P B A =⨯=，故C 正确；对于D ，事件C 包含“两次都取到红球”和“两次都取到白球”两种情况，()()12123()5P C P A A P B B =+=⨯221855525+⨯=，故D 正确．故选：BCD.考法三全概率公式【例3-1】（2024·黑龙江）某人外出出差，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为0.8；若浇水，盆栽枯萎的概率为0.1.若邻居浇水的概率为P ，该人回来盆栽没有枯萎的概率为0.83，则实数P 的值为（）A ．0.9B ．0.85C ．0.8D ．0.75【答案】A【解析】记A 为事件“盆栽没有枯萎”，W 为事件“邻居给盆栽浇水”，由题意可得(),()1P W P P W P ==-，()0.8,()0.1P A W P A W ==∣∣，由对立事件的概率公式可得()1()10.830.17P A P A =-=-=.由全概率公式可得(()()()()0.1(1)0.80.17P A P W P A W P W P A W P P =+=⨯+-⨯=∣∣，解得0.9P =.故选：A【例3-2】（2024·河南南阳）长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约20%的人近视，而该校大约有10%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为60%，现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（）A ．521B ．940C ．745D ．720【答案】C【解析】令1A =“玩手机时间超过1小时的学生”，2A =“玩手机时间不超过1小时的学生”，B =“任意调查一人，此人近视”，12A A Ω= ，且12,A A 互斥，()()()()1210.10.9|0.6,0,.2 ,P A P A P B A P B ====，依题意有()()()()()()11222||0.10.60.9|0.2P B P A P B A P A P B A P B A =+=⨯+⨯=，解得()20.1470.945|P B A ==从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为745.故选：C 【一隅三反】1．（2024·黑龙江）小明参加答题闯关游戏，答题时小明可以从A ，B ，C 三块题板中任选一个进行答题，答对则闯关成功.已知他选中A ，B ，C 三块题板的概率分别为0.2，0.3，0.5，且他答对A ，B ，C 三块题板中题目的概率依次为0.91，0.92，0.93.则小明闯关失败的概率是（）A ．0.24B ．0.14C ．0.077D ．0.067【答案】C【解析】由题意，小明闯关失败的概率()()()0.210.910.310.920.510.930.077P =⨯-+⨯-+⨯-=.故选：C.2．（2024·全国·高二假期作业）某批麦种中，一等麦种占80%，二等麦种占20%等麦种种植后所结麦含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为（）A ．0.48B ．0.52C ．0.56D ．0.65【答案】B【解析】种植一等麦种和二等麦种的事件分别为12,A A ，所结麦穗含有50粒以上麦粒为事件B ，依题意，()10.8P A =，()20.2P A =，()1|0.6P B A =，()2|0.2P B A =，由全概率公式得，()()()12P B P BA P BA =+()()()()1122||P A P B A P A P B A =+0.80.60.20.20.52=⨯+⨯=.故选：B3．（2023·湖北）某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、5箱数学书.到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱.现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为（）A ．29B ．38C ．112D ．58【答案】B【解析】用A 表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用1B 表示丢失的一箱为英语书，2B 表示丢失的一箱为数学书，则()()1212P B P B ==，()24129C 61C 366P A B ===，()25229C 105C 3618P A B ===，由全概率公式可得()()()()()112211152262189P A P B P A B P B P A B =⋅+⋅=⨯+⨯=，所以，()()()1111326289P AB P B A P A ⨯===.故选：B.4．（2023·湖北）（多选）某儿童乐园有甲，乙两个游乐场，小王同学第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为0.3和0.7，如果他第一天去甲游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.7；如果第一天去乙游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.6，则王同学（）A ．第二天去甲游乐场的概率为0.63B ．第二天去乙游乐场的概率为0.42C ．第二天去了甲游乐场，则第一天去乙游乐场的概率为23D ．第二天去了乙游乐场，则第一天去甲游乐场的概率为13【答案】AC【解析】设1A ：第一天去甲游乐场，2A ：第二天去甲游乐场，1B ：第一天去乙游乐场，2B ：第二天去乙游乐场，依题意可得()10.3P A =，()10.7P B =，()210.7P A A =，()210.6P A B =，对A ，()()()()()21211210.30.70.70.60.63P A P A P A A P B P A B =+=⨯+⨯=，A 正确；对B ，()()2210.37P B P A =-=，B 错误；对C ，()()()()1211220.70.620.633P B P A B P B A P A ⨯===，C 正确；对D ，()()()()()()()()121121122210.310.790.3737P A P A A P A P B A P A B P B P B ⎡⎤-⨯-⎣⎦====，D 错误，故选：AC.5．（2024·陕西汉中）某电子设备厂所用的元件由甲、乙两家元件厂提供，根据以往的记录，这两个厂家的次品率分别为0.01，0.03，提供元件的份额分别为0.90，0.10．设这两个厂家的产品在仓库里是均匀混合的，且无任何区分的标志，现从仓库中随机取出一个元件，取到的元件是次品的概率为．【答案】0.012【解析】设事件:A “取得一件次品”事件1B ：“取得次品是甲厂生产”，2B ：“取得次品是乙厂生产”，由题意可知()()()()12120.9,0.1,0.01,0.03P B P B P A B P A B ====,所以由全概率公式知取得次品的概率为()()()()()11220.010.900.030.100.012P A P A B P B P A B P B =+=⨯+⨯=.故答案为：0.012考法四贝叶斯公式【例4】（2024·福建）根据曲靖一中食堂人脸识别支付系统后台数据分析发现，高三年级小孔同学一周只去食堂一楼和二楼吃饭．周一去食堂一楼和二楼的概率分别为13和23，若他周一去了食堂一楼，那么周二去食堂二楼的概率为34，若他周一去了食堂二楼，那么周二去食堂一楼的概率为12，现已知小孔同学周二去了食堂二楼，则周一去食堂一楼的概率为（）．A ．37B ．47C ．15D ．45【答案】A【解析】记小孔同学周一去食堂一楼为事件A ，周二去食堂一楼为事件B ，则本题所求()()()()()()()13334132173432P B A P A P A B P B A P A P B A P A ⨯⋅===⋅+⋅⨯+⨯．故选：A ．【一隅三反】1．（2024湖南）设有5个袋子中放有白球，黑球，其中1号袋中白球占13，另外2，3，4，5号4个袋子中白球都占14，今从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，则这个球是来自1号袋子中的概率为（）A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】A【解析】设事件i A 表示“取到第i 号袋子”(i =1，2，3，4，5)，事件B 表示“取到白球”，则由贝叶斯公式得1115111()()153()11111114()()5354444j j j P A P B A P A B P A P B A =⨯===⎛⎫⨯+⨯+++ ⎪⎝⎭∑，故选：A2．（2023·全国·高二课堂例题）张宇去某地参加会议，他乘汽车或飞机去的概率分别为0.6、0.4．如果他乘汽车或飞机前去，迟到的概率如图所示．结果他迟到了，求张宇乘的是汽车的概率．【答案】917【解析】记事件A 为“张宇乘汽车”，则事件A 为“张宇乘飞机”，事件B 为“张宇迟到”，则()0.6P A =，()0.4P A =，()14P B A =，()13P B A =．根据贝叶斯公式可得()()()()()()()10.69411170.60.443P A P B A P A B P A P B A P A P B A⨯===+⨯+⨯．因此，张宇迟到了，他乘的是汽车的概率为917．3．（2023·湖南）某一地区患有某疾病的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04．现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是患者的概率有多大？（保留小数点后四位）【答案】0.1066【解析】设“抽查的人是患者”为事件A ，“试验反应是阳性”为事件B ，则“抽查的人不是患者”为事件A ，由题意可知()0.005P A =，()()10.995P A P A =-=，()0.95P B A =，()0.04P B A =，则由贝叶斯公式可得()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+0.0050.950.10660.0050.950.9950.04⨯==⨯+⨯，即抽查一个人，试验反应是阳性，此人是患者的概率为0.1066.考法五综合运用【例5-1】（2024·吉林）中国传统文化中，过春节吃饺子，饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅的“饺子”，2盒三鲜馅的“饺子”和5盒青菜馅的“饺子”,乙箱中有3盒肉馅的“饺子”，3个三鲜馅的“饺子”和4个青菜馅的“饺子”.问：(1)从甲箱中取出一盒“饺子”是肉馅的概率是多少？(2)若依次从甲箱中取出两盒“饺子”，求第一盒是肉馅的条件下，第二盒是三鲜馅的概率；(3)若先从甲箱中随机取出一盒“饺子”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒“饺子”，从乙箱取出的“饺子”是肉馅的概率.【答案】(1)310(2)29(3)310【解析】（1）设事件A =“取出饺子是肉馅”，()310P A =，（2）设事件B =“甲箱中取出的第一盒饺子是肉馅”，事件C =“取出第二个盒饺子是三鲜馅”，()()()3221093910P BC P C B P B ⨯===（3）设事件D =“从乙箱取出的“饺子”是肉馅”.设事件1A ，2A ，3A 分别是甲箱中取出肉馅的“饺子”，三鲜馅的“饺子”和青菜馅的“饺子”，()()()()()()()112233P D P A P D A P A P D A P A P D A =++342353310111011101110=⨯+⨯+⨯=【例5-2】（2023·河北保定）某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，小明作为选手参加.除小明外的其他参赛选手中，一、二、三类棋手的人数之比为5：7：8，小明与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.6、0.5、0.4.(1)从参赛选手中随机抽取一位棋手与小明比赛，求小明获胜的概率；(2)如果小明获胜，求与小明比赛的棋手分别为一、二、三类棋手的概率.【答案】(1)0.485(2)3097、3597、3297.【解析】（1）记事件B ：“小明获胜”，记事件i A ：“小明与第()1,2,3i i =类棋手相遇”，由题可得，()150.2520P A ==，()270.3520P A ==，()380.420P A ==，()10.6P B A =，()20.5P B A =，()30.4P B A =（1）由全概率公式可知()()()()()()()112233P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.250.60.350.50.40.40.485=⨯+⨯+⨯=.（2）由条件概率公式可得()()()()()()11110.250.6300.48597P A P B A P A B P A B P B P B ⨯====，()()()()()()22220.350.5350.48597P A P B A P A B P A B P B P B ⨯====，()()()()()()33330.40.4320.48597P A P B A P A B P A B P B P B ⨯====.即小明获胜，对手分别为一、二、三类棋手的概率为3097、3597、3297.【一隅三反】1．（2023下·安徽芜湖·高二统考期末）（多选）一个不透明的袋子里，装有大小相同的3个红球和2个白球，每次从中不放回地取出一球，现取出2个球，则下列说法正确的是（）A ．两个都是红球的概率为625B ．在第一次取到红球的条件下，第二次取到白球的概率为12C ．第二次取到红球的概率为35D ．第二次取到红球的条件下，第一次取到白球的概率为12【答案】BCD【解析】对于A 选项，抽取的两个都是红球的概率为2325C 3C 10=，A 错；对于B 选项，记事件:M 第一次取红球，事件:N 第二次取白球，则()35P M =，()3235410P MN ⨯==⨯，所以，()()()3511032P MN P N M P M ==⨯=，B 对；对于C 选项，记事件:M 第一次取红球，事件:Q 第二次取红球，则()35P M =，()25P M =，()12P Q M =，()34P Q M =，由全概率公式可得()()()()()3123352545P Q P M P Q M P M P Q M =+=⨯+⨯=，C 对；对于D 选项，记事件:M 第一次取红球，事件:Q 第二次取红球，则()()()2335410P MQ P M P Q M ==⨯=，所以，()()()3511032P MQ P M Q P Q ==⨯=，D 对.故选：BCD.2．（2024上·黑龙江·高二校联考期末）（多选）已知编号为1,2,3的三个盒子，其中1号盒子内装有一个1号球，一个2号球和两个3号球；2号盒子内装有一个1号球，两个3号球；3号盒子内装有两个1号球，三个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（）A ．在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到2号球的概率为12B ．第一次抽到3号球且第二次抽到2号球的概率为14C ．第二次抽到2号球的概率为316D ．如果第二次抽到的是2号球，则它来自1号盒子的概率最大【答案】AB【解析】记第一次取得()1,2,3i i =号球为事件i A ，则()()()123111,442P A P A P A ===，在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到2号球的概率为31512P ==+，即A 正确；第一次抽到3号球且第二次抽到2号球的概率为111224P =⨯=，即B 正确；记第二次在第i 号盒子内抽到2号球的事件分别为()1,2,3i B i =，而123,,A A A 两两互斥，和为Ω，且()()()112233111,,442P B A P B A P B A ===∣∣∣，记第二次抽到2号球的事件为B ，则()()()33111111113()4444228i i i i ii i P B P A B P A P B A =====⨯+⨯+⨯=∑∑∣，即C 错误；由于原先2号盒子没有2号球，如果第二次取到的是2号球，则它来自1号盒子的概率为()()()112211111616338P A B P A B P P B ++===，它来自3号盒子的概率()()333124338P A B P P B ===，即如果第二次抽到的是2号球，则它来自3号盒子的概率最大，故D 错误.故选：AB3．（2023下·湖北武汉·高二校联考期末）某中学篮球队根据以往比赛统计：甲球员能够胜任前锋，中锋，后卫三个位置，且出场概率分别为0.1，0.5，0.4.在甲球员出任前锋，中锋，后卫的条件下，篮球队输球的概率依次为0.2，0.2，0.7.(1)当甲球员参加比赛时，求该篮球队某场比赛输球的概率；(2)当甲球员参加比赛时，在该篮球队输了某场比赛的条件下，求甲球员在这一场出任中锋的概率；(3)如果你是教练员，应用概率统计的有关知识该如何使用甲球员？【答案】(1)0.4(2)0.25(3)应该多让甲球员出任前锋来增加赢球场次【解析】（1）设1A 表示“甲球员出任前锋”，2A 表示“甲球员出任中锋”，3A 表示“甲球员出任后卫”，则123A A A Ω= ，设B 表示“球队输掉某场比赛”，则()10.1P A =，()20.5P A =，()30.4P A =，()()120.2P B A P B A ==||，()30.7P B A =|，所以()()()123()P B P A B P A B P A B =++()()()()()()112233P A P B A P A P B A P A P B A =⋅+⋅+⋅|||0.10.20.50.20.40.7=⨯+⨯+⨯0.4=.所以当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛输球的概率是0.4.（2）由（1）知，球队输了某场比赛的条件下，甲球员在这一场出任中锋的概率()()()()22220.50.20.25()()0.4P B A P A P A B P A B P B P B ⨯====||.（3）由（1）知，已知球队输了某场比赛的条件下，甲球员在这场出任前锋的概率()()110.10.20.05()0.4P A B P A B P B ⨯===∣；甲球员在这场出任后卫的概率()()()330.40.70.70.4P A B P A B P B ⨯===∣；由（2）知，甲球员在这一场出任中锋的概率()20.25P A B =|.所以有，()()()123P A B P A B P A B <<∣∣∣，所以应该多让甲球员出任前锋来增加赢球场次.一．单选题1．（2024·北京昌平）已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%.若从这个班级的学生中任意抽取一人、则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为（）A ．22.5%B ．30%C ．40%D ．75%【答案】C【解析】设事件A 为“抽到喜欢文学阅读的学生”，设事件B 为“抽到喜欢科普阅读的学生”，则()0.75P A =，()0.3P AB =，则()()()0.320.755P AB P B A P A ===，即在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为40%.故选：C.2．（2023·广东肇庆）已知()0.5P A =，()0.3P B =，()0.1P B A ⋂=，求()|P B A =（）A ．110B ．13C ．15D ．1【答案】C【解析】由题可得()()()0.110.55|P AB P B A P A ===.故选：C.3．（2023·山东德州）掷一个均匀的骰子．记A 为“掷得点数大于2”，B 为“掷得点数为奇数”，则()P B A 为（）A ．56B ．34C ．23D ．12【答案】D【解析】掷一个均匀的骰子，有1，2，3，4，5，6共6种结果，事件A 包含点数为3,4,5,6，共4种结果，所以()4263P A ==；事件AB 包含点数为3,5共2种结果，所以()2163P AB ==，所以()()()12P AB P B A P A ==．故选：D4．（2023下·辽宁·高二辽宁实验中学校考阶段练习）某货车为某书店运送书籍，共10箱，其中5箱语文书、3箱数学书、2箱英语书．到达目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下的9箱书中随机打开2箱，结果是1箱语文书、1箱数学书，则丢失的一箱是英语书的概率为（）A ．15B ．14C ．13D ．