现代设计方法-有限元法-2

V V
其中自变量d*也是空间坐标（x,y,z）的函数
• 变分原理:泛函数(d* ) 的极小值所对应的d*为问题的最优解d 通过变分法计算泛函数的极值：
(d* ) 0 d
• 里茨法：通过假设虚位移将变分运算转化为导数运算
假设满足约束条件的虚位移为幂级数的形式：
d * ( x) a1 a2 x L an xn1
代入泛函数： (d* ) (a1, a2 ,L , an )
变分问题的里茨法
泛函数的变分计算转化为一般函数的求导运算：
(d* ) 0
0 i 1, 2,L , n a1 , a2 ,L , an ai
难点：假设满足整个弹性体位移约束条件的虚位移函数 较困难
• 有限元法实质上是分片里茨法：先划分网格，再在每个单元
• • • • •
d*T P ε*Tσdxdydz
V
有限元法中常利用虚位移原理代替平衡微分方程，建立位移 和外力间的关系推导单元刚度矩阵；在进行载荷移置时也采 用的是虚位移原理。
变分问题的里茨法
泛函数：
(d* ) ε*TσdV d* P d*T LTσdV d*T P
能量原理
d ε σ F 物理方程 几何方程 平衡微分方程
通常可利用能量原理代替平衡微分方程，更方便地建立位移和外力间 的关系 – 应力法 – 混合法
ε = Ld
σ = Dε = DLd
LTσ +Fv = LTDLd+Fv = 0
5.2.2 能量原理
应变能
在弹性体内取一微分体，其应变能：
y
dy
xy yx y yz
x
xz
xz dx x
xz
xy x
dz
x dx x
xy
yx
dx
yx y
y
dy
y y
x
dy
zx z
zy
dx
dy
z
z dz z
平衡微分方程
yx y yz
5.2 弹性力学基本方程与能量原理
5.2.1弹性力学基本方程
平衡微分方程
• 表示内力（应力）与外力（体力）的关系 • 外力分为两类：
– 面力：分布在弹性体表面上的载荷，如压力、集中力、分布 力。用面力密度表示： X Y Z T P

– 体力：分布在弹性内的载荷，如重力、惯性力、电磁力。用 体力密度表示：Pv X Y Z T
F
dx
x
0:
dy
平衡微分方程 （3个方程）
表为矩阵形式：
L σ + Pv = 0
T
L 为微分算子矩阵
x L y z
y z x z
y x

比较平面应力问题和平面应变问题，两者仅弹性矩阵D 不同
y
几何特征：一个方向的尺寸（z向）较另两个方向的尺寸大很多 载荷特征：同平面应力问题 实例：重力坝，轧辊，导轨等 与z相关的应变为0： z yz zx 与z相关的剪应力为0，正应力不为0，但不独立：
yz zx 0 z ( x y )
– 取厚度为1的典型截面建模 – 未知数减少：同平面应力问题
上应用里茨法，给假设位移函数带来方便。
5.2.3 两类平面问题
x
z x
y
y
平面应力
平面应变
两类平面问题
z x
• 平面应力问题
– 几何特征：一个方向的尺寸（z向） 较另两个方向的尺寸小很多 – 载荷特征：载荷平行于xy平面，且 沿z向不变 – 实例：连杆，齿轮等 – 与z相关的应力为0： z yz zx – 与z相关的剪应变为0，线应变不为0， 但不独立：


平衡微分方程
考虑剪应力互等定律，空间任意点有6个独立应力分量：
x
y z xy yz zx
z
z dz z
T
从弹性体内部取一微分六面体
zx
zx dz z
zy
zy z
dz
z
yz
yz y
x
力边界条件
几何方程
• 反映应变与位移的关系 • 对应于6个应力分量，存在6个应变分量 –线应变 ：单位长度的变形，即变形率，一个下标表示 变形方向，伸长为正 –剪应变（角应变） ：两个方向间夹角的变化，两个下 标分别表示哪两个方向的夹角。夹角减小为正

u v w y z 由定义得： x x y z 几何方程（6个方程） u v v w w u xy yz zx y x z y x z
dU 1 1 ( x x y y z z xy xy yz yz zx zx ) σ Tε 2 2
整个弹性体的应变能：
U
V
1 1 T dU σ εdV εTσdV 2 V 2 V
虚位移原理
处于平衡状态的变形体发生体系所允许的任意微小位移时， 外力在虚位移上所作的功等于虚位移所引起的应变能。 平衡状态：不含动能 变形体：可以是弹性体，也可以是塑性体 允许位移：满足约束条件的位移 微小位移：运动过程中，力的方向不变 虚位移：体系所允许的任意微小的假设位移
yx x zx ( x dx)dydz ( yx dy)dxdz ( zx dz)dxdy Xdxdydz x dydz yx dxdz zx dxdy 0 x y z
化简得： 同理得：
x xy xz X 0 x y z y xy yz Y 0 y x z z yz xz Z 0 z y x
表为矩阵形式：
几何方程
x x y z ε xy y yz zx z u z v Ld w y x
y
x z
物理方程
• 表示应力与应变间的关系 • 即广义虎克定律（6个方程）
1 1 x y z E (1 ) 1 σ xy (1 )(1 2 ) 0 yz zx 0 0

1 1

1
0 0 0 1 2 2(1 ) 0 0
0 0 0 0 1 2 2(1 ) 0

1 1 0 0 0

1 0 0 0
0 x 0 y z Dε 0 xy yz 0 zx 1 2 2(1 ) 0
• 应力分为两类：
– 正应力 ：垂直于作用面的法向应力，用一个下标表示作用 面（法矢量方向） – 剪应力 ：平行于作用面的切向应力，两个下标，第一个下 标表示作用面，第二个下标表示应力方向 – 符号规定：正表面（法矢量方向与坐标轴同向）上的应力分 量与坐标轴同向为正；负表面上的应力分量与坐标轴反向为 正
平衡微分方程
在弹性体的表面上取一微分四面体，建立应力与面力间的平衡微分方程
Y
n

X

x
xy yx y
X x cos(n, x) xy cos(n, y ) xz cos(n, z ) Y yx cos(n, x) y cos(n, y ) yz cos(n, z ) Z zx cos(n, x) zy cos(n, y ) z cos(n, z )
y
yz zx 0 z

1
( x y )
– 未知数减少：2个位移分量(u,v), 3个 应力分量( x , y , xy ) ， 3个应变分 量 ( x , y , xy ) ，方程数量也相应减 少
x
两类平面问题
• 平面应变问题
– – – – –
xz
zx
zx dz z
zy
zy z
dz
z
yz
yz y dy y y
y
x
xy
xz dx x
xz
xy x
dz
x 来自百度文库x dx x
xy
yx
dx
yx y
y
dy
x
dy
zy
zx z
D为弹性矩阵，为对称矩阵，只与材料有关，3个材料常数仅两个独立
E G 2(1 )
弹性力学问题的解法
• 3组基本方程共15个，未知量也是15个：3个位移分量，6个应力 分量， 6个应变分量，问题可解。 • 根据所选基本未知量的不同，分3种解法
– 位移法：取位移分量作为基本未知量。有限元常采用位移法。