2018届广东省揭阳一中、金山中学高三第二学期联考理科数学试题及答案 精品
2018年高考广东卷理科数学试题及答案解析版 精品
2018年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．线性回归方程 y bx a =+ 中系数计算公式121()()()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑ ， a y bx =- ，其中x ，y 表示样本均值．n 是正整数，则1221()()n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++ ．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z 满足(1)2i z +=，其中i 为虚数单位，则z =A ．1i +B ．1i -C ．22i +D ．22i -1．（B ）．22(1)11(1)(1)iz i i i i -===-++-2．已知集合{(,)|,A x y x y =为实数，且221}x y +=，{(,)|,B x y x y =为实数，且}y x =，则A B ⋂的元素个数为A ．0B ．1C ．2D ．32．（C ）．A B ⋂的元素个数等价于圆221x y +=与直线y x =的交点个数，显然有2个交点 3．若向量,,a b c 满足a ∥b 且⊥a c ，则(2)⋅+=c a bA ．4B ．3C ．2D ．0 3．（D ）．依题意得⊥c a ，⊥c b ，则(2)20⋅+=⋅+⋅=c a b c a c b正视图 图1 侧视图 图24．设函数()f x 和()g x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 A ．()()f x g x +是偶函数 B ．()()f x g x -是奇函数 C ．()()f xg x +是偶函数 D ．()()f xg x -是奇函数4．（A ）．由()f x 是偶函数、()g x 是奇函数，得()f x 和()g x 都是偶函数，所以()()f xg x +与()()f xg x -都是偶函数，()()f xg x +与()()f xg x -的奇偶性不能确定5．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组02x y x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤给定．若(,)M x y 为D 上的动点，点A的坐标为，则z OM OA=⋅的最大值为A． B ． C ．4D ．3 5．（C ）．zy =+，即y z=+，画出不等式组表示的平面区域，易知当直线y z =+经过点时，z 取得最大值，max24z == 6．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军． 若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为A ．12B ．35C ．23D ．346．（D ）．乙获得冠军的概率为111224⨯=，则甲队获得冠军的概率为13144-=7．如图1 ~ 3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为A． B． C． D．7．（B ）．该几何体是一个底面为平行四边形，高为3则33V Sh ===8．设S 是整数集Z 的非空子集，如果,a b S ∀∈，有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的．若,T V 是Z 的两个不相交的非空子集，T V Z ⋃=，且,,a b c T ∀∈，有abc T ∈；,,x y z V ∀∈，有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是A ．,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B ．,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C ．,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D ．,T V 中每一个关于乘法都是封闭的 8．（A ）．若T 为奇数集，V 为偶数集，满足题意，此时T 与V 关于乘法都是封闭的，排除B 、C 若T 为负整数集，V 为非负整数集，也满足题意，此时只有V 关于乘法是封闭的，排除D二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9 ~ 13题） 9．不等式13x x +--≥0的解集是 ．9．[1,)+∞．13x x +--≥0 ⇒1x +≥3x -⇒2(1)x +≥2(3)x -⇒x ≥110．72()x x x -的展开式中，4x 的系数是 （用数字作答） 10．84．72()x x x -的通项7821772()(2)r r r r r r r T xC x C x x --+=-=-，由824r -=得2r =，则227(2)84C -= 11．等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和．若11a =，40k a a +=，则k = ．11．10．方法1：由94S S =得93646d d +=+，求得16d =-，则4111(1)()13()066k a a k +=+-⨯-++⨯-=，解得10k =方法2：由94S S =得567890a a a a a ++++=，即750a =，70a =，即104720a a a +==，即10k =12．函数32()31f x x x =-+在x = 处取得极小值． 12．2．2()363(2)f x x x x x '=-=-，令()0f x '=得0x =或2x =，显然当0x <时()0f x '>；当02x <<时()0f x '<；当2x >时()0f x '>，函数32()31f x x x =-+在2x =处取得极小值 13．某数学老师身高176cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm 、170cm 和182cm ．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm ． 13．185．设父亲的身高为x cm ，儿子的身高为y cm ，则根据上述数据可得到如下表格：上表中的最后一组(182,?)是预测数据，173,176x y ==12221()()00361033()niii nii x x y y bx x ==--++⨯===++-∑∑ ， 3a y bx =-=线性回归方程3y x =+，所以当182x =时，185y =，即他孙子的预测身高为185 cm ．（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为sin xy θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(0)θπ<≤和254x t y t ⎧=⎪⎨⎪=⎩ (t ∈)R ，它们的交点坐标为___________．14．(1,5．sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩表示椭圆2215x y +=(01)x y <≤≤，254x t y t ⎧=⎪⎨⎪=⎩表示抛物线245y x =图4COPBA22221(01)5450145x y x y x x x y x ⎧+=≤≤≤⎪⎪⇒+-=⇒=⎨⎪=⎪⎩或5x =-（舍去），又因为01y ≤≤，所以它们的交点坐标为15．（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O 外一点P 分别作 圆的切线和割线交圆于,A B ，且7PB =，C 是圆上一点使得5BC =，BAC APB ∠=∠，则AB =___________．15由弦切角定理得PAB ACB ∠=∠，又BAC APB ∠=∠，则△PAB ∽△ACB ，则PB ABAB BC =，235AB PB BC =⋅=，即AB =三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数1()2sin()36f x x π=-，x ∈R ． （1）求5()4f π的值；（2）设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，10(3)213f πα+=，6(32)5f βπ+=，求cos()αβ+的值．16．解：（1）515()2sin()2sin 43464f ππππ=⨯-==（2）110(3)2sin[(3)]2sin 232613f πππααα+=+-==，即5sin 13α=16(32)2sin[(32)]2sin()3625f ππβπβπβ+=+-=+=，即3cos 5β=∵,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴12cos 13α==，4sin 5β==∴1235416cos()cos cos sin sin 13513565αβαβαβ+=-=⨯-⨯=17．（本小题满分13分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素,x y 的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量； （2）当产品中的微量元素,x y 满足175x ≥且75y ≥时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．17．解：（1）设乙厂生产的产品数量为a 件，则98145a =，解得35a =图5CDPAEFPF所以乙厂生产的产品数量为35件（2）从乙厂抽取的5件产品中，编号为2、5的产品是优等品，即5件产品中有2件是优等品由此可以估算出乙厂生产的优等品的数量为235145⨯=（件）（3）ξ可能的取值为0，1，223253(0),10C P C ξ=== 1123256(1),10C C P C ξ=== 22251(2),10C P C ξ===∴ξ的分布列为：∴3614012.1010105E ξ=⨯+⨯+⨯=18．（本小题满分13分）如图5，在锥体P ABCD -中，ABCD 是边长为1的 菱形，且60DAB ∠=，PA PD ==2PB =，,E F分别是BC ,PC 的中点． （1）证明：AD ⊥平面DEF ； （2）求二面角P AD B --的余弦值．18．（1）证明：取AD 的中点H ，连接,,PH BH BD ∵PA PD =，∴AD PH ⊥∵在边长为1的菱形ABCD 中，60DAB ∠=∴△ABD 是等边三角形 ∴AD HB ⊥，PH HB H = ∴AD ⊥平面PHB ∴AD PB ⊥∵,E F 分别是BC ,PC 的中点 ∴EF ∥PB ，HB ∥DE∴AD DE ⊥，AD EF ⊥，DE EF E = ∴AD ⊥平面DEF（2）解：由（1）知PH AD ⊥，HB AD ⊥ ∴PHB ∠是二面角P AD B --的平面角易求得PH BH ==∴2227334cos 27PH HB PB PHB PH HB +--+-∠====-⋅∴二面角P AD B --的余弦值为7-19．（本小题满分14分）设圆C与两圆22(4x y +=，22(4x y +=中的一个内切，另一个外切． （1）求C 的圆心轨迹L 的方程；（2）已知点M，F ，且P 为L 上动点，求MP FP - 的最大值及此时点P 的坐标．19．解：（1）设(F F '，圆C 的半径为r ，则(2)(2)4CF CF r r '-=+--=< ∴C 的圆心轨迹L 是以,F F '为焦点的双曲线，2a =，c =1b =∴C 的圆心轨迹L 的方程为2214x y -=（2）2MP FP MF -≤== ∴MP FP - 的最大值为2如图所示，P 必在L 直线MF 的斜率2k =-:2MF y x =-+22142x y y x ⎧-=⎪⎨⎪=-+⎩215280x -+=6)0--=12x x ==∵P x >P x =，P y =∴MP FP - 的最大值为2，此时P 为(55-20．（本小题满分14分）设0b >，数列{}n a 满足1a b =，1122n n n nba a a n --=+-(2)n ≥．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n ，1112n n n b a ++≤+．20．（1）解：∵1122n n n nba a a n --=+-∴1122n n n a ba n a n --=+- ∴1211nn n n a b a b --=⋅+ ① 当2b =时，1112nn n n a a ---=，则{}n n a 是以12为首项，12为公差的等差数列∴11(1)22nn n a =+-⨯，即2n a = ② 当0b >且2b ≠时，11211()22n n n n a b b a b --+=+-- 当1n =时，122(2)nn a b b b +=--∴1{}2nn a b +-是以2(2)b b -为首项，2b 为公比的等比数列 ∴112()22n nn a b b b +=⋅-- ∴212(2)2(2)n n nn n n n b a b b b b b -=-=---∴(2)2n n nn n b b a b -=- 综上所述(2),02222nn nn n b b b b a b b ⎧->≠⎪=-⎨⎪=⎩ 且， （2）方法一：证明：① 当2b =时，11122n n n b a ++=+=；② 当0b >且2b ≠时，12212(2)(222)nnn n n n b b b b b -----=-++++1221222n nnn n n n n n b a b b b ----⋅=≤=++++111211112222222n n n n n n n n b b b b+++---++=====<=⋅1112n n b +++∴对于一切正整数n ，1112n n n b a ++≤+．方法二：证明：① 当2b =时，11122n n n b a ++=+=；② 当0b >且2b ≠时，要证1112n n n b a ++≤+，只需证11(2)122n n n nn nb b b b ++-≤+-， 即证1(2)122n nn n n b b bb +-≤+- 即证1221112222n n n n n n n b b b bb ----+≤+++++ 即证122111()(222)2n n n n n n b b b b n b ----++++++≥即证2112231122221()()2222n n n n n n n n b b b b nb b b b ---+-+++++++++≥ ∵2112231122221()()2222n n n n n n n n b b b b b b b b ---+-+++++++++ 2121232111222()()()()2222n n n n n n n n b b b b b b b b ----+=++++++++n≥+= ，∴原不等式成立∴对于一切正整数n ，1112n n n b a ++≤+．21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线L ：214y x =．实数,p q 满足24p q -≥0，12,x x 是方程20x px q -+=的两根，记12(,)max{,}p q x x ϕ=．（1）过点2001(,)4A p p 0(0)p ≠作L 的切线交y 轴于点B ．证明：对线段AB 上的任一点(,)Q p q ，有0(,)2p p q ϕ=；（2）设(,)M a b 是定点，其中,a b 满足240a b ->，0a ≠．过(,)M a b 作L 的两条切线12,l l ，切点分别为2111(,)4E p p ，2221(,)4E p p '，12,l l 与y 轴分别交于,F F '．线段EF 上异于两端点的点集记为X ．证明：112(,)(,)2p M a b X p p a b ϕ∈⇔>⇔=；（3）设{(,)|D x y y =≤1x -，y ≥215(1)}44x +-．当点(,)p q 取遍D 时，求(,)p q ϕ的最小值 （记为min ϕ）和最大值（记为max ϕ）21．解：（1）2001(,)4A p p 是抛物线L 上的点，12y x '=，则切线的斜率012k p = 过点A 的抛物线L 的切线方程为AB ：200011()42y p p x p -=-，即2001124y p x p =-∵(,)Q p q 在线段AB 上，∴2001124q p p p =-，∴22220001144()()24p q p p p p p p -=--=-≥0不妨设方程20x px q -+=的两根为1x =，2x =则12p p p x --=，22p p p x +-=① 当00p >时，00p p ≤≤，001222p p p x p -==-，022px =∵00122p p x -<≤，∴12x x ≤，∴122(,)max{,}p q x x x ϕ==02p =② 当00p <时，00p p ≤≤，012p x =，002222p p px p -==-∵00222p px ≤<-，∴12x x ≥，∴121(,)max{,}p q x x x ϕ==02p =综上所述，对线段AB 上的任一点(,)Q p q ，有(,)2p p q ϕ=（2）由（1）知抛物线L 在2001(,)4p p 处的切线方程为2001124y p x p =-，即200240p p x y -+=∵切线恒过点(,)M a b ，则200240p ap b -+=，∴1,2p a =① 当0a >时，(,)M a b X ∈⇔10a p <<⇔1p a =+2p a =⇔12p p >② 当0a <时，(,)M a b X ∈⇔10p a <<⇔1p a =-2p a =⇔12p p >综合①②可得(,)M a b X ∈⇔12p p >∵由（1）可知，若2111(,)4E p p ，点(,)M a b 在线段EF 上，有1(,)2p a b ϕ=∴(,)M a b X ∈⇒1(,)2p a b ϕ=③由（1）可知，方程20x ax b -+=的两根11,22p x =或12p a -，21,22p x =或22pa -若1(,)2p a b ϕ=，即112max{,}2px x =则1122p a p -≥、 2122p p ≥、 2122p a p -≥∴12p p >∴1(,)2p a b ϕ=⇒12||||p p >⇒(,)M a b X ∈ ④综合③④可得(,)M a b X ∈⇔1(,)2p a b ϕ=综上所述112(,)(,)2p M a b X p p a b ϕ∈⇔>⇔=；（3）由2115(1)44y x y x =-⎧⎪⎨=+-⎪⎩，求得两个交点(0,1),(2,1)- 则02p ≤≤，过点(,)G p q 作抛物线L 的切线，设切点为N2001(,)4x x ，切线与y 轴的交点为H由（2）知200240x px q -+=，解得0x p =，①若0x p =，则点(,)G p q 在线段NH 上由1y x ≤-，得1q p ≤-，∴022x p p p p =+≥=+-=，∴m min in )12(x ϕ==．由215(1)44y x ≥+-，得221511(1)14442q p p p ≥+-=+-∴2442p q p -≤-，∴0x p p =++t =，则2122p t =-+，02t ≤≤∴22011552(1)2222x t t t ≤-++=--+≤∴0max max 5)24(x ϕ==②若0x p =，则点(,)G p q 在线段NH 的延长线上方程20x px q -+=的两根为12p p x x --=，22p p x x +-=即01,22x x =或02xp -∵0x p ≤∴00012(,)max{,}max{,}222x x xp q x x p p ϕ==-=-p ==，同理可得51(,)4p q ϕ≤≤综上所述min 1ϕ=，max 54ϕ=。
2018届广东省揭阳市高三学业水平考试数学理(解析版)
广东省揭阳市2018届高三学业水平（期末）考试数学理一、选择题：共12题1. 已知==,则A.B.C.D.【答案】D所以=.故答案为：D. 2. 已知复数=为实数,为虚数单位)的实部与虚部相等,则A. B. C.D.【答案】B【解析】因为==的实部与虚部相等,所以,则, 所以, 则.故答案为：B. 3. 已知命题;命题若,则,下列命题为假命题的是A.B.C.D.【答案】C 【解析】因为=,所以命题p 是真命题,则命题是假命题; 若,则,但是,故命题q 是假命题,命题是真命题.所以命题是假命题,均为真命题,故选C. 4. 已知==,且的夹角为,则A.B. C.D.【答案】B【解析】因为==,且的夹角为, 所以=====.故答案为：B.5. 设x,y满足约束条件,则=的最小值为A. B. C. D. 0【答案】A【解析】作出不等式组所表示的平面区域,如图所示,由目标函数z与直线=在y轴上的截距之间的关系可知,平移直线=,当直线过点B(1,5)时,目标函数=取得最小值.故答案为：A.6. 函数的部分图象如图所示,则的解析式可以是A. B.C. D.【答案】C【解析】由函数的部分图象可知,该函数是偶函数,故排除B;当时,,故排除D;当x=1时,对于A选项,=,故排除A,因此选C.7. 如图程序框图是为了求出的常用对数值,那么在空白判断框中,应该填入A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意,循环结构的功能是为了求出的值,当k=99时,此时S=,不满足结果,则继续循环,当k=100时,S=,满足结果,则循环结束,所以判断框中应该填入的条件为:.故答案为：A.8. 某几何体三视图如图所示,则此几何体的体积为A. B. C. D. 704【答案】C【解析】由三视图可知,该几何体是:上面是底面半径为4、高是3的圆锥,下面是底面为边长为8的正方形、高是10的长方体,所以该几何体的体积V==.故答案为：C.9. 已知,则A. B. C. D.【答案】B【解析】因为,所以,所以,故A错误;又,所以,所以,所以,B正确;又,所以的大小不确定,故C错误;由指数函数的单调性可知,由幂函数的单调性可知,所以的大小关系不确定,故D错误.则答案为B.点睛：这个题目考查的是比较指数和对数值的大小；一般比较大小的题目，常用的方法有：先估算一下每个数值，看能否根据估算值直接比大小；估算不行的话再找中间量，经常和0，1，-1比较；还可以构造函数，利用函数的单调性来比较大小。
推荐-2018学年度高三摸底考试 精品
2018-2018学年度高三摸底考试（潮州金山中学——揭阳一中联考）理科数学一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1、已知集合{}{}2|||2,|0M x x N x x x =<=->，则MN = （ ）A 、∅B 、RC 、MD 、N 2．在复平面内，复数21i+ 对应的点与原点的距离是（ ） A. 1B.C.2D. 3．已知,a b R Î，则“33log log a b >”是 “11()(22ab<”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4．已知{}n a 是等差数列，154=a ，555=S ，则过点34(3,(4,),)P a Q a 的直线的斜率（ ） A ．4B ．41C ．－4D ．－145．某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李 的费用为：不超过50 kg 按0.53元/kg 收费，超过50 kg 的部分按0.85元/kg 收费.相应收费系统的流程图如右图所示，则①处应填（ ）.A 0.85y x =.B 500.53(50)0.85y x =⨯+-⨯ .C 0.53y x = .D 500.530.85y x =⨯+6．若点P 到直线1y =-的距离比它到点(03)，的距离小2，则点P 的轨迹方程为（ ） A. 24x y = B.212y x = C. 212x y = D.26x y =7.若点y)x,（在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-0220102y x y x 表示的平面区域内运动，则y x t -=的取值范围是（ ）]1,2.[--A ]1,2.[-B ]2,1.[-C ]2,1.[D 8.设奇函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集是（ ） A 、()()1,01,-+∞ B 、()(),10,1-∞-C 、()(),11,-∞-+∞D 、()()1,00,1-二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答9．函数2sin y x x =-在(0,)π上的单调递增区间为 10．若5)1(-ax 的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是 . 11.若关于x 的方程2210ax x ++=只有负实根，则实数a 的取值范是 ；12.设()y f x =是一次函数，若()01f =且()()()1,4,13f f f 成等比数列，则()()()242f f f n +++=； 13.设11,1,2a b a b a b+=+为正数,且则的最小值是 （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14．已知直线的极坐标方程为22)4sin(=+πθρ，则点（2，47π）到这条直线的距离为15. 如图，点P 在圆O 直径AB 的延长线上，且PB=OB=2,PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，则CD= 。
2018年广东省揭阳市高考数学一模试卷(理科)
