中考复习微专题----辅助圆问题及题例(二)
2020年江苏中考数学复习第6章圆微专题 辅助圆问题
微专题 辅助圆问题
微专题 辅助圆问题
(宿迁 2016.25，淮安 2016.28，盐城 2015.28)
模型一 “辅助圆”解点的存在性
模型分析
“定边、定角”圆上找．具体来说：当边长一定，其所对角度也一定时，该角顶点 在两段弧上．
微专题 辅助圆问题
针对训练 1. 如图，已知线段AB. (1)请你在图①中画出使∠APB＝90°的所有满足条件的点P； (2)请你在图②中画出使∠APB＝60°的所有满足条件的点P； (3)请你在图③中画出使∠APB＝45°的所有满足条件的点P.
第3题图
请你总结，满足条件的P点具有的特点：_点__P_为__A__B_的__中__垂__线__与__直__线__b_的__交__点___.
微专题 辅助圆问题
4. 如图，当直线b与球门AB互相垂直时，球员(边锋)沿直线b带球，在直线b上是否存 在一点P，使得球员在P点射门更易进球？若存在这样的点，请找出；若不存在，请 说明理由．
微专题 辅助圆问题
针对训练 5. 如图，已知正方形ABCD的边长为4.点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速 度沿BC、CD方向向终点C和D运动．连接AM和BN，交于点P，则PC长的最小值为 _2___5___2_．(请在图中画出点P的运动路径)
(完整word)九年级数学提升之辅助圆问题
九年级数学尖子生辅导提升辅助圆问题考点一：共顶点等线段问题1. 如图1，在直角梯形ABCD 中90,3,4,6DAB ABC AD AB BC ∠=∠=︒===，点E 是线段AB 上一动点，将EBC ∆沿CE 翻折到EB C '∆，连结,B D B A ''.当点E 在AB 上运动时，分别求,,B D B A B D B A ''''+的最小值.2. 在ABC △中，BA BC BAC =∠=α，，M 是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ．⑴ 若α=60︒且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出CDB ∠的度数；⑵ 在图2中，点P 不与点B M ，重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ， 猜想CDB ∠的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；3. 已知：AOB △中，2AB OB ==，COD △中，3CD OC ==，ABO DCO =∠∠．连接AD 、BC ，点M 、N 、P 分别为OA 、OD 、BC 的中点．图1NMOPDCBA图2NM OPDCBA⑴ 如图1，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且60ABO =∠°，则PMN △的形状是___________，此时ADBC=________； ⑵ 如图2，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且2ABO α=∠，证明PMN BAO △∽△，并计算ADBC的值（用含α的式子表示）；考点二：定边对定角问题1. 已知90AOB ∠=︒，OM 是AOB ∠的平分线．将一个直角RPS 的直角顶点P 在射线OM 上移动，点P 不与点O 重合．如图，当直角RPS 的两边分别与射线OA 、OB 交于点C 、D 时，请判断PC 与PD 的数量关系，并证明你的结论；RBPCAD OG S M321G N SH ODACMPBR2. 如图，正方形ABCD边长为2，点E是正方形ABCD内一动点，90AEB∠=︒，连结DE，求DE的最小值.3. 如图，四边形ABCD是正方形，M是BC上一点，ME AM⊥交BCD∠的外角平分线于E，求证：AM EM=．AB CDEM4.如图, 45XOY∠=︒，一把直角三角形尺ABC的两个顶点,A B分别在,OX OY 上移动，10AB=，求点O到AB距离的最大值.5. 如图，正三角形ABCAD BC，点E是射线AD上一动点(不∆边长为2，射线//与点A重合)，AEC∆外接圆交EB于点F，求AF的最小值.6. 在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点P 处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF．⑴ 如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；⑵ 将三角板从⑴中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：① ∠PEF的大小是否发生变化？请说明理由；② 直接写出从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长．D考点三：四点共圆问题1. 如图，在四边形ABCD 中，AC 是BAD ∠的平分线，若180B D ∠+∠=︒，求证：BC CD =．2. 如图，在正△ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，且AD=31AC ，AE=32AB ，BD ，CE 相交于点F 。
圆中辅助线应用的典型例题
圆中辅助线应用的典型例题圆是数学中非常重要的一个几何图形，在数学教学中也经常涉及到相关内容。
圆中辅助线的应用也是数学教学中的一个重要内容。
在这里，我将为大家介绍一下圆中辅助线应用的典型例题。
例题一：如图，已知圆的半径OA和圆心角α，求BC 的长度。
解题思路：由于圆心角α是已知的，可以根据圆心角公式计算出弧长AC，即AC = αR，其中R为圆的半径。
又因为BC是弦，所以可以根据弦长公式计算出BC的长度：BC = 2√(R² - AC²/4)。
因此，只需把圆心角α和半径OA 代入公式，就可以得出BC的值。
例题二：如图，已知圆的半径OA和圆心角α，DE与BC平行，求DE的长度。
解题思路：由于DE与BC平行，所以可以构造辅助线EF与BC垂直，如图所示。
则BE = EC = Rcos(α/2)，EF = Rsin(α/2)，因此BF = 2Rsin(α/2)。
根据正弦定理，在三角形BDF中，有sin(α/2)/BD = sin(γ)/BF，又因为sin(γ) = DE/BD，所以DE = BDsin(α/2)/sin(γ)，代入BF的值即可求出DE的长度。
例题三：如图，已知圆上两个点A、B和点P到AB的距离为h，求圆心O到AB的距离d。
解题思路：首先，构造辅助线PC，并延长到圆上的交点D，如图所示。
则OP垂直于AB，所以POD是直角三角形。
由于PO = R - h，OD = √(R² - PD²)，所以DP =√(R² - (R - h)²)。
在三角形PBD中，有d/BD = PO/DP，所以d = (R - h)BD/√(R² - (R - h)²)，代入数据即可求出d的值。
以上就是三个典型的圆中辅助线应用例题。
这些例题的重点在于如何灵活应用几何知识，构造合适的辅助线，从而得出正确的解答。
在学习数学的过程中，需要不断地训练自己的思维能力，培养解决问题的能力。
初三春季0元课 第22讲 辅助圆(2)(学生版)
PEF第 22 讲 辅助圆（2）1．共端点，等线段 2．两直角三角形共斜边（1）共斜边的两个直角三角形组成的四边形的四个顶点共圆．（两直角顶点位于斜边同侧）（2）共斜边的两个直角三角形组成的四边形的四个顶点共圆．（两直角顶点位于斜边异侧）【例 1】在等腰直角三角形 ABC 中，∠BAC ＝90°，D 为 BC 边的中点，E 、 F 分别为 AB 、AC 上的点，且满足∠EDF ＝90°．求证：DE ＝DF ．A BD C【例 2】在△ABC 中，∠ABC = 90 ， AB = 6 ，BC = 8 ，O 为 AC 的中点，过O 作OE ⊥ OF ，OE 、OF 分别交射线 AB ， BC 于 E 、F ，则 EF 的最小值为多少？A EBFC 【例 3】如图， R t △ABC 中， AB ⊥ BC ， AB = 6 ， BC = 4 ， P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB = ∠PBC ，则线段CP 长的最小值为（ ）A ．3 A2 B ． 2 C ．8 13 13 D ．12 13 13BCO3 【例 4】如图，E 、F 是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点，满足 AE =DF ． 连接CF 交 BD 于点G ，连接 BE 交 AG 于点 H ．若正方形的边长为2 ，则线段 DH 长度的最小值是多少？A E F DB C【例 5】如图，等边△ABC 中， AB = 6 ， P 为 AB 上一动点 PD ⊥ BC ，PE ⊥ AC ，则 DE 的最小值为多少？ABDC 【练习 1】如图，在 ABCD 中， ∠BCD ＝30︒ ， BC ＝4 ，CD ＝3 ，M 是 AD 边的中点， N 是 AB 边上一动点，将△AMN 沿 MN 所在直线翻折得到 △PMN ，连接 PC ，则 PC 长度的最小值是多少？DCMPANB【练习 2】如图，在矩形 ABCD 中，AB = 2 ，AD = 3 ，点 E ，F 分别为 AD 、DC 边上的点，且 EF = 2 ， G 为 EF 的中点， P 为 BC 边上一动点，则 PA + PG 的最小值为多少？AE D GFEP。
