广义积分 (2)

1 x2
y 1 x
o
1
x
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5
11
11
dx lim
dx
0x
x 0
lim(2 2 ) 2 0
11
11
0
x2
dx
lim 0
x2 dx
1 lim( 1)
0
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6
[例1] 证明广义积分 b 1 dx ( p 0) a (x a)p 当p 1时,收敛; 当p 1时, 发散.
作业
P66 习题2.3
4(5). (6). 5(5). (6). 6.
复习: P54—66
预习: P68—73
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1
Chap12 广义积分(二)
有穷区间无界函数的 广义积分
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2
有穷区间无界函数的广义积分 奇点
（一）定义
瑕点
定义1： 设函数 f ( x)在(a, b]上有定义, 在点x a附 近无界. : 0 b a, f ( x)在区间[a , b]
dx lim[ln(b a) ln ]
a (x a)
0 a ( x a)
0
b
a(
x
1 a)p
dx
发散
(3) 当p 1时, 有p 1 0
b1
b
1
a
(x
a)p
dx
lim
0
a ( x a) p dx
1 lim[(b a)1 p 1 p )
p 1 0
源自文库
b 1 dx 发 散
a
0 a
若 f ( x) 在 x c附近无界,可以定义
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f (x)dx
lim c1 f ( x)dx lim b f ( x)dx
10 a
2 0 c2
注意：1, 2 是互相独立的！
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4
y
任取
0 1 令 0
取极限
y
上 可 积.则 定 义
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
0 a
若右端极限存在, 称广义积分收敛;
右端极限不存在, 称广义积分发散.
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3
类似地, 若 f ( x)在[a, b)上有定义, 在x b附近无界, 可以定义
b
b
f (x)dx lim f (x)dx
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1
1
lim(1 x)2
x1
(1 x2 )(1 k 2 x)
1
1
lim
0
x1 (1 x)(1 k 2 x) 2(1 k 2 )
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14
(3) 若 lim( x a)p f ( x) C,则 xa 当 0 C , p 1时, b f ( x) dx 收 敛; a 当 0 C , p 1时, b f ( x) dx 发 散. a
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15
[例1] 判断积分 1 1 dx 的收敛性
若 b f ( x) dx 收 敛,则 b f ( x)dx 收 敛.
a
a
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11
定理8：（比较判敛法）
设 f ( x)在(a, b]上有定义, x a是 f ( x)的一个奇点,
且0 b a, f ( x)在[a , b]上可积.
(1) 若 0, 使x (a, a ],有 f ( x) g( x)
1 2
ln
x
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[例2] 讨 论 积 分 1
1
dx (k 2 1)
0 (1 x2 )(1 k 2 x)
的 收 敛 性.
[解] x 1 是 奇 点
1
f (x)
(1 x2 )(1 k 2 x)
1 (1 x)(1 x)(1 k 2 x)
当x 1时, f ( x) O( 1 ) 1 x
xa g( x)
则 当 0 C 时,
由 bg( x)dx 收 敛, 得 b f ( x) dx 收 敛;
a
a
当 0 C 时,
由 bg( x)dx 发 散, 得 f ( x) dx 发 散.
a
a
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定理9：（比阶判敛法）
设 f ( x)在(a, b]上有定义, x a是 f ( x)的一个奇点,
a (x a)p
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8
y
1 1 dx 收敛
0x
1 1 dx 发散
0x
1 0
1 x2
dx
发散
o
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1 y x2 y 1
x y 1
x
1
x
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（二）无界函数广义积分判敛法
定理6：（柯西收敛准则）
设 f ( x) 在(a, b]上 有 定 义, x a 是 f ( x)的 一 个 奇
则 由 bg( x)dx 收 敛, 得 b f ( x) dx 收 敛;
a
a
(2) 若 0, 使x (a, a ],有 f ( x) g( x)
则由
b
g( x)dx
发散, 得
b f ( x) dx 发 散;
a
a
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12
(3)
若 lim
f (x) C,
(g(x) 0).
且0 b a, f ( x)在[a , b]上可积.
(1)
若
0, 使x (a,
a ],有
f (x)
C (x a)p
,
p 1, 则 b f ( x) dx 收敛; a
(2)
若
0, 使x (a,
a ],有
f (x)
(
x
C a)p
,
p 1, C 0, 则 b f ( x) dx 发散; a
点,则 b f ( x)dx 收 敛 的 充 分 必 要 条 件 是: a 0, 0, 只 要 0 ,0 , 就 有 a f (x)dx a
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定理7：（绝对值判敛法）
设 f ( x) 在(a, b]上 有 定 义.
x a 是 f ( x)的 一 个 奇 点,
[证] (1) 当 p 1时, 有 1 p 0
b1
b
1
a
(x
a)p
dx
lim
0
a ( x a) p dx
1 lim[(b a)1 p 1 p ] (b a)1 p
1 p 0
1 p
b
a(
x
1 a)p
dx
收敛
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(2) 当p 1时
b1
b
1
dx lim
1 2
ln
x
利
[解] 怎样确定 1 的阶?
用
ln x ln x ( x 1) o[(x 1)]
x0 1
泰 勒
1
1
公
lim(1
x 1
x) ln
x
lim
x 1
1
[(
x
1)]
1
式
( x 1)
或者 lim(1 x) 1 lim 1 1
x1
ln x x1 1
洛必达法则
x
由比阶判敛法知, 积分 1 1 dx 发散