椭圆方程及性质的应用-课时作业
秋高中数学课时作业9椭圆的标准方程及性质的应用新人教A版选修2-1(2021年整理)
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课时分层作业（九）椭圆的标准方程及性质的应用(建议用时：40分钟）[基础达标练]一、选择题1．若点P(a,1）在椭圆x22＋错误!＝1的外部,则a的取值范围为（)A.错误!B.错误!∪错误!C．错误!D。
错误!B[由题意知错误!＋错误!〉1，即a2>错误!，解得a〉错误!或a<－错误!。
］2．若直线y＝x＋2与椭圆错误!＋错误!＝1有两个公共点，则m的取值范围是（)【导学号：46342083】A．（－∞,0)∪(1，＋∞)B．(1,3）∪(3，＋∞）C．（－∞，－3)∪（－3，0) D．(1，3)B[由错误!消去y，整理得（3＋m)x2＋4mx＋m＝0。
若直线与椭圆有两个公共点,则错误!解得错误!由x2m＋错误!＝1表示椭圆,知m>0且m≠3.综上可知，m>1且m≠3,故选B.］3．椭圆错误!＋错误!＝1的左焦点为F1,点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上,那么点M的纵坐标是（)A．±错误!B．±错误!C．±错误!D．±错误!A［设椭圆的右焦点为F2，则原点O是线段F1F2的中点，从而OM綊错误!PF2，则PF2⊥F1F2，由题意知F2(3，0），由错误!＋错误!＝1得y2＝错误!解得y＝±错误!，从而M的纵坐标为±错误!。
椭圆方程及其性质的应用 当堂作业
椭圆方程及其性质的应用 当堂作业1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定解析：直线y ＝kx －k ＋1可变形为y －1＝k (x －1)，故直线恒过定点(1,1)，而该点在椭圆x 29＋y 24＝1内部，所以直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1相交，故选B ． 答案：B2．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．0解析：∵4m 2＋n2>2，∴m 2＋n 2<2. ∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部．∴过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有两个交点．答案：B3．若AB 为过椭圆x 225＋y 216＝1的中心的弦，F 1为椭圆的左焦点，则△F 1AB 面积的最大值为( )A ．6B ．12C ．24D ．36解析：c 2＝25－16＝9，∴|OF 1|＝c ＝3.∵AB 过原点(0,0)，∴当AB 与短轴重合时，△F 1AB 的面积最大，其值为12×2b ×3＝4×3＝12.答案：B4．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则mn的值是( ) A ．22B ．233解析：由⎩⎪⎨⎪⎧mx 2＋ny 2＝1，y ＝1－x消去y ，得(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 中点为(x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝2n m ＋n ，∴x 0＝nm ＋n ，代入y ＝1－x 得y 0＝mm ＋n .由题意y 0x 0＝22，∴m n ＝22.答案：A5．已知椭圆的一个焦点为F .若椭圆上存在点P ，使得以椭圆短轴为直径的圆与线段PF 相切于线段PF 的中点，则该椭圆的离心率为( )A ．53B ．23C ．22D ．59解析：如图，设另一焦点为F 1.由条件可知，切点T 为PF 的中点，且OT ⊥PF ， ∴OT ＝b .∴|PF 1|＝2b .∴|PF |＝2a －2b .又∵∠F 1PF ＝90°，∴(2b )2＋(2a －2b )2＝(2c )2.整理得e ＝c a ＝53.答案：A6．若点P (a,1)在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，则a 的取值范围为________.解析：因为点P 在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，所以a 22＋123＞1，解得a ＞233或a ＜－233.答案：a ＞233或a ＜－2337．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22.若直线y ＝kx 与其一个交点的横坐标为b ，则k的值为________.解析：由条件知，点(b ，kb )在椭圆上，即b 2a 2＋k 2b 2b2＝1.∴k 2＝1－b 2a 2＝a 2－b 2a 2＝c 2a 2＝e 2＝12.∴k ＝±22.答案：±228．过椭圆x 26＋y 25＝1内的一点P (2，－1)的弦AB ，满足OP →＝12(OA →＋OB →)，则这条弦所在的直线方程是__________________.解析：由于直线AB 过点P ，又OP →＝12(OA →＋OB →)，∴点P 为弦AB 的中点．设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝－2.∴⎩⎨⎧x 216＋y 215＝1，x 226＋y225＝1.∴(x 1＋x 2)(x 1－x 2)6＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)5＝0.∴4(x 1－x 2)6－2(y 1－y 2)5＝0，即k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝53. ∴弦AB 所在的直线方程为y ＋1＝53(x －2)，即5x －3y －13＝0. 答案：5x －3y －13＝09．已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，消去y ，整理得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0.∵直线与椭圆有公共点，∴Δ＝4m 2－20(m 2－1)＝20－16m 2≥0. ∴－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由(1)得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝m 2－15.＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·425m 2－4(m 2－1)5＝225－4m 2＋5. ∵－52≤m ≤52，∴0≤m 2≤54. ∴当m ＝0时，|AB |取得最大值，此时直线方程为y ＝x ，即x －y ＝0. 10．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解：(1)将(0,4)代入C 的方程得16b 2＝1，∴b ＝4.又e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0，解得x 1＋x 2＝3，∴AB 的中点坐标x －＝x 1＋x 22＝32，y －＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65，即中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－65.1．(2016·全国卷Ⅰ)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A ．13B ．12C ．23D ．34。
课时作业20：2.1.1 椭圆及其标准方程
§2.1 椭 圆2．1.1 椭圆及其标准方程1．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．a >3B ．a <－2C ．a >3或a <－2D ．a >3或－6<a <－2答案 D解析 由a 2>a ＋6>0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a －6>0，a ＋6>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a <－2或a >3，a >－6，所以a >3或－6<a <－2.2．以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P ⎝⎛⎭⎫35，－4和Q ⎝⎛⎭⎫－45，3，则此椭圆的方程是() A.y 225＋x 2＝1B.x 225＋y 2＝1C.x 225＋y 2＝1或x 2＋y 225＝1D ．以上都不对答案 A解析 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，则⎩⎨⎧ 925m ＋16n ＝1，1625m ＋9n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ＝125， ∴椭圆的方程为x 2＋y 225＝1. 3．设椭圆x 2m 2＋y 2m 2－1＝1(m >1)上一点P 到其左、右焦点的距离分别为3和1，则m 等于( ) A ．6 B ．3 C ．2 D ．4答案 C解析 ∵m 2>m 2－1，∴椭圆焦点在x 轴上，∴a ＝m ，则2m ＝3＋1＝4，∴m ＝2.4．设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是( ) A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形答案 B解析 由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，不妨设|PF 1|>|PF 2|，∵|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝5，|PF 2|＝3，又∵|F 1F 2|＝2c ＝4，∴△PF 1F 2为直角三角形．5．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 212＋y 29＝1 B.x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1 C.x 29＋y 212＝1 D.x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248＝1 答案 B解析 由已知2c ＝|F 1F 2|＝23，所以c ＝ 3.因为2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43，所以a ＝23，所以b 2＝a 2－c 2＝9.故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1. 6．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________________．答案 y 216＋x 2＝1 解析 由已知2a ＝8,2c ＝215，所以a ＝4，c ＝15，所以b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1.又椭圆的焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1. 7．已知椭圆的焦点是F 1(0，－1)，F 2(0,1)，P 是椭圆上一点，并且|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，则椭圆的标准方程是________．答案 y 24＋x 23＝1 解析 由|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝2×2＝4，得2a ＝4.又c ＝1，所以b 2＝3.所以椭圆的标准方程是y 24＋x 23＝1. 8．已知椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是线段MF 的中点，O 为坐标原点，那么线段ON 的长是________．答案 4解析 设椭圆的另一个焦点为E ，则|MF |＋|ME |＝10，又∵|MF |＝2，∴|ME |＝8，又ON 为△MEF 的中位线，∴|ON |＝12|ME |＝4. 9．求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)；(2)c ∶a ＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.解 (1)由焦距是4可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，2a ＝32＋(2＋2)2＋32＋(2－2)2＝8，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12.又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1.(2)由题意知，2a ＝26，即a ＝13，又c ∶a ＝5∶13，所以c ＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144， 因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1. 10．已知椭圆M 与椭圆N ：x 216＋y 212＝1有相同的焦点，且椭圆M 过点⎝⎛⎭⎫－1，255. (1)求椭圆M 的标准方程；(2)设椭圆M 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆M 上，且△PF 1F 2的面积为1，求点P 的坐标．解 (1)由题意，知椭圆N 的焦点为(－2,0)，(2,0)，设椭圆M 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝4，1a 2＋45b 2＝1，化简并整理得5b 4＋11b 2－16＝0，故b 2＝1或b 2＝－165(舍)，a 2＝5， 故椭圆M 的标准方程为x 25＋y 2＝1. (2)由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，设P (x 0，y 0)，则△PF 1F 2的面积为12×4×|y 0|＝1， 得y 0＝±12. 又x 205＋y 20＝1，所以x 20＝154，x 0＝±152， 所以点P 有4个，它们的坐标分别为⎝⎛⎭⎫152，12，⎝⎛⎭⎫－152，12，⎝⎛⎭⎫152，－12，⎝⎛⎭⎫－152，－12.11．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．线段D ．直线答案 B解析 设椭圆的右焦点为F 2，由题意，知|PO |＝12|MF 2|，|PF 1|＝12|MF 1|， 又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，所以|PO |＋|PF 1|＝a >|F 1O |＝c ，故由椭圆的定义，知P 点的轨迹是椭圆．12．曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1(0<k <9)的关系是( ) A ．有相等的焦距，相同的焦点B ．有相等的焦距，不同的焦点C ．有不等的焦距，不同的焦点D ．以上都不对答案 B解析 曲线x 225＋y 29＝1焦点在x 轴上． 对于曲线x 29－k ＋y 225－k＝1， ∵0<k <9，∴25－k >9－k >0，∴焦点在y 轴上，故两者的焦点不同．∵25－9＝(25－k )－(9－k )＝16＝c 2，∴2c ＝8，故两者焦距相等．故选B.13．已知椭圆x 2100＋y 264＝1的左焦点为F ，一动直线与椭圆交于M ，N 两点，则△FMN 的周长的最大值为( )A ．16B ．20C ．32D ．40答案 D解析 设右焦点为A ，一动直线与椭圆交于M ，N 两点，则△FMN 的周长l ＝|MN |＋|MF |＋|NF |＝|MN |＋2a －|MA |＋2a －|NA |＝4a ＋(|MN |－|MA |－|NA |)，由于|MA |＋|NA |≥|MN |，所以当M ，A ，N 三点共线时，△FMN 的周长取得最大值4a ＝40.14．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.答案 3解析 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2.又∵PF 1→⊥PF 2→，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2，即4c 2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，∴|PF 1|·|PF 2|＝2b 2，∴12F PF S △＝12·|PF 1|·|PF 2|＝12×2b 2＝b 2＝9， 又∵b >0，∴b ＝3.15．已知△ABC 的顶点A (－2,0)和B (2,0)，顶点C 在椭圆x 216＋y 212＝1上，则sin A ＋sin B sin C ＝________.答案 2解析 ∵A (－2,0)和B (2,0)，顶点C 在椭圆x 216＋y 212＝1上， ∴|CA |＋|CB |＝8，|AB |＝4，∴由正弦定理得，sin A ＋sin B sin C ＝|CB |＋|CA ||AB |＝84＝2. 16.如图所示，已知动圆P 过定点A (－3，0)，并且在定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64的内部与其内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．解 设动圆P 和定圆B 内切于点M ，动圆圆心P 到两定点A (－3,0)和B (3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|P A |＋|PB |＝|PM |＋|PB |＝|BM |＝8>|AB |，所以动圆圆心P 的轨迹是以A ，B 为左、右焦点的椭圆，其中c ＝3，a ＝4，b 2＝a 2－c 2＝42－32＝7，其轨迹方程为x 216＋y 27＝1.。
课时作业6:2.1.2 椭圆的简单几何性质
2．1.2 椭圆的简单几何性质基础梳理x2y2y2x2想一想：1.通过对椭圆几何性质的研究，你能判断椭圆的焦点是在长轴上还是在短轴上吗？2．椭圆的离心率e能否用a，b表示？自测自评1．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴的端点坐标是( ) A ．(－1，0)、(1，0) B ．(0，－1)、(0，1) C ．(－6，0)、(6，0) D ．(0，－6)、(0，6)2．椭圆的四个顶点构成的菱形的面积为10，两个焦点与短轴的两个顶点构成的菱形的面积为5，则椭圆的离心率为( ) A.22 B.32 C.12 D.633．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(3，＋∞)∪(－∞，－2)D ．(3，＋∞)∪(－6，－2)基础巩固1．椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e 为( ) A.12 B.13 C.14 D.222．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2b 2＝k (k ＞0)具有相同的( )A ．顶点B ．离心率C ．长轴D ．短轴3．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为( )A ．(±13，0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)4．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F (－23，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是______________．能力提升5．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21 D.1925或216．某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点A 距地面m 千米，远地点B 距离地面n 千米，地球半径为k 千米，则飞船运行轨道的短轴长为( ) A ．2（m ＋k ）（n ＋k ） B.（m ＋k ）（n ＋k ） C ．mn D ．2mn7．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的四个顶点顺次连接构成一个菱形，该菱形的面积为210，又椭圆的离心率为155，则椭圆的标准方程是____________________________． 8．若F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A 、B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________________．9．已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，若PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，求椭圆的离心率．10．设椭圆x 2m ＋1＋y 2＝1的两个焦点是F 1(－c ，0)与F 2(c ，0)，且椭圆上存在点P ，使得直线PF 1与直线PF 2垂直，求实数m 的取值范围．答 案基础梳理【答案】 a b b a 原点、x 轴、y 轴 (±a ，0) (0，±b ) (0，±a ) (±b ，0) (±c ，0) (0，±c ) (0，1) 想一想：1.椭圆的焦点在长轴上． 2．可以，因为e ＝ca ，又c ＝a 2－b 2，所以e ＝a 2－b 2a＝1－b 2a2. 自测自评 1．【答案】D2．【解析】依题意有2ab ＝10，2bc ＝5，所以e ＝c a ＝12.【答案】C3．【解析】由于椭圆的焦点在x 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2>a ＋6，a ＋6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋2）（a －3）>0，a >－6.解得a >3或－6<a <－2，故选D. 【答案】D基础巩固1．【解析】由题意，得a ＝2c ，∴e ＝c a ＝12.【答案】A2．【解析】椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e 1＝c 21a 21＝1－b 2a 2，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝k 的离心率 e 2＝c 22a 22＝1－b 2ka 2k＝1－b 2a2＝e 1.故选B. 【答案】B3．【解析】由条件知，椭圆的焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，所以c 2＝a 2－b 2＝169－100＝69，所以焦点坐标为(0，±69)． 【答案】D4．【解析】已知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，c ＝23，a 2－b 2＝c2⇒⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝4，a 2＝16⇒x 216＋y 24＝1.【答案】x 216＋y 24＝1能力提升5．【解析】当椭圆的焦点在x 轴上时，a 2＝9，b 2＝4＋k ， 得c 2＝5－k .由c a ＝5－k 3＝45，得k ＝－1925；当焦点在y 轴上时，a 2＝4＋k ，b 2＝9，得c 2＝k －5.由ca ＝k －54＋k ＝45，得k ＝21.【答案】C6．【解析】由题意可得a －c ＝m ＋k ，a ＋c ＝n ＋k ，故(a －c )·(a ＋c )＝(m ＋k )(n ＋k )．即a 2－c 2＝b 2＝(m ＋k )(n ＋k )，所以b ＝（m ＋k ）（n ＋k ）， 所以椭圆的短轴长为2（m ＋k ）（n ＋k ），故选A. 【答案】A7．【解析】由题意，得2ab ＝210，即ab ＝10.① 又e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1525＝35，即2a 2＝5b 2.② 解①②得a 2＝5，b 2＝2，所以所求椭圆方程为x 25＋y 22＝1. 【答案】x 25＋y 22＝18．【解析】根据题意，求出点B 的坐标代入椭圆方程求解． 设点B的坐标为(x 0，y 0)．∵x 2＋y 2b2＝1，∴F 1(－1－b 2，0)，F 2(1－b 2，0)． ∵AF 2⊥x 轴，∴A (1－b 2，b 2)． ∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴AF 1→＝3F 1B →，∴(－21－b 2，－b 2)＝3(x 0＋1－b 2，y 0)． ∴x 0＝－531－b 2，y 0＝－b 23.将B ⎝⎛⎭⎫－531－b 2，－b 23代入x 2＋y 2b 2＝1，得b 2＝23. ∴椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.【答案】x 2＋32y 2＝19．【答案】解：∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2， 在Rt △PF 1F 2中，tan ∠PF 1F 2＝|PF 2||PF 1|＝12， 设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝2x ，由椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴x ＝2a 3， ∵|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴x 2＋4x 2＝4c 2， ∴209a 2＝4c 2，∴e ＝c a ＝53.10．【答案】解：(1)由题设有m >0，c ＝m ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)，由PF 1⊥PF 2得y 0x 0＋c ·y 0x 0－c＝－1，化简得x 20＋y 20＝m .①将①与x 20m ＋1＋y 20＝1联立，解得x 20＝m 2－1m ，y 20＝1m. 由m >0，x 20＝m 2－1m≥0，得m ≥1. ∴实数m 的取值范围是[1，＋∞)．。
