广义积分 (2)
二阶广义积分器的离散化
二阶广义积分器的离散化【引言】在信号处理、控制系统等领域，二阶广义积分器（Second-Order Generalized Integrator，简称SOIG）作为一种重要的数学模型，得到了广泛的研究与应用。
然而，在实际应用中，人们对二阶广义积分器的离散化需求日益增长。
本文将介绍二阶广义积分器的离散化原理及方法，并探讨其在实际应用中的优势。
【二阶广义积分器的离散化原理】二阶广义积分器的离散化是基于微分方程的数值求解方法。
在离散化过程中，我们将连续时间信号转换为离散时间信号，从而实现对二阶广义积分器的数值模拟。
离散化方法有多种，如欧拉法、四阶龙格库塔法等。
【离散化方法的步骤与过程】1.选择合适的离散化方法，如欧拉法、四阶龙格库塔法等。
2.将二阶广义积分器的微分方程转换为离散时间方程。
3.设定离散时间步长，对连续时间信号进行离散化处理。
4.利用离散时间方程进行数值求解，得到离散时间信号。
5.对离散时间信号进行分析，如频域分析、时域分析等。
【离散化后的应用场景】离散化后的二阶广义积分器在信号处理、控制系统等领域具有广泛的应用。
如在通信系统中，离散化后的二阶广义积分器可应用于滤波器设计、信号调制与解调等领域。
此外，在控制系统中，离散化二阶广义积分器可以用于建模与分析系统的稳定性、动态性能等。
【结论与展望】本文对二阶广义积分器的离散化方法进行了详细介绍，包括离散化原理、步骤与过程以及应用场景。
随着科技的不断发展，二阶广义积分器的离散化技术在实际应用中具有越来越重要的作用。
未来，更多关于二阶广义积分器离散化方法的研究与创新将会不断涌现，为工程实践提供更多有效的方法与手段。
二阶广义积分器锁相环 c语言
一、概述在现代电子技术领域，锁相环是一种广泛应用于频率合成、时钟恢复、数字通信、雷达和无线通信系统中的重要电路。
而其中的二阶广义积分器又是锁相环中的核心部件之一。
本文将着重介绍二阶广义积分器锁相环在c语言中的实现方法。
二、二阶广义积分器锁相环的概念二阶广义积分器锁相环是指在锁相环中使用二阶积分器来实现频率追踪和相位调节的功能。
它由相位比较器、低通滤波器、电压控制振荡器以及二阶积分器所组成，能够有效地抵消信号中的噪声和干扰，提高系统的稳定性和性能。
三、c语言中的二阶广义积分器锁相环实现方法在c语言中实现二阶广义积分器锁相环，首先需要了解锁相环的原理和基本结构，然后根据实际需求进行相应的算法设计和编程实现。
1. 相位比较器的实现相位比较器是锁相环中用来比较参考信号和反馈信号相位差的重要组成部分。
在c语言中，可以通过编写对应的比较函数或逻辑运算符来实现相位比较器的功能。
比如可以通过编写一个函数来计算两个信号之间的相位差，并输出相应的比较结果。
2. 低通滤波器的实现低通滤波器在锁相环中用来滤除高频噪声和干扰，保留低频参考信号的成分。
在c语言中，可以通过设计差分方程或者直接调用现成的滤波器函数库来实现低通滤波器的功能。
3. 电压控制振荡器的实现电压控制振荡器是锁相环中用来产生稳定频率信号的关键部件。
在c 语言中，可以通过编写一个振荡器控制算法，并将其转化为相应的程序代码来实现电压控制振荡器的功能。
4. 二阶积分器的实现二阶积分器在锁相环中用来实现信号的积分功能，以提高系统的稳定性和抑制噪声。
在c语言中，可以通过编写递推式积分算法或差分方程积分算法来实现二阶积分器的功能。
5. 系统的集成和调试将以上各个部分的代码整合到一起，并进行系统级的调试和验证，确保二阶广义积分器锁相环在c语言中的实现能够正常工作并达到设计要求。
四、总结通过本文的介绍，我们了解了二阶广义积分器锁相环在c语言中的实现方法，包括相位比较器、低通滤波器、电压控制振荡器和二阶积分器的实现过程。
基于广义二阶积分的数字锁相环设计
基于广义二阶积分的数字锁相环设计与实现王 鹏（国网江苏省电力有限公司扬州市江都区供电分公司）摘 要：电力系统１１０ｋＶ三相供电，为了保证供电网的电源品质，必须对供电网电流进行锁相控制，以保证输入电流相位与电网电压相位的同步性。
本文提出一种基于广义二阶积分器的数字锁相环，在旋转坐标系下得到电网电压的相位信息，利用现有的广义二阶积分器构造出与电网电压正交的网压，再进行坐标变换。
文中对同步坐标系下的单相锁相环的锁相原理及数学模型进行推导，经过仿真验证，本文提出基于广义二阶积分器的数字锁相环能够对电网相位进行快速、精确的锁定，具有较好的控制性能，具备进行大规模推广应用的价值。
关键词：广义二阶积分器；数字锁相环；电网相位０ 引言由于电网电压非常容易受到外部干扰及电压谐波的影响，在单相四象限整流器工作的时候，四象限输入电流和电网电压的相位一旦存在一定程度的差异，则会对电网造成冲击和污染。