2018年广东省揭阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A={x|x<3}，B={y|y=√x2+3}，则A∩B=()A.(−∞, 3)B.(3, +∞)C.[√3,3)D.(−∞,√6)2. 已知复数z=(3+i)2，则|z|=()A.4B.6C.8D.103. 已知向量a→=(x, 1)，b→=(1, −2)，若a→⊥b→，则a→+b→=()A.(2, 0)B.(3, −1)C.(3, 1)D.(−1, 3)4. 一个圆柱形水桶，底面圆半径与高都为2（桶底和桶壁厚度不计），装满水后，发现桶中有一个随处悬浮的颗粒，用一个半径为1的半球形水瓢（瓢壁厚度不计）从水桶中舀满水，则该颗粒被捞出的概率为（）A.1 12B.16C.14D.135. 已知f(x)=sinx−cosx，实数α满足f′(α)=3f(α)，则tan2α=()A.−43B.−34C.34D.436. 与中国古代数学著作《算法统宗》中的问题类似，有这样一个问题：“四百四十一里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则该人最后一天行走的路程为()A.3.5里B.7里C.14里D.28里7. 函数y=xln|x|的部分图象大致为（）A.B.C.8. 已知两条直线l1:x−√3y+2=0与l2:x−√3y−6=0被圆C截得的线段长均为2，则圆C的面积为（）A.5πB.4πC.3πD.2π9. 某几何体三视图如图示，则此几何体的表面积为（）A.4π+16B.2(√2+2)π+16C.4π+8D.2(√2+2)π+810. 已知F1、F2是双曲线C的两个焦点，P是C上一点，线段PF1的垂直平分线经过点F2，且∠PF1F2=π6，则此双曲线C的离心率为（）A.√3+1B.√3+12C.√3 D.√3+1211. 某地铁站有A、B、C、D、E五个自动检票口，有4人一同进站，恰好2人通过同一检票口进站，另2人各自选择不同的检票口检票进站，则不同的检票进站方式的种数为（）A.60B.180C.360D.72012. 已知x0是函数f(x)=sinπx2的极值点，且满足f(2018−|x0|)<2018−|x0|，符合要求的x0的个数为（）A.2015B.2016C.2017D.2018二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）如图是一个算法流程图，若输入x的值为log23，则输出的y的值是________．已知实数x ，y 满足约束条件{y ≤2x +y ≤1x −y ≤1 ，则3x +y 的取值范围为是________．已知数列{a n }满足√a 1+√a 2+⋯+√a n =2n+1，设数列{a n }的前n 项和为S n ，则316S n=________．已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，抛物线上的动点P （不在原点）在y 轴上的投影为E ，点E 关于直线PF 的对称点为E′，点F 关于直线PE 的对称点为F′，当|E′F′|最小时，三角形PEF 的面积为________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知√3sinA −cos(B +C)=1，sinB +sinC =87sinA ，a =7．(Ⅰ)求角A 的值；(Ⅱ)求△ABC 的面积．如图，在三棱锥P −ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，△ABC 和△PAC 都是正三角形，AC =2，E 、F 分别是AC 、BC 的中点，且PD ⊥AB 于D ． (Ⅰ)证明：平面PEF ⊥平面PED ； (Ⅱ)求二面角E −PA −D 的正弦值．某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个100元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个250元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图的条形图：记x需的费用（单位：元），n 表示购机的同时购买的易损零件数． ( I)若n =19，求y 与x 的函数解析式；( II)以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件发生的概率． (ⅰ)若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的概率不小于0.5，求n 的最小值；(ⅱ)假设n 取19或20，分别计算1台机器在购买易损零件上所需费用的数学期望，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？已知A 是椭圆T:x 24+y 2=1上的动点，点P(0, 12)，点C 与点A 关于原点对称．(I)求△PAC 面积的最大值；(II)若射线AP 、CP 分别与椭圆T 交于点B 、D ，且AP →=mPB →，CP →=nPD →，证明：m +n 为定值．已知a ≠0，函数f(x)=|e x −e|+e x +ax ． (I)讨论f(x)的单调性；(II)已知当a <−e 时，函数f(x)有两个零点x 1和x 2(x 1<x 2)，求证：f(x 1x 2)>a +e ． 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修44：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为{x =−4t +2y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =m −2y =m k（m 为参数），当k 变化时，设 l 1与l 2的交点的轨迹为曲线C ．(1)以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程；(2)设曲线C 上的点A 的极角为π6，射线OA 与直线l 3:ρsin(θ+φ)−2√2=0 (0<φ<π2)的交点为B ，且|OB|=√7|OA|，求φ的值． [选修45：不等式选讲]已知函数f(x)=|a +1x |+|a −1x |，a 为实数． (I)当a =1时，求不等式f(x)>3的解集； (II)求f(a)的最小值．参考答案与试题解析2018年广东省揭阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】求出集合B的等价条件，结合交集定义进行求解即可．【解答】B={y|y=√x2+3}={y|y≥√3}，则A∩B={x|√3≤x<3}=[√3,3)，2.【答案】D【考点】复数的模【解析】根据复数的模长公式进行计算即可．【解答】z=(3+i)2=9+6i−1=8+6i，则z=8−6i，则|z|=√62+82=10，3.【答案】B【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】根据向量垂直的等价条件求出x的值，结合向量加法的坐标公式进行计算即可．【解答】∵a→=(x, 1)，b→=(1, −2)，∴a→⊥b→，则a→⋅b→=x+1×(−2)=x−2=0，则x=2，则a→=(2, 1)，则a→+b→=(3, −1)，4.【答案】A几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】分别求出水桶中水的体积及水瓢中水的体积，由测度比为体积比得答案．【解答】如图，水桶中水的体积为π×22×2=8π，水瓢所装水的体积为12×43×π×13=2π3．∴从水桶中舀满水，则该颗粒被捞出的概率为2π38π=112．5.【答案】A【考点】二倍角的正切公式简单复合函数的导数【解析】可先求出f′(x)=cosx+sinx，从而可得出f′(α)=cosα+sinα，这样即可得出cosα+ sinα=3sinα−3cosα，从而求出tan2α的值．【解答】解：f′(x)=cosx+sinx；∴f′(α)=cosα+sinα；又f′(α)=3f(α)；∴cosα+sinα=3sinα−3cosα；∴2cosα=sinα；∴tanα=2；∴tan2α=2tanα1−tan2α2×2 1−22=−43．故选A.6.【答案】B【考点】等比数列的前n项和【解析】由题意可得：此人每天所走的路形成等比数列{a n}，其中q=12，S6=4(41)利用通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：由题意可得：此人每天所走的路形成等比数列{a n}，其中q=12，S6=441，等比数列的求和公式为S n=a1(1−q n)1−q(q≠1)，则a1[1−(12)6]1−12=441，解得a1=224该人最后一天行走的路程a6=224×(12)5=7.故选B.7.【答案】C【考点】函数的图象变化利用导数研究函数的单调性【解析】利用函数的奇偶性，排除选项，利用函数的导数，判断函数的单调性，推出结果即可．【解答】解：函数y=xln|x|是奇函数，排除选项B，当x>0时，函数y=xlnx的导数为：y′=lnx+1，可得函数的极值点x=1e．并且x∈(0, 1e)，y′<0，函数是减函数，且y=xlnx没有零点，x∈(1e,+∞)，y′>0，函数是增函数，所以函数的图象是C．故选C.8.【答案】A【考点】直线与圆的位置关系【解析】根据两直线平行可知圆心到l1的距离，根据垂径定理可求出圆C的半径，从而得出圆的面积．【解答】∴圆心C到直线l1的距离为d=ℎ2=2，又l1被圆C截得的弦长为2，∴圆C的半径为r=√d2+12=√5，∴圆C的面积为S=πr2=5π．9.【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】根据三视图还原几何体，再分别求出正方体和圆柱的表面积并求和．【解答】由三视图知，该几何体是一棱长为2的正方体和一底面半径√2、高为1的圆柱的组合体，其表面积S=5×22+2π⋅√2⋅1+2π⋅(√2)2−22=2(√2+2)π+(16)10.【答案】D【考点】双曲线的特性【解析】利用已知条件，以及双曲线的定义，列出方程，求解双曲线的离心率即可．【解答】不妨设点P在第一象限，依题意|PF1|=2|F1F2|cos30∘=2√3c，|F1F2|=|PF2|，又由|PF1|−|PF2|=2a，得2√3c−2c=2a，可得e=ca =√3+12．11.【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据题意，分2步分析：①，先在4人中任选2人，从五个自动检票口中任选1个进站，②，在剩下的4个检票口中任选2个，安排剩下的2人进站，由分步计数原理计算可得答案．【解答】根据题意，分2步分析：①，先在4人中任选2人，从五个自动检票口中任选1个进站，有C42A51=30种情况，②，在剩下的4个检票口中任选2个，安排剩下的2人进站，有A42=12种情况，则同的检票进站方式的种数为30×12=360种；12.【答案】B【考点】【解析】由正弦函数的性质可得x0=2k+1，k∈Z，根据函数图象得出2018−|x0|>1，从而求出k的范围，即x0的个数．【解答】∵x0是函数f(x)=sinπx2的极值点，∴x0=2k+1，k∈Z．作出f(x)与y=x的函数图象，如图：由图象可知当−1<x<0或x>1时，f(x)<x．∵f(2018−|x0|)<2018−|x0|，∴2018−|x0|>1，故而|x0|<2017，即|2k+1|<2017，∴−1009<k<1008，k∈Z．∴符合要求的x0的个数为1008−(−1009)−1=20(16)二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）【答案】2【考点】程序框图【解析】直接利用程序框图的应用求出结果．【解答】根据程序框图得：x=log23>1，则程序执行右边的循环，所以：y=log23⋅log32+1=lg3lg2∗lg2lg3+1=2．故输出y=(2)【答案】(−∞, 3]【考点】简单线性规划【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合，即可得到结论．【解答】作出约束条件{y≤2x+y≤1对应的平面区域如图：由z =3x +y 得y =−3x +z ，平移直线y =−3x +z ，由图象可知当直线y =−3x +z ，经过点A 时， 直线的截距最大，此时z 最大． 由{x +y =1x −y =1，解得即A(1, 0)， 此时z max =3×1+0=3，当直线y =−3x +z ，z 没有最小值， ∴ z ∈(−∞, 3]． 【答案】 4n−1+2 【考点】 数列的求和 【解析】根据数列的递推公式可得a n =4n ，n ≥2，再根据求和公式计算即可 【解答】∵ √a 1+√a 2+⋯+√a n =2n+1，①， 当n =1时，√a 1=22=4，即a 1=16，∴ √a 1+√a 2+...+√a n−1=2n ，n ≥2，②， 由①-②可得√a n =2n ， ∴ a n =4n ，当n =1时，a 1=4≠16， ∴ a n ={16,n =14n ,n ≥2 ，∴ S n =16+16(1−4n−1)1−4=16+163(4n−1−1)，∴ 316S n =3+4n−1−1=4n−1+2， 【答案】 √39【考点】直线与抛物线的位置关系 【解析】画出图形，利用三角形的边长关系，推出距离的最小值时的情形，利用角的关系，求出PF 的方程，利用直线与抛物线的交点，求解三角形的面积即可． 【解答】显然|E′F′|≥|PF′|−|PE′|=|PF|−|PE|=1，即|E′F′|的最小值为1， 仅当P 、E 、F 共线且点E′在P 、F′之间时取等号， 此时∠E′PE =∠FPE =∠EPF′=120∘， 即直线PF 的斜率为−√3（取√3也可）， 联立{y =−√3(x −1)y 2=4x，可得p(13, 2√33)， 故三角形PEF 的面积为：12×13×2√33=√39． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【答案】(Ⅰ)由已知及cos(B+C)=−cosA，得√3sinA+cosA=1，——————————————————————————-即2sin(A+π6)=1，得sin(A+π6)=12，———————————————————–又π6<A+π6<7π6，∴A+π6=5π6，即A=2π3；———————————————————————————————–(Ⅱ)由已知及正弦定理得b+c=8a7=8，————————————————————–由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，得49=(b+c)2−2bc+bc=64−bc，———————————————————–解得bc=15，——————————————————————————————-∴△ABC的面积为S=12bcsinA=15√34．———————————————————–【考点】正弦定理余弦定理【解析】(Ⅰ)由已知及三角函数恒等变换的应用可得sin(A+π6)=12，结合范围π6<A+π6<7π6，可求A的值．(Ⅱ)由已知及正弦定理，余弦定理可解得bc=15，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为1(Ⅰ)由已知及cos(B+C)=−cosA，得√3sinA+cosA=1，——————————————————————————-即2sin(A+π6)=1，得sin(A+π6)=12，———————————————————–又π6<A+π6<7π6，∴A+π6=5π6，即A=2π3；———————————————————————————————–(Ⅱ)由已知及正弦定理得b+c=8a7=8，————————————————————–由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，得49=(b+c)2−2bc+bc=64−bc，———————————————————–解得bc=15，——————————————————————————————-∴△ABC的面积为S=12bcsinA=15√34．———————————————————–【答案】∴ PE ⊥平面ABC ， ∴ PE ⊥AB ，又PD ⊥AB ，PE ∩PD =P ， ∴ AB ⊥平面PED ，又EF // AB ，∴ EF ⊥平面PED ，又EF ⊂平面PEF ，∴ 平面PEF ⊥平面PED ；(Ⅱ)解∵ 平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC =AC ，BE ⊥AC ， ∴ BE ⊥平面PAC ，以点E 为坐标原点，EA 所在的直线为x 轴，EB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系如图示，则E(0, 0, 0)，A(1, 0, 0)，B(0, √3, 0)，P(0, 0, √3)， EB →=(0,√3,0)，PA →=(1,0,−√3)，AB →=(−1,√3,0)， 设m →=(a,b,c)为平面PAB 的一个法向量，则由{m →∗PA →=a −√3c =0m →∗AB →=−a +√3b =0 ，取c =1，得m →=(√3,1,1)， 设二面角E −PA −D 的大小为θ，则cosθ=m →∗EB→|m →|∗|EB →|=√3√5×√3=√55， ∴ sinθ=2√55，即二面角E −PA −D 的正弦值为2√55．【考点】平面与平面垂直二面角的平面角及求法 【解析】(Ⅰ)由已知结合三角形中位线定理可得EF // AB ，在正三角形PAC 中，得PE ⊥AC ，再由面面垂直的性质可得PE ⊥平面ABC ，得到PE ⊥AB ，又PD ⊥AB ，由线面垂直的判定得AB ⊥平面PED ，有EF ⊥平面PED ，进一步得到平面PEF ⊥平面PED ；(Ⅱ)平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC =AC ，BE ⊥AC ，可得BE ⊥平面PAC ，以点E 为坐标原点，EA 所在的直线为x 轴，EB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面EPA 与PAD 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E −PA −D 的正弦值． 【解答】∴ PE ⊥平面ABC ， ∴ PE ⊥AB ，又PD ⊥AB ，PE ∩PD =P ， ∴ AB ⊥平面PED ，又EF // AB ，∴ EF ⊥平面PED ，又EF ⊂平面PEF ，∴ 平面PEF ⊥平面PED ；(Ⅱ)解∵ 平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC =AC ，BE ⊥AC ， ∴ BE ⊥平面PAC ，以点E 为坐标原点，EA 所在的直线为x 轴，EB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系如图示，则E(0, 0, 0)，A(1, 0, 0)，B(0, √3, 0)，P(0, 0, √3)， EB →=(0,√3,0)，PA →=(1,0,−√3)，AB →=(−1,√3,0)， 设m →=(a,b,c)为平面PAB 的一个法向量，则由{m →∗PA →=a −√3c =0m →∗AB →=−a +√3b =0 ，取c =1，得m →=(√3,1,1)， 设二面角E −PA −D 的大小为θ，则cosθ=m →∗EB→|m →|∗|EB →|=√3√5×√3=√55， ∴ sinθ=2√55，即二面角E −PA −D 的正弦值为2√55．【答案】（1）依题意得y ={1900,x ≤19250x −2850,x >19 ，(x ∈N ∗)．—————————————— (2)(ⅰ)由条形图知，p(n =16)=0.06，P(n =17)=0.16，p(n =18)=0.24，p(n =19)=0.24，故p(n ≤18)=p(n =16)+p(n =17)+p(n =18)=0.46，———————————— p(n ≤19)=p(n ≤18)+p(n =19)=0.46+0.24=0.70，————————————– 由上可知，需更换的零件数不大于18的概率为0.46，不大于19的概率为0.7，故n 的最小值为（19）−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−(ⅱ)n 取19或20，即每台机器在购机同时都购买19个或20个易损零件，设1台机器在购则y 1的可能取值为：1900，2150，24(00)且p(y 1=1900)=0.7，p(y 1=2150)=0.2，p(y 1=2400)=0.1，故Ey 1=1900×0.7+2150×0.2+2400×0.1=2000 （元）———————————– y 2的可能取值为：2000，22(50)且p(y 2=2000)=0.9，p(y 2=2250)=0.1，故E(y 2)=2000×0.9+2250×0.1=2025（元）———————————————— Ey 1<Ey 2，所以购买1台机器的同时应购买19个易损零件．——————————–【考点】频率分布直方图离散型随机变量的期望与方差 【解析】(I)n =19，依题意能求出y 与x 的函数解析式．(Ⅱ)(ⅰ)由条形图知，p(n =16)=0.06，P(n =17)=0.16，p(n =18)=0.24，p(n =19)=0.24，由此能求出n 的最小值．(ⅱ)n 取19或20，即每台机器在购机同时都购买19个或20个易损零件，设1台机器在购买易损零件上所需的费用分别为y 1元和y 2元，则y 1的可能取值为：1900，2150，24(00)y 2的可能取值为：2000，22(50)分别求出数学期望得Ey 1<Ey 2，从而购买1台机器的同时应购买19个易损零件． 【解答】（1）依题意得y ={1900,x ≤19250x −2850,x >19 ，(x ∈N ∗)．—————————————— (2)(ⅰ)由条形图知，p(n =16)=0.06，P(n =17)=0.16，p(n =18)=0.24，p(n =19)=0.24，故p(n ≤18)=p(n =16)+p(n =17)+p(n =18)=0.46，———————————— p(n ≤19)=p(n ≤18)+p(n =19)=0.46+0.24=0.70，————————————– 由上可知，需更换的零件数不大于18的概率为0.46，不大于19的概率为0.7，故n 的最小值为（19）−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−(ⅱ)n 取19或20，即每台机器在购机同时都购买19个或20个易损零件，设1台机器在购买易损零件上所需的费用分别为y 1元和y 2元， 则y 1的可能取值为：1900，2150，24(00)且p(y 1=1900)=0.7，p(y 1=2150)=0.2，p(y 1=2400)=0.1，故Ey 1=1900×0.7+2150×0.2+2400×0.1=2000 （元）———————————– y 2的可能取值为：2000，22(50)且p(y 2=2000)=0.9，p(y 2=2250)=0.1，故E(y 2)=2000×0.9+2250×0.1=2025（元）———————————————— Ey 1<Ey 2，所以购买1台机器的同时应购买19个易损零件．——————————–【答案】(Ⅰ)设A(x 1, y 1)，依题意得点C(−x 1, −y 1)， 则S △PAC =12|OP|⋅2|x 1|=12|x 1|， ∵ 点A 在椭圆T:x 24+y 2=1上，∴ |x 1|≤2，∴ S △PAC =12|x 1|≤1（当且仅当x 1=±2时等号成立） ∴ △PAC 面积的最大值为1；(Ⅱ)证法1：当直线AP 的斜率存在时，设其方程为y =kx +12，由{x 24+y 2=1y =kx +12 ，消去y ，得(1+4k 2)x 2+4kx −3=0， 设B(x 2, y 2)，由韦达定理，得{x 1+x 2=−4k1+4k 2x 1x 2=−31+4k2， 而由AP →=mPB →，得(−x 1, 12−y 1)=m(x 2, y 2−12)，故−x 1=mx 2，x 2=−x1m ，代入①、②，得{(1−1m )=−4k1+4k 2−x 12m =−31+4k 2 ， 两式相除，得k =3(1−m)4x 1，代入④，整理得9m 2−30m +4x 12+9=0；对于射线CP ，同样的方法可得9n 2−30n +4x 12+9=0，故m ，n 是方程9x 2−30x +4x 12+9=0的两个根，由韦达定理，m +n =103；当直线AP 的斜率不存在时，点A 为椭圆T 的上顶点或下顶点， 当点A 为(0, 1)时，则B 、C 重合于点((0)−1)，D 、A 重合， 由AP →=mPB →，CP →=nPD →，得m =13，n =3，这时m +n =103；若点A 为椭圆T 的下顶点(0, −1)，同理可得m +n =103；综上可知m +n 为定值，该值为103．证法2：当直线AP 的斜率存在时，这时点A 不在y 轴上，即x 1≠0， 设其方程为y =kx +12，x 22设B(x 2, y 2)，由韦达定理，得x 1x 2=−31+4k 2， 又k =y 1−12x 1，代入上式得x 2=−3x1x 12+4(y 1−12)2，由AP →=mPB →，得(−x 1, 12−y 1)=m(x 2, y 2−12)，故−x 1=mx 2，∴ m =−x1x 2=x 12+4(y 1+12)23对于射线CP ，同样的方法可得n =x 12+4(y 1+12)23，∴ m +n =2(x 12+4y 22)+23=103．当直线AP 的斜率不存在时，点A 为椭圆T 的上顶点或下顶点，当点A 为(0, 1)时，则B 、C 重合于点((0)−1)，D 、A 重合，当直线AP 的斜率不存在时，点A 为椭圆T 的上顶点或下顶点，当点A 为(0, 1)时， 则B 、C 重合于点((0)−1)，D 、A 重合，由AP →=mPB →，CP →=nPD →，得m =13，n =3，这时m +n =103；若点A 为椭圆T 的下顶点(0, −1)，同理可得m +n =103；综上可知m +n 为定值，该值为103．【考点】 圆锥曲线 【解析】(Ⅰ)设A(x 1, y 1)，依题意得点C(−x 1, −y 1)，表示出△PAC 面积，即可求出最大值， (Ⅱ)证法1：当直线AP 的斜率存在时，设其方程为y =kx +12，根据根与系数的关系可得m ，n 是方程9x 2−30x +4x 12+9=0的两个根，由韦达定理，m +n =103；证法2：当直线AP 的斜率存在时，这时点A 不在y 轴上，即x 1≠0，设其方程为y =kx +12，根据根与系数的关系，求出m ，n ，即可求出m +n 的值． 