二次函数图像与性质复习 知识点很全
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数图像与性质完整归纳二次函数的图像与性质二次函数是高中数学中的重要内容之一，掌握其图像与性质是必不可少的。
二次函数的基本形式是y=ax^2，其中a表示开口方向和抛物线开口大小，x^2表示自变量的平方。
根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点的坐标可以得到不同的性质。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴。
在y=ax^2的基础上，加上常数项c可以得到y=ax^2+c的形式，其中c表示抛物线在y轴上的截距。
根据a和c的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。
当a>0，c>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a>0，c0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a<0，c<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴。
除了基本形式和加上常数项的形式，二次函数还有一种顶点式的形式y=a(x-h)^2+k，其中（h，k）表示顶点坐标。
根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点坐标可以得到不同的性质。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。
在顶点式的基础上，加上常数项k可以得到y=a(x-h)^2+k的形式。
根据a和k的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。
当a>0，k>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a>0，k0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0，k<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。
二次函数图象的平移二次函数的图像可以通过平移来得到新的图像。
平移的步骤是先确定顶点坐标，然后根据顶点坐标的变化来确定平移方向和距离。
二次函数各知识点、考点、典型例题及对应练习(超全)
二次函数专题一：二次函数的图象与性质考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=-2b a ，顶点坐标是（-2ba，244ac b a -）.例 1 已知，在同一直角坐标系中，反比例函数5y x=与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -，．（1）求m 、c 的值；（2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系抛物线y=ax 2+bx+c 中，当a>0时，开口向上，在对称轴x=-2ba的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小.例2 已知2y ax bx =+的图象如图1所示，则y ax b =-的图象一定过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限考点3.二次函数的平移当k>0（k<0）时，抛物线y=ax 2+k （a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向上（或向下）平移|k|个单位得到；当h>0（h<0）时，抛物线y=a （x-h ）2（a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向右（或向左）平移|h|个单位得到.例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A.y=3（x+2）2 B.y=3（x-2）2 C.y=3x 2+2 D.y=3x 2-2图1专题练习一1.对于抛物线y=13-x 2+103x 163-，下列说法正确的是（ ） A.开口向下，顶点坐标为（5，3） B.开口向上，顶点坐标为（5，3） C.开口向下，顶点坐标为（-5，3） D.开口向上，顶点坐标为（-5，3） 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（ ） A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时，y 的最大值为-4D.抛物线与x 轴交点为（-1，0），（3，0）3.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得图象的函数表达式是________.4.小明从图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，你认为其中正确信息的个数有_______.（填序号）专题复习二：二次函数表达式的确定 考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式例1 如图1，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则菜园的面积y （单位：米2）与x （单位：米）的函数关系式为 （不要求写出自变量x 的取值范围）．考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式1.若已知抛物线上三点的坐标，则可用一般式：y=ax 2+bx+c （a ≠0）；2.若已知抛物线的顶点坐标或最大（小）值及抛物线上另一个点的坐标，则可用顶点式：y=a （x-h ）2+k （a ≠0）；3.