2018年中考数学题型复习题型七几何图形的相关证明及计算类型六等腰三角形中的辅助线练习

类型六等腰三角形中的辅助线

1. (2017重庆一中模拟)已知等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点G在BC上，连接AG，过C作CF⊥AG，垂足为点E，过点B作BF⊥CF于点F，点D是AB的中点，连接DE、DF.

(1)若∠CAG＝30°，EG＝1，求BG的长；

(2)求证：∠AED＝∠DFE.

第1题图

2. (2017重庆南岸区一模)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC内一点，AD＝BD，且AD⊥BD，连接CD.过点C作CE⊥BC交AD的延长线于点E，连接BE.过点D作DF⊥CD交BC 于点F.

(1)若BD＝DE＝5，CE＝2，求BC的长；

(2)若BD＝DE，求证：BF＝CF.

第2题图

答案

1. (1)解：∵∠ACB ＝90°，CF ⊥AG ，∴∠CAG ＝∠ECG ＝30°，

∴CG ＝2EG ＝2. ∴AC ＝

CG tan 30°＝23， ∴BC ＝AC ＝23，

∴BG ＝BC －CG ＝23－2.

(2)证明：如解图，连接CD ，则CD ⊥AB ，且CD ＝BD ， ∴∠ACD ＝∠CBD ＝45°.

在△ACE 和△CBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEC ＝∠CFB＝90°∠CAE＝∠FCB AC ＝BC

，

∴△ACE ≌△CBF (AAS ),

∴CE ＝BF ，∠ACE ＝∠CBF ，

∵∠CBA ＝∠ACD ＝45°，

∴∠ACE －∠ACD ＝∠CBF －∠CBA ，即∠DCE ＝∠DBF ，

在△DCE 和△DBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝BD ∠DCE＝∠DBF CE ＝BF

，

∴△DCE ≌△DBF (SAS )，

∴∠CED ＝∠BFD ,

∴∠CED －∠CEA ＝∠BFD －∠CFB ，即∠AED ＝∠DFE .

第1题解图

2. 解：(1)∵BD ⊥AD ，点E 在AD 的延长线上，

∴∠BDE ＝90°，

∴BE ＝BD 2＋DE 2＝10，

∵BC ⊥CE ，

∴∠BCE ＝90°，

∴BC ＝BE 2－CE 2＝10－2＝ 22；

(2)如解图，连接AF ，

第2题解图

∵AD ⊥BD ，DF ⊥CD ，

∴∠BDE ＝∠CDF ＝90°，

∴∠BDF ＝∠CDE ，

∵CE ⊥BC ，

∴∠BCE ＝90°，

∴∠DHC ＝∠CED ＋90°，

∠BHE ＝∠DBC ＋90°，

又∵∠DHC ＝∠BHE ，

∴∠DBC ＝∠CED ，

在△BDF 和△EDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DBF ＝∠DEC BD ＝DE ∠BDF＝∠CDE

，

∴△BDF ≌△EDC (ASA )，

∴DF ＝CD ，

∴∠CFD ＝∠DCF ＝45°，

∴∠ADB ＋∠BDF ＝∠CDF ＋∠BDF ， ∴∠ADF ＝∠BDC ，

在△ADF 和△BDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝BD ∠ADF＝∠BDC，DF ＝CD

∴△ADF ≌△BDC (SAS )，

∴∠AFD ＝∠BCD ，

∴∠AFD ＝45°，

∴∠AFC ＝∠AFD ＋∠CFD ＝90°， ∴AF ⊥BC ，

∵AB ＝AC ，

∴BF ＝CF .