38【答案】B【解析】记事件:A 从剩下的9箱书中随机打开2箱，结果是1箱语文书、1箱数学书，记事件2:B 丢失的一箱是语文书，事件2:B 丢失的一箱是数学书，事件3:B 丢失的一箱是英语书，则()()()3222199914335215312C 10C 5C 3i i i P A P B P A B =⨯⨯⨯==⨯+⨯+⨯=∑，()()()3332915315C 12P AB P B P A B ⨯==⨯=，由贝叶斯公式可得()()()33113124P AB P B A P A ==⨯=.故选：B.5．（2024下·全国·高二随堂练习）袋子中装有大小、形状完全相同的3个白球和2个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第二次摸到的是红球，则第一次摸到红球的概率为（）A ．14B ．16C ．110D ．25【答案】A【解析】记i A 为第i 次摸到的是红球，则()()()12122P A A P A A P A =，又()()()121212115410P A A P A P A A ==⨯=，()()()()()()()212121211212132254545P A P A A P A A P A P A A P A P A A =+=+=⨯+⨯=，所以()1214P A A =，故选：A.6．（2023上·上海·高二上海市第二中学校考阶段练习）下列各式中不能判断事件A 与事件B 独立的是（）A ．()()()P A B P A P B ⋂=B ．()()()()()P A B P A P B P A P B =+- C ．()()1P A B P A +=D ．()()1P A B P A B +=【答案】D【解析】选项A ：因为()()P A B P AB = ,所以()()()P AB P A P B =，由事件相互独立意义可知，事件A 与事件B 独立；故A 正确；选项B ：因为()()()()P A B P A P B P A B =+- ,又()()()()()P A B P A P B P A P B =+- ，所以()()()P A B P A P B ⋂=，由选项A 可知，事件A 与事件B 独立；故B 正确；选项C ：因为()()()()()1P AB P A B P A P A P B +=+=,即()()()()1P ABP A PA PB =-=所以()()()P AB P A P B =,即事件A 与事件B 独立，所以事件A 与事件B 独立，故C 正确；故选：D.7．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期末）下列有关事件的说法正确的是（）A ．事件A ，B 中至少有一个发生的概率一定比A ，B 中恰有一个发生的概率大B ．若()()()1P A B P A P B =+= ，则事件A ，B 为对立事件C ．若A ，B 为互斥事件，则()()1P A P B +≤D ．若事件A ，B ，C 满足条件()0P B >，A 和C 为互斥事件，则()()()()P A C B P A B P C B <+∣∣∣ 【答案】C【解析】对于A 中，若事件A 和B 都为不可能事件，此时两个概率相等，所以A 错误；对于B 中，若在不同试验下，虽然有()()()1P A B P A P B =+= ，但事件A 和B 不对立；若在同一试验下，说明事件A 和B 对立，则B 错误；对于C 中，若A ，B 互斥，且A ，B 对立，则()()1P A P B +=，若A ，B 不对立，则()()1P A P B +<，所以C 正确；对于D 中，若事件A ，B ，C 满足条件()0P B >，A 和C 为互斥事件，则()()()()|||P A C B P A B P C B =+ ，所以D 错误，故选：C.8．（2023下·浙江台州·高二统考期末）已知()P A ，()P B ，()P C ，()P AC ，()P AB ，()P BC 均大于0，则下列说法不正确的是（）A ．()()()P AB P A P B =B ．若()()P B A P B =，则()()P A B P A =C ．若()()P B A P A B =，则()()P A P B =D ．()()()()P ABC P A P C A P B AC =【答案】A【解析】对于A ，若,A B 相互独立，则()()()P AB P A P B =，故A 错误；对于B ，若()()P B A P B =，则()()()P AB P B P A =,即()()()P AB P A P B =，所以()()()()()()()P AB P A P B P A B P A P B P B ===,故B 正确；对于C ，若()()P B A P A B =，则()()()()P AB P AB P A P B =，则()()P A P B =，故C 正确；对于D ，()()()()()()()()()P AC P ABC P A P C A P B AC P A P ABC P A P AC =⋅⋅=，故D 正确.故选:A.二．多选题9．（2023·吉林长春·）盒子中有12个乒乓球，其中8个白球4个黄球，白球中有6个正品2个次品，黄球中有3个正品1个次品．依次不放回取出两个球，记事件=i A “第i 次取球，取到白球”，事件i B =“第i 次取球，取到正品”，1,2i =．则下列结论正确的是（）A ．()1123P A B =B ．()212P B =C ．()2113P A B =D ．()2134P B A =【答案】AD【解析】对A ，()193==124P B ，()1161==122P A B ，所以()()()111112==3P A B P A B P B ,故A 正确；对B ，事件2B =“第2次取球，取到正品”，()2119392212A A A 3A 4P B +==，故B 错误；对C ，事件21A B =“第1次取球，取到正品且第2次取球，取到白球”，包括（正白，正白），（正白，次白），（正黄，正白），（正黄，次白），共有65+62+36+32=66⨯⨯⨯⨯种情况，()21212661=A 2P A B =，故C 错误；对D ，事件12A B =“第1次取球，取到白球且第2次取球，取到正品”，包括（白正，白正），（白正，黄正），（白次，白正），（白次，黄正），共有65+63+26+23=66⨯⨯⨯⨯种情况，()12212661=A 2P A B =，又因为()182==123P A ，()()()122113==4P A B P B A P A ,故D 正确；故选：AD.10．（2024·全国·高二假期作业）口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，对其编号红球1，2，白球3，4，从中不放回的依次取出两个球，事件A =“第一次取出的是红球”，事件B =“第二次取出的是红球”，事件C =“取出的两球同色”，事件D =“取出的两球不同色”，则（）A ．A 与B 互斥B ．C 与D 互为对立事件C ．A 与C 相互独立D ．()13P D B =【答案】BC【解析】基本事件有12，13，14，23，24，34，21，31，41，32，42，43，共12种，事件A =“12，13，14，21，23，24”；事件B =“12，21，31，41，32，42”；事件C =“12，21，34，43”；事件D =“13，14，23，24，31，41，32，42”．∵A B ⋂≠∅，∴A 与B 不是互斥事件，故A 错误；C D =Ω ，C D ⋂=∅，∴C 与D 互为对立事件，故B 正确；事件AC =“12，21”，∴()61122P A ==，()41123P C ==，()21126P AC ==，()()()P AC P A P C =，∴A 与C 相互独立，故C 正确；事件BD =“31，41，32，42”，()12P B =，()41123P BD ==，∴()()()23P BD P D B P B ==，故D 错误．故选：BC.11．（2023下·山东聊城·高二统考期末）若A 、B 分别为随机事件A 、B 的对立事件，()0P A >，()0P B >，则下列结论正确的是（）A ．()()1P B A P B A +=B ．()()()()P A B P B P B A P A=C ．()()()P A B P A B P B +=D ．若()()P A B P A =，则()()P B A P B =【答案】BD【解析】对于A 选项，因为()()()()()()()()()()()1P AB P AB P AB P AB P A P B A P B A P A P A P A P A ++=+===，但()P B A 与()P B A 不一定相等，故()()P B A P B A +不一定等于1，A 错；对于B 选项，因为()()()P A B P B P AB =，()()()P B A P A P AB =，所以，()()()()P A B P B P B A P A =，B 对；对于C 选项，()()()()()()()()1P AB P AB P B P A B P A B P B P B P B +=+==，C 错；对于D 选项，因为()()()()P AB P A B P A P B ==，所以，()()()P AB P A P B =，所以，事件A 、B 独立，故()()()()P AB P B A P B P A ==，D 对.故选：BD.12．（2024·河南）深圳某中学社团招新活动开展得如火如荼，小王、小李、小张三位同学计划篮球社、足球社、羽毛球社三个社团中各自任选一个，每人选择各社团的概率均为13，且每人选择相互独立，则（）A ．三人选择社团一样的概率为19B ．三人选择社团各不相同的概率为227C ．至少有两人选择篮球社的概率为727D ．在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为57【答案】ACD【解析】对于A ，三人选择社团一样的事件是都选篮球社的事件、都选足球社的事件、都选羽毛球社的事件的和，它们互斥，三人选择社团一样的概率为3113(39⨯=，A 正确；对于B ，三人选择社团各不相同的事件，是小王从3个社团中任选1个，小李从余下两个中任选1个，最后1个社团给小张的事件，共6个不同结果，因此三人选择社团各不相同的概率为3126()39⨯=，B 错误；对于C ，至少有两人选择篮球社的事件是恰有2人选篮球社与3人都选篮球社的事件和，其概率为213332117C C ()()3327⨯+=，C 正确；对于D ，令至少有两人选择羽毛球社的事件为A ，由选项C 知，7()27P A =，小王选择羽毛球社的事件为B ，则事件AB 是含小王只有2人择羽毛球社的事件和3人都择羽毛球社的事件和，其概率113322115()C C ((3327P AB =⨯+=，所以在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为()5(|)()7P AB P B A P A ==，D 正确.故选：ACD三．填空题13．（2024上·山东潍坊·高二昌乐二中校考期末）已知某地区内狗的寿命超过15岁的概率是0.6，超过20岁的概率是0.2.那么该地区内，一只寿命超过15岁的狗，寿命能超过20岁的概率是.【答案】13【解析】设A ：狗的寿命超过15岁，B ：狗的寿命超过20岁，则所要求的就是(|)P B A .依题意有2,()0.6()0.P A P B ==.又因为B A ⊆，所以B A B =I ，从而()()0.2P B A P B == ，因此()()()0.21|0.63P B A P B A P A ⋂===.所以一只寿命超过15岁的狗，寿命能超过20岁的概率是13，故答案为：13.14．（2023上·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，对其编号红球1，2，白球3，4，从中不放回的依次取出两个球，事件A =“第一次取出的是红球”，事件B =“第二次取出的是红球”，事件C =“取出的两球同色”，事件D =“取出的两球不同色”，则以下命题所有正确的序号是.①A 与B 互斥②C 与D 互为对立事件③A 与C 相互独立④1(|)3P D B =【答案】②③【解析】依题意，按取球先后次序排列取球编号，得试验的样本空间{12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43}Ω=，事件{12,13,14,21,23,24}A =，事件{12,21,31,32,41,42}B =，事件{12,21,34,43}C =，事件{13,14,23,24,31,41,32,42}D =，显然事件,A B 有公共的基本事件12,21，即,A B 不互斥，①错误；事件,C D 不能同时发生，但必有一个发生，则C 与D 互为对立事件，②正确；6141(),()122123P A P C ====，事件{12,21}AC =，21()()()126P AC P A P C ===，A 与C 相互独立，③正确；61()122P B ==，事件{31,41,32,42}BD =，41()123P BD ==，()2(|)()3P BD P D B P B ==，④错误，所以命题中所有正确的序号是②③.故答案为：②③15．（2024下·全国·高二随堂练习）甲、乙两名游客慕名来到四川旅游，准备分别从九寨沟、峨眉山、海螺沟、都江堰、青城山这5个景点中随机选一个．事件:A 甲和乙选择的景点不同，事件:B 甲和乙恰好有一人。
专题17.1 条件概率与全概率公式(精讲精析篇)(原卷版)
专题17.1 条件概率与全概率公式（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 条件概率1．条件概率定义一般地，当事件B发生的概率大于0时(即P(B)＞0)，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为事件概率表示P(A|B)计算公式P(A|B)＝P(A∩B)P(B)2(1)0≤P(B|A)≤1；(2)P(A|A)＝1；(3)如果B与C互斥，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．【两点说明】1．如果知道事件A发生会影响事件B发生的概率，那么P(B)≠P(B|A)；2．已知A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的基本事件空间计算AB发生的概率，即P(B|A)＝n(AB)n(A)＝n(AB)n(Ω)n(A)n(Ω)＝P(AB)P(A).【典例1】一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A；事件“第二次抽到黑球”为B.(1)分别求事件A，B，A∩B发生的概率；(2)求P(B|A)．【典例2】现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．【典例3】在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．【总结提升】1．用定义法求条件概率P (B |A )的步骤(1)分析题意，弄清概率模型；(2)计算P (A )，P (A ∩B )；(3)代入公式求P (B |A )＝P (A ∩B )P (A ). 2.典例2第(3)问给出了两种求条件概率的方法，法一为定义法，法二利用基本事件个数直接作商，是一种重要的求条件概率的方法．3．计算条件概率的方法(1)在缩小后的样本空间ΩA 中计算事件B 发生的概率，即P (B |A )．(2)在原样本空间Ω中，先计算P (A ∩B )，P (A )，再利用公式P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )计算求得P (B |A )． 4.为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率（如典例3）．利用公式P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B 与C 互斥”．热门考点02 全概率公式1．全概率公式(1)P (B )＝P (A )P (B |A )＋P (A －)P (B |A －)；(2)定理1 若样本空间Ω中的事件A 1，A 2，…，A n 满足：①任意两个事件均互斥，即A i A j ＝∅，i ，j ＝1,2，…，n ，i ≠j ；②A 1＋A 2＋…＋A n ＝Ω；③P (A i )＞0，i ＝1,2，…，n .则对Ω中的任意事件B ，都有B ＝BA 1＋BA 2＋…＋BA n ，且P (B )＝∑ni ＝1P (BA i )＝∑n i ＝1P (A i )P (B |A i ).2．贝叶斯公式(1)一般地，当0＜P (A )＜1且P (B )＞0时，有P (A |B )＝P (A )P (B |A )P (B )＝P (A )P (B |A )P (A )P (B |A )＋P (A －)P (B |A －). (2)定理2 若样本空间Ω中的事件A 1，A 2，…，A n 满足：①任意两个事件均互斥，即A i A j ＝∅，i ，j ＝1,2，…，n ，i ≠j ；②A 1＋A 2＋…＋A n ＝Ω；③1＞P (A i )＞0，i ＝1,2，…，n .则对Ω中的任意概率非零的事件B ，有P (A j |B )＝P (A j )P (B |A j )P (B )＝P (A j )P (B |A j )∑n i ＝1P (A i )P (B |A i ). 【拓展】贝叶斯公式充分体现了P (A |B )，P (A )，P (B )，P (B |A )，P (B |A －)，P (AB )之间的转化．即P (A |B )＝P (AB )P (B )，P (AB )＝P (A |B )P (B )＝P (B |A )P (A )，P (B )＝P (A )P (B |A )＋P (A －)P (B |A －)之间的内在联系． 【典例4】甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．【典例5】一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病．在患有此种疾病的人群中，通过化验有95%的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应．某地区此种病的患者仅占人口的0.5%.若某人化验结果为阳性，问此人确实患有此病的概率是多大？【典例6】假定具有症状S ＝{S 1，S 2，S 3，S 4}的疾病有d 1，d 2，d 3三种，现从20 000份患有疾病d 1，d 2，d 3的病历卡中统计得到下列数字：试问当一个具有S 诊断手段情况下，诊断该病人患有这三种疾病中哪一种较合适？【总结提升】1．以上三例分别代表全概率公式及其应用、贝叶斯公式及其应用及全概率公式与贝叶斯公式的综合应用.2．利用贝叶斯公式求概率的步骤第一步：利用全概率公式计算P (A )，即P (A )＝∑ni ＝1P (B i )P (A |B i )； 第二步：计算P (AB )，可利用P (AB )＝P (B )P (A |B )求解；第三步：代入P (B |A )＝P (AB )P (A )求解．3.贝叶斯公式实质上是条件概率公式P (B i |A )＝P (B i A )P (A )，P (B i A )＝P (B i )·P (A |B i )，全概率公式P (A )＝∑ni ＝1P (B i )P (A |B i )的综合应用．4..若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知，那么：（1）如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；（2）如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率，熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确高效.【提醒】1.全概率公式P (B )＝∑n i ＝1P (A i )P (B |A i )在解题中体现了化整为零的转化化归思想．2．贝叶斯概率公式反映了条件概率P (B |A )＝P (AB )P (A )，全概率公式P (A )＝∑n i ＝1P (B i )P (A |B i )及乘法公式P (AB )＝P (B )P (A |B )之间的关系．即P (B j |A )＝P (B j A )P (A )＝P (B j )P (A |B j )P (A )＝P (B j )P (A |B j )∑n i ＝1P (B i )P (A |B i ). 热门考点03 独立性与条件概率的关系事件的独立性(1)事件A 与B 相互独立的充要条件是P (AB )＝P (A )P (B )．(2)当P (B )＞0时，A 与B 独立的充要条件是P (A |B )＝P (A )．（3）如果P (A )＞0，A 与B 独立，则P (B |A )＝P (B )成立．P (B |A )＝P (AB )P (A )＝P (A )P (B )P (A )＝P (B )． 【典例7】判断下列各对事件是否是相互独立事件．(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生．