若已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一个点，则可用交点式：y=a （x-x 1）（x-x 2）（a ≠0）. 例2 已知抛物线的图象以A （-1，4）为顶点，且过点B （2，-5），求该抛物线的表达式.图2ABCD图1菜园墙例3 已知一抛物线与x 轴的交点是A （-2，0）、B （1，0），且经过点C （2，8）. （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标. 专项练习二1.由于世界金融危机的不断蔓延，世界经济受到严重冲击.为了盘活资金，减少损失，某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x ，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 之间的函数表达式为（ ）A.y=2a （x-1）B.y=2a （1-x ）C.y=a （1-x 2）D.y=a （1-x ）22.如图2，在平而直角坐标系xOy 中，抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，点A 在x 轴负半轴，点B 在x 轴正半轴，与y 轴交于点C ，且tan ∠ACO=12，CO=BO ，AB=3，则这条抛物线的函数解析式是 ．3.对称轴平行于y 轴的抛物线与y 轴交于点（0，-2），且x=1时，y=3；x=-1时y=1， 求此抛物线的关系式.4.推理运算：二次函数的图象经过点(03)A -，，(23)B -，，(10)C -，． （1）求此二次函数的关系式； （2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．平移 个单位，使得该图象的顶点在原点． 专题三：二次函数与一元二次方程的关系考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值，确定方程根的范围一元二次方程ax 2+bx+c=0就是二次函数y=ax 2+bx+c 当函数y 的值为0时的情况.例1 根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程ax 2+bx+c=0（a ≠0,a,b,c,为常数）的一个解x 的范围是（ ）x6.17 6.18 6.19 6.202y ax bx c =++0.03- 0.01- 0.02 0.04Ａ．6 6.17x <<Ｂ．6.17 6.18x << Ｃ．6.18 6.19x <<Ｄ．6.19 6.20x <<图2考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值，即一元二次方程ax 2+bx+c=0的根.例2 已知二次函数y=-x 2+3x+m 的部分图象如图1所示，则关于x 的一元二次方程-x 2+3x+m=0的解为________.考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根.反之亦然.例3 在平面直角坐标系中，抛物线21y x =-与x 轴的交点的个数是（ ） A.3B.2C.1D.0专项练习三1.抛物线y=kx 2-7x-7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是________.2.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图2所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．3.已知函数2y ax bx c =++的图象如图3所示，那么关于x 的方程220ax bx c +++= 的根的情况是（ ）A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根4. 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根．（2）写出不等式20ax bx c ++>的解集．（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．（4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．图1。
(整理)第10讲二次函数图象和性质
第10讲 二次函数（一）专题一：二次函数的图像与性质（一）知识点梳理1. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和性质 a ＞02. 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成()k h x a y +-=2的形式，其中 h ＝ ， k ＝ .3. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和2ax y =图像的关系.4. 二次函数c bx ax y ++=2中c b a ,,的符号的确定. 5、图象的平移：将二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象进行平移，可得到y=ax 2＋c ，y=a(x －h)2，y=a(x －h)2＋k 的图象．⑴ 将y=ax 2的图象向上(c ＞0）或向下(c< 0）平移|c|个单位，即可得到y=ax 2＋c 的图象．其顶点是（0,c ）形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax 2相同． ⑵ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，即可得到y=a(x －h)2的图象．其顶点是（h ，0），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．⑶ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x －h)2 +k 的图象，其顶点是（h ，k ），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．