【解答】(Ⅰ)设A(x 1, y 1)，依题意得点C(−x 1, −y 1)， 则S △PAC =12|OP|⋅2|x 1|=12|x 1|， ∵ 点A 在椭圆T:x 24+y 2=1上，∴ |x 1|≤2，∴ S △PAC =12|x 1|≤1（当且仅当x 1=±2时等号成立） ∴ △PAC 面积的最大值为1；(Ⅱ)证法1：当直线AP 的斜率存在时，设其方程为y =kx +12，由{x 24+y 2=1，消去y ，得(1+4k 2)x 2+4kx −3=0，设B(x 2, y 2)，由韦达定理，得{x 1+x 2=−4k1+4k 2x 1x 2=−31+4k2， 而由AP →=mPB →，得(−x 1, 12−y 1)=m(x 2, y 2−12)，故−x 1=mx 2，x 2=−x1m ，代入①、②，得{(1−1m )=−4k1+4k −x 12m=−31+4k， 两式相除，得k =3(1−m)4x 1，代入④，整理得9m 2−30m +4x 12+9=0；对于射线CP ，同样的方法可得9n 2−30n +4x 12+9=0，故m ，n 是方程9x 2−30x +4x 12+9=0的两个根，由韦达定理，m +n =103；当直线AP 的斜率不存在时，点A 为椭圆T 的上顶点或下顶点， 当点A 为(0, 1)时，则B 、C 重合于点((0)−1)，D 、A 重合， 由AP →=mPB →，CP →=nPD →，得m =13，n =3，这时m +n =103；若点A 为椭圆T 的下顶点(0, −1)，同理可得m +n =103；综上可知m +n 为定值，该值为103．证法2：当直线AP 的斜率存在时，这时点A 不在y 轴上，即x 1≠0， 设其方程为y =kx +12，由{x 24+y 2=1y =kx +12，消去y ，得(1+4k 2)x 2+4kx −3=0， 设B(x 2, y 2)，由韦达定理，得x 1x 2=−31+4k 2， 又k =y 1−12x 1，代入上式得x 2=−3x1x 12+4(y 1−12)2，由AP →=mPB →，得(−x 1, 12−y 1)=m(x 2, y 2−12)，故−x 1=mx 2，∴ m =−x1x 2=x 12+4(y 1+12)23对于射线CP ，同样的方法可得n =x 12+4(y 1+12)23，∴ m +n =2(x 12+4y 22)+23=103．当直线AP 的斜率不存在时，点A 为椭圆T 的上顶点或下顶点，当点A 为(0, 1)时，则B 、C 重合于点((0)−1)，D 、A 重合，当直线AP 的斜率不存在时，点A 为椭圆T 的上顶点或下顶点，当点A 为(0, 1)时， 则B 、C 重合于点((0)−1)，D 、A 重合，由AP →=mPB →，CP →=nPD →，得m =13，n =3，这时m +n =103；综上可知m +n 为定值，该值为103． 【答案】（1）f(x)=|e x −e|+e x +ax ={ax +e,x <12e x+ax −e,x ≥1 ， f′(x)={a,x <12e x +a,x ≥1，①若a >0，显然f′(x)>0恒成立，f(x)在R 上单调递增；———————–②若−2e ≤a <0，当x <1时，f′(x)=a <0，当x ≥1时，f′(x)=2e x +a ≥0， 故f(x)在(−∞, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增；—————————————- ③若a <−2e ，当x <1时，f′(x)=a <0，当x ≥1时，由2e x +a <0，得1≤x <ln(−a 2)，由2e x +a >0，得x >ln(−a2)， 故f(x)在（−∞, ln(−a 2)）上单调递减，在(ln(−a2)，+∞)上单调递增；—————– （2）证法1：∵ a <−e ，故f(1)=a +e <0，结合f(x)的单调性知，f(x)的两个零点x 1和x 2满足ax 1+e =0以及2e x 2+ax 2−e =0，且x 1<1<x 2，—- ∴ a =e−2e x 2x 2，x 1=−ea =ex22e x 2−e ，于是x 1x 2=ex 222e x 2−e，————————-令g(x)=ex 22e −e，(x >1)则g′(x)=2ex(2e x −e−xe x )(2e x −e)2，—————————-记ℎ(x)=2e x −e −xe x ，x >1， 则ℎ′(x)=e x −xe x <0，∴ ℎ(x)在(1, +∞)上单调递减，ℎ(x)<ℎ(1)=0，故g′(x)<0， 即函数 g(x)在(1, +∞)上单调递减， ∴ g(x)<g(1)=1，∴ x 1x 2<1，—————————————————————————————- 又f(x)在(−∞, 1)上单调递减，∴ f(x 1x 2)>a +e −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−证法2：∵ a <−e ，故f(1)=a +e <0，结合f(x)的单调性知，f(x)的两个零点x 1和x 2满足ax 1+e =0以及2e x 2+ax 2−e =0，且x 1<1<x 2，—- 要证明f(x 1x 2)>a +e ，只需证x 1x 2<1，即证x 1<1x 2，————————–注意到x 1、1x 2∈(−∞, 1)，且f(x)在(−∞, 1)上单调递减，故只需证f(x 1)>f(1x 2)，即证f(1x 2)<0，————————————–而f(1x 2)=a ⋅1x 2+e =e−2e x 2+ex 22x 22，记g(x)=e −2e x +ex 2，x ∈(1, +∞)，g′(x)=−2e x +2ex ，记ℎ(x)=g′(x)=−2e x +2ex ，x ∈(1, +∞)，则ℎ′(x)=−2e x +2e <0， 故ℎ(x)即g′(x)单调递减，g′(x)<g′(1)=0，————————————-于是f(1x 2)<0成立，原题得证．———————————————————-】【考点】利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的最值 【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可； (Ⅱ)法一：表示出a ，得到x 1x 2=ex 222e x 2−e，令g(x)=ex 22e x −e，(x >1)，求出函数的导数，记ℎ(x)=2e x −e −xe x ，x >1，根据函数的单调性证明即可； 法二：问题转化为证x 1<1x 2，即证f(1x 2)<0，而f(1x 2)=a ⋅1x 2+e =e−2e x 2+ex 22x 22，记g(x)=e −2e x +ex 2，x ∈(1, +∞)，根据函数的单调性证明即可． 【解答】（1）f(x)=|e x −e|+e x +ax ={ax +e,x <12e x+ax −e,x ≥1 ， f′(x)={a,x <12e x +a,x ≥1，①若a >0，显然f′(x)>0恒成立，f(x)在R 上单调递增；———————–②若−2e ≤a <0，当x <1时，f′(x)=a <0，当x ≥1时，f′(x)=2e x +a ≥0， 故f(x)在(−∞, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增；—————————————- ③若a <−2e ，当x <1时，f′(x)=a <0，当x ≥1时，由2e x +a <0，得1≤x <ln(−a 2)，由2e x +a >0，得x >ln(−a2)， 故f(x)在（−∞, ln(−a 2)）上单调递减，在(ln(−a2)，+∞)上单调递增；—————– （2）证法1：∵ a <−e ，故f(1)=a +e <0，结合f(x)的单调性知，f(x)的两个零点x 1和x 2满足ax 1+e =0以及2e x 2+ax 2−e =0，且x 1<1<x 2，—- ∴ a =e−2e x 2x 2，x 1=−ea =ex22e x 2−e ，于是x 1x 2=ex 222e x 2−e，————————-令g(x)=ex 22e x −e，(x >1)则g′(x)=2ex(2e x −e−xe x )(2e x −e)2，—————————-记ℎ(x)=2e x −e −xe x ，x >1， 则ℎ′(x)=e x −xe x <0，∴ ℎ(x)在(1, +∞)上单调递减，ℎ(x)<ℎ(1)=0，故g′(x)<0， 即函数 g(x)在(1, +∞)上单调递减， ∴ g(x)<g(1)=1，∴ x 1x 2<1，—————————————————————————————- 又f(x)在(−∞, 1)上单调递减，∴ f(x 1x 2)>a +e −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−证法2：∵ a <−e ，故f(1)=a +e <0，结合f(x)的单调性知，f(x)的两个零点x 1和x 2满足ax 1+e =0以及2e x 2+ax 2−e =0，且x 1<1<x 2，—-注意到x 1、1x 2∈(−∞, 1)，且f(x)在(−∞, 1)上单调递减，故只需证f(x 1)>f(1x 2)，即证f(1x 2)<0，————————————–而f(1x 2)=a ⋅1x 2+e =e−2e x 2+ex 22x 22，记g(x)=e −2e x +ex 2，x ∈(1, +∞)，g′(x)=−2e x +2ex ，记ℎ(x)=g′(x)=−2e x +2ex ，x ∈(1, +∞)，则ℎ′(x)=−2e x +2e <0， 故ℎ(x)即g′(x)单调递减，g′(x)<g′(1)=0，————————————- 故g(x)单调递减，g(x)<g(1)=0，于是f(1x 2)<0成立，原题得证．———————————————————-】请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修44：坐标系与参数方程] 【答案】解：(1)直线l 1的参数方程为{x =−4t +2y =kt （t 为参数），转换为：直线l 1的普通方程为−4y =k(x −2)；直线l 2的参数方程为{x =m −2y =m k（m 为参数），转换为：直线l 2的普通方程为y =x+2k，联立两方程消去k ，得：−4y 2=x 2−4，即曲线C 的普通方程为：x 2+4y 2=4，由{x =ρcosθy =ρsinθ，得曲线C 的极坐标方程为：ρ2(cos 2θ+4sin 2θ)=4； 化简得：ρ2(1+3sin 2θ)=4.(2)把θ=π6代入ρ2(1+3sin 2θ)=4， 得ρ2(1+3×14)=4， ∴ ρ2=167，故得ρA =√7 由已知|OB|=√7|OA|得ρB =√7ρA =4，把θ=π6，ρB =4代入直线l 3的方程l 3:ρsin(θ+φ)−2√2=0， 得sin(π6+φ)=√22， 又∵ 0<φ<π2， ∴ π6<π6+φ<2π3，∴ π6+φ=π4， π【考点】直线的参数方程参数方程与普通方程的互化【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(Ⅱ)利用极坐标方程和三角函数的恒等变换求出结果．【解答】解：(1)直线l 1的参数方程为{x =−4t +2y =kt（t 为参数）， 转换为：直线l 1的普通方程为−4y =k(x −2)；直线l 2的参数方程为{x =m −2y =m k（m 为参数），转换为：直线l 2的普通方程为y =x+2k ，联立两方程消去k ，得：−4y 2=x 2−4，即曲线C 的普通方程为：x 2+4y 2=4，由{x =ρcosθy =ρsinθ，得曲线C 的极坐标方程为：ρ2(cos 2θ+4sin 2θ)=4； 化简得：ρ2(1+3sin 2θ)=4.(2)把θ=π6代入ρ2(1+3sin 2θ)=4，得ρ2(1+3×14)=4，∴ ρ2=167，故得ρA =√7 由已知|OB|=√7|OA|得ρB =√7ρA =4，把θ=π6，ρB =4代入直线l 3的方程l 3:ρsin(θ+φ)−2√2=0， 得sin(π6+φ)=√22， 又∵ 0<φ<π2， ∴ π6<π6+φ<2π3， ∴ π6+φ=π4，解得：φ=π12．[选修45：不等式选讲]【答案】(Ⅰ)当a =1时，不等式f(x)>3，即f(x)=|x+1|+|x−1||x|>3，—————①当x <−1时，得f(x)=2>3，无解；——————————————————– ②当−1≤x ≤1时，得f(x)=2|x|>3，解得|x|<23，得−23<x <0或0<x <23；———————————————————————③当x >1时，得f(x)=2>3，无解；———————————————————- 综上知，不等式的解集为(−23, 0)∪(0, 23)．—————————————————- (Ⅱ)f(a)=|a 2+1|+|a 2−1||a|=a 2+1+|a 2−1||a|，——————————————— ①当a <−1或a >1时，f(a)=2a 2|a|=2|a|>2，—————————————— ②当−1≤a ≤1时，f(a)=2|a|≥2，———————————————————–综上知，f(a)的最小值为（2）−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】(Ⅰ)通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；(Ⅱ)求出f(a)的表达式，通过讨论a 的范围，结合不等式的性质求出f(a)的最小值即可．【解答】(Ⅰ)当a =1时，不等式f(x)>3，即f(x)=|x+1|+|x−1||x|>3，—————①当x <−1时，得f(x)=2>3，无解；——————————————————– ②当−1≤x ≤1时，得f(x)=2|x|>3，解得|x|<23，得−23<x <0或0<x <23；———————————————————————③当x >1时，得f(x)=2>3，无解；———————————————————- 综上知，不等式的解集为(−23, 0)∪(0, 23)．—————————————————- (Ⅱ)f(a)=|a 2+1|+|a 2−1||a|=a 2+1+|a 2−1||a|，——————————————— ①当a <−1或a >1时，f(a)=2a 2|a|=2|a|>2，—————————————— ②当−1≤a ≤1时，f(a)=2|a|≥2，———————————————————–综上知，f(a)的最小值为（2）−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−。
广东省揭阳市2018年高三高考第二次模拟考试理科数学试题(解析版)
揭阳市2018年高中毕业班高考第二次模拟考试数学(理科)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先由题意求得集合A,B，然后结合所给的选项逐一考查其真假即可，需注意集合运算的准确性.详解：求解函数的定义域可得：，求解指数不等式可得：，据此可得：，，，，结合选项可知只有选项B正确.本题选择B选项.点睛：本题主要考查集合的表示方法，集合的交并运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2. 已知复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】分析：首先求得复数z，然后求解器共轭复数，随后确定共轭复数所在的象限即可.详解：由题意可得：，则，即的共轭复数对应的点为，位于第一象限.本题选择A选项.点睛：本题主要考查复数的运算，共轭复数的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 平面直角坐标系中，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，向量，以下说法正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：首先利用向量的坐标表示方法写出的坐标表示，然后结合选项逐一考查其是否正确即可.详解：由题意可设，则：，考查所给的选项：，选项A错误；，故，选项B错误；，故，即，选项C正确；不存在实数满足，则不成立，选项D错误.本题选择C选项.点睛：本题主要考查平面向量的坐标运算，平面向量的垂直、平行的判定方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4. 已知直线、，平面、、，下列命题正确的是（）A. 若，，，则B. 若，，，则C. 若，，则D. 若，，，则【答案】A【解析】分析：由题意利用线面关系的判定定理和性质定理逐一考查所给命题是否正确即可，注意定理运用的准确性.详解：逐一考查所给的选项：A.若，，，则，该说法正确；B.若，，，在三棱锥中，令平面分别为平面，交线为，不满足，该说法错误；C.若，，有可能，不满足，该说法错误；D.若，，，正方体中，取平面为平面,直线为，满足，不满足，该说法错误.本题选择A选项.点睛：本题主要考查线面关系相关命题真假的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5. 已知直线与相交于、两点，且，则实数的值为（）A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】分析：首先将圆的方程整理为标准方程，结合等腰三角形的性质和点到直线距离公式得到关于实数a的方程，解方程即可求得最终结果.详解：圆的方程整理为标准方程即：，作于点，由圆的性质可知△ABO为等腰三角形，其中，则，即圆心到直线的距离为，据此可得：，即，解得：或.本题选择D选项.点睛：本题主要考查圆的方程的应用，点到直线距离公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6. 已知的展开式中常数项为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：首先写出展开式的通项公式，然后结合题意得到关于实数a的方程，解方程即可求得最终结果. 详解：展开式的通项公式为：，令可得：，结合题意可得：，即.本题选择C选项.点睛：本题主要考查二项式定理的通项公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7. 已知函数的部分图象如图所示，则的值为（）A. 或B.C.D. 或【答案】C【解析】分析：首先由函数的周期求得的值，然后结合函数的对称中心求得的值即可，注意合理应用题中所给的的范围.详解：由题意可得函数的周期，则，当时，，则，令可得：.本题选择C选项.点睛：本题主要考查三角函数图像的性质，三角函数解析式的确定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8. 在如图的程序框图中，输出的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：首先确定该流程图的功能，然后结合选项考查所给的数值是否满足流程图的输出即可.详解：由流程图可知该流程图输出大于的最小正整数，且满足，观察选项：不是3的倍数，选项C错误；，，，而，，选项AB错误；，，则53满足题意.本题选择D选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．9. 已知双曲线的焦距为，、是其左、右焦点，点在双曲线右支上，的周长为，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意结合焦点三角形的性质求得左焦半径的表达形式，结合双曲线的性质和题意求解的取值范围即可.详解：设，由双曲线的定义可得：，①由题意可得：，②联立①②可得：，在双曲线中：，则：，即的取值范围是.本题选择C选项.点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、||PF1|-|PF2||＝2a，得到a，c的关系．10. 如图是某几何体的三视图，图中每个小正方形的边长为，则此几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意首先确定该三视图对应的几何体，然后结合几何体的空间结构求解该组合体的体积即可.详解：由已知中的三视图可得：该几何体是棱长为2的正方体截去两个角所得的组合体,其直观图如下图所示:故组合体的体积.本题选择B选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．11. 过抛物线上两点、分别作切线，若两条切线互相垂直，则线段的中点到抛物线准线的距离的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先求得抛物线的斜率，然后结合直线垂直的充要条件得到横坐标的关系，最后利用均值不等式求解最值即可，注意等号成立的条件.详解：抛物线的方程即：，则，设，则过A,B两点切线的斜率为：，由题意可得：，由题意可知抛物线的直线方程为，则线段的中点到抛物线准线的距离为：，当且仅当时等号成立.据此可得线段的中点到抛物线准线的距离的最小值为1.本题选择B选项.点睛：本题的实质是在考查基本不等式求最值.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．12. 把函数的图象向右平移一个单位，所得图象与函数的图象关于直线对称；已知偶函数满足，当时，；若函数有五个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意分别确定函数f(x)的图象性质和函数h(x)图象的性质，然后数形结合得到关于k的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.详解：曲线右移一个单位，得，所以g(x)=2x，h(x-1)=h(-x-1)=h(x+1)，则函数h(x)的周期为2.当x∈[0,1]时，，y=kf(x)-h(x)有五个零点，等价于函数y=kf(x)与函数y=h(x)的图象有五个公共点.绘制函数图像如图所示，由图像知kf（3）<1且kf（5）>1，即：，求解不等式组可得：.即的取值范围是。
广东省揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试理科数学试题(名师解析)
揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试数学（理科）本试卷共23题，共150分，共4页，考试结束后将本试卷和答题卡一并收回．注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题目的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数的虚部是( )A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】【分析】先用复数除法运算化简，由此求得其虚部.【详解】依题意，故虚部为.所以选C.【点睛】本小题主要考查复数除法的运算，考查复数虚部的概念，属于基础题.2.已知集合，，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解分式不等式求得集合的取值范围，然后求两个集合的交集.【详解】对于集合,由得，解得，故，所以选C.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查两个集合交集的概念及运算，属于基础题.3.已知命题若，则；命题、是直线，为平面，若//,，则//.下列命题为真命题的是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用两边平分的方法判断命题是真命题，利用线面平行的性质判断命题是假命题，由此选出正确的选项. 【详解】对于命题，将两边平方，可得到，故命题为真命题.对于命题，直线，但是有可能是异面直线，故命题为假命题，为真命题.所以为真命题，故选B.【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查线面平行以及两条直线的位置关系，考查含有简单逻辑词命题真假性的判断，属于基础题.4.如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确．．．的是( )A. 从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；B. 2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；C. 2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番；D. 为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为）建立了投资额y与时间变量t的线性回归模型，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.【答案】D【解析】【分析】根据图像所给的数据，对四个选项逐一进行分析排除，由此得到表述不正确的选项.【详解】对于选项，由图像可知，投资额逐年增加是正确的.对于选项，投资总额为亿元，小于年的亿元，故描述正确.年的投资额为亿，翻两翻得到，故描述正确.对于选项，令代入回归直线方程得亿元，故选项描述不正确.所以本题选D.【点睛】本小题主要考查图表分析能力，考查利用回归直线方程进行预测的方法，属于基础题.5.函数的图象大致为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别令，根据的函数值，对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】由四个选项的图像可知，令，，由此排除C选项.令，，由此排除B选项.由于，排除D选项.故本小题选A.【点睛】本小题主要考查函数图像的判断，考查利用特殊点排除的方法，属于基础题.6.若满足约束条件，则的最小值为( )A. 1B. 2C. -2D. -1【答案】D【解析】【分析】画出可行域，通过向下平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最小值，且最大值为.故选D.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画图可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.7.若，，，则的大小关系为( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先利用对数运算比较的大小，同理利用对数运算比较的大小，由此得到大小关系.【详解】由于，即.由于，即.所以，故选A.【点睛】本小题主要考查对数的运算公式，考查比较大小的方法，属于属于基础题.8.若点在抛物线上，记抛物线的焦点为，直线与抛物线的另一交点为B，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将点的坐标代入抛物线方程求得的值，由此求得焦点的坐标，由此求得的值，联立直线的方程与抛物线的方程求得点的坐标，由此求得的值，而的夹角为，最后利用数量积的运算求得的值【详解】依题意易得，，由抛物线的定义得，联立直线AF的方程与抛物线的方程消去y 得，得, 则,故 .故选D.【点睛】本小题主要考查抛物线标准方程的求法，考查直线和抛物线交点坐标的求法，考查了向量数量积的运算.属于基础题.9.