锁相环控制技术是网侧变流器控制的一项关键技术，单相四象限整流器就是一种网侧变流器，锁相环控制技术通过检测电网电压信号的特性，保证四象限输入电流信号的相位始终对电网电压信号的相位进行跟踪，实现二者的同步。
对于单相四象限整流器来说，最为常规的锁相方法是电网电压的过零点检测，电网电压过零点的锁相方法虽然简单实用，但其缺点同样明显，由于是通过硬件电路对电网电压的过零点信号进行捕获，因此非常容易受到电压谐波和网压突变的影响，并且锁相环的调节速度也比较慢，每个过零点信号到来的时候才会进行相位的重新调节，一旦在过零点之间发生相位变化，控制软件无法实时检测到，会造成控制失效。
１ 广义二阶积分器原理基于Ｐａｒｋ变换的锁相环采用闭环调节，动态性能好，抗干扰能力强，响应速度快，在三相系统中有非常广泛的应用。
在三相系统中，能够在同一时刻采集三相电网电压信号，这三相电网电压信号包括相位、幅值、频率信息，通过Ｃｌａｒｋ变换和Ｐａｒｋ变换能够很容易提取到相位信息，在同步坐标系下，ｄ轴是幅值信号，ｑ轴是相位信号，再通过相应的调节、计算，就能够得到最终可用的相位信号。
双二阶广义积分
双二阶广义积分1. 什么是广义积分在数学中，积分是微积分的一个重要概念。
通常情况下，我们所学习的积分是指定界的定积分，也称为黎曼积分。
然而，有些函数在某些点上可能不满足黎曼可积的条件，此时就需要引入广义积分的概念。
广义积分是对一类函数的积分进行定义的一种方法。
它可以处理那些在某些点上发散或者无界的函数。
广义积分的定义是通过将积分区间分割成有限个子区间，并在每个子区间上进行积分，然后取极限得到的。
2. 双二阶广义积分的定义双二阶广义积分是广义积分的一种特殊形式，用于对二元函数进行积分。
双二阶广义积分的定义如下：设函数 f (x,y ) 定义在区域 D 上，若对于任意的 a ≤x ≤b ，c ≤y ≤d ，存在双二阶广义积分∫∫f ba d c (x,y )dxdy其中，积分区域 D 是一个有界闭区域，且 f (x,y ) 在 D 上的任意子区域上都是可积的，则称双二阶广义积分收敛。
3. 双二阶广义积分的计算方法计算双二阶广义积分的方法与计算定积分类似，但需要考虑到积分区域的特殊性。
首先，我们需要确定积分区域 D 的边界方程，通常使用 x =g 1(y ) 和 x =g 2(y ) 这两个方程来描述。
然后，我们可以将双二阶广义积分转化为一重积分的形式，即：∫∫f g 2(y )g 1(y )dc (x,y )dxdy 接下来，我们可以按照一重积分的计算方法对上述积分进行计算。
首先对 x 进行积分，得到：∫F dc (y )dy其中，F (y ) 是对 f (x,y ) 在 x =g 1(y ) 和 x =g 2(y ) 之间进行积分后得到的函数。
然后对 y 进行积分，得到最终的结果。
需要注意的是，在计算双二阶广义积分时，我们需要考虑积分区域的特殊性，例如是否存在奇点或者曲线的特殊性质。
对于这些特殊情况，我们需要采用适当的方法来处理，以确保积分的收敛性和计算的准确性。
4. 双二阶广义积分的应用双二阶广义积分在数学和物理学中有着广泛的应用。
电网电压不平衡时基于二阶广义积分器SOGI的2倍频电网同步锁相方法
电网电压不平衡时基于二阶广义积分器 S OG I 的 2 倍频电网同步锁相方法闫朝阳，贺红艳，李建霞，苏 明（燕山大学电力电子 节能与传动 控制河北省重点实验室，秦皇岛 066004）摘 要 ：为 了 实 现 逆 变 器 在 电 网 电 压 不 平 衡 时 的 控 制 并 网 ，提 高 锁 相 环 节 的 速 度 和 精 度 ，本 文 基 于 二 阶 广 义 积分器 （second order generalized integrator, SO GI ），提 出 一 种 新 型 的 2 倍 频 锁 相 方 法 ，该 方 法 对 不 平 衡 电 网 电 压 产 生 的 2 倍 频 交 流 量 进 行 锁 相 ，从 而 快 速 准 确 地 实 现 与 电 网 同 步 。
介 绍 了 2 倍 频 正 负 序 交 流 量 提 取 方 法 ，2 倍 频 锁 相 工 作 原 理 及 电 网 同 步 锁 相 过 程 。
优 化 了 SOGI 正 交 发 生 器 （SOGI-quadratur e signal generator ，S O GI-Q S G ），消 除 了 输 入 电 压 直 流 偏 置 对 其 输 出 产 生 的 影 响 。
在 电 网 电 压 不 平 衡 条 件 下 对 所 提 方 法 进 行 了 仿 真 与 实 验 ，验 证 了 该 锁 相 方 法 的 有 效 性 。
与 传 统 基 波 锁 相 方 法 相 比 ，所 提 方 法 提 高 了 对 电 网 电 压 正 序 分 量 检 测 的 快 速 性 和 准 确 性 。