中考数学几何最值模型 专题03 辅助圆模型(学生版+解析版)
辅助圆模型模型讲解一、定点定长1、O为定点，OA=OB，且长度固定，那么O、A、B三点可以确定一个圆，动点P在圆弧AB上运动，如图所示，Q为圆外一定点，当P运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，PQ最小。
二、定弦定角2、线段AB固定，Q为动点，且∠AQB为定值，那么Q、A、B三点可以确定一个圆，动点Q在圆弧AB上运动，如图所示，R为圆外一定点，当Q运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，RQ最小。
方法点拨一、题型特征：①动点的运动轨迹为圆②圆外一点到圆上一点的距离最短：即圆外一点与圆心连线与圆的交点③常见确定圆的模型：定点定长、定弦定角。
二、模型本质：两点之间，线段最短。
例题演练1．如图，已知AB＝AC＝BD＝6，AB⊥BD，E为BC的中点，则DE的最小值为（）A．3﹣3B．3C．3﹣3D．2【解答】解：取AB的中点O，连接AE，OE，OD．∵AB＝AC，BE＝EC，∴AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∵OA＝OB，∴OE＝AB＝3，∵AB⊥BD，∴∠OBD＝90°，∵OB＝3，BD＝6，∴OD＝＝＝3，∵DE≥OD﹣OE，∴DE≥3﹣3，∴DE的最小值为3﹣3，故选：C．强化训练1．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝8，点P为矩形内一动点，且满足∠PBC ＝∠PCD，则线段PD的最小值为（）A．5B．1C．2D．3 2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE ⊥BE，则线段CE的最小值为．3．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2．若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB ＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是平面内的一个动点，且满足∠AEB＝90°，连接CE，则线段CE长的最大值为．5．如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，则P A是点P 到⊙O上的点的最短距离．（1）探究一：如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是．（2）探究二：如图3，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′C长度的最小值．（3）探究三，在正方形ABCD中，点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，若AD＝4，试求出线段CP的最小值．1．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是．辅助圆模型模型讲解一、定点定长1、O为定点，OA=OB，且长度固定，那么O、A、B三点可以确定一个圆，动点P在圆弧AB上运动，如图所示，Q为圆外一定点，当P运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，PQ最小。
提分专题十 辅助圆问题
距离最大值
+
2
+
过点 作直线 的垂线，其反向延长线与 ⊙ 的交点
此时点 的位置
即为点
点 到直线 的
距离最小值
−
0
过点 作直线 的垂线，与 ⊙ 的
此时点 的位置
交点即为点
0
直线 与 ⊙ 的
交点即为点
针对训练
重合）；
（3）如图3，当 ∠ > 90∘ 时，点 的运动轨迹为劣弧 （不与点
， 重合）
针对训练
4.如图， △ 为等边三角形， = 3 ．若 为 △ 内一动点，且满足
∠ = ∠ ，则线段 长度的最小值为(
A.1.5
B.
√
3
4 3
C.
4
)
16
D.
5
第8题图
9.如图，在 △ 中， = 9 ， = 12 ，
= 15 ， 为直线 上方一点，连接 ， ，
且 ∠ = 90∘ ，过点 作直线 的垂线，垂足为
12
，则线段 的最大值为____．
第9题图
类型 四 点圆最值
的半径为1，点 是 边上的动点，过点 作 ⊙ 的一条切
线 （点 为切点），则线段 的最小值为(
A. 2
√
2
B. 4 3
C. 2 3
)
D.4
第14题图
提分专题十
辅助圆问题
类型 一 定点定长
已知平面内一定点 和一动点 ，若 长度固定，则点 的运动轨迹是
以点 为圆心， 长为半径的圆（如图1）（依据：圆的定义）
中考数学一轮培优微专题 辅助圆问题
模型一 定点定长作圆
(绵阳：2019.25)
模型分析
平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹在以点A为圆心，AB长 为半径的圆上(如图①). 依据的是圆的定义：圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合．
拓展：如图②，点E为定点，点F为线段BD上的动 点(不含点B)，将△BEF沿EF折叠得到△B′EF，则 点B′的运动轨迹为以点E为圆心，以线段BE为半径 的一段圆弧．
图③
针对演练 5. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，O为AB的中点，过点O作 OE⊥OF，OE、OF分别交AC、BC于点E、F，则EF的最小值为____5____．
第5题图
模型五 点圆最值 模型分析 平面内一定点D和⊙O上动点E的连线中，当连线过圆心O时，线段DE有最大值和最小 值．具体分以下三种情况讨论(规定：OD＝d，⊙O半径为r)： 1. 当D点在⊙O外时，d>r，如图①、②：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值， DE的最大值为d＋r，DE的最小值为d－r；
图①
分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，(如图②)在线段OB上截取OC使OC＝ k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB＝PC.所以本题求“PA＋k·PB”的最小值转 化为求“PA＋PC”的最小值，即A、P、C三点共线时最小(如图③)，本题得解．
“阿氏圆”一般解题步骤：
第一步：将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接，即连接OP、OB；
2. 如图，⊙O与直线l相离，点P是⊙O上的一个动点，设圆心O到直线l的距离为d，⊙O 的半径为r，则点P到直线l的最小距离是__d_－__r___(如图③)，点P到直线l的最大距离是 ___d_＋__r__(如图④)．
巧作辅助圆解决问题
巧作辅助圆解决问题在近几年中考试卷中，常出现这样一类题目，从表面上看是一个三角形或四边形问题，用三角形或四边形的知识来解决非常困难，甚至根本无法解决，但我们可以从已知条件中发现蛛丝马迹，也就是发现图形中的隐含特征，从而通过构造辅助圆，借助圆的知识来解决问题这样的问题一般具有以下特征一、到定点的距离等于定长例1如图1，在正方形ABCD外侧作直线DE，使45°＜∠CDE＜90°，点C关于直线DE的对称点为M，连接CM，AM，其中AM交直线DE 于点N，若MN＝4，AN＝3，则正方形ABCD的边长为( )。
A. B.5C.5D.解析:如图2，连接DM，由于点C、M关于直线DE对称,故直线DE垂直平分线段CM，因而DC＝DM.四边形ABCD是正方形，故DA＝DC＝DM，即点A、C、M到点D的距离相等，根据这一特征，我们可以想到，以点D为圆心，DA的长为半径画圆，则点C、M必在⊙D上.由∠ADC＝90°，可得∠AMC＝45°.连接CN，则CN＝MN＝4，故∠MCN＝∠AMC＝45°，从而∠ANC＝90°，连接AC，我们不难求出AC＝，选D。
点评:随着直线DE位置的变化，点M的位置也在变化，但它一定在以点D为圆心，DA的长为半径的圆上，这就是运动变化中的不变关系，解决这类问题的关键是抓住“A、C、M三点到点D的距离相等”这一特征，但这个特征比较隐蔽，不容易发现，要综合考虑本题中的所有条件，而且要有一定的洞察力和解题经验.事实上，这类问题中的隐含条件往往都不是一眼就能看出来的。
二、张角为直角例2如图3，在等腰R△ABC中，∠BAC=90º，AB=AC，BC=2，点D 是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为（）。
A、2-2B、C、-1D、-1解析：本题中点D在动，直径AD的大小在变，线段BD在动，点E也在动，运动变化中有不变的量吗?有！如图4，连接AE，由于AD为直径，故∠AED的大小保持不变，为直角，从而∠AEB始终为直角，∠AEB的两边经过线段AB的两个端点，我们不妨称∠AEB为线段AB所对的张角。
