易错汇总2015-2016年甘肃省兰州一中高二上学期期末数学试卷(文科)与解析

圆心 C 的轨迹方程是（
）
A．
B．
C．y2=8x
D．y2=8x（ x≠ 0）
【解答】 解：设圆心 C（x，y），过点 C 作 CE⊥y 轴，垂足为 E，则 | ME| =4， ∴ | CA| 2=| CM| 2=| ME| 2+| EC| 2， ∴（ x﹣ 4） 2+y2=42+x2，化为 y2=8x．
故选： C．
10．（4 分）过点 M（1，1）作斜率为﹣ 的直线与椭圆 C： + =1（a＞b＞0）
相交于 A，B，若 M 是线段 AB的中点，则椭圆 C 的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】 解：设 A（ x1，y1），B（x2， y2），则
，
∵过点 M （1，1）作斜率为﹣ 的直线与椭圆 C： + =1（a＞ b＞ 0）相交于
命题，
当 x=1，y=﹣ 1 时，满足 x＞y，但 x2＞y2 不成立，即命题 q 为假命题，
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则① p∧q 为假命题；② p∨ q 为真命题；③ p∧（￢ q）为真命题；④（￢ p）∨ q
为假命题，
故选： C．
4．（4 分）已知函数 f（x）=axlnx，x∈（ 0，+∞），其中 a 为实数， f ′（ x）为 f
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 13．（ 4 分）若抛物线 y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线 x2﹣y2=1 的一个焦点，
则 p=
．
14．（4 分）设函数 f（x）在（0，+∞）内可导，且 f（ ex）=x+ex，则 f （′1）=
．
15．（ 4 分）有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分）
1．（4 分）下列说法正确的是（
）
A．命题 “若 x2＞1，则 x＞ 1”否命题为 “若 x2＞ 1，则 x≤1”
B．命题 “若 x0∈R，x02＞1”的否定是 “? x∈R，x02＞1”
C．命题 “若 x=y，则 cosx=cosy的”逆否命题为假命题
命题① p∧q；② p∨q；③ p∧（￢ q）；④（￢ p）∨ q 中，真命题是（
）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
4．（4 分）已知函数 f（x）=axlnx，x∈（ 0，+∞），其中 a 为实数， f ′（ x）为 f
（x）的导函数，若 f ′（1）=3，则 a 的值为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
2015-2016 学年甘肃省兰州一中高二 （上）期末数学试卷 （文科）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分）
1．（4 分）下列说法正确的是（
）
A．命题 “若 x2＞1，则 x＞ 1”否命题为 “若 x2＞ 1，则 x≤1”
B．命题 “若 x0∈R，x02＞1”的否定是 “? x∈R，x02＞1”
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】 解：当 a=0 时， f（x）=| x| ，在区间（ 0，+∞）内单调递增．
当 a＜0 时，
，
结合二次函数图象可知函数 f（x）=| （ax﹣1）x| 在区间（ 0，+∞）内单调递增． 若 a＞0，则函数 f （x） =| （ax﹣1） x| ，其图象如图
．
三、解答题（本大题共 4 小题，共 36 分） 17．（ 8 分）给定两个命题，命题 p：对任意实数 x 都有 ax2+ax+1＞0 恒成立，命
题 q：关于 x 的方程 x2﹣x+a=0 有实数根，如果 p∨q 为真命题， p∧ q 为假命
题，求实数 a 的取值范围．
18．（ 8 分）设函数
，曲线 y=f（ x）在点（ 1，f（1））处的切线方程为
A．
B．
C．
来自百度文库
D．
【解答】 解：如图所示，
∵ | PF2| =| F1F2| ，
∴ | PF2| =2c，则 | PF1| =2a﹣2c． ∵ 3| PF1| =4| QF1| ，
∴ | QF1| =
，
则
．
在等腰△ PF1F2 中，可得 cos∠PF1F2=
=．
在△ QF1F2 中，由余弦定理可得： cos∠QF1F2=
C．命题 “若 x=y，则 cosx=cosy的”逆否命题为假命题
D．命题 “若 x=y，则 cosx=cosy ”的逆命题为假命题
2．（4 分）设函数 f（ x）在 x=1 处可导，则
等于（ ）
A．f' （1）
B．
C．﹣ 2f'（1） D．﹣ f'（ 1）