关 键 词 ：电 网 电 压 不 平 衡 ；2 倍 频 锁 相 ；基 波 正 负 序 分 量 检 测 ；二 阶 广 义 积 分 器 （SOGI ）Double Fundamenta l Frequency PLL with Second Order Generalized Integrato r Under Unbalanced Grid VoltagesYAN Zhao-yang, HE Hong-yan, LI Jian-xia, SU M i ng（Key Labratory of Power Electronics for Energy Conservation and Motor Drive ofHebe i Province,Yanshan University, Qinhuangdao 066004, China ）Ab s t r ac t: In order to detect the positiv e -se quence component at fundamenta l frequency of the grid voltage fast, a new pha se -l ocked l oop method was proposed, which ca ll e d double fundamenta l frequency pha se -l ocked l oop （DFF -PLL ）. The operation principle was a na l y ze d, and the process of DFF -PLL and the detection of grid voltage positive -se quence component were shown. The second order ge ner a l ized integrator quadr a tur e -signa l s ge ner a tion （SOGI -QSG ） was improved, so that the DC bias voltage could be removed and guarantee the orthogon a l ity of SOGI -QSG. The performance of DFF -PLL wa s verified by using simulation and e xperimenta l results. Compared with DSOGI -PLL, this method increases the detection speed and accuracy under unba l a nced grid voltage condition s .Key w or d s : unba l a nced gird voltage; double fundamenta l frequency pha se -l ocked l oop （DFF -PLL ）; detection positive sequence and negative sequence; second order ge ner a l ized integr a tor （SOGI ）究中所广泛应用的技术［1］。
二阶广义积分器的离散化
二阶广义积分器的离散化
摘要：
1.引言
2.二阶广义积分器的概念
3.离散化的方法
4.离散化的优点
5.离散化的应用
6.结论
正文：
【引言】
在工程技术中，积分器是一种常见的装置，用于对信号进行积分。
然而，在实际应用中，由于系统的复杂性和多样性，简单的积分器往往不能满足需求。
因此，广义积分器应运而生。
广义积分器是一种包含多个积分器的系统，可以对多个信号进行积分。
然而，广义积分器也存在其问题，即其计算复杂度较高，难以实现。
因此，对广义积分器进行离散化是一种有效的解决方法。
【二阶广义积分器的概念】
二阶广义积分器是一种包含两个积分器的广义积分器，可以对两个信号进行积分。
其数学表达式为：
J(s) = ∫∫ K(s, t) u(t) dt
其中，K(s, t) 是系统传递函数，u(t) 是输入信号。
【离散化的方法】
对二阶广义积分器进行离散化，主要有两种方法：一种是采用求和的方式，将积分器离散为一系列加权求和；另一种是采用采样的方式，将积分器离散为一系列离散点。
【离散化的优点】
离散化可以有效地降低广义积分器的计算复杂度，使其更容易实现。
同时，离散化还可以提高系统的稳定性和鲁棒性。
【离散化的应用】
离散化在工程技术中有广泛的应用，例如，在控制系统中，离散化可以用于设计数字控制器，实现对系统的精确控制；在信号处理中，离散化可以用于信号的采样和恢复，提高信号的质量。
二阶广义积分器的离散化
