2011年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)

G A B C

D

E F

2011年全国初中数学联合数学竞赛试题

第一试

一．选择题

1．已知a ＋b ＝2，(1－a )2b ＋(1－b )2

a ＝-4,则a

b 的值为( )

(A) 1 (B) -1 (C) -

1 2

(D)

1 2

2. 已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为( )

(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8

3. 方程│x 2－1│＝(4－23) (x ＋2)的解的个数为( )

(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个

4. 今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有( ) (A) 5组 (B) 7组 (C) 9组 (D) 11组

5. 如图，菱形ABCD 中，AB ＝3， DF ＝1，∠DAB ＝60°，∠EFG ＝15°，FG ⊥BC ，则AE ＝( )

(A) 1＋2 (B) 6 (C) 23－1 (D) 1＋3

6. 已知1x ＋1y ＋z ＝12, 1y ＋1x ＋z ＝13,1z ＋1x ＋y ＝14，则 2x ＋3y ＋4

z 的值为( )

(A) 1 (B)

3 2

(C) 2 (D)

5

2

二．填空题

1. 在△ABC 中，已知∠B ＝2∠A ，BC ＝2，AB ＝2＋23，则∠A ＝ ．

2. 二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点为D ，与x 轴正方向从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于C 点，若△ABD 和△OBC 均为等腰直角三角形（O 为坐标原点），则 b ＋2c ＝ ．

3. 能使2n ＋256是完全平方数的正整数n 的值为 ．

O

A B

C

D

E

F

4. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F ，如果DE ＝3

4CE ，AC ＝85，D 为EF 的中点，则AB ＝ ．

第二试

1. 已知三个不同的实数a ,b ,c 满足a －b ＋c ＝3，方程x 2＋ax ＋1＝0和x 2＋bx ＋c ＝0有一个相同的实根，方程x 2＋x ＋a ＝0和x 2＋cx ＋b ＝0也有一个相同的实根．求a ,b ,c 的值．

P

A

B

C

D

S

2. 如图，在四边形ABCD 中，已知∠BAD ＝60°，∠ABC ＝90°，∠BCD ＝120°，对角线AC ,BD 交于点S ，且DS ＝2SB ，P 为AC 的中点． 求证：（1）∠PBD ＝30°；（2）AD ＝DC ．

3. 已知m ,n ,p 为正整数，m ＜n ．设A (－m ,0)，B (n ,0)，C (0,p )，O 为坐标原点．若∠ACB ＝90°，且OA 2＋OB 2＋OC 2＝3(OA ＋OB ＋OC ) （1）证明： m ＋n ＝p ＋3；

（2）求图象经过A ,B ,C 三点的二次函数的解析式．

参考答案

一．选择题

1.B

2.B

3.C

4.C

5.D

6.C

二．填空题

1. 15°

2. 2

3.11

4. 24

第二试

1.

解 依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．

设1x 是方程①和方程②的一个相同的实根，则⎩⎨⎧=++=++,0,

01121

121c bx x ax x 两式相减，

可解得b

a c x --=

1

1． 设2x 是方程③和方程④的一个相同的实根，则⎩⎨⎧=++=++,0,

0222

222b cx x a x x 两式相减，

可解得1

2--=

c b

a x 。 所以 121=x x ．

又方程①的两根之积等于1，于是2x 也是方程①的根，则0122

2=++ax x 。 又 022

2=++a x x ，两式相减，得 1)1(2-=-a x a ． 若1=a ，则方程①无实根，所以1≠a ，故12=x ．

于是 1,2-=+-=c b a ．又3=+-c b a ，解得 3,2b c =-=． 2.

证明 （1）由已知得 90ADC ∠=︒，从而D C B A ,,,四点共圆，AC 为直径，P 为该圆的圆心．

作BD PM ⊥于点M ，知M 为BD 的中点，所以BPM ∠＝

1

2

BPD ∠＝60A ∠=︒，从而︒=∠30PBM ．

（2）作BP SN ⊥于点N ，则1

2

SN SB =

．

M N

P

S

A

B

C

D

又BD MB DM SB DS 21

,2=

==， ∴SN SB SB SB DM DS MS ==-=-=2

1

232，

∴ Rt △PMS ≌Rt △PNS ，∴ ︒=∠=∠30NPS MPS ， 又PB PA =，所以1

152

PAB NPS ∠=∠=︒，故D C A D A C ∠=︒=∠45，所以DC AD =．

3.

解 （1）因为︒=∠90ACB ，AB OC ⊥，所以2

OC OB OA =⋅，即2

p mn =．

由)(32

2

2

OC OB OA OC OB OA ++=++，得)(32

2

2

p n m p n m ++=++． 又)(2)(2

2

2

2

mp np mn p n m p n m ++-++=++)(2)(2

2

mp np p p n m ++-++=

)(2)(2p n m p p n m ++-++=))((p n m p n m -+++=，

从而有3=-+p n m ，即3+=+p n m ．

（2）由2

p mn =，3+=+p n m 知n m ,是关于x 的一元二次方程

0)3(22=++-p x p x ①

的两个不相等的正整数根，从而04)]3([2

2>-+-=∆p p ，解得31<<-p 。

又p 为正整数，故1=p 或2=p ．

当1=p 时，方程①为0142

=+-x x ，没有整数解．

当2=p 时，方程①为0452=+-x x ，两根为4,1==n m ．