（二）：经典考题精讲例1、二次函数y=ax 2＋bx 2＋c 的图象如图所示，则a 0，b 0，c 0.（填“＞”或“＜”＝．）例2、二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与一次函数y=ax ＋c 在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ）例3、在同一坐标系中，函数y=ax 2＋bx 与y=xb的图象大致是图中的（ ）例4、如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中建立的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y=0．0225x 2＋0．9x ＋10表示，而且左右两条抛物线关于y 轴对称，你能写出右面钢缆的表达式吗？例5、图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax 2＋（a ＋c ）x ＋c 与一次函数y=ax ＋c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）例6、抛物线y=ax 2＋bx ＋c 如图所示，则它关于y 轴对称的抛物线的表达式是 ．例7、已知二次函数y=（m －2）x 2＋（m ＋3）x ＋m ＋2的图象过点（0，5）（1）求m 的值，并写出二次函数的表达式； （2）求出二次函数图象的顶点坐标、例8、 如图所示，有一边长为5cm 的正方形ABCD 和等腰三角形PQR ，PQ=PR=5cm ，QR=8cm ，点B 、C 、Q 、R 在同一直线ι上．当CQ 两点重合时，等腰△PQR 以1cm/秒的速度沿直线ι按箭头所示方向开始匀速运动，t 秒后，正方形ABCD 与等腰△PQR 重合部分的面积为Scm 2．解答下列问题：（1）当t=3秒时，求S 的值； （2）当t=5秒时，求S 的值；三：拓展与应用1. 抛物线()22-=x y 的顶点坐标是 .2．将抛物线23y x =-向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是 ．3. 如图所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+- 的图象，那么a 的值是 ．4.二次函数2(1)2y x =-+的最小值是（ ） A.－2 B.2 C.－1 D.15. 请写出一个开口向上，对称轴为直线x ＝2，且与y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式 .6.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如右图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．7.已知函数y=x 2-2x-2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x 的取值范围是（ ）A ．-1≤x≤3B ．-3≤x≤1C ．x≥-3D ．x≤-1或x≥38. 二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的图象如图所示，则下列结论： ①a ＞0； ②c ＞0； ③ b 2-4a c ＞0，其中正确的个数是( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 第3题图第6题图9. 已知二次函数243y ax x=-+的图象经过点（－1，8）.（1）求此二次函数的解析式；（2）根据（1）填写下表.在直角坐标系中描点，并画出函数的图象；（3）根据图象回答：当函数值y<0时，x的取值范围是什么？专题二：二次函数与一元二次方程（一）：【知识梳理】1．二次函数与一元二次方程的关系：（1）一元二次方程ax2+bx+c=0就是二次函数y=ax2+bx+c当函数y的值为0时的情况．（2）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根．（3）当二次函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有两个交点时，则一元二次方程y=ax2+bx+c 有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根；当二次函数y＝ax2+ bx+c的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程y=ax2+bx+c没有实数根（二）：【经典考题剖析】1.已知二次函数y=x2－6x+8，求：（1）抛物线与x轴J轴相交的交点坐标；（2）抛物线的顶点坐标；（3）画出此抛物线图象，利用图象回答下列问题：①方程x2－6x＋8=0的解是什么？②x取什么值时，函数值大于0？③x取什么值时，函数值小于0？2.已知抛物线y＝x2－2x－8，（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积．3.如图所示，直线y=-2x+2与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC ，∠BAC=90o， 过C 作CD ⊥x 轴，垂足为D （1）求点A 、B 的坐标和AD 的长（2）求过B 、A 、D 三点的抛物线的解析式4.如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发，沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，回答下列问题：（1） 设运动后开始第t （单位：s ）时，五边形APQCD 的面积为S（单位：cm 2），写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围 （2）t 为何值时S 最小？求出S 的最小值5. 如图，直线334y x k=+(0)k >与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点P 是线段AB 的中点，抛物线283y x bx c =-++经过点A 、P 、O （原点）。