二阶广义积分器的离散化摘要：一、引言二、二阶广义积分器的概念与原理1.二阶广义积分器的定义2.二阶广义积分器的工作原理三、二阶广义积分器的离散化方法1.离散化的必要性2.离散化方法概述3.常见离散化方法介绍四、离散化后的二阶广义积分器应用案例1.应用背景2.应用方法与步骤3.应用效果与分析五、结论与展望1.离散化对二阶广义积分器的影响2.未来研究方向与挑战正文：一、引言二阶广义积分器在现代信号处理领域具有广泛应用，然而其传统连续模型在实际应用中存在一定的局限性。
为了克服这些局限性，研究者们提出了将二阶广义积分器进行离散化的方法。
本文将对这一方法进行详细介绍，并探讨离散化后的二阶广义积分器在实际应用中的优势与挑战。
二、二阶广义积分器的概念与原理1.二阶广义积分器的定义二阶广义积分器是一种具有两个存储元件的积分器，可以对输入信号进行二次积分。
它具有两个输入端口、两个输出端口和一个控制端口，可以根据控制信号调整积分器的积分特性。
2.二阶广义积分器的工作原理二阶广义积分器的工作原理主要包括信号输入、积分、输出和控制等环节。
输入信号经过两个存储元件进行积分，积分时间由控制端口信号决定。
积分后的信号在输出端口给出，可以用于信号处理、滤波等领域。
三、二阶广义积分器的离散化方法1.离散化的必要性传统连续二阶广义积分器在实际应用中存在模拟电路复杂、采样定理限制等问题。
为了解决这些问题，研究者们提出了离散化方法，将连续模型转化为离散模型，以降低系统复杂度，提高系统性能。
2.离散化方法概述二阶广义积分器的离散化方法主要包括采样、零填充、有限差分等。
采样是将连续信号转换为离散信号的过程，零填充是在采样信号的基础上增加一些零值以实现离散化，有限差分是将连续信号通过差分运算转化为离散信号。
3.常见离散化方法介绍（1）采样：采样是将连续信号转换为离散信号的过程，通过采样定理确定采样频率与信号频率之间的关系。
采样方法简单，但可能会引起混叠失真。
二阶广义积分器锁相环
二阶广义积分器锁相环二阶广义积分器锁相环是一种常见的控制系统结构，广泛应用于信号处理、通信系统、自动控制等领域。
它通过对输入信号进行积分和滤波，实现对输入信号的相位和频率的锁定，从而实现精确的信号重构和频率跟踪。
本文将从原理、应用以及优缺点三个方面来介绍二阶广义积分器锁相环。
一、原理二阶广义积分器锁相环由相位检测器、低通滤波器和积分器组成。
其中，相位检测器用于比较参考信号和输入信号的相位差，产生一个误差信号。
低通滤波器用于滤除误差信号中的高频成分，使其成为一个平滑的控制信号。
积分器则对控制信号进行积分，得到一个相位调整信号，用于调整输入信号的相位。
通过不断迭代，最终实现输入信号与参考信号的相位和频率的锁定。
二、应用二阶广义积分器锁相环在通信系统中的应用非常广泛。
例如，它可以用于解调和调制信号，实现信号的解调和调制。
另外，它还可以用于频率合成器中，实现精确的频率合成。
此外，在自动控制系统中，二阶广义积分器锁相环可以用于跟踪和锁定输入信号的频率，从而实现对系统的稳定控制。
三、优缺点二阶广义积分器锁相环具有如下优点：1. 高精度：二阶积分器可以实现对输入信号的精确积分，从而实现高精度的相位和频率锁定。
2. 快速响应：广义积分器结构使得系统具有快速响应的特点，能够快速跟踪输入信号的变化。
3. 稳定性好：锁相环具有良好的稳定性，能够在输入信号发生变化时迅速调整输出信号，保持稳定的相位和频率。
4. 抗干扰能力强：锁相环通过滤波器对输入信号进行滤波，可以抑制噪声和干扰信号，提高系统的抗干扰能力。
然而，二阶广义积分器锁相环也存在一些缺点：1. 系统复杂性高：锁相环系统由多个模块组成，需要精确的参数调节和把握，增加了系统的设计和调试难度。
2. 非线性特性：锁相环系统在某些情况下可能会出现非线性特性，导致输出信号产生失真。
3. 抖动问题：锁相环系统在相位调整过程中可能出现抖动现象，影响系统的稳定性和精度。
总结：二阶广义积分器锁相环是一种常见的控制系统结构，具有高精度、快速响应、稳定性好和抗干扰能力强等优点。
广义积分(2)
f ( x) dx F ( x) f ( x) dx F ( x)
b
无穷限的广义积分的求法可见：
无穷限的广义积分也可以凑微分，也可以 分部积分，也可以换元，很多地方和定积 分的求法类似 当然，也要注意到定积分和广义积分的区 别
对于反常积分，在另加换元函数单调的假定下，可以 像定积分一样换元。
c为[a,b]中的一点
b
lim
0
c
a
f ( x)dx lim
0
c
f ( x)dx
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
例 计算广义积分 解
a
0
dx a2 x2
(a 0).
x a
lim
1 a2 x2
,
2
dx x ( x 1)3
2 0
0
2
sec u du 3 sec u
2
2 2 cos udu
0
2.
