第6章 梁的应力

（2）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维 之间无挤压。 凹入一侧纤维缩短 突出一侧纤维伸长
根据变形的连续性可知， 梁弯曲时从其凹入一侧的 纵向线缩短区到其凸出一 侧的纵向线伸长区，中间 必有一层纵向无长度改变 的过渡层--------称为中
中间层与横截面 的交线 －－中性轴
性层 。 梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转 动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。
1m
B截面—（上拉下压）: M B y1 4 52106 tBmax 27.2MPa, 4 Iz 76310

B c max

M B y2 Iz
4 88106 46.2MPa 4 76310
C截面—（下拉上压）:
tCmax
6 M C y2 2.5 8810 28.2MPa 763104 Iz
(1)
FN dA A E
A

y

dA
E

A
ydA
（中性轴Z轴为形心轴）
E
Sz 0 Sz 0
(2)
M y dAz A E
A
y

zdA
E

E
A
yzdA
（y轴为对称轴，自然满足）
A

I yz 0 I yz 0
(3) M z ydA E A
F m m
A* l/6 B K b
* y y z h
l/3
面积A*对中性轴的静矩为
Sz A* y* 0.1 0.04 0.06 0.24103 m3
则K点的切应力为
FS S z 3 103 0.24 103 τ 0.21 106 Pa 0.21Mpa I zb 0.341 104 0.1
4、线应变的变化规律：
A1 B1 AB AB
a
c

( y )d d d
A1 B1 OO1 OO1

y


y

...... (1)
a o A b
b
d c o1 Ｂ d dx
y
（二）物理关系：由纵向线应变的变化 规律→正应力的分布规律。 在弹性范围内，
d

1、假设：⑴ 横截面上各点的切应力方向与剪力的方向相同。
⑵ 切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离的 各点切应力大小相等）。
2、公式推导
Q
y
z
h
* FS S z τ I zb
τ
y b
* FS S z τ I zb
式中：FS为横截面上的剪力；S
z
*为面积A
1对中性轴的静矩；
Iz横截面对中性轴的惯性矩；b为截面的宽度。

x 90kN x
bh 3 0.12 0.183 IZ 5.832 10 5 m 4 12 12
2. C 截面上K点正应力

M
ql 2 / 8 67.5kN m
K
M C yK IZ
60 103 (
180 30) 10 3 2 5.832 10 5
§6-5 工字形截面及其它形状截面的切应力
80
20
工字型截面是由上、下翼缘及中间腹板组成的。
1、腹板上的切应力
z
20
80
FS S τ I z b1
* z
40
80
20
y 式中：Sz*为欲求应力点到截面边缘间的面积对中性轴的静矩；b1为腹板 的厚度。
切应力沿腹板高度的分布规律如图a所示，仍是按抛物线规律 分布，最大切应力τ max仍发生在截面的中性轴上。
M max ymax M max Iz Wz
max
M max Wz
几种常见截面的 IZ 和 WZ
IZ WZ y max
圆截面 空心圆截面
d 4 IZ 64
d 3 WZ 32
D 4 IZ (1 4 ) 64
bh 3 IZ 12
3
D 3 WZ (1 4 ) 32
;
例、T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的[t]=30 M Pa， [c]=60 M Pa.其截面形心位于C点，y1=52mm， y2=88mm， Iz =763cm4 ，试校核此梁的强度。 解：1)求约束反力 FBy F1 9kN FAy F2 4kN
A C 1m B 1m
-4 k N m
M
2.5 kNm
C
y1 y2
A1
z
A3
27.3MPa
A2 4 28.2MPa A
46.2MPa
x
C
c max
M C y1 17.04 MPa Iz
4 ) 强度校核
t max 28.2 t
c max 46.2 c
最大拉、压应力不在同一截面上
-4 k N m
A
y

ydA

y dA
2
E

Iz M
1


M EI Z
——弯曲变形计算的基本公式
M EI Z
1
——弯曲变形计算的基本公式
EI z 梁的抗弯刚度。
将上式代入式 ( E
Ey

) 得：
M y A z σ y Z
My Iz
弯曲正应力计算公式。
x
弯矩可代入绝对值，应力的符号由变形来判断。 当M > 0时，下拉上压； 当M < 0时，上拉下压。
D 1m
C
y1 y2
FAY 2.5 kN , FBY 10.5kN.
z
2）画弯矩图
M B 4kNm（上拉、下压）
M C 2.5kNm(下 拉 、 上 压 )
x
2.5 kNm
M
3）求应力 B截面—（上拉下压）
C截面—（下拉上压）
A 1m
F 1 =9kN
C
B
F 2 = 4kN
D
1m
-4 k N m
梁的横截面上只有弯矩而无 力而无剪应力的弯曲）。 Fs F F x
x
剪力的弯曲（横截面上只有正应
2.横力弯曲（剪切弯曲）
梁的横截面上既有弯矩又有 M 剪力的弯曲（横截面上既有正应 力又有剪应力的弯曲）。 Fa
二 、纯弯曲梁横截面上的正应力公式
（一）变形几何关系： 由纯弯曲的变形规律→纵向线应变的变化规律。 1、观察实验：
对于矩形截面梁
2 h 1 h b h S b( y) y ( y) ( y 2 ) 2 2 2 2 4 * z
b z y y (a) A1
h
将其代入上式，可得
FS h τ ( y2 ) 2I z 4
2
FS h 2 τ ( y2 ) 2I z 4
例
q=60kN/m
180
120
1.C 截面上K点正应力
30
A
1m
FAY
B C
l = 3m
源自文库
x
K
2.C 截面上最大正应力
z 3.全梁上最大正应力 y
4.已知E=200GPa， C 截面的曲率半径ρ
FBY
解：1. 求支反力
FS 90kN
FAy 90 kN
FBy 90 kN

