2018届广东省揭阳一中、金山中学高三第二学期联考理科数学试题及答案 精品

2017-2018学年度高三第二学期联考数学理试题

一．选择题(本大题共8个小题；每小题5分，共40分)

1. 已知i 是虚数单位，m 和n 都是实数，且ni i m +=+11)1(,则m ni m ni

+=

-（ ）

A.i

B.-i

C.1i +

D.1i - 2.

已知

a b a b -=+=r r r r a b ⋅=r r

（

）

A.1

B. 2

C.3

D.5

3. 数列{}n a 满足12

112

2,021,1n n n n n a a a a a +≤<⎧=⎨-≤<⎩，若145a =，则2015a =（ ）

A ．5

1 B ．5

2 C ．5

3 D ．5

4

4. 已知某四棱台的三视图如图所示，则该四

棱台的体积是（ ）

A ．163

B ．4

C ．143

D ．6

5.甲、乙两所学校高三级某学年

均分x 及方差2

s 的大小关系为（A ．22,x x s s >>乙乙甲甲 B ．22,x x s s ><乙乙

甲甲C ．22,x x s s <<乙乙甲甲 D ．22,x x s s <>乙乙

甲甲 6. 如图，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线

()(

sin f x x =

及直线()()0,x a a π=∈与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点， 若落在阴影部分的概率为14

，则a 的值是( )

A .712

π B.23

π C .34

π D.

56

π

7. 下列命题中正确命题的个数是（ ）

①“数列{}n a 既是等差数列，又是等比数列”的充要条件是“数列{}n a 是常数列”；

②不等式|1||1|1x y -+-≤表示的平面区域是一个菱形及其内部； ③f (x )是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，x ＞0时的解析式是

f (x )＝2x ，则x ＜0时的解析式为f (x )＝－2－x ；

④若两个非零向量a b 、共线，则存在两个非零实数λμ、，使a b λμ

+=0.

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

8. 定义在[)1+∞，上的函数()f x 满足：①(2)=()(f x cf x c 为正常数）

；②当24x ≤≤时，2()=(3)1,f x x -+若函数()f x 的图象上所有极小值对应的点均

在同一条直线上，则c =（ ） A.1 B.2 C. 1或2 D. 2或4

二．填空题(本大题共7小题，每小题5分，满分30分） （一）必做题（9～13题）

9．函数x

x y -+=11lg 的定义域为集合A ，集合)1,(+=a a B . 若B A ⊆，则

实数a 的取值范围为 ；

10.在26(1)(1)(1)x x x ++++++ 的展开式中含2

x 项的系数

为 ；（用数字作答）

11．观察式子：222222

131151117

1,1,1222332344

+<++<+++<,由此归纳出

12.[x ∈-13则BCF ∆与ACF ∆的面积之比为 ；

（二）选做题 (考生只能选做一题) 14．极坐标系中，圆223sin ρρθ+=的圆心到直线10sin cos ρθρθ+-=的距离是 ．

15．如图，圆O 的直径8=AB ，C 为圆周上一点，4=BC ，过C 作圆的切线l ，过点A 作直线l 的垂线AD ，D 为垂足，AD 与圆O 交于点E ，则线段

DE 的长度为 ．

l

E

D C

三．解答题

16．（本小题满分12分） 设函数

()cos(2)cos 3

f x x x x π=--.

(I)求()f x 的最小正周期，并指出由()f x 的图像如何变换得到函数

cos 2y x =的图像；

(II)ABC ∆中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，

若1()32

f A π-=，2b c +=，求a 的最小值．

17．（本小题满分12分）

已知某校的数学专业开设了A,B,C,D 四门选修课，甲、乙、丙3名学生必须且只需选修其中一门。

(I)求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；

(II)若甲和乙要选同一门课，求选修课A 被这3名学生选修的人数X 的分布列和数学期望．

18.（本小题满分14分）

在如图所示的多面体ABCDE 中，AB⊥平面ACD ，DE⊥平面ACD ，AC=AD=CD=DE=2，AB=1．

(I) 请在线段CE 上找到点F 的位置，使

得恰有直线BF∥平面ACD ，并证明； (II)在(I)的条件下，求二面角F-BE-A 的正弦值.

19．（本小题满分14分）

设数列{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，3212a a -=，数列{}n b 满

足：333log log 2

n

n n b a =+

(I)求数列{}n a 的通项公式； (II)求数列{}n b 的前n 项和n S ；

（III ）数列{}n c 满足：13

1

2

n n

n n b b c a +-=-，求证：1232n c c c +++<

B

A

D

C

E