例
试证
0
dx x d x , 并求其值 . 4 4 0 1 x 1 x
2
解:
令t1 x
1 1 1 14 t 2 d t
1 0
2 3
1
0 ( x 1) 1
3
lim
0
dx ( x 1)
2 3
lim 3( x 1)
1 0
1 3
3
dx ( x 1) 3 dx
2 3
lim
0
2 3
3
dx ( x 1)
一种基于二阶广义积分器的两相锁相环的实现
一种基于二阶广义积分器的两相锁相环的实现张忠;魏鹏飞;刘江华;邱晗;邢文超【摘要】为了实现北美三相4线制并网逆变器系统准确获得电网电压的瞬时相位信息,提出了一种新型的应用在两相3线制系统的两相锁相环.该锁相环采用广义二次积分器分别对两相电压进行处理后,得到两相正交电压实现锁相,并对该方法的离散化进行分析.该两相锁相环结构简单,两相电压信息采集全面,锁相环在波形畸变、相位突变等条件下抗干扰能力强.还将该锁相环在实验设备上进行应用试验,证明该锁相方法完全满足实际需求.【期刊名称】《电气传动》【年(卷),期】2016(046)006【总页数】5页(P19-22,32)【关键词】两相锁相环;二阶广义积分器;离散化【作者】张忠;魏鹏飞;刘江华;邱晗;邢文超【作者单位】华南理工大学广州学院,广东广州510800;河北工业大学电气工程学院,天津300131;天津电气科学研究院有限公司,天津300301;天津电气科学研究院有限公司,天津300301;天津电气科学研究院有限公司,天津300301【正文语种】中文【中图分类】TM46在并网逆变器中，电网电压的瞬时相位信息是实现功率器件通断控制、有功功率和无功功率计算以及各种参考坐标之间变换的基准。
准确而快速地获取电网电压相位是保证整个系统具有良好的稳态和动态性能的前提条件。
在逆变器控制算法中，要保证逆变器输出电流与电网电压相位一致，则不可避免要用到锁相环［1］。
锁相环是用于电网电压相位侦测的一个相位反馈控制系统，它不仅能实现对恒频输入信号的跟踪控制，同时对于频率变化的输入信号也有较高的跟踪速度与精度。
锁相环可以对电网电压相位、幅值、频率等信息进行实时检测，该检测是为了确保并网逆变器系统能够在电网电压出现如：线性谐波缺口（lineharmonics/notches）；电压缺失、跌落或骤增；频率变化或相位阶跃等畸变时，在标准要求下运行［2］。
由于国内是三相4线制电网，负载是三相负载或者单相负载，所以比较常见的是三相锁相环和单相锁相环。
二阶广义积分器的三种改进结构及其锁相环应用对比分析
二阶广义积分器的三种改进结构及其锁相环应用对比分析张纯江;赵晓君;郭忠南;于安博【摘要】二阶广义积分器(SOGI)可以提取三相电网电压信号中的基波正序分量,通过锁相得到精确的电网相位信息.而 SOGI 本身存在对输入信号频率依赖性强的缺陷,为此提出三种改进型SOGI.对三种改进型SOGI进行详细的对比分析,并将其应用到锁相环(PLL)中.之后将三种改进型 SOGI-PLL分别在电网电压不平衡、含有直流分量和含有高次谐波的情况下进行对比实验,可以证明改进Ⅲ型 SOGI-PLL具有更好的电网适应性.最后,通过实验验证了理论分析的正确性和可行性,并给出了结论.%Second order generalized integrator (SOGI) can extract the fundamental positive sequence component from three-phase grid voltage signals and obtain the accurate input signal phase by phase-locked loops (PLL). The traditional SOGI has a strong dependence on the input signal frequency, so three improved SOGIs are proposed in the paper. This paper mainly focuses on the detailed comparative analysis of the three improved SOGIs and applies them to PLL. The comparative experiments of three improved SOGI-PLLs are implemented under the conditions of grid voltage imbalance, containing DC components or containing higher harmonics. It can be proved that the improved Ⅲ-type SOGI-PLL has better adaptability to the grid. The correctness and feasibility of the theoretical analysis are verified by the experimental results.【期刊名称】《电工技术学报》【年(卷),期】2017(032)022【总页数】8页(P42-49)【关键词】二阶广义积分器;锁相环;输入电压不平衡;谐波;直流分量【作者】张纯江;赵晓君;郭忠南;于安博【作者单位】燕山大学电气工程学院秦皇岛 066004;燕山大学电气工程学院秦皇岛 066004;燕山大学电气工程学院秦皇岛 066004;燕山大学电气工程学院秦皇岛066004【正文语种】中文【中图分类】TM46在单相和三相系统中，锁相的应用非常广泛，如并网逆变器[1,2]和不间断电源（Uninterrupted Power Supply, UPS）[3]，尤其是在dq坐标系下做系统环路控制时，更需要准确的电网相位信息。
§2广义积分的收敛判别法
的收敛性 .
解:
由比较判别法 1 可知原积分收敛 . 思考题: 讨论广义积分 提示: 当 x≥1 时, 利用
的收敛性 .