人教新课标版数学高二选修2-1课时作业9椭圆标准方程及性质的应用
一、选择题1．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( )A ．－2＜a ＜2B ．a ＜－2或a ＞ 2C ．－2＜a ＜2D ．－1＜a ＜1【解析】 ∵点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1内部，∴a 24＋12＜1.∴a 24＜12. 则a 2＜2，∴－2＜a ＜ 2.【答案】 A2．(2013·潍坊高二检测)直线y ＝k (x －2)＋1与椭圆x 216＋y 29＝1的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．相切D ．无法判断【解析】 直线y ＝k (x －2)＋1过定点P (2,1)，将P (2,1)代入椭圆方程，得416＋19＜1，∴P (2,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．【答案】 B3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1有两个顶点在直线x ＋2y ＝2上，则此椭圆的焦点坐标是( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±5，0)D ．(0，±5)【解析】 ∵直线x ＋2y ＝2过(2,0)和(0,1)点，∴a ＝2，b ＝1，∴c ＝3，椭圆焦点坐标为(±3，0)．【答案】 A4．(2013·大庆高二检测)椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则m n 的值是( ) A.22 B.233 C.922 D.2327【解析】 联立方程组可得⎩⎨⎧ y ＝1－x mx 2＋ny 2＝1⇒(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝n m ＋n， y 0＝1－x 0＝1－n m ＋n ＝m m ＋n. ∴k OP ＝y 0x 0＝m n ＝22.故选A. 【答案】 A5．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是( )A ．m ≥1B ．m ≥1或0＜m ＜1C ．0＜m ＜5且m ≠1D ．m ≥1且m ≠5【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，x 25＋y 2m ＝1，得(m ＋5k 2)x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0，又直线与椭圆有公共点，∴上述方程的Δ≥0对一切k 都成立，即(10k )2－4(m ＋5k 2)×5(1－m )≥0，亦即5k 2≥1－m 对一切k 都成立，∴1－m ≤0，即m ≥1，而m ≠5.【答案】 D二、填空题6．已知F 1为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A 、B 两点，那么|F 1A |＋|F 1B |的值为________．【解析】 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)，由⎩⎨⎧ x 2＋2y 2＝2，y ＝x －1，消去y ，得3x 2－4x ＝0.∴A (0，－1)，B (43，13)．又由x 22＋y 2＝1知左焦点F 1(－1,0)，则|F 1A |＋|F 1B |＝2＋523＝823.【答案】 8237．直线l 交椭圆x 216＋y 212＝1于A 、B 两点，AB 的中点为M (2,1)，则l 的方程为________．【解析】 由点差法求出k AB ＝－32，∴l 的方程为y －1＝－32(x －2)．化简得：3x ＋2y －8＝0.【答案】 3x ＋2y －8＝0 8．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．【解析】 由已知可得直线方程为y ＝2x －2，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧ x 25＋y 24＝1y ＝2x －2解得A (0，－2)，B (53，43)，∴S △AOB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝53.【答案】 53三、解答题图2－2－49．如图2－2－4所示，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高 4.5米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？【解】 如图建立直角坐标系，则点P (11,4.5)，椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1.∵P (11,4.5)在椭圆上，∴112a 2＋4.52b 2＝1.①又b ＝h ＝6，代入①式，得a ＝4477.此时l ＝2a ＝8877≈33.3(米)，因此隧道的拱宽约为33.3米．10．已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．【解】 (1)由题意得⎩⎨⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，消y 整理得：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0.∵直线与椭圆有公共点，∴Δ＝4m 2－20(m 2－1)＝20－16m 2≥0， ∴－52≤m ≤52.(2)设直线与椭圆交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝m 2－15.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·425m 2－4(m 2－1)5＝225－4m 2＋5. ∵－52≤m ≤52，∴0≤m 2≤54，∴当m ＝0时，|AB |取得最大值，此时直线方程为y ＝x ，即x －y ＝0.11．已知△ABC 的顶点A ，B 在椭圆x 2＋3y 2＝4上，C 在直线l ：y ＝x ＋2上，且AB ∥l .(1)当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及△ABC 的面积；(2)当∠ABC ＝90°，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．【解】 (1)∵AB ∥l ，且AB 边通过点(0,0)，∴AB 所在直线的方程为y ＝x .设A ，B 两点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 2＋3y 2＝4，y ＝x ，得x ＝±1， ∴|AB |＝2|x 1－x 2|＝22，又∵AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离，∴h ＝2，∴S △ABC ＝12|AB |·h ＝2.(2)设AB 所在直线方程为y ＝x ＋m .由⎩⎨⎧x 2＋3y 2＝4，y ＝x ＋m ，得4x 2＋6mx ＋3m 2－4＝0. ∵A ，B 在椭圆上，∴Δ＝－12m 2＋64＞0.设A ，B 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－3m 2，x 1·x 2＝3m 2－44，∴|AB |＝2|x 1－x 2|＝32－6m 22. 又∵BC 的长等于点(0，m )到直线l 的距离，即|BC |＝|2－m |2. ∴|AC |2＝|AB |2＋|BC |2＝－m 2－2m ＋10＝－(m ＋1)2＋11. ∴当m ＝－1时，AC 边最长．(这时Δ＝－12＋64＞0) 此时AB 所在直线方程为y ＝x －1.。
课时作业5：2.5.2 第二课时 椭圆方程及性质的应用
第二课时 椭圆方程及性质的应用一、选择题1.过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( ) A.8，6 B.4，3 C.2， 3 D.4，23答案 B解析 由题意知a ＝2，b ＝3，c ＝1，最长弦过两个焦点，长为2a ＝4，最短弦垂直于x 轴，长度为2b 2a ＝3.2.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的短轴长与椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( ) A.a 2＝25，b 2＝16 B.a 2＝9，b 2＝25C.a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25D.a 2＝25，b 2＝9 答案 D解析 椭圆x 225＋y 216＝1的长轴长为10，椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长为6，由题意可知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上， 即有a ＝5，b ＝3.3.方程x 2m ＋y 22m －1＝1为椭圆方程的一个充分不必要条件是( )A.m >12B.m >12且m ≠1C.m >1D.m >0答案 C解析方程x 2m ＋y 22m －1＝1表示椭圆的充要条件是⎩⎨⎧m >0，2m －1>0，m ≠2m －1，即m >12且m ≠1，所以方程x 2m ＋y 22m －1＝1为椭圆方程的一个充分不必要条件是m >1，故选C.4.(多选题)已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，短轴长等于2，离心率为63，过焦点F 1作y 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，则下列说法正确的是( )A.椭圆C 的方程为y 23＋x 2＝1B.椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1C.|PQ |＝233D.△PF 2Q 的周长为43 答案 ACD解析 由已知得2b ＝2，b ＝1，c a ＝63， 又a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝3.∴椭圆方程为x 2＋y 23＝1，又|PQ |＝2b 2a ＝23＝233.△PF 2Q 的周长为4a ＝4 3.5.如图，已知F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，现以F 2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ，N ，若过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为( )A.3－1B.2－ 3C.22D.32答案 A解析 ∵过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线， ∴∠F 1MF 2＝90°，|MF 2|＝c ， ∵|F 1F 2|＝2c ，∴|MF 1|＝3c ，由椭圆定义可得 |MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a ， ∴椭圆离心率e ＝21＋3＝3－1. 二、填空题6.已知A (－1，0)，C (1，0)是椭圆C 的两个焦点，过C 且垂直于x 轴的直线交椭圆于M ，N 两点，且|MN |＝3，则椭圆的方程为________；若B 是椭圆上一点，则△ABC 的最大面积为________. 答案 x 24＋y 23＝13解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，令x ＝c ，则y ＝±b 2a ，由|MN |＝3，得2b 2a ＝3，又a 2－b 2＝c 2＝1， ∴a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，结合椭圆知当B 点为椭圆与y 轴交点时，S △ABC 的面积最大，此时S △ABC ＝12×2×3＝ 3.7.设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，经过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点.若△F 2AB 是面积为43的等边三角形，则椭圆C 的方程为________. 答案 x 29＋y 26＝1解析 设椭圆C 的焦距为2c (c >0)，如图所示，因为△F 2AB 是面积为43的等边三角形，所以12|AB |2×sin π3＝34|AB |2＝43，解得|AB |＝4，即△F 2AB 是边长为4的等边三角形， 该三角形的周长为12＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ， 可得a ＝3，由椭圆的对称性可知，点A ，B 关于x 轴对称， 则∠AF 2F 1＝π6且AB ⊥x 轴， 所以|AF 2|＝2|AF 1|＝4，∴|AF 1|＝2，∴2c ＝|F 1F 2|＝|AF 2|2－|AF 1|2＝23， ∴c ＝3，则b ＝a 2－c 2＝6，因此椭圆C 的标准方程为x 29＋y 26＝1.8.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e ≤32，则长轴长的取值范围为________答案 (2，4] 解析 ∵e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，b ＝1，0<e ≤32，∴1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2≤32， 则1<a ≤2，∴2<2a ≤4， 即长轴长的取值范围是(2，4]. 三、解答题9.分别求满足下列条件的椭圆标准方程.(1)中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点(－2，0)，(2，－1)； (2)离心率e ＝22，且与椭圆y 216＋x 212＝1有相同焦点. 解 (1)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，由⎩⎨⎧4m ＝1，2m ＋n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝12.所以椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)由于所求椭圆与椭圆y 216＋x 212＝1的焦点相同，设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0). 则c 2＝16－12＝4，所以c ＝2， 由e ＝c a ＝2a ＝22，得a ＝22，所以b 2＝a 2－c 2＝4，所以所求椭圆的标准方程为y 28＋x 24＝1.10.已知点A (4，0)，B (2，2)，椭圆x 225＋y 29＝1，M 是椭圆上的动点，求|MA |＋|MB |的最小值和最大值.解 由已知得A (4，0)是椭圆的右焦点，设左焦点为F (－4，0). 根据椭圆的定义，得|MA |＋|MB |＝2a －|MF |＋|MB |＝10＋|MB |－|MF |. 因为||MB |－|MF ||≤|FB |＝210， 所以|MB |－|MF |∈[－210，210]，故|MA |＋|MB |的最小值和最大值分别为10－210和10＋210.11.(多选题)如图所示，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心.设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为a 1和a 2，半焦距分别为c 1和c 2，离心率分别为e 1，e 2，则下列结论正确的是( )A.a 1＋c 1>2(a 2＋c 2)B.a 1－c 1＝a 2－c 2C.a 1c 2>a 2c 1D.e 1＝e 2＋12答案 ABD解析 由椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心， 可得2a 2＝a 1，由椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点， 可得a 2＋c 2＝c 1.所以a 1＋c 1＝2a 2＋a 2＋c 2， 又a 2>c 2，所以a 1＋c 1>2(a 2＋c 2)，所以A 正确；因为a 1－c 1＝2a 2－(a 2＋c 2)＝a 2－c 2，所以B 正确；因为a 1c 2＝2a 2c 2，a 2c 1＝a 2(a 2＋c 2)＝a 22＋a 2c 2，则有a 1c 2－a 2c 1＝2a 2c 2－a 22－a 2c 2＝a 2(c 2－a 2)<0，所以C 错误；因为e 1＝c 1a 1＝a 2＋c 22a 2＝e 2＋12，所以D 正确.12.已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与椭圆交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( ) A.22 B.2－ 3 C.5－2 D.6－3答案 D解析 设AF 1＝x ，则AB ＝x ，BF 1＝2x ，于是x ＋x ＋2x ＝4a ，解得x ＝(4－2 2 )a ，于是AF 2＝2a －(4－2 2 )a ＝(22－2)a ，由勾股定理得[(4－2 2 )a ]2＋[(22－2)a ]2＝(2c )2，整理得e 2＝c 2a 2＝9－62，所以e ＝9－62＝9－218＝6－3，故选D.13.椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆C 的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，求椭圆的离心率. 解 由直线方程y ＝3(x ＋c )，得直线与x 轴的夹角∠MF 1F 2＝π3，且过点F 1(－c ，0)，∵∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，∴∠MF 2F 1＝π6，∴∠F 1MF 2＝π－π3－π6＝π2，即F 1M ⊥F 2M ，∴在Rt △F 1MF 2中，|F 1F 2|＝2c ，|F 1M |＝c ，|F 2M |＝3c ，∴由椭圆定义可得2a ＝c ＋3c ，∴ca ＝21＋3＝3－1.14.设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的两焦点，B 为椭圆上的点且坐标为(0，－1). (1)若P 是该椭圆上的一个动点，求|PF 1→|·|PF 2→|的最大值；(2)若C 为椭圆上异于B 的一点，且BF 1→＝λCF 1→，求λ的值； (3)设P 是该椭圆上的一个动点，求△PBF 1的周长的最大值. 解 (1)因为椭圆的方程为x 24＋y 2＝1， 所以a ＝2，b ＝1，c ＝3， 即|F 1F 2|＝23，又因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，所以|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4， 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝2时取“＝”， 所以|PF 1|·|PF 2|的最大值为4， 即|PF 1→|·|PF 2→|的最大值为4.(2)设C (x 0，y 0)，B (0，－1)，F 1(－3，0)， 由BF 1→＝λCF 1→得x 0＝3（1－λ）λ，y 0＝－1λ. 又x 204＋y 20＝1，所以有λ2＋6λ－7＝0，解得λ＝－7或λ＝1，又BF 1→与CF 1→方向相反，故λ＝1舍去， ∴λ＝－7.(3)因为|PF 1|＋|PB |＝4－|PF 2|＋|PB |≤4＋|BF 2|， |PF 1|＋|PB |＋|BF 1|≤4＋|BF 2|＋|BF 1|＝8，所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，△PBF1周长最大，最大值为8.。
课时作业3：3.1.2 第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用
3.1.2 第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用A 组 基础巩固练一、选择题1．若直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(1，＋∞)B ．(1,3)∪(3，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(－3,0)D ．(1,3)2．过椭圆x 2＋2y 2＝4的左焦点作倾斜角为π3的弦AB ，则弦AB 的长为( )A ．67B ．167C ．716D ．763．在椭圆x 216＋y 29＝1内，过点M (1,1)且被该点平分的弦所在的直线方程为( )A ．9x －16y ＋7＝0B ．16x ＋9y －25＝0C ．9x ＋16y －25＝0D ．16x －9y －7＝04．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( ) A ．12B ．23C ．34D ．455．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A ．x 245＋y 236＝1B ．x 236＋y 227＝1C ．x 227＋y 218＝1D ．x 218＋y 29＝1二、填空题6．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．7．设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右两个焦点，过F 1作斜率为1的直线，交C于A 、B 两点，则|AF 2|＋|BF 2|＝________.8．椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线P A 1斜率的取值范围是[1,2]，那么直线P A 2斜率的取值范围是________． 三、解答题9．设直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点．(1)求实数b 的取值范围； (2)当b ＝1时，求|AB |.10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22，直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求实数k 的值．B 组 素养提升练11．(多选题)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( ) A ．必在圆x 2＋y 2＝1外 B ．必在圆x 2＋y 2＝74上C ．必在圆x 2＋y 2＝2内D ．必在圆x 2＋y 2＝94上12．已知椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦距为2c ，直线l ：y ＝24x 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若|AB |＝2c ，则椭圆C 的离心率为( ) A ．32B ．34C ．12D ．1413．(一题两空)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为B (0,4)，离心率e ＝55，则椭圆方程为________，若直线l 交椭圆于M ，N 两点，且△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，则直线l 方程为________．14．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．C 组 思维提升练15．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A ，下顶点为B ，过A 、O 、B (O 为坐标原点)三点的圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12.