3．（4 分）已知命题 p：若 x＞ y，则﹣ x＜﹣ y；命题 q：若 x＞y，则 x2＞y2，在
相交于 A，B，若 M 是线段 AB的中点，则椭圆 C 的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
11．（ 4 分）已知曲线 y= 在点（ 3，2）处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直，则 a
的值为（ A．2
） B．
C．﹣
D．﹣ 2
12．（ 4 分）设椭圆 C：
的左右焦点分别为 F1，F2，过点 F1
的直线与 C 交于点 P，Q．若| PF2| =| F1F2| ，且 3| PF1| =4| QF1| ，则 的值为（ ）
D．﹣ 2
∴曲线 y= 在点（ 3，2）处的切线的斜率 k=﹣ ，
∵曲线 y= 在点（ 3，2）处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直，
∴直线 ax+y+1=0 的斜率 k′﹣＝a× 故选： D．
=﹣1，即 a=﹣ 2．
12．（ 4 分）设椭圆 C：
的左右焦点分别为 F1，F2，过点 F1
的直线与 C 交于点 P，Q．若| PF2| =| F1F2| ，且 3| PF1| =4| QF1| ，则 的值为（ ）
∴
=﹣
=﹣
D．﹣ f'（ 1） ．
故选： B． 3．（4 分）已知命题 p：若 x＞ y，则﹣ x＜﹣ y；命题 q：若 x＞y，则 x2＞y2，在
命题① p∧q；② p∨q；③ p∧（￢ q）；④（￢ p）∨ q 中，真命题是（
）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
【解答】 解：根据不等式的性质可知，若若 x＞y，则﹣ x＜﹣ y 成立，即 p 为真
（x）的导函数，若 f ′（1）=3，则 a 的值为（ ）
A．4
B．3
【解答】 解： f ′（x）=alnx+a，
C．2
D．1
∵ f ′（ 1） =3，∴ a=3．
故选： B．
5．（4 分） “≤ａ0”是“函数 f（ x） =| （ax﹣ 1） x| 在区间（ 0，+∞）内单调递增 ”的
（）
A．充分不必要条件
A．1
B．2
C．3
D．4
7．（4 分）过双曲线 x2﹣ =1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两
条渐近线于 A、B 两点，则 | AB| =（ ）
A．
B．2
C．6
D．4
8．（4 分）已知 F1、F2 为双曲线 C：x2﹣y2=2 的左、右焦点，点 P 在 C上，| PF1| =2| PF2| ，
，
由 cos∠PF1F2+cos∠QF1F2=0，得
+
=0，
整理得：
，∴ 5a=7c，
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D．命题 “若 x=y，则 cosx=cosy ”的逆命题为命题 “若 cosx=cosy，则 x=y”，为假命 题，当 x=﹣ y 时，结论满足 cosx=cosy，∴ D 正确．
故选： D．
2．（4 分）设函数 f（ x）在 x=1 处可导，则
等于（ ）
A．f' （1）
B．
C．﹣ 2f'（1）
【解答】 解：∵函数 f （x）在 x=1 处可导，
7．（4 分）过双曲线 x2﹣ =1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两
条渐近线于 A、B 两点，则 | AB| =（
A．
B．2
） C．6
D．4
【解答】 解：双曲线 x2﹣ =1 的右焦点（ 2， 0），渐近线方程为 y=
，
过双曲线 x2﹣ =1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线， x=2，
可得 yA=2 ， yB=﹣ 2 ， ∴ | AB| =4 ．
故选： D． 8．（4 分）已知 F1、F2 为双曲线 C：x2﹣y2=2 的左、右焦点，点 P 在 C上，| PF1| =2| PF2| ，
则 cos∠ F1PF2=（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】 解：将双曲线方程 x2﹣y2=2 化为标准方程 ﹣ =1，则 a= ，b= ，
D．命题 “若 x=y，则 cosx=cosy的”逆命题为假命题 【解答】 解： A．命题 “若 x2＞1，则 x＞1”否命题为 “若 x2≤1，则 x≤1”，∴ A 错
误． B．命题 “若 x0∈R，x02＞1”的否定是 “? x∈R，x2≤ 1”，∴ B 错误．
C．“若 x=y，则 cosx=cosy 正”确，即原命题正确，则逆否命题也正确，∴ C 错误．
访了四位歌手，甲说： “是乙或丙获奖． ”乙说： “甲、丙都未获奖． ”丙说： “我