现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．【典例8】面对某种流感病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A ，B ，C 三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是15，14，13.求： (1)他们都研制出疫苗的概率；(2)他们都失败的概率；(3)他们能够研制出疫苗的概率．【典例9】在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中1个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．【规律方法】1.判断事件是否相互独立的方法（1）定义法：事件A，B相互独立⇔P(A∩B)＝P(A)·P(B)．（2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．（3）条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．2.求相互独立事件同时发生的概率的步骤(1)首先确定各事件之间是相互独立的；(2)确定这些事件可以同时发生；(3)求出每个事件的概率，再求积．3.使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生．4．求复杂事件的概率一般可分三步进行(1)列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；(2)理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件；(3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．5.计算事件同时发生的概率常用直接法，当遇到“至少”“至多”问题可以考虑间接法．巩固提升1．有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2,0.1,0.4，迟到的概率分别为0.25,0.3,0.1,0.则他迟到的概率为( )A．0.65 B．0.075C．0.145 D．02．某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是( )A．0.2 B．0.33C．0.5 D．0.63．抛掷红、黄两枚质地均匀的骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两枚骰子的点数之积大于20的概率是( )A.14B.13C.12D.354．两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为( ) A．0.21 B．0.06C．0.94 D．0.955．已知P (A |B )＝0.6，P (B |A )＝0.3且A ，B 相互独立，则P (AB )等于( )A ．0.18B ．0.9C ．0.3D ．无法求解6．抛掷3枚质地均匀的硬币，A ＝{既有正面向上又有反面向上}，B ＝{至多有一个反面向上}，则A 与B 的关系是( )A ．互斥事件B ．对立事件C ．相互独立事件D ．不相互独立事件7．把一枚硬币投掷两次，事件A ＝{第一次出现正面}，B ＝{第二次出现正面}，则P (B |A )＝________.8．某种元件用满6 000小时未坏的概率是34，用满10 000小时未坏的概率是12，现有一个此种元件，已经用过6 000小时未坏，则它能用到10 000小时的概率为________．9．已知A 与B 相互独立，且P (AB )＝58，P (B )＝34，则P (A －|B )＝________. 10．明天上午李明要参加“青年文明号”活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率为0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．11．袋中有10个黑球，5个白球．现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球．若已知取出的球全是白球，则掷出3点的概率为________．12．某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别有2、6、9、3名．又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛，则该小组在比赛中射中目标的概率为________．13．在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为45和34.在同一时间内，求： (1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率；(2)至少有一个气象台预报准确的概率．14．设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为17，15，14.现从这三个地区任抽取一个人．(1)求此人感染此病的概率；(2)若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率．15．某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，求他在周六晚上或周五晚上值班的概率．16.一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A ＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B ＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A 与B 的独立性：(1)家庭中有两个小孩；(2)家庭中有三个小孩．。
高中概率练习题及讲解讲解
高中概率练习题及讲解讲解一、基础题1. 题目：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出一个球，求是红球的概率。
答案：首先计算总球数为8个，红球数为5个。
根据概率公式 P(A) = 事件发生的次数 / 总的可能次数，红球的概率 P(红球) = 5/8。
2. 题目：掷一枚均匀的硬币两次，求至少出现一次正面的概率。
答案：首先列出所有可能的结果：正正、正反、反正、反反。
其中正正和正反、反正是至少出现一次正面的情况。
根据概率公式，P(至少一次正面) = 3/4。
3. 题目：一个班级有30名学生，随机选取5名学生作为代表，求其中至少有一名男生的概率（假设班级男女比例为1:1）。
答案：首先计算总的选取方式，即从30名学生中选取5名的组合数。
然后计算没有男生的选取方式，即从15名女生中选取5名的组合数。
根据对立事件的概率计算，P(至少一名男生) = 1 - P(没有男生)。
二、进阶题1. 题目：一个工厂每天生产100个零件，其中有5%的次品。
今天工厂生产了200个零件，求至少有10个次品的概率。
答案：首先确定次品数为10、11、...、20。
使用二项分布公式P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中 n=200, p=0.05。
计算总概率P(X ≥ 10) = Σ P(X=k) (k=10 to 20)。
2. 题目：一个盒子里有10个球，编号为1到10。
随机抽取3个球，求抽取的球的编号之和大于15的概率。
答案：列出所有可能的抽取组合，计算和大于15的组合数。
然后根据概率公式计算概率。
3. 题目：一个班级有50名学生，其中男生30名，女生20名。
随机选取5名学生，求选取的学生中恰好有3名男生的概率。
答案：使用组合数计算选取3名男生和2名女生的组合数，然后除以总的选取方式数，即从50名学生中选取5名的组合数。
三、高难题1. 题目：一个连续掷骰子直到出现6点停止，求掷骰子次数的期望值。
专题5.3 概率(精讲精析篇)(原卷版)
专题5.3 概率（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 随机事件间的关系1．事件的概念及分类事件确定事件不可能事件在条件S下，__一定不会发生__的事件，叫做相对于条件S的不可能事件必然事件在条件S下，__一定会发生__的事件，叫做相对于条件S的必然事件随机事件在条件S下，__可能发生也可能不发生__的事件，叫做相对于条件S的随机事件2. 事件的关系与运算名称条件结论符号表示包含关系若A发生，则B一定发生事件B包含事件A(事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B) 相等关系若B⊇A且A⊇B 事件A与事件B相等A＝B并(和)事件A发生或B发生事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B) 交(积)事件A发生且B发生事件A与事件B的交事件A∩B(或AB)▲对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.3.事件间的关系的判断方法(1)判断事件间的关系时，可把所有的试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件间的关系．(2)对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两个事件一定不是对立事件，在确定了两个事件互斥的情况下，就要看这两个事件的和事件是不是必然事件，这是判断两个事件是否为对立事件的基本方法．判断互斥事件、对立事件时，注意事件的发生与否都是对于同一次试验而言的，不能在多次试验中判断．(3)从集合的角度上看：事件A，B对应的基本事件构成了集合A，B，则A，B互斥时，A∩B＝∅；A，B对立时，A∩B＝∅且A∪B＝U(U为全集)．两事件互斥是两事件对立的必要不充分条件．A．至少有1个白球；都是红球B．至少有1个白球；至少有1个红球C．恰好有1个白球；恰好有2个白球D．至少有1个白球；都是白球【典例2】一枚均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A 表示向上的一面出现奇数，事件B表示向上的一面出现的数字不超过3，事件C表示向上的一面出现的数字不小于4，则()A．A与B是互斥而非对立事件B．A与B是对立事件C．B与C是互斥而非对立事件D．B与C是对立事件【典例3】从含有8件正品、2件次品的10件产品中，任意抽取3件，则必然事件是()A．3件都是正品B．至少有1件次品C．3件都是次品D．至少有1件正品【总结提升】1.判断一个事件是随机事件、必然事件还是不可能事件，首先一定要看条件，其次是看在该条件下所研究的事件是一定发生(必然事件)、不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)．2.列举试验的所有可能结果的方法(1)结果是相对于条件而言的，要弄清试验的结果，必须首先明确试验的条件；(2)根据日常生活经验，按照一定的顺序列举所有可能的结果．可应用画树形图、列表等方法，这样才能不重不漏地列举出所有可能结果． 3.判断互斥事件、对立事件的2种方法（1）定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件 （2）集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．②事件A 的对立事件A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集热门考点02 随机事件的频率与概率1.频率在相同的条件S 下重复n 次试验，观察事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的__频数__，称事件A 出现的比例f n (A )＝_n An __为事件A 出现的频率，其取值范围是__[0,1]__.2．概率(1)定义：一般来说，随机事件A 在每次试验中是否发生是不可预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A 发生的频率会逐渐稳定在区间__[0,1]__中某个常数上．这个常数称为事件A 的概率，记为__P (A )__，其取值范围是[0,1]．通常情况下，用概率度量随机事件发生的可能性__大小__.(2)求法：由于事件A 发生的频率随着试验次数的增加稳定于__概率__，因此可以用__频率__来估计概率． (3)说明：任何事件发生的概率都是区间__[0,1]__上的一个确定的数，用来度量该事件发生的可能性．小概率(接近于0)事件不是不发生，而是__很少__发生，大概率(接近于1)事件不是一定发生，而是__经常__发生． 3.概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的．而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值． 4．随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率．5．求解以统计图表为背景的随机事件的频率或概率问题的关键点求解该类问题的关键是由所给频率分布表、频率分布直方图或茎叶图等图表，计算出所求随机事件出现的频数．(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数；(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．【典例5】（2016高考新课标2文）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：≥上年度出险次数0 1 2 3 4 5保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：≥出险次数0 1 2 3 4 5频数60 50 30 30 20 10P A的估计值；（Ⅰ）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求()（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”.P B的估计值；求()（III）求续保人本年度的平均保费估计值.【总结提升】1.随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率．2.随机事件的频率与概率的常见题型及解题策略(1)补全或列出频率分布表．可直接依据已知条件，逐一计数，写出频率． (2)由频率估计概率．可以根据频率与概率的关系，由频率直接估计概率． (3)由频率估计某部分的数值．可由频率估计概率，再由概率估算某部分的数值．热门考点03 互斥事件与对立事件的概率1.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围为__[0,1]__；(2)__必然事件__的概率为1，__不可能事件__的概率为0；(3)概率加法公式为：如果事件A 与B 为互斥事件，则P (A ∪B )＝__P (A )＋P (B )__. 特例：若A 与B 为对立事件，则P (A )＝__1－P (B )__. P (A ∪B )＝__1__，P (A ∩B )＝__0__. 2．事件与集合间的对应关系3.事件的相互独立(1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A 、B 是相互独立事件． (2)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． (3)若()()()p AB P A P B =⋅，则A 与B 相互独立．【典例6】（2018年全国卷Ⅲ文）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7P A P B P C；(1)(),(),()(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．【总结提升】求复杂的互斥事件的概率的方法(1)直接法(2)间接法(正难则反)热门考点04 古典概型1．基本事件(1)定义：在一次试验中，所有可能出现的基本结果中不能再分的最简单的__随机__事件称为该次试验的基本事件，试验中其他的事件(除不可能事件)都可以用__基本事件__来表示．(2)特点：一是任何两个基本事件是__互斥的__；二是任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的__和__.2．古典概型(1)定义：如果一个概率模型满足：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等.那么这样的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (2)计算公式：对于古典概型，任何事件A 的概率为 P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.3.应用古典概型求某事件概率的步骤第一步，判断试验的结果是否有限、是否为等可能事件，设出所求事件A ； 第二步，分别求出基本事件的总数n 与所求事件A 中所包含的基本事件个数m ； 第三步，利用公式()mP A n＝，求出事件A 的概率． 提醒：古典概型中的基本事件都是互斥的．【典例10】（2019年高考全国Ⅱ卷文）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（ ）A ．23 B ．35 C ．25D ．15⑴写出所有的基本事件⑵求参赛学生中恰好有一名男生的概率 ⑶求参赛学生中至少有一名男生的概率 【规律方法】(1)一个试验是否为古典概型，在于是否具有两个特征：有限性和等可能性． (2)并不是所有的试验都是古典概型，下列三类试验都不是古典概型； ①基本事件个数有限，但非等可能． ②基本事件个数无限，但等可能． ③基本事件个数无限，也不等可能． 【易错提醒】确定基本事件空间可以采用“树图法”、“列表法”，要注意确定的基本事件不重不漏.热门考点05 古典概型与统计相结合求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识转化为事件，然后利用古典概型的有关知识解决，其解题流程为：(2)设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率．【典例13】（2018年文北京卷）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率； 组号 分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组[)1525， a0.5第2组 [)2535， 18 x第3组 [)3545，b0.9第4组[)4555，9 0.36第5组[)5565，3y（1）分别求出,,,a b x y 的值；（2）从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2,3,4组每组抽取的人数；（3）在（2）中抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有年龄段在[)3545，的概率（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为,,,,,A B C D E F .享受情况如下表，其中“”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.员工项目 ABCDEF子女教育 ○ ○ × ○ × ○ 继续教育 × × ○ × ○ ○ 大病医疗 × × × ○ × × 住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○ 住房租金 × × ○ × × × 赡养老人○○×××○（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率.y 的分组[0.20,0)-[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)企业数22453147（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01） 附：748.602≈.巩固提升A ．69人B ．84人C ．108人D ．115人A.0.3B.0.6C.0.7D.0.9A ．514B ．314C ．328D ．528A ．()()1P A PB +< B ．()()1P A P B +>C ．()()0P A P B +=D ．()()1P A P B += A ．3对 B ．2对C ．1对D ．0对A ．16B ．16C ．13D ．12A ．“至少有1个白球”和“都是红球”B．“至少有2个白球”和“至多有1个红球”C．“恰有1个白球” 和“恰有2个白球”D．“至多有1个白球”和“都是红球”A．15B．625C．825D．25A.15B.1115C.35D.13第一次第二次第三次第四次第五次甲的成绩(分) 8085719287乙的成绩(分) 9076759282(2)若数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案：方案一：每人从5道备选题中任意抽出1道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰.方案二：每人从5道备选题中任意抽出3道，若至少答对其中2道，则可参加复赛，否则被润汰.（1）求2个人都译出密码的概率；（2）求2个人都译不出密码的概率；（3）求至多1个人都译出密码的概率；（4）求至少1个人都译出密码的概率.(1)至少有1件废品的概率;(2)恰有1件废品的概率.。