(1)求椭圆的方程；(2)已知点M 在x 轴正半轴上，过点B 作BM 的垂线与椭圆交于另一点N ，若∠BMN ＝60°，求点M 的坐标．参考答案A 组 基础巩固练一、选择题 1．【答案】B【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1，消去y ，整理得(3＋m )x 2＋4mx ＋m ＝0. 若直线与椭圆有两个公共点，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋m ≠0，Δ＝4m 2－4m 3＋m >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠－3，m <0或m >1.由x 2m ＋y 23＝1表示椭圆，知m >0且m ≠3. 综上可知，m >1且m ≠3，故选B. 2．【答案】B【解析】易求得直线AB 的方程为y ＝3(x ＋2)．由⎩⎨⎧y ＝3x ＋2，x 2＋2y 2＝4消去y 并整理，得7x 2＋122x ＋8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1227，x 1x 2＝87.由弦长公式，得|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋32·⎝⎛⎭⎫－12272－4×87＝167.3．【答案】C【解析】设弦的两个端点的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则有x 2116＋y 219＝1，x 2216＋y 229＝1，两式相减，又x 1＋x 2＝y 1＋y 2＝2，因此x 1－x 216＋y 1－y 29＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－916，所求直线的斜率是－916，弦所在的直线方程是y －1＝－916(x －1)，即9x ＋16y －25＝0，故选C.4．【答案】C【解析】如图所示，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则有|F 1F 2|＝|PF 2|，∠PF 1F 2＝∠F 2PF 1＝30°所以∠PF 2A ＝60°，∠F 2P A ＝30°，所以|PF 2|＝2|AF 2|＝2⎝⎛⎭⎫32a －c ＝3a －2c . 又因为|F 1F 2|＝2c ，所以，2c ＝3a －2c ，所以e ＝c a ＝34.5．【答案】D【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的斜率k ＝－1－01－3＝12，⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，即1a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2x 1＋x 2x 1－x 2＝0⇔1a 2＋1b 2×12×－22＝0，即a 2＝2b 2， c 2＝9，a 2＝b 2＋c 2，解得：a 2＝18，b 2＝9，方程是x 218＋y 29＝1，故选D. 二、填空题 6．【答案】53【解析】由已知可得直线方程为y ＝2x －2，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得A (0，－2)，B ⎝⎛⎭⎫53，43， ∴S △AOB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝53.]7．【答案】327【解析】由x 24＋y 23＝1知，焦点F 1(－1,0)，所以直线l ：y ＝x ＋1，代入x 24＋y 23＝1得3x 2＋4(x＋1)2＝12，即7x 2＋8x －8＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝－87，x 1x 2＝－87，故|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝247.由定义有，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ， 所以|AF 2|＋|BF 2|＝4×2－247＝327.]8．【答案】⎣⎡⎦⎤－12，－14 【解析】由椭圆C ：x 22＋y 2＝1的方程可得a 2＝2，b 2＝1，由椭圆的性质可知：k P A 1·k P A 2＝－12，∴k P A 2＝－12k P A 1，∵k P A 1∈[1,2]，则k P A 2∈⎣⎡⎦⎤－12，－14.三、解答题9．解：(1)将y ＝x ＋b 代入x 22＋y 2＝1，消去y 并整理，得3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0.①因为直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点，所以Δ＝16b 2－12(2b 2－2)＝24－8b 2＞0， 解得－3＜b ＜ 3.所以b 的取值范围为(－3，3)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当b ＝1时，方程①为3x 2＋4x ＝0. 解得x 1＝0，x 2＝－43.所以y 1＝1，y 2＝－13.所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝423. 10．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得c ＝2，b ＝2， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0，设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则 y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)， x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k 2，又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k 2，所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d＝|k |4＋6k 21＋2k 2，由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，化简得7k 4－2k 2－5＝0，解得k ＝±1.B 组 素养提升练11．【答案】ABC【解析】e ＝12⇒c a ＝12⇒c ＝a 2，a 2－b 2a 2＝14⇒b 2a 2＝34⇒b a ＝32⇒b ＝32a .∴ax 2＋bx －c ＝0⇒ax 2＋32ax －a 2＝0⇒x 2＋32x －12＝0， ∴x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－12， ∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝34＋1＝74. ∵1＜74＜2，∴点P 在圆x 2＋y 2＝1外，在x 2＋y 2＝74上，在x 2＋y 2＝2内，故应选ABC.12．【答案】A【解析】设直线与椭圆在第一象限内的交点为A (x ，y )，则y ＝24x 由|AB |＝2c ，可知|OA |＝x 2＋y 2＝c ，即x 2＋⎝⎛⎭⎫24x 2＝c ， 解得x ＝223c ，所以A ⎝⎛⎭⎫223c ，13c ，把点A 代入椭圆方程得到⎝⎛⎭⎫223c 2a 2＋⎝⎛⎭⎫13c 2b 2＝1，整理得8e 4－18e 2＋9＝0，即(4e 2－3)(2e 2－3)＝0，因0＜e ＜1，所以可得e ＝32.] 13．【答案】x 220＋y 216＝1 6x －5y －28＝0【解析】由题意得b ＝4，又e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－16a 2＝15，解得a 2＝20.∴椭圆的方程为x 220＋y 216＝1.∴椭圆右焦点F 的坐标为(2,0)，设线段MN 的中点为Q (x 0，y 0)，由三角形重心的性质知BF →＝2FQ →，从而(2，－4)＝2(x 0－2，y 0)， 解得x 0＝3，y 0＝－2，所以点Q 的坐标为(3，－2)． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－4，且x 2120＋y 2116＝1，x 2220＋y 2216＝1， 以上两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)20＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)16＝0，∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－45·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－45×6－4＝65，故直线的方程为y ＋2＝65(x －3)，即6x －5y －28＝0.14．【答案】⎝⎛⎭⎫0，22 【解析】∵MF 1→⊥MF 2→，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上，又点M 在椭圆内部，∴c ＜b ， ∴c 2＜b 2＝a 2－c 2，即2c 2＜a 2，∴c 2a 2＜12，即c a ＜22.又e ＞0，∴0＜e ＜22. C 组 思维提升练15．解：(1)依题意知A (a,0)，B (0，－b )，∵△AOB 为直角三角形，∴过A 、O 、B 三点的圆的圆心为斜边AB 的中点， ∴a 2＝32，－b 2＝－12，即a ＝3，b ＝1， ∴椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由(1)知B (0，－1)，依题意知直线BN 的斜率存在且小于0， 设直线BN 的方程为y ＝kx －1(k ＜0)， 则直线BM 的方程为：y ＝－1kx －1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，y ＝kx －1.消去y 得(1＋3k 2)x 2－6kx ＝0，解得：x N ＝6k1＋3k 2，y N＝kx N －1， ∴|BN |＝x 2N ＋(y N ＋1)2＝x 2N ＋k 2x 2N ＝1＋k 2|x N |∴|BN |＝1＋k 2|x N －x B |＝1＋k 2·6|k |1＋3k 2，在y ＝－1k x －1中，令y ＝0得x ＝－k ，即M (－k,0)∴|BM |＝1＋k 2，在Rt △MBN 中，∵∠BMN ＝60°，∴|BN |＝3|BM |， 即1＋k 2·6|k |1＋3k 2＝3·1＋k 2， 整理得3k 2－23|k |＋1＝0， 解得|k |＝33，∵k ＜0，∴k ＝－33，∴点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫33，0.。
课时作业1：3.1.2 第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用
第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用1．直线y ＝x ＋1与椭圆x 25＋y 24＝1的位置关系是( ) A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法判断 答案 A解析 方法一 直线过点(0,1)，而0＋14<1，即点(0,1)在椭圆内部， 所以可推断直线与椭圆相交．方法二 联立直线与椭圆的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 25＋y 24＝1，消去y 得9x 2＋10x －15＝0， Δ＝100－4×9×(－15)＝640>0，所以直线与椭圆相交．2．(多选)若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是( ) A.63 B ．－63 C ．－33 D.33 答案 AB解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2，x 23＋y 22＝1，得(3k 2＋2)x 2＋12kx ＋6＝0，由题意知Δ＝144k 2－24(3k 2＋2)＝0，解得k ＝±63. 3．直线x －y ＋1＝0被椭圆x 23＋y 2＝1所截得的弦长|AB |等于( ) A.322B. 2 C ．2 2D ．3 2 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，x 23＋y 2＝1，得交点为(0,1)，⎝⎛⎭⎫－32，－12，则|AB |＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫1＋122＝322.4．若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是( ) A ．m >1B ．m >0C ．0<m <5且m ≠1D ．m ≥1且m ≠5 答案 D解析 方法一 由于直线y ＝kx ＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则0<1m≤1且m ≠5， 故m ≥1且m ≠5.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，mx 2＋5y 2－5m ＝0， 消去y 整理得(5k 2＋m )x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0.由题意知Δ＝100k 2－20(1－m )(5k 2＋m )≥0对一切k ∈R 恒成立，即5mk 2＋m 2－m ≥0对一切k ∈R 恒成立，由于m >0且m ≠5，∴m ≥1且m ≠5.5．已知椭圆C ：y 29＋x 2＝1，过点P ⎝⎛⎭⎫12，12的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为( )A ．9x －y －4＝0B ．9x ＋y －5＝0C ．4x ＋2y －3＝0D ．4x －2y －1＝0答案 B解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为点A ，B 在椭圆上，所以y 219＋x 21＝1，① y 229＋x 22＝1.② ①－②，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)9＋(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝0.③ 因为P ⎝⎛⎭⎫12，12是线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1，代入③得y 1－y 2x 1－x 2＝－9，即直线AB 的斜率为－9. 故直线AB 的方程为y －12＝－9⎝⎛⎭⎫x －12， 整理得9x ＋y －5＝0.6．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为______________．答案 27解析 由题意可设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1(a >2)， 与直线方程x ＋3y ＋4＝0联立，得4(a 2－3)y 2＋83(a 2－4)y ＋(16－a 2)(a 2－4)＝0，由Δ＝0，得a ＝7，所以椭圆的长轴长为27.7．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．答案 53解析 由已知可得直线方程为y ＝2x －2，|OF |＝1，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得A (0，－2)，B ⎝⎛⎭⎫53，43， 所以S △AOB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝53. 8．已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，经过点F 1的一条直线与椭圆交于A ，B 两点．若直线AB 的倾斜角为π4，则弦长|AB |为________． 答案 247 解析 易知F 1(－1,0)，∵直线AB 的倾斜角为π4， ∴直线AB 的斜率为1，可得直线AB 的方程为y ＝x ＋1.联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1，x 24＋y 23＝1， 整理得7x 2＋8x －8＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系可知x 1＋x 2＝－87，x 1·x 2＝－87， 则由弦长公式得|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2×⎝⎛⎭⎫－872－4×⎝⎛⎭⎫－87＝247. 9．对不同的实数值m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋m ，x 24＋y 2＝1消去y ， 得x 24＋(x ＋m )2＝1， 整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0.Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)．当Δ＞0，即－5＜m ＜5时，此时直线与椭圆相交；当Δ＝0，即m ＝±5时，此时直线与椭圆相切；当Δ＜0，即m ＜－5或m ＞5时，直线与椭圆相离．10.某海域有A ，B 两个岛屿，B 岛在A 岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C ，曾有渔船在距A 岛、B 岛距离和为8海里处发现过鱼群．以A ，B 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系．(1)求曲线C 的标准方程；(2)某日，研究人员在A ，B 两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A ，B 两岛收到鱼群在P 处反射信号的时间比为5∶3，问你能否确定P 处的位置(即点P 的坐标)?解 (1)由题意知曲线C 是以A ，B 为焦点且长轴长为8的椭圆，又2c ＝4，则c ＝2，a ＝4，故b ＝23，所以曲线C 的方程是x 216＋y 212＝1. (2)由于A ，B 两岛收到鱼群发射信号的时间比为5∶3，∴设此时距A ，B 两岛的距离比为5∶3，即鱼群分别距A ，B 两岛的距离为5海里和3海里．设P (x ，y )，B (2,0)，由|PB |＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3，⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)2＋y 2＝9，x 216＋y 212＝1，－4≤x ≤4，∴x ＝2，y ＝±3，∴点P 的坐标为(2,3)或(2，－3)．11．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，若直线y ＝kx 与椭圆的一个交点的横坐标x 0＝b ，则k 的值为( ) A.22 B ．±22 C.12 D ．±12答案 B解析 根据椭圆的离心率为22，得c a ＝22. 由x 0＝b ，得y 20＝b 2⎝⎛⎭⎫1－b 2a 2＝b 2c 2a 2， 所以y 0＝±bc a ，∴k ＝y 0x 0＝±c a ＝±22. 12．以F 1(－1,0)，F 2(1,0)为焦点且与直线x －y ＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是( )A.x 220＋y 219＝1 B.x 29＋y 28＝1 C.x 25＋y 24＝1 D.x 23＋y 22＝1 答案 C解析 由题意设椭圆方程为x 2b 2＋1＋y 2b2＝1， ⎩⎪⎨⎪⎧x 2b 2＋1＋y 2b 2＝1，x －y ＋3＝0，得(2b 2＋1)x 2＋6(b 2＋1)x ＋8b 2＋9－b 4＝0，由Δ≥0得b 2≥4，所以b 2的最小值为4，由e ＝1－b 2b 2＋1＝1b 2＋1， 则b 2＝4时，e 取最大值，故选C.13．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________． 答案 6解析 由x 24＋y 23＝1可得，F (－1,0)．设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝⎛⎭⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2， 当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.14．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为________． 答案 4105解析 方法一 设直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋t ，x 24＋y 2＝1，消去y 得 x 24＋(x ＋t )2＝1， 整理得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0.∵Δ＝64t 2－80(t 2－1)>0，∴－5<t < 5.设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则x 1＋x 2＝－8t 5，x 1·x 2＝4(t 2－1)5. ∴|AB |＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2⎣⎡⎦⎤6425t 2－4×4(t 2－1)5 ＝－32t 2＋16025. 当t ＝0时，|AB |为最大，即|AB |max ＝4105. 方法二 根据椭圆的对称性，当直线斜率固定时，直线过原点时截椭圆所得弦长最长，将y＝x 代入x 24＋y 2＝1得交点坐标为A ⎝⎛⎭⎫255，255和B ⎝⎛⎭⎫－255，－255， 故|AB |＝4105.15．已知椭圆的左焦点为F 1，有一质点A 从F 1处以速度v 开始沿直线运动，经椭圆内壁反射(无论经过几次反射速率始终保持不变)，若质点第一次回到F 1时，它所用的最长时间是最短时间的7倍，则椭圆的离心率e 为( )A.23B.34C.35D.57答案 D解析 假设长轴在x 轴，短轴在y 轴，以下分为三种情况：(1)球从F 1沿x 轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹， 这时第一次回到F 1路程是2(a －c )；(2)球从F 1沿x 轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹， 这时第一次回到F 1路程是2(a ＋c )；(3)球从F 1沿x 轴斜向上(或向下)运动，碰到椭圆上的点A ， 反弹后经过椭圆的另一个焦点F 2，再弹到椭圆上一点B ， 反弹后经过点F 1，此时小球经过的路程是4a .综上所述，从点F 1沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点F 1时， 小球经过的最大路程是4a ，最小路程是2(a －c )．∴由题意可得4a ＝7×2(a －c )，即5a ＝7c ，得c a ＝57. ∴椭圆的离心率为57. 16．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点⎝⎛⎭⎫1，32，离心率为12，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)当△F 2AB 的面积为1227时，求直线的方程． 解 (1)∵椭圆过点⎝⎛⎭⎫1，32， ∴1a 2＋94b2＝1， 又e ＝c a ＝12且a 2＝b 2＋c 2， 解得a 2＝4，b 2＝3，c 2＝1，∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1. (2)显然直线AB 的斜率不为0，设AB 的方程为x ＝ty －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －1，x 24＋y 23＝1， 整理得(3t 2＋4)y 2－6ty －9＝0，Δ＝36t 2＋36(3t 2＋4)＝144t 2＋144>0，∴y 1＋y 2＝6t 3t 2＋4，y 1y 2＝－93t 2＋4， 2ABF S ＝12|F 1F 2||y 1－y 2| ＝|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝⎝⎛⎭⎫6t 3t 2＋42＋363t 2＋4＝12t 2＋13t 2＋4＝1227， 解得t 2＝1，∴直线方程为x ＝±y －1，即y ＝x ＋1或y ＝－x －1.。
人教A版高中数学选修2-1课件【14】椭圆方程及性质的应用
x1＋x2 n ∴ ＝ . y1＋y2 m y1＋y2 2 由题意可知 ＝ . x1＋x2 2 m y1＋y2 2 所以 n ＝ ＝ ，选 A. x1＋x2 2
答案：A
二、填空题：每小题 5 分，共 15 分． 7． 过椭圆 x2＋2y2＝4 的左焦点作倾斜角为 30° 的直线， 交椭 圆于 A，B 两点，则弦长|AB|＝__________.
