平面解析几何初步一轮复习-(有答案)

第四章 平面解析几何初步 第1课时 直线的方程

1．倾斜角:对于一条与x 轴相交的直线,把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角α叫做直线的倾斜角．当直线和x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°．倾斜角的范围为________．

斜率:当直线的倾斜角α≠90°时，该直线的斜率即k ＝tanα；当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在．

2．过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式 ．若x 1＝x 2，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°． 3．名称 方程 适用范围 斜截式 点斜式 两点式 截距式 一般式

例1. 已知直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m)y ＝4m －1．① 当m ＝ 时，直线的倾斜角为45°．②当m ＝ 时，直线在x 轴上的截距为1．③ 当m ＝ 时，直线在y 轴上的截距为－2

3．④

当m ＝ 时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝ 时，直线过原点． 解：(1) －1 ⑵ 2或－2

1

⑶

31或－2 ⑷－23

⑸ 4

1

变式训练1.（1）直线3y ＋ 3 x ＋2=0的倾斜角是 （ ）

A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．150° （2）设直线的斜率k=2，P 1（3，5），P 2（x 2，7），P （－1，y 3)是直线上的三点，则x 2，y 3依次是 （ ）

A ．－3，4

B ．2，－3

C ．4，－3

D ．4，3

（3）直线l 1与l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7 ，则l 2的斜率是 （ ）

A ．7

B ．－

77 C ．77

D ．－7 （4）直线l 经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是 ．

解：（1）D ．提示：直线的斜率即倾斜角的正切值是－3

． （2）C ．提示：用斜率计算公式

12

12

y y x x --． （3）A ．提示：两直线的斜率互为相反数．

（4）2y ＋3x ＋1=0．提示：用直线方程的两点式或点斜式

典型例题 基础过关

例2. 已知三点A （1，-1），B （3，3），C （4，5）. 求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上. 证明 方法一 ∵A （1，-1），B （3，3），C （4，5）， ∴k AB =

1313-+=2,k BC =3

43

5--=2，∴k AB =k BC ，

∴A 、B 、C 三点共线.

方法二 ∵A （1，-1），B （3，3），C （4，5）， ∴|AB|=25，|BC|=5，|AC|=35，

∴|AB|+|BC|=|AC|，即A 、B 、C 三点共线. 方法三 ∵A （1，-1），B （3，3），C （4，5）， ∴AB =（2，4），BC =（1，2），∴AB =2BC . 又∵AB 与BC 有公共点B ，∴A 、B 、C 三点共线.

变式训练2. 设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3）、B （b ，b 3）、C （c ，c 3）在同一直线上，求证：a+b+c=0.

证明 ∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB =k AC ，

∴c

a c a

b a b a --=--3

333，化简得a 2+ab+b 2=a 2+ac+c 2，

∴b 2-c 2+ab-ac=0，（b-c ）（a+b+c ）=0， ∵a 、b 、c 互不相等，∴b-c≠0，∴a+b+c=0. 例3. 已知实数x,y 满足y=x 2-2x+2 (-1≤x≤1). 试求：

2

3

++x y 的最大值与最小值. 解： 由

2

3

++x y 的几何意义可知，它表示经过定点P （-2，-3）与曲线段AB 上任一点（x,y)的直线的斜率k,如图可知：k PA ≤k≤k PB , 由已知可得：A （1，1），B （-1，5）， ∴3

4≤k≤8， 故

23++x y 的最大值为8，最小值为3

4

. 变式训练3. 若实数x,y 满足等式(x-2)2+y 2=3，那么x

y

的最大值为 （ ） A.2

1

B.

3

3 C.

2

3

D.3

答案D

例4. 已知定点P(6, 4)与直线l 1:y ＝4x ，过点P 的直线l 与l 1交于第一象限的Q 点，与x 轴正半轴交于点M ．求使△OQM 面积最小的直线l 的方程． 解：Q 点在l 1: y ＝4x 上，可设Q(x 0，4x 0)，则PQ 的方程为：6

6

44400--=--x x x y 令y ＝0，得：x ＝

1500-x x (x 0>1)，∴ M(1

500-x x

，0)

∴ S △OQM ＝2

1·

1500-x x ·4x 0＝10·1

02

0-x x ＝10·[(x 0－1)＋1

1

0-x ＋2]≥40 当且仅当x 0－1＝1

1

0-x 即x 0＝2取等号，∴Q(2，8) PQ 的方程为：

6

26

484--=--x y ，∴x ＋y －10＝0

变式训练4.直线l 过点M(2，1)，且分别交x 轴y 轴的正半轴于点A 、B ，O 为坐标原点． (1)当△AOB 的面积最小时，求直线l 的方程； (2)当MB MA ⋅取最小值时，求直线l 的方程． 解：设l ：y －1＝k(x －2)(k ＜0) 则A(2－

k 1

，0)，B(0，1－2k) ①由S ＝2

1(1－2k)(2－

k 1)＝21(4－4k －k

1) ≥

2

1

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡-⋅-+)1()4(24k k ＝4

当且仅当－4k ＝－

k 1，即k ＝－2

1

时等号成立 ∴△AOB 的面积最小值为4

此时l 的方程是x ＋2y －4＝0 ②∵|MA|·|MB|＝224411

k k

+⋅+ ＝

||)1(22k k +＝2⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-+-)()1(k k ≥4 当且仅当－k ＝－

k

1

即k ＝－1时等号成立 此时l 的方程为x ＋y －3＝0

（本题也可以先设截距式方程求解）

1．直线方程是表述直线上任意一点M 的坐标x 与y 之间的关系式，由斜率公式可导出直线方程的五种形式．这五种形式各有特点又相互联系，解题时具体选取哪一种形式，要根据直线的特点而定．

2．待定系数法是解析几何中常用的思想方法之一，用此方法求直线方程，要注意所设方程的适用范围．如：点斜式、斜截式中首先要存在斜率，截距式中横纵截距存在且不为0，两点式的横纵坐标不能相同等（变形后除处）．

3．在解析几何中,设点而不求,往往是简化计算量的一个重要方法.

4．在运用待定数法设出直线的斜率时，就是一种默认斜率存在，若有不存在的情况时，就会出现解题漏洞，此时就要补救：较好的方法是看图，数形结合来找差距.