某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为( )A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】有三视图得到几何体为圆锥，设出圆锥的底面半径和母线长，根据主视图的周长得到一个等量关系，然后利用基本不等式求得侧面积的最大值.【详解】由三视图知，该几何体为圆锥，设底面的半径为r ，母线的长为，则，又S侧=（当且仅当时“=”成立）.故选C.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，考查圆锥的侧面积计算公式，考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 10.已知在区间上，函数与函数的图象交于点P ，设点P 在x 轴上的射影为，的横坐标为，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】利用两个函数图像相交，交点的坐标相同列方程，化简后求得的值，再利用正切的二倍角公式求得的值.【详解】依题意得，即..故选B.【点睛】本小题主要考查两个函数交点的性质，考查同角三角函数的基本关系式，考查正切的二倍角公式，属于基础题.11.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，坐标原点O关于点的对称点为P，点P到双曲线的渐近线距离为，过的直线与双曲线C右支相交于M、N两点，若，的周长为10，则双曲线C的离心率为( )A. B. 2 C. D. 3【答案】B【解析】【分析】依题意得到点的坐标，利用点到渐近线的距离列方程，求得的值，根据双曲线的定义得周长的表达式，由此列方程求得，的值，进而求得双曲线的离心率.【详解】依题意得点P，，由双曲线的定义得周长为，由此得，，故．【点睛】本小题主要考查点和点对称的问题，考查点到直线距离公式，考查双曲线的定义以及双曲线离心率的求法，考查分析与求解的能力.属于中档题.双曲线的渐近线方程是.根据双曲线的定义，双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值为.12.如图，在三棱柱中，底面，∠ACB=90°，为上的动点，则的最小值为( )A. B. C. 5 D.【答案】C【解析】【分析】易得平面，故∠.将二面角沿展开成平面图形，此时的长度即的最小值，利用余弦定理求出这个最小值.【详解】由题设知△为等腰直角三角形，又平面，故∠=90°，将二面角沿展开成平面图形，得四边形如图示，由此，要取得最小值，当且仅当三点共线，由题设知∠,由余弦定理得.【点睛】本小题主要考查空间线面垂直关系的证明，考查空间两条线段长度和的最小值的求法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.的展开式中的系数为_______；【答案】224【解析】【分析】先求得二项式展开式的通项公式，化简后求得的系数.【详解】二项式展开式的通项公式为，令，解得，故的系数为.【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查二项式展开式指定项的系数，属于基础题.14.若向量、不共线，且，则_______；【答案】3【解析】【分析】先利用，求出的值，再求的值.【详解】由于，故，即，即，解得，当时，，两者共线，不符合题意.故.所以.【点睛】本小题主要考查平面向量垂直的表示，考查向量模的坐标表示，考查两个向量数量积的坐标表示.如果两个平面向量相互垂直，则它们的数量积为零.数量积运算有两种表示形式，一种是利用模和夹角来表示，即.另一种是用坐标来表示，即.15.已知函数，若，则实数的取值范围是_________；【答案】【解析】【分析】先判断函数是增函数且为奇函数，利用单调性和奇偶性将不等式转化为，解不等式求得的取值范围.【详解】因函数为增函数，且为奇函数，，，解得.【点睛】本小题主要考查函数的单调性，考查函数的奇偶性，考查利用单调性和奇偶性解抽象函数不等式，属于基础题.16.已知，则______.【答案】【解析】【分析】利用两角和的正弦、余弦公式，化简，由此求得函数的最小正周期，根据及函数的周期性，求得表达式的值.【详解】依题意可得,其最小正周期,且故【点睛】本小题主要考查三角函数恒等变换，考查两角和的正弦公式以及余弦公式，考查三角函数的周期性以及特殊角的三角函数值.两角和与差的正弦、余弦公式是有差别的，要记忆准确，不能记混.在求有关年份的题目时，往往是根据题目所给已知条件，找到周期，再根据周期性来求解.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分17.已知数列的前n项和为，且满足，.（1）求数列的通项公式；（2）若等差数列的前n项和为，且，，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）令，求得的值，用求得的通项公式.（2）利用（1）的结论求得的值，利用基本元的思想求得的公差及通项公式，再利用裂项求和法求得前项和.【详解】解：（1）当时，，由得（），两式相减得，又，∴（），又，∴（），显然，，即数列是首项为3、公比为3的等比数列，∴；（2）设数列的公差为d，则有，由得，解得，∴，又∴．【点睛】本小题主要考查数列已知求的方法，考查利用基本元的思想求解等差数列的通项公式，考查裂项相消求和法.基本元的思想是在等差数列中有个基本量，利用等差数列的通项公式或前项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列18.如图，在三棱锥P-ABC中，正三角形PAC所在平面与等腰三角形ABC所在平面互相垂直，AB＝BC，O是AC中点，OH⊥PC于H.（1）证明：PC⊥平面BOH；（2）若，求二面角A-BH-O的余弦值．【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明平面，得到，结合已知，证得平面.（2）以为空间坐标原点建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.【详解】解：（1）∵AB＝BC，O是AC中点，∴ BO⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，且平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∴ BO⊥平面PAC，∴ BO⊥PC，又OH⊥PC，BO∩OH＝O，∴ PC⊥平面BOH；（2）易知PO⊥AC，又BO⊥平面PAC，如图，以O为原点，OB所在的直线为x轴，建立空间直角坐标系O - xyz，由易知，OC＝2，，，∴ ，，，，，，，设平面ABH的法向量为，则，∴，取x=2，得，由（1）知是平面BHO的法向量，易知，设二面角A-BH-O的大小为，显然为锐角，则，∴ 二面角A-BH-O的余弦值为．【点睛】本小题主要考查空间线面垂直的证明，考查利用空间向量法求二面角余弦值的方法，属于中档题. 19.某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二：周六一天培训4小时，周日测试．公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训，甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表，其中第一、二周达标的员工评为优秀．（1）在甲组内任选两人，求恰有一人优秀的概率；（2）每个员工技能测试是否达标相互独立，以频率作为概率.（i）设公司员工在方式一、二下的受训时间分别为、，求、的分布列，若选平均受训时间少的，则公司应选哪种培训方式？（ii）按（i）中所选方式从公司任选两人，求恰有一人优秀的概率．【答案】（1）（2）（i）应选择培训方式一（ii）【解析】【分析】（1）甲组人中有人优秀，利用超几何分布概率计算公式，计算得“甲组内任选两人，求恰有一人优秀的概率”.（2）可能取值有，根据题目所给数据计算出每种取值对应的频率也即概率，由此得到分布列并其算出期望值.的所有可能取值为，根据题目所给数据计算出每种取值对应的频率也即概率，由此得到分布列并其算出期望值.根据两个期望值较小的即为选择.（3）先计算出从公司任选一人，优秀率为，再按照二项分布的概率计算公式计算得“从公司任选两人，求恰有一人优秀的概率”【详解】解：（1）甲组60人中有45人优秀，任选两人，恰有一人优秀的概率为；（2）（i）的分布列为，的分布列为，∵，∴公司应选培训方式一；（ii）按培训方式一，从公司任选一人，其优秀的概率为，则从公司任选两人，恰有一人优秀的概率为．【点睛】本小题主要考查利用超几何分布和二项分布计算概率，考查离散型随机变量分布列及其期望，属于中档题.20.已知椭圆:的上顶点为A,以A为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆与y轴的交点分别为、.（1）求椭圆的方程；（2）设不经过点A的直线与椭圆交于P、Q两点，且,试探究直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由.【答案】（1）（2）直线过定点【解析】【分析】（1）根据圆的圆心和半径写出圆的标准方程，令求得圆与轴交点的坐标，由此列方程组求得的值，进而求得椭圆的标准方程.（1）根据，利用点斜式设出直线的方程，并分别代入椭圆方程解出两点的坐标，由此求得直线的方程，由此求得定点的坐标为.【详解】解：（1）依题意知点A的坐标为，则以点A圆心，以为半径的圆的方程为:，令得，由圆A与y轴的交点分别为、可得，解得，故所求椭圆的方程为.（2）由得，可知PA的斜率存在且不为0，设直线-① 则-②将①代入椭圆方程并整理得，可得，则，类似地可得，由直线方程的两点式可得：直线的方程为，即直线过定点，该定点的坐标为.【点睛】本小题主要考查圆的标准方程和几何性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程的两点式以及直线过定点的问题.属于中档题.要求直线和椭圆的交点坐标，需要联立直线和椭圆的方程，解方程组求得，这里需要较强的运算能力.直线过定点的问题，往往是将含有参数的部分合并，由此求得直线所过的定点.21.已知函数（，）.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，，求k的取值范围.【答案】（1）详见解析（2）或【解析】【分析】（1）将函数求导并化简，对分成两种情况，讨论函数的单调性.（2）原不等式即（），当时，上述不等式显然成立.当时，将不等式变为，构造函数，利用导数研究函数的单调性，由此求得的取值范围.【详解】解：（1）．①若，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减．②若，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增．∴当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）（），当时，上不等式成立，满足题设条件；当时，，等价于，设，则，设（），则，∴在上单调递减，得．①当，即时，得，，∴在上单调递减，得，满足题设条件；②当，即时，，而，∴，，又单调递减，∴当，，得，∴在上单调递增，得，不满足题设条件；综上所述，或．【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数参数的函数单调性问题，考查利用导数求解含有参数不等式恒成立问题.对函数求导后，由于导函数含有参数，故需要对参数进行分类讨论，分类讨论标准的制定，往往要根据导函数的情况来作出选择，目标是分类后可以画出导函数图像，进而得出导数取得正、负的区间，从而得到函数的单调区间.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.已知曲线C的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两射线、相互垂直，与曲线C分别相交于A、B两点（不同于点O），且的倾斜角为锐角.（1）求曲线C和射线的极坐标方程；（2）求△OAB的面积的最小值，并求此时的值．【答案】（1）C的极坐标方程为，[或]；的极坐标方程为；（2）【解析】【分析】（1）消去参数，求得曲线的普通方程，再转为极坐标方程.射线过原点，根据角度直接写出的极坐标方程.（2）利用极坐标方程求得的表达式，求得三角形面积的表达式，利用三角函数的的最值求得三角形面积的最小值，同时求得的值.【详解】解：（1）由曲线C的参数方程，得普通方程为，由，，得，所以曲线C的极坐标方程为，[或]的极坐标方程为；（2）依题意设，则由（1）可得，同理得，即，∴∵∴，∴，△OAB的面积的最小值为16，此时，得，∴．【点睛】本小题主要考查参数方程转化为极坐标方程，考查利用极坐标求三角形的面积，考查三角函数求最值，属于中档题.23.已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当时，利用零点分段法去绝对值，解一元一次不等式求得不等式的解集.（2）当时，对函数去绝对值后，构造一次函数，一次函数恒大于或等于零，则需区间端点的函数值为非负数，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】解：（1）①当时，，解得，②当时，，解得，③当时，解得，综上知，不等式的解集为.（2）当时，，设，则，恒成立，只需，即，解得【点睛】本小题主要考查利用零点分段法解含有两个绝对值的不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。
【高三数学试题精选】揭阳市2018年高中毕业班第二次高考数学模拟考试题及答案(理科)
----③--------12分
∴或-----④-----------------------------------------------------------------------13分
∵方程④的根判别式，即方程④有两个不相等的实根，且不为1
∴方程③有三个互不相等的实根
∵
∴------------------------------ 4分
∴点的轨迹c是以为焦点，长轴长为4的椭圆------------5分
∴∴--------------------------6分
∴动点的轨迹c的方程为------------------7分]
(2)由（1）知，轨迹c是椭圆，点是它的上顶点，
（或
)-------10分
∴的分布列如右
---------------------------------12分
18解(1)设数列的差为（）数列的比为，
则------------------1分
依题意得，
由此得∵,解得----------------------5分
∴，----------------------------------------------6分
则= ------ 4分
∴动点的轨迹为以、为焦点，长轴长为4的椭圆-----------------5分
由∴----------------------------- 6分
∴动点的轨迹c的方程为---------------------------------7分
[解法２设点，
则------------------------2分
（2）由及正弦定理得，------------7分
最新-广东省揭阳市2018―2018学年度高三数学学业水平
FCB A ED 绝密★启用前广东省揭阳市2018—2018学年度高三学业水平考试数学理试题数学试题(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时l20分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式13V Sh =,其中S 是锥体的底面积，h 为锥体的高． 一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{|}A x y x Z ==∈，则A ．i A ∈B ．2i A ∈C ．3i A ∈D ．4i A ∉2．已知倾斜角为α的直线l 与直线220x y -+=平行，则tan 2α的值为A.45B. 34C. 43D. 23 3．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时()3x f x m =+（m 为常数），则3(log 5)f -的值为A. 4B.4-C.6D. 6-4．双曲线2213x y -=的一个焦点到它的渐近线的距离为5．“2a =”是 “函数()2xf x ax =-有零点”的．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 6．如图，已知ABCDEF 是边长为1的正六边形，则()BA BC CF ⋅+的值为 A.34C. 32D.32- 7．已知向量(,1),(2,)a x z b y z =-=+，且a b ⊥，若变量x,y 满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则z 的最大值为 A.1 B.2 C.3 D.4 8．已知函数()|1|()f x x x x R =-∈,则不等式1()4f x >的解集为 （第6题图）P A.1(,2-∞ B.1(,)2+∞ C.11()22+D.1()2+∞二.填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9－13题）9. 设i是虚数单位，若复数1a ii+-为纯虚数，则实数a的值为 .10．设nS是等差数列{}na的前n项和，且151,9a a==，则6S= .11．近年来，随着以煤炭为主的能源消耗大幅攀升、机动车保有量急剧增加，我国许多大城市灰霾现象频发，造成灰霾天气的“元凶”之一是空气中的pm2.5（直径小于等于2.5微米的颗粒物）.右图是某市某月（按30天计）根据对“pm2.5”24小时平均浓度值测试的结果画成的频率分布直方图，若规定空气中“pm2.5”24小时平均浓度值不超过0.185毫克/立方米为达标，那么该市当月有天“pm2.5”含量不达标．12．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门相同的选法共有种．（用数字作答）13．某几何体的三视图如图示，已知其主视图的周长为6，则该几何体体积的最大值为．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．(坐标系与参数方程选做题) 直线2()1x tty t=-+⎧⎨=-⎩为参数被圆35cos15sinxyθθ=+⎧⎨=-+⎩()θθπ∈为参数,[0,2)所截得的弦长为 . 15．(几何证明选讲选做题)如图，从圆O外一点P引圆的切线PC和割线PBA，已知PC=2PB，BC=,则AC的长为．三．解答题：本大题共6小题，满分8016．（本小题满分12分）已知函数()sin cos(),f x x x x Rπ=+-∈．(1) 求函数()f x的最小正周期；(2) 求函数()f x的最大值和最小值；(3) 若1(),(0,)42fπαα=∈，求sin cosαα+的值．FEDP17. （本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数ξ依次为1,2,,8…，其中5ξ≥为标准A ，3ξ≥为标准B ，产品的等级系数越大表明产品的质量越好，已知某厂执行标准B 生产该产品，且该厂的产品都符合相应的执行标准.（1）从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7该行业规定产品的等级系数7ξ≥的为一等品，等级系数57ξ≤<的为二等品，等级系数35ξ≤<的为三等品，试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；（2）已知该厂生产一件该产品的利润y （单位：元）与产品的等级系数ξ的关系式为：1,352,574.7y ξξξ≤<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，从该厂生产的产品中任取一件，其利润记为X ，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求X 的分布列和数学期望．18. （本小题满分14分） 已知函数321()2,3f x x bx x a =-++2x =是()f x 的一个极值点. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若当[1,)x ∈+∞时，22()3f x a ->恒成立，求a 的取值范围.19．（本小题满分14分）如图①边长为1的正方形ABCD 中，点E 、 F 分别为AB 、BC 的中点，将△BEF 剪去，将 △AED 、△DCF 分别沿DE 、DF 折起，使A 、 C 两点重合于点P 得一三棱锥如图②示. （1）求证：PD EF ⊥;（2）求三棱锥P DEF -的体积； ① ② （3）求DE 与平面PDF 所成角的正弦值． 第19题图20．（本小题满分14分）已知定点A （-3,0），MN 分别为x 轴、y 轴上的动点（M 、N 不重合），且MN AN ⊥,点P 在直线MN 上，32NP MP =. （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）设点Q 是曲线228150x y x +-+=上任一点，试探究在轨迹C 上是否存在点T ？使得点T 到点Q 的距离最小，若存在，求出该最小距离和点T 的坐标，若不存在，说明理由．21．（本小题满分14分）已知113x =，21n n n x x x a +=+-．（n N *∈，a 为常数） （1）若14a =，求证：数列1lg()2n x ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）在（1）条件下，求证：51(),()62n n x n N *≤-∈；（3）若0a =，试问代数式2011111n nx =+∑的值在哪两个相邻的整数之间？并加以证明．揭阳市2018—2018学年度高中三年级学业水平考试数学试题(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一．选择题：BCBA ACCD解析：1．∵{1,0,1}A =-,21i =-，故选B. 2．依题意知：1tan 2α=，从而22tan 4tan 21tan 3ααα==-,选C. 3．由()f x 是定义在R 上的奇函数得(0)101f m m =+=⇒=-，3log 533(log 5)(log 5)(31)f f -=-=--4=-,选B.4．双曲线的一个焦点为(2,0)，一条渐近线方程为y x =，可得焦点到它的渐近线的距离y1=，选A. 5．若2a =，则函数()2x f x ax =-必有零点，反之函数()2x f x ax =- 有零点，a 未必为2.故选A.6．由余弦定理得||1BF =+=3()12BA BC CF BA BF ⋅+=⋅=⨯=,选C. 7．∵a b ⊥ ∴2()02x z y z z x y -++=⇒=+，点(,)x y 的可行域如图示， 当直线2z x y =+过点（1,1）时，Z 取得最大值，max 213z =+=，选C. 8．在同一坐标系内作出函数()|1|f x x x =-和14y =的图象如图， 利用数形结合易得答案选D.二．填空题：9. 1；10. 36；11. 27；12. 30；13.π．15. 解析：10．易得661611,3()36a S a a ==+=. 11．该市当月“pm2.5”含量不达标有801001601206020()0.0053027333333+++++⨯⨯=（天）;12．间接法.2222444230C C C C ⋅-=（种）；直接法：分成两类：有一门相同的有111432C C C 种，两门相同的有24C 种，至少一门相同有1112432430C C C C +=（种）13．由三视图知，该几何体为圆柱，设其底面的半径为r ，高为h ，则42623r h r h +=⇒+=，2V r h π=3()3r r h ππ++≤=（当r h =时“=”成立）或2V r h π==2(32)r r π-， 2'[2(32)2]6(1)V r r r r r ππ=--=-，令'0V =得1r =，当(0,1)r ∈时，'0V >,当(1,)r ∈+∞时，'0V <，故当1r =时，V 有最大值，max V π=，14．把直线和圆的参数方程化为普通方程得,01=++y x 22(3)(1)25x y -++=，于是弦心距,223=d 弦长l ==15．∵,PCB PAC CPB APC ∠=∠∠=∠ ∴PBC ∆∽PCA ∆∴12PB BC BC AC PC AC AC =⇒=⇒=三．解题题：16．解：（1）∵()sin cos ),4f x x x x x R π=-=-∈-------------------------------2分∴函数()f x 的最小正周期2T π=-------------------------------------3分（2）函数()f x ．----------------------------------5分（3）由1()4f α=得1sin cos 4αα-= ∴21(sin cos )16αα-=，-----------------------------------------------------6分1151sin 2,sin 21616αα-==---------------------------------------------------7分∴21531(sin cos )1sin 211616ααα+=+=+=---------------------------------------9分∵(0,)2πα∈，∴sin cos 0αα+>∴sin cos αα+=．------------------------------------------------------12分17．解：（1）由样本数据知，30件产品中等级系数7ξ≥有6件，即一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件-----------------------------------------------------------3分∴样本中一等品的频率为60.230=，故估计该厂生产的产品的一等品率为0.2--------4分二等品的频率为90.330=，故估计该厂生产的产品的二等品率为0.3；--------------5分三等品的频率为150.530=，故估计该厂生产的产品的三等品的频率为0.5．----------6分（2）∵X 的可能取值为：1,2,4用样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，由（1） 可得(1)0.5P X ==,(2)0.3P X ==,(4)0.2P X ==--8分∴可得X 的分布列如右：----------------------------------------------------10分其数学期望10.52EX =⨯+⨯+⨯=(元)-----------------------------12分18．解：（1）∵2'()22f x x bx =-+且2x =是()f x 的一个极值点∴'(2)4420f b =-+=32b ⇒=，--------------------------------------------2分∴2'()32(1)(2)f x x x x x =-+=--------------------------------------------4分由'()0f x >得2x >或1x <，∴函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞，(2,)+∞；------6分由'()0f x <得12x <<，∴函数()f x 的单调减区间为(1,2)，---------------------8分（2）由（1）知，函数()f x 在(1,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增 ∴当2x =时，函数()f x 取得最小值，min ()(2)f x f ==23a +，------------------10PDEFM FEDP 分[1,)x ∈+∞时，22()3f x a ->恒成立等价于2min 2(),[1,)3a f x x <-∈+∞-----------12分即2001a a a -<⇒<<。