(2)斜率大于零的直线过 D(－1,0)与椭圆分别交于点 E，F， → → 若ED＝2DF，求直线 EF 的方程； (3)对于 D(－1,0)，是否存在实数 k，使得直线 y＝kx＋2 分别 交椭圆于点 P，Q，且|DP|＝|DQ|，若存在，求出 k 的值，若不存 在，请说明理由．
b 3 1 1 3 解：(1)由a＝ 3 ，2ab＝2× 2 × a2＋b2， 得 a＝ 3，b＝1， x2 2 所以椭圆的标准方程是 ＋y ＝1. 3
由|DP|＝|DQ|，得 DM⊥PQ， 2 3k2＋1 yM 1 ∴kDM＝ ＝ ＝－ ， 6 k k xM＋1 － 2 ＋1 3k ＋ 1 ∴3k2－4k＋1＝0， 1 得 k＝1 或 k＝ . 3 1 但 k＝1，k＝3均使方程(*)没有两相异实根， ∴满足条件的 k 不存在．
x2 y2 3 11．设椭圆 C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为5. (1)求 C 的标准方程； 4 (2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的中点坐标． 5
16 解：(1)将(0,4)代入 C 的方程得 b2 ＝1，∴b＝4. a2－b2 9 c 3 16 9 又 e＝ ＝ ，得 2 ＝ ，即 1－ 2 ＝ ， a 5 a 25 a 25 ∴a＝5， x2 y2 ∴C 的标准方程为25＋16＝1.
高中数学 2222 椭圆几何性质的应用课时作业 新人教A版选修21
课时作业12 椭圆几何性质的应用时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题6分，共36分)1．线段|AB|＝4，N 为AB 的中点，动点P 满足条件|PA|＋|PB|＝6，当P 点在同一平面内运动时，|PN|的最大值M ，最小值m 分别是( )A ．M ＝4，m ＝ 3B ．M ＝3，m ＝ 5C ．M ＝5，m ＝ 5D ．M ＝3，m ＝ 3解析：由|PA|＋|PB|＝6>|AB|＝4，∴P 的轨迹是以A 、B 为焦点，N 为中心的椭圆．则M ＝|PN|max ＝a ＝3，m ＝|PN|min ＝b ＝a 2－c 2＝9－4＝ 5. 答案：B2．已知点(m ，n)在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是( )A ．[4－23，4＋23]B ．[4－3，4＋3]C ．[4－22，4＋22]D ．[4－2，4＋2]解析：由8x 2＋3y 2＝24，得x 23＋y28＝1.∴－3≤m≤3.∴4－23≤2m＋4≤4＋2 3.答案：A3．已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到y轴的距离为( )A .233B .263 C .33D . 3 解析：由题意知，F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设M(x 0，y 0)，由MF 1→·MF 2→＝0，可得x 0＝±263.故选B .答案：B4．若AB 为过椭圆x 225＋y216＝1中心的线段，F 1为椭圆的焦点，则△F 1AB 面积的最大值为( )A ．6B ．12C ．24D ．48图1解析：如图1，S△ABF 1＝S△AOF 1＋S△BOF 1 ＝2S△AOF 1.又∵OF 1＝c ＝3为定值，∴点A 与(0,4)重合时，OF 1边上的高最大， 此时S△AOF 1的面积最大为12×4×3＝6.∴S△ABF 1的最大值为12. 答案：B5．椭圆x 216＋y24＝1上的点到直线x ＋2y －2＝0的最大距离是( )A ．3B .11C ．2 2D .10图2解析：设与直线x ＋2y －2＝0平行的直线为x ＋2y ＋m ＝0与椭圆联立得， (－2y －m)2＋4y 2－16＝0， 即4y 2＋4my ＋4y 2－16＋m 2＝0得 2y 2＋my －4＋m24＝0.Δ＝m 2－8(m24－4)＝0，即－m 2＋32＝0， ∴m＝±4 2.∴两直线间距离最大是当m ＝42时， d max ＝|2＋42|5＝10.答案：D6．过点M(－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为( )A ．2B ．－2C .12D ．－12图3解析：设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P(x 0，y 0) 则x 212＋y 21＝1 ① x 222＋y 22＝1 ② ①－②得x 1＋x 2x 1－x 22＝－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22y 1＋y 2＝－x 02y 0. ∵k 1＝y 1－y 2x 1－x 2，k 2＝y 0x 0，∴k 1＝－12k 2.∴k 1·k 2＝－12.答案：D二、填空题(每小题8分，共24分)7．过椭圆x 25＋y24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．解析：由已知可得直线方程为y ＝2x －2，联立方程得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得A(0，－2)，B(53，43)．∴S △AOB ＝12|OF||y A －y B |＝53.答案：538．若F 1，F 2是椭圆C ：x 28＋y24＝1的焦点，则在C 上满足PF 1⊥PF 2的点P 的个数为________．解析：∵椭圆C ：x 28＋y24＝1，∴c ＝2.∴F 1(－2,0)，F 2(2,0)，其短轴的端点为 B(0,2)，A(0，－2)，∴∠F 1BF 2＝∠F 1AF 2＝90°.又短轴端点与F 1，F 2连线所成的角是椭圆上动点P 与F 1，F 2连线所成角中的最大角，∴在C 上满足PF 1⊥PF 2的点有2个． 答案：29．若直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y24＝1的交点个数为________．解析：∵直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点 ∴|－4|m 2＋n2>2∴m 2＋n 2<4即点P(m ，n)在以原点为圆心，以2为半径的圆内，故直线mx ＋ny ＝4与椭圆x 29＋y24＝1也有两个交点．答案：2三、解答题(共40分)10．(10分)已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m ， (1)当直线和椭圆有公共点，求实数m 的取值范围． (2)求被椭圆截得的最长线段所在的直线方程．解：(1)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，消去y ，整理得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0(*)．若直线和椭圆有公共点，则Δ＝(2m)2－20(m 2－1)≥0，即m 2≤54，解得－52≤m≤52.(2)设直线y ＝x ＋m 与椭圆4x 2＋y 2＝1交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，对方程(*)，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2m5，x 1x 2＝m 2－15.|AB|＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝2[－2m52－4m 2－15]＝2510－8m 2. 当m ＝0时，线段|AB|取最大值2105，此时直线方程为y ＝x.11．(15分)已知中心在原点的椭圆C 的两个焦点和椭圆C 1：4x 2＋9y 2＝36的两个焦点是一个正方形的四个顶点，且椭圆C 经过点A(2，－3)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若PQ 是椭圆C 的所截线段，O 是坐标原点，OP ⊥OQ 且P 点的坐标为(2，23)，求点Q 的坐标．解：(1)由已知C 1：x 29＋y24＝1得焦点F 1′(－5，0)，F 2′(5，0)．又椭圆C 与C 1的焦点F 1，F 2，F 1′，F 2′是一个正方形的四个顶点，椭圆的中心在原点， ∴F 1，F 2关于原点对称． ∴F 1(0，－5)，F 2(0，5)． 故设C ：x 2b 2＋y2a 2＝1(a>b>0)，∵椭圆C 过点A(2，－3)， ∴4b 2＋9a 2＝1且a 2－b 2＝5. 解出a 2＝15，b 2＝10. ∴椭圆C 的方程为x 210＋y215＝1.(2)设Q(x 0，y 0)，则由OP ⊥OQ 得k OP ·k OQ ＝232·y 0x 0＝－1，即y 0＝－16x 0.又∵x 2010＋y 215＝1，3x 20＋2(－16x 0)2＝30，∴x 0＝±3，点Q 的坐标为(3，－62)或(－3，62)．12．(15分)(2011·北京高考)已知椭圆G ：x 24＋y 2＝1.过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点．(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)将|AB|表示为m 的函数，并求|AB|的最大值． 解：(1)由已知得a ＝2，b ＝1， 所以c ＝a 2－b 2＝ 3.所以椭圆G 的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，离心率为e ＝c a ＝32.(2)由题意知，|m|≥1.当m ＝1时，切线l 的方程为x ＝1，点A ，B 的坐标分别为(1，32)，(1，－32)． 此时|AB|＝ 3.当m ＝－1时，同理可得|AB|＝ 3.当|m|>1时，设切线l 的方程为y ＝k(x －m)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －m ，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 2m 1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2m 2－41＋4k 2.又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|km|k 2＋1＝1，即m 2k 2＝k 2＋1.所以|AB|＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2] ＝1＋k 2[64k 4m 21＋4k22－44k 2m 2－41＋4k2] ＝43|m|m 2＋3.由于当m ＝±1时，|AB|＝3，所以|AB|＝43|m|m 2＋3，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．因为|AB|＝43|m|m 2＋3＝43|m|＋3|m|≤2， 且当m ＝±3时，|AB|＝2，所以|AB|的最大值为2.。
2019-2020学年苏教版选修1-1 椭圆方程及性质的应用 课时作业
一、选择题(每小题5分，共25分)1.已知直线l过点(3，-1)，且椭圆C：+=1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为( )A.1B.1或2C.2D.0【解析】选C.因为直线过定点(3，-1)且+<1，所以点(3，-1)在椭圆的内部，故直线l与椭圆有2个公共点.2.点A(a，1)在椭圆+=1的内部，则a的取值范围是( )A.-<a<B.a<-或a>C.-2<a<2D.-1<a<1【解析】选A.由题意知+<1，解得-<a<.【拓展延伸】点与椭圆的位置关系已知平面内点P(x0，y0)与椭圆+=1(a>b>0)，则①点P在椭圆外⇔+>1；②点P在椭圆上⇔+=1；③点P在椭圆内⇔+<1.3.(2018·马鞍山高二检测)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，若椭圆C的中心到直线AB的距离为|F1F2|，则椭圆C的离心率e= ( )A. B. C. D.【解析】选A.设椭圆C的焦距为2c(c<a)，由于直线AB的方程为ay+bx-ab=0，所以=c，因为b2=a2-c2，所以3a4-7a2c2+2c4=0，解得a2=2c2或3a2=c2(舍)，所以e=.【补偿训练】椭圆的焦点为F1，F2，过F1的最短弦PQ的长为10，△PF2Q的周长为36，则此椭圆的离心率为( )A. B. C. D.【解析】选C.PQ为过F1且垂直于x轴的弦，则Q(-c，)，△PF2Q的周长为36.所以4a=36，a=9.由已知=5，即=5.又a=9，解得c=6，解得=，即e=.4.(2018·石家庄高二检测)若AB是过椭圆+=1(a>b>0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM，BM与两坐标轴均不平行，k AM，k BM分别表示直线AM，BM的斜率，则k AM·k BM= ( )A.-B.-C.-D.-【解析】选B.设A(x1，y1)，M(x0，y0)，则B(-x1，-y1)，k AM·k BM=·===-.【一题多解】(特殊值法)：因为四个选项为定值，取A(a，0)，B(-a，0)，M(0，b)，可得k AM·k BM=-.【补偿训练】(2018·衡水高二检测)如果AB是椭圆+=1(a>b>0)的任意一条与x轴不垂直的弦，O为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则k AB·k OM的值为( )A.e-1B.1-eC.e2-1D.1-e2【解析】选C.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点M(x0，y0)，则+=1，+=1，两式作差得=所以k AB·k OM=·===e2-1.5.AB为过椭圆+=1(a>b>0)中心的弦，F1(c，0)为椭圆的右焦点，则△AF1B面积的最大值是( )A.b2B.abC.acD.bc【解析】选D.如图，=+=2.又因为|OF1|=c为定值，所以点A与(0，b)重合时，OF1边上的高最大，此时的面积最大为bc.所以的最大值为bc.二、填空题(每小题5分，共15分)6.过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________.【解析】将椭圆与直线方程联立：解得交点A(0，-2)，B.设右焦点为F，则S△OAB=·|OF|·|y1-y2|=×1×|+2|=.答案：7.椭圆mx2+ny2=1与直线y=1-x交于M，N两点，原点O与线段MN的中点P连线的斜率为，则的值是________.【解析】由消去y，得(m+n)x2-2nx+n-1=0.则MN的中点P的坐标为.所以k OP==.答案：8.(2018·宁波高二检测)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________.【解析】由·=0，得以F1F2为直径的圆在椭圆内，于是b>c，于是a2-c2>c2，所以0<e<，故离心率的范围为.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9.已知动点M(x，y)到直线l：x=4的距离是它到点N(1，0)的距离的2倍.(1)求动点M的轨迹C的方程.(2)过点P(0，3)的直线m与轨迹C交于A，B两点.若A是PB的中点，求直线m的斜率. 【解题指南】由动点M的坐标，根据已知条件列方程即可；设出直线方程与椭圆方程联立，得出k与x1，x2的关系式，利用中点坐标即可得斜率.【解析】(1)点M(x，y)到直线x=4的距离是它到点N(1，0)的距离的2倍，则|x-4|=2⇒+=1.所以，动点M的轨迹为椭圆，方程为+=1.(2)P(0，3)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知：2x1=0+x2，2y1=3+y2，椭圆的上下顶点坐标分别是(0，)和(0，-)，经检验直线m不经过这两点，即直线m斜率k存在.设直线m的方程为：y=kx+3.联立椭圆和直线方程，整理得：(3+4k2)x2+24kx+24=0⇒x1+x2=，x1·x2=，+=+2⇒=⇒=⇒k=±，所以直线m的斜率k=±.10.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程.(2)当△AMN的面积为时，求k的值.【解析】(1)由题意得解得b=.所以椭圆C的方程为+=1.(2)由得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.Δ=24k2+16>0.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1=k(x1-1)，y2=k(x2-1)，x1+x2=，x1x2=，所以|MN|===.又因为点A(2，0)到直线y=k(x-1)的距离d=，所以△AMN的面积为|MN|·d=.由=，解得k=±1.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.已知椭圆C的方程为+=1(m>0)，如果直线y=x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为( )A.2B.2C.8D.2【解析】选B.根据已知条件c=，则点在椭圆+=1(m>0)上，所以+=1，可得m=2.2.(2018·福建高考)已知椭圆E：+=1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x-4y=0交椭圆E于A，B两点.若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选A.不妨设左焦点为F2，连接AF2，BF2，由椭圆的对称性可知四边形AFBF2的对角线互相平分，所以四边形AFBF2为平行四边形，所以+=+=2a=4，所以a=2，设M(0，b)，所以d=b≥⇒b≥1，所以e==≤=，又e∈(0，1)，所以e∈.【补偿训练】过椭圆+y2=1右焦点且斜率为1的直线被椭圆截得的弦MN的长为( )A. B. C. D.【解题指南】求出过椭圆+y2=1右焦点且斜率为1的直线方程，代入椭圆+y2=1，可得一元二次方程，利用弦长公式，即可求弦MN的长.【解析】选A.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为椭圆+y2=1右焦点坐标为(，0)，所以过椭圆+y2=1右焦点且斜率为1的直线方程为y=x-，代入椭圆+y2=1，可得+(x-)2=1，即5x2-8x+8=0，所以x1+x2=，x1x2=，所以|MN|=·=·=.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2018·济南高二检测)已知对k∈R，直线y-kx-1=0与椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围是________.【解析】因为直线y-kx-1=0过定点(0，1)，要使直线和椭圆恒有公共点，则点(0，1)在椭圆上或椭圆内，即+≤1，整理，得≤1，解得m≥1.又方程+=1表示椭圆，所以m>0且m≠5，综上m的取值范围为m≥1且m≠5.答案：m≥1且m≠54.(2018·无锡高二检测)若倾斜角为的直线交椭圆+y2=1于A，B两点，则线段AB的中点的轨迹方程是________________.【解析】设中点坐标为(x，y)，直线方程为y=x+b，代入椭圆方程得5x2+8bx+4(b2-1)=0，由根与系数的关系及中点的定义，可得x+4y=0，由Δ>0，得-<b<，故-<x<.答案：x+4y=0(-<x<)【补偿训练】(2018·沈阳高二检测)已知椭圆：+x2=1，过点P的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为( )A.9x-y-4=0B.9x+y-5=0C.2x+y-2=0D.2x-y+2=0【解析】选B.椭圆：+x2=1，过点P的直线与椭圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则+=1 (1)+=1 (2)由(1)(2)相减得：+(x1+x2)(x1-x2)=0，点P是AB的中点，所以x1+x2=1，y1+y2=1，由题知x1≠x2，所以=-9，则直线AB的方程y-=-9，整理得9x+y-5=0.三、解答题(每小题10分，共20分)5.设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|=|PD|.(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程.(2)求过点(3，0)且斜率为的直线被C所截线段的长度.【解析】(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(x P，y P)，由已知得因为P在圆上，所以x2+=25，即C的方程为+=1.(2)过点(3，0)且斜率为的直线方程为y=(x-3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y=(x-3)代入C的方程，得+=1，即x2-3x-8=0.Δ=(-3)2+32=41>0所以x1+x2=3，x1x2=-8.所以线段AB的长度为|AB|=====.6.(2018·陕西高考)已知椭圆+=1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0).(1)求椭圆的方程.(2)若直线l：y=-x+m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足=，求直线l的方程.【解题指南】(1)先由已知得椭圆短半轴长，再由离心率及a，b，c间的关系，列方程组得解.(2)先利用直线与圆相交求得弦CD的长，再利用椭圆与直线相交得AB的长，通过解方程得m值从而得解.【解析】(1)由题设知解得a=2，b=，c=1，所以椭圆的方程为+=1.(2)由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1，所以圆心到直线的距离d=.由d<1得|m|<. (*)所以|CD|=2=2=. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2-mx+m2-3=0，由根与系数的关系可得x1+x2=m，x1x2=m2-3.所以|AB|==.由=得=1，解得m=±，满足(*)，所以直线l的方程为y=-x+或y=-x-.。
高中数学 2.2.2.2椭圆方程及性质的应用课时作业 新人