专题2.9辅助圆三种模型与真题训练-2022年中考数学考前30天迅速提分复习方案(全国通用)(原卷版
2022年中考数学考前30天迅速提分复习方案（全国通用）专题2.9辅助圆三种模型与真题训练题型一：定点定长构造辅助圆一．解答题（共3小题）1．（2019•新城区校级三模）圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形．（1）已知：如图1，OA＝OB＝OC，请利用圆规画出过A、B．C三点的圆．若∠AOB＝70°，则∠ACB＝．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BCA＝30°，AB＝2．（2）已知，如图2．点P为AC边的中点，将AC沿BA方向平移2个单位长度，点A、P、C的对应点分别为点D、E、F，求四边形BDFC的面积和∠BEA的大小．（3）如图3，将AC边沿BC方向平移a个单位至DF，是否存在这样的a，使得直线DF上有一点Q，满足∠BQA＝45°且此时四边形BADF的面积最大？若存在，求出四边形BADF面积的最大值及平移距离a，若不存在，说明理由．2．（2021•内乡县一模）（1）【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝°．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的数．（3）【问题拓展】如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．3．（2021•红谷滩区校级模拟）（1）学习心得：小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到有一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A 的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝．（2）问题解决：如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．（3）问题拓展：抛物线与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C，点P在抛物线上，直线PQ∥BC交x轴于点Q，连接BQ．①若含45°角的直线三角板如图所示放置，其中，一个顶点与C重合，直角顶点D在BQ上，另一顶点E在PQ上，求Q的坐标；②若含30°角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标．题型二：定弦定角构造辅助圆一．选择题（共3小题）1．（2022•睢阳区模拟）如图，正方形OABC中，A（8，0），B（8，8），点D坐标为（﹣6，0），连接CD，点P为边OA上一个动点，连接CP，过点D作DE⊥CP于点E，连接AE，当AE取最小值时，点E的纵坐标为（）A．3﹣B．4﹣C．D．2．（2021•永嘉县校级模拟）如图，△ABC，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝60°，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为（）A．B．7﹣4C．D．13．（2021•安徽二模）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E在AB上，＝，在矩形内找一点P，使得∠BPE＝60°，则线段PD的最小值为（）A．2﹣2B．C．4D．2二．填空题（共2小题）4．（2021•郯城县校级模拟）如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为．5．（2020•碑林区校级模拟）如图，等边△ABC中，AB＝6，点D、点E分别在BC和AC上，且BD ＝CE，连接AD、BE交于点F，则CF的最小值为．三．解答题（共3小题）6．（2019•新城区校级三模）圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形．（1）已知：如图1，OA＝OB＝OC，请利用圆规画出过A、B．C三点的圆．若∠AOB＝70°，则∠ACB＝．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BCA＝30°，AB＝2．（2）已知，如图2．点P为AC边的中点，将AC沿BA方向平移2个单位长度，点A、P、C的对应点分别为点D、E、F，求四边形BDFC的面积和∠BEA的大小．（3）如图3，将AC边沿BC方向平移a个单位至DF，是否存在这样的a，使得直线DF上有一点Q，满足∠BQA＝45°且此时四边形BADF的面积最大？若存在，求出四边形BADF面积的最大值及平移距离a，若不存在，说明理由．7．（2019•新城区校级一模）问题提出：如图1：在△ABC中，BC＝10且∠BAC＝45°，点O为△ABC的外心，则△ABC的外接圆半径是．问题探究：如图2，正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD两边上点且∠EAF＝45°，请问线段BE、DF、EF有怎样的数量关系？并说明理由．问题解决：如图3，四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠B＝45°，∠D＝135°，点E、F分别是射线CB、CD上的动点，并且∠EAF＝∠C＝60°，试问△AEF的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值．若不存在，请说明理由．8．（2019•碑林区校级一模）（1）如图1，已知△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝AC＝1，则S△ABC＝．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴上运动，点B在x轴上运动，且AB＝4，求△AOB面积的最大值．（3）如图3，⊙O的半径为2，弦AB＝2，点C为优弧上一动点，AM⊥AC交射线CB于点M，请问，△ABM的周长存在最大值还是最小值？若存在，求出相应的最值；若不存在，说明理由．题型三：对角互补构造辅助圆一．解答题（共5小题）1．（2020•碑林区校级模拟）问题提出：（1）如图①，半圆O的直径AB＝10，点P是半圆O上的一个动点，则△PAB的面积最大值是．问题探究：（2）如图②，在边长为10的正方形ABCD中，点G是BC边的中点，E、F分别是AD和CD边上的点，请探究并求出四边形BEFG的周长的最小值．问题解决：（3）如图③，四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，四边形ABCD 的周长是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．2．（2018•大荔县一模）（1）如图①，点A、点B在线段l的同侧，请你在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小（不需要说明理由）．（2）如图②，菱形ABCD的边长为6，对角线AC＝6，点E，F在AC上，且EF＝2，求DE+BF的最小值．（3）如图③，四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，四边形ABCD 的周长是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．3．（2021•内乡县一模）（1）【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝°．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的数．（3）【问题拓展】如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．4．（2021•红谷滩区校级模拟）（1）学习心得：小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到有一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A 的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝．（2）问题解决：如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．（3）问题拓展：抛物线与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C，点P在抛物线上，直线PQ∥BC交x轴于点Q，连接BQ．①若含45°角的直线三角板如图所示放置，其中，一个顶点与C重合，直角顶点D在BQ上，另一顶点E在PQ上，求Q的坐标；②若含30°角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标．5．（2020•梁园区一模）如图1，点B在直线l上，过点B构建等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，且AB＝AC，过点C作CD⊥直线l于点D，连接AD．