《二次函数的图象和性质》 知识清单
《二次函数的图象和性质》知识清单一、二次函数的基本形式二次函数的一般式为：＄y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$（＄a ＼neq 0$），其中＄a$、＄b$、＄c$ 是常数。
当＄a ＞ 0$ 时，二次函数的图象开口向上；当＄a ＜ 0$ 时，图象开口向下。
二、二次函数的对称轴对于二次函数＄y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$，其对称轴的方程为＄x ＝＼frac{b}｛2a}＄。
对称轴将二次函数的图象分成对称的两部分。
三、二次函数的顶点坐标二次函数的顶点坐标为＄＼left(＼frac{b}｛2a}，＼frac{4ac b^2}｛4a}＼right)＄。
当＄a ＞ 0$ 时，顶点为图象的最低点；当＄a ＜ 0$ 时，顶点为图象的最高点。
四、二次函数的图象变化1、＄a$ 的作用＄｜a|＄的大小决定了图象开口的宽窄程度，＄｜a|＄越大，开口越窄；＄｜a|＄越小，开口越宽。
＄a$ 的正负决定了图象的开口方向。
2、＄b$ 的作用＄b$ 和＄a$ 共同决定对称轴的位置。
当＄b ＝ 0$ 时，对称轴为＄y$ 轴。
3、＄c$ 的作用＄c$ 表示二次函数与＄y$ 轴的交点纵坐标，即图象与＄y$ 轴交于点＄（0, c)＄。
五、二次函数的最值当＄a ＞ 0$ 时，函数在顶点处取得最小值；当＄a ＜ 0$ 时，函数在顶点处取得最大值。
最值为＄＼frac{4ac b^2}｛4a}＄。
六、二次函数的图象与＄x$ 轴的交点令＄y ＝ 0$，解一元二次方程＄ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$ 。
1、当＄＼Delta ＝ b^2 4ac ＞ 0$ 时，图象与＄x$ 轴有两个交点。
2、当＄＼Delta ＝ b^2 4ac ＝ 0$ 时，图象与＄x$ 轴有一个交点。
3、当＄＼Delta ＝ b^2 4ac ＜ 0$ 时，图象与＄x$ 轴没有交点。
七、二次函数的平移1、向上平移＄k$ 个单位函数表达式变为＄y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c ＋ k$2、向下平移＄k$ 个单位函数表达式变为＄y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c k$3、向左平移＄h$ 个单位函数表达式变为＄y ＝ a(x ＋ h)＾2 ＋ b(x ＋ h) ＋ c$4、向右平移＄h$ 个单位函数表达式变为＄y ＝ a(x h)＾2 ＋ b(x h) ＋ c$八、二次函数的应用二次函数在实际生活中有广泛的应用，例如：1、求最大利润问题通常设利润为＄y$，销售量或价格为＄x$，建立二次函数模型，通过求顶点坐标来得到最大利润。
二次函数知识点 二次函数图像与性质
二次函数图像与性质〖知识要点〗 1.二次函数定义一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
定义域是全体实数，图像是抛物线。
2y ax bx c =++是二次函数的“一般式”。
特点：① 自变量x 最高次数是2，② a ≠0 ③ 整式2. 二次函数的基本形式：2y ax =（0a ≠）的图像性质：a 越大抛物线的开口越小考点一：二次函数定义例1.（1）圆的半径是xcm ，圆的面积为ycm²，写出y 与x 之间的函数关系式；（2）用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，写出场地面积y(m ²)与矩形一边长x(m)之间的关系式例2. （1）下列函数中，是二次函数的是 .①y=x 2－4x+1； ②y=2x 2； ③y=2x 2+4x ； ④y=－3x ； ⑤y=－2x －1； ⑥y=mx 2+nx+p ； ⑦y =222(2)2x x --；⑧y=－5x.(2)若y=（m ＋1）x562--m m 是二次函数，则m=（ ）A ．7B ．—1C ．－1或7D ．以上都不对(3)函数)1(432-=x y 的自变量x 的取值范围是 ； (4)已知二次函数3)12()1(2+++-=x m x m y ，当x=1时，y=3，则其表达式为 ；（5）已知二次函数8-10-2x xy +=，当x=________________时,函数值y 为1.考点二：2y ax =（0a ≠）的图像性质例3.作二次函数2x 2y =的图像观察图象,你发现了:例4.（1） 函数y=-x 2的图像是一条______线,开口向_______,对称轴是______, 顶点是________, 顶点是图像最_____点,表示函数在这点取得最_____值。
函数y=x 2 的图像的开口方向________,对称轴________,顶点_______.（2）．关于213y x =，2y x =，y=-3x 2的图像，开口最大的是 ．例5已知抛物线y=ax 2经过点A （-2，-8）.（1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点B （-1，- 4）是否在此抛物线 ；（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.例6已知二次函数mm m +=2xy （1）当m 取何值时它的图象开口向上。
二次函数图像与性质完整归纳
3 2 -2
3 2 0 5…
2
【例 2】 求作函数 y x 2 4 x 3 的图象。
【解】 y x 2 4x 3 ( x2 4x 3)
[( x 2) 2 7] [( x 2) 2 7 先画出图角在对称轴 x 2 的右边部分，列表
x -2 -1 0 1 2 y 76 5 4 3