概率总结与例题精讲讲解
第三章 概率一：随机事件的概率（1）必然事件:在条件S 下,一定会发生的事件,叫相对于条件S 的必然事件,简称必然事件.（2）不可能事件：在条件S 下,一定不会发生的事件,叫相对于条件S 的不可能事件,简称不可能事件. （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件.（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件S 的随机事件,简称随机事件；确定事件和随机事件统称为事件,用A,B,C,…表示.（5）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验,观察某一事件A 是否出现,称n 次试验中事件A 出现的次数n a 为事件A 出现的频数（frequency ）；称事件A 出现的比例f n (A)=n n A 为事件A 出现的频率;对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A 发生的频率f n (A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P （A ）,称为事件A 的概率.（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率,指此事件发生的次数A n 与试验总次数n 的比值n n A ,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小.我们把这个常数叫做随机事件的概率,概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率.频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率.在实际问题中,通常事件的概率未知,常用频率作为它的估计值.频率本身是随机的,在试验前不能确定.做同样次数的重复实验得到事件的频率会不同.概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次试验无关.比如,一个硬币是质地均匀的,则掷硬币出现正面朝上的概率就是0.5,与做多少次实验无关.例1 为了估计水库中的鱼的尾数,可以使用以下的方法,先从水库中捕出一定数量的鱼,例如2 000尾,给每尾鱼作上记号,不影响其存活,然后放回水库.经过适当的时间,让其和水库中其余的鱼充分混合,再从水库中捕出一定数量的鱼,例如500尾,查看其中有记号的鱼,设有40尾. 试根据上述数据,估计水库内鱼的尾数.分析：学生先思考,然后交流讨论,教师指导,这实际上是概率问题,即2 000尾鱼在水库中占所有鱼的百分比,特别是500尾中带记号的有40尾,就说明捕出一定数量的鱼中带记号的概率为50040,问题可解.解：设水库中鱼的尾数为n,A={带有记号的鱼},则有P(A)=n 2000. ①因P(A)≈50040， ②由①②得500402000 n ,解得n≈25 000.所以估计水库中约有鱼25 000尾.二：概率的意义1、 概率是对随机事件发生的可能性的描述，概率越大随机事件发生的可能性越大，概率越小随机事件发生的可能性就越小。
专题1.2概率精讲精练
2022-2023学年八年级数学下学期复习备考高分秘籍【苏科版】专题1.2概率精讲精练（6大易错题型深度导练）【目标导航】【知识梳理】1.确定事件与随机事件：（1）确定事:事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．（2）随机事件:在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．2.可能性的大小：随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：3.概率的意义：（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率()mP An=，会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p．（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．（3）概率取值范围：0≤p≤1．（4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0．（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．4.利用频率估计概率（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．【典例剖析】【例1】在一个不透明的盒子里装有3个红球和2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件中，不可能事件是（ ）A．摸出的3个球都是红球B．摸出的3个球都是白球C．摸出的3个球中有2个红球1个白球D．摸出的3个球中有2个白球1个红球【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．【解析】A、摸出的3个球都是红球是随机事件，故A错误；B、只有2个白球，摸出的3个球都是白球是不可能事件，故B选项正确；C、摸出的3个球中有2个红球1个白球是随机事件，故C错误；D、摸出的3个球中有2个白球1个红球是随机事件，故D错误；故选：B．【变式训练】1．（2022秋•余姚市期末）下列事件中，属于必然事件的是（ ）A．射击运动员射击一次，命中10环B．有一匹马奔跑的速度是70米/秒C．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下D．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．【解析】解：A．射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，不符合题意；B．有一匹马奔跑的速度是70米/秒，是不可能事件，不符合题意；C．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下，是随机事件，不符合题意；D．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下，是必然事件，符合题意．故选：D．2．（2022秋•杭州期末）下列事件中，属于随机事件的是（ ）A．从地面向上抛的硬币会落下B．射击运动员射击一次，命中10环C．太阳从东边升起D．有一匹马奔跑的速度是70米/秒【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．【解析】解：A、从地面向上抛的硬币会落下，是必然事件，不符合题意；B、射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，符合题意；C、太阳从东边升起，是必然事件，不符合题意；D、有一匹马奔跑的速度是70米/秒，是不可能事件，不符合题意．故选：B．3．（2022秋•沂南县期末）下列事件是必然事件的是（ ）A．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不超过6B．篮球队员在罚球线上投篮一次，投中C．经过红绿灯路口，遇到绿灯D．打开电视机，它正在播广告【分析】利用必然事件的定义直接写出答案即可．【解析】解：A．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不超过6，是必然事件，故此选项符合题意；B．篮球队员在罚球线上投篮一次，投中，是随机事件，故此选项不合题意；C ．经过有信号灯的路口，遇到绿灯，是随机事件，故此选项不合题意；D ．打开电视机，它正在播广告，是随机事件，故此选项不合题意．故选：A ．【例2】一只不透明的袋子中装有10个白球、20个黄球和30个红球，每个球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球，则下列事件：①该球是白球；②该球是黄球；③该球是红球，按发生的可能性大小从小到大依次排序为（只填写序号） ．【分析】先计算概率，然后从小到大排列即可．【解析】∵共有10+20+30＝60（个）球，∴①摸到白球的概率是1060=16，②摸到黄球的概率是2060=26，③摸到红球的概率是3060=36，∴发生的可能性大小从小到大依次排序为①②③，故答案为①②③．【变式训练】4．（2022秋•西湖区校级期末）抛一枚均匀的骰子，下列事件中，发生可能性最大的是（ ）A ．点数是奇数B ．点数是3的倍数C ．点数大于5D ．点数小于5【分析】分别计算各自概率后判断即可．【解析】解：A ．∵奇数有1，3，5共3个，∴点数是奇数的概率为36=12；B ．∵3的倍数的数有3，6，∴点数是3的倍数的概率为26=13；C ．∵点数大于5的数有6共1个，∴点数大于5的概率为16；D ．∵点数小于5的数有1，2，3，4共4个，∴点数小于5的概率为46=23；∵16＜13＜12＜23，∴发生可能性最大的是点数小于5．故选：D ．5．（2022秋•武义县期末）按小王、小李、小马三位同学的顺序从一个不透明的盒子中随机抽取一张标注“主持人”和两张空白的纸条，确定一位同学主持班级“交通安全教育”主题班会．下列说法中正确的是（ ）A．小王的可能性最大B．小李的可能性最大C．小马的可能性最大D．三人的可能性一样大【分析】根据概率公式求出抽到“主持人”的概率，然后进行比较，即可得出答案．【解析】解：∵抽到“主持人”的概率都是1 3，∴三人的可能性一样大．故选：D．6．（2022秋•阜宁县期末）一个可以自由转动的转盘如图所示，小明已经任意转动这个转盘两次，每次转盘停止转动后指针都落在“蓝色”区域内．那么，从概率的角度分析，小明第三次转动这个转盘，转盘停止时（ ）A．转出的结果一定是“蓝色”B．转出的结果为“蓝色”的可能性大于“红色”C．转出的结果为“红色”的可能性大于“蓝色”D．转出的结果为“蓝色”和“红色”的可能性一样大【分析】根据阴影部分面积与转盘总面积之比就是转出的结果为“蓝色”的概率，空白部分面积与转盘总面积之比就是转出的结果为“红色”的概率，进行比较即可．【解析】解：∵转盘停止转动后指针都落在“红色”区域内的概率是120360=13，转盘停止转动后指针都落在“蓝色”区域内的概率是360−120360=23，∴小明第三次转动这个转盘，转盘停止时转出的结果为“蓝色”的可能性大于“红色”；故选：B．【例3】某市农科院通过试验发现蚕豆种子的发芽率为97.1%，在相同条件下请估计1000斤蚕豆种子中不能发芽的大约有 斤．【分析】根据蚕豆种子的发芽率为97.1%，可以估计1000斤蚕豆种子中不能发芽的大约有多少．【解析】由题意可得，1000斤蚕豆种子中不能发芽的大约有：1000×（1﹣97.1%）＝1000×0.029＝29斤，故答案为：29．点评：本题考查用样本估计总体，解题的关键是明确题意，注意求得是不能发芽的种子数．【变式训练】7．（2022秋•永春县期末）下列事件发生的概率为1的是（ ）A．抛一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上B．抛掷一枚质地均匀且六个面分别刻有1到6的点数的正方体骰子，朝上一面的点数为7C．从一个只有红球的袋子里摸出一个球是红球D．射击运动员只射击1次，就命中靶心【分析】根据概率的概念逐一判断即可．【解析】解：A．抛一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上的概率为0.5，不符合题意；B．抛掷一枚质地均匀且六个面分别刻有1到6的点数的正方体骰子，朝上一面的点数为7的概率为0，不符合题意；C．从一个只有红球的袋子里摸出一个球是红球的概率为1，符合题意；D．射击运动员只射击1次，就命中靶心是随机事件，概率小于1，不符合题意；故选：C．8．（2022秋•河西区期末）不透明袋子中装有8个球，其中有3个红球、5个黑球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是（ ）A．18B．38C．58D．34【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解析】解：∵袋子中装有8个小球，其中红球有3个，∴从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是3 8，故选：B．9．（2022秋•丛台区校级期末）如图，一只蚂蚁在地板上自由爬行，并随机停在某块方砖上，那么蚂蚁最终停留在三角形区域上的概率是（ ）A．720B．25C．12D．920【分析】用黑砖的面积除以总面积即可得出答案．【解析】解：由图知，若设方砖的边长为a，则地板的总面积为5a×4a＝20a2，黑砖的面积为20a2−12（3a×3a+2a×4a+a×5a）＝9a2，∴小球最终停留在黑砖上的概率是9a220a2=920，故选：D．【例4】为保证口罩供应，某公司加紧转产，开设多条生产线争分夺秒赶制口罩，口罩送检合格率也不断提升，真正体现了“大国速度”，以下是质监局对一批口罩进行质量抽检的相关数据，统计如表：抽检数量n/个205010020050010002000500010000合格数量m/个194693185459922184045959213口罩合格率mn0.9500.9200.9300.9250.9180.9220.9200.9190.921下列说法中：①当抽检口罩的数量是100个时，口罩合格的数量是93个，所以这批口罩中“口罩合格”的概率是0.930；②随着抽检数量的增加，“口罩合格”的频率总在0.920附近摆动，显示出一定的稳定性，所以可以估计这批口罩“口罩合格”的概率是0.920：③当抽检口罩的数量达到20000个时，“口罩合格”的频率一定是0.921；你认为合理的是 （填序号）【分析】观察表格，利用大量重复试验中频率的稳定值估计概率即可．【解析】观察表格发现：随着试验的次数的增多，口罩合格率的频率逐渐稳定在0.920附近，所以可以估计这批口罩中合格的概率是0.920，故答案为：②．【变式训练】10．（2022秋•宛城区期末）某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘出的某一结果出现的频率分布折线图，则符合这一结果的实验可能是（ ）A ．抛一枚均匀硬币，出现正面朝上B ．掷一个正六面体的骰子，出现2点朝上C ．从一个装有3个红球2个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球D ．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃【分析】根据统计图可知，试验结果在0.4附近波动，即其概率P ≈0.4，计算四个选项的频率，约为0.4者即为正确答案．【解析】解：A 、抛一枚硬币，出现正面朝上的频率是12=0.5，故本选项错误；B 、掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上的频率约为：16≈0.17，故本选项错误；C 、从一个装有3个红球和2个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率是25=0.4，本选项正确；D 、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是1352=0.25，故本选项错误；故选：C ．11．（2022秋•北塔区期末）在一个不透明的口袋中装有红球、白球和黑球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了500次球，发现其中有150次摸到红球，由此可以估计该口袋中红球有（ ）A ．7个B ．6个C ．4个D ．3个【分析】估计利用频率估计概率可估计摸到红球的概率为0.3，然后根据概率公式计算这个口袋中红球的数量．【解析】解：因为共摸了500次球，发现有150次摸到红球，所以估计摸到红球的概率为0.3，所以估计这个口袋中红球的数量为10×0.3＝3（个）．故选：D ．12．（2022秋•城厢区期末）两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ）A ．抛一枚硬币，正面朝上的概率B ．掷一枚正六面体的骰子，出现点数是3的倍数的概率C ．将一副新的扑克牌（54张）洗匀后，随机抽一张，抽出牌上的数字为“3”的概率D ．从装有3个红球和1个蓝球（4个球除颜色外均相同）的不透明口袋中，任取一个球恰好是蓝球的概率【分析】由折线统计图可知，试验结果在0.3附近波动，最后稳定在0.33附近，再分别计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．【解析】解：A 、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为12，故此选项不符合题意；B 、掷一枚正六面体的骰子，出现3的倍数的概率为26=13，故此选项符合题意；C 、将一副新的扑克牌（54张）洗匀后，随机抽一张，抽出牌上的数字为“3”的概率为227，故此选项不符合题意；D 、从装有3个红球和1个蓝球（4个球除颜色外均相同）的不透明口袋中，任取一个球恰好是蓝球的概率为14，故此选项不符合题意．故选：B ．【例5】有一个转盘（如图所示），被分成6个相等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动）．下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色．估计各事件的可能性大小，完成下列问题：（1）可能性最大和最小的事件分别是哪个？（填写序号）（2）将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列： ．【分析】分别求出摸出各种颜色球的概率，即可比较出摸出何种颜色球的可能性大．【解析】∵共3红2黄1绿相等的六部分，∴①指针指向红色的概率为36=12；②指针指向绿色的概率为16；③指针指向黄色的概率为26=13；④指针不指向黄色为46=23，（1）可能性最大的是④，最小的是②；（2）由题意得：②＜③＜①＜④，故答案为：②＜③＜①＜④．【变式训练】13．（2022春•姜堰区校级月考）在不透明的袋子中装有5个红球和8个黑球，每个球除颜色外都相同．（1）从中任意摸出一个球，摸到 黑 球的可能性大；（2）如果另外拿红球和黑球一共7个放入袋中，你认为怎样放才能让摸到红球和摸到黑球的可能性相同，请说明理由 放入5个红球，2个黑球 ．【分析】（1）分别求出摸出各种颜色球的概率，即可比较出摸出何种颜色球的可能性大．（2）另外放入5个球，那么共有16个球，每种颜色的各有8个时，摸到红球和黄球的概率都是1 2．【解析】解：（1）摸到红球的可能性为：558=513；摸到黑球的可能性为8 13．故摸到黑球的概率大．故答案为：黑；（2）放入5个红球，2个黑球．理由如下：∵另外拿红球和黑球一共7个放入袋中，∴共有5+8+7＝20个球，∵摸到红球和摸到黑球的可能性相同，∴黑球和红球的数量相等，∴应放入5个红球，2个黑球．故答案为：放入5个红球，2个黑球．14．（2021秋•密云区期末）一个袋子中有形状大小完全相同的5个红球和3个白球．（1）求从袋子中任意摸出一球恰好是白球的可能性大小．（2）在袋子中再放入n个白球，这些白球与袋子中的小球形状大小完全相同．从中任意摸出一球，恰好是白球的可能性是23．求n的值．【分析】（1）用白球的个数除以所有球的总数即可求得答案；（2）根据题意列出有关n的方程求得答案即可．【解析】解：（1）∵袋子中有形状大小完全相同的5个红球和3个白球，∴从袋子中任意摸出一球恰好是白球的可能性为335=38；（2）根据题意得：3n8n=23，解得：n＝7，经检验得n＝7是原方程的解，所以n的值为7．15．（2022春•余江区期末）口袋里有除颜色外其它都相同的6个红球和4个白球．（1）先从袋子里取出m（m≥1）个白球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A、如果事件A是随机事件，则m＝ 1或2或3 ；（2）先从袋子中取出m个白球，再放入m个一样的红球并摇匀，摸出一个球是红球的可能性大小是4 5，求m的值．【分析】（1）根据随机事件的定义和可能性的大小即可得出答案；（2）根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案．