2018年广东省揭阳市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2018年广东省揭阳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合，B＝{x|3x≥1}，则（）A．A＝B B．A⊆B C．A∪B＝R D．A∩B＝∅2．（5分）已知复数z满足（1+2i）•z＝3+i，则z的共轭复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）平面直角坐标系h（x）中，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，向量，，以下说法正确的是（）A．B．C．D．4．（5分）已知直线a、b，平面α、β、γ，下列命题正确的是（）A．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝a，则a⊥γB．若α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，则a∥b∥cC．若α∩β＝a，b∥a，则b∥αD．若α⊥β，α∩β＝a，b∥α，则b∥a5．（5分）已知直线4x﹣3y+a＝0与⊙C：x2+y2+4x＝0相交于A、B两点，且∠AOB＝120°，则实数a的值为（）A．3B．10C．11或21D．3或136．（5分）已知的展开式中常数项为﹣40，则a的值为（）A．2B．﹣2C．±2D．47．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π）的部分图象如图所示，则φ的值为（）A．或B．C．D．或8．（5分）在如图的程序框图中，输出的n值为（）A．14B．32C．46D．539．（5分）已知双曲线的焦距为4，A、B是其左、右焦点，点C在双曲线右支上，△ABC 的周长为10，则|AC|的取值范围是（）A．（2，5）B．（2，6）C．（3，5）D．（3，6）10．（5分）如图是某几何体的三视图，图中每个小正方形的边长为1，则此几何体的体积为（）A．B．C．4D．11．（5分）过抛物线x2＝2y上两点A、B分别作切线，若两条切线互相垂直，则线段AB的中点到抛物线准线的距离的最小值为（）A．B．1C．D．212．（5分）把函数f（x）＝log2（x+1）的图象向右平移一个单位，所得图象与函数g（x）的图象关于直线y＝x对称；已知偶函数h（x）满足h（x﹣1）＝h（﹣x﹣1），当x∈[0，1]时，h（x）＝g（x）﹣1；若函数y＝k•f（x）﹣h（x）有五个零点，则k的取值范围是（）A．（log32，1）B．[log32，1）C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）曲线在点（1，1）处的切线方程为．14．（5分）题库中有10道题，考生从中随机抽取3道，至少做对2道算通过考试．某考生会做其中8道，有2道不会做，则此考生能通过考试的概率为．15．（5分）已知等差数列{a n}中，a2+a4＝16，a1+1、a2+1、a4+1成等比数列，把各项如图排列：则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为．16．（5分）平面四边形ABCD中，∠A＝60°，AD⊥DC，，BD＝2，则BC的最小长度为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}的前n项的和为S n，满足a2＝1，6S n＝3a n+1﹣1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝a2n，数列{b n}的前n项和与积分别为R n与T n，求R n与T n．18．如图，在四面体ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，．（Ⅰ）求证：AD⊥BD；（Ⅱ）若AB与平面BCD所成的角为60°，点E是AC的中点，求二面角C﹣BD﹣E的大小．19．甲、乙、丙三人去某地务工，其工作受天气影响，雨天不能出工，晴天才能出工．其计酬方式有两种，方式一：雨天没收入，晴天出工每天250元；方式而：雨天每天120元，晴天出工每天200元；三人要选择其中一种计酬方式，并打算在下个月（30天）内的晴天都出工，为此三人作了一些调查，甲以去年此月的下雨天数（10天）为依据作出选择；乙和丙在分析了当地近9年此月的下雨天数（n）的频数分布表（见表）后，乙以频率最大的n值为依据作出选择，丙以n的平均值为依据作出选择．（Ⅰ）试判断甲、乙、丙选择的计酬方式，并说明理由；（Ⅱ）根据统计范围的大小，你觉得三人中谁的依据更有指导意义？（Ⅲ）以频率作为概率，求未来三年中恰有两年，此月下雨不超过11天的概率．20．已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，圆C2经过椭圆C1的两个焦点和两个顶点，点P在椭圆C 1上，且，．（Ⅰ）求椭圆C1的方程和点P的坐标；（Ⅱ）过点P的直线l1与圆C2相交于A、B两点，过点P与l1垂直的直线l2与椭圆C1相交于另一点C，求△ABC的面积的取值范围．21．已知函数f（x）＝e x+m﹣ln（x+2）+ax（x+2）﹣m，（Ⅰ）若a＞0，且f（﹣1）是函数的一个极值，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若a＝0，求证：∀x∈[﹣1，0]，f（x）≥0．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的圆心为，半径为，现以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）设M，N是圆C上两个动点，满足，求|OM|+|ON|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+|x+m+1|，m∈R，（Ⅰ）若不等式f（x）≥|m﹣2|恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅱ）求不等式f（﹣x）＜2m的解集．2018年广东省揭阳市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合，B＝{x|3x≥1}，则（）A．A＝B B．A⊆B C．A∪B＝R D．A∩B＝∅【解答】解：∵集合＝{x|x≥2}，B＝{x|3x≥1}＝{x|x≥0}，∴A⊆B．故选：B．2．（5分）已知复数z满足（1+2i）•z＝3+i，则z的共轭复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由（1+2i）•z＝3+i，得z＝，∴，∴在复平面内对应的点的坐标为（1，1），在第一象限．故选：A．3．（5分）平面直角坐标系h（x）中，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，向量，，以下说法正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量；∴，且；∵；∴，，；即；∴A，B都错误；；∴；∴，∴C正确；与的夹角为45°，∴错误，即D错误．故选：C．4．（5分）已知直线a、b，平面α、β、γ，下列命题正确的是（）A．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝a，则a⊥γB．若α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，则a∥b∥cC．若α∩β＝a，b∥a，则b∥αD．若α⊥β，α∩β＝a，b∥α，则b∥a【解答】解：由直线a、b，平面α、β、γ，知：在A中，若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝a，则由线面垂直的判定定理得a⊥γ，故A正确；在B中，若α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，则a、b、c三条直线或相交或平行或异面，故B 错误；在C中，若α∩β＝a，b∥a，则b与α相交、平行或b⊂α，故C错误；在D中，若α⊥β，α∩β＝a，b∥α，则b与a平行或异面，故D错误．故选：A．5．（5分）已知直线4x﹣3y+a＝0与⊙C：x2+y2+4x＝0相交于A、B两点，且∠AOB＝120°，则实数a的值为（）A．3B．10C．11或21D．3或13【解答】解：⊙C：x2+y2+4x＝0的圆心C（﹣2，0），半径r＝＝2，∵直线4x﹣3y+a＝0与⊙C：x2+y2+4x＝0相交于A、B两点，且∠AOB＝120°，∴圆心C（﹣2，0）到直线4x﹣3y+a＝0的距离：d＝＝2cos60°＝1，解得a＝3或a＝13．由4x﹣3y+a＝0，得y＝，∵y＝可以在及y＝+1之间，∴a≠13，否则∠AOB为锐角，综上，a＝3．故选：A．6．（5分）已知的展开式中常数项为﹣40，则a的值为（）A．2B．﹣2C．±2D．4【解答】解：的展开式的通项为＝x5﹣2r．取5﹣2r＝﹣1，得r＝3，取5﹣2r＝0，得r＝（舍）．∴的展开式中常数项为，得a＝±2．故选：C．7．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π）的部分图象如图所示，则φ的值为（）A．或B．C．D．或【解答】解：根据函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π）的部分图象，可得•＝+，∴ω＝2，再根据五点法作图可得2×+φ＝3π，∴φ＝，故选：C．8．（5分）在如图的程序框图中，输出的n值为（）A．14B．32C．46D．53【解答】解：当n＝2，不满足的余数为3，故n＝5；当n＝5，不满足的余数为3，故n＝8；当n＝8，满足的余数为3，不满足的余数为4，故n＝11当n＝11，不满足的余数为3，故n＝14；当n＝14，不满足的余数为3，故n＝17；当n＝17，不满足的余数为3，故n＝20；当n＝20，不满足的余数为3，故n＝23；当n＝23，满足的余数为3，不满足的余数为4，故n＝26当n＝26，不满足的余数为3，故n＝29；当n＝32，不满足的余数为3，故n＝35；当n＝35，不满足的余数为3，故n＝38；当n＝38，满足的余数为3，不满足的余数为4，故n＝41当n＝41，不满足的余数为3，故n＝44；当n＝44，不满足的余数为3，故n＝47；当n＝47，不满足的余数为3，故n＝50；当n＝50，不满足的余数为3，故n＝53；当n＝53，满足的余数为3，满足的余数为4，故输出的n＝53，故选：D．9．（5分）已知双曲线的焦距为4，A、B是其左、右焦点，点C在双曲线右支上，△ABC 的周长为10，则|AC|的取值范围是（）A．（2，5）B．（2，6）C．（3，5）D．（3，6）【解答】解：根据题意，设双曲线的实轴长为2a，则a＜2，又由A、B是其左、右焦点，点C在双曲线右支上，|AC|﹣|BC|＝2a，①又由△ABC的周长为10，则有|AC|+|BC|+|AB|＝10，则有|AC|+|BC|＝6，②联立①②可得：|AC|＝3+a，又由a＜2，则|AC|的取值范围是（3，5）；故选：C．10．（5分）如图是某几何体的三视图，图中每个小正方形的边长为1，则此几何体的体积为（）A．B．C．4D．【解答】解：由三视图可知几何体为边长为2的正方体去取得两个三棱锥D﹣ABC和F﹣ACE．∴几何体的体积V＝23﹣×2＝．故选：B．11．（5分）过抛物线x2＝2y上两点A、B分别作切线，若两条切线互相垂直，则线段AB的中点到抛物线准线的距离的最小值为（）A．B．1C．D．2【解答】解：设A（x1，），B（），过A、B分别作抛物线的切线相交于点P （x0，y0），由x2＝2y，得：y′＝x，∴k P A＝x1，k PB＝x2，∴P A⊥PB，∴x1x2＝﹣1．直线P A的方程是：y﹣＝（x﹣x1）…①同理，直线PB的方程是：y﹣＝…②由①②得：∴y0＝﹣（x∈R）．设直线AB为y＝kx+b，联立，得x2﹣2kx﹣2b＝0，∴x1x2＝﹣2b＝﹣1，∴b＝，∴直线AB恒过焦点（0，）．∴线段AB的中点到抛物线准线的距离d＝═＝1，故选：B．12．（5分）把函数f（x）＝log2（x+1）的图象向右平移一个单位，所得图象与函数g（x）的图象关于直线y＝x对称；已知偶函数h（x）满足h（x﹣1）＝h（﹣x﹣1），当x∈[0，1]时，h（x）＝g（x）﹣1；若函数y＝k•f（x）﹣h（x）有五个零点，则k的取值范围是（）A．（log32，1）B．[log32，1）C．D．【解答】解：函数f（x）＝log2（x+1）的图象向右平移一个单位，所得图象与函数g（x）的图象关于直线y＝x对称；可得g（x）＝2x，偶函数h（x）满足h（x﹣1）＝h（﹣x﹣1），可得函数的对称轴为x＝﹣1，x＝0，所以函数h（x）是周期函数，周期为2，当x∈[0，1]时，h（x）＝g（x）﹣1＝2x﹣1；函数y＝k•f（x）﹣h（x）有五个零点，可得方程k•f（x）＝h（x），即k log2（x+1）＝h（x）有5个解．在坐标系中画出y＝k log2（x+1），与y＝h（x）的图象，如图：显然k＞0，（如果k≤0两个函数的图象不可能由5个交点），当x＝3时，函数的交点个数是4个，当x＝5时两个函数的图象的交点个数是6个由题意可得：，解得k∈．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）曲线在点（1，1）处的切线方程为x+y﹣2＝0．【解答】解：由题意得，，∴在点（1，1）处的切线斜率k＝﹣1，则在点（1，1）处的切线方程是：y﹣1＝﹣（x﹣1），即x+y﹣2＝0．故答案为：x+y﹣2＝0．14．（5分）题库中有10道题，考生从中随机抽取3道，至少做对2道算通过考试．某考生会做其中8道，有2道不会做，则此考生能通过考试的概率为．【解答】解：题库中有10道题，考生从中随机抽取3道，至少做对2道算通过考试．某考生会做其中8道，有2道不会做，则此考生能通过考试的概率为：p＝+＝．故答案为：．15．（5分）已知等差数列{a n}中，a2+a4＝16，a1+1、a2+1、a4+1成等比数列，把各项如图排列：则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为8+89．【解答】解：由等差数列{a n}中，a2+a4＝16，a1+1、a2+1、a4+1成等比数列，不妨设公差为d＞0，因为a2+a4＝2a3＝16，得a3＝8又a1+1＝9﹣2d，a2+1＝9﹣d，a4+1＝9+d且（9﹣2d）（9+d）＝（9﹣d）2，解得d＝，a1＝8﹣2又每一行的第一个为分别a1，a2，a5，a10，a17，…故第10行的第一个数为a82＝a1+81d＝8+79，故第10行的第11个数为a92＝8+89故答案为8+8916．（5分）平面四边形ABCD中，∠A＝60°，AD⊥DC，，BD＝2，则BC的最小长度为．【解答】解：在△ABD中，由正弦定理得：，即，解得sin∠ADB＝，又∠ADC＝90°，∴sin∠BDC＝cos∠ADB＝，过B作BH⊥CD，H为垂足，则BH＝BD sin∠BDC＝．∴BC的最小值为．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}的前n项的和为S n，满足a2＝1，6S n＝3a n+1﹣1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝a2n，数列{b n}的前n项和与积分别为R n与T n，求R n与T n．【解答】解：（Ⅰ）∵a2＝1，6S n＝3a n+1﹣1．∴n＝1时，6a1＝3a2﹣1，解得a1＝．n≥2时，6a n＝6S n﹣6S n﹣1＝3a n+1﹣1﹣（3a n﹣1）．化为：a n+1＝3a n，n＝1时满足．∴数列{a n}是等比数列，首项为，公比为3．∴＝3n﹣2．（Ⅱ）b n＝a2n＝32n﹣2＝9n﹣1．∴R n＝＝．T n＝90+1+2+……+（n﹣1）＝＝．18．如图，在四面体ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，．（Ⅰ）求证：AD⊥BD；（Ⅱ）若AB与平面BCD所成的角为60°，点E是AC的中点，求二面角C﹣BD﹣E的大小．【解答】证明：（Ⅰ）由已知得BC2+BD2＝CD2，∴BD⊥BC，又AB⊥BC，BD∩AB＝B，∴BC⊥平面ABD，∴BC⊥AD，又CD⊥AD，BC∩CD＝C，∴AD⊥平面BCD，∴AD⊥BD．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AB与平面BCD所成的角为∠ABD，即∠ABD＝60°，设BD＝2，则BC＝2，在Rt△ADB中，AB＝4，由（Ⅰ）中，BC⊥平面ABD，得平面ABC⊥平面ABD，在平面ABD内，过点B作Bz⊥AB，则Bz⊥平面ABC，以B为原点，建立空间直角坐标系B﹣xyz，则B（0，0，0），A（4，0，0），C（0，2，0），E（2，1，0），由x D＝|BD|cos60°＝1，z D＝|BD|sin60°＝，解得D（1，0，），∴＝（2，1，0），＝（1，0，），设平面BDE的法向量为＝（x，y，z），则，取z＝1，解得＝（﹣，2，1），又＝（﹣3，0，）是平面CBD的一个法向量．设二面角A﹣BD﹣E的大小为θ，由图知θ为锐角，则cosθ＝|cos＜＞|＝＝＝，∴θ＝60°，即二面角C﹣BD﹣E的大小为60°．19．甲、乙、丙三人去某地务工，其工作受天气影响，雨天不能出工，晴天才能出工．其计酬方式有两种，方式一：雨天没收入，晴天出工每天250元；方式而：雨天每天120元，晴天出工每天200元；三人要选择其中一种计酬方式，并打算在下个月（30天）内的晴天都出工，为此三人作了一些调查，甲以去年此月的下雨天数（10天）为依据作出选择；乙和丙在分析了当地近9年此月的下雨天数（n）的频数分布表（见表）后，乙以频率最大的n值为依据作出选择，丙以n的平均值为依据作出选择．（Ⅰ）试判断甲、乙、丙选择的计酬方式，并说明理由；（Ⅱ）根据统计范围的大小，你觉得三人中谁的依据更有指导意义？（Ⅲ）以频率作为概率，求未来三年中恰有两年，此月下雨不超过11天的概率．【解答】解：（Ⅰ）按计酬方式一、二的收入分别记为f（n）、g（n），f（10）＝250×（30﹣10）＝5000，g（10）＝120×10+200×20＝5200，所以甲选择计酬方式二；由频数分布表知频率最大的n＝8，f（8）＝250×（30﹣8）＝5500，g（8）＝120×8+200×22＝5360，所以乙选择计酬方式一；n的平均值为×（8×3+9×1+10×2+12×2+13×1）＝10，所以丙选择计酬方式二．（Ⅱ）甲统计了1个月的情况，乙和丙统计了9个月的情况，但乙只利用了部分数据，丙利用了所有数据，所以丙的统计范围最大，三人中丙的依据更有指导意义．（Ⅲ）任选一年，此月下雨不超过11天的频率为p＝＝，以此作为概率，则未来三年中恰有两年，此月下雨不超过11天的概率为p＝＝．20．已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，圆C2经过椭圆C1的两个焦点和两个顶点，点P在椭圆C 1上，且，．（Ⅰ）求椭圆C1的方程和点P的坐标；（Ⅱ）过点P的直线l1与圆C2相交于A、B两点，过点P与l1垂直的直线l2与椭圆C1相交于另一点C，求△ABC的面积的取值范围．【解答】解：（I）设F1（﹣c，0），F2（c，0），可知圆C2经过椭圆焦点和上下顶点，得b ＝c，由题意知2a＝|PF1|+|PF2|＝4，得a＝2，由b2+c2＝a2，得b＝c＝，所以椭圆C1的方程为，点P的坐标为（2，0）．（II）由过点P的直线l2与椭圆C1相交于两点，知直线l2的斜率存在，设l2的方程为y＝k（x﹣2），由题意可知k≠0，联立椭圆方程，得（2k2+1）x2﹣8k2x+8k2﹣4＝0，设C（x2，y2），则2•x2＝，得x2＝，所以|PC|＝|x2﹣2|＝；由直线l1与l2垂直，可设l1的方程为y＝﹣（x﹣2），即x+ky﹣2＝0，圆心（0，0）到l1的距离d＝，又圆的半径r＝，所以（）2＝r2﹣d2＝2﹣＝，|AB|＝2，由d＜r即＜，得k2＞1，S△ABC＝|AB|•|PC|＝×＝4，设t＝，则t＞0，S△ABC＝＝≤＝，当且仅当t＝即k＝±时，取“＝”，所以△ABC的面积的取值范围是（0，]．21．已知函数f（x）＝e x+m﹣ln（x+2）+ax（x+2）﹣m，（Ⅰ）若a＞0，且f（﹣1）是函数的一个极值，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若a＝0，求证：∀x∈[﹣1，0]，f（x）≥0．【解答】解：（I）f（x）＝e x+m﹣ln（x+2）+ax2+2ax﹣m，定义域为（﹣2，+∞），f′（x）＝e x+m﹣+2ax+2a，由题意知f′（﹣1）＝0，即e m﹣1﹣1＝0，解得：m＝1，所以f（x）＝e x+1﹣ln（x+2）+ax（x+2）﹣1，f′（x）＝e x+1﹣+2ax+2a，又y＝e x+1、y＝﹣、y＝2ax+2a（a＞0）在（﹣2，+∞）上单调递增，可知f′（x）在（﹣2，+∞）上单调递增，又f′（﹣1）＝0，所以当x∈（﹣2，﹣1）时，f′（x）＜0；当x∈（﹣1，+∞）时，f′（x）＞0，得f（x）在（﹣2，﹣1）上单调递减，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，所以函数f（x）的最小值为f（﹣1）＝1﹣a﹣1＝﹣a；（II）若a＝0，得f（x）＝e x+m﹣ln（x+2）﹣m，f′（x）e x+m﹣，由f′（x）在（﹣1，0）上单调递增，可知f（x）在（﹣1，0）上的单调性有如下三种情形：①当f（x）在（﹣1，0）上单调递增时，可知f′（x）≥0，即f′（﹣1）≥0，即e m﹣1﹣1≥0，解得：m≥1，f（﹣1）＝e m﹣1﹣m，令g（m）＝e m﹣1﹣m，则g′（m）＝e m﹣1﹣1≥0，所以g（m）单调递增，g（m）≥g（1）＝0，所以f（x）≥f（﹣1）＝g（m）≥0；②当f（x）在（﹣1，0）上单调递减时，可知f′（x）≤0，即f′（0）≤0，即e m﹣≤0，解得：m≤﹣ln2，得f（0）＝e m﹣ln2﹣m≥e m﹣ln2+ln2＝e m＞0，所以f（x）≥f（0）＞0；③当f（x）在[﹣1，0]上先减后增时，得f′（x）在[﹣1，0]上先负后正，所以∃x0∈（﹣1，0），f′（x0）＝0，即＝，取对数得x0+m＝﹣ln（x0+2），可知f（x）min＝f（x0）＝﹣ln（x0+2）＝﹣m＝+x0＝＞0，所以f（x）＞0；综上①②③得：∀x∈[﹣1，0]，f（x）≥0．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的圆心为，半径为，现以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）设M，N是圆C上两个动点，满足，求|OM|+|ON|的最小值．【解答】解：（I）∵圆C的圆心为，半径为，∴圆C的直角坐标方程为＝，化为极坐标方程为ρ＝sinθ．（II）设M（ρ1，θ），N（ρ2，），|OM|+|ON|＝ρ1+ρ2＝sin＝＝sin（），由，得0，，故，即|OM|+|ON|的最小值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+|x+m+1|，m∈R，（Ⅰ）若不等式f（x）≥|m﹣2|恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅱ）求不等式f（﹣x）＜2m的解集．【解答】解：（I）f（x）＝|x+1|+|x+m+1|≥|x+1﹣x﹣m﹣1|＝|m|，由题意知|m|≥|m﹣2|，得m2≥（m﹣2）2，解得：m≥1；（II）不等式为|1﹣x|+|m+1﹣x|＜2m，即|x﹣1|+|x﹣（m+1）|＜2m，若m≤0，显然不等式无解；若m＞0，则m+1＞1．①当x≤1时，不等式为1﹣x+m+1﹣x＜2m，解得：x＞1﹣，所以1﹣＜x≤1；②当1＜x＜m+1时，不等式为x﹣1+m+1﹣x＜2m，恒成立，所以1＜x＜m+1；③当x≥m+1时，不等式为x﹣1+x﹣m﹣1＜2m，解得：x＜+1，所以m+1≤x＜+1；综上所述，当m≤0时，不等式的解集为空集，当m＞0时，解集为{x|1﹣＜x＜+1}．第21页（共21页）。
广东省揭阳一中、潮州金山中学届高三数学下学期开学初联考试卷及答案(理科)中学试卷.doc
广东省揭阳一中、潮州金山中学届高三数学下学期开学初联考试卷及
答案（理科）中学试卷
广东省揭阳、金中2014届高三下学期开学初联考试题
数学（理科）
一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.
1. 复数z＝1＋i，
A．－2i B．－i C．i D．2i
二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，共30分．本大题分为必做题和选做题两部分. （一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答.
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答只计算前一题的得分.
