统计学第3章(参数估计)

◆置信水平1-α这个概率，不能用来描述 某个特定的区间包含总体参数真值的可能性。 只能知道在多次抽样得到的区间中，大概有多 少个区间包含了总体参数的真值。 一个特定的区间包不包含总体参数的真值 是绝对的，不存在可能或不可能包含的问题。
【例如】在99%的置信度下，得到某班学生身高 的置信区间为（155，175），若该班平均身高 的真值为170，则绝对包含；若为150，则绝对 不包含。
若D( x ) D(M e )，则说明均值比中位数更有效 若D( x ) D(M e )，则说明中位数比均值更有效
三、一致性
一致性——又称为相合性，它说明当样本 容量n趋近于无穷大∞时，样本估计量依概率收 敛于总体参数的真实值θ。即随着样本容量的 增大，点估计量的值越来越接近被估计总体参 数的真值。 换言之，一个大样本给出的估计量要比一 个小样本给出的估计量更接近总体参数的真实 值。
ˆ) max L( ) L(

, xn ) 满足
(3.3)
则称 ˆ 是 的最大似然估计。
3、矩法和最大似然法的比较
◆矩估计法是采用样本矩替换总体矩来估 计参数，相当于使用了分布函数的部分信息； ◆最大似然估计法是采用似然函数来求得 参数的估计，理论上相当于使用了分布函数的 全部信息； 在已知总体分布的前提下，采用最大似然 估计法的理由更充分，而在总体分布函数未知 但有关的总体矩已知的情况下，采用矩估计法 更合适。
四、常用的置信度
在构造置信区间时，我们可以用所希望的值 作为置信水平。比较常用的置信水平及临界值如 下表： 置信水平
1
显著性水平

Z
2
90% 95% 99%
0.10 0.05 0.01
1.645 1.96 2.58
但要特别注意：查“标准正态分布表” 时，由于 Z Z 1
2 2
通常不直接查
3.1
点估计
一、点估计
点估计——又称为定值估计，是指直接用一 个样本统计量的值作为总体参数的估计值。 【例】要估计一批产品的合格率，根据随机 抽出的一个样本可以计算出合格率为96%，若将 96%直接作为这批产品合格率的估计值，就是一 个点估计。
◆用于点估计的主要方法：矩估计法、最 大似然估计法。
四、几个重要的结论
◆样本均值、样本方差和样本比率，分别 是总体均值、总体方差和总体比率的无偏、有 效和一致的优良估计量； ◆无偏估计有时可能不存在，有时也可能 不唯一；
◆除了无偏性、有效性、一致性，评价一 个点估计量的好坏时，还可以用均方误差MSE 的概念。
3.3
区间估计的概念
一、区间估计的概念
◆参数估计
参数估计——是指在抽样和抽样分布的基 础上，根据样本信息对总体的未知参数进行的 估计。 比如，用样本均值估计总体均值；用样本 比率估计总体比率；用样本方差估计总体方差 等。
◆参数估计包括：点估计和区间估计两种 具体的估计形式。
假设检验 非参数估计 推断统计抽样估计 点估计 参数估计区间估计 统计预测
1 n j , k ) 存在，记样本的 j 阶原点矩为 Aj xi ，令 n i 1
Aj j (1,
,k ), j 1,
,k
可得 k 个含有未知参数 (1 , ,k ) 的方程，解此方程组可得 j 的
ˆ ( ˆ , , ˆ )。 矩估计 ˆj ， ( j 1, , k ) ，从而得 的矩估计 1 k
第三章
参数估计
【引例】灯泡的使用寿命
◆想要知道的信息是：A、B两种品牌灯泡的 平均使用寿命？两种灯泡平均使用寿命的差值是 多少？（这些都是总体的参数） ◆已知的信息是：8只A品牌灯泡的使用寿命， 10只B品牌灯泡的使用寿命。（这些都是样本信 息）
因此，为了得到想要的答案，我们能做的就 是：利用抽样得到的样本信息来估计总体的信息。
六、理解置信区间必须注意的问题
◆若在所有区间中，有95%的区间包含总 体参数的真值，有5%的区间不包含，则这个区 间就称为置信水平为95%的置信区间。
这样表述置信区间的理由是：总体参数真 值是固定的、未知的，而用样本构造的区间随 样本不同而不同，因此置信区间是一个随机区 间，它不仅因样本的不同而不同，且不是所有 的区间都包含总体参数的真值。
1、矩估计法
矩估计法是英国统计学家皮尔逊于1900年 提出的一种估计方法，它源于替换原理。
矩估计法——是指根据替换原理，用样本 矩去替换相应的总体矩，用样本矩的函数去替 换相应总体矩的函数，求得估计量的方法。
相应地，用矩估计法求得的估计量称为矩 估计量。
◆矩估计的求法
设总体 X 的分布函数（或密度函数）中含有 k 个未知参数， 即 (1 , ,k ) ，假定总体的 k 阶原点矩 k 存在，则所有 j 阶原点 矩 j E( x j ) ( j 1,
一、无偏性
无偏性——是指样本估计量抽样分布的均 值等于被估总体参数的真实值。
ˆ） E（
无偏性实际是指：不同的样本，会有不同 的估计值。虽然从某一个具体样本来看，估计 值有时会大于θ，有时会小于θ，有误差。但 从所有可能样本的角度来看，估计值的平均水 平等于总体参数的真实值，即平均说来，估计 是无偏的。
1、总体方差σ2已知时
当总体服从正态分布，又已知总体方差 σ2时，无论样本为大样本或小样本，经过标 准化后，样本均值都服从标准正态分布，因 此总体均值µ 在1–α的置信水平下，置信区间 为：
x Z