【解析】解：（1）如果事件A是随机事件，m＝1或2或3；故答案为：1或2或3；（2）根据题意得：m6 10=4 5，解得m＝2，则m的值是2．【例6】某市林业局要移植一种树苗．对附近地区去年这种树苗移植成活的情况进行调查统计，并绘制了如图折线统计图：（1）这种树苗成活概率的估计值为 0.9 ．（2）若移植这种树苗6000棵，估计可以成活 5400 棵．（3）若计划成活9000棵这种树苗，则需移植这种树苗大约多少棵？【分析】（1）根据频率估计概率，从折线统计图中的发展趋势，随着实验次数的增加，频率越稳定在0.9附近波动，因此概率为0.9．（2）根据成活率的意义，计算6000棵的90%即可；（3）根据成活棵数÷成活率＝总棵数即可．【解析】（1）从折线统计图中的发展趋势，随着实验次数的增加，频率越稳定在0.9附近波动，根据频率估计概率，这种树苗成活概率约为0.9，故答案为：0.9；（2）6000×0.9＝5400（棵），故答案为：5400；（3）9 000÷0.9＝10000（棵），答：需移植这种树苗大约10000棵．【变式训练】16．（2022秋•南昌县期末）一个不透明的口袋中装有7个红球，9个黄球，2个白球，这些球除颜色外其他均相同，从中任意摸出一个球．（1）摸到的球是红球的概率是 718 ；摸到黄球的概率为 12 ；摸到白球的概率为 19 ．（2）如果要使摸到白球的概率为15，需要在这个口袋中再放入多少个白球？【分析】（1）利用概率公式，代入数值求即可．（2）设再放入x个白球，然后代入概率公式列方程，解方程即可．【解析】解：（1）红球的概率：P=红球的个数总个数=7792=718，黄球的概率：P=黄球的个数总个数=9792=12，白球的概率：P=白球的个数总个数=2792=19，故答案为：718，12，19；（2）设需要在这个口袋中再放入x个白球，得2x18x=15，解得x＝2，经检验，x＝2是原分式方程的根，答：需要在这个口袋中再放入2个白球．17．（2022秋•海口期末）一个不透明的盒子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外其余都相同．你同意下列说法吗？请说明理由．（1）搅匀后从中任意摸出一个球，不是白球就是红球，因此摸出白球和摸出红球这两个事件是等可能的．（2）如果将摸出的第一个球放回搅匀再摸出第二个球，两次摸球就可能出现3种结果，即“都是红球”、“都是白球”、“一红一白”．这三个事件发生的概率相等．【分析】（1）根据概率公式求出摸到白球与红球的概率，从而得出答案；（2）画树状图得出所有等可能结果，求出“都是红球”、“都是白球”、“一红一白”的概率，从而得出答案．【解析】解：（1）不同意，理由如下：因为摸出白球的概率是23，摸出红球的概率是13，所以摸出白球和摸出红球不是等可能的．（2）不同意．所有等可能的结果，用树状图分析如下：由图可知共有9种等可能的结果，P（两红）=19，P（两白）=49，P（一红一白）=49．18．（2022春•七里河区校级期中）“六一”儿童节间，某商厦为了吸引顾客，设立了一个以白由转动的转盘（转盘被平均分成16份，其中部分涂上颜色），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准哪个区域，顾客就可以获得相应的奖品．颜色奖品红色玩具熊黄色童话书绿色彩笔小明和妈妈购买了125元的商品，请你分析计算：（1）小明获得奖品的概率是多少？（2）小明获得童话书的概率是多少？【分析】（1）看有颜色部分的面积占总面积的多少即为所求的概率．（2）看黄色部分的面积占总面积的多少即为所求的概率．【解析】解：（1）∵转盘被平均分成16份，其中有颜色部分占6份，∴小明获得奖品的概率=616=38．（2）∵转盘被平均分成16份，其中黄色部分占2份，∴小明获得童话书的概率=216=18．。
7.1 条件概率及全概率(精讲)(解析版)--人教版高中数学精讲精练选择性必修三
18 4
5 8
．故选：D．
9
【例 1-2】（2022 春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次
击中 9 环的概率为 0.6，在第一次击中 9 环的条件下，第二次也击中 9 环的概率为 0.8.那么她两次均击中 9
环的概率为（ ）
A．0.24
B．0.36
C．0.48
D．0.75
【答案】C
【解析】设某射击运动员“第一次击中 9 环”为事件 A，“第二次击中 9 环”事件 B，
则由题意得 P A 0.6 ， P B | A 0.8 ，所以她两次均击中 9 环的概率为
P AB P A P B | A 0.6 0.8 0.48 ．故选：C．
【一隅三反】 1．（2022 甘肃天水·高二天水市第一中学校考阶段练习）如图所示，半径为 1 的圆 O 是正方形 MNPQ 的内切
比赛不输球的概率为（ ）
A．0.32
B．0.68
C．0.58
D．0.64
【答案】C
【解析】设事件 A1 表示“乙球员担当前锋”，事件 A2 表示“乙球员担当中锋”，事件 A3 表示“乙球员担当后卫”， 事件 B 表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”．
则 P B P A1 P B | A1 P A2 P B | A2 P A3 P B | A3 0.2 0.4 0.5 0.2 0.3 0.8 0.42 ，
时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是 1 ，连续两次遇到红灯的概率是 1 ，则在第一
2
6
个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为（ ）
A．
2 3
【答案】C
概率论常考题精讲
概率论常考题精讲概率论作为数学的一门重要分支，应用广泛，不仅在学术研究中有着重要地位，而且在实际生活和工作中也有着广泛的应用。
在高等教育阶段，概率论是必修课程之一，常常作为考试的重要内容。
本文将为大家精讲几道常见的概率论考题，希望能够帮助大家更好地掌握和应用概率论知识。
1. 硬币抛掷问题硬币抛掷问题是概率论中的经典题目之一。
假设有一枚均匀的硬币，抛掷10次，问出现正面朝上的次数是7次的概率是多少？解析：对于一次抛掷硬币的结果，正面朝上的概率为0.5，反面朝上的概率也为0.5。
由于每次抛掷是独立的，所以事件的概率可以相乘。
根据二项分布的公式，我们可以计算出概率：P(出现7次正面朝上) = C(10, 7) * (0.5)^7 * (0.5)^3其中，C(10, 7)表示从10次抛掷中选取7次出现正面朝上的组合数，计算得到C(10, 7) = 120。
代入计算得：P(出现7次正面朝上) = 120 * (0.5)^7 * (0.5)^3 = 0.117所以，出现7次正面朝上的概率是0.117。
2. 生日悖论生日悖论是概率论中的另一个经典问题。
假设在一个班级里有30个学生，问至少有两个学生生日相同的概率是多少？解析：假设一年有365天，忽略闰年的影响，并且每个人的生日独立且均匀分布在这365天中。
我们可以利用概率的补集来计算至少有两个学生生日相同的概率。
首先，计算所有学生生日都不相同的概率。
第一个学生的生日可以是任意一天，概率为1。
而第二个学生的生日不能与第一个学生相同，所以概率为364/365，以此类推，第30个学生的生日不能与前面29个学生相同，概率为336/365。
所有学生生日都不相同的概率为：P(所有学生生日都不相同) = (365/365) * (364/365) * ... * (336/365) ≈ 0.293所以至少有两个学生生日相同的概率为：P(至少有两个学生生日相同) = 1 - P(所有学生生日都不相同) ≈ 1 - 0.293 = 0.707所以，至少有两个学生生日相同的概率约为0.707。
部编数学九年级上册25概率(7大题型)2023考点题型精讲(解析版)含答案
25 概率必然事件、不可能事件和随机事件（1）必然事件在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件．（2）不可能事件在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件．（3）随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.注意：1.必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事件”；2.要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.题型1：必然事件、不可能事件和随机事件1.“对于二次函数y=(x−1)2+1，当x≥1时，y随x的增大而增大”，这一事件为（ ）A．必然事件B．随机事件C．不确定事件D．不可能事件【答案】A【解析】【解答】解：由题意知，该二次函数的图象在对称轴直线x=1的右侧，y随x的增大而增大；∴为必然事件故答案为：A.【分析】根据二次函数的性质，当a＞0时，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，由题意可知，a=1，对称轴直线x=1，故“当x≥1时，y随x的增大而增大”为必然事件.【变式1-1】下列事件中，属于不可能事件的是（ ）A．射击运动员射击一次，命中靶心B．从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球C．班里的两名同学，他们的生日是同一天D．经过红绿灯路口，遇到绿灯【答案】B【解析】【解答】解：A、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件；故A不符合题意；B、从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球，是不可能事件，故B符合题意；C、班里的两名同学，他们的生日是同一天，是随机事件；故C不符合题意；D、经过红绿灯路口，遇到绿灯，是随机事件，故D不符合题意；故答案为：B．【分析】随机事件是在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；必然事件是在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是在一定条件下，一定不发生的事件；据此判断即可.【变式1-2】事件①：任意画一个多边形，其外角和为360°；事件②：经过一个有交通信号灯的十字路口，遇到红灯；则下列说法正确的是（ ）A．事件①和②都是随机事件B．事件①是随机事件，事件②是必然事件C．事件①和②都是必然事件D．事件①是必然事件，事件②是随机事件【答案】D【解析】【解答】解：事件①：任意画一个多边形，其外角和为360°，这是必然事件；事件②：经过一个有交通信号灯的十字路口，可能遇见红灯、绿灯或黄灯，所以遇到红灯，这是随机事件；故答案为：D.【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定不会发生的事件就是不可能事件；在一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件；从而根据多边形外角和均为360°可判断①；经过一个有交通信号灯的十字路口，可能遇到红灯、黄灯、绿灯，据此判断②.概率的意义概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件A的概率，记为.注意：(1)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；(2)概率反映了随机事件发生的可能性的大小；(3) 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0<P(随机事件)<1.题型2：概率公式及计算2.不透明袋中装有3个红球和5个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋中随机摸出1个球是红球的概率为（ ）A．38B．35C．58D．12【答案】A【解析】【解答】解：袋中装有3个红球和5个绿球共8个球，从袋中随机摸出1个球是红球的概率为3 8 .故答案为：A.【分析】利用红球的个数除以球的总数即可得到摸出1个球是红球的概率.【变式2-1】从-2，0，2，3中随机选一个数，是不等式2x−3≥1的解的概率为（ ）A．13B．14C．12D．23【答案】C【解析】【解答】解：解2x−3≥1得：x≥2，所以满足不等式的数有2和3两个，所以从-2，0，2，3中随机选一个数，是2x−3≥1的解的概率为：24=12，故答案为：C．【分析】先求出满足不等式的数有2和3两个，再求概率即可。
公务员行测考试概率题示例(精选3篇)
公务员行测考试概率题示例(精选3篇)公务员行测考试概率题示例精选篇1例题精讲例1.某单位的会议室有5排共40个座位，每排座位数相同。
小张和小王随机入座，则他们坐在同一排的概率为多少?A.高于20%B.正好为20%C.低于15%D.高于15%但低于20%【答案】D。
解析：本题研究张、王二人随机入座的位置关系，求两人处于特定位置(同一排)的概率问题，可以使用定位法。
假设固定小张的位置为第一排最左侧的座位，我们只用研究此时小王的就座情况即可，如果没有任何限制，小王可以从剩余39个空座位随机选1个入座，共39种情况;而小王只有从第一排剩余7个座位随机选1个入座，才能够满足和小张同一排的要求，此时共7种情况。
故所求概率为7/39=17.9%，在15%-20%之间，本题选择D。
例2.某单位工会组织乒乓球双打比赛，甲、乙、丙、丁、戊、己6人报名，随机组成3队，每队2人。
那么，甲和乙恰好被分到同一组的概率是多少?A.1/3B.1/5C.1/6D.1/15【答案】B。
解析：本题研究6人平均分组的问题，求甲、乙两人处于特定位置(同一组)的概率，可以使用定位法。
假设先确定小王为第一组的成员，再研究小李的情况。
如果没有任何限制条件，第一组的另一位成员可以是乙、丙、丁、戊、己任一位，共5种可能，只有当第一组的另一位成员为乙时，才满足甲乙同组的要求，只有1种可能，故所求概率为1/5，本题选择B。
例3.某学校举行新生篝火晚会，100名学生随机围坐在篝火四周。
其中，小张与小李是同桌，他俩坐在一起的概率为多少?A.2/97B.2/98C.2/99D.2/100【答案】C。
解析：本题求解小张和小李坐在一起的概率，可以先固定其中一个人的位置，比方说小张先坐下，篝火四周还有99个空位置可供小李选择，但只有小李坐在小张左手边位置或右手边位置的时候两人才相邻，所以小张和小李坐一起的概率为2/99，本题选择C。
通过上面三道题目的示范，相信各位考生对于定位法求解概率问题的思路有了更进一步的认识，后期大家在备考的过程中，碰到类似的题目，可以直接用这个方法巧解，从而提高自己的做题速度。
概率论与数理统计习题精讲中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
概率论与数理统计习题精讲中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.若随机变量X和Y的相关系数不等于0，则X和Y肯定不独立.参考答案:正确2.设【图片】是来自正态总体【图片】的简单随机样本，其样本均值为【图片】，则【图片】参考答案:正确3.将一枚骰子重复掷n次，则当【图片】，n次掷出点数的算术平均值依概率收敛于7/2.参考答案:正确4.在大数定律中有1.切比雪夫大数定律，2.伯努利大数定律，3.辛钦大数定律，可以由（）参考答案:1或3都能推出25.若X和Y服从二维正态分布，则他们不相关和独立是等价的.参考答案:正确6.设二维随机变量（X，Y）在区域Ｄ:0参考答案:错误7.设随机变量X服从标准正态分布N(0,1)，则【图片】参考答案:错误8.所随机变量X的分布律为【图片】,则EX=（）参考答案:不存在9.对于任意两个随机变量X和Y，若D(X+Y)=DX+DY，则（）参考答案:E(XY)=EXEY10.设随机变量【图片】和【图片】互相独立，且【图片】，则【图片】的分布函数（）参考答案:是连续函数11.已知【图片】在区域【图片】上服从均匀分布，则【图片】( )参考答案:与无关，是个定值12.若随机变量可以取值为一个区间内的任何一个值，则该随机变量一定为连续型随机变量.参考答案:错误13.设随机变量X的密度函数为【图片】，则常数A的值为【图片】.参考答案:正确14.设随机变量X服从参数为l的指数分布，则随机变量Y=max(X,1)的分布函数的间断点的个数为（）参考答案:115.若【图片】,则必有【图片】.参考答案:错误16.任何不含未知参数的样本的函数都是统计量参考答案:正确17.已知连续型随机变量X与-X具有相同的概率密度，记X的分布函数为F(x)，则F(x)+ F(-x)=1.参考答案:正确18.将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（）参考答案:-1。
概率大题练习题及讲解高中
概率大题练习题及讲解高中概率论是高中数学中的一个重要分支，它涉及到随机事件及其发生的可能性。
以下是一些概率大题的练习题及简要讲解，供高中生参考和练习。
练习题1：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机从袋子中取出一个球，观察其颜色。
求取出红球的概率。
解答：总共有8个球，其中5个是红球。
取出红球的概率为红球数除以总球数，即：\[ P(\text{红球}) = \frac{5}{8} \]练习题2：一个班级有50名学生，其中30名男生和20名女生。
现在随机抽取3名学生，求至少有1名女生的概率。
解答：首先计算没有女生的概率，即抽取的3名学生都是男生的概率。
从30名男生中抽取3名，总共有\[ C_{30}^{3} \]种组合，而从50名学生中抽取3名，总共有\[ C_{50}^{3} \]种组合。
因此，没有女生的概率为：\[ P(\text{无女生}) = \frac{C_{30}^{3}}{C_{50}^{3}} \]至少有1名女生的概率为1减去没有女生的概率：\[ P(\text{至少1名女生}) = 1 - P(\text{无女生}) \]练习题3：一个工厂生产的零件中，有2%是次品。
现在随机抽取10个零件进行检查，求至少有1个次品的概率。
解答：这是一个二项分布问题。
次品的概率为0.02，非次品的概率为0.98。
使用二项分布公式计算至少有1个次品的概率：\[ P(\text{至少1个次品}) = 1 - P(\text{0个次品}) - P(\text{1个次品}) \]其中，\( P(\text{0个次品}) \)和\( P(\text{1个次品}) \)分别使用二项分布公式计算。
练习题4：一个骰子有6个面，每个面上的数字是1到6。
投掷骰子两次，求两次投掷结果之和为7的概率。
解答：两次投掷结果之和为7的情况有(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)六种。
每次投掷有6种可能，所以总共有\[ 6 \times 6 \]种可能的组合。
高中数学选择性必修三 精讲精炼 7 1 条件概率及全概率(精讲)(含答案)