【点评】 画二次函数图象步骤： (1) 配方； (2) 列表； (3) 描点成图； 也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）边部分图象，再利 用对称性描出右（左）部分就可。
, 3 ] 上是增函数，在区间 [ 3, 10
29 ymaz 20 ) 上是减函数。
【点评】 要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时，方法有两个：
(1) 配方法；如例 3
(2) 公式法：适用于不容易配方题目 ( 二次项系数为负数或分数 ) 如例 4，可避免出错。
任何一个函数都可配方成如下形式：
b 时， y 随 x 的增大而增大； 当 x b
2a
2a
b ，顶点坐标为 2a
b ，4ac b2 ．当 2a 4a
x b 时， y 随 x 的增大而增大；当 x 2a
2
有最大值 4ac b ． 4a
b 时， y 随 x 的增大而减小；当 x 2a
b 时， y 2a
六、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式： y ax 2 bx c （ a ， b ， c 为常数， a 0 ）； 2. 顶点式： y a ( x h)2 k （ a ， h ， k 为常数， a 0 ）；
向下
h ，k
x h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y X=h
随 x 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 k ．
二次函数的像与性质知识点总结
二次函数的像与性质知识点总结一、二次函数的定义及性质二次函数是指一般形式为f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a ≠ 0。
它是二次方程的图象。
1. 定义二次函数的定义域是一组实数，范围可根据上下文中的题目来确定。
它是实数集到实数集的映射关系。
2. 对称性二次函数的图象关于直线x = -b/2a对称。
3. 零点二次函数的零点就是使得f(x) = 0的x值。
零点可以通过求解二次方程ax² + bx + c = 0来得到。
二、二次函数的图象与特点1. 图象的开口方向二次函数开口向上（a > 0）或开口向下（a < 0）。
开口方向直接取决于二次函数的系数a。
2. 图象的顶点顶点是二次函数的极值点，其横坐标为x = -b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。
顶点是二次函数图象的最高点（开口向下）或最低点（开口向上）。
3. 最值当二次函数开口向上时，它在定义域上无下界，但有一个最小值；当二次函数开口向下时，它在定义域上无上界，但有一个最大值。
4. 对称轴对称轴是指二次函数图象的对称轴，其方程为x = -b/2a。
图象关于对称轴对称。
5. 零点零点是指二次函数的图象与x轴交点的横坐标。
零点的个数和种类取决于二次函数的判别式Δ = b² - 4ac。
- 当Δ > 0时，二次函数有两个不同的实根，图象与x轴有两个交点。
- 当Δ = 0时，二次函数有一个实根，图象与x轴有一个交点。
- 当Δ < 0时，二次函数无实根，图象与x轴无交点。
6. 区间根据二次函数开口的方向，可以将定义域分成两个区间。
在每个区间内，二次函数具有相同的增减性。
7. 渐近线二次函数没有水平渐近线，但有一条垂直渐近线x = -b/2a，这条线是对称轴。
如果a ≠ 0，则二次函数有斜渐近线。
三、二次函数的变形与应用1. 平移变换将二次函数沿x轴平移h个单位，或沿y轴平移k个单位，可通过将x或y的值替换为x ± h或y ± k来实现。
人教版九年级数学上《二次函数的图像和性质》知识全解
《二次函数的图像和性质》知识全解课标要求理解二次函数的概念，会根据函数的解析式画出函数的图像，熟练掌握二次函数的图像及性质。
知识结构知识点1：二次函数概念一般地，形如y=ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数.其中x 是自变量，a 、b 、c 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.函数的名称反映了函数表达式与自变量的关系.知识点2：2()y a x h k =-+及2y ax bx c =++的图像及性质（1）抛物线2()y a x h k =-+有如下特点：①当a ＞0时，开口向上；当a ＜0时，开口向下；②对称轴是直线x=h ；③顶点坐标是（h ，k ）.（2）抛物线2y ax bx c =++的对称轴和顶点.一般地，二次函数2y ax bx c =++的图像叫做抛物线2y ax bx c =++，我们可以用配方求抛物线2y ax bx c =++=224()24b ac b a x a a-++的顶点与对称轴.因此，抛物线2y ax bx c =++的对称轴是2b x a =-、顶点坐标是24(,)24b ac b a a --. 内容解析在本节中，教材首先从实例中引出二次函数，进而给出二次函数的定义.关于二次函数的图像和性质的讨论分为以下几部分.（1）从最简单的二次函数函数2y x =出发，通过描点画出它的图像，从而引出抛物线的有关概念.（2）讲述二次函数2y ax =的图像的画法，并归纳出这类抛物线的特征.（3）讨论形如2y ax k =+和2()y a x h =-的函数的图像，然后讨论形如2()y a x h k =-+的函数的图像.（4）讨论函数2y ax bx c =++的图像.上述讨论过程如图26-1所示：重点难点本节的重点是二次函数的概念，结合具体情境体会二次函数的概念.本节的难点是二次函数图像及其性质.通过具体实例，让学生经历概念的形成过程，使学生体会到函数能够反映实际事物的变化规律.让学生在自主学习中，通过对多个实例的讨论分析，逐步学会独立分析问题解决问题的能力.在学习过程中要注意联系实际生活的实例，注意二次函数与生活、技术、社会的联系，特别是联系学生身边的生活、现代科技，以激发学生学习的兴趣和提高实践能力.