（1）小亮在研究这个图形时发现，∠BAC＝∠BDC＝90°，点A，D应该在以BC为直径的圆上，则∠ADB的度数为°，将射线AD顺时针旋转90°交直线l于点E，可求出线段AD，BD，CD的数量关系为；（2）小亮将等腰直角三角形ABC绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD，BD，CD的数量关系是否变化，请说明理由；（3）在旋转过程中，若CD长为1，当△ABD面积取得最大值时，请直接写AD的长．【真题训练】一．选择题（共1小题）1．（2021•攀枝花）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（）A．2B．C．3D．二．解答题（共2小题）2．（2015•汕尾）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB＝4，D，E分别是边AB，AC的中点，若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．（1）如图1，当α＝90°时，线段BD1的长等于，线段CE1的长等于；（直接填写结果）（2）如图2，当α＝135°时，求证：BD1＝CE1，且BD1⊥CE1；（3）求点P到AB所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）3．（2014•淄博）如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．（1）使∠APB＝30°的点P有个；（2）若点P在y轴上，且∠APB＝30°，求满足条件的点P的坐标；（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB 最大的理由；若没有，也请说明理由．。
2020年中考数学总复习最值系列：辅助圆
2020年中考数学总复习最值系列：辅助圆最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以才会有最值．在将军饮马问题中，折点P 就是那个必须存在的动点．并且它的运动轨迹是一条直线，解题策略就是作端点关于折点所在直线的对称即可．当然，动点的运动轨迹是可以变的，比如P 点轨迹也可以是一个圆，就有了第二类最值问题——辅助圆．在这类题目中，题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来，因此，结合题目给的条件，分析出动点的轨迹图形，将是我们面临的最大的问题．若已经确定了动点的轨迹圆，接下来求最最值的问题就会变得简单了，比如：如下图，A 为圆外一点，在圆上找一点P 使得P A 最小．A当然，也存在耿直的题目直接告诉动点轨迹是个圆的，比如：【2017四川德阳】如图，已知圆C 的半径为3，圆外一定点O 满足OC =5，点P 为圆C 上一动点，经过点O 的直线l 上有两点A 、B ，且OA =OB ，∠APB =90°，l 不经过点C ，则AB 的最小值为________．l【分析】连接OP ，根据△APB 为直角三角形且O 是斜边AB 中点，可得OP 是AB 的一半，若AB 最小，则OP 最小即可． ll连接OC ，与圆C 交点即为所求点P ，此时OP 最小，AB 也取到最小值．一、从圆的定义构造圆圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．【2014成都中考】如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ’MN ，连接A ’C ，则A ’C 长度的最小值是__________．A'N MA B CD【分析】考虑△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ’MN ，可得MA ’=MA =1，所以A ’轨迹是以M 点为圆心，MA 为半径的圆弧．A'N MA BCD连接CM ，与圆的交点即为所求的A ’，此时A ’C 的值最小．DCB A M N A'构造直角△MHC ，勾股定理求CM ，再减去A ’M 即可．HA'N M A BCD。
中考压轴题专题：辅助圆的应用
辅助圆的应用【学习目标】1、熟练掌握利用圆构造等腰三角形和直角三角形；2、学会在恰当的时候利用圆为辅助线解决实际问题.【重点难点】利用圆为辅助线解决实际问题.【学习过程】一、 利用“两圆一中垂线”构造等腰三角形如图，已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)与y 轴交于点C ．(1)抛物线的解析式为 ；(2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CAP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标．二、 利用“两垂线一圆”构造直角三角形如图，已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ．在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△CBQ 是直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标．三、 利用圆求线段的最值1. 如图①，菱形ABCD 的边长为2，∠ABC=60°，点E 是AD 边的中点，F 是CD 上的动点，将△DEF 沿EF 折叠，点D 落在P 处,则线段BP 最短时的长度为 .2. 如图②，在Rt △ABC 中，∠CAB=90°，AC=AB=1，以AC 上动点O 为圆心，以AO 为半径作圆O ，交AC 于点D ，连接BD 交圆O 于点E ，则CE 的最小值为3.如图③，⊙O 的半径为5，OP=3，经过点P 的最长弦为 ，最短弦为 .四、 三点及三点以上到同一点距离相等，作辅助圆如图，四边形ABCD 中，DC ∥AB ，BC=2，AB=AC=AD=4．则BD 的长为 .BD图① 图③图②B五、 四点共圆时作辅助圆1. 如图①，在△ABC 中， BE 和CD 分别是AC 和AB 边上的高，连接DE ，△ADE 与四边形DBCE 的面积比为1:8，则sinA= .2.如图②，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°,∠ACB=30°,在Rt △ADC 中，∠ADC=90°，∠ACD=45°，若BD=8，则AB= .思考：如何判断四点共圆？六、 利用圆的切线性质作辅助圆如图，在平面直角坐标系内A （8,0），B （0,6），若直线L 与AB 平行，且在直线L 上有且只有一点P 使∠OPA=90°，求满足条件的直线L 的解析式.七、 利用圆构造相等角（课后拓展）如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）与x 轴交于A （1，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于C （0，2），连接AC 、BC ．（1）BC 的垂直平分线交抛物线于D 、E 两点，则直线DE 的解析式为 ；（2）若点P 在抛物线的对称轴上，且∠CPB=∠CAB ，求出所有满足条件的P 点坐标．25. 在矩形ABCD 中，点P 在AD 上，AB =2，AP =1，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的B A 图①图②两直角边分别能与AB 、BC 边相交于点E 、F ，连接EF ．（1）如图，当点E 与点B 重合时，点F 恰好与点C 重合，求此时PC 的长；（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P 顺时针旋转，当点E 与点A 重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：① ∠PEF 的大小是否发生变化？请说明理由；② 在旋转中，当点F 与BC 边中点重合时，求四边形AEFP 的面积；③ 直接写出从开始到停止，线段EF 的中点所经过的路线长．备用图 16．如图，在平面直角坐标系中，直线334y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．点Q 在直线AB 上，点P 在x 轴上，且∠OQP =90°．（1）当点P 与点A 重合时，点Q 的坐标为 ▲ ； （2）设点P 的横坐标为a ，则a 的取值范围是 ▲ ．1．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D 为AB 边上一点，过点D 作CD 的垂线交直线BC于点E ，则线段CE 长度的最小值是 .注解，以CE 为固定值，当作直径作圆与AB 是否有交点。
2021年河南省中考数学总复习：辅助圆问题
微专题 辅助圆问题
微专题 辅助圆问题
(10年9考，常在几何图形折叠与动点问题中涉及考查)
模型一 定点定长作圆
模型分析
平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹在以点A为圆心， AB长为半径的圆上(如图①). 依据的是圆的定义：圆是所有到定点的距离等于定长 的点的集合.