椭圆方程及性质的应用(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.过椭圆+y2=1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A,B两点,则|AB|等于( )A.4B.2C.1D.4【解析】选C.因为+y2=1中a2=4,b2=1,所以c2=3,所以右焦点坐标F(,0),将x=代入+y2=1得,y=±,故|AB|=1.2.已知直线l过点(3,-1),且椭圆C:+=1,则直线l与椭圆C的公共点的个数为( )A.1B.1或2C.2D.0【解析】选C.因为直线过定点(3,-1)且+<1,所以点(3,-1)在椭圆的内部,故直线l与椭圆有2个公共点.3.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.不确定【解析】选A.直线y=kx-k+1=k(x-1)+1过定点(1,1),且该点在椭圆内部,因此必与椭圆相交,故选A.4.(2014·杭州高二检测)已知椭圆mx2+ny2=1与直线x+y=1相交于A,B两点,M为AB的中点,O为坐标原点,若直线OM的斜率为,则的值为( )A. B. C. D.2【解析】选A.设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点M(x0,y0),由题意可得==,=-1 ①因为A,B在椭圆上,所以m+n=1,m+n=1,两式相减可得m(x1-x2)(x1+x2)+n(y1-y2)(y1+y2)=0 ②所以=-,即-1=-,所以-1=-·,=.5.(2014·衡水高二检测)如果AB是椭圆+=1的任意一条与x轴不垂直的弦,O为椭圆的中心,e为椭圆的离心率,M为AB的中点,则k AB·k OM的值为( )A.e-1B.1-eC.e2-1D.1-e2【解析】选C.设A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x0,y0),由点差法,+=1,+=1,作差得=,所以k AB·k OM=·===e2-1.6.(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点,若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解题指南】本题中给出AB的中点坐标,所以在解题时先设出A,B两点坐标,然后采用点差法求解.【解析】选D.由椭圆+=1得,b2x2+a2y2=a2b2,因为过点F的直线与椭圆+=1(a>b>0)交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,=-1,则b2+ a2= a2b2①,b2+ a2= a2b2②,由①-②得b2(-)+ a2(-)=0,化简得b2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0.2b2(x1-x2)-2a2(y1-y2)=0,=,又直线的斜率为k==,即=.因为b2=a2-c2=a2-9,所以=,解得a2=18,b2=9.故椭圆方程为+=1.【变式训练】椭圆+=1中,以点M(-1,2)为中点的弦所在的直线斜率为( )A. B. C. D.-【解析】选B.设弦的两个端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则①-②得+=0,又因为弦中点为M(-1,2),所以x1+x2=-2,y1+y2=4,所以+=0,所以k==.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·天水高二检测)过点M(1,1)作一直线与椭圆+=1相交于A,B两点,若M点恰好为弦AB的中点,则AB所在直线的方程为.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程,得4+9=9×4,4+9=9×4,两式相减,得4(x1+x2)(x1-x2)+9(y1+y2)(y1-y2)=0,由中点坐标公式得=1,=1,所以k==-,所以所求直线方程为4x+9y-13=0.答案:4x+9y-13=08.(2014·德州高二检测)如图,F1,F2分别为椭圆+=1的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为的正三角形,则b2的值是.【解析】因为|OF2|=c,所以=c2=,所以c=2.又因为P点在椭圆上,且P(1,),所以+=1,所以+=1.又因为a2=b2+c2=4+b2,所以b2=2.答案:29.(2013·辽宁高考改编)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,则C的离心率为.【解题指南】由余弦定理解三角形,结合椭圆的几何性质(对称性)求出点A(或B)到右焦点的距离,进而求得a,c.【解析】在三角形ABF中,由余弦定理得|AF|2=|AB|2+|BF|2-2|AB||BF|cos∠ABF,又|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,解得|AF|=6.在三角形ABF中,|AB|2=102=82+62=|BF|2+|AF|2,故三角形ABF为直角三角形.设椭圆的右焦点为F′,连接AF′,BF′,根据椭圆的对称性,四边形AFBF′为矩形,则其对角线|FF′|=|AB|=10,且|BF|=|AF′|=8,即焦距2c=10,又据椭圆的定义,得|AF|+|AF′|=2a,所以2a=|AF|+|AF′|=6+8=14.故离心率e===.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)10.椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A,B两点,C是AB的中点,若|AB|=2,OC的斜率为,求椭圆的方程.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程,得a+b=1, ①a+b=1. ②②-①,得a(x2+x1)(x2-x1)+b(y2+y1)(y2-y1)=0.而=k AB=-1,=k OC=,则b= a.又因为|AB|=|x2-x1|=|x2-x1|=2,所以|x2-x1|=2. 又由得(a+b)x2-2bx+b-1=0,所以x1+x2=,x1x2=.所以|x2-x1|2=(x1+x2)2-4x1x2=-4·=4,将b=a代入,得a=,b=,所以所求的椭圆方程为+y2=1.【一题多解】由直线方程和椭圆方程联立,得得(a+b)x2-2bx+b-1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|==.因为|AB|=2,所以=1. ①设C(x,y),则x==,y=1-x=.因为OC的斜率为,所以=.代入①,得a=,b=.所以椭圆方程为+y2=1.11.(2014·德阳高二检测)已知离心率为的椭圆C:+=1(a>b>0)过点M(,1).(1)求椭圆的方程.(2)已知与圆x2+y2=相切的直线l与椭圆C相交于不同两点A,B,O为坐标原点,求·的值.【解题指南】(1)由e=,及椭圆C过点M(,1)建立方程组,即可确定椭圆C的方程.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),讨论l的斜率不存在时l:x=±,此时·=-=0.当直线l的斜率存在时,设l:y=kx+m,由l与圆相切得3m2-8k2-8=0,再将l代入椭圆方程,利用根与系数的关系及向量的数量积公式即可求得.【解析】(1)因为e=,又椭圆C过点M(,1),所以解得所以椭圆方程为+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),当直线l的斜率不存在时,l:x=±,则x1=x2=±,y1=-y2,所以·=-=0.当直线l的斜率存在时,设l:y=kx+m,由于l与圆相切得:=,所以3m2-8k2-8=0.将l的方程代入椭圆方程得:(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,所以x1+x2=-,x1·x2=,所以·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2==0,综上,·=0.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·成都高二检测)直线l:x-2y+2=0过椭圆左焦点F1和一个顶点B,则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.【解析】选D.由x-2y+2=0,令y=0,得F1(-2,0).令x=0,得B(0,1),即c=2,b=1,所以a=,所以e===.2.(2014·北京高二检测)若直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,则过点(a,b)的直线与椭圆+=1的公共点个数为( )A.0B.1C.2D.需根据a,b的取值来确定【解题指南】根据直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,可推断点(a,b)是以原点为圆心,2为半径的圆内的点,根据圆的方程和椭圆方程可知圆x2+y2=4内切于椭圆,进而可知点P是椭圆内的点,进而判断可得答案.【解析】选C.因为直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,所以原点到直线ax+by+4=0的距离d=>2,所以a2+b2<4,所以点P(a,b)是在以原点为圆心,2为半径的圆内的点,因为椭圆的长半轴为3,短半轴为2,所以圆x2+y2=4内切于椭圆,所以点P是椭圆内的点,所以过点P(a,b)的一条直线与椭圆的公共点数为2.故选C.3.(2013·大纲版全国卷)椭圆C:+=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是,那么直线PA1斜率的取值范围是( )A. B.C. D.【解题指南】将P(x0,y0)代入到+=1中,得到x0与y0之间的关系,利用·为定值求解的取值范围.【解析】选B.设P(x0,y0),则+=1,=,=,·===-,故=-.因为∈[-2,-1],所以∈.4.过点M(-2,0)的直线m与椭圆+y2=1交于P1,P2,线段P1P2的中点为P,设直线m的斜率为k1(k1≠0),直线OP的斜率为k2,则k1k2的值为( )A.2B.-2C.D.-【解析】选D.设P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x0,y0),则+=1, ①+=1, ②①-②得=-(y1+y2)(y1-y2),所以=-=-.因为k1=,k2=,所以k1=-.所以k1·k2=-.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·邯郸高二检测)过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为.【解析】右焦点为(1,0),故直线为y=2(x-1).由消去y,得3x2-5x=0,所以x=0或x=,从而A(0,-2),B.所以|AB|===.又O到AB的距离d==,所以S△AOB=·|AB|·d=××=.答案:6.(2014·广州高二检测)已知椭圆C:+y2=1的两焦点为F1,F2,点P(x0,y0)满足0<+<1,则|PF1|+|PF2|的取值范围为.【解析】依题意知P位于椭圆C的内部(异于原点O),因此有|F1F2|≤|PF1|+|PF2|<2a,即2≤|PF1|+|PF2|<2,故范围为[2,2).答案:[2,2)三、解答题(每小题12分,共24分)7.圆C1的方程为(x-2)2+(y-1)2=,椭圆C2的方程为+=1(a>b>0),C2离心率为.若C1与C2相交于A,B 两点,且线段AB恰好为圆C1的直径.求直线AB的方程和椭圆C2的方程.【解析】由e=得a2=2c2=2b2.所以椭圆C2的方程为+=1.设A(x1,y1),B(x2,y2),由圆心(2,1)得x1+x2=4,y1+y2=2.又+=1,+=1,相减整理得(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0.从而=-1,所以直线方程为y-1=-(x-2),即y=-x+3.代入椭圆方程,得3x2-12x+18-2b2=0.因为直线AB与椭圆相交,所以Δ>0,即b2>0.由|AB|=|x1-x2|===2,所以b2=8,a2=16,所以椭圆方程为+=1.8.(2013·重庆高考)如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率e=,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A,A′两点,|AA′|=4.(1)求该椭圆的标准方程.(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P,P′,过P,P′作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.求△PP′Q的面积S的最大值,并写出对应的圆Q的标准方程.【解题指南】直接利用已知条件可求出椭圆的标准方程,设出Q点的坐标,利用椭圆上的其余点均在圆Q外可求△PP′Q的面积S的最大值以及圆的标准方程.【解析】(1)设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),由题意知点A(-c,2)在椭圆上,则+=1,从而e2+=1.由e=,得b2==8,从而a2==16,故该椭圆的标准方程为+=1.(2)由椭圆的对称性,可设Q(x0,0),又设M(x,y)是椭圆上任意一点,则|QM|2=(x-x0)2+ y2=x2-2x0x ++8=(x-2x0)2-+8(x∈).设P(x1,y1),由题意,P是椭圆上到Q的距离最小的点,因此,上式当x=x1时取最小值,又因为x1∈,所以上式当x=2x0时取最小值,从而x1=2x0,且|QP|2=8-.由对称性知P′(x1,-y1),故|PP′|=|2y1|,所以S =|2y1||x1-x0| =×2|x0|==.当x0=±时,△PP′Q的面积S取到最大值2.此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(±,0),半径|QP| ==,因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为(x+)2+y2=6,(x-)2+y2=6.- 11 -。
课时作业18：第2课时 椭圆的几何性质及应用
第2课时 椭圆的几何性质及应用一、选择题1．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( ) A ．－2＜a ＜ 2B ．a ＜－2或a ＞ 2C ．－2＜a ＜2D ．－1＜a ＜1考点 椭圆的简单几何性质题点 点与椭圆的位置关系答案 A解析 由题意，得a 24＋12＜1，即a 2＜2，解得－2＜a ＜ 2. 2．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( ) A ．相交B ．相切C ．相离D ．相切或相交 考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆的位置关系判定答案 C3．椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是( ) A.133 B.53 C.23D.59考点 椭圆的简单几何性质 题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、离心率答案 B解析 由题意，得a ＝3，c ＝5，∴离心率e ＝c a ＝53，故选B. 4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则椭圆C 的离心率为( )A.63 B.33 C.23 D.13考点 椭圆的离心率问题题点 求a ，b ，c 的齐次关系式得离心率答案 A解析 以线段A 1A 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，该圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切， ∴|b ×0－a ×0＋2ab |b 2＋(－a )2＝a ，即2b ＝a 2＋b 2， ∴a 2＝3b 2，∵a 2＝b 2＋c 2，∴c 2a 2＝23，∴e ＝c a ＝63. 5．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( ) A ．m ＞1B ．m ＞1且m ≠3C ．m ＞3D ．m ＞0且m ≠3 考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆位置关系的判断答案 B 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1，可得(3＋m )x 2＋4mx ＋m ＝0， ∴Δ＝(4m )2－4m (3＋m )>0，解得m >1或m <0.又∵m >0且m ≠3，∴m >1且m ≠3.6．已知A ，B 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)长轴的两个端点，M ，N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)，若椭圆的离心率为32，则|k 1|＋|k 2|的最小值为( )A ．1 B. 2 C.32 D. 3 考点 直线与椭圆的位置关系题点 椭圆中的定点、定值、取值范围问题答案 A解析 设M (x ，y )，N (x ，－y )(－a ＜x ＜a )，则k 1＝y x ＋a ，k 2＝y a －x，又因为椭圆的离心率为32， 所以b a ＝1－e 2＝12， |k 1|＋|k 2|＝|y |x ＋a ＋|y |a －x ≥2y 2a 2－x 2＝2b a＝1，故选A. 7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，四个顶点构成的四边形的面积为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M (－2,1)，则直线l 的斜率为( )A.13B.32C.12 D.1考点 直线与椭圆的位置关系题点 求椭圆中的直线方程答案 C解析 因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率为32，四个顶点构成的四边形的面积为12，所以⎩⎪⎨⎪⎧ e ＝c a ＝32，2ab ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝23，b ＝3，所以椭圆的方程为x 212＋y 23＝1，因为直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M (－2,1)，所以设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，又因为⎩⎨⎧ x 2112＋y 213＝1，x 2212＋y 223＝1，两式相减，得112(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋13(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，所以－13(x 1－x 2)＋23(y 1－y 2)＝0，所以直线l 的斜率为k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12，故选C.二、填空题8．椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点到直线y ＝3x 的距离是__________． 考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆的位置关系答案 32解析 已知椭圆的右焦点为(1,0)，它到直线3x －y ＝0的距离为|3－0|3＋1＝32. 9．若直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为________．考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆的公共点个数问题答案 2解析 因为直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，所以|－4|m 2＋n 2>2，所以m 2＋n 2<4， 即点P (m ，n )在以原点为圆心，以2为半径的圆内(不包含边界)，故过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有两个交点． 10．设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与线段AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．若ED →＝6DF →，则k 的值为________．考点 由椭圆方程研究简单几何性质题点 由椭圆几何特征求参数答案 23或38解析 依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1， 直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k >0)．如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，则x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k 2. 由ED →＝6DF →知，x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，得x 0＝17(6x 2＋x 1) ＝57x 2＝1071＋4k 2. 由点D 在直线AB 上知，x 0＋2kx 0＝2，x 0＝21＋2k， 所以21＋2k ＝1071＋4k 2， 化简得24k 2－25k ＋6＝0，由此解得k ＝23或k ＝38. 11．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________________.考点 由椭圆的简单几何性质求方程题点 由椭圆的几何特征求方程答案 x 2＋32y 2＝1 解析 不妨设点A 在第一象限，如图，∵AF 2⊥x 轴，∴A (c ，b 2)(其中c 2＝1－b 2,0＜b ＜1，c ＞0)．又∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴由AF 1→＝3F 1B -→，得B ⎝⎛⎭⎫－5c 3，－b 23，代入x 2＋y 2b 2＝1，得25c 29＋b 49b2＝1， 又c 2＝1－b 2，∴b 2＝23. 故椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1. 三、解答题12．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率． (1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．考点 直线与椭圆的位置关系题点 求椭圆中的直线方程解 (1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)， 其离心率为32，故a 2－4a ＝32，解得a ＝4， 故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1. (2)若将A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入到x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4， 所以x 2A ＝41＋4k 2. 将y ＝kx 代入到y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16， 所以x 2B ＝164＋k 2. 又由OB →＝2OA →，得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k 2， 解得k ＝±1.故直线AB 的方程为x －y ＝0或x ＋y ＝0. 13．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，椭圆上任意一点到右焦点F 的距离的最大值为2＋1.(1)求椭圆的方程；(2)已知点C (m,0)是线段OF 上异于O ，F 的一个定点(O 为坐标原点)，是否存在过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，使得|AC |＝|BC |，并说明理由．考点 直线与椭圆的位置关系题点 椭圆中的定点、定值、取值范围问题解 (1)由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝22，a ＋c ＝2＋1， 解得⎩⎨⎧ a ＝2，c ＝1，∴b ＝1， ∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)由(1)得F (1,0)，∴0＜m ＜1.假设存在满足题意的直线l ，设l 为y ＝k (x －1)，代入到x 22＋y 2＝1中，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，① ∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝－2k 2k 2＋1. 设AB 的中点为M ，则M ⎝⎛⎭⎫2k 22k 2＋1，－k 2k 2＋1. ∵|AC |＝|BC |，∴CM ⊥AB ，即k CM k AB ＝－1，∴4k 22k 2＋1－2m ＋－2k 2k 2＋1·k ＝0等价于(1－2m )k 2＝m ， ∴当0＜m ＜12时，k ＝± m 1－2m， 即存在满足条件的直线l ；当12≤m ＜1时，k 不存在，即不存在满足条件的直线l . 四、探究与拓展14．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交C 于点B ，若F A →＝3FB →，则|AF →|＝________.考点 由椭圆方程研究简单几何性质题点 由椭圆方程研究其他几何性质答案 2 解析 设点A (2，n )，B (x 0，y 0)．由椭圆C ：x 22＋y 2＝1，知a 2＝2，b 2＝1， 所以c 2＝1，即c ＝1，所以右焦点F (1,0)，所以由F A →＝3FB →得(1，n )＝3(x 0－1，y 0)，所以1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0，所以x 0＝43，y 0＝13n . 将x 0，y 0代入到x 22＋y 2＝1中， 得12×⎝⎛⎭⎫432＋⎝⎛⎭⎫13n 2＝1， 解得n 2＝1，所以|AF →|＝(2－1)2＋n 2＝1＋1＝ 2.15．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点P (2，3)，且它的离心率为12. (1)求椭圆E 的标准方程；(2)与圆(x －1)2＋y 2＝1相切的直线l ：y ＝kx ＋t (k ∈R ，t ∈R )交椭圆E 于M ，N 两点，若椭圆E上一点C 满足OM →＋ON →＝λOC →(O 为坐标原点)，求实数λ的取值范围．考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆的公共点个数问题解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＋3b 2＝1，c a ＝12，c 2＝a 2－b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝6， 所以椭圆E 的标准方程为x 28＋y 26＝1. (2)因为直线l ：y ＝kx ＋t 与圆(x －1)2＋y 2＝1相切， 所以|t ＋k |1＋k 2＝1，所以2k ＝1－t 2t (t ≠0)． 把y ＝kx ＋t 代入x 28＋y 26＝1，并整理得(3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋(4t 2－24)＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝－8kt 3＋4k 2， y 1＋y 2＝kx 1＋t ＋kx 2＋t ＝k (x 1＋x 2)＋2t ＝6t 3＋4k 2. 因为λOC →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8kt (3＋4k 2)λ，6t (3＋4k 2)λ， 又因为点C 在椭圆E 上，所以8k 2t 2(3＋4k 2)2λ2＋6t 2(3＋4k 2)2λ2＝1， 可得λ2＝2t 23＋4k 2＝2⎝⎛⎭⎫1t 22＋1t 2＋1， 因为t 2＞0，所以⎝⎛⎭⎫1t 22＋1t 2＋1＞1，所以0＜λ2＜2，所以λ的取值范围为(－2，0)∪(0，2)．。