7.1 条件概率及全概率(精讲)考点一条件概率公式【例1】(2021·黑龙江·哈尔滨市第六中学校)甲､乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为13，乙命中目标的概率为12，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为( )A．14B．13C．12D．23【答案】C【解析】设事件:A目标至少被命中1次，事件:B甲命中目标．则1111112 ()(1)(1)3232323P A=⨯+-⨯+⨯-=，11111()(1)32323P AB=⨯+⨯-=，所以113(|)223P B A==．故选：C．【一隅三反】1．(2021·全国·高二课时练习)下面几种概率是条件概率的是( )A．甲､乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，各投篮一次都投中的概率B．甲､乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率C．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是25，小明在一次上学途中遇到红灯的概率【答案】B【解析】由条件概率的定义：某一事件已发生的情况下，另一事件发生的概率. A：甲乙各投篮一次投中的概率，不是条件概率；B：甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率，是条件概率；C：抽2件产品恰好抽到一件次品，不是条件概率；D：一次上学途中遇到红灯的概率，不是条件概率..故选：B2．(2021·四川成都 )若随机事件A，B满足1()3P A=，1()2P B=，3()4P A B+=，则()P A B=( )A．29B．23C．14D．16【答案】D【解析】由题可知：()()()()P A B P A P B P AB +=+- 所以()()()1131()32412P AB P A P B P A B =+-+=+-=所以()()1()6P AB P A B P B ==故选：D 3．(2021·河南平顶山 )从某高中2021名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样方法从2021名学生中剔除21名，再从余下的2000名学生中随机抽取50名.则其中学生丙被选取和被剔除的概率分别是( ) A ．140，212021B ．502021，212021C ．140，212000 D ．212000，502021【答案】B【解析】由已知丙被剔除的概率是1212021P =， 那么丙不被剔除的概率是2212000120212021P =-=， 只有在丙不被剔除的情况下，丙才可能被抽取，因此概率为50200050200020212021P =⨯=． 故选：B ．4(2021·全国·高二课时练习)7名同学从左向右站成一排，已知甲站在中间，则乙站在最右端的概率是( ) A ．14B ．15C ．16D ．17【答案】C【解析】记“甲站在中间”为事件A ，“乙站在最右端”为事件B ，则()6677A A P A =，()5577A A P AB =，所以()()()55776677A A 1|A 6A P AB P B A P A ===，故选：C. 考点二 全概率公式【例2】(2021·全国·高二课时练习)一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为13，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是( )A ．13B ．23C ．34D ．14【答案】B【解析】设A 表示“考生答对”，B 表示“考生知道正确答案”， 由全概率公式得()()()()()121113342P A P B P A B P B P A B =+=⨯+⨯=.又由贝叶斯公式得()()()()1123132P B P A B P B A P A ⨯===.故选：B 【一隅三反】1．(2021·全国·高二课前预习)设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两份，则先取到的一份为女生表的概率为( ) A ．310B ．21100C ．730D ．2990【答案】D【详解】设A ＝“先取到的是女生表”，B i ＝“取到第i 个地区的表”，i ＝1,2,3， ∴P (A )＝(B i )P (A |B i )＝×＋×＋×＝.2．(2021·全国·高二)播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子.用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1,0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为( ) A ．0.8 B ．0.532C ．0.482 5D ．0.312 5【答案】C【解析】设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件是A 1，A 2，A 3，A 4，则Ω＝A 1∪A 2∪A 3∪A 4，且A 1，A 2，A 3，A 4两两互斥，设B ＝“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒”，则P (B )＝(A i )·P (B |A i )＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05＝0.482 5.3．(2021·全国·高二课时练习)有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%.又知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，则从这批产品中任取一件是次品的概率是( ) A ．0.013B ．0.04C ．0.002D ．0.003【解析】设事件A 为“任取一件为次品”，事件B i 为“任取一件为i 厂的产品”，i ＝1，2，3， 则Ω＝B 1∪B 2∪B 3，且B 1，B 2，B 3两两互斥，易知P (B 1)＝0.3，P (B 2)＝0.5，P (B 3)＝0.2，P (A |B 1)＝0.02，P (A |B 2)＝0.01，P (A |B 3)＝0.01. ∴P (A )＝P (A |B 1)P (B 1)＋P (A |B 2)P (B 2)＋P (A |B 3)·P (B 3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013. 故选：A4．(2021·全国·高二课时练习)两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02，加工出来的零件放在一起，现已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，则任意取出一个零件是合格品的概率是( ) A ．275B ．7300C ．7375D ．9731000【答案】C【解析】设=i A “任意取出一个零件是第i 台机床生产的”，1,2i =；B =“任意取出一个零件是合格品”， ()()()()()21212927310.0310.023330075i i i P B P A P B A =∴==⨯-+⨯-==∑.故选：C. 考点三 叶贝斯公式【例3】(2021·全国·高二课时练习)8支步枪中有5支已校准过，3支未校准．一名射手用校准过的枪射击时， 中靶的概率为 0.8； 用未校准的枪射击时， 中靶的概率为0.3．现从8支枪中任取一支用于射击， 结果中靶，则所用的枪是校准过的概率为________． 【答案】4049【解析】设B 1＝{使用的枪校准过}， B 2＝{使用的枪未校准}， A ＝{射击时中靶}，则P (B 1)＝58，P (B 2)＝38，P (A |B 1)＝0.8，P (A |B 2)＝0.3．由贝叶斯公式， 得111112250.8()()408()53()()()()490.80.388P A B P B P B A P A B P B P A B P B ⨯===+⨯+⨯． 所以， 所用的枪是校准过的概率为4049，故答案为：4049【一隅三反】1．(2021·福建·莆田第二十四中学高二月考)设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2:1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01.今有一辆汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率为________． 【答案】0.80【解析】设“中途停车修理”为事件B ， “经过的是货车”为事件1A ， “经过的是客车” 为事件2A ，则12B A B A B =+，12()3P A =，21()3P A =，1(|)0.02P B A =，2(|)0.01P B A =，由贝叶斯公式有1111122()(|)(|)()(|)()(|)P A P B A P A B P A P B A P A P B A +=20.023210.020.0133⨯=⨯+⨯0.80=. 故答案为：0.802(2021·全国·高二单元测试)通信渠道中可传输的字符为AAAA ，BBBB ，CCCC 三者之一，传输三者的概率分别为0.3，0.4，0.3.由于通道噪声的干扰，正确地收到被传输字符的概率为0.6，收到其他字符的概率为0.2，假定字符前后是否被歪曲互不影响．若收到的字符为ABCA ，则传输的字符是AAAA 的概率为________． 【答案】0.5625【解析】以B 表示事件“收到的字符是ABCA ”，1A 表示事件“传输的字符为AAAA ”，2A 表示事件“传输的字符为BBBB ”，3A 表示事件“传输的字符为CCCC ”，根据题意有：()10.3P A =，()20.4P A =，()30.3P A =，()10.60.20.20.60.0144P B A =⨯⨯⨯=，()20.20.60.20.20.0048P B A =⨯⨯⨯=，()30.20.20.60.20.0048P B A =⨯⨯⨯=；根据贝叶斯公式可得： ()()()()()111310.01440.30.56250.01440.30.00480.40.00480.3iii P B A P A P A B P B A P A =⨯===⨯+⨯+⨯∑. 故答案为：0.5625.3(2021·全国·高二课时练习)计算机中心有三台打字机A ，B ，C ，某打字员使用各台打字机打字的概率依次为0.6，0.3，0.1，打字机发生故障的概率依次为0.01，0.05，0.04.已知该打字员因打字机发生故障而耽误了工作进度，求该打字员使用A ，B ，C 打字的概率分别为多少. 【答案】0.24；0.6；0.16【解析】设“该打字员因打字机发生故障而耽误了工作进度”为事件M ， “该打字员用A 打字”为事件1N ，“该打字员用B 打字”为事件2N ， “该打字员用C 打字”为事件3N ， 则根据全概率公式有()()()130.60.010.30.050.10.040.025i i i P M P N P M N ===⨯+⨯+⨯=∑，根据贝叶斯公式，可得该打字员使用A ，B ，C 打字的概率分别为：()()()()1110.60.010.240.025P N P M N P N M P M ⨯===，()()()()2220.30.050.60.025P N P M N P N M P M ⨯===，()()()()3330.10.040.160.025P N P M N P N M P M ⨯===.4．(2021·全国·高二课时练习)在数字通讯中，信号是由数字0和1的长序列组成的，由于随机干扰，发送的信号0或1各有可能错误接收为1或0．现假设发送信号为0和1的概率均为12；又已知发送信号为0时，接收为0和1的概率分别为0.7和0.3，发送信号为1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1．求已知收到信号0时，发出的信号是0(即没有错误接收)的概率． 【答案】0.875【解析】设事件0A =“发送信号为0”，事件1A =“发送信号为1”，事件0B =“收到信号为0”，事件1B =“收到信号为1”．因为收到信号为0时，除来自发送信号为0外，还有发送信号为1时，由于干扰接收的信号0，因此导致事件0B 发生的原因有事件0A 与1A ，且它们互不相容，故0A 与1A 构成一完备事件组． 由题意有()()0112P A P A ==，()000.7P B A =，()010.1P B A =， 故()()()()()0000101110.70.10.422P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=．由贝叶斯公式得收到信号0时，发出的信号是0的概率为()()()()0000000.875P A P B A P A B P B ==．。
“统计与概率”例题精讲
Ｂ ． 乙 的射 击 成绩 较 稳 定 Ｄ ．甲 、 乙 的射 击 成 绩无 法 比较
【 辨析 】 相 同点 ： 都是为 了描述一组 数据 的离散程度． 不同点 ： 极差是一组数据中的最大
值 与 最 小 值， 因有 多个 “ 差的平方” ， 所 以要 求 平 均 数 ， 概
／ ＼
红
／ ＼
黑
白１白２ 红 黑 白１白２ 红 黑 白１ 自２ 红 黑 白１白２ 红 黑
白ｌ 白２ 红
图如 下 ：
分析 结果 的扇 形统 计 图
６ Ｏ ５ ０ ４ ０
３ ０ ２ Ｏ ｌ ０
０
分 析结 果 的条形 统计 图
人数
图①
Ｏ
根 据上 述 信 息完 成 下 列 问题 ：
（ １ ）求 这 次 抽 取 的样 本 的 容量 ；
（ ２ ） 请在 图② 中把条形统计图补充完整 ；
Ｄ 级为 １ ２ ０ — ２ ４ — ４ ８ — ３ ６ ＝ １ ２ （ 人） ， 则可把图② 中条形统计图补充完整． 由Ａ、 Ｂ 两级所 占的比例
（ ２ ４ ＋ ４ ８ ） ＋ １ ２ ０ ＝ ６ ０ ％， 可 知７ ５ ０ 份 的 参赛 作 品 中Ｂ 级 以上 的 作 品 为７ ５ ０ ｘ ６ ０ ％＝ ４ ５ ０ （ 人） ． 该题在 中 考 中还 经 常 出现 像 求Ｄ 级（ 图① 中 ） 所 占的 圆 心角 一 类 的 问题 ， 要 学会 分 析 和 转 化 ．
概率论例题讲解
2
y3 3
1
(y3)
当
(x)在区间[0，1]上的均匀分布时，
(
x)
1 0
0 x 1 否则
2
3的密度函数
( y)
y3 3
1
0
1
0 y3 1
否则
2
y 3
3
0
0 y 1 否则
七、(4 5) 求出服从在B上均匀分布的随机变量(X ,Y )的分布 密度及分布函数，其中B为x轴、y轴及直线y 2x 1所围 成的三角形区域。
（i=1,2,3,4,5） (3)* 若将（2）中的这个硬币再抛掷1次，又出现字面。
解：设A "任取一个硬币抛掷出现字面"事件； Bi "被选出的是第i个硬币"事件 i=1,2,3,4,5
B1 B2 B3 B4 B5 P(Bi ) 1/ 5 i=1,2,3,4,5 P( A | Bi ) pi i=1,2,3,4,5 (1) 任取一个硬币抛掷出现字面的概率=P( A)
0
1
分布函数：F
(
x)
6 2
3
1
x 1 1 x 2
2 x3 x3
五、(3 23) 设电子管的寿命具有密度的函数
100
(x)
x2
x 100
(单位：h)
0 x 100
问：在150h内：
(1)三只管子没一只损坏的概率是多少？
(2)三只管子全损坏的概率是多少？
解：设A "任抽取1只管子，该管子在150h内会损坏"
P(Ci ) P(Bi | A) i 1, 2,3, 4,5
5
5
P(D) P(Ci )P(D | Ci ) P(Bi | A)P( A | Bi )
10.1 随机事件与概率(精讲)(解析版)
10.1 随机事件与概率（精讲）考法一 有限样本空间与随机事件【例1-1】（2021·全国高一）给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件； ②“当x 为某一实数时，可使x 2≤0”是不可能事件； ③“明天天津市要下雨”是必然事件；④“从100个灯泡(含有10个次品)中取出5个，5个全是次品”是随机事件． 其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【解析】对于①，三个球全部放入两个盒子，有两种情况：1+2和3+0，故必有一个盒子有一个以上的球，所以该事件是必然事件，①正确；对于②，x =0时x 2=0，所以该事件不是不可能事件，②错误；对于③，“明天天津市要下雨”是偶然事件，所以该事件是随机事件，③错误；对于④，“从100个灯泡(含有10个次品)中取出5个，5个全是次品”，发生与否是随机的，所以该事件是随机事件，④正确．故正确命题有2个.故选：C ．【例1-2】（2020·全国高一）袋子中有4个大小和质地相同的球，标号为1，2，3，4，从中随机摸出一个球，记录球的编号，先后摸两次.（1）若第一次摸出的球不放回，写出试验的样本空间； （2）若第一次摸出的球放回，写出试验的样本空间. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】m 表示第一次摸出球的编号，用n 表示第二次摸出球的编号，则样本点可用(),m n ，{},1,2,3,4m n ∈表示.（1）若第一次摸出的球不放回，则m n ≠，此时的样本空间可表示为()()()()()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3Ω=，共有12个样本点.（2）若第一次摸出的球放回，则m ，n 可以相同.此时试验的样本空间可表示为(){}{},,1,2,3,4m n m n Ω=∈，共有16个样本点.【一隅三反】1．（2021·全国高一课时练习）下列事件中，随机事件的个数为（）①连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现2点向上；②13个人中至少有两个人生肖相同；③某人买彩票中奖；④在标准大气压下，水加热到90℃会沸腾.A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】抛掷一枚骰子，每一面出现都是随机的，所以①是随机事件；一年只有12生肖，所以13个人中至少有两个人生肖相同是必然事件，所以②是必然事件；购买彩票号码是随机的，某人买彩票中奖也是随机的，所以③是随机事件；在标准大气压下，水加热到100℃才会沸腾.故④是不可能事件故选：B2．（多选）（2020·全国高一单元测试）下列事件中，是随机事件的是（）A．2021年8月18日，北京市不下雨B．在标准大气压下，水在4C时结冰C．从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签x≥D．若x∈R，则20【答案】AC【解析】A选项与C选项为随机事件，B为不可能事件，D为必然事件．故选：AC．3．（2020·全国高一课时练习）写出下列各随机试验的样本空间：（1）采用抽签的方式，随机选择一名同学，并记录其性别；（2）采用抽签的方式，随机选择一名同学，观察其ABO血型；（3）随机选择一个有两个小孩的家庭，观察两个孩子的性别；（4）射击靶3次，观察各次射击中靶或脱靶情况；（5）射击靶3次，观察中靶的次数.【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）详见解析（4）详见解析（5）详见解析【解析】解：（1）一名同学的性别有两种可能结果：男或女.故该试验的样本室间可以表示为Ω={男，女}；（2）一名同学的血型有四种可能结果：A型、B型、AB型、O型.故该试验的样本空间可表示为{}Ω=；A B AB O,,,（3）每个小孩的性别有男或女两种可能，两个小孩的性别情况有四种可能，故该试验的样本空间可表示为{（男、男），（男，女），（女，男），（女，女）}；（4）每次射击有中靶或脱靶两种可能，射击3次有八种可能，用1表示中靶，用0表示脱靶，该试验的样本空间可表示为()()()()()()()(){}0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,1,1,1,0,0,1,1,0,1,0,1,1,1,1N =；（5）射击3次，中靶的次数可能是0，1，2，3，故该试验的样本空间可以表示为{}0,1,2,3N =. 4．（2021·全国高一）写出下列试验的样本空间：（1）设袋中装有4个白球和6个黑球，从中不放回逐个取出，直到白球全部取出为止，记录取球的次数； （2）甲、乙、丙三位同学参加演讲比赛，通过抽签确定演讲的顺序，记录抽签的结果. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】（1）从中不放回逐个取出，直到白球全部取出为止，则取球次数为{}4,5,6,7,8,9,10N =； （2）由抽签确定演讲的顺序，抽签的结果即样本空间可表示为{（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（丙，甲，乙），（丙，乙，甲），（乙，甲，丙），（乙，丙，甲）}.考法二 事件的关系与运算【例2-1】（2020·全国高一课时练习）盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球.设事件A =“1个红球和2个白球”，事件B =“2个红球和1个白球”，事件C =“至少有1个红球”，事件D “既有红球又有白球”，则：（1）事件D 与事件,A B 是什么关系？（2）事件C 与事件A 的交事件与事件A 是什么关系？【答案】（1）D A B =⋃.（2）事件C 与事件A 的交事件与事件A 相等.【解析】（1）对于事件D ,可能的结果为1个红球和2个白球或2个红球和1个白球,故D A B =⋃. （2）对于事件C ,可能的结果为1个红球和2个白球,2个红球和1个白球或3个红球,故C A A ⋂=,所以事件C 与事件A 的交事件与事件A 相等.【例2-2】（2021·全国高一）掷一枚骰子，给出下列事件：A =“出现奇数点”，B =“出现偶数点”，C =“出现的点数小于3”. 求：（1）AB ，BC ⋂；（2）A B ，B C ⋃.【答案】（1）A B =∅，B C ⋂=“出现2点”.（2）AB =“出现1，2，3，4，5或6点”，BC =∪“出现1，2，4或6点”.【解析】由题意知：A =“出现奇数点”{}1,3,5=，B =“出现偶数点”{}2,4,6=，C =“出现的点数小于3”{}1,2=，（1）A B =∅，{}2B C ⋂==出现2点”；（2）{}1,2,3,4,5,6AB ==“出现1，2，3，4，5或6点”，{}1,2,4,6B C ⋃==“出现1，2，4或6点”.【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色.设事件A =“三个圆的颜色全不相同”，事件B =“三个圆的颜色不全相同”，事件C =“其中两个圆的颜色相同”，事件D “三个圆的颜色全相同”.（1）写出试验的样本空间.（2）用集合的形式表示事件,,,A B C D .（3）事件B 与事件C 有什么关系？