获奖了． ”丁说： “是乙获奖． ”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手
是
．
16．（ 4 分）已知抛物线 C：y2=8x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点， Q 是直
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线 PF与 C 的一个交点，若 =4 ，则 | QF|
它在区间（ 0，+∞）内有增有减， 从而若函数 f （x） =| （ax﹣1）x| 在区间（ 0，+∞）内单调递增则 a≤ 0． ∴ a≤ 0 是”函数 f（x）=| （ax﹣1）x| 在区间（ 0，+∞）内单调递增 ”的充要条件． 故选： C．
6．（ 4 分）已知函数 f（x）=ax3+x+1 的图象在点（ 1，f（ 1））的切线过点（ 2，7），
A，B 两点，
M 是线段 AB 的中点，
∴两式相减可得
，
∴ a= b，
∴ c=
=b，
∴ e= = ．
故选： A． 11．（ 4 分）已知曲线 y=
在点（ 3，2）处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直，则 a
的值为（ ）
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A．2
B．
【解答】 解：∵ y= ，
∴ y′＝
=
，
C．﹣
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则 cos∠ F1PF2=（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（4 分）若动圆 C 过定点 A（4，0），且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8，则动圆
圆心 C 的轨迹方程是（
）
A． C．y2=8x
B． D．y2=8x（ x≠ 0）
10．（4 分）过点 M（1，1）作斜率为﹣ 的直线与椭圆 C： + =1（a＞b＞0）
3x﹣ y﹣4=0． （Ⅰ） 求 f（x）的解析式； （Ⅱ） 证明：曲线 f（ x）上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三
角形面积为定值． 19．（ 10 分）如图，已知四边形 ABCD内接于抛物线 x2=y，点 C（3，9），AC 平
行于 x 轴， BD 平行于该抛物线在点 C 处的切线，∠ BAD=9°0． （Ⅰ）求直线 BD 的方程； （Ⅱ）求四边形 ABCD的面积．
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则 a 的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【解答】 解：函数 f （x） =ax3+x+1 的导数为 f ′（x）=3ax2+1，
图象在点（ 1，f（ 1））的切线斜率为 3a+1，切点为（ 1， a+2），
由切线经过（ 2，7），可得
=3a+1，
解得 a=1． 故选： A．
5．（4 分） “≤ａ0”是“函数 f（ x） =| （ax﹣ 1） x| 在区间（ 0，+∞）内单调递增 ”的
（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．（ 4 分）已知函数 f（x）=ax3+x+1 的图象在点（ 1，f（ 1））的切线过点（ 2，7），
则 a 的值为（ ）
c=2， 设 | PF1| =2| PF2| =2m，则根据双曲线的定义， | PF1| ﹣| PF2| =2a 可得 m=2 ， ∴ | PF1| =4 ，| PF2| =2 ， ∵ | F1F2| =2c=4，
∴ cos∠ F1PF2=
=
= =．
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故选： C．
9．（4 分）若动圆 C 过定点 A（4，0），且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8，则动圆
20．（ 10 分）已知椭圆
的离心率
，焦距为 ．
（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若直线 y=kx+2 与椭圆交于 C， D 两点．问是否存在常数 k，使得以 CD 为
直径的圆过坐标原点 O，若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由．
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2015-2016 学年甘肃省兰州一中高二（上） 期末数学试卷 （文科）