微专题 辅助圆问题
2. 如图，⊙O与直线l相离，点P是⊙O上的一个动点，设圆心O到直线l的距离为d， ⊙O的半径为r，则点P到直线l的最小距离是 d－r (如图③)，点P到直线l的最 大距离是 d＋r (如图④).
微专题 辅助圆问题
针对训练
7. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF
微专题 辅助圆问题
2. 圆内接四边形对角互补，因此遇到四边形ABCD中的动点问题，若满足其 中一组对角角度之和等于180°，可考虑作它的外接圆解题.如图③，在四边 形ABCD中，满足∠ABC＋∠ADC＝180°，可知四边形ABCD有外接圆⊙O， 其圆心O为任意一组邻边的垂直平分线的交点(点O为AB和BC垂直平分线的交 点).
微专题 辅助圆问题
图①
图②
推广：如图②，点E为定点，点F为线段BD上的动点(不含点B)，将 △BEF沿EF折叠得到△B′EF，则点B′的运动轨迹为以点E为圆心，以线 段BE为半径的一段圆弧.
微专题 辅助圆问题
针对演练 1. 如图，已知OC＝3，点A、B分别是平面内的动点，且OA＝2，BC＝4，请在 平面内画出点A、B的运动轨迹.
第1题图
微专题 辅助圆问题
解：如解图，点A的运动轨迹为⊙O，点B的运动轨迹为⊙C.
绝杀中考压轴题：“辅助圆模型”
辅助圆模型1 . 共端点，等线段模型分析：（1）若有共端点的三条等线段，可思考构造辅助圆。
一般来说，构造辅助圆是为了利用圆的性质来解决角度问题。
例子：如图，△ABC和△ACD都是等腰三角形，AB=AC，AC=AD，连接BD。
求证：∠1+∠2=90°。
证明：利用模型构造辅助圆，∵AB=AC，∴∠ABC=∠2，∵∠BAC=2∠1，∴2∠2+2∠1=180°，∴∠1+∠2=90°。
方法二：利用模型构造辅助圆，延长CA交圆于点E，联结BE，∵CA是直径,∴∠EBC=90°。
∴∠E+∠2=90°，∵∠1=∠E，∴∠1+∠2=90°针对训练：如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，在△ABC的外侧作直线AP，点B与点D关于AP轴对称，连接BD、CD，CD与AP交于点E。
求证：∠1=∠2。
提示：可知AD=AB=AC,构造辅助圆可知关键的相等关系，∠1=2∠BDC,∠BDC=∠EBD，∠2=2∠BDC，∠1=∠2。
模型2. 直角三角形共斜边模型分析：共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都有四点共圆，再根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的代替，是证明角相等的思路之一。
例子：如图，AD、BE、CF为△ABC的三条高，H为垂心，求证：∠ADF=∠ADE。
证明：利用模型，可知B、C、E、F四点共圆，∴∠FBE=∠FCE,B、D、H、F四点共圆，∴∠ADF=∠FBE,D、C、E、H四点共圆，∴∠ADE=∠FCE,∴∠ADF=∠ADE。
针对训练：如图，已知△ABC中，AH是高，AT是角平分线，且TD⊥AB，TE⊥AC。
求：∠AHD=∠AHE。
提示：利用模型可知，A、D、T、E四点共圆，且AT为直径，联结OH,∵AH⊥BC，∴△ATH是直角三角形。
∴OH=1/2AT（O是AT中点）,∴点H在圆上，∵AT是角平分线，TD⊥AB，TE⊥AC。
∴△ATD≌△ATE,∴AD=AE,∴∠AHD=∠AHE。
2023年安徽中考数学总复习专题：辅助圆问题(PDF版,有答案)
2023年安徽中考物理总复习专题：辅助圆问题类型一定点定长（1）利用几个点到定点距离相等构造圆典例1如图，点O为线段BC的中点，点A、C、D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是 ．【思路点拨】根据题意得到四边形ABCD共圆，利用圆内接四边形对角互补即可求出所求角的度数．解：由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示，∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝40°，∴∠ADC＝140°，故答案为：140°．【关键点】此题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解本题的关键．针对训练1．如图，四边形ABCD内有一点E，AE＝BE＝DE＝BC＝DC，AB＝AD，若∠C＝100°，则∠BAD的大小是（ ）A．25°B．50°C．60°D．80°（2）翻折产生隐圆典例2如图，等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一点，且PB＝6，直线l经过点P，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点为点B'，在直线l变化的过程中，则△ACB'面积的最大值为 ．【思路点拨】由已知确定B'在以P为圆心，PB为半径的圆上，过点P作PH⊥AC交于H，当B'、P、H三点共线时，S△AB'C的面积最大，再求面积即可．解：由对称性可知，PB＝PB'，∴B'在以P为圆心，PB为半径的圆上，过点P作PH⊥AC交于H，当B'、P、H三点共线时，S△ACB'的面积最大，∵∠BAC＝60°，PB＝6，AB＝8，∴AP＝2，在Rt△APH中，PH＝AP•sin60°＝2×32=3，∴B'H＝6+3，∴S△AB'C=12×8×（6+3）＝24+43，故答案为：24+43．【关键点】本题考查折叠的性质，熟练掌握折叠的性质，等边三角形的性质，能判断点B'的运动轨迹是解题的关键．针对训练2．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，P，Q分别是BC，AB上的两个动点，AE＝1，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD的最小值是（ ）A．5B．4C．22D．25类型二定角对定弦构造圆（1）定直角对定边典例3已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是直线BC、CD上的动点，且满足BE＝CF，连接AE、BF，交点为P点，则PD的最小值为 ．【思路点拨】先证明△ABE≌△BCF，即可得到∠APB＝90°，所以点P在以AB为直径的圆上，由图形可知：当O、P、D在同一直线上时，DP有最小值，然后根据勾股定理即可解决问题．解：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠BCD，在△ABE和△BCF中，AB=BC∠ABE=∠BCF，BE=CF∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，∵∠CBF+∠ABF＝90°，∴∠BAE+∠ABF＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的圆上，由图形可知：当O、P、D在同一直线上时，DP有最小值，如图所示：∵正方形ABCD，BC＝2，∴AO＝1＝OP，Rt△OAD中，OD=22+12=5，∴PD＝OD﹣OP=5―1．【关键点】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解决本题的关键是得到△ABE≌△BCF．针对训练3．如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为 ．4．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB＝10，AC＝8，D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值等于 ．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为 226―2 ．（2）任意角对定边典例4如图，△ABC为等边三角形，AB＝3．