可知原积分发散 .
2020/11/1
宁波大学教师教育学院
8
定理5. (极限判别法1)
满足
lim x p f (x) l
x
则有: 1) 当
2) 当
证: 1) 当p 1时, 根据极限定义, 对取定的
(1
1
x)2
1 (1 x2 )(1 k 2x2 )
x
则有: 1) 当
2) 当
例5.
判别广义积分
3
1
dx ln x
的敛散性
.
解: 此处 x 1为瑕点, 利用洛必达法则得
根据极限判别法2 , 所给积分发散 .
2020/11/1
宁波大学教师教育学院
16
1
例6. 判定椭圆积分
dx
(k 2 1) 的收
0 (1 x2 )(1 k 2 x2 )
敛性 .
解: 此处 x 1为瑕点, 由于
解:
lim x2 x x
1 1 x2
lim
x
根据极限判别法 1 , 该积分收敛 .
1 1
1 x2
1
3
例3. 判别广义积分
x2 1 1 x2
dx
的收敛性 .
解:
3
lim
x
x
1 2
1
x
2
x
2
lim x 1
x2 x
2
1
根据极限判别法 1 , 该积分发散 .
2020/11/1
宁波大学教师教育学院
积分区间有无穷间断点的广义积分
二：积分区间有无穷间断点的广义积分
设函数f(x)在(a,b]上连续，而.取ε>0，如果极限
存在，则极限叫做函数f(x)在(a,b]上的广义积分，
仍然记作：.
即：=，这时也说广义积分收敛.如果上述极限不存在，就说广义积分发散。
类似地，设f(x)在[a,b)上连续，而.取ε>0，如果极限
存在，
则定义=；
否则就说广义积分发散。
又，设f(x)在[a,b]上除点c(a<c<b)外连续，而.如果两个广义积分和
都收敛，
则定义：=+.
否则就说广义积分发散。
例题：计算广义积分(a>0)
解答：因为，所以x=a为被积函数的无穷间断点，于是我们有上面所学得公式可得：。
伍胜健《数学分析》(第2册)配套题库-章节题库(广义积分)
第 8 章 广义积分 1．计算下列反常积分：
解：（1）令 x＝tant，有
（3）将区间分段，
令 t＝x－a/x，有 （4）应用分部积分公式，有
，故
令 x＝a/t，可知
从而可知
由此得到
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可知，
均原函数是有界的．从而 I 收敛．
（4）首先，用 Taylor 公式把被积函数写为
其次，根据 Dirichlet 判别法，积分
都是收敛的．又
积分
在 2α＞1 即 对是收敛的；在 时发散．这是因为余项
在 x≥1 上连续，且有
综上所述，反常积分，在
时收敛；在 时 I 发散．
（5）对
用 Taylor 公式，有
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注意到 此积分
绝对收敛的，故知 I 收敛．
，而
的原函数都是有界的，因
均收敛．此外，又根据
的积分是
1．判别下列积分的绝对收敛性：
解：（1）应用分部积分公式，有
由此即知 I 绝对收敛．
（2）令
，有
，注意到 可知 I 条件收敛．
（2）设
绝对收敛，则
（3）设 f∈C（[0，∞），f（0）＝0 且|f（x）|≤M（0≤x＜∞）．若
绝
对收敛，则
证明：（1）由题设知
绝对收敛，又
故知存在极限
显然 l＝0．
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（2）应用积分中值公式，有
再由 f（x）在 x＝0 处连续知存在 N，使得
§2广义积分的收敛判别法
s
xs1 exd x
0
0
s (s)
注意到: (1) n N , 有
0
e
x
d
x
1
(n 1) n(n) n(n 1)(n 1)
n!(1)
2020/3/7
宁波大学教师教育学院
21
(2) 当s 0时, (s) .
Dirichlet是Gauss的学生和继承人。他毕生敬仰Gauss.他说Gauss的讲课是“一 生所听过的最好，最难忘的课。”1855年，Gauss逝世后，他作为Gauss的继承者被哥 丁根大学聘为教授，接替Gauss原任的职务，直到逝世。
a
0
1
1 ba
f
(a
1) t
dt t2
1 ba
f
(a
1) t
dt t2
因此无穷限广义积分的收敛判别法完全可平移到无界函数
的广义积分中来 .
2020/3/7
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利用
b
a (
x
1 a)
q
dx
收敛 , 发散 ,
q 1 q 1
类似定理 4 与定理 5，有如下的收敛判别法.
当0 s 1时,
x s 1
ex
1 x1s
e1x
1 x1s
而1 s 1, 根据比较判别法2知I1 收敛.
2020/3/7
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19
I2
xs1 exd x
1
2) 讨论 I2 .