课时作业3：2.5.2 第1课时 椭圆的几何性质
2.5.2 椭圆的几何性质第1课时 椭圆的几何性质课时对点练1．椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为( ) A.13 B.12 C.33 D.22答案 D解析 a 2＝16，b 2＝8，c 2＝8，从而e ＝c a ＝22. 2．焦点在x 轴上，半长轴长与半短轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( ) A.x 236＋y 216＝1 B.x 216＋y 236＝1 C.x 26＋y 24＝1 D.y 26＋x 24＝1 答案 A解析 依题意得c ＝25，a ＋b ＝10，又a 2＝b 2＋c 2，从而解得a ＝6，b ＝4.∴椭圆的方程为x 236＋y 216＝1. 3．曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1(0<k <9)的关系是( ) A ．有相等的焦距，相同的焦点B ．有相等的焦距，不同的焦点C ．有不等的焦距，不同的焦点D ．以上都不对答案 B解析 曲线x 225＋y 29＝1的焦距为2c ＝8，而曲线x 29－k ＋y 225－k＝1(0<k <9)表示的椭圆的焦距也是8，但焦点所在的坐标轴不同．4．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为( )A.12 B ．2 C.14D ．4 答案 C解析 椭圆x 2＋my 2＝1的标准形式为x 2＋y 21m ＝1. 因为焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的2倍， 所以1m ＝2，所以m ＝14. 5．(多选)已知椭圆C ：16x 2＋4y 2＝1，则下列结论正确的是( )A ．长轴长为12B ．焦距为34C ．焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，±34 D ．离心率为32答案 CD解析 由椭圆方程16x 2＋4y 2＝1化为标准方程可得x 2116＋y 214＝1， 所以a ＝12，b ＝14，c ＝34， 所以长轴长为2a ＝1，焦距为2c ＝32，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，±34，离心率为e ＝c a ＝32.6．(多选)若椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率为23，则k 的值为( ) A.415 B ．－3 C ．3 D.413答案 AB 解析 若焦点在x 轴上，则9k ＋8＝1－⎝⎛⎭⎫232＝59， ∴k ＝415； 若焦点在y 轴上，则k ＋89＝59，∴k ＝－3. 7．已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________．答案 (0，±69)解析 由题意知椭圆的焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．8．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e ≤32，则长轴长的取值范围为________． 答案 (2,4]解析 ∵e ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2，b ＝1,0<e ≤32， ∴1－⎝⎛⎭⎫b a 2≤32，则1<a ≤2，∴2<2a ≤4，即长轴长的取值范围是(2,4]．9．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴长、焦点坐标、顶点坐标．解 椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1，m >0. ∵m －m m ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0，∴m >m m ＋3， ∴a 2＝m ，b 2＝m m ＋3，c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3. 由e ＝32，得m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1. ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1， ∴a ＝1，b ＝12，c ＝32. ∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a ＝2和2b ＝1，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－32，0，⎝⎛⎭⎫32，0，四个顶点的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，⎝⎛⎭⎫0，－12，⎝⎛⎭⎫0，12. 10.如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2—→＝2F 2B —→，求椭圆的标准方程．解 (1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有|OA |＝|OF 2|，即b ＝c .所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22. (2)由题意知A (0，b )，F 2(1,0)，设B (x ，y )，由AF 2—→＝2F 2B —→，解得x ＝32，y ＝－b 2. 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b2＝1， 即94a 2＋14＝1，解得a 2＝3， 又c 2＝1，所以b 2＝2，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.11．(多选)阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积．据此得某椭圆面积为62π，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为( )A.x 28＋y 29＝1 B.x 218＋y 216＝1 C.x 212＋y 26＝1 D.x 29＋y 28＝1 答案 AD解析 由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧ πab ＝62π，2c ＝13×2a ，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝3，b ＝22，c ＝1，所以椭圆的标准方程为x 29＋y 28＝1或y 29＋x 28＝1. 12．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点是F 1，F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝5|PF 2|，则此椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，23B.⎝⎛⎦⎤0，23C.⎣⎡⎭⎫23，1D.⎝⎛⎭⎫23，1 答案 C解析 由题意可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝5|PF 2|，则|PF 1|＝5a 3，|PF 2|＝a 3， ∵|PF 1|－|PF 2|≤|F 1F 2|，∴4a 3≤2c ，e ≥23. 又e <1，∴椭圆离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫23，1.13．把椭圆x 225＋y 216＝1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P 1，P 2，…，P 7，F 是左焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |等于( )A ．21B ．28C ．35D ．42答案 C解析 设椭圆的右焦点为F ′，则由椭圆的定义得|P 1F |＋|P 1F ′|＝10，由椭圆的对称性，知|P 1F ′|＝|P 7F |，∴|P 1F |＋|P 7F |＝10.同理，可知|P 2F |＋|P 6F |＝10，|P 3F |＋|P 5F |＝10.又|P 4F |＝5，∴|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝35.14．在平面直角坐标系中，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点⎝⎛⎭⎫a 2c ，0作圆的两切线互相垂直，则离心率e ＝________.答案 22 解析 如图，切线P A ，PB 互相垂直，又半径OA 垂直于P A ，所以△OAP 是等腰直角三角形，a 2c ＝2a . 解得c a ＝22，则离心率e ＝c a ＝22.15．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆．现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半(玻璃厚度忽略不计)，在玻璃杯倾斜的过程中(杯中的水不能溢出)，杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，55B.⎣⎡⎭⎫55，1C.⎝⎛⎦⎤0，255D.⎣⎡⎭⎫255，1 答案 C解析 当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，此时椭圆长轴长为122＋62＝65(厘米)，短轴长与杯底直径相等，即为6厘米，∴椭圆离心率e ＝1－⎝⎛⎭⎫6652＝255， ∴e ∈⎝⎛⎦⎤0，255. 16．椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1(－c ,0)为焦点，离心率为e . 证明：椭圆上任一点P 到F 1的距离与到直线x ＝－a 2c的距离之比为离心率e . 证明 设P (x 0，y 0)为椭圆上任一点，则x 20a 2＋y 20b 2＝1， F 1(－c ,0)，直线x ＝－a 2c ， 所以点P 到直线x ＝－a 2c的距离d ＝⎪⎪⎪⎪x 0＋a 2c ， 故|PF 1|d ＝(x 0＋c )2＋y 20⎪⎪⎪⎪x 0＋a 2c ＝(x 0＋c )2＋b 2－b 2a 2x 201c |cx 0＋a 2| ＝⎝⎛⎭⎫1－b 2a 2x 20＋2cx 0＋c 2＋b21c|cx 0＋a 2| ＝c 2a 2x 20＋2cx 0＋a 21c |cx 0＋a 2|＝1a2(c2x20＋2ca2x＋a4)1c|cx0＋a2|＝1a(cx0＋a2)2 1c|cx0＋a2|＝1a|cx0＋a2|1c|cx0＋a|＝ca＝e，即证原命题成立．。
课时作业3：2.5.2 第二课时 椭圆方程及性质的应用
第二课时 椭圆方程及性质的应用基础达标一、选择题1.直线y ＝kx －1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是( ) A.(1，＋∞) B.(0，＋∞) C.(0，1)∪(1，5)D.[1，5)∪(5，＋∞)解析 ∵直线y ＝kx －1恒过(0，－1)点，∴由题意知，点(0，－1)在椭圆x 25＋y 2m ＝1上或其内部，∴1m ≤1且m ≠5，m >0，∴m ≥1且m ≠5. 答案 D2.椭圆x 225＋y 29＝1上的点P 到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( ) A.8，2 B.5，4 C.5，1D.9，1解析 因为a ＝5，c ＝4，所以最大距离为a ＋c ＝9，最小距离为a －c ＝1. 答案 D3.已知点P 是椭圆x 2＋8y 2＝8上的任一点，则点P 到直线x －y ＋4＝0的最小距离为( ) A.22 B. 2 C.12D.1解析 设与直线x －y ＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x －y ＋m ＝0. 由⎩⎨⎧x －y ＋m ＝0，x 2＋8y 2＝8得9y 2－2my ＋m 2－8＝0，则Δ＝4m 2－36(m 2－8)＝0，解得m ＝3或－3，∴所求最小距离为d ＝|4－3|2＝22.答案 A4.已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( ) A.(0，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎪⎫0，22D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 解析 ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴M 点轨迹方程为x 2＋y 2＝c 2，其中F 1F 2为直径. 由题意知椭圆上的点在圆x 2＋y 2＝c 2外部， 设点P 为椭圆上任意一点，由椭圆性质知|OP |≥b ，其中b 为椭圆短半轴长， ∴b >c ，∴c 2<b 2＝a 2－c 2，∴a 2>2c 2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2<12，∴e ＝c a <22.又∵0<e <1，∴0<e <22. 答案 C5.过椭圆x 2＋2y 2＝4的左焦点F 作倾斜角为π3的弦AB ，则弦AB 的长为( ) A.67 B.167 C.716D.76 解析 椭圆的方程可化为x 24＋y 22＝1，∴F (－2，0). 又∵直线AB 的斜率为3， ∴直线AB 的方程为y ＝3x ＋ 6.由⎩⎨⎧y ＝3x ＋6，x 2＋2y 2＝4得7x 2＋122x ＋8＝0，显然Δ＞0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1227，x 1·x 2＝87，∴|AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝167. 答案 B 二、填空题6.已知F 1为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A ，B 两点，那么|F 1A |＋|F 1B |的值为________.解析 由⎩⎨⎧x 2＋2y 2＝2，y ＝x －1可得A (0，－1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，又F 1(－1，0)，∴|F 1A |＋|F 1B |＝2＋523＝823.答案 8237.已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为________. 解析 依题意，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0).过点F 2(1，0)且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的弦长|AB |＝3， ∴点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32必在椭圆上，∴1a 2＋94b 2＝1.①又由c ＝1，得1＋b 2＝a 2.② 由①②联立，得b 2＝3，a 2＝4.故所求椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.答案 x 24＋y 23＝18.已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点.若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.解析 由题意知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ， 又由a ＝5，可得|AB |＋(|BF 2|＋|AF 2|)＝20，∴|AB |＝8. 答案 8 三、解答题9.在椭圆x 2＋4y 2＝16中，求通过点M (2，1)且被这一点平分的弦所在的直线方程. 解 法一 如果弦所在的直线的斜率不存在，即直线垂直于x 轴，则点M (2，1)显然不可能为这条弦的中点.故可设弦所在的直线方程为y ＝k (x －2)＋1， 代入椭圆方程得x 2＋4[k (x －2)＋1]2＝16， 即得(1＋4k 2)x 2－(16k 2－8k )x ＋16k 2－16k －12＝0.∵直线与椭圆有两个交点，故Δ＝16(12k 2＋4k ＋3)>0. 设弦的两端点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝16k 2－8k1＋4k 2＝4，解得k ＝－12，满足Δ>0. ∴直线方程为x ＋2y －4＝0.法二 设弦的两个端点分别为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2， ∵P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)在椭圆上，故有x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，(*) ∵点M (2，1)是PQ 的中点，故x 1≠x 2，(*)式两边同除(x 1－x 2)得，(x 1＋x 2)＋4(y 1＋y 2)y 1－y 2x 1－x 2＝0，即4＋8k ＝0，∴k ＝－12.∴弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －2)， 即x ＋2y －4＝0(经检验符合题意).10.已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率.(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程.解 (1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)， 其离心率为32，故a 2－4a ＝32，解得a ＝4. 故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)法一 A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )， 由OB→＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2.将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k 2.又由OB →＝2OA →，得x 2B ＝4x 2A ， 即164＋k 2＝161＋4k 2， 解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x . 法二 A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB→＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2.由OB →＝2OA →，得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k 2. 将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k 2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2，解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .能力提升11.椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆C 的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________.解析 由直线方程y ＝3(x ＋c )，得直线与x 轴的夹角∠MF 1F 2＝π3，且过点F 1(－c ，0)，∵∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，∴∠MF 2F 1＝π6，∴∠F 1MF 2＝π－π3－π6＝π2，即F 1M ⊥F 2M ，∴在Rt △F 1MF 2中，|F 1F 2|＝2c ，|F 1M |＝c ，|F 2M |＝3c ，∴由椭圆定义可得2a ＝c ＋3c ，∴c a ＝21＋3＝3－1.答案3－112.设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2，0).(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB . (1)解 由已知得F (1，0)，l 的方程为x ＝1.把x ＝1代入椭圆方程x 22＋y 2＝1，可得点A 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－22.又M (2，0)，所以AM 的方程为y ＝－22x ＋2或y ＝22x － 2. (2)证明 当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以∠OMA ＝∠OMB . 当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1<2，x 2<2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ＋k MB ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2.由y 1＝kx 1－k ，y 2＝kx 2－k 得 k MA ＋k MB ＝2kx 1x 2－3k （x 1＋x 2）＋4k（x 1－2）（x 2－2）.将y ＝k (x －1)代入x 22＋y 2＝1得 (2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0. 所以x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k2k 2＋1＝0.从而k MA ＋k MB ＝0，故MA ，MB 的倾斜角互补.所以∠OMA ＝∠OMB . 综上，∠OMA ＝∠OMB .创新猜想13.(多选题)点A (a ，1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的值可以是( ) A.－ 2 B.－1 C.1D.2解析 由题意知a 24＋12＜1，解得－2＜a ＜ 2.故选BC. 答案 BC14.(多填题)在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，－3)，(0，3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线y ＝kx ＋1与C 交于A ，B 两点，则k ＝________时OA→⊥OB →，此时|AB |的值为________. 解析 (1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴长为2，短半轴长b ＝22－（3）2＝1的椭圆， 故曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1.消去y ，并整理得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0，其Δ＝(2k )2＋12(k 2＋4)>0恒成立， 故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4.∵OA →⊥OB →，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0. ∵y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，于是x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k 2k 2＋4＋1＝－4k 2＋1k 2＋4＝0，∴k ＝±12.当k ＝±12时，x 1＋x 2＝∓417，x 1x 2＝－1217. |AB |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k2）（x2－x1）2，而(x2－x1)2＝(x2＋x1)2－4x1x2＝42172＋4×1217＝43×13172，∴|AB|＝54×43×13172＝46517.答案±1246517。