教法导引（1）在二次函数图像的教学中，应让学生充分经历用描点法画函数图像的过程，引导他们从开口方向、开口大小、对称性、最高（低）点等几个方面去认识二次函数的图像，对比各种不同形式及相同形式但所含常数不同时的各种情况，归纳总结出二次函数的性质，从而发现二次函数的性质，更好地理解二次函数的性质.（2）重视从特殊到一般的探索过程,从具体的例子(数值系数的二次函数)研究中注意比较，发现规律,领会方法；（3）注意渗透数学思想方法，在研究图像时注重利用配方法进行化归，在求二次函数的表达式时注意运用待定系数法.学法建议二次函数是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节.和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验.因此，在学习这一部分知识之前应先复习一下以前所学的一次函数、反比例函数，复习一下这两种函数的概念、图像、性质及应用，以及研究这两种函数的方法.函数图像实现了函数由数到形，由形到数的转化.运用函数的图像来研究函数的性质是学好函数知识的前提.学生亲自动手画函数的图像，感知函数图像与表达式之间的关系，通过观察图像得出函数的性质.学习中，如果能把数与形紧密地结合起来，不仅可以加深对概念的理解、掌握知识之间的内在联系，而且有利于培养观察图形的能力、逻辑思维与抽象思维的能力、以及灵活运用所学知识分析、解决问题的能力.。
《二次函数的图象和性质》 知识清单
《二次函数的图象和性质》知识清单二次函数的图象和性质知识清单一、二次函数的基本形式二次函数的一般式为：＄y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$（＄a ＼neq 0$），其中$a$、＄b$、＄c$是常数。
当$b ＝ 0$，＄c ＝ 0$时，函数变为$y ＝ ax^2$，这是最简单的二次函数形式。
当$b ＝ 0$时，函数为$y ＝ ax^2 ＋ c$，图象是在$y ＝ ax^2$的基础上进行了上下平移。
当$c ＝ 0$时，函数为$y ＝ ax^2 ＋ bx$，其对称轴为直线$x ＝＼frac{b}｛2a}＄。
二、二次函数的图象特点1、抛物线的形状二次函数的图象是一条抛物线。
＄a$的大小决定了抛物线的开口宽窄程度。
当$a ＞ 0$时，抛物线开口向上；当$a ＜ 0$时，抛物线开口向下。
＄｜a|＄越大，抛物线的开口越窄；＄｜a|＄越小，抛物线的开口越宽。
2、对称轴对于一般式$y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$，其对称轴的方程为$x ＝＼frac{b}｛2a}＄。
3、顶点坐标抛物线的顶点坐标为$（＼frac{b}｛2a}，＼frac{4ac b^2}｛4a}）＄。
当$a ＞ 0$时，顶点是抛物线的最低点；当$a ＜ 0$时，顶点是抛物线的最高点。
4、与$x$轴的交点通过求解方程$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$的根，可以得到抛物线与$x$轴的交点。
当判别式$＼Delta ＝ b^2 4ac ＞ 0$时，抛物线与$x$轴有两个不同的交点；当$＼Delta ＝ 0$时，抛物线与$x$轴有一个交点（即相切）；当$＼Delta ＜ 0$时，抛物线与$x$轴没有交点。
三、二次函数的性质1、单调性当$a ＞ 0$时，在对称轴左侧（＄x ＜＼frac{b}｛2a}＄），函数单调递减；在对称轴右侧（＄x ＞＼frac{b}｛2a}＄），函数单调递增。
当$a ＜ 0$时，在对称轴左侧，函数单调递增；在对称轴右侧，函数单调递减。
二次函数图像与性质复习 知识点很全
在车辆刹车过程中，速度与时间的关 系可以用二次函数来描述。通过分析 这个函数，可以了解车辆的刹车性能 和安全性能。
数学中的二次函数应用案例
解二次方程
二次函数可以用来解二次方程。通过将方程转化为二次函 数的形式，可以更容易地找到方程的根。
最小值问题
二次函数的最小值问题在数学中非常重要。通过分析二次 函数的开口方向和顶点坐标，可以找到函数的最小值。
步骤。
技巧分享
分享一些解题技巧，如如何快速 判断二次函数的开口方向、顶点 坐标、对称轴等，以及如何运用
数形结合的方法解决问题。
拓展应用
将二次函数的解题思路和技巧应 用到其他数学问题中，如一元二 次方程、不等式等问题，提高学 生的数学思维能力和解题能力。
WENKU DESIGN
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函数的图像和性质
二次函数的图像和性质是数学中的重要内容。通过研究二 次函数的图像和性质，可以了解函数的单调性、对称性等 特征，从而更好地理解和应用二次函数。
PART 06
二次函数的综合练习与提 高
综合练习题解析与解答过程展示
典型例题解析
选取具有代表性的二次函数综合 练习题，如涉及二次函数的性质 、图像、最值等各方面的题目， 进行详细解析和解答过程展示。
二次函数图像关于顶点 对称
二次函数图像关于对称 轴对称
PART 03
二次函数的性质与特点
开口方向与二次项系数的关系
01
二次项系数大于0时，抛物线开口 向上；
02
二次项系数小于0时，抛物线开口 向下。
顶点坐标与一次项系数的关系
一次项系数为正时，顶点在x轴下方 ；
一次项系数为负时，顶点在x轴上方。
02
二次函数图像与性质总结