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为（ ）A．1.5B．3C．433D．2【思路点拨】由等边三角形的性质得出∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝3，求出∠APC＝120°，当O、P、B共线时，PB长度最小，由等边三角形的性质得出AD＝CD=12 AC=32，∠PAC＝∠ACP＝30°，求出PD和BD的长，可得PB的长，即可得出答案．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝3，∵∠PAB＝∠ACP，∴∠PAC+∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，∴点P的运动轨迹是AC，设AC所在圆的圆心为O，当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示：此时PA＝PC，OB⊥AC，则AD＝CD=12AC=32，∠PAC＝∠ACP＝30°，∠ABD=12∠ABC＝30°，∴PD=32，BD=332，∴PB＝BD﹣PD=332―32=3．故选：B．【关键点】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识；作辅助线构建圆是解决问题的关键．针对训练6．在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是 ．7．在平面直角坐标系中，已知A（3，0），B（﹣1，0），点C是y轴上一动点，当∠BCA＝45°时，点C的坐标为 ．类型三对角互补构造圆典例5如图，AB是⊙O的直径，M、N是AB（异于A、B）上两点，C是MN上一动点，∠ACB 的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是 ．【思路点拨】连接EB，设OA＝r，作等腰直角三角形ADB，AD＝DB，∠ADB＝90°，则点E在以D为圆心DA为半径的弧上运动，运动轨迹是GF，点C的运动轨迹是MN，由题意∠MON＝2∠GDF，设∠GDF＝α，则∠MON＝2α，利用弧长公式计算即可解决问题．解：如图，连接EB，设OA＝r∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．∴E是△ACB的内心，∴∠AEB＝135°，作等腰直角三角形ADB，AD＝DB，∠ADB＝90°，则点E在以D为圆心DA为半径的弧上运动，运动轨迹是GF，点C的运动轨迹是MN，由题意∠MON＝2∠GDF，设∠GDF＝α，则∠MON＝2α，∴弧MN的长度：弧GF的长度=2α×π×r180α×π×2r180=2．故答案为：2．【关键点】本题考查了轨迹，圆周角定理，弧长公式，解决本题的关键是掌握与圆有关的性质．针对训练8．如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一动点，P和C不重合，连接AP，AP的垂直平分线交BD于点G，交AP于点E，在P点由B点到C点的运动过程中，∠APG的大小变化情况是（ ）A．变大B．先变大后变小C．先变小后变大D．不变综合训练1．如图，等边△ABC的边长为3，F为边BC上的动点，FD⊥AB于D，FE⊥AC于E，则DE的长（ ）A．随点F运动而变化，最小值为94B．随点F运动而变化，最大值为94C．随点F运动而变化，最小值为323D．随点F运动，其值不变2．在直角坐标系xOy中，点O（0，0），动点A（t，t）在第一象限，动点B（0，m）在y 轴上．当AB＝4时，△OAB面积的最大值为（ ）A．8B．42+4C．43+4D．823．如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE 于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为（ ）A．5B．213―2C．6D．25+24．在△ABC中，若AB＝6，∠ACB＝45°．则△ABC的面积的最大值为 ．5．如图，在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝120°，则△ABC周长的最大值为 ．6．如图，∠MON＝90°，直角三角形ABC斜边的端点A，B分别在射线OM，ON上滑动，BC＝1，∠BAC＝30°，连接OC．当AB平分OC时，OC的长为 ．7．如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF 的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为 cm．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D是BC上一动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是 ．9．（1）【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC 是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝ °．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的数．（3）【问题拓展】如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD 于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 ．参考答案针对训练1．B【解析】连接BD，并延长AE交BD于点O，∵AE＝BE＝DE＝BC＝DC，AB＝AD，∴四边形BCDE是菱形，∵∠C＝100°，∴∠BED＝100°，∵EA＝EB＝ED，∴∠EAB＝∠EBA，∠EAD＝∠EDA，∵∠BEO＝∠EAB+∠EBA，∠DEO＝∠EAD+∠EDA，∴∠BED＝2∠BAD，∴∠BAD＝50°．2．B【解析】如图作点D关于BC的对称点D′，连接PD′，ED′．∵DE＝3，DD′＝4，∴ED′=DE2+DD′2=5，∵DP＝PD′，∴PD+PF＝PD′+PF，∵EF＝EA＝1是定值，∴当E、F、P、D′共线时，PF+PD′定值最小，最小值＝5﹣1＝4，∴PF+PD 的最小值为4．3．2【解析】∵AB⊥BC，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠PAB＝∠PBC，∴∠BAP+∠ABP ＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上，当O、P、C共线时PC最小，在Rt△BCO中，AB＝6，BC＝4，∴OB=12AB＝3，∴OC=OB2+BC2=5，∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．∴PC最小值为2．4．213―4【解析】如图，取AC 的中点O '，连接BO ′、BC ．∵CE ⊥AD ，∴∠AEC ＝90°，∴在点D 移动的过程中，点E 在以AC 为直径的圆上运动，∴CO '=12AC ＝4，∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，在Rt △ABC 中，∵AC ＝8，AB ＝10，∴BC =AB 2―AC 2=102―82=6，在Rt △BCO ′中，BO ′=BC 2+CO′2=62+42=213，∵O ′E +BE ≥O ′B ，∴当O ′、E 、B 共线时，BE 的值最小，最小值为O ′B ﹣O ′E ＝213―4．5．226―2【解析】连接CE ，取BC 的中点F ，作直径为BC 的⊙F ，连接EF ，AF ，∵BC ＝4，∴CF ＝2，∵∠ACB ＝90°，AC ＝10，∴AF =AC 2+CF 2=104=226，∵CD 是⊙O 的直径，∴∠CED ＝∠CEB ＝90°，∴E 点在⊙F 上，∵在D 的运动过程中，AE ≥AF ﹣EF ，且A 、E 、F 三点共线时等号成立，∴当A 、E 、F 三点共线时，AE 取最小值为AF ﹣EF ＝226―2．