三．解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
广东省揭阳、金中2014届高三理科数学下学期开学初联考试卷参考答案。
广东省揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试理科数学试题(精品解析)
揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试数学（理科）本试卷共23题，共150分，共4页，考试结束后将本试卷和答题卡一并收回．注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题目的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数的虚部是( )A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】【分析】先用复数除法运算化简，由此求得其虚部.【详解】依题意，故虚部为.所以选C.【点睛】本小题主要考查复数除法的运算，考查复数虚部的概念，属于基础题.2.已知集合，，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解分式不等式求得集合的取值范围，然后求两个集合的交集.【详解】对于集合,由得，解得，故，所以选C.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查两个集合交集的概念及运算，属于基础题.3.已知命题若，则；命题、是直线，为平面，若//,，则//.下列命题为真命题的是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用两边平分的方法判断命题是真命题，利用线面平行的性质判断命题是假命题，由此选出正确的选项.【详解】对于命题，将两边平方，可得到，故命题为真命题.对于命题，直线，但是有可能是异面直线，故命题为假命题，为真命题.所以为真命题，故选B.【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查线面平行以及两条直线的位置关系，考查含有简单逻辑词命题真假性的判断，属于基础题.4.如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确．．．的是( )A. 从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；B. 2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；C. 2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番；D. 为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为）建立了投资额y与时间变量t的线性回归模型，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.【答案】D【解析】【分析】根据图像所给的数据，对四个选项逐一进行分析排除，由此得到表述不正确的选项.【详解】对于选项，由图像可知，投资额逐年增加是正确的.对于选项，投资总额为亿元，小于年的亿元，故描述正确.年的投资额为亿，翻两翻得到，故描述正确.对于选项，令代入回归直线方程得亿元，故选项描述不正确.所以本题选D.【点睛】本小题主要考查图表分析能力，考查利用回归直线方程进行预测的方法，属于基础题.5.函数的图象大致为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别令，根据的函数值，对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】由四个选项的图像可知，令，，由此排除C选项.令，，由此排除B选项.由于，排除D选项.故本小题选A.【点睛】本小题主要考查函数图像的判断，考查利用特殊点排除的方法，属于基础题.6.若满足约束条件，则的最小值为( )A. 1B. 2C. -2D. -1【答案】D【解析】【分析】画出可行域，通过向下平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最小值，且最大值为.故选D.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画图可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.7.若，，，则的大小关系为( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先利用对数运算比较的大小，同理利用对数运算比较的大小，由此得到大小关系.【详解】由于，即.由于，即.所以，故选A.【点睛】本小题主要考查对数的运算公式，考查比较大小的方法，属于属于基础题.8.若点在抛物线上，记抛物线的焦点为，直线与抛物线的另一交点为B，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将点的坐标代入抛物线方程求得的值，由此求得焦点的坐标，由此求得的值，联立直线的方程与抛物线的方程求得点的坐标，由此求得的值，而的夹角为，最后利用数量积的运算求得的值【详解】依题意易得，，由抛物线的定义得，联立直线AF的方程与抛物线的方程消去y得，得, 则,故.故选D.【点睛】本小题主要考查抛物线标准方程的求法，考查直线和抛物线交点坐标的求法，考查了向量数量积的运算.属于基础题.9.某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】有三视图得到几何体为圆锥，设出圆锥的底面半径和母线长，根据主视图的周长得到一个等量关系，然后利用基本不等式求得侧面积的最大值.【详解】由三视图知，该几何体为圆锥，设底面的半径为r，母线的长为，则，又S侧=（当且仅当时“=”成立）.故选C.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，考查圆锥的侧面积计算公式，考查利用基本不等式求最值，属于基础题.10.已知在区间上，函数与函数的图象交于点P，设点P在x轴上的射影为，的横坐标为，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用两个函数图像相交，交点的坐标相同列方程，化简后求得的值，再利用正切的二倍角公式求得的值. 【详解】依题意得，即..故选B.【点睛】本小题主要考查两个函数交点的性质，考查同角三角函数的基本关系式，考查正切的二倍角公式，属于基础题.11.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，坐标原点O关于点的对称点为P，点P到双曲线的渐近线距离为，过的直线与双曲线C右支相交于M、N两点，若，的周长为10，则双曲线C的离心率为( )A. B. 2 C. D. 3【答案】B【解析】【分析】依题意得到点的坐标，利用点到渐近线的距离列方程，求得的值，根据双曲线的定义得周长的表达式，由此列方程求得，的值，进而求得双曲线的离心率.【详解】依题意得点P，，由双曲线的定义得周长为，由此得，，故．【点睛】本小题主要考查点和点对称的问题，考查点到直线距离公式，考查双曲线的定义以及双曲线离心率的求法，考查分析与求解的能力.属于中档题.双曲线的渐近线方程是.根据双曲线的定义，双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值为.12.如图，在三棱柱中，底面，∠ACB=90°，为上的动点，则的最小值为( )A. B. C. 5 D.【答案】C【解析】【分析】易得平面，故∠.将二面角沿展开成平面图形，此时的长度即的最小值，利用余弦定理求出这个最小值.【详解】由题设知△为等腰直角三角形，又平面，故∠=90°，将二面角沿展开成平面图形，得四边形如图示，由此，要取得最小值，当且仅当三点共线，由题设知∠,由余弦定理得.【点睛】本小题主要考查空间线面垂直关系的证明，考查空间两条线段长度和的最小值的求法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.的展开式中的系数为_______；【答案】224【解析】【分析】先求得二项式展开式的通项公式，化简后求得的系数.【详解】二项式展开式的通项公式为，令，解得，故的系数为.【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查二项式展开式指定项的系数，属于基础题.14.若向量、不共线，且，则_______；【答案】3【解析】【分析】先利用，求出的值，再求的值.【详解】由于，故，即，即，解得，当时，，两者共线，不符合题意.故.所以.【点睛】本小题主要考查平面向量垂直的表示，考查向量模的坐标表示，考查两个向量数量积的坐标表示.如果两个平面向量相互垂直，则它们的数量积为零.数量积运算有两种表示形式，一种是利用模和夹角来表示，即.另一种是用坐标来表示，即.15.已知函数，若，则实数的取值范围是_________；【答案】【解析】【分析】先判断函数是增函数且为奇函数，利用单调性和奇偶性将不等式转化为，解不等式求得的取值范围.【详解】因函数为增函数，且为奇函数，，，解得.【点睛】本小题主要考查函数的单调性，考查函数的奇偶性，考查利用单调性和奇偶性解抽象函数不等式，属于基础题.16.已知，则______.【答案】【解析】【分析】利用两角和的正弦、余弦公式，化简，由此求得函数的最小正周期，根据及函数的周期性，求得表达式的值.【详解】依题意可得,其最小正周期,且故【点睛】本小题主要考查三角函数恒等变换，考查两角和的正弦公式以及余弦公式，考查三角函数的周期性以及特殊角的三角函数值.两角和与差的正弦、余弦公式是有差别的，要记忆准确，不能记混.在求有关年份的题目时，往往是根据题目所给已知条件，找到周期，再根据周期性来求解.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分17.已知数列的前n项和为，且满足，.（1）求数列的通项公式；（2）若等差数列的前n项和为，且，，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）令，求得的值，用求得的通项公式.（2）利用（1）的结论求得的值，利用基本元的思想求得的公差及通项公式，再利用裂项求和法求得前项和.【详解】解：（1）当时，，由得（），两式相减得，又，∴（），又，∴（），显然，，即数列是首项为3、公比为3的等比数列，∴；（2）设数列的公差为d，则有，由得，解得，∴，又∴．【点睛】本小题主要考查数列已知求的方法，考查利用基本元的思想求解等差数列的通项公式，考查裂项相消求和法.基本元的思想是在等差数列中有个基本量，利用等差数列的通项公式或前项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列18.如图，在三棱锥P-ABC中，正三角形PAC所在平面与等腰三角形ABC所在平面互相垂直，AB＝BC，O是AC中点，OH⊥PC于H.（1）证明：PC⊥平面BOH；（2）若，求二面角A-BH-O的余弦值．【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明平面，得到，结合已知，证得平面.（2）以为空间坐标原点建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.【详解】解：（1）∵AB＝BC，O是AC中点，∴ BO⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，且平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∴ BO⊥平面PAC，∴ BO⊥PC，又OH⊥PC，BO∩OH＝O，∴ PC⊥平面BOH；（2）易知PO⊥AC，又BO⊥平面PAC，如图，以O为原点，OB所在的直线为x轴，建立空间直角坐标系O - xyz，由易知，OC＝2，，，∴ ，，，，，，，设平面ABH的法向量为，则，∴，取x=2，得，由（1）知是平面BHO的法向量，易知，设二面角A-BH-O的大小为，显然为锐角，则，∴ 二面角A-BH-O的余弦值为．【点睛】本小题主要考查空间线面垂直的证明，考查利用空间向量法求二面角余弦值的方法，属于中档题.19.某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二：周六一天培训4小时，周日测试．公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训，甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表，其中第一、二周达标的员工评为优秀．（1）在甲组内任选两人，求恰有一人优秀的概率；（2）每个员工技能测试是否达标相互独立，以频率作为概率.（i）设公司员工在方式一、二下的受训时间分别为、，求、的分布列，若选平均受训时间少的，则公司应选哪种培训方式？（ii）按（i）中所选方式从公司任选两人，求恰有一人优秀的概率．【答案】（1）（2）（i）应选择培训方式一（ii）【解析】【分析】（1）甲组人中有人优秀，利用超几何分布概率计算公式，计算得“甲组内任选两人，求恰有一人优秀的概率”.（2）可能取值有，根据题目所给数据计算出每种取值对应的频率也即概率，由此得到分布列并其算出期望值.的所有可能取值为，根据题目所给数据计算出每种取值对应的频率也即概率，由此得到分布列并其算出期望值.根据两个期望值较小的即为选择.（3）先计算出从公司任选一人，优秀率为，再按照二项分布的概率计算公式计算得“从公司任选两人，求恰有一人优秀的概率”【详解】解：（1）甲组60人中有45人优秀，任选两人，恰有一人优秀的概率为；（2）（i）的分布列为，的分布列为，∵，∴公司应选培训方式一；（ii）按培训方式一，从公司任选一人，其优秀的概率为，则从公司任选两人，恰有一人优秀的概率为．【点睛】本小题主要考查利用超几何分布和二项分布计算概率，考查离散型随机变量分布列及其期望，属于中档题.20.已知椭圆:的上顶点为A,以A为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆与y轴的交点分别为、.（1）求椭圆的方程；（2）设不经过点A的直线与椭圆交于P、Q两点，且,试探究直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由.【答案】（1）（2）直线过定点【解析】【分析】（1）根据圆的圆心和半径写出圆的标准方程，令求得圆与轴交点的坐标，由此列方程组求得的值，进而求得椭圆的标准方程.（1）根据，利用点斜式设出直线的方程，并分别代入椭圆方程解出两点的坐标，由此求得直线的方程，由此求得定点的坐标为.【详解】解：（1）依题意知点A的坐标为，则以点A圆心，以为半径的圆的方程为:，令得，由圆A与y轴的交点分别为、可得，解得，故所求椭圆的方程为.（2）由得，可知PA的斜率存在且不为0，设直线-① 则-②将①代入椭圆方程并整理得，可得，则，类似地可得，由直线方程的两点式可得：直线的方程为，即直线过定点，该定点的坐标为.【点睛】本小题主要考查圆的标准方程和几何性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程的两点式以及直线过定点的问题.属于中档题.要求直线和椭圆的交点坐标，需要联立直线和椭圆的方程，解方程组求得，这里需要较强的运算能力.直线过定点的问题，往往是将含有参数的部分合并，由此求得直线所过的定点.21.已知函数（，）.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，，求k的取值范围.【答案】（1）详见解析（2）或【解析】【分析】（1）将函数求导并化简，对分成两种情况，讨论函数的单调性.（2）原不等式即（），当时，上述不等式显然成立.当时，将不等式变为，构造函数，利用导数研究函数的单调性，由此求得的取值范围.【详解】解：（1）．①若，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减．②若，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增．∴当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）（），当时，上不等式成立，满足题设条件；当时，，等价于，设，则，设（），则，∴在上单调递减，得．①当，即时，得，，∴在上单调递减，得，满足题设条件；②当，即时，，而，∴，，又单调递减，∴当，，得，∴在上单调递增，得，不满足题设条件；综上所述，或．【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数参数的函数单调性问题，考查利用导数求解含有参数不等式恒成立问题.对函数求导后，由于导函数含有参数，故需要对参数进行分类讨论，分类讨论标准的制定，往往要根据导函数的情况来作出选择，目标是分类后可以画出导函数图像，进而得出导数取得正、负的区间，从而得到函数的单调区间.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.已知曲线C的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两射线、相互垂直，与曲线C分别相交于A、B两点（不同于点O），且的倾斜角为锐角.（1）求曲线C和射线的极坐标方程；（2）求△OAB的面积的最小值，并求此时的值．【答案】（1）C的极坐标方程为，[或]；的极坐标方程为；（2）【解析】【分析】（1）消去参数，求得曲线的普通方程，再转为极坐标方程.射线过原点，根据角度直接写出的极坐标方程.（2）利用极坐标方程求得的表达式，求得三角形面积的表达式，利用三角函数的的最值求得三角形面积的最小值，同时求得的值.【详解】解：（1）由曲线C的参数方程，得普通方程为，由，，得，所以曲线C的极坐标方程为，[或]的极坐标方程为；（2）依题意设，则由（1）可得，同理得，即，∴∵∴，∴，△OAB的面积的最小值为16，此时，得，∴．【点睛】本小题主要考查参数方程转化为极坐标方程，考查利用极坐标求三角形的面积，考查三角函数求最值，属于中档题.23.已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当时，利用零点分段法去绝对值，解一元一次不等式求得不等式的解集.（2）当时，对函数去绝对值后，构造一次函数，一次函数恒大于或等于零，则需区间端点的函数值为非负数，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】解：（1）①当时，，解得，②当时，，解得，③当时，解得，综上知，不等式的解集为.（2）当时，，设，则，恒成立，只需，即，解得【点睛】本小题主要考查利用零点分段法解含有两个绝对值的不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。
广东省揭阳一中、潮州金中联考学年高三数学试卷(理科)
广东省揭阳一中、潮州金中联考高三数学试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．设集合A={x||4x﹣1|＜9，x∈R}，B={x|≥0，x∈R}，则∁R A∩B=（）A．（﹣3﹣2]B．（﹣3﹣2]∪[0，）C．（﹣∞，﹣3]∪[，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪[，+∞）2．i是虚数单位，的虚部为（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i3．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且，，a2成等差数列，则=（）A．1 B．3 C．6 D．94．从某大学随机抽取的5名女大学生的身高x（厘米）和体重y（公斤）数据如表根据上表可得回归直线方程为，则=（）A．﹣96.8 B．96.8 C．﹣104.4 D．104.45．在双曲线﹣=1（a＞0，b＞0，c=）中，已知c，a，b成等比数列，则该双曲线的离心率等于（）A．2 B．C．D．6．如图所示，网格纸上每个小格都是边长为1的正方形，粗线画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．4B ．2C ．D ．7．已知函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若将其图象向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f （x ）的图象（ ）A ．关于直线x=对称B ．关于直线x=对称C ．关于点（，0）对称D ．关于点（，0）对称8．已知f （x ）=满足对于任意的实数x 1≠x 2，都有成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（1，+∞）B ．（1，2）C ．（1，2]D ．（2，+∞）9．根据如图的程序框图，当输入x 为2017时，输出的y=（ ）A ．28B ．10C ．4D ．210．已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点（A 在x 轴上方），且=3，则||=（ ）A ．4B ．3C ．3D ．311．已知正四面体ABCD的棱长为，则其外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．3π12．已知函数f（x）=，若方程f（x）﹣a=0的四个根分别为x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则+的取值范围是（）A．[﹣，）B．（﹣，）C．[﹣1，）D．（﹣1，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．13．设向量与的夹角为θ，若=（1，2），2﹣=（﹣1，2），则cosθ=．14．6展开式中的常数项为．（用数字作答）15．各项均为正数的等差数列{a n}中，a5a8=36，则前12项和S12的最小值为．16．若x，y满足约束条件，则log3的取值范围为．三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．已知△ABC的三边分别为a，b，c，且2bcosA=acosC+ccosA．（I）求角A的大小；=，且a=5，求sinB+sinC．（II）若△ABC的面积S△ABC18．随着科技的发展，手机已经成为人们不可或缺的交流工具，除传统的打电话外，手机的功能越来越强大，人们可以玩游戏，看小说，观电影，逛商城等，真是“一机在手，天下我有”，所以，有人把喜欢玩手机的人冠上了名号“低头族”，低头族已经严重影响了人们的生活，一媒体为调查市民对低头族的认识，从某社区的500名市民中，随机抽取100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表和频率分布直方图．（I）频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图统计这500名市民的平均年龄；（II）在抽出的100名中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名接受采访，再从抽出的这20名中年龄在[30，40）的选取2名担任主要发言人．记这2名主要发言人年龄在[30，35）的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，PC与底面ABCD所成角为30°．（I）证明：平面PBD⊥平面PAC；（II）求平面APB与平面PCD所成二面角（锐角）的余弦值．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），且过点（1，）．设点A为椭圆C上一动点，P、Q为椭圆的左、右顶点（点A与P，Q不重合），设直线AP、AQ与直线x=4分别交于M、N两点．（I）求椭圆C的方程；（II）试问：以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，说明理由．21．已知函数f（x）=x2﹣alnx（a∈R）．（I）若f（x）在[1，3]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（II）记g（x）=f（x）+（2+a）lnx﹣2（b﹣1）x，并设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥1+，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．选做题：（请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．）22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC（Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．23．已知在直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l经过定点P（1，1），倾斜角为．（Ⅰ）写出直线l的参数方程和圆锥曲线C的标准方程；（Ⅱ）设直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，求|PA||PB|的值．24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|2x+2|．（1）解不等式f（x）＞5；（2）若关于x的方程=a的解集为空集，求实数a的取值范围．广东省揭阳一中、潮州金中联考高三数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．设集合A={x||4x﹣1|＜9，x∈R}，B={x|≥0，x∈R}，则∁R A∩B=（）A．（﹣3﹣2]B．（﹣3﹣2]∪[0，）C．（﹣∞，﹣3]∪[，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪[，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x||4x﹣1|＜9，x∈R}={x|﹣2＜x＜}，B={x|≥0，x∈R}={x|x≥0或x＜﹣3}，∁R A={x|x≥或x≤﹣2}，则∁R A∩B=}={x|x≥或x＜﹣3}，故选：D【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据条件求出集合的等价条件，结合集合的基本运算是解决本题的关键．2．i是虚数单位，的虚部为（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵=，∴的虚部为2．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且，，a2成等差数列，则=（）A．1 B．3 C．6 D．9【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知得2×=，求出q=3，由此能求出的值．【解答】解：∵等比数列{a n}的各项均为正数，且，，a2成等差数列，∴2×=，即（a1q2）=，解得q=﹣1（舍）或q=3，∴==q2=9．故选：D．【点评】本题考查等差数列的两项和之比的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．4．从某大学随机抽取的5名女大学生的身高x（厘米）和体重y（公斤）数据如表根据上表可得回归直线方程为，则=（）A．﹣96.8 B．96.8 C．﹣104.4 D．104.4【考点】线性回归方程．【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，【解答】解：由表中数据可得=165，=55，∵（，）一定在回归直线方程上，∴55=0.92×167+a，解得a=﹣96.84．故选：A．【点评】本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一．5．在双曲线﹣=1（a＞0，b＞0，c=）中，已知c，a，b成等比数列，则该双曲线的离心率等于（）A．2 B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由等比数列的性质，可得2a2=bc，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：∵c，a，b成等比数列，∴2a2=bc，即e4﹣e2﹣2=0，∴e=．故选：C．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用等比数列的性质，考查双曲线的基本量的关系，以及运算能力，属于基础题．6．如图所示，网格纸上每个小格都是边长为1的正方形，粗线画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．4 B．2 C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为2，底面三角形为等腰直角三角形，此几何体的体积为=，故选D．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算能力．7．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若将其图象向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x=对称B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于点（，0）对称【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据三角函数的性质求出函数的解析式进行求解即可．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，∴T==π，解得ω=2，即f（x）=sin（2x+φ），将其图象向左平移个单位后得到y=sin[2（x+）+φ]=sin（2x+φ+），若此时函数关于原点对称，则φ+=kπ，即φ=﹣+kπ，k∈Z，∵|φ|＜，∴当k=0时，φ=﹣．即f（x）=sin（2x﹣）．由2x﹣=+kπ，解得x=+kπ，k∈Z，故当k=0时，函数的对称轴为x=，故选：B．【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数的性质的应用，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．8．已知f（x）=满足对于任意的实数x1≠x2，都有成立，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，2）C．（1，2]D．（2，+∞）【考点】分段函数的应用．【分析】由任意x1≠x2，都有成立，得函数为增函数，根据分段函数单调性的性质建立不等式关系即可．【解答】解：∵f（x）满足对任意x1≠x2，都有成立，∴函数f（x）在定义域上为增函数，则满足，解得1＜a≤2，故选：C．【点评】本题主要考查分段函数单调性的应用，根据条件判断函数的单调性是解决本题的关键．9．根据如图的程序框图，当输入x为2017时，输出的y=（）A．28 B．10 C．4 D．2【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当输入的x为2017时，第1次执行循环体后，x=2015，满足x≥0；第2次执行循环体后，x=2013，满足x≥0；第3次执行循环体后，x=2011，满足x≥0；…第1008次执行循环体后，x=1，满足x≥0；第1009次执行循环体后，x=﹣1，不满足x≥0；故y=31+1=4，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答，属于基础题．