二次函数图像与性质总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a-=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a=-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a=-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有四种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c=++关于x轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c=---；()2y a x h k=-+关于x轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k=---；2. 关于y轴对称2y ax bx c=++关于y轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c=-+；()2y a x h k=-+关于y轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k=++；3. 关于原点对称2y ax bx c=++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c=-+-；()2y a x h k=-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c=++关于顶点对称后，得到的解析式是222by ax bx ca=--+-；()2y a x h k=-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=--+．。
二次函数图像与性质知识点
二次函数的图像与性质 1. 一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a 、b 、c 为常数)，则称y 为x 的二次函数。
顶点坐标（a 2-b ，a 4b2-ac 4） 2. 顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0，a 、h 、k 为常数) [抛物线的顶点 P(h ，k) ]3. 交点式（与x 轴）：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0，x1、x2为常数)重要知识：（a ，b ，c 为常数，a ≠0，且a 决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。
IaI 还可以决定开口大小,IaI 越大开口就越小,IaI 越小开口就越大。
）4. 二次函数y=ax2，y=ax2+k,y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k ，y=ax2+bx+c (各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表： 解析式y=ax2+k y=ax2 y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 顶点坐标(0,k) (0，0) ( h ，0) (h ，k) (-b/2a ，4ac-b2/4a) 对 称轴 x=0(y 轴) x=0(y 轴) x=h x=h x=-b/2a当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h 个单位得到，当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h 个单位，再向上移动k 个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k 的图象；当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h 个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k 的图象；当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k 个单位可得到y=a(x-h)2+k 的图象；当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k 的图象；5. 一元二次方程求根公式：当b2-4ac>0 时，当b2-4ac=0时，x1=x2=a2b - 6. 一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置。
二次函数图像和性质总结(附答案解析)
二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、2-32y=3(x+4)22y=3x 2【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。
二次函数图象性质重点知识点深度剖析
二次函数【要点梳理】要点一、二次函数的定义 一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：（a ≠0） ①；②；③；④，⑤.当时开口向上 当时开口向下(轴) (轴)(0，) (，0)(，)()2. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. (1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. (2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线中，的作用： (1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即 、异号)时，对称轴在轴右侧.20()y ax bx c a =++≠,,a b c(3) 的大小决定抛物线与轴交点的位置. 当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.4.用待定系数法求二次函数的解析式： (1)一般式：（a ≠0）.已知图象上三点或三对、值，通常选择一般式. (2)顶点式：（a ≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (可以看成的图象平移后所对应的函数.)