6．4＜BC ≤833【解析】作△ABC 的外接圆，如图所示，∵∠BAC ＞∠ABC ，AB ＝4，当∠BAC ＝90°时，BC 是直径最长，∵∠C ＝60°，∴∠ABC ＝30°，∴BC ＝2AC ，AB =3AC ＝4，∴AC =433，∴BC =833；当∠BAC ＝∠ABC 时，△ABC 是等边三角形，BC ＝AC ＝AB ＝4，∵∠BAC ＞∠ABC ，∴BC 长的取值范围是4＜BC ≤833．7．（0，2+7）或（0，﹣2―7）【解析】如图，先作等腰直角△PAB ，再以P 点为圆心，PA 为半径作⊙O 交y 轴于C 点，作PD ⊥y 轴于D ，可得P （1，2），PA ＝22，∴PC ＝22，∴CD =(22)2―12=7，∴OC ＝2+7，∴C （0，2+7），同理可得C ′（0，﹣2―7），综上所述，满足条件的C 点坐标为：（0，2+7）或（0，﹣2―7）．8．D 【解析】连接AC 交BD 于O ，连接EO 、AG ，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠AOB ＝90°，∵EG 是AP 的垂直平分线，∴AG ＝PG ，∠AEG ＝∠AOB ＝90°，∴A 、E 、G 、O 四点共圆，∴∠PAG ＝∠EOB ，∠APG ＝∠PAG ，∴∠EOG ＝∠APG ，∵四边形ABCD是菱形，∴OA ＝OC ，∵AE ＝PE ，∴OE ∥BC ，∴∠EOB ＝∠DBC =12∠ABC ，∵菱形ABCD 固定，∴∠ABC 的度数固定，即∠APG 的度数不变．综合训练1．A 【解析】作AG ⊥BC 于G ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝60°，∴AG =32AB =332，∵S △ABF +S △ACF ＝S △ABC ，∴12AB •DF +12AC •EF =12BC •AG ，∵AB ＝AC ＝BC ＝3，∴DF +EF ＝AG =332，∵△DEF 中，DE ＜DF +EF ，∴DE 的长随F 点运动而变化，当F 运动到BC 中点时DE 最小值为94（四边形ADFE 四点共圆，当直径AF 最小时，DE 的值最小，根据垂线段最短，可得结论）．2．B【解析】根据条件可知，∠AOB＝45°，AB＝4，以AB为弦，所对圆周角等于45°作一辅助圆，如图所示，当点O位于优弧中点时，点O到直线AB的距离最大，即“高”最大，而底AB为定值4，所以此时△OAB的面积最大，计辅助圆圆心为G，∠AGB＝90°，AG＝BG＝22，所以点O位于优弧中点时，点O到直线AB的距离为22+2，所以△OAB面积的最大值12×4×（22+2）＝42+4．3．B【解析】如图，取点C关于直线DA的对称点C′．以AB中点O为圆心，OA为半径画半圆．连接OC′交DA于点P，交半圆O于点F，连AF．连BF并延长交DA于点E．由以上作图可知，AF⊥EB于F．PC+PF＝PC'′+EF＝C'F，由两点之间线段最短可知，此时PC+PF最小．∵C'B'＝4，OB′＝6，∴C'O=42+62=213，∴C'F＝213―2，∴PC+PF的最小值为213―24．92+9【解析】作△ABC的外接圆⊙O，过C作CM⊥AB于M，∵弦AB已确定，∴要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，如图所示，当CM过圆心O时，CM最大，∵CM⊥AB，CM过O，∴AM＝BM（垂径定理），∴AC＝BC，∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，∴OM＝AM=12AB=12×6=3，∴OA=OM2+AM2=32，∴CM＝OC+OM＝32+3，∴S△ABC=12AB•CM=12×6×（32+3）＝92+9．5．2+433【解析】如图所示，延长AC至P，使CB＝CP，则∠P＝∠PBC，∵∠ACB＝∠P+∠PBC＝90°，∴∠P＝60°，作△ABP的外接圆，当AP为△ABP的外接圆的直径时，AP最长，AP＝AC+CP＝AC+CB，则∠ABP＝90°，∴△ABP是直角三角形，∴PB=3 3AB=233，∴AP＝2PB=433，∴△ABC周长的最大值＝AB+AC+BC＝AB+AP＝2+433．6．2或3【解析】①当OA＝OC时，∵∠ACB＝∠AOB＝90°，AB＝AB，∴△ACB≌△AOB（HL），∴BC＝BO，∴AB垂直平分线段OC，∵∠ACB＝∠AOB＝90°，∴A，O，B，C四点共圆，∴∠CAB＝∠COB＝30°，∴∠AOC＝60°，∵AC＝OA=3，∴△AOC 是等边三角形，∴OC＝AC=3．②当四边形AOBC是矩形时，此时AB平分OC，∴OC ＝AB＝2，综上所述，满足条件的OC的值为3或2．7．（10―2）【解析】设正方形的中心为O，可证EF经过O点．连接OB，取OB中点M，连接MA，MG，则MA，MG为定长，∴MA=10，MG=12OB=2，AG≥AM﹣MG=10―2，当A，M，G三点共线时，AG最小＝（10―2）cm．8．33【解析】如图，取AC的中点O，连接OE，OF，延长FE交AB于T．∵∠ACB＝90°，AB＝4，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，AC=12AB＝2，∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∵AO＝OC＝1，∴OE=12AC＝1，∴点E在以O为圆心，1为半径的圆上运动，∵FT⊥AB，∴当FT与⊙O相切时，CF的值最大，∵直线CF，直线EF都是⊙O的切线，∴FC＝FE，∴∠FCE＝∠FEC，∵∠CAE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠ECF＝90°，∴∠CAE ＝∠FCE，∵∠CEF+∠AET＝90°，∠AET+∠EAT＝90°，∴∠FEC＝∠EAT，∴∠CAE ＝∠EAT＝30°，∵CF＝FE，OC＝OE，∴OF⊥EC，∵AD⊥CE，∵OF∥AD，∴∠COF＝∠CAD＝30°，∴CF＝OC•tan30°=33，∴CF的最大值为33．9．【解析】（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AC，∴以点A为圆心，AB为半径作圆A，点B、C、D必在⊙A上，∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，∴∠BDC=12∠BAC＝45°，当点D在BC的下方时，∠BDC＝135°，故答案是：45或135；（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴点A、B、C、D共圆，∴∠BDC＝∠BAC，∵∠BDC＝25°，∴∠BAC＝25°，（3）如图3，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，在△ABE和△DCF中，AB=CD∠BAD=∠CDAAE=DF，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1＝∠2，在△ADG和△CDG中，AD=CD∠ADG=∠CDGDG=DG，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，∴∠1+∠BAH＝90°，∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，则OH＝AO=12AB＝1，在Rt△AOD中，OD=AO2+AD2=12+22=5，根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，∴当O、D、H三点共线时，DH最小值＝OD﹣OH=5―1．（解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB，AB直径的半圆AB上运动当O、H、D三点共线时，DH长度最小）。
