数理统计学作业

数理统计学作业

专业：飞行器设计

姓名：刘炜华

学号： 20130302002

2013年9月

1．数据的采集及说明

1.1数据的搜集方法及说明

当复合材料结构开始大量应用之后，在实际使用中可以积累大量的故障统计数据，航空公司在对故障数据进行收集和统计之后，可以对故障数据作故障率直方图和故障频率分布图来进行故障频率信息的统计和分析。

表 1是一架飞机在某段时间内故障间隔飞行小时，下面以该数据集为基础简单估计该架飞机在该时间段内的故障率曲线分布。

表1某飞机一段时间内故障间隔飞行小时

1.2.数据整理

1.表中共有 100 个维修数据，找出其中的最大值为max 652L =小时，最小值为

min 1L =小时； 2.计算组数：

根据经验公式：1 3.32lg k n =+， 计算得1 3.32lg 1 3.32lg1008k n =+=+≈，

所以将数据分为8组； 3.计算组距：

max min 6521

828

L L t k --∆=

=≈； 4.根据公式计算并将所得的结果列成表2:

频率：/j j W f n =

表2故障频率分析过程计算结果

5.计算得：202.98X =，167.0697S =;

根据公式3

1

13

()

1.1035(1)n

i

i X

X V n S

=-=

=-∑

6．计算峰度：

根据公式4

1

24

()

3.4853(1)n

i

i X

X V n S

=-=

=-∑

1.3.直方图与折线图

图1-1故障频数直方图

图1-2故障频率折线图

图1-3故障频率直方图

图1-4累计频率折线图

从频率直方图即图3中可以看出，靠近左侧的数据出现较多。通过比较频率曲线和指数分布曲线可以看出，该图显示故障呈现典型的指数分布，所以说明趋势方程是指数函数。趋势线方程代表故障频数随时间的发展趋势，据此可以预测未来某一时间段内的故障数，来实现故障相关维修成本的估算。

1.4.经验分布函数

根据定义得出，总体X 的经验分布函数为：

0,1

(),1652,1,2,...,991001,652

n x k F x x k x <⎧⎪⎪

=≤<=⎨⎪≥⎪⎩

使用Matlab 软件绘出经验分布函数图像，如图4所示。

图1-5经验分布函数图像

通过比较图4和图5可以看出累计频率曲线与经验分布函数曲线基本一致。

说明当样本容量很大时，经验分布函数逼近随机变量X 的分布函数F （x ）。在这个意义上，当分布函数F （x ）未知时，经验分布函数F n （x ）可以考虑作为F （x ）的估计量。

1.5.概率分布种类

表2概率分布种类

（1）连续均匀分布

连续型均匀分布，如果连续型随机变量X具有如下的概率密度函数，则称X 服从[,]

a b上的均匀分布（uniform distribution），记作[,]

X U a b

。

概率密度函数：

1

()

a x

b f x b a

⎧

≤≤

⎪

=-

⎨

⎪⎩其它

分布函数：0()1

x a x a F x a x b b a <⎧⎪-⎪

=≤<⎨

-⎪⎪⎩x>b

期望为：()2a b E X +=，方差为：2

()[]12

b a Var X -=。

图1-6分布图像

（2）伯努利分布

伯努利分布：又名两点分布或者0-1分布，是一个离散型概率分布，为纪念瑞士科学家雅各布·伯努利而命名。若伯努利试验成功，则伯努利随机变量取值为 其概率质量函数为：

11,()(1)10,0x x

X p

x f x p p q p x -=⎧⎪

=-=≡-=⎨⎪⎩

其它

期望为：()E X p =，方差为：()(1)Var x p p =- （3）几何分布

几何分布（Geometric distribution ）指的是以下两种离散型概率分布中的一种： （1）在伯努利试验中，得到一次成功所需要的试验次数 X 。X 的值域是 { 1, 2, 3, ... }；

（2）在得到第一次成功之前所经历的失败次数 Y = X − 1。Y 的值域是 { 0, 1, 2, 3, ... }。

呈几何分布的随机变量X 的期望和方差为：

2

1

1(),()p

E X Var X p

p -=

=

呈几何分布的随机变量的期望和方差为：

211(),()p

p

E Y Var Y p

p

--=

=

图1-7概率质量函数

图1-8累计分布函数

（4）泊松分布

泊松分布：Poisson 分布又称泊松小数法则（Poisson law of small numbers ），是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Sim éon-Denis Poisson ）在1838年时发表。

泊松分布的概率质量函数为： ()!

k e P X k k λλ-==

期望和方差为：(),()E X Var X λλ==

图1-9概率质量函数