事件A 和B 的交事件与事件D 有什么关系？并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）事件B 包含事件C ，事件A 和B 的交事件与事件D 互斥.见解析 【解析】(1)由题意可知3个球可能颜色一样,可能有2个一样,另1个异色,或者三个球都异色.则试验的样本空间Ω={（红,红,红）,（黄,黄,黄）,（蓝,蓝,蓝）,（红,红,黄）,（红,红,蓝）,（蓝,蓝,红）,（蓝,蓝,黄）,（黄,黄,红）,（黄,黄,蓝）,（红,黄,蓝）}. (2)A ={（红,黄,蓝）}B ={（红,红,黄）,（红,红,蓝）,（蓝,蓝,红）,（蓝,蓝,黄）,（黄,黄,红）,（黄,黄,蓝）,（红,黄,蓝）}C ={（红,红,黄）,（红,红,蓝）,（蓝,蓝,红）,（蓝,蓝,黄）,（黄,黄,红）,（黄,黄,蓝）}.D {（红,红,红）,（黄,黄,黄）,（蓝,蓝,蓝）}.(3)由(2)可知事件B 包含事件C ,事件A 和B 的交事件与事件D 互斥.2．（2021·全国高一）记某射手一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环分别为事件A ，B ，C ，D ，指出下列事件的含义： （1）AB C ；（2）B C ∩； （3）B C D ∪∪.【答案】（1）射中10环或9环或8环. （2）射中9环.（3）射中10环或6环或5环或4环或3环或2环或1环或0环.【解析】（1）A=射中10环，B=射中9环，C=射中8环，∴A B C=∪∪射中10环或9环或8环. （2）C=射中8环，∴C=射中环数不是8环，则B C=∩射中9环.（3）B C D=∪∪射中9环或8环或7环，则B C D=∪∪射中10环或6环或5环或4环或3环或2环或1环或0环.3．（2021·全国高一）在试验“甲、乙、丙三人各射击1次，观察中靶的情况”中，事件A表示随机事件“甲中靶”，事件B表示随机事件“乙中靶”，事件C表示随机事件“丙中靶”，试用A，B，C的运算表示下列随机事件：（1）甲未中靶；（2）甲中靶而乙未中靶；（3）三人中只有丙未中靶；（4）三人中至少有一人中靶；（5）三人中恰有两人中靶.【答案】（1）A（2）AB（3）ABC（4）ABC（5）()()() ABC ABC ABC【解析】（1）甲未中靶：A.（2）甲中靶而乙未中靶：A B⋂,即AB.（3）三人中只有丙未中靶：A B C,即ABC.（4）三人中至少有一人中靶ABC.（5）三人中恰有两人中靶()()()ABC ABC ABC.考法三互斥与对立【例3】（多选）（2020·全国高一课时练习）袋中有红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥的两个事件是（）A．至少有一个白球与都是白球B．恰有一个红球与白、黑球各一个C．至少一个白球与至多有一个红球D．至少有一个红球与两个白球【答案】BD【解析】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立.在B 中，恰有一个红球和白、黑球各一个不能同时发生，是互斥事件，故B 成立； 在C 中，至少一个白球与至多有一个红球，能同时发生，故C 不成立；在D 中，至少有一个红球与两个白球两个事件不能同时发生，是互斥事件，故D 成立； 故选：BD. 【一隅三反】1．（多选）（2020·全国高一课时练习）一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（ ） A ．事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件 B ．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互为互斥事件 C ．事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互为互斥事件 D ．事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件 【答案】BD【解析】对于A ，事件“至少一次击中”包含“一次击中”和“两次均击中“，所以不是对立事件，A 错误 对于B ，事件“恰有一次击中”是“一次击中、一次不中”它与事件“两次均击中”是互斥事件，B 正确 对于C ，事件“第一次击中”包含“第一次击中、第二次击中”和“第一次击中、第二次不中”，所以与事件“第二次击中”不是互斥事件，C 错误对于D ，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，D 正确 故选：BD2．（多选）（2020·全国高一课时练习）下面结论正确的是（ ） A ．若()()1P A P B +=，则事件A 与B 是互为对立事件 B ．若()()()P AB P A P B =，则事件A 与B 是相互独立事件 C ．若事件A 与B 是互斥事件，则A 与B 也是互斥事件 D ．若事件A 与B 是相互独立事件，则A 与B 也是相互独立事件 【答案】BD【解析】对于A 选项，要使,A B 为对立事件，除()()1P A P B +=还需满足()0P AB =，也即,A B 不能同时发生，所以A 选项错误.对于C 选项，A 包含于B ，所以A 与B 不是互斥事件，所以C 选项错误. 对于B 选项，根据相互独立事件的知识可知，B 选项正确. 对于D 选项，根据相互独立事件的知识可知，D 选项正确.故选：BD3．（2020·全国高一课时练习）在试验E “连续抛掷一枚骰子2次，观察每次掷出的点数”中，事件A 表示随机事件“第一次掷出的点数为1”，事件j A 表示随机事件“第一次掷出的点数为1，第二次掷出的点数为j ，事件B 表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”，事件C 表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”，（1）试用样本点表示事件AB 与A B ；（2）试判断事件A 与B ，A 与C ，B 与C 是否为互斥事件； （3）试用事件j A 表示随机事件A .【答案】（1）详见解析（2）事件A 与事件B ，事件A 与事件C 不是互斥事件，事件B 与事件C 是互斥事件.（3）123456A A A A A A A =【解析】由题意可知试验E 的样本空间为Ω=()()()()()(){1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,()()()()()()2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6, ()()()()()()3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6, ()()()()()()4,1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6, ()()()()()()5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6,()()()()()()}6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6.（1）因为事件A 表示随机事件“第一次掷出的点数为1”,所以满足条件的样本点有()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,即()()()()()(){}1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6A =.因为事件B 表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”,所以满足条件的样本点有()()()()()1,5,2,4,3,3,4,2,5,1,即()()()()(){}1,5,2,4,3,3,4,2,5,1B =.所以(){}1,5AB =,()()()()()()()()()(){}1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,4,3,3,4,2,5,1A B =.（2）因为事件C 表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”,所以()()(){}1,4,2,5,3,6C =. 因为(){}1,5AB =≠∅,(){}1,4AC =≠∅,B C =∅,所以事件A 与事件B ,事件A 与事件C 不是互斥事件,事件B 与事件C 是互斥事件.（3）因为事件j A 表示随机事件“第一次掷出的点数为1,第二次掷出的点数为j ”,所以(){}(){}(){}(){}(){}(){}1234561,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6A A A A A A ======, 所以123456A A A A A A A =.考法四 古典概型【例4】（2020·全国高一课时练习）在一次语文考试的阅卷过程中，两位老师对一篇作文打出的分数都是两位的正整数，且十位数字都是5，则两位老师打出的分数之差的绝对值小于或等于1的概率为（ ） A ．0.18 B ．0.2C ．0.28D ．0.32【答案】C【解析】用(),x y 表示两位老师的打分，则(),x y 的所有可能情况有1010100⨯=种. 当50x =时，y 可取50，51，共2种；当51x =，52，53，54，55，56，57，58时，y 的取值均有3种； 当59x =时，y 可取58，59，共2种；综上可得两位老师打出的分数之差的绝对值小于或等于1的情况有28种， 由古典概型的概率公式可得所求概率280.28100P ==故选：C. 【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）从数字1，2，3，4中任取两个数，则这两个数中其中一个数为另一个数的整数倍的概率为（ ） A ．14B ．12C ．13D ．23【答案】D【解析】基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共6个，其中符合条件的基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(2,4)共4个，所求概率为4263P ==.故选：D 2．（2021·全国高一）把分别写有1，2，3，4的四张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么2，3连号的概率为（ ） A ．23B ．13C ．35D ．14【答案】B【解析】分三类情况，第一类1，2连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为()12,3,4，()12,4,3，()3,12,4，()4,12,3，()3,4,12，()4,3,12，有6种分法；第二类2，3连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为()1,23,4，()4,23,1，()23,1,4，()23,4,1，()1,4,23，()4,1,23，有6种分法；第三类3，4连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为()1,2,34，()2,1,34，()34,1,2，()34,2,1，()1,34,2，()2,34,1，有6种分法；共有18种分法， 则2，3连号的概率为61183P ==. 故选：B .3．（2021·全国高一）为了更好了解某年入伍新兵的身高情况，解放军某部随机抽取100名新兵，分别对他们的身高进行了测量，并将测量数据分为以下五组：[160,165)，[165,170)，[170,175)，[175,180)，[180,185]进行整理，如下表所示：（1）在下面的图纸中，画出频率分布直方图；（2）若在第4，5两组中，用分层抽样的方法抽取6名新兵，再从这6名新兵中随机抽取2名新兵进行体能测试，求这2名新兵来自不同组的概率． 【答案】（1）直方图见解析；（2）815. 【解析】（1）频率分布直方图如下图所示：（2）因为第4，5组共有30名新兵，所以利用分层抽样从中抽取6名，每组应抽取的人数分别为： 4组：206430⨯=名，第5组：106230⨯=名， 设第4组抽取的4名新兵分别为1A ，2A ，3A ，4A ，第5组抽取的2名新兵分别为1B ，2B ．从这6名新兵中随机抽取2名新兵，有以下15种情况：12{,}A A ，13{,}A A ，14{,}A A ，11{,}A B ，12{,}A B ，23{,}A A ，24{,}A A ，21{,}A B ，22{,}A B ，34{,}A A ，31{,}A B ，32{,}A B ，41{,}A B ，42{,}A B ，12{,}B B ，这2名新兵来自不同组的情况有以下8种：11{,}A B ，12{,}A B ，21{,}A B ，22{,}A B ，31{,}A B ，32{,}A B ，41{,}A B ，42{,}A B ，故所求的概率P =815． 考法五 概率的基本性质【例5-1】（2020·全国高一课时练习）老师讲一道数学题，李峰能听懂的概率是0.8，是指（ ）A ．老师每讲一题，该题有80%的部分能听懂，20%的部分听不懂B ．老师在讲的10道题中，李峰能听懂8道C ．李峰听懂老师所讲这道题的可能性为80%D ．以上解释都不对 【答案】C【解析】概率的意义就是事件发生的可能性大小，即李峰听懂老师所讲这道题的可能性为80%.故选：C 【例5-2】（2020·全国高一课时练习）在学校运动会开幕式上，100名学生组成一个方阵进行表演，他们按照性别（M （男）、F （女））及年级（1G （高一）、2G （高二）、3G （高三））分类统计的人数如下表：若从这100名学生中随机选一名学生，求下列概率：()P M =____________，()P F =____________，()P M F =____________，()P MF =____________，()1P G =____________，()2P MG =____________，()3P FG =____________【答案】0.52 0.48 1 0 0.35 0.76 0.07 【解析】()()123182014520.52100100100100P M P MG MG MG ==++==； ()()10.48P F P M =-=； ()1P MF =；()()0P MF P =∅=；()()11118170.35100100P G P MG FG ==+=； ()()()()2220.520.440.200.76P MG P M P G P MG =+-=+-=；()370.07100P FG == 故答案为：（1）0.52；（2）0.48；（3）1；（4）0；（5）0.35；（6）0.76；（7）0.07 【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）在北京消费季活动中，某商场为促销举行购物抽奖活动，规定购物消费每满200元就可以参加一次抽奖活动，中奖的概率为110.那么以下理解正确的是（ ） A ．某顾客抽奖10次，一定能中奖1次 B ．某顾客抽奖10次，可能1次也没中奖 C ．某顾客消费210元，一定不能中奖 D ．某顾客消费1000元，至少能中奖1次 【答案】B 【解析】中奖概率110表示每一次抽奖中奖的可能性都是110，故不论抽奖多少次，都可能一次也不中奖， 故选：B.2．（2020·全国高一课时练习）某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下：如果这名运动员只射击一次，以频率作为概率，求下列事件的概率； （1）命中10环；（2）命中的环数大于8环； （3）命中的环数小于9环； （4）命中的环数不超过5环.【答案】（1）0.2 （2）0.5 （3）0.5 （4）0 【解析】用x 表示命中的环数，由频率表可得. （1）(10)0.2P x ==；（2）(8)P x P >=（9x =或10x =）(9)(10)0.30.20.5P x P x ==+==+=； （3）(9)(6)(7)(8)0.10.150.250.5P x P x P x P x <==+=+==++=； （4）(5)1(6)1(0.10.150.250.30.2)0P x P x =-=-++++=.3．（2021·全国高一课时练习）判断下列说法是否正确，若错误，请举出反例 （1）互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件； （2）互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件；（3）事件A 与事件B 中至少有一个发生的概率一定比A 与B 中恰有一个发生的概率大；（4）事件A 与事件B 同时发生的概率一定比A 与B 中恰有一个发生的概率小.【答案】（1）错误，举例见解析；（2）正确；（3）错误，举例见解析；（4）错误，举例见解析. 【解析】（1）错误；（2）正确；（3）错误：（4）错误. 设某试验的样本空间为{1,2,3,4}Ω=.（1）中反例，取{1},{2}A B ==，则A ,B 互斥但不对立. （2）由互斥事件与对立事件的定义可知(2)正确（3）中反例，取{1},A B ==∅,则1()()4P A B P A ⋃==1()()()4P AB AB P AB P A ⋃===. （4）中反例，取{1},{1,2}A B ==,则1()()4P AB P A ==,1()()4P AB AB P AB ⋃==.4．（2020·全国高一课时练习）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率： （1）两人都中靶； （2）恰好有一人中靶； （3）两人都脱靶； （4）至少有一人中靶.【答案】（1）0.72 （2）0.26 （3）0.02 （4）0.98【解析】设A =“甲中靶”, B =“乙中靶”,则A =“甲脱靶”,B =“乙脱靶”,由于两个人射击的结果互不影响,所以A 与B 相互独立,A 与B ,A 与B ,A 与B 都相互独立 由已知可得,()()()()0.8,0.9,0.2,0.1P A P B P A P B ====. （1）AB = “两人都中靶”,由事件独立性的定义 得()()()0.80.90.72P AB P A P B =⋅=⨯= （2）“恰好有一人中靶” ABAB =,且AB 与AB 互斥根据概率的加法公式和事件独立性定义,得()()()P ABAB P AB P AB=+()()()()P A P B P A P B =⋅+⋅ 0.80.10.20.90.26=⨯+⨯=（3）事件“两人都脱靶”AB =, 所以()()()P AB P A P B =⋅()()10.810.90.02=-⨯-=（4）方法1：事件“至少有一人中靶”AB ABAB =,且AB ,AB 与AB 两两互斥,所以()P ABAB AB()()()P AB P AB P AB =++ ()()P AB P ABAB =+0.720.260.98=+=方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶” 根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶”的概率为()110.020.98P AB -=-=5．（2020·全国高一课时练习）已知n 是一个三位正整数，若n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如135，256，345等）现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.（1）由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来. （2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）不公平，理由见解析.【解析】（1）由题意知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数共有20个.分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456.（2）不公平由（1）知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”有20个，记“甲参加数学竟赛”为事件A ，记“乙参加数学竞赛”为事件B.则事件A 含有基本事件有：124，134，234，126，136，146，156，236，246，256，346，356，456共13个. 由古典概型计算公式，得13()20A P A ==事件含有的基本事件的个数试验所有基本事件的总数，又A 与B 对立，所以137()1()12020P B P A =-=-=， 所以()()P A P B >.故选取规则对甲、乙两名学生不公平.。
第25章 随机事件的概率 数学华东师大版九年级上册课后习题精讲课件 频率与概率
【分析】可以用频率估计概率. 答案：C.