课时作业12：第2课时 椭圆几何性质的应用
第2课时 椭圆几何性质的应用一、选择题1．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( ) A ．相交B ．相切C ．相离D ．相切或相交答案 C解析 把y ＝－x ＋3代入x 24＋y 2＝1，得x 24＋(3－x )2＝1， 即5x 2－24x ＋32＝0.∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0，∴直线与椭圆相离．2．若直线l ：2x ＋by ＋3＝0过椭圆C ：10x 2＋y 2＝10的一个焦点，则b 的值是( )A ．－1 B.12C ．－1或1D ．－12或12答案 C解析 因为椭圆x 2＋y 210＝1的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)， 所以b ＝1或－1.3．已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M (1,1)为中点的弦所在直线的方程是( )A ．x ＋2y －3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x －2y ＋3＝0D ．2x －y ＋3＝0 答案 A解析 易知所求直线的斜率存在，设过点M (1,1)的直线方程为y ＝k (x －1)＋1，即y ＝kx ＋1－k .由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2－4＝0，y ＝kx ＋1－k 消去y ， 得(1＋2k 2)x 2＋(4k －4k 2)x ＋2k 2－4k －2＝0，所以x 1＋x 22＝12×4k 2－4k 1＋2k 2＝1，解得k ＝－12，所以所求直线方程为y ＝－12x ＋32， 即x ＋2y －3＝0.4．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，若直线y ＝kx 与椭圆的一个交点的横坐标x ＝b ，则k 的值为( ) A.22 B ．±22 C.12 D ．±12答案 B解析 根据椭圆的离心率为22，得c a ＝22. 设交点的纵坐标为y 0，由x ＝b ，得y 20＝b 2⎝⎛⎭⎫1－b 2a 2＝b 2c 2a 2， ∴y 0＝±bc a ，∴k ＝y 0x ＝±c a ＝±22. 5．已知F 1，F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一动点，则使|PF 1|·|PF 2|取最大值的点P 坐标为( )A ．(－2,0)B ．(0,1)C ．(2,0)D ．(0,1)或(0，－1)答案 D解析 由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，∴|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝4， 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝2，即P 的坐标为(0，－1)或(0,1)时，取“＝”．6．已知椭圆x 24＋y 2b2＝1(0<b <2)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )A ．1B. 2C.32D. 3答案 D解析 由题意知a ＝2，所以|BF 2|＋|AF 2|＋|AB |＝4a ＝8，因为|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，所以|AB |的最小值为3，当且仅当AB ⊥x 轴时，取得最小值，此时A ⎝⎛⎭⎫－c ，32，B ⎝⎛⎭⎫－c ，－32，代入椭圆方程得c 24＋94b 2＝1，又c 2＝a 2－b 2＝4－b 2，所以4－b 24＋94b 2＝1，即1－b 24＋94b 2＝1，所以b 24＝94b 2，解得b 2＝3，所以b ＝ 3. 7．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，若直线y ＝kx 与椭圆的一个交点的横坐标x 0＝b ，则k 的值为( ) A.22 B ．±22C.12D ．±12 答案 B解析 根据椭圆的离心率为22，得c a ＝22. 由x 0＝b ，得y 20＝b 2⎝⎛⎭⎫1－b 2a 2＝b 2c 2a 2， ∴y 0＝±bc a ， ∴k ＝y 0x 0＝±c a ＝±22. 8．已知圆C 1：x 2＋2cx ＋y 2＝0，圆C 2：x 2－2cx ＋y 2＝0，c >0，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且c 2＝a 2－b 2.若圆C 1，C 2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫12，1B.⎝⎛⎦⎤0，12C.⎣⎡⎭⎫22，1D.⎝⎛⎦⎤0，22 答案 B解析 圆C 1，C 2都在椭圆内等价于圆C 2的右顶点(2c,0)，上顶点(c ，c )在椭圆内部，∴只需⎩⎪⎨⎪⎧ 2c ≤a ，c 2a 2＋c 2b 2≤1， 可得⎩⎪⎨⎪⎧e ≤12，e 4－3e 2＋1≥0，结合e ∈(0,1)，可得0<e ≤12. 二、填空题9．已知F 1为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A ，B 两点，那么|F 1A |＋|F 1B |的值为________．答案 823 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2，y ＝x －1，联立得3x 2－4x ＝0，可知A (0，－1)，B ⎝⎛⎭⎫43，13，又F 1(－1,0)，∴|F 1A |＋|F 1B |＝2＋523＝823. 10．人造地球卫星的运行是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面p 千米，远地点距地面q 千米，若地球半径为r 千米，则运行轨迹的短轴长为____________．答案 2(p ＋r )(q ＋r )解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧p ＋r ＝a －c ，q ＋r ＝a ＋c ， ∴b 2＝a 2－c 2＝(a ＋c )(a －c )＝(q ＋r )(p ＋r )， ∴2b ＝2(p ＋r )(q ＋r ).11．若直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为________．答案 2解析 因为直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点， 所以|－4|m 2＋n 2>2，所以m 2＋n 2<4， 即点P (m ，n )在以原点为圆心，以2为半径的圆内， 故过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有两个交点． 三、解答题12．设直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)相交于A ，B 两点，且l 过椭圆C 的右焦点，若以AB 为直径的圆经过椭圆的左焦点，试求椭圆C 的方程．解 由椭圆C ：x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)， 得c ＝a 2－(a 2－1)＝1，∴椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．又∵l 经过点F 2，∴m ＝－1，即直线l 的方程为y ＝x －1，代入x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)得 (2a 2－1)x 2－2a 2x ＋2a 2－a 4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝2a 2－a 42a 2－1.又∵以AB 为直径的圆过点F 1，∴AF 1⊥BF 1.∴kAF 1·kBF 1＝－1，即y 1x 1＋1·y 2x 2＋1＝－1， ∴y 1y 2＋(x 1＋1)·(x 2＋1)＝0.∵y 1＝x 1－1，y 2＝x 2－1，∴(x 1－1)(x 2－1)＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝0，即x 1x 2＝－1，∴2a 2－a 42a 2－1＝－1， 解得a 2＝2±3.又∵a 2>1，∴a 2＝2＋3，即a 2－1＝1＋ 3. 故所求椭圆的方程为x 22＋3＋y 21＋3＝1. 13．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)与直线x ＋y －1＝0相交于P ，Q 两点，且OP →⊥OQ →(O 为坐标原点)． (1)求证：1a 2＋1b2等于定值； (2)若椭圆的离心率e ∈⎣⎡⎦⎤33，22，求椭圆长轴长的取值范围． (1)证明 椭圆的方程可化为b 2x 2＋a 2y 2－a 2b 2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 2＋a 2y 2－a 2b 2＝0，x ＋y －1＝0， 消去y 得(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2(1－b 2)＝0.由Δ＝4a 4－4(a 2＋b 2)·a 2·(1－b 2)>0得a 2＋b 2>1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a 2a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(1－b 2)a 2＋b 2. ∵OP →⊥OQ →，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.∴x 1x 2＋(1－x 1)·(1－x 2)＝0.∴2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0，即2a 2(1－b 2)a 2＋b 2－2a 2a 2＋b2＋1＝0. ∴a 2＋b 2＝2a 2b 2，即1a 2＋1b 2＝2. ∴1a 2＋1b 2等于定值． (2)解 ∵e ＝c a，∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－a 2e 2. 又∵a 2＋b 2＝2a 2b 2，∴2－e 2＝2a 2(1－e 2)，即a 2＝2－e 22(1－e 2)＝12＋12(1－e 2). ∵33≤e ≤22， ∴54≤a 2≤32，即52≤a ≤62， ∴5≤2a ≤6，即椭圆长轴长的取值范围是[5，6]．四、探究与拓展14．设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与线段AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．若ED →＝6DF →，则k 的值为________．答案 23或38解析 依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k >0)．如图，设D (x ，kx )，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)， 其中x 1<x 2，则x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k 2. 由ED →＝6DF →知x －x 1＝6(x 2－x )，得x ＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k2 . 由D 在直线AB 上知，x ＋2kx ＝2，x ＝21＋2k， 所以21＋2k ＝1071＋4k 2， 化简得24k 2－25k ＋6＝0，由此解得k ＝23或k ＝38. 15．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点⎝⎛⎭⎫1，32，离心率为12，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)当△F 2AB 的面积为1227时，求直线的方程． 解 (1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点⎝⎛⎭⎫1，32， 所以1a 2＋94b2＝1.① 又因为离心率为12，所以c a ＝12，所以b 2a 2＝34.② 解①②得a 2＝4，b 2＝3. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)当直线的倾斜角为π2时， A ⎝⎛⎭⎫－1，32，B ⎝⎛⎭⎫－1，－32， 2ABF S ＝12|AB |×|F 1F 2|＝12×3×2＝3≠1227. 当直线的倾斜角不为π2时，设直线方程为y ＝k (x ＋1)， 代入x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3， 所以2ABF S ＝12|y 1－y 2|·|F 1F 2| ＝|k |(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝|k |⎝⎛⎭⎫－8k 24k 2＋32－4·4k 2－124k 2＋3 ＝12|k |k 2＋14k 2＋3＝1227， 所以17k 4＋k 2－18＝0，解得k 2＝1⎝⎛⎭⎫k 2＝－1817舍去， 所以k ＝±1，所以所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.。
课时作业1：2.1.2 椭圆的几何性质（一）
2.1.2 椭圆的几何性质(一)一、基础过关1．已知点(3,2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，则( ) A ．点(－3，－2)不在椭圆上B ．点(3，－2)不在椭圆上C ．点(－3,2)在椭圆上D ．无法判断点(－3，－2)、(3，－2)、(－3,2)是否在椭圆上答案 C解析 由椭圆的对称性知(－3,2)必在椭圆上．2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的短轴长与椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( ) A ．a 2＝25，b 2＝16B ．a 2＝9，b 2＝25C ．a 2＝25，b 2＝16或a 2＝9，b 2＝25D ．a 2＝25，b 2＝9答案 D3．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( ) A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 答案 D解析 由题意知c ＝1，e ＝c a ＝12，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3.故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1. 4．过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.52B.33C.12D.13答案 B解析 记|F 1F 2|＝2c ，则由题意，知|PF 1|＝2c 3，|PF 2|＝4c 3，则椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝2c 2c 3＋4c 3＝33. 5．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是________．答案 14解析 由题意可得21m ＝2×2，解得m ＝14. 6．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2b2＝k (k >0，a >0，b >0)具有________． ①相同的顶点 ②相同的离心率③相同的焦点 ④相同的长轴和短轴答案 ②解析 不妨设a >b ，则椭圆x 2a 2＋y 2b2＝k 的离心率 e 2＝ ka 2－kb 2ka 2＝ a 2－b 2a 2. 而椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的离心率e 1＝ a 2－b 2a 2，故②正确． 7．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)离心率是23，长轴长是6. (2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.解 (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)或y 2a 2＋x 2b2＝1 (a >b >0)． 由已知得2a ＝6，e ＝c a ＝23，∴a ＝3，c ＝2. ∴b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5.∴椭圆方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1. (2)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)． 如图所示，△A 1F A 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18，故所求椭圆的方程为x 218＋y 29＝1. 二、能力提升 8．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一端点与两焦点的连线组成一个正三角形，焦点在x 轴上，且a －c ＝3，则椭圆的方程是________． 答案 x 212＋y 29＝1 解析 如图所示，cos ∠OF 2A ＝cos 60°＝|OF 2||AF 2|， 即c a ＝12.又a －c ＝3， ∴a ＝23，c ＝3，∴b 2＝(23)2－(3)2＝9.∴椭圆的方程是x 212＋y 29＝1. 9．若椭圆x 2＋my 2＝1的离心率为32，则m ＝________. 答案 14或4 解析 方程化为x 2＋y 21m＝1，则有m >0且m ≠1. 当1m <1时，依题意有 1－1m 1＝32，解得m ＝4； 当1m>1时，依题意有 1m －11m ＝32，解得m ＝14. 综上，m ＝14或4. 10．设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________．答案 2－1解析 因为△F 1PF 2为等腰直角三角形，所以|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，|PF 1|＝22c ，又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以22c ＋2c ＝2a ，即(2＋1)c ＝a ，于是e ＝c a ＝12＋1＝2－1. 11．求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1 (m >0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．解 椭圆的方程m 2x 2＋4m 2y 2＝1 (m >0)可转化为 x 21m 2＋y 214m 2＝1. ∵m 2<4m 2，∴1m 2>14m 2，∴椭圆的焦点在x 轴上，并且长半轴长a ＝1m ，短半轴长b ＝12m，半焦距长c ＝32m. ∴椭圆的长轴长2a ＝2m ，短轴长2b ＝1m， 焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－32m ，0，⎝⎛⎭⎫32m ，0， 顶点坐标为⎝⎛⎭⎫1m ，0，⎝⎛⎭⎫－1m ，0，⎝⎛⎭⎫0，－12m ，⎝⎛⎭⎫0，12m . 离心率e ＝c a ＝32m 1m＝32. 12.如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为椭圆上一点，且MF 2⊥F 1F 2，∠MF 1F 2＝30°.试求椭圆的离心率．解 设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a ，b ，c .因为MF 2⊥F 1F 2，所以△MF 1F 2为直角三角形．又∠MF 1F 2＝30°，所以|MF 1|＝2|MF 2|，|F 1F 2|＝32|MF 1|. 而由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，因此|MF 1|＝4a 3， ∴2c ＝32×4a 3，即c a ＝33， 即椭圆的离心率是33. 三、探究与拓展13．已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，两个焦点分别为A (－1，0)，B (1,0)，一个顶点为H (2,0)．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)对于x 轴上的点P (t,0)，椭圆E 上存在点M ，使得MP ⊥MH ，求实数t 的取值范围． 解 (1)由题意可得，c ＝1，a ＝2，∴b ＝ 3.∴所求椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设M (x 0，y 0)(x 0≠±2)，则x 204＋y 203＝1.① MP →＝(t －x 0，－y 0)，MH →＝(2－x 0，－y 0)，由MP ⊥MH 可得MP →·MH →＝0，即(t －x 0)(2－x 0)＋y 20＝0.②由①②消去y 0，整理得t (2－x 0)＝－14x 20＋2x 0－3. ∵x 0≠2，∴t ＝14x 0－32. ∵－2<x 0<2，∴－2<t <－1.∴实数t 的取值范围为(－2，－1)．。
课时作业1：3.1.2 第1课时 椭圆的几何性质