10．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A、B两点（A在x轴上方），且=3，则||=（）A．4 B．3 C．3D．3【考点】抛物线的简单性质．【分析】作出抛物线的准线，设A、B在l上的射影分别是C、D，连接AC、BD，过B作BE⊥AC于E．由抛物线的定义结合题中的数据，可算出Rt△ABE中，cos∠BAE=，得∠BAE=60°，即直线AB的倾斜角为60°，从而得到直线AB的斜率k 值、直线的方程，再与抛物线联立，即可得出结论．【解答】解：作出抛物线的准线l：x=﹣1，设A、B在l上的射影分别是C、D，连接AC、BD，过B作BE⊥AC于E∵=3，∴设||=m，则||=3m，由点A、B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得||=||=m，||=||=3m，∴||=2m因此，Rt△ABE中，cos∠BAE=，得∠BAE=60°所以，直线AB的倾斜角∠AFx=60°，得直线AB的斜率k=tan60°=．直线AB的方程为y=（x﹣1），代入y2=4x，可得3x2﹣10x+3=0，∴x=3或x=，∵A在x轴上方，∴||=4，故选：A．【点评】本题给出抛物线的焦点弦被焦点分成3：1的比，求||，着重考查了抛物线的定义和简单几何性质，直线的斜率等知识点，属于中档题．11．已知正四面体ABCD的棱长为，则其外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．3π【考点】球的体积和表面积．【分析】抓住正四面体的特征，底面是正三角形，边长为，高线的投影在底面正三角形的重心上．外接球的球心在高线上，且到各个顶点的距离相等，构造直角三角形，求出R，即可求球的体积．【解答】解：由题意：ABCD是正四面体，底面是正三角形，边长为，高线的投影在底面正三角形的重心上，则有BE=2EF；设AO=OB=R．∵BCD是正三角形，边长为，∴BF=；∴BE==；AE==；0E=AE﹣R=∵△BEO是直角三角形，∴R2=OE2+BE2，即．解得：R=，则球的体积V==故选：C．【点评】本题考查正四面体的特征以及球的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．是中档题．12．已知函数f（x）=，若方程f（x）﹣a=0的四个根分别为x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则+的取值范围是（）A．[﹣，）B．（﹣，）C．[﹣1，）D．（﹣1，）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】通过作出函数图象可知x1=x2=﹣2、x3x4=1，利用图象可知≤x3＜1，通过函数y=+x在[，1）上单调递增，计算即得结论．【解答】解：作函数图象如右图，∵方程f（x）﹣a=0的四个根分别为x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，∴x1，x2关于x=﹣1对称，且0＜x3＜1＜x4，则﹣log3x3=log3x4，即log3（x3x4）=0，即x3x4=1，又∵方程f（x）﹣a=0有四个根，∴C、D两点必位于直线y=0与y=1之间（可以在y=1上，但不能位于y=0上），当|log3x|=1时，可知x=3或，故≤x3＜1，1＜x4≤3，∴+=+x3，令y=+x，≤x＜1，则y′=1+＞0，即函数y=+x在[，1）上单调递增，∴+≤y＜+1，即﹣≤y＜，故选：A．【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查数形结合能力，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．13．设向量与的夹角为θ，若=（1，2），2﹣=（﹣1，2），则cosθ=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可设，根据条件即可建立关于x，y的方程组，解出x，y，从而得出向量的坐标，根据的坐标即可求出，的值，代入向量夹角的余弦公式即可求出cosθ．【解答】解：设，则；∴；∴；∴；∴．故答案为：．【点评】考查向量坐标的数乘和减法运算，向量坐标的数量积的运算，以及向量夹角的余弦公式．14．（x2﹣）6展开式中的常数项为15．（用数字作答）【考点】二项式定理．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0求出r 的值，将r的值代入通项求出展开式的常数项．=（﹣1）r C6r x12﹣3r【解答】解：展开式的通项公式为T r+1令12﹣3r=0得r=4∴展开式中的常数项为C64=15故答案为15【点评】解决二项展开式的特定项问题，一般利用的工具是二项展开式的通项公式．15．各项均为正数的等差数列{a n}中，a5a8=36，则前12项和S12的最小值为72．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的性质可得：a1+a12=a5+a8，再利用等差数列的求和公式、基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由等差数列的性质可得：a1+a12=a5+a8，又a n＞0，a5a8=36，∴a1+a12=a5+a8≥2=12，当且仅当a5=a8=6时取等号．∴前12项和S12=≥6×12=72．故答案为：72．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档．16．若x，y满足约束条件，则log3的取值范围为[0，1] ．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，求出的范围，然后求解对数函数的值域即可．【解答】解：x，y满足，的可行域如图：的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率，由可行域可知1≤≤k OA，由，可得A（1，3），k OA=3．∈[1，3]．log3∈[0，1]．故答案为：[0，1]．【点评】本题考查线性规划的应用，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力．三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．已知△ABC的三边分别为a，b，c，且2bcosA=acosC+ccosA．（I）求角A的大小；=，且a=5，求sinB+sinC．（II）若△ABC的面积S△ABC【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）利用正弦定理、和差公式、三角函数的单调性即可得出．（II），可得bc=25，利用余弦定理可得：b2+c2=50，可得b+c=10．（法一）由①②可知b，c可看成方程x2﹣10x+25=0的两根，解得b=c=5，即可得出．（法二）利用正弦定理即可得出．【解答】解：（I）由2bcosA=acosC+ccosA及正弦定理可得2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，即2sinBcosA=sin（A+C），∵sin（A+C）=sin（π﹣B）=sinB，∴2sinBcosA=sinB，即sinB（2cosA﹣1）=0，∵0＜B＜π，∴sinB≠0，∴，∵0＜A＜π，．（II）∵，∴bc=25①∵，b2+c2=50，∴（b+c）2=50+225=100，即b+c=10②（法一）由①②可知b，c可看成方程x2﹣10x+25=0的两根，解得b=c=5，∴△ABC为等边三角形，故．（法二）利用正弦定理可得：．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角函数的单调性、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．随着科技的发展，手机已经成为人们不可或缺的交流工具，除传统的打电话外，手机的功能越来越强大，人们可以玩游戏，看小说，观电影，逛商城等，真是“一机在手，天下我有”，所以，有人把喜欢玩手机的人冠上了名号“低头族”，低头族已经严重影响了人们的生活，一媒体为调查市民对低头族的认识，从某社区的500名市民中，随机抽取100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表和频率分布直方图．（I）频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图统计这500名市民的平均年龄；（II）在抽出的100名中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名接受采访，再从抽出的这20名中年龄在[30，40）的选取2名担任主要发言人．记这2名主要发言人年龄在[30，35）的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）根据频数之和为100计算①，根据频率计算公式计算②；补全频率分布直方图，利用加权平均数公式计算平均年龄；（II）求出20名人中，[30，35）和[35，40）内的人数，利用概率公式计算P（ξ），得出分布列和数学期望．【解答】解：（I）由题意知频率分布表中的①位置应填数字为：100﹣5﹣20﹣30﹣10=35，②位置应填数字为：=0.3．补全频率分布直方图，如图所示．平均年龄估值为：22.5×0.05+27.5×0.20+32.5×0.35+37.5×0.30+42.5×0.10=33.5．（II）设抽出的20名受访者年龄在[30，35）和[35，40）分别由m，n名，由分层抽样可得，解得m=7，n=6所以年龄在[30，40）共有13名．故ξ的可能取值为0，1，2，，，，ξ的分布列为：．【点评】本题考查了频率分布直方图，分层抽样，概率计算，及离散型变量的分布列，属于中档题．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，PC与底面ABCD所成角为30°．（I）证明：平面PBD⊥平面PAC；（II）求平面APB与平面PCD所成二面角（锐角）的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）推导出AC⊥BD，PA⊥BD，从而BD⊥面PAC，由此能证明平面PBD ⊥平面PAC．（II）PC与底面ABCD所成角为∠PCA=30°，推导出∠B=120°，设AC与BD相交于点O，取PC的中点Q，以OB，OC，OQ分别为x，y，z轴方向建立空间直角坐标系，由此能求出面APB与平面PCD所成二面角的余弦值．【解答】证明：（I）∵底面ABCD是平行四边形，且AB=AD，∴AC⊥BD…又∵PA⊥平面ABCD，PA⊥BD…∵AC∩PA=A，∴BD⊥面PAC…∴平面PBD⊥平面PAC．…解：（II）∵PA⊥平面ABCD，∴PC与底面ABCD所成角为∠PCA=30°，∴在Rt△PAC中，，∴在△ABC中，，∴∠B=120°，故∠DAB=60°，BD=2，…设AC与BD相交于点O，取PC的中点Q，连结OQ，则OQ∥PA，∵PA⊥平面ABCD，∴OQ⊥平面ABCD，以OB，OC，OQ分别为x，y，z轴方向建立空间直角坐标系，则，B（1，0，0），，D（﹣1，0，0），…设平面APB的法向量由，得，取，则y=﹣1，z=0，故平面APB的一个法向量为，…由，得，取，则，∴平面PCD的一个法向量…∴，…设平面APB与平面PCD所成二面角为θ，且因为θ为锐角．∴，即平面APB与平面PCD所成二面角的余弦值为．…【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，注意向量法的合理运用．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），且过点（1，）．设点A为椭圆C上一动点，P、Q为椭圆的左、右顶点（点A与P，Q不重合），设直线AP、AQ与直线x=4分别交于M、N两点．（I）求椭圆C的方程；（II）试问：以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）由题意可知：F（1，0），F'（﹣1，0），根据椭圆的定义，，求得a和c的值，由b2=a2﹣c2，求得椭圆的方程；（II）由题意可知设直线AP、AQ的斜率分别为k1，k2，求得直线AP、AQ的方程，由k1k2=﹣，由，得M（4，6k1），同理可得N（4，2k2），根据，代入即可求得T点坐标．【解答】解：（I）∵椭圆C右焦点为F（1，0），故左焦点为F'（﹣1，0），∴点到两焦点的距离之和为…∴a=2，c=1得，故所求的椭圆的方程为…（II）由对称性知，若定点存在，则必在x轴上，设T（x0，0）．…由椭圆方程知P（﹣2，0），Q（2，0）．设A（x1，y1），直线AP、AQ的斜率分别为k1，k2．则直线AP、AQ的方程分别为y=k1（x+2）和y=k2（x﹣2）…，…由，得M（4，6k1），同理可得N（4，2k2）…则若T（x0，0）在以MN为直径的圆周上，则，即（4﹣x0，6k1）（4﹣x0，2k2）=0…化得，又因为，解得x0=1或x0=7…∴以MN为直径的圆过定点T（1，0）和T'（7，0）．…【点评】本题考查利用待定系数法求曲线的轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查了恒过定点问题的求解方法，是中档题．21．已知函数f（x）=x2﹣alnx（a∈R）．（I）若f（x）在[1，3]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（II）记g（x）=f（x）+（2+a）lnx﹣2（b﹣1）x，并设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥1+，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，问题转化为a≤2x2，x∈[1，3]上恒成立，求出a的范围即可；（Ⅱ）求出g（x）的导数，求出g（x1）﹣g（x2）的解析式，根据函数的单调性求出其最小值即可．【解答】解：（I）∵f（x）=x2﹣alnx在[1，3]上是单调递增函数，∴在[1，3]上恒成立…∴a≤2x2，x∈[1，3]上恒成立．…∵y=2x2在x∈[1，3]上的最小值为2，∴a≤2…（Ⅱ）∵g（x）=x2﹣alnx+（2+a）lnx﹣2（b﹣1）x=x2+2lnx﹣2（b﹣1）x，∴…令g'（x）=0，得x2﹣（b﹣1）x+1=0，∴x1+x2=b﹣1，x1x2=1…====…∵0＜x1＜x2，∴设，令（0＜t＜1），…则，∴h（t）在（0，1）上单调递减．…又∵，∴，即即2t2﹣5t+2≥0，解得∴或t≥2．又∵0＜t＜1，∴．…∴．∴g（x1）﹣g（x2）的最小值为…【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道综合题．选做题：（请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．）22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC（Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接DE，证明△DBE∽△CBA，利用AB=2AC，结合角平分线性质，即可证明BE=2AD；（Ⅱ）根据割线定理得BDBA=BEBC，从而可求AD的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接DE，∵ACED是圆内接四边形，∴∠BDE=∠BCA，又∠DBE=∠CBA，∴△DBE∽△CBA，即有，又∵AB=2AC，∴BE=2DE，∵CD是∠ACB的平分线，∴AD=DE，∴BE=2AD；…（Ⅱ）解：由条件知AB=2AC=6，设AD=t，则BE=2t，BC=2t+6，根据割线定理得BDBA=BEBC，即（6﹣t）×6=2t（2t+6），即2t2+9t﹣18=0，解得或﹣6（舍去），则．…【点评】本题考查三角形相似，考查角平分线性质、割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23．（2016秋揭阳校级月考）已知在直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l经过定点P（1，1），倾斜角为．（Ⅰ）写出直线l的参数方程和圆锥曲线C的标准方程；（Ⅱ）设直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，求|PA||PB|的值．【考点】椭圆的参数方程．【分析】（Ⅰ）利用l经过定点P（1，1），倾斜角为，写出直线l的参数方程；消去参数得到圆锥曲线C的标准方程；（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆锥曲线C的标准方程，利用参数的几何意义，求|PA||PB|的值．【解答】解：（Ⅰ）∵l经过定点P（1，1），倾斜角为，∴直线l的参数方程为（t为参数）…∵sin2θ+cos2θ=1，且，∴圆锥曲线C的标准方程为…（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆锥曲线C的标准方程得①…设α是方程①的两个实根，则，…所以…【点评】本题考查参数方程与直角坐标方程的互化，考查参数几何意义的运用，属于中档题．24．（2015葫芦岛一模）已知函数f（x）=|x﹣1|+|2x+2|．（1）解不等式f（x）＞5；（2）若关于x的方程=a的解集为空集，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）化简函数的解析式为函数f（x）=|x﹣1|+|2x+2|=，分类讨论求得原不等式解集．（2）由（1）中分段函数f（x）的解析式可得f（x）的单调性，由此求得函数f（x）的值域，可得的取值范围．再根据关于x的方程=a的解集为空集，求得实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=|x﹣1|+|2x+2|=，当x≥1时，由3x+5＞5解得：x＞；当﹣1＜x＜1时，由x+3＞5得x＞2 （舍去）．当x＜﹣1时，由﹣3x﹣1＞5，解得x＜﹣2．所以原不等式解集为{x|x＜﹣2 x＞}．（2）由（1）中分段函数f（x）的解析式可知：f（x）在区间（﹣∞，﹣1）上单调递减，在区间（﹣1，+∞）上单调递增．并且f（x）的最小值为f（﹣1）=2，所以函数f（x）的值域为[2，+∞），从而f（x）﹣4的取值范围是[﹣2，+∞），进而的取值范围是（﹣∞，﹣]∪（0，+∞）．根据已知关于x的方程=a的解集为空集，所以实数a的取值范围是（﹣，0]．【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
广东省揭阳一中、潮州金山中学届高三下学期联考理科综合历真题
本试卷分单项选择题、双项选择题和非选择题三个部分，满分300分，考试时间150分钟。
答题前，务必将自己的姓名、座号等信息填写在各科答题卷密封线规定的位置上。
一、单项选择题<共16小题，每小题4分，共64分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1．如图所示为关于细胞结构的概念图，下列相关叙述 正确的是A ．该图表示不够完整，缺少细胞核等结构B ．图中c 是指细胞膜，e 是指细胞质C ．图中g 可以利用h 产生的二氧化碳D ．细胞在长大过程中，表面积与体积的比值增大，与外界环境进行物质交换的能力增强2．实验材料的选择关系到实验的成败，下列相关实验材料选择不．正确的是 A ．选用苹果汁，检测生物组织中的还原糖 B ．选用洋葱根尖，观察植物细胞的减数分裂C ．选用紫色洋葱鳞片叶外表皮，观察植物细胞的质壁分离D ．选用人的成熟红细胞，探究动物细胞吸水和失水的外界条件 3．下列有关生物进化的描述错误的是A ．基因突变的方向和环境之间没有明确的因果关系B ．自然选择的实质是选择种群的有利基因，不决定新基因的产生C ．隔离是新物种形成的必要条件，隔离包括地理隔离和生殖隔离D ．共同进化指生物与无机环境之间的进化，不包括生物多样性的形成 4．在下列研究激素的实验中，实验处理不．会取得预期结果的是 A ．注射甲状腺激素使正常幼鼠发育加快 B ．切除幼鼠的垂体使其生长减慢 C ．通过研磨鼠的胰腺来获取胰岛素D ．给幼年雄鼠喂食含雄激素的食物可使其性早熟5．右图表示人体和人体细胞内某些信息传递机制的模式图，图示中箭头表示信息传递的方向。
下列有关叙述正确的是A ．若该图表示反射弧，则其中的信息是以局部电流的形式传导的B ．若该图中的a 为下丘脑、b 为垂体、c 为甲状腺，则c 分泌的甲状腺激素增加到一 定程度后，对a 分泌d 、b 分泌e 具有抑制作用C ．若该图表示细胞中遗传信息传递过程，则d 过程只可发生于细胞核内D．若为细胞免疫过程，a为效应T细胞，b为靶细胞，c代表抗体6．如果世界上最后一只野驴刚死亡，以下提供的“复生”野驴个体的生物技术方法中有可能成功的是A．将野驴的基因导入家驴的受精卵中，培育成新个体B．将野驴的体细胞两两融合，再经组织培养培育成新个体C．将野驴的体细胞取出，利用组织培养技术，经脱分化．再分化，培育成新个体D．取出野驴的体细胞核移植到母家驴的去核卵细胞中，经孕育培养成新个体7．下列说法正确的是A．乙烯和聚乙烯都能使溴的四氯化碳溶液褪色B．淀粉和纤维素都可以作为工业上生产葡萄糖的原料C．油脂的水解反应，都是皂化反应 D．淀粉和聚氯乙烯都是天然高分子化合物8．设N A为阿伏伽德罗常数，下列叙述正确的是(相对原子质量：H-1 C-12 O-16> A．15g甲基(－CH3>所含的电子数为7N AB．1L0.1mol·L-1乙酸溶液中H＋数为0.1N AC．22.4L甲烷所含质子数为10N AD．20g重水(D2O>所含的电子数为10N A9．下列表示对应化学反应的离子方程式正确的是A．FeCl3溶液与Cu的反应：Cu＋Fe3＋＝Cu2＋＋Fe2＋B．向明矾溶液加入过量氨水：Al3+＋4OH—= AlO2＋2H2OC．醋酸溶液与水垢中的CaCO3反应：CaCO3＋2H＋＝Ca2＋＋H2O＋CO2↑D．向NaAlO2溶液中通入过量CO2：AlO2－＋CO2＋2H2O＝Al(OH>3↓＋HCO3－10．短周期元素X、Y、Z、W、Q在元素周期表中的相对位置如图1所示。
广东省揭阳市2018年高考第二次模拟考试数学(理)试题含答案
揭阳市2018年高中毕业班高考第二次模拟考试数学(理科) 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|A x y ==，{}|31x B x =≥，则（ ）A ．AB = B ．A B ⊆C ．A B R =D ．A B φ=2.已知复数z 满足()123i z i +⋅=+，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.平面直角坐标系xOy 中，i ，j 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，向量2a i =，b i j =+，以下说法正确的是（ ）A ．1a b ⋅=B ．a b =C ．()a b b -⊥ D ．//a b 4.已知直线a 、b ，平面α、β、γ，下列命题正确的是（ ） A ．若αγ⊥，βγ⊥，a αβ=，则a γ⊥ B ．若a αβ=，b αγ=，c βγ=，则////a b cC.若a αβ=，//b a ，则//b α D ．若αβ⊥，a αβ=，//b α，则//b a5.已知直线430x y a -+=与22:40C x y x ++=相交于A 、B 两点，且120AOB ∠=，则实数a 的值为（ ）A ．3B ．10 C. 11或21 D ．3或136.已知()511x ax x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为40-，则a 的值为（ ）A ．2B ．2- C. 2± D ．47.已知函数()()()sin 0,0,02f x A x A ωϕωϕπ=+>>≤<的部分图象如图所示，则ϕ的值为（ ）A ．3π或23π B ．23π C. 43π D ．3π或43π8.在如图的程序框图中，输出的n 值为（ ）A ．14B ． 32 C. 46 D ．539.已知双曲线的焦距为4，A 、B 是其左、右焦点，点C 在双曲线右支上，ABC △的周长为10，则AC 的取值范围是（ ）A ．()2,5B ．()2,6 C. ()3,5 D ．()3,610.如图是某几何体的三视图，图中每个小正方形的边长为1，则此几何体的体积为（ ）A ．83 B ．163 C.4 D ．20311.过抛物线22x y =上两点A 、B 分别作切线，若两条切线互相垂直，则线段AB 的中点到抛物线准线的距离的最小值为（ ） A ．12 B ．1 C.32D ．2 12.把函数()()2log 1f x x =+的图象向右平移一个单位，所得图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称；已知偶函数()h x 满足()()11h x h x -=--，当[]0,1x ∈时，()()1h x g x =-；若函数()()y k f x h x =⋅-有五个零点，则k 的取值范围是（ ）A ．()3log 2,1B ．[)3log 2,1 C.61log 2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．61log 2,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.曲线1y x=在点()1,1处的切线方程为 ． 14.题库中有10道题，考生从中随机抽取3道，至少做对2道算通过考试.某考生会做其中8道，有2道不会做，则此考生能通过考试的概率为 ．15.已知等差数列{}n a 中，2416a a +=，11a +、21a +、41a +成等比数列，把各项如下图排列：则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为 ．16.平面四边形ABCD 中，60A ∠=，AD DC ⊥，AB =2BD =，则BC 的最小长度为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，满足21a =，1631n n S a +=-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n n b a =，数列{}n b 的前n 项和与积分别为n R 与n T ，求n R 与n T .18. 如图，在四面体ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=,2BC BD ==. （Ⅰ）求证：AD BD ⊥；（Ⅱ）若AB 与平面BCD 所成的角为60，点E 是AC 的中点，求二面角C BD E --的大小.19. 甲、乙、丙三人去某地务工，其工作受天气影响，雨天不能出工，晴天才能出工.其计酬方式有两种，方式一：雨天没收入，晴天出工每天250元；方式而：雨天每天120元，晴天出工每天200元；三人要选择其中一种计酬方式，并打算在下个月（30天）内的晴天都出工，为此三人作了一些调查，甲以去年此月的下雨天数（10天）为依据作出选择；乙和丙在分析了当地近9年此月的下雨天数（n ）的频数分布表（见下表）后，乙以频率最大的n 值为依据作出选择，丙以n 的平均值为依据作出选择.（Ⅰ）试判断甲、乙、丙选择的计酬方式，并说明理由；（Ⅱ）根据统计范围的大小，你觉得三人中谁的依据更有指导意义？（Ⅲ）以频率作为概率，求未来三年中恰有两年，此月下雨不超过11天的概率.20. 已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，圆2C 经过椭圆1C 的两个焦点和两个顶点，点P 在椭圆1C 上，且12PF =22PF =（Ⅰ）求椭圆1C 的方程和点P 的坐标；（Ⅱ）过点P 的直线1l 与圆2C 相交于A 、B 两点，过点P 与1l 垂直的直线2l 与椭圆1C 相交于另一点C ，求ABC △的面积的取值范围.21. 已知函数()()()ln 22x mf x ex ax x m +=-+++-，（Ⅰ）若0a >，且()1f -是函数的一个极值，求函数()f x 的最小值； （Ⅱ）若0a =，求证：[]1,0x ∀∈-，()0f x ≥.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的圆心为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为12，现以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， （Ⅰ）求圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）设M ，N 是圆C 上两个动点，满足23MON π∠=，求OM ON +的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()11f x x x m =++++，m R ∈，（Ⅰ）若不等式()2f x m ≥-恒成立，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）求不等式()2f x m -<的解集.试卷答案一、选择题1-5:BACAD 6-10:CCDCB 11、12：B C 二、填空题13.20x y +-= 14.141515.275三、解答题（17）解：（Ⅰ）1361-=+n n a S ，1361-=∴-n n a S )2(≥n ， 两式相减，得n n n a a a 3361-=+)2(≥n ，n n a a 31=∴+)2(≥n ，又12=a ，所以当2≥n 时，}{n a 是首项为1，公比为3的等比数列，22233--=⋅=n n n a a ，由13621-=a a 得311=a ，满足上式， 所以通项公式为23-=n n a *)(N n ∈；（Ⅱ）122293--===n n n n a b ，得11=b ，公比为9，8199191-=--=n n n R ，1213219991-⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=n n n b b b b T)1(2)1(121399---+++===n n n n n ．（18）解：（Ⅰ）由已知得222CD BD BC =+，BC BD ⊥∴，又BC AB ⊥，B AB BD = ，ABD BC 平面⊥∴，AD BC ⊥∴，又AD CD ⊥，C CD BC = ，BCD AD 平面⊥∴，BD AD ⊥∴.（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）知，AB 与平面BCD 所成的角为ABD ∠，即︒=∠60ABD ， 设BD ＝2，则BC ＝2，在ADB Rt ∆中，AB ＝4，由（Ⅰ）中ABD BC 平面⊥，得平面ABC ⊥平面ABD ，在平面ABD 内，过点B 作AB Bz ⊥，则Bz ⊥平面ABC ，以B 为原点，建立空间直角坐标系xyz B -，则)0,0,0(B ，)0,0,4(A ，)0,2,0(C ，)0,1,2(E ，由160cos ||=︒=BD x D ，360sin ||=︒=BD z D ，得)3,0,1(D ，∴)0,1,2(=，)3,0,1(=， 设平面BDE 的法向量为),,(z y x m =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅0302z x BD m y x BE m ，取1=z ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=323y x ，∴)1,32,3(-=m是平面BDE 的一个法向量，又)3,0,3(-=AD 是平面CBD 的一个法向量． 