数学 九年级 HS
7
4.某学习小组设计了一个摸球试验，在袋中装有黑，白两种颜色的球，这些球的形 状大小，质地等完全相同，即除颜色外无其他差别.在看不到球的情况下，随机从袋 中摸出一个球，记下颜色，再把它放回并搅匀，不断重复试验.下表是由试验得到的 一组统计数据：
后再放回盒中.大量重复上述试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4，那么可以推
算出n的值大约是（
）
A.10
B.14
C.16
D.40
【分析】根据频率的稳定性，可以利用频率概念进行计算，答案：A.
数学 九年级 HS
4
1.某校有500名学生参加体育测试，其成绩在25～30分之间的有300人，则在25～30 分之间的频率是（ A ）
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1
第25章 随机事件的概率
第5课时 频率与概率
数学 九年级 HS
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★频率：在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则比值mn 称为事件A发生 的频率.
★频率的稳定性：对于一个事件中，当试验次数很大时发生的频率，都会在 一 个数 附近摆动，这个性质称为频率的稳定性.
★概率：频率稳定在一个数附近波动，这个数就是事件的概率.我们可以用 频 率 去估计概率.
★表示一个事件发生的可能性大小的这个数，叫做该事件的概率.概率公式： P 事件发生 ＝所有关机注会结均果等发的生结数果数.
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3
考点一：频率的稳定性
例1 在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们除了颜色不同外，其余都相
同，其中有4个白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色
每批粒数n 发芽的粒数m 发芽的频率m
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概 率（1）随机事件——概率学把“可能性”引进数学在概率学中，我们称一定发生的事件为必然事件，不可能发生的事件是不可能事件，可能发生也可能不发生的事件是随机事件. 概率也就是事件发生的可能性.所以必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0，而随机事件的概率在区间（0，1）之中. 【例1】 同时掷两枚骰子，则以下事件各是什么事件？ （1） 点数之和是正整数； （2） 点数之和小于2； （3） 点数之和是3的倍数.【解析】（1）是必然事件，（2）是不可能事件；（3）是随机事件.（2）等可能事件——概率公式的起源如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且这n 个结果出现的可能性相同，则称这类事件为等可能事件.由此导出基本概率公式是：()mP A n =.（其中n 和 m 分别表示基本事件总数和事件A 发生的次数.） 【例2】将一枚骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．成等差数列的概率为 （ ） Ａ．19Ｂ．112 Ｃ．115Ｄ．118【解析】抛掷一枚骰子后，出现任何一面的可能性相同.所以本题属于等可能事件. 一枚骰子连续抛掷三次，则基本事件总数36216n ==；设事件A ；连掷3次所得点数依次成等差数列，那么3数相等时有111，222，…666等六种；3数不相等时有123，234，345，456，135，246及其反序数等12个.于是事件A 发生的次数61218m =+=种.故()18121612P A ==.选B.（3）互斥事件——概率的加法原理在某种试验中，不能同时发生的事件称为互斥事件.如果A 、B 是互斥事件，那么：()()()P A B P A P B ⋃=+.【例3】在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ ）A ．310 B ．15 C ．110 D ．112【解析】设小球标注的数字之和为3与6的事件分别为A 、B.显然A 与B 不能同时成立，是互斥事件. 由于基本事件总数2510.n C ==事件A 只有1+2=3一种，；事件B 有1+5=2+4=6两种，.∵A 与B 互斥，()()()1231010P A B P A P B +∴⋃=+==.选A.（4）对立事件——两互斥事件的特写在一次试验中，如果事件A 与B 一定恰有一个发生，则称事件A 与B 是对立事件. 注意对立事件必然互斥，但是互斥事件不一定对立. 一般地，记A 的对立事件为A .由于A 与A 具有互补性，所以()()1P A PB +=.这是简化概率计算的基本公式.【例4】8个篮球队中有2个强队，先任意将这8个队分成两个组(每组4个队)进行比赛，这两个强队被分在一个组内的概率是多少? 【解析】 我们用a 、b 分别记八个队中的两个强队. 令C =“a 队与b 队分在同一组”， 则C =“a 队与b 队不在同一组”.a 队与b 队不在同一组，只能分成两种情况：a 队在第一组，b 队在第二组，此时有C 36·C 33＝C 36种分法；a 队在第二组，b 队在第一组，此时有C 36·C 33＝C 36种分法.这些分法中任何两种都是不同的，因此，有C 36+ C 36种分法. 八个队平分成的两组的分法共C48·C44= C48种.每一种分法是一基本事件，任何两个基本事件都是等可能的.这样，P (C )=741454545C C C 483636 =⨯⨯+⨯=+，∴P (C )=1-P (C )=1-74=73. 【点评】 应抓住两个强队被分在一组和不同一组是对立的事件，由此入手来解之.（5）相互独立事件——概率的乘法原理如果事件A 与B 的发生互相没有影响，则称事件A 与B 为相互独立事件.特别注意：不能将互斥事件与相互独立事件搞混，前者相互约束，而后者相互无关；前者不可能同时发生，而后者可以同时发生. 如果A 与B 是相互独立事件，那么A 与B 同时发生的概率是：()()()PA B P A P B ⋅=⋅.【例5】甲、乙两个袋中均有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲袋装有4个红球、2个白球, 乙袋装有1个红球、5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球,则取出的两球都是红球的概率为 ．(答案用分数表示)【分析】分别从甲、乙两袋中随机地取球，则取球的结果相互没有影响.所以本题中发生的事件是相互独立事件. 【解析】两袋中各有6个球，则各取1球的基本事件总数为116636C C ⋅=.设从甲袋中取出一个球是红球的事件为A ，从乙袋中取出一个球是红球的事件为B ，那么()()41,66P A P B ==.故“取出的两球都是红球的概率”是()()411669PA PB ⋅=⨯=.（6）独立重复试验——加法原理与乘法原理的复合在调查某事件发生的概率时，往往要做大量重复的试验.这些试验不仅相互独立，而且都是同一类型的等可能事件.我们称这种试验为独立重复试验.独立重复试验中的概率计算公式是：()()1kk k nn P k C P P =-.【例6】甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是（ ）(A1 0．216 (B)0．36 (C)0．432 (D )0．648【分析】两人赛球不止一局，且每局每人获胜的概率相同.所以本题这种赛球属于独立重复试验. 【解析】设事件A ：在“3局2胜”的球赛中甲获胜，则A 有3种可能. （1） 前两局甲胜，其概率为210.6P =；（2） 1、3局胜，2局负，其概率为220.60.40.60.60.4P =⨯⨯=⨯ （3） 首局负，2、3局胜，其概率为230.40.60.60.60.4P =⨯⨯=⨯显然3种情况互斥，()()20.610.40.40.648PA ∴=++=，故选D.【说明】本题虽然属于独立重复试验.的题型，却有不能死套公式.这是因为：如果甲前两局获胜，则无须打第3局.（7）和事件——概率计算与集合计数在某次试验中，如果事件A 与B 不互斥，则计算A 与B 都发生的概率不能用简单的加法，这是因为事件A 与B 含有交叉的部分，而这部分被重复计算一次，应该把重复计算的数据减去.和事件的正确计算方法是：()()()()P A B P A P B P A B ⋃=+-⋂.【例7】某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．（I ）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；（II ）任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培养的概率．【分析】在题设的两项培训中，每个下岗人员都有3种选择方法：参加1项、两项或不参加培训.所以仅根据现有数据，无法判断哪些是仅参加了一项培训，哪些是两项培训都参加了的.所以本题属于典型的计算和事件的题型.【解析】设事件A 表示参加财会培训，事件B 表示参加计算机培训，则A B⋂表示同时参加两项培训.()()()0.6,0.75,0.60.750.45.P A P B P A B ==∴⋂=⨯=（I ）任选1名下岗人员，则该人参加过培训的概率是：()()()()0.60.750.450.9P A B P A P B P A B ⋃=+-⋂=+-=.（II ）设事件C 表示3人中至少有2人参加培训，则事件A 表示3人中至多1人参加培训.根据（I ），三人中无人参加培训的概率是()3110.90.001P =-=；而三人中恰1人参加培训的概率是：()21230.90.10.027P C =⨯⨯=.这两种情况互斥，()0.0010.0270.028P C ∴=+=于是3人中至少有2人参加培训的概率是()10.0280.972.P C =-=三类概率问题的求解策略对于一个概率题，我们首先要弄清它属于哪一类型的概率，因为不同的类型需要采取不同类型的概率公式和求解方法；其次，要审清题意，注意问题中的关键语句，因为这些关键语句往往蕴含着解题的思路和方法。
下面略举数例谈谈几种概率应用题的解题技巧和策略。
一、可能性事件概率的求解策略对于可能性事件的概率问题，除了要用到排列、组合的知识来解决外，还要用到排列、组合的解题思路和方法，同时，在利用概率的古典定义来求可能性事件的概率时，应注意按下列步骤进行：求出基本事件的总个数n;②求出事件A 中包含的基本事件的个数m;③求出事件A 的概率，即nmA P =)(例1 甲、乙两名学生参加某次英语知识竞赛，该竞赛共有15道不同的题，其中听力题10个，判断题5个，甲乙两名学生依次各抽一题。
分别求下列问题的概率：（1）甲抽到听力题，乙抽到判断题；（2）甲乙两名学生至少有一人抽到听力题。
解析 甲、乙依次抽一题的结果有210114115==C C n（个）（1）甲抽到听力题、乙抽到判断结果有5015110==C C n（个），故所求概率为215)(==mnA P ；（2）（用间接法）甲、乙两名学生都抽不到听力题的结果有201415==C C m ，其概率为212)(==mn A P ，从而甲乙两名学生至少有一人抽到听力题的概率为21192121=-。
二、互斥事件概率的求解策略对于互斥事件的概率问题，通常按下列步骤进行：①确定众事件彼此互斥；②众事件中有一个发生；先求出众事件分别发生的概率，然后再求其和。
对于某些复杂的互斥事件的概率问题，一般应考虑两种方法：一是“直接法”，将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是用“间接法”，即先求出此事件的对立事件的概率)(A P ，再用)(1)(A P A P -=求出结果。
例2 从12双不同颜色的鞋中任取10只，求至少有一双配对的概率。
解析 直接法 记“取出10只鞋中恰好有1双、2双、3双、4双、5双配对的概率分别为)(1A P 、)(2A P 、)(3A P 、)(4A P 、)(5A P 则至少有一双配对的概率为10248811112102466102121024449312102422841210245122222)5()4()3()2()1()(C C C C C C C C C C C C C C A P A P A P A P A P A P +++⋅+=++++=间接法 设至少有一双配对的概率为P （A ），则)(A P 为所抽的10只鞋都不配对的概率，即10241010122)(C C A P ⋅=，所以102410101221)(C C A P ⋅-=三、相互独立事件同时发生的概率的求解策略对于相互独立事件同时发生的概率问题，其求解的一般步骤是：①确定众事件是相互独立的；②确定众事件会同时发生；③先求每个事件发生的概率，再求它们的积。