3．1.2 椭圆的简单几何性质第1课时 椭圆的几何性质1．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴端点坐标为( )A ．(－1,0)，(1,0)B ．(－6,0)，(6,0)C ．(－6，0)，(6，0)D ．(0，－6)，(0，6)答案 D解析 ∵椭圆方程化为标准式为y 26＋x 2＝1，∴a 2＝6，且焦点在y 轴上，∴长轴端点坐标为(0，－6)，(0，6)．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( )A.13B.12C.22D.223答案 C解析 ∵a 2＝4＋22＝8，∴a ＝22，∴e ＝c a ＝222＝22.3．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且过点(45，0)的椭圆的方程是( ) A.x 225＋y 220＝1 B.x 220＋y 225＝1C.x 220＋y 245＝1 D.x 280＋y 285＝1答案 D 解析 由x 24＋y 29＝1可知，所求椭圆的焦点在y 轴上，且c 2＝5，故A ，C 不正确；再将点(45，0)分别代入B ，D 检验可知，只有D 选项符合题意．4．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为() A.x 236＋y 216＝1 B.x 216＋y 236＝1C.x 26＋y 24＝1 D.y 26＋x 24＝1答案 A解析 依题意得c ＝25，a ＋b ＝10，又a 2＝b 2＋c 2，所以解得a ＝6，b ＝4.5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A.63 B.33 C.23 D.13答案 A解析 以线段A 1A 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，由原点到直线bx －ay ＋2ab ＝0的距离d ＝2ab a 2＋b 2＝a ，得a 2＝3b 2， 所以C 的离心率e ＝1－b 2a 2＝63. 6．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________．答案 45解析 依题意，得b ＝3，a －c ＝1.又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝5，c ＝4， ∴椭圆的离心率为e ＝c a ＝45. 7．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e ≤32，则长轴长的取值范围为________． 答案 (2,4]解析 ∵e ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2，b ＝1,0<e ≤32， ∴1－⎝⎛⎭⎫b a 2≤32，则1<a ≤2，∴2<2a ≤4，即长轴长的取值范围是(2,4]．8．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为_______________． 答案 x 216＋y 28＝1 解析 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由e ＝22，知c a ＝22，故b 2a 2＝12. 由于△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝16， ∴a ＝4，∴b 2＝8，∴椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1. 9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且椭圆C 经过点M ⎝⎛⎭⎫43，13，求椭圆C 的离心率．解 2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝⎝⎛⎭⎫43＋12＋⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫43－12＋⎝⎛⎭⎫132＝2 2. 所以a ＝ 2.又由已知c ＝1，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝12＝22. 10．(1)求与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且离心率为55的椭圆的标准方程； (2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x 轴上的椭圆的标准方程．解 (1)∵c ＝9－4＝5，∴所求椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)．设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)． ∵e ＝c a ＝55，c ＝5，∴a ＝5，b 2＝a 2－c 2＝20， ∴所求椭圆的方程为x 225＋y 220＝1. (2)∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， ∵2c ＝8，∴c ＝4，又a ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝20.∴椭圆的方程为x 236＋y 220＝1.11．若O 和F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8答案 C解析 由题意得点F (－1,0)．设点P (x 0，y 0)，则有x 204＋y 203＝1，可得y 20＝3⎝⎛⎭⎫1－x 204.∵FP →＝(x 0＋1，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，∴OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 0(x 0＋1)＋3⎝⎛⎭⎫1－x 204＝x 204＋x 0＋3. 此二次函数的图象的对称轴为直线x 0＝－2.又－2≤x 0≤2，所以当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值，最大值为224＋2＋3＝6. 12．以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为( ) A.22 B.32 C.3－ 2D.3－1答案 D 解析 设椭圆的焦点是F 1，F 2，圆与椭圆的四个交点是A ，B ，C ，D ，设|F 1F 2|＝2c ，|AF 1|＝c ，|AF 2|＝3c (c >0),|AF 1|＋|AF 2|＝2a ⇒c ＋3c ＝2a ，e ＝c a ＝23＋1＝3－1. 13．经过点M (1,2)，且与椭圆x 212＋y 26＝1有相同离心率的椭圆的标准方程为________． 答案 x 29＋y 292＝1或y 26＋x 23＝1 解析 由题意知e 2＝1－b 2a 2＝12，所以b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2， 设所求椭圆的方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1或y 22b 2＋x 2b2＝1. 将点M (1,2)代入椭圆方程得12b 2＋4b 2＝1或42b 2＋1b 2＝1，解得b 2＝92或b 2＝3. 故所求椭圆方程为x 29＋y 292＝1或y 26＋x 23＝1. 14．在平面直角坐标系中，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点⎝⎛⎭⎫a 2c ，0作圆的两切线互相垂直，则离心率e ＝________.答案 22 解析 如图，切线P A ，PB 互相垂直，又半径OA 垂直于P A ，所以△OAP 是等腰直角三角形，a 2c ＝2a . 解得c a ＝22， 则离心率e ＝22.15．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，32B.⎝⎛⎦⎤0，34 C.⎣⎡⎭⎫32，1 D.⎣⎡⎭⎫34，1 答案 A解析 设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形．∵|AF |＋|BF |＝4，∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2.设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b ＜2. 离心率e ＝c a＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝4－b 24∈⎝⎛⎦⎤0，32， 故选A.16．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|；(2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率． 解 (1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1. 因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16， |AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8，故|AF 2|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k . 由椭圆定义可得|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k . 在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|cos ∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )(2a －k )． 化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a ＝3k . 于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k .因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ， 故△AF 1F 2为等腰直角三角形．从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22.。
课时作业37：2.2.2 椭圆的简单几何性质(一)
2.2.2 椭圆的简单几何性质(一)基础巩固类一、选择题1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( ) A ．(±13,0) B ．(0，±10) C ．(0，±13)D ．(0，±69)2．若椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值是( )A ．3B ．3或253C ．15D ．5或51533．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A ．x 23＋y 24＝1B ．x 24＋y 23＝1C ．x 24＋y 22＝1D ．x 24＋y 23＝14．若椭圆经过原点，且焦点为F 1(1,0)，F 2(3,0)，则其离心率e 是( ) A ．34B ．23C ．12D ．145．椭圆(m ＋1)x 2＋my 2＝1的长轴长是( ) A ．2m －1m －1B ．－2－m mC ．2m mD ．－21－m m －16．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和x 2a 2＋y 2b 2＝k (k >0)具有( )A ．相同的长轴长B ．相同的焦点C ．相同的离心率D ．相同的顶点7．若椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，∠ABF ＝90°，则椭圆的离心率为( ) A ．22B ．5－12C ．32D ．3－128．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是( ) A ．32B ．22C ．13D ．12二、填空题9．焦点在x 轴上的椭圆，焦距|F 1F 2|＝8，离心率为45，椭圆上的点M 到焦点F 1的距离为2，N 为MF 1的中点，则|ON |(O 为坐标原点)的值为 . 10．已知椭圆的短半轴长为1，离心率e 满足0<e ≤32，则长轴长的最大值为 . 11．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2c .以点O 为圆心，a 为半径作圆M .若过点P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，0作圆M 的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为_____. 三、解答题12．求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的3倍，且过点(3，－1)； (2)椭圆过点(3,0)，离心率e ＝63.13．如图，已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点M ，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆能力提升类14．已知P (m ，n )是椭圆x 2＋y 22＝1上的一个动点，则m 2＋n 2的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1,2] C ．(0,2]D ．[2，＋∞)15．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，若AF 2→·F 1F 2→＝0，椭圆的离心率等于22，△AOF 2的面积为22，求椭圆的方程．参考答案基础巩固类1．【答案】D【解析】由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)． 2．【答案】B【解析】若焦点在x 轴上，则a ＝5，由c a ＝105得c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3，∴m ＝b 2＝3.若焦点在y 轴上，则b 2＝5，a 2＝m .∴m －5m ＝25，∴m ＝253.3．【答案】D【解析】由右焦点为F (1,0)可知c ＝1，因为离心率等于12，即c a ＝12，故a ＝2，由a 2＝b 2＋c 2知b 2＝3，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.故选D ．4．【答案】C【解析】由椭圆定义知|OF 1|＋|OF 2|＝2a ， ∴2a ＝4，∴a ＝2，又∵c ＝1，∴e ＝c a ＝12.5．【答案】C【解析】椭圆方程可简化为x 211＋m ＋y 21m ＝1，由题意知m >0，∴11＋m <1m，∴a ＝m m ，∴椭圆的长轴长2a ＝2mm .6．【答案】C【解析】椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e 1＝a 2－b 2a ；x 2a 2＋y 2b 2＝k 可化为x 2a 2k ＋y 2b 2k ＝1(k >0)，其离心率e 2＝a 2k －b 2k a 2k ＝a 2－b 2a .∴e 1＝e 2.7．【答案】B【解析】由题意得－b a ·bc ＝－1，从而有e 2＋e －1＝0.解得e ＝5－12或e ＝－1－52(舍去)．8．【答案】D【解析】设O 点为坐标原点，∵AP →＝2PB →， ∴|AP →|＝2|PB →|.又∵PO ∥BF ，∴|P A ||AB |＝|AO ||AF |＝23，即a a ＋c ＝23，∴e ＝c a ＝12.二、填空题 9．【答案】4【解析】∵|F 1F 2|＝2c ＝8，e ＝c a ＝45，∴a ＝5，∵|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，|MF 1|＝2，∴|MF 2|＝8. 又∵O ，N 分别为F 1F 2，MF 1的中点，∴ON 是△F 1F 2M 的中位线，∴|ON |＝12|MF 2|＝4.10．【答案】4【解析】由条件b ＝1，e ＝c a ≤32，得c 2a 2≤34，∴4(a 2－1)≤3a 2，∴a 2≤4， ∴a 的最大值为2，故填4. 11．【答案】22【解析】设切点为Q ，B ，如右图所示．切线QP 、PB 互相垂直，又半径OQ 垂直于QP ，所以△OPQ 为等腰直角三角形，可得2a ＝a 2c ，所以e ＝c a ＝22.三、解答题12．解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由已知a ＝3b 且椭圆过点(3，－1)， ∴323b2＋1b 2＝1或13b2＋32b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝18，b 2＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝82，b 2＝829.故所求椭圆的方程为x 218＋y 22＝1或y 282＋x 2829＝1.(2)当椭圆的焦点在x 轴上时， 由题意知a ＝3，c a ＝63，∴c ＝ 6.∴b 2＝a 2－c 2＝9－6＝3. ∴椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1.当椭圆的焦点在y 轴上时，由题意知b ＝3，c a ＝63，∴a 2－b 2a ＝63，∴a 2＝27.∴椭圆的标准方程为x 29＋y 227＝1.综上，所求椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1或x 29＋y 227＝1.13．解：解法一：设焦点坐标为F 1(－c,0)、F 2(c,0)，依题意设M 点坐标为(c ，23b )．在Rt △MF 1F 2中，|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2， 即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2，而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理，得3c 2＝3a 2－2ab . 又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a ，所以b 2a 2＝49，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，所以e ＝53. 解法二：设M (c ，23b )，代入椭圆方程，得c 2a 2＋4b 29b 2＝1，所以c 2a 2＝59，所以c a ＝53，即e ＝53.能力提升类14．【答案】B【解析】因为P (m ，n )是椭圆x 2＋y 22＝1上的一个动点，所以m 2＋n 22＝1，即n 2＝2－2m 2，所以m 2＋n 2＝2－m 2，又－1≤m ≤1，所以1≤2－m 2≤2，所以1≤m 2＋n 2≤2，故选B ． 15．解：如图，∵AF 2→·F 1F 2→＝0， ∴AF 2⊥F 1F 2，∵椭圆的离心率e ＝c a ＝22，∴b 2＝12a 2，设A (x ，y )(x >0，y >0)， 由AF 2⊥F 1F 2知x ＝c ，∴A (x ，y )代入椭圆方程得c 2a 2＋y 2b 2＝1，∴y ＝b 2a .∵△AOF 2的面积为22，∴S △AOF 2＝12c ·b 2a＝22，而c a ＝22，∴b 2＝8，a 2＝2b 2＝16， 故椭圆的标准方程为：x 216＋y 28＝1.。
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椭圆方程及性质的应用
（45分钟 100分）
一、选择题(每小题6分,共30分)
1.(2013·重庆高二检测)已知直线l过点(3,-1),且椭圆C:+=1,则直线l与椭圆C的公共点的个数为( )
A.1
B.1或2
C.2
D.0
2.若AB为过椭圆+=1的中心的弦,F1为椭圆的左焦点,则△F1AB面积的最大值为( )
A.6
B.12
C.24
D.36
3.椭圆+=1上的点到直线x+2y-=0的最大距离为( )
A.3
B.
C.
D.2
4.直线y=1-x交椭圆mx2+ny2=1于M,N两点,MN的中点为P,若k OP=(O为原点),则等于( )
A. B. C.- D.-
5.(2013·南昌高二检测)已知椭圆的一个焦点为F,若椭圆上存在点P,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、填空题(每小题8分,共24分)
6.(2013·绵阳高二检测)短轴长为,离心率e=的椭圆的两焦点为F1,F2,过F1作直线交椭圆于A,B两点,则△ABF2的周长为.
7.(2013·宜春高二检测)椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,若直线y=kx与其一
个交点的横坐标为b,则k的值为.
8.过椭圆+=1内的一点P(2,-1)的弦AB,满足=(+),则这条弦所在的直线方程是.
三、解答题(9题,10题14分,11题18分)
9.(2013·合肥高二检测)已知椭圆C的焦点F1(-2,0)和F2(2,0),长轴长为6,设直线l交椭圆C于A,B两点,且线段AB的中点坐标是P(-,),求直线l的方程.
10.(2013·安阳高二检测)已知椭圆的两焦点为F1(-,0),F2(,0),离心率e=.
(1)求此椭圆的方程.
(2)设直线l:y=x+m,若l与此椭圆相交于P,Q两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m的值.
11.(能力挑战题)已知大西北某荒漠上A,B两点相距2km,现准备在荒漠上开垦出一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园,按照规划,围墙总长为8km.
(1)试求四边形另两个顶点C,D的轨迹方程.
(2)农艺园的最大面积能达到多少?
(3)该荒漠上有一条直线型小溪l刚好通过点A,且l与AB成30°角,现要对整条小溪进行加固改造,但考虑到今后农艺园的小溪要重新设计改造,因此,对小溪可能被农艺园围进的部分暂不加固,则暂不加固的部分有多长?
答案解析
1.【解析】选C.∵直线过定点(3,-1)且+<1,
∴点(3,-1)在椭圆的内部,故直线l与椭圆有2个公共点.
2.【解析】选B.c2=25-16=9,∴|OF1|=c=
3.
∵AB过原点(0,0).
∴当AB与短轴重合时,△F1AB的面积最大,其值为×2b×3=4×3=12.
3.【解题指南】可设出与直线平行的直线方程,利用直线与椭圆相切确定切点,两平行线间的距离即为最大或最小值.
【解析】选C.由得2x2+2mx+m2-16=0.
当直线与椭圆相切时,Δ=0即4m2-4×2(m2-16)=0,解得m=±4.当m=4时,切点到直线x+2y-=0的距离最大,其值为d==.
4.【解题指南】利用设而不求的思想,用m,n表示出中点P的坐标,再建立方程求解.
【解析】选A.设M(x1,y1),N(x2,y2),P(x0,y0).
由得(m+n)x2-2nx+n-1=0.
∴x0=,从而y0=1-x0=1-=.
∴k OP==.
【变式备选】过点M(-1,)的直线l与椭圆x2+2y2=2交于A,B两点,设线段AB中点为M,设直线l的斜率为k1(k1≠0),直线OM的斜率为k2,则k1k2的值为( ) A.2 B.-2 C. D.-
【解析】选D.设A(x1,y1),B(x2,y2).
则+2=2 ①
+2=2 ②
②-①,得(x2-x1)(x2+x1)+2(y2-y1)(y2+y1)=0,即=-,
∴k1==-=1,而k2==-,
故k1·k2=-.
5.【解题指南】采用数形结合,建立a,b,c的齐次式.
【解析】选A.如图,设另一焦点为F 1,由条件可知,
切点T为PF的中点,且OT⊥PF,
∴OT=b,∴|PF1|=2b.
∴|PF|=2a-2b.
又∵∠F1PF=90°,
∴(2b)2+(2a-2b)2=(2c)2,整理得e==.
6.【解析】由题意知解得a=,
△ABF2的周长为4a=4×=6.
答案:6
7.【解题指南】根据条件可知,点(b,kb)在椭圆上,结合离心率解出斜率k. 【解析】由条件知,(b,kb)在椭圆上,即+=1.
∴k2=1-===e2=,∴k=±.
答案:±
8.【解析】由于直线AB过点P,又=(+),
∴点P为弦AB的中点.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4,y1+y2=-2.
∴
∴+=0,
∴-=0,
即k==.
∴弦AB所在的直线方程为y+1=(x-2),即5x-3y-13=0.
答案:5x-3y-13=0
9.【解题指南】先求出椭圆的标准方程,再用“平方差法”求直线斜率,进而求出直线方程.
【解析】由已知条件得椭圆的焦点在x轴上,其中c=2,a=3,从而b=1,
所以其标准方程是+y2=1.
设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为P(-,),则=-,=.
又∵A,B在椭圆上,∴
两式相减得-+9(-)=0,
即(x1+x2)(x1-x2)+9(y1+y2)(y1-y2)=0,
∴-(x1-x2)+9×(y1-y2)=0,
∴=1.
所以k=1,所以直线l的方程为y=x+1.
10.【解析】(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),
则c=,=,∴a=2,b2=a2-c2=1.
∴所求椭圆方程为+y2=1.
(2)由消去y,得5x2+8mx+4(m2-1)=0,
则Δ=64m2-80(m2-1)>0得m2<5, (*)
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则x1+x2=-,x1x2=,
y1-y2=x1-x2,
|PQ|=
==2.
解得m2=,满足(*),∴m=±.
11.【解析】以AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.则A(-1,0),B(1,0).
(1)由题意可知,C,D两点在以A,B为焦点的一个椭圆上.
∵平行四边形的周长为8,∴2a=4,
而2c=2,∴b2=a2-c2=3.
故所求椭圆的标准方程为+=1(y≠0),即为C,D两点的轨迹方程.
(2)易知:当C,D为椭圆的短轴端点时,农艺园的面积最大,其值为2km2.
(3)求l:y=(x+1)被椭圆+=1截得的线段长.设线段端点坐标分别为
(x1,y1),(x2,y2).
由
整理得13x2+8x-32=0,由根与系数的关系,得x1+x2=-,x1·x2=-,
∴弦长为=,
∴暂不加固的部分为km.
【拓展提升】解答与椭圆有关的实际问题的方法技巧
解答实际应用问题时,关键是先将实际问题转化为数学模型(称为建模),然后用相关的数学知识和方法解答该数学问题,从而得到实际问题的答案.
对于与椭圆有关的实际问题,解答时要注意事物的实际含义与椭圆的几何性质的转化,同时注意充分利用椭圆方程对变量进行讨论,来解决实际问题.
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