2
n
x Z

2
n
在第八章将介绍，抽样平均误差为 x 而抽样极限误差=临界值×抽样平均误差
推断统计学是当代统计学的主要内容。统 计推断分为抽样估计、假设检验、统计预测三 个部分。 抽样估计——是指用样本提供的信息对总 体相应的数量特征所进行的估计或推断。具体 来说，就是用样本统计量去估计相应的总体参 数。
从数理统计的理论来看，抽样估计包括： 参数估计和非参数估计。
◆非参数估计
非参数估计——是指对总体的分布形式一 无所知，不仅要对总体的分布类型，还要对部 分或全部总体参数一一作出估计和推断。 非参数估计是非常复杂的，不在我们讨论 的范围之内。
区间估计
一个正态总体参数 的区间估计
两个正态总体参数 的区间估计
均值
比率
方差
均值 之差
比率 之差
方差 之比
3.4 一个正态总体参数的区间估计
一、总体均值的区间估计
在对正态总体的均值进行区间估计时，需 要考虑以下几个方面的内容： ◆总体的方差是否已知； ◆用于构造估计量的样本是大样本还是小 样本等。
二、有效性
参数的无偏估计量可能有很多个，那么该 如何考察这些估计量哪个更好呢？这时可以比 较它们有效性的大小。 有效性——又称为最小方差性，是指在若 干个无偏估计量中，方差最小的那个无偏估计 量就是有效估计量。 可见，一个有效的估计量，首先必须是无 偏的。
【例】现要通过抽样考察某班同学统计学测验 平均成绩，而且已知样本均值和中位数是两个 总体参数的无偏估计量，问应该用哪个统计量 作为总体参数的估计呢？ 【解】可以考察两个统计量的有效性来决定。

n

x Z 2x Z
2
n
因此，置信区间可以简写成“点估计值± 抽样极限误差”
x x x x
【例1】一家企业每天生产化肥的产量为8000袋 左右，按规定每袋的重量应为100克。为分析 每袋重量是否符合要求，质检部门从某天生产 的一批化肥中随机抽取了25袋，测得平均每袋 的重量为105.36克，已知产品重量的分布服从 正态分布，且总体的方差为100。 要求以95%的置信度，估计该批产品平均 重量的置信区间。
矩估计法的统计思想非常简单，使用也很 方便，其实质是用样本矩去替换总体矩，从而 求得总体参数的估计，是一种应用广泛的点估 计方法。 ◆需要注意的是，用矩估计法得出的估计 值可能不是唯一的。
2、最大似然法
最大似然法是在1821年首先由德国数学家 高斯提出的，后英国统计学家费雪研究了这种 方法的性质。 最大似然估计法——就是从参数空间中寻 找一个参数值，这个参数值对已经出现的样本 观测值是最可能的，即把令样本观测值出现的 可能性最大的参数值作为参数的估计。 相应地，用最大似然法求得的估计量称 为最大似然估计量，简记为MLE。
, xn ; ) ，称之为似然函数 , xn ) 出现的可能性的大小。
它度量了样本观测值 ( x1 ,
如果总体 X 是连续型随机变量，其概率密度函数是 f ( x; ) ， 则相应的似然函数为
L( ) f ( xi ; )
i 1 n
(3.2)
ˆ ˆ( x , 按照最大似然法的思想，如果统计量 1
3.2
点估计的评价标准
从上面的介绍可以看出，对于同一个总体 参数，采用不同的估计方法，可能会得到不同 的估计量。
那么，究竟用样本的哪种估计量作为总体 参数的估计最好？什么样的估计量才算是一个 好的估计量？这就需要有一定的评价标准。 而且对同一估计量使用不同的评价标准可 能得到不同的结论，因此评价某个估计量的好 坏一定要说明是在哪一个标准之下。常用的评 价标准有三个：无偏性、有效性、一致性。
◆最大似然估计的求法
设总体 X 是离散型随机变量， 其概率函数是 P( X x) p( x; ) 其 中 是未知参数， ( x1 , 测值出现的概率为
P( x1 , , xn ; ) p( xi ; )
i 1 n
, xn ) 是一组样本观测值，这组样本观
(3.1)
记 L( ) P( x,
而是查
Z
具体地，从表中先找到与
2
Z
1
1
最接近的数
2
2
2
值，该数值对应的x值，就是