( x s 1
ex )
lim
二阶广义积分离散化
二阶广义积分离散化1. 什么是二阶广义积分二阶广义积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在一个区间上的积分的推广。
一阶广义积分是对函数在一个区间上的积分，而二阶广义积分则是对一阶广义积分的积分。
在数学中，广义积分的定义是通过极限来进行的。
对于一个定义在闭区间[a, b]上的函数f(x)，如果在[a, b]上存在一个分割[a, x1, x2, …, xn, b]，使得对于任意的分割，极限lim n→∞∑fni=1(x i)Δx i存在，那么就称这个极限为f(x)在闭区间[a, b]上的二阶广义积分，记作∫fba(x)dx2. 二阶广义积分离散化的意义二阶广义积分离散化的意义在于将连续的函数转化为离散的数值计算问题，使得我们可以使用计算机进行数值计算。
离散化的过程将函数在区间[a, b]上划分成多个小区间，然后对每个小区间进行数值计算，最后将结果进行累加。
离散化的好处是可以提高计算的效率和精度。
由于计算机是离散的，对于连续的函数进行数值计算会引入误差。
通过将函数离散化，我们可以控制误差的大小，并且可以根据需要选择合适的离散化方法，以提高计算的精度。
3. 二阶广义积分离散化的方法离散化二阶广义积分的方法有很多种，下面介绍两种常用的方法：矩形法和梯形法。
3.1 矩形法矩形法是最简单的一种离散化方法，它将区间[a, b]划分成n个小区间，然后在每个小区间上选取一个点，将函数在该点的值作为该小区间的代表值，然后将所有小区间的代表值相加，得到二阶广义积分的近似值。
具体的计算步骤如下：1.将区间[a, b]划分成n个小区间，每个小区间的宽度为Δx=b−an；2.在每个小区间上选取一个点x i，计算f(x i)；3.将所有f(x i)相加，得到近似的二阶广义积分值。
矩形法的计算简单，但精度较低，特别是在函数变化较大的区间上，误差会较大。
3.2 梯形法梯形法是一种比矩形法更精确的离散化方法，它将区间[a, b]划分成n个小区间，然后在每个小区间上计算出梯形的面积，将所有梯形的面积相加，得到二阶广义积分的近似值。
关于广义积分的第二中值定理的探讨
关于广义积分的第二中值定理的探讨发布时间：2023-01-10T03:37:08.419Z 来源：《科技新时代》2023年1期作者：龙松[导读] 在闭区间的积分第二中值定理的基础上，得出了无穷区间上的广义积分的第二积分中值定理。
龙松（武昌首义学院基础科学部，湖北武汉 430064）摘要：在闭区间的积分第二中值定理的基础上，得出了无穷区间上的广义积分的第二积分中值定理。
关键词：广义积分；第二积分中值定理中图分类号： O172.2 文献标志码：A作者简介：龙松（1978-），男，湖北武汉人，硕士，副教授，武昌首义学院基础科学部，研究方向为概率统计.基金项目：武昌首义学院博士基金，No.B20200206；武昌首义学院校级教研项目：三维协同下的微积分模块化教学的研究与实践,NO:2020Y211.引言在数学分析中，讨论了闭区间上的积分第二中值定理[1],本文则将闭区间扩展到无穷区间上，从而对广义积分的第二中值定理进行了讨论。
在展开讨论前，先给出引理。
引理：若在区间上为非负的单调递增函数，而为可积函数，则存在，使得证明：因为为可积函数，则必有界，不妨设。
由于为闭区间上的单调递增函数，所以为可积函数，从而其中，为在上的振幅。
由于为均为上可积函数，可知也为上可积函数。
设，对于分割，有 =对于，由于则有，从而有令，由于为上可积函数，从而为上的连续函数，且有，且，所以 =（3）若在区间上为的单调减函数，同理可证。
2广义积分的第二中值定理的探讨定理1[2]设在上非负单调递增，在内不恒为常数，，在上可积，若收敛，则，使，其中证明：显然，记，，设，显然，连续。
令，由引理可知，，又收敛于，故，由连续函数的介质定理可知，，使，即。
命题得证。
定理2设在上非负单调递减，在内不恒为常数，，在上可积，若收敛，则，使，其中证明：仿照定理1的证明即可得证。
定理3 设在内单调有界不恒为常数，，，在上可积。
若及都收敛，则，使，其中证明：由于在内单调有界，知都存在。
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则 由 bg( x)dx 收 敛, 得 b f ( x) dx 收 敛;
a
a
(2) 若 0, 使x (a, a ],有 f ( x) g( x)
则由
b
g( x)dx
发散, 得
b f ( x) dx 发 散;
a
a
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12
(3)
若 lim
f (x) C,
(g(x) 0).
上 可 积.则 定 义
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
0 a
若右端极限存在, 称广义积分收敛;
右端极限不存在, 称广义积分发散.