设二面角E BD A --的大小为θ，易知θ为锐角，则2132434|||||,cos |cos =⨯==><=AD m AD mθ，∴60θ=，即二面角C BD E --的大小为60．【解法2：由（Ⅰ）知，AB 与平面BCD 所成的角为ABD ∠，即60ABD ∠=， 分别取CD 、BD 的中点F 、G ，连EG 、FG ，在Rt ABC ∆和Rt ADC ∆中，E 为斜边AC 中点，故12BE DE AC ==， ∴EG BD ⊥；又∵BC ⊥平面ABD ，∴BC BD ⊥， 又∵//BC FG ∴FG BD ⊥； ∴EGF ∠为二面角C BD E --的平面角， 由（Ⅰ）知AD ⊥平面BCD ，又//AD EF ， 故EF ⊥平面BCD ，从而EF FG ⊥，∴12tan 12ADEF EGF FG BC BC ∠====60EGF ∴∠=，即二面角C BD E --的大小为60．（19）解：（Ⅰ）按计酬方式一、二的收入分别记为)(n f 、)(n g ，(10)250(3010)5000f =⨯-=， 52002020010120)10(=⨯+⨯=g ，所以甲选择计酬方式二； 由频数分布表知频率最大的n=8，5500)830(250)8(=-⨯=f ，5360222008120)8(=⨯+⨯=g ，所以乙选择计酬方式一；n 的平均值为10)1132122101938(91=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯，所以丙选择计酬方式二；（Ⅱ）甲统计了1个月的情况，乙和丙统计了9个月的情况， 但乙只利用了部分数据，丙利用了所有数据， 所以丙的统计范围最大， 三人中丙的依据更有指导意义；（Ⅲ）任选一年，此月下雨不超过11天的频率为3296=，以此作为概率，则未来三年中恰有两年，此月下雨不超过11天的概率为94)321()32(223=-⨯C . （20）解：（I ）设)0,(1c F -，)0,(2c F ， 可知圆2C 经过椭圆焦点和上下顶点，得c b =， 由题意知4||||221=+=PF PF a ，得2=a ， 由222a c b =+，得2==c b ，所以椭圆1C 的方程为12422=+y x ， 点P 的坐标为)0,2(.（II ）由过点P 的直线l 2与椭圆1C 相交于两点，知直线l 2的斜率存在， 设l 2的方程为)2(-=x k y ，由题意可知0≠k ， 联立椭圆方程，得0488)12(2222=-+-+k x k x k ，设),(22y x C ，则12482222+-=⋅k k x ，得1224222+-=k k x ，所以1214|2|1||2222++=-+=k k x k PC ；由直线l 1与l 2垂直，可设l 1的方程为)2(1--=x ky ，即02=-+ky x 圆心)0,0(到l 1的距离212kd +=，又圆的半径2=r ，所以1)1(2142)2||(222222+-=+-=-=k k k d r AB ， 1122||22+-⋅=k k AB ，由r d <即2122<+k ，得12>k ，112||||2122+-⋅==∆k k PC AB S ABC1212412142222+-⋅=++⋅k k k k ，设12-=k t ，则0>t ，232332ABC S t t t∆==≤=++，当且仅当t =k =，所以△ABC 的面积的取值范围是(0,]3． （21）解：（I ）m ax ax x ex f mx -+++-=+2)2ln()(2，定义域为),2(∞+-，a ax x e x f m x 2221)('+++-=+． 由题意知0)1('=-f ，即011=--m e ，解得1=m ， 所以1)2()2ln()(1-+++-=+x ax x e x f x ，a ax x e x f x 2221)('1+++-=+， 又1+=x ey 、21+-=x y 、a ax y 22+=（0>a ）在),2(∞+-上单调递增， 可知)('x f 在),2(∞+-上单调递增，又0)1('=-f ，所以当)1,2(--∈x 时，0)('<x f ；当),1(∞+-∈x 时，0)('>x f ． 得)(x f 在)1,2(--上单调递减，)(x f 在),1(∞+-上单调递增， 所以函数)(x f 的最小值为a a f -=--=-11)1(． （II ）若0=a ，得m x ex f mx -+-=+)2ln()(，21)('+-=+x e x f m x 由)('x f 在]0,1[-上单调递增，可知)(x f 在]0,1[-上的单调性有如下三种情形： ①当)(x f 在]0,1[-上单调递增时，可知0)('≥x f ，即0)1('≥-f ，即011≥--m e ，解得1≥m ，m e f m -=--1)1(，令m e m g m -=-1)(，则01)('1≥-=-m e m g ，所以)(m g 单调递增，0)1()(=≥g m g ，所以0)()1()(≥=-≥m g f x f ； ②当)(x f 在]0,1[-上单调递减时， 可知0)('≤x f ，即0)0('≤f ，即021≤-m e ，解得2ln -≤m ， 得02ln 2ln 2ln )0(>=+-≥--=mmme e m ef ，所以0)0()(>≥f x f ；[或：令2ln )(--=m e m h m，则0211)('<-≤-=m e m h ， 所以)(m h 单调递减，021)2ln ()(>=-≥h m h ，所以0)()0()(>=≥m h f x f ；] ③当)(x f 在]0,1[-上先减后增时，得)('x f 在]0,1[-上先负后正，所以)0,1(0-∈∃x ，0)('0=x f ，即2100+=+x e mx ，取对数得)2ln(00+-=+x m x ， 可知)()(0min x f x f =m x e mx -+-=+)2ln(0002)1(2102000>++=++=x x x x ，所以0)(>x f ；综上①②③得：]0,1[-∈∀x ，0)(≥x f ． 【或：若0=a ，得m x ex f mx -+-=+)2ln()(，21)('+-=+x e x f m x 由)('x f 在]0,1[-上单调递增，分如下三种情形：①当0)('≥x f 恒成立时，只需0)1('≥-f ，即011≥--m e ，解得1≥m ， 可知)(x f 在]0,1[-上单调递增，m e f m -=--1)1(，令m e m g m -=-1)(，则01)('1≥-=-m em g ，所以)(m g 单调递增，0)1()(=≥g m g ，所以0)()1()(≥=-≥m g f x f ；②当0)('≤x f 恒成立时，只需0)0('≤f ，即021≤-m e ，解得2ln -≤m ， 可知)(x f 在]0,1[-上单调递减时，02ln 2ln 2ln )0(>=+-≥--=mmme e m ef ，所以0)0()(>≥f x f ；③当)('x f 在]0,1[-上先负后正时，)(x f 在]0,1[-上先减后增，所以)0,1(0-∈∃x ，0)('0=x f ，即2100+=+x e mx ，取对数得)2ln(00+-=+x m x ， 可知)()(0min x f x f =m x e mx -+-=+)2ln(0002)1(2102000>++=++=x x x x ，所以0)(>x f ；综上①②③得：]0,1[-∈∀x ，0)(≥x f . 】（22）解：（I ）圆C 的直角坐标方程为221124x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，化为极坐标方程为sin ρθ=；（II ）设()122,,,3M N πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 122sin sin 3OM ON πρρθθ⎛⎫+=+=++ ⎪⎝⎭1sin sin 223πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 由0203θππθπ≤≤⎧⎪⎨≤+≤⎪⎩，得03πθ≤≤，2333πππθ≤+≤，sin 13πθ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，即OM ON +的最小值为2． (23)解：（I ）|||)1(1||1||1|)(m m x x m x x x f =++-+≥++++=， 由题意知|2|||-≥m m ，得22)2(-≥m m ，解得1≥m ；（II ）不等式为m x m x 2|1||1|<-++-，即m m x x 2|)1(||1|<+-+- 若0≤m ，显然不等式无解；若0>m ，则11>+m ．①当1≤x 时，不等式为m x m x 211<-++-，解得21m x ->， 所以121≤<-x m ； ②当11+<<m x 时，不等式为m x m x 211<-++-，恒成立， 所以11+<<m x ；③当1+≥m x 时，不等式为m m x x 2)1(1<+-+-，解得123+<m x ， 所以1231+<≤+m x m ； 综上所述，当0≤m 时，不等式的解集为空集，当0>m 时，解集为}12321|{+<<-m x m x ．。
2018届广东省揭阳一中、金山中学高三第二学期联考理科数学试题及答案
2018-2018学年度高三第二学期联考数学理试题一．选择题(本大题共8个小题；每小题5分，共40分)1. 已知i 是虚数单位，m 和n 都是实数，且ni i m +=+11)1(,则m ni m ni+=-（ ）A.iB.-iC.1i +D.1i - 2.已知a b a b -=+=r r r r a b ⋅=r r（）A.1B. 2C.3D.53. 数列{}n a 满足121122,021,1n n n n n a a a a a +≤<⎧=⎨-≤<⎩，若145a =，则2015a =（ ）A ．51 B ．52 C ．53 D ．544. 已知某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（ ）A ．163B ．4C ．143D ．65.甲、乙两所学校高三级某学年均分x 及方差2s 的大小关系为（A ．22,x x s s >>乙乙甲甲 B ．22,x x s s ><乙乙甲甲C ．22,x x s s <<乙乙甲甲 D ．22,x x s s <>乙乙甲甲 6. 如图，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线()(sin f x x =及直线()()0,x a a π=∈与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点， 若落在阴影部分的概率为14，则a 的值是( )A .712π B.23π C .34π D.56π7. 下列命题中正确命题的个数是（ ）①“数列{}n a 既是等差数列，又是等比数列”的充要条件是“数列{}n a 是常数列”；②不等式|1||1|1x y -+-≤表示的平面区域是一个菱形及其内部； ③f (x )是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，x ＞0时的解析式是f (x )＝2x ，则x ＜0时的解析式为f (x )＝－2－x ；④若两个非零向量a b 、共线，则存在两个非零实数λμ、，使a b λμ+=0.A ．4B ．3C ．2D ．18. 定义在[)1+∞，上的函数()f x 满足：①(2)=()(f x cf x c 为正常数）；②当24x ≤≤时，2()=(3)1,f x x -+若函数()f x 的图象上所有极小值对应的点均在同一条直线上，则c =（ ） A.1 B.2 C. 1或2 D. 2或4二．填空题(本大题共7小题，每小题5分，满分30分） （一）必做题（9～13题）9．函数xx y -+=11lg 的定义域为集合A ，集合)1,(+=a a B . 若B A ⊆，则实数a 的取值范围为 ；10.在26(1)(1)(1)x x x ++++++ 的展开式中含2x 项的系数为 ；（用数字作答）11．观察式子：2222221311511171,1,1222332344+<++<+++<,由此归纳出12.[x ∈-13则BCF ∆与ACF ∆的面积之比为 ；（二）选做题 (考生只能选做一题) 14．极坐标系中，圆223sin ρρθ+=的圆心到直线10sin cos ρθρθ+-=的距离是 ．15．如图，圆O 的直径8=AB ，C 为圆周上一点，4=BC ，过C 作圆的切线l ，过点A 作直线l 的垂线AD ，D 为垂足，AD 与圆O 交于点E ，则线段DE 的长度为 ．lED C三．解答题16．（本小题满分12分） 设函数()cos(2)cos 3f x x x x π=--.(I)求()f x 的最小正周期，并指出由()f x 的图像如何变换得到函数cos 2y x =的图像；(II)ABC ∆中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1()32f A π-=，2b c +=，求a 的最小值．17．（本小题满分12分）已知某校的数学专业开设了A,B,C,D 四门选修课，甲、乙、丙3名学生必须且只需选修其中一门。
揭阳、金中2018届高三级两校三模联考(理数)
（第7题图）（第3题图）揭阳、金中2018届高三级两校三模联考数学（理科）一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．已知R 是实数集，}12|{<=xx M ，}1|{-==x y y N ，则N∩∁R M ＝( ) A ．(1,2) B ．[0,2] C ． D ．[1,2]2．已知i 是虚数单位，若a ＋b i ＝i 2＋i －i2－i (a ，b ∈R)，则a ＋b 的值是( )A ．0B ．－ 25iC ．－ 25D ． 253．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美。
按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被x y 6sin3π=的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A ．361 B ．181 C ．121 D ．914．已知0,0>>b a ，则“1>ab ”是“2>+b a ”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 5．一个锥体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为1的等腰直角 三角形，则这个几何体的体积是( )A ．12B ．1C ．32D ．26．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，顶角为120°，则E 的离心率为( )A ．5B ．2C ．3D ． 27．执行右图所示的程序框图，如果输入1.0=t ，则输出的n ＝（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 8．若函数()2sin()63f x x ππ=+（210x -<<）的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，则()OB OC OA +⋅=（ ）A ．32-B ．16-C ．16D ．32（第5题图）9．正项等比数列{a n }中，存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，且a 6＝a 5＋2a 4，则1m ＋4n 的最小值是( )A ．32B ．2C ．73D ．25610．已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥04430y y x x ，则x 2＋y 2＋2x 的最小值是( )A ．25B ．2－1C ．2425D ．111．我国古代数学家祖暅是著名数学家祖冲之之子，祖暅原理叙述道 :“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异。
最新-2018学年度高三摸底考试 精品
2018-2018学年度高三摸底考试（潮州金山中学——揭阳一中联考）理科数学一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1、已知集合{}{}2|||2,|0M x x N x x x =<=->，则M N = （ ）A 、∅B 、RC 、MD 、N 2．在复平面内，复数 21i+ 对应的点与原点的距离是（ ） A. 1B.C.2D. 3．已知,a b R Î，则“33log log a b >”是 “11()(22ab<”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4．已知{}n a 是等差数列，154=a ，555=S ，则过点34(3,(4,),)P a Q a 的直线的斜率（ ） A ．4B ．41C ．－4D ．－145．某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李 的费用为：不超过50 kg 按0.53元/kg 收费，超过50 kg 的部分按0.85元/kg 收费.相应收费系统的流程图如右图所示，则①处应填（ ）.A 0.85y x =.B 500.53(50)0.85y x =⨯+-⨯ .C 0.53y x = .D 500.530.85y x =⨯+6．若点P 到直线1y =-的距离比它到点(03)，的距离小2，则点P 的轨迹方程为（ ） A. 24x y = B.212y x = C. 212x y = D.26x y =7.若点y)x,（在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-0220102y x y x 表示的平面区域内运动，则y x t -=的取值范围是（ ）]1,2.[--A ]1,2.[-B ]2,1.[-C ]2,1.[D 8.设奇函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集是（ ）A 、()()1,01,-+∞B 、()(),10,1-∞-C 、()(),11,-∞-+∞D 、()()1,00,1-二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答9．函数2sin y x x =-在(0,)π上的单调递增区间为 10．若5)1(-ax 的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是 . 11.若关于x 的方程2210ax x ++=只有负实根，则实数a 的取值范是 ；12.设()y f x =是一次函数，若()01f =且()()()1,4,13f f f 成等比数列，则()()()242f f f n +++= ； 13.设11,1,2a b a b a b+=+为正数,且则的最小值是 （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14．已知直线的极坐标方程为22)4sin(=+πθρ，则点（2，47π）到这条直线的距离为15. 如图，点P 在圆O 直径AB 的延长线上，且PB=OB=2,PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，则CD= 。
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2017-2018学年度高三第二学期联考数学理试题一．选择题(本大题共8个小题；每小题5分，共40分)1. 已知i 是虚数单位，m 和n 都是实数，且ni i m +=+11)1(,则m ni m ni+=-（ ）A.iB.-iC.1i +D.1i - 2.已知a b a b -=+=r r r r a b ⋅=r r（）A.1B. 2C.3D.53. 数列{}n a 满足121122,021,1n n n n n a a a a a +≤<⎧=⎨-≤<⎩，若145a =，则2015a =（ ）A ．51 B ．52 C ．53 D ．544. 已知某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（ ）A ．163B ．4C ．143D ．65.甲、乙两所学校高三级某学年均分x 及方差2s 的大小关系为（A ．22,x x s s >>乙乙甲甲 B ．22,x x s s ><乙乙甲甲C ．22,x x s s <<乙乙甲甲 D ．22,x x s s <>乙乙甲甲 6. 如图，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线()(sin f x x =及直线()()0,x a a π=∈与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点， 若落在阴影部分的概率为14，则a 的值是( )A .712π B.23π C .34π D.56π7. 下列命题中正确命题的个数是（ ）①“数列{}n a 既是等差数列，又是等比数列”的充要条件是“数列{}n a 是常数列”；②不等式|1||1|1x y -+-≤表示的平面区域是一个菱形及其内部； ③f (x )是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，x ＞0时的解析式是f (x )＝2x ，则x ＜0时的解析式为f (x )＝－2－x ；④若两个非零向量a b 、共线，则存在两个非零实数λμ、，使a b λμ+=0.A ．4B ．3C ．2D ．18. 定义在[)1+∞，上的函数()f x 满足：①(2)=()(f x cf x c 为正常数）；②当24x ≤≤时，2()=(3)1,f x x -+若函数()f x 的图象上所有极小值对应的点均在同一条直线上，则c =（ ） A.1 B.2 C. 1或2 D. 2或4二．填空题(本大题共7小题，每小题5分，满分30分） （一）必做题（9～13题）9．函数xx y -+=11lg 的定义域为集合A ，集合)1,(+=a a B . 若B A ⊆，则实数a 的取值范围为 ；10.在26(1)(1)(1)x x x ++++++ 的展开式中含2x 项的系数为 ；（用数字作答）11．观察式子：2222221311511171,1,1222332344+<++<+++<,由此归纳出12.[x ∈-13则BCF ∆与ACF ∆的面积之比为 ；（二）选做题 (考生只能选做一题) 14．极坐标系中，圆223sin ρρθ+=的圆心到直线10sin cos ρθρθ+-=的距离是 ．15．如图，圆O 的直径8=AB ，C 为圆周上一点，4=BC ，过C 作圆的切线l ，过点A 作直线l 的垂线AD ，D 为垂足，AD 与圆O 交于点E ，则线段DE 的长度为 ．lED C三．解答题16．（本小题满分12分） 设函数()cos(2)cos 3f x x x x π=--.(I)求()f x 的最小正周期，并指出由()f x 的图像如何变换得到函数cos 2y x =的图像；(II)ABC ∆中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1()32f A π-=，2b c +=，求a 的最小值．17．（本小题满分12分）已知某校的数学专业开设了A,B,C,D 四门选修课，甲、乙、丙3名学生必须且只需选修其中一门。
(I)求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；(II)若甲和乙要选同一门课，求选修课A 被这3名学生选修的人数X 的分布列和数学期望．18.（本小题满分14分）在如图所示的多面体ABCDE 中，AB⊥平面ACD ，DE⊥平面ACD ，AC=AD=CD=DE=2，AB=1．(I) 请在线段CE 上找到点F 的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD ，并证明； (II)在(I)的条件下，求二面角F-BE-A 的正弦值.19．（本小题满分14分）设数列{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，3212a a -=，数列{}n b 满足：333log log 2nn n b a =+(I)求数列{}n a 的通项公式； (II)求数列{}n b 的前n 项和n S ；（III ）数列{}n c 满足：1312n nn n b b c a +-=-，求证：1232n c c c +++<BADCE20．（本小题满分14分） 已知点P是椭圆2212x y +=上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点， O为坐标原点，动点Q 满足 OQ →＝PF 1→＋PF 2→，。
(I)求动点Q 的轨迹E 的方程；(II)若与坐标轴不垂直的直线l 交轨迹E 于,A B 两点且OA OB ⊥，求三角形OAB 面积S 的取值范围。
21. （本小题满分14分） 已知函数()()(),g 2ln a f x x x x m x=-=+,(I )当0m =时，存在01,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（e 为自然对数的底数）,使()()000x f x g x ≥,求实数a 的取值范围; (II)当1a m ==时,(1)求最大正整数n,使得对任意1n +个实数()1,2,,1i x i n =+ ,当[]1,2i x e ∈-（e为自然对数的底数）时,都有()()112015ni n i f x g x +=<∑成立;(2)设()()()H x xf x g x =+,在()H x 的图象上是否存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y()121x x >>-,使得()()()'1212122x x H x H x H x x +⎛⎫-=-⎪⎝⎭.数学(理科)参考答案一、选择题：（8小题，共40分）8.【解析】由已知可得，当12x ≤≤时，21()=(2)[(23)1];f x f x x cc=-+当24x ≤≤时，2()=(3)1,f x x -+当48x ≤≤，时，2()=()[(3)1];22x xf x cf c =-+由题意可知函数()f x 的图象上所有极小值对应的点31(,),(3,1),(6,)2c c共线，则11--1=,=1=2.332c c c c ∴或 二、填空题：（共6小题，共30分） 9. []1,0- 10. 20 11. ()2221112112311n n n +++++<++ 12. 213. 6:11. 2三．解答题 16．解：(I )∵1()cos 22222f x x x x =+1cos 2222x x =-cos(2)3x π=+3分∴()f x 的最小正周期22T ππ== …4分由cos(2)3y x π=+的图像向右平移6π个单位长度得到函数cos 2y x = (6)分(II)由11()cos(2)cos 233232f A A A πππ⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭有由A ∈(0，π)，可得A ＝π3. …8分由b ＋c ＝2及余弦定理，得2a ＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc=4－3bc ， …10分又212b c bc +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭仅当b ＝c ＝1时bc 取最大值，此时a 取最小值1. …12分17解：(I) 3名学生选择的选修课所有不同选法有3464=种； …2分各人互不相同的选法有3424A =种，互不相同的概率:8343341==A p ; (4)分(II) 选修课A 被这3名学生选修的人数X ：0，1,2,3, …5分2239(0)416P x === 233(1)416P x ===，233(2)416P x ===，211(3)416P x === (9)分所以X 的分布列为…10分 数学期望933130123161616164EX =⨯+⨯+⨯+⨯= …12分18.解法一：（I ）由已知AB⊥平面ACD ，DE⊥平面ACD ，∴AB//ED，设F 为线段CE 的中点，H 是线段CD 的中点，连接FH ，则//FH =12ED ，∴//FH =AB ，…2分∴四边形ABFH 是平行四边形，∴//BF AH ， 由BF ⊄平面ACD 内，AH ⊂平面ACD ， …4分//BF ∴平面ACD ；…5分（II ）取AD 中点G ，AC CD = CG AD ∴⊥由已知可得平面ADEB ⊥平面ACDACDCG ∴⊥平面ADEB过G 作GK BE ⊥交BE 于K,连由三垂线定理知CK BE ⊥, 又KG ⊂平面BEA,CK ⊂平面FBEGKC ∴∠为二面角F-BE-A 的平面角 …10分由（I ）已证AB//ED ，知1()2KG BE AB DE AD ⋅=+⋅又AB=1,DE=AD=2GK ∴=sin CG GKC CK ∴∠===∴所求角的正弦值为4分或解：（II ）由已知条件可知BEG ∆即为BCE ∆在平面ABED 上的射影， 设所求的二面角的大小为θ，则cos BGEBCES S θ∆∆=， …8分由已知求得BC=BE =CE =∴1||2BCE S CE ∆==…10分而113(242BGE ABED S S AB DE AD ∆==+⋅=梯形）， …12分∴cos BGEBCES S θ∆∆==∴所求角的正弦值为4.…14分解法二：以D 点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得x 轴和z 轴的正半轴分别经过点A 和点E ，则各点的坐标为(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(0,0,2)E ，(2,0,1)B，0)C ， (2)分(I)点F 应是线段CE设F 是线段CE 的中点，则点F ∴3(,0)2BF =-，显然BF与平面xOy 平行，又BF ACD ⊄面 …5 ∴BF∥平面ACD …6分(II) 设平面BCE 的法向量为(,,)n x y z =，则n CB ⊥ ，且n CE ⊥ ，由(1,CB = ，(1,CE =-，∴020x z x z ⎧-+=⎪⎨--+=⎪⎩，不妨设y =则12x z =⎧⎨=⎩，即n = ， (10)分而平面AEB 的一个法向量为(0,1,0)m =， (11)分∴cos n,||||n m m n m ⋅==设二面角F-BE-A的平面角为θ,则sin θ==∴所求角的正弦值为4分19解：(I)设数列{}n a 的公比为q ，由12a =，3212a a -=， 得222120q q --=，即260q q --=． (2)分解得3q =或2q =-，…3分∵0q >∴2q =-不合舍去，∴123n n a -=⨯； …4分(II)由333log log 2nn n b a =+得n b =121333log (23)log 3212nn n n --⨯⨯==-，…6分∴数列{}n b 是首项11,b =公差2d =的等差数列， …7分∴n S 2(121)2n n n +-==．…8分 （III ）由(I)(II)有1233112n n n n n b b c a +-==-- …9分1n ≥ 时，131n -≥11213123313n n n n --∴-≥⨯∴≤- …12分12201112221113133(1)131313133323213n n n n n c c c --∴+++=+++≤+++==-<---- 所以，原不等式成立。