M C 90 1 60 1 0.5 60 kN m
E
Ey
E

......(2)
Ｏ A１
Ｏ１ Ｂ１
x
y
应力的分布图：
E
M
Ey

σmax
Z
σmax
y 中性轴的位置？
中性层的曲率
1
1

？
为梁弯曲变形后的曲率
M y A z σ
y
Z x
（三）、静力方面： 由横截面上的弯矩和正应 力的关系→正应力的计算公 式。
E
x 90kN
x

M
ql 2 / 8 67.5kN m
EI Z 200 109 5.832 10 5 C MC 60 103 194.4m
§6-2 梁的正应力强度条件及其应用
Mymax Iz
M WZ
对梁的某一截面：
max
max

对全梁（等截面）：
T字型截面梁的切应力
T字型截面可以看成是由两个矩形组成，下面的狭长矩形 与工字形截面的腹板相似，该部分上的切应力仍用下式计算：
* FS S z τ I z b1
矩形截面
bh 2 WZ 6
b0 h0 bh 3 空心矩形截面 I Z 12 12
b0 h0 bh 3 WZ ( ) /( h0 / 2) 12 12
3
弯曲正应力强度条件的三类问题
1、强度校核—— max ；
M max 2、设计截面尺寸—— W z

3、确定外荷载—— M max Wz
2、变形规律： ⑴、横向线：仍为直线， 只是相对转动了一个角度 且仍与纵向线正交。
⑵、纵向线：由直线变为 曲线，且靠近上部的纤维 缩短，靠近下部的纤维伸 长。 3、假设： M
a
c
b
a
d c
M
b
d
（1）弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平 面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某轴转 动了一个角度。
此式表明矩形截面梁横截面上切应力沿梁高按二次抛物线形规律分布。
在截面上、下边缘（ y
h ）处，τ=0， 2
而在中性轴上（y=0）的切应力有最大值，如图b。即
τ max
3FS 3FS FS h2 8Iz 2bh 2 A
式中的A=bh是横截面的面积。由此可见，矩形截面梁 横截面上的最大切应力是截面上平均切应力的1.5倍。
最大弯矩
x
K
z y
max
M max 67.5kN m
I z 5.832 10 5 m 4
M max ymax IZ 180 10 3 2 5.832 10 5
FBY
FS 90kN


x 90kN

67.5 103

M
ql 2 / 8 67.5kN m
例题 一矩形截面的简支梁如图所示。已知：l=3m， h=160mm，b=100mm，y=40mm，F=3kN，求m −m截面上 K点的切应力。
解：先求出m −m截面上的剪力为 3kN，截面对中性轴的惯性矩为
bh 0.1 0.16 Iz 0.341104 m4 12 12
3 3
F A l/3 l/3
61.7 106 Pa 61.7 MPa （压应力）
q=60kN/m
180
3. C 截面最大正应力
120
A
1m
FAY
B C
l = 3m
30
C 截面弯矩
x
K
z y
Cmax
M C 60kN m
FBY
I Z 5.832 10 5 m 4
M C ymax IZ
3
FS 90kN


x 90kN x
180 60 10 10 3 2 5.832 10 5 92.55 10 6 Pa 92.55MPa

M
ql 2 / 8 67.5kN m
q=60kN/m
180
120
4. 全梁最大正应力
30
A
1m
FAY
B C
l = 3m
x
104.17 10 6 Pa 104.17 MPa
q=60kN/m
180
120
5. C 截面曲率半径ρ
30
A
1m
FAY
B C
l = 3m
x
K
C 截面弯矩
z y
M C 60kN m
FBY
I Z 5.832 10 5 m 4
M EI 1
FS 90kN


第六章
§6-1 梁的正应力
梁的应力
§6-2 梁的正应力强度条件及其应用 §6-4 矩形截面梁的切应力 §6-5 工字形截面及其它形状截面的切应力 §6-6 梁的切应力强度条件
§6-1 梁的正应力
一、 纯弯曲和横力弯曲的概念
剪力“Fs”——切应力“τ”； 弯矩“M”——正应力“σ”
a
F A
F
a
B
１.纯弯曲
在整个工字型截面上切应力的方向可用图c表示。 从图中表示切应力方向的许多小箭头来看，它们好象是两股 沿截面流动的水流，从上（或下）翼缘的两端开始，共同朝 向中间流动，到腹板处汇合成一股，沿着腹板向下（或上） 到下（或上）翼缘处再分为两股向两侧流动。 对所有的薄壁杆，其横截面上切应力的方向，都有这个特 点。这种现象称为切应力流。掌握了切应力流的特性，则不 难由剪力的方向确定薄壁杆横截面上切应力的方向。
2、翼缘上的切应力
80
20
z
80
20
20
10
80
y
翼缘上的水平切应力可认为沿翼缘厚度是均匀分布的，其 计算公式仍与矩形截面的切应力的形式相同，即
FS S z* τ I zδ
式中FS为横截面上的剪力；Sz*为欲求应力点到翼缘边缘间的面积 对中性轴的静矩；Iz横截面对中性轴的惯性矩；δ为翼缘的厚度。
M
2.5 kNm
C
y1
y2 z
A1
A3
27.3MPa
结论—— 对Z轴对称截面的弯曲梁，只计算一个截面：
A2 4 28.2MPa A
46.2MPa
M max
对Z轴不对称截面的弯曲梁，必须计算两个截面： M max ; M max
x
§6-4 矩形截面梁的切应力 一、 矩形截面梁横截面上的切应力