椭圆方程及性质的应用-课时作业

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椭圆方程及性质的应用

（45分钟 100分）

一、选择题(每小题6分,共30分)

1.(2013·重庆高二检测)已知直线l过点(3,-1),且椭圆C:+=1,则直线l与椭圆C的公共点的个数为( )

A.1

B.1或2

C.2

D.0

2.若AB为过椭圆+=1的中心的弦,F1为椭圆的左焦点,则△F1AB面积的最大值为( )

A.6

B.12

C.24

D.36

3.椭圆+=1上的点到直线x+2y-=0的最大距离为( )

A.3

B.

C.

D.2

4.直线y=1-x交椭圆mx2+ny2=1于M,N两点,MN的中点为P,若k OP=(O为原点),则等于( )

A. B. C.- D.-

5.(2013·南昌高二检测)已知椭圆的一个焦点为F,若椭圆上存在点P,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点,则该椭圆的离心率为( )

A. B. C. D.

二、填空题(每小题8分,共24分)

6.(2013·绵阳高二检测)短轴长为,离心率e=的椭圆的两焦点为F1,F2,过F1作直线交椭圆于A,B两点,则△ABF2的周长为.

7.(2013·宜春高二检测)椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,若直线y=kx与其一

个交点的横坐标为b,则k的值为.

8.过椭圆+=1内的一点P(2,-1)的弦AB,满足=(+),则这条弦所在的直线方程是.

三、解答题(9题,10题14分,11题18分)

9.(2013·合肥高二检测)已知椭圆C的焦点F1(-2,0)和F2(2,0),长轴长为6,设直线l交椭圆C于A,B两点,且线段AB的中点坐标是P(-,),求直线l的方程.

10.(2013·安阳高二检测)已知椭圆的两焦点为F1(-,0),F2(,0),离心率e=.

(1)求此椭圆的方程.

(2)设直线l:y=x+m,若l与此椭圆相交于P,Q两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m的值.

11.(能力挑战题)已知大西北某荒漠上A,B两点相距2km,现准备在荒漠上开垦出一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园,按照规划,围墙总长为8km.

(1)试求四边形另两个顶点C,D的轨迹方程.

(2)农艺园的最大面积能达到多少?

(3)该荒漠上有一条直线型小溪l刚好通过点A,且l与AB成30°角,现要对整条小溪进行加固改造,但考虑到今后农艺园的小溪要重新设计改造,因此,对小溪可能被农艺园围进的部分暂不加固,则暂不加固的部分有多长?

答案解析

1.【解析】选C.∵直线过定点(3,-1)且+<1,

∴点(3,-1)在椭圆的内部,故直线l与椭圆有2个公共点.

2.【解析】选B.c2=25-16=9,∴|OF1|=c=

3.

∵AB过原点(0,0).

∴当AB与短轴重合时,△F1AB的面积最大,其值为×2b×3=4×3=12.

3.【解题指南】可设出与直线平行的直线方程,利用直线与椭圆相切确定切点,两平行线间的距离即为最大或最小值.

【解析】选C.由得2x2+2mx+m2-16=0.

当直线与椭圆相切时,Δ=0即4m2-4×2(m2-16)=0,解得m=±4.当m=4时,切点到直线x+2y-=0的距离最大,其值为d==.

4.【解题指南】利用设而不求的思想,用m,n表示出中点P的坐标,再建立方程求解.

【解析】选A.设M(x1,y1),N(x2,y2),P(x0,y0).

由得(m+n)x2-2nx+n-1=0.

∴x0=,从而y0=1-x0=1-=.

∴k OP==.

【变式备选】过点M(-1,)的直线l与椭圆x2+2y2=2交于A,B两点,设线段AB中点为M,设直线l的斜率为k1(k1≠0),直线OM的斜率为k2,则k1k2的值为( ) A.2 B.-2 C. D.-

【解析】选D.设A(x1,y1),B(x2,y2).

则+2=2 ①

+2=2 ②

②-①,得(x2-x1)(x2+x1)+2(y2-y1)(y2+y1)=0,即=-,

∴k1==-=1,而k2==-,

故k1·k2=-.

5.【解题指南】采用数形结合,建立a,b,c的齐次式.

【解析】选A.如图,设另一焦点为F 1,由条件可知,

切点T为PF的中点,且OT⊥PF,

∴OT=b,∴|PF1|=2b.

∴|PF|=2a-2b.

又∵∠F1PF=90°,

∴(2b)2+(2a-2b)2=(2c)2,整理得e==.

6.【解析】由题意知解得a=,

△ABF2的周长为4a=4×=6.

答案:6

7.【解题指南】根据条件可知,点(b,kb)在椭圆上,结合离心率解出斜率k. 【解析】由条件知,(b,kb)在椭圆上,即+=1.

∴k2=1-===e2=,∴k=±.

答案:±

8.【解析】由于直线AB过点P,又=(+),

∴点P为弦AB的中点.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4,y1+y2=-2.

∴

∴+=0,

∴-=0,

即k==.

∴弦AB所在的直线方程为y+1=(x-2),即5x-3y-13=0.

答案:5x-3y-13=0

9.【解题指南】先求出椭圆的标准方程,再用“平方差法”求直线斜率,进而求出直线方程.

【解析】由已知条件得椭圆的焦点在x轴上,其中c=2,a=3,从而b=1,

所以其标准方程是+y2=1.

设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为P(-,),则=-,=.

又∵A,B在椭圆上,∴

两式相减得-+9(-)=0,

即(x1+x2)(x1-x2)+9(y1+y2)(y1-y2)=0,

∴-(x1-x2)+9×(y1-y2)=0,

∴=1.

所以k=1,所以直线l的方程为y=x+1.

10.【解析】(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),