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3
类似地, 若 f ( x)在[a, b)上有定义, 在x b附近无界, 可以定义
b
b
f (x)dx lim f (x)dx
且0 b a, f ( x)在[a , b]上可积.
(1)
若
0, 使x (a,
a ],有
f (x)
C (x a)p
,
p 1, 则 b f ( x) dx 收敛; a
(2)
若
0, 使x (a,
a ],有
f (x)
(
x
C a)p
,
p 1, C 0, 则 b f ( x) dx 发散; a
1 2
ln
x
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16
[例2] 讨 论 积 分 1
1
dx (k 2 1)
0 (1 x2 )(1 k 2 x)
的 收 敛 性.
[解] x 1 是 奇 点
1
f (x)
(1 x2 )(1 k 2 x)
1 (1 x)(1 x)(1 k 2 x)
当x 1时, f ( x) O( 1 ) 1 x
a (x a)p
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y
1 1 dx 收敛
0x
1 1 dx 发散
0x
1 0
1 x2
dx
发散
o
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1 y x2 y 1
x y 1
x
1
x
9
（二）无界函数广义积分判敛法
定理6：（柯西收敛准则）
设 f ( x) 在(a, b]上 有 定 义, x a 是 f ( x)的 一 个 奇
dx lim[ln(b a) ln ]
a (x a)
0 a ( x a)
0
b
a(
x
1 a)p
dx
发散
(3) 当p 1时, 有p 1 0
b1
b
1
a
(x
a)p
dx
lim
0
a ( x a) p dx
1 lim[(b a)1 p 1 p )
p 1 0
b 1 dx 发 散
作业
P66 习题2.3
4(5). (6). 5(5). (6). 6.
复习: P54—66
预习: P68—73
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1
Chap12 广义积分(二)
有穷区间无界函数的 广义积分
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2
有穷区间无界函数的广义积分 奇点
（一）定义
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
瑕点
定义1： 设函数 f ( x)在(a, b]上有定义, 在点x a附 近无界. : 0 b a, f ( x)在区间[a , b]
a
0 a
若 f ( x) 在 x c附近无界,可以定义
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f (x)dx
lim c1 f ( x)dx lim b f ( x)dx
10 a
2 0 c2
注意：1, 2 是互相独立的！
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4
y
任取
0 1 令 0
取极限
y
1 2
ln
x
利
[解] 怎样确定 1 的阶?
用
ln x ln x ( x 1) o[(x 1)]
x0 1
泰 勒
1
1
公
lim(1
x 1
x) ln
x
lim
x 1
1
[(
x
1)]
1
式
( x 1)
或者 lim(1 x) 1 lim 1 1
x1
ln x x1 1
洛必达法则
x
由比阶判敛法知, 积分 1 1 dx 发散
若 b f ( x) dx 收 敛,则 b f ( x)dx 收 敛.
a
a
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11
定理8：（比较判敛法）
设 f ( x)在(a, b]上有定义, x a是 f ( x)的一个奇点,
且0 b a, f ( x)在[a , b]上可积.
(1) 若 0, 使x (a, a ],有 f ( x) g( x)
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14
(3) 若 lim( x a)p f ( x) C,则 xa 当 0 C , p 1时, b f ( x) dx 收 敛; a 当 0 C , p 1时, b f ( x) dx 发 散. a
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15
[例1] 判断积分 1 1 dx 的收敛性
[证] (1) 当 p 1时, 有 1 p 0
b1
b
1
a
(x
a)p
dx
lim
0
a ( x a) p dx
1 lim[(b a)1 p 1 p ] (b a)1 p
1 p 0
1 p
b
a(
x
1 a)p
dx
收敛
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7
(2) 当p 1时
b1
b
1
dx lim
1 x2
y 1 x
o
1
x
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5
11
11
dx lim
dx
0x
x 0
lim(2 2 ) 2 0
11
11
0
x2
dx
lim 0
x2 dx
1 lim( 1)
0
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6
[例1] 证明广义积分 b 1 dx ( p 0) a (x a)p 当p 1时,收敛; 当p 1时, 发散.
xa g( x)
则 当 0 C 时,
由 bg( x)dx 收 敛, 得 b f ( x) dx 收 敛;
a
a
当 0 C 时,
由 bg( x)dx 发 散, 得 f ( x) dx 发 散.
a
a
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定理9：（比阶判敛法）
设 f ( x)在(a, b]上有定义, x a是 f ( x)的一个奇点,
点,则 b f ( x)dx 收 敛 的 充 分 必 要 条 件 是: a 0, 0, 只 要 0 ,0 , 就 有 a f (x)dx a
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定理7：（绝对值判敛法）
设 f ( x) 在(a, b]上 有 定 义.
x a 是 f ( x)的 一 个 奇 点,
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1
1
lim(1 x)2
x1
(1 x2 )(1 k 2 x)
1
1
lim
0
x1 (1 x)(1 k 2 x) 2(1 k 2 )