中考复习有关辅助圆习题选用
中考复习-—辅助圆习题选用 （苏华强供稿）例1。
如图，四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AD ＝DC ＝DB ＝p ,BC ＝q .求对角线AC 的长。
分析：由“AD ＝DC ＝DB ＝p ”可知A 、B 、C 在半径为p 的⊙D 上.利用圆的性质即可找到AC 与p 、q 的关系。
解:延长CD 交半径为p 的⊙D 于E 点,连结AE 。
显然A 、B 、C 在⊙D 上.∵AB ∥CD , ∴弧BC ＝弧AE 。
从而,BC ＝AE ＝q 。
在△ACE 中，∠CAE ＝90°,CE ＝2p ，AE ＝q ，故 AC ＝22AE CE -＝224q p -。
例2。
已知Rt△ABC 中，AC ＝5，BC ＝12，∠ACB＝90°，P 是边AB 上的动点,Q 是边BC 上的动点，且∠CPQ＝90°，求线段CQ 的取值范围． 解析：以CQ 为直径作⊙O，根据直径所对的圆周角是直角,若AB 边上的动点P 在圆上，∠CPQ 就为直角．当⊙O 与AB 相切时，直径CQ 最小．由切线长定理，得AP ＝AC ＝5,所以BP ＝13―5＝8．再根据切割线定理，得BP 2＝BQ·BC，所以 BQ ＝316，CQ ＝320．当点Q 与点B 重合时，直径CQ 最大，此时ＣＱ＝１２． 综上所述，320≤CQ≤12．1. 如图，B 是线段AC 的中点，过点C 的直线l 与AC 成60°的角,在直线l 上取一点P ，使得∠APB=30°,则满足条件的点P 的个数是（ ）（A)3个 (B ）2个 (C)1个 （D ）不存在分析：要在直线l 上找点P 使∠APB=30°，可以构造以AB 为边作等边三角形ABO, 则∠AOB=60°，然后以O 为圆心，AB 为半径，作圆O,如图，∵△ABO 为等边三角形。
∴OB ∥l ，∴点O 到l 的距离d2。
已知：在⊿ABC 中,AB=AC,且∠A=120°，在BC 另一侧有一点P ，满足∠BPC=120°，求PA 的长3.如图1,AB=AC=AD ，如果∠DAC 是∠CAB 的K 倍(K 为实数）。
中考《例说辅助圆的作用》复习指导考点分类汇编
例说辅助圆的作用有些问题乍看与圆没有什么联系，解答时添加辅助圆却能使问题方便获解.一、辅助圆的切线与过切点的半径构成直角例 1 (河南)已知在正方形ABCD 中，CD =，若点P 满足1PD =，且90BPD ∠=︒，求点A 到BP 的距离.解 PD=1，90BPD ∠=︒，BP ∴是以点D 为圆心以1为半径的⊙D 的切线，点P 为切点，BP PD ∴⊥，2BD =,Rt BPD 中，BP ===作AM BP ⊥于M ，则AM 即为点A 到BP 的距离.第一种情况:如图1，当BP 与正方形的边AD 的交点为N 时.设AN x =，BN y =,则DN x =，PN y =.Rt ANB Rt PND ,AN BN AB PN DN PD∴==.==解得2x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 在Rt ABN 中， 231AB AN x AM BN y -===,第二种情况:如图2，当BP 与正方形的边CD 的交点为N 时.设BN x =，CN y =,则PNx =，DN y =,Rt BCN Rt DPN,BN CN BCDN PN PD∴==.1==,解得2xy⎧=⎪⎨=⎪⎩容易得到Rt ABM Rt BNCAM ABBC BN∴==.12AM∴=.二、已知角看作辅助圆直径所对的圆内角例 2 (广州)已知平面直角坐标系中两定点(1,0)A-，(4,0)B，抛物线22y ax bx=+-(0)a≠过点A，B，顶点为C，点(,)P m n(0)n<为抛线上一点，当APB∠为钝角时，求m的取值范围.解把(1,0)A-，(4,0)B分别代入22y ax bx=+-，得0201642a ba b=--⎧⎨=+-⎩，解得1232ab⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴抛物线的解析式为213222y x x=--如图3，设AB中点为M，由A、B两点坐标得点M坐标为3(,0)2∵抛物线与y轴交于点(0,2)D-，连结DM，AD，BD则在Rt ODM中52DM AM BM ==== ∴点D 在AB 为直径的⊙M 上，这时90ADB ∠=︒根据抛物线的对称性可知，抛物线上还存在点D 关于直线32x =的对称点(3,2)E -，也在以AB 为直径的⊙M 上，这时90AEB ∠=︒∵点(,)P m n 在抛物线上，∴当APB ∠为钝角时，m 的取值范围是10m -<<，或34m <<.三、辅助圆为待解直角三角形的旁切圆例3 (徐州)如图4，正方形ABCD 的边长为2，点E 、F 分别在边AD 、CD 上，若45EBF ∠=︒，则EDF 的周长等于解 如图4，以点B 为圆心以正方形的边AB 为半径画圆B ，则边AD 和CD 与圆B 分别相切于点A 和C .作圆B 的切线'FE ，交边AD 于'E ，和圆B 相切于点'A ，连结'BE 、'BA , 则'BA BA =，'''A E AE =又''BE BE ='''BA E BAE ∴≅'''A BE ABE ∴∠=∠同理可得'A BF CBF ∠=∠1''''452A BE A BF ABE CBF ABC ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒ 即'45E BF ∠=︒而45EBF ∠=︒ 'E BF EBF ∴∠=∠∵射线'BE 和BE 在射线BF 的同侧，∴'BE 和BE 重合∴点'E 和E 重合∴EF 与'E F 重合∴圆B 是EDF 的旁切圆∴EDF 的周长等于24CD =.四、所求线段作为辅助回的弦或者直径例4 (南通)矩形ABCD 中，3AB =，4AD =，E 为AB 上一点，1AE =，M 是AD 上一动点，直线EM 与直线CD 交于点F ，MC EM ⊥，求线段MC 的长.解 如图5 在Rt BCE 中EC ==取EC 中点O ，作OH AD ⊥，垂足为H ， 则1312222AE CD OH EC ++===< 作Rt BCE 的外接圆O ，且与AD 交于N ，M 两点(O 与AD 距离小于半径).而12OM ON EC ===1HM HN ∴==∴在直角梯形OCDH 中，1DH ==211DM DH HM ∴=-=-=213DN DH HN =+=+=由于CM 和CN 都与EF 垂直，且点M ，N 都在线段AD 上，所以DM ，DN 都符合题意.在Rt CDM 中，得MC ==在Rt CDN 中，得NC =故MC 或例5 (2014年济南)如图6，抛物线233162y x x =-+过x 轴上点A ，顶点为B ，对称轴与x 轴相交于点C ，直线AB 与y 轴相交于点P ，点M 为线段OA 上的动点，PMN ∠为直角，边MN 与AP 相交于点N .设OM t =，试探究:t 为何值时线段PN 的长度最小，最小长度是多少.解 由抛物线的解析式得，顶点B 的坐标为(4,3)，(8,0)A . BC 是对称轴，C 是OA 的中点，B ∴是PA 的中点，26OP BC ∴==.如图6，以PN 为直径作⊙K ，当⊙K 与x 轴相切时PN 的值最小(此时点M 是切点)， 否则当⊙K 与x 相离时PMN ∠就成了锐角不合题意;当⊙K 与x 轴相交时，有PMN ∠为直角但PN 不是最小.由8OA =，6OP =，得10AP =.连结KM ，则KM OA ⊥，AMK AOP ∴，KM AK PO AP∴= 即KM AP KM PO AP-= 亦即10610KM KM -=. 154KM ∴= 即⊙K 的半径为154 15251044AK ∴=-=5AM == 3OM ∴=，即3t =时PN 的长度最小，PN 的最小值为152. 由上述分析可见，墉助圆具有整合题中信息，提高解题效率的作用，如果不作辅助圆，有些问题利用其他方法可能很难奏效，同学们必须重视这一方法的运用.。