(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a ≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线（a ≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点三、二次函数与一元二次方程的关系 函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. (1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，，则方程有两个不相等实根； (2)当二次函数的图象与x 轴只有一个交点，，则方程有两个相等实根； (3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，，则方程没有实根.2y ax bx c =++的图象的解知识点一、二次函数的概念例1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）．A. y=3x ﹣1B. y=ax 2+bx+cC. s=2t 2﹣2t+1 D ．y=x 2+例2把抛物线向右平移1个单位，所得到抛物线的函数表达式为( )．A ．B ．C ．D ．【变式】把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x 2－3x+5，试求b 、c 的值。
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数图像与性质完整归纳二次函数是高中数学中的重要内容之一，具有重要的理论意义和实际应用价值。
在学习二次函数时，了解其图像和性质是十分重要的，本文将对二次函数图像和性质进行完整归纳。
一、二次函数的定义和一般形式二次函数是指形如 y = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 为实数，且a ≠ 0。
该函数的自变量 x 是实数，因变量 y 也是实数。
通过定义可以看出，二次函数的最高次数是 2，由此得名二次函数。
二、二次函数图像的一般特征1. 开口方向：二次函数图像的开口方向取决于二次项系数 a 的正负性。
若 a > 0，则图像开口向上；若 a < 0，则图像开口向下。
2. 对称轴：二次函数图像关于自变量 x 的轴对称，称为对称轴。
对称轴的方程为 x = -b/(2a)。
3. 顶点坐标：二次函数图像的顶点坐标为对称轴上的点，可通过对称轴的方程计算得到。
4. 最值：当二次函数开口向上时，函数的最小值为顶点的纵坐标；当二次函数开口向下时，函数的最大值为顶点的纵坐标。
5. 零点：二次函数图像与 x 轴的交点称为零点，也叫根。
通过解二次方程 ax^2 + bx + c = 0 可计算得到。
三、二次函数图像的具体情况1. a > 0 的情况：- 当 a > 0, b = 0, c > 0 时，图像开口向上，顶点在原点上方，图像在y 轴上方，无零点；- 当 a > 0, b > 0, c = 0 时，图像开口向上，顶点在原点左侧，图像在x 轴上方，有一个零点；- 当 a > 0, b < 0, c > 0 时，图像开口向上，顶点在原点右侧，图像在x 轴上方，有两个零点；- 当 a > 0, b = 0, c < 0 时，图像开口向上，顶点在原点下方，图像在y 轴下方，无零点。
2. a < 0 的情况：- 当 a < 0, b = 0, c > 0 时，图像开口向下，顶点在原点下方，图像在y 轴下方，无零点；- 当 a < 0, b > 0, c = 0 时，图像开口向下，顶点在原点左侧，图像在x 轴下方，有一个零点；- 当 a < 0, b < 0, c > 0 时，图像开口向下，顶点在原点右侧，图像在x 轴下方，有两个零点；- 当 a < 0, b = 0, c < 0 时，图像开口向下，顶点在原点上方，图像在y 轴上方，无零点。
(完整版)二次函数图像与性质专题复习
二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)2【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法 【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【例2】求作函数342+--=x x y 的图像。
九年级数学下中考知识点梳理 二次函数的图象与性质
当a＜0时，抛物线开口向下.
某些特殊形式代数式的符号：
1a±b+c即为x=±1时，y
的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值.
32a+b的符号，需判断对称
轴-b/2a与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-b/2a＞1，再根据a的符号即可得出结果.④2a-b的符号，需判断对称轴与-1的大小.大小的方法：①直接代入求值法；②性质法：当自变量在对称轴同侧时，根据函数的性质判断；当自变量在对称轴异侧时，可先利用函数的对称性转化到同侧，再利用性质比较；④图象法：画出草图，描点后比较函数值大小.
失分点警示
（2）在自变量限定范围求二次函数的最值时，首先考虑对称轴是否在取值范围内，而不能盲目根据公式求解.
失分点警示：
抛物线平移规律是“上加下减，左加右减”,左右平移易弄反.
例：将抛物线y=x2沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是y=（x－2）2．
知识点四：二次函数与一元二次方程以及不等式
5.二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.
若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可设交点式.
知识点二：二次函数的图象与性质
a、b
决定对称轴（x=-b/2a）的位置
当a，b同号，-b/2a＜0，对称轴在y轴左边；
当b＝0时，-b/2a=0，对称轴为y轴；
二次函数的图像和性质总结
二次函数的图像和性质总结二次函数（Quadratic Function）是高中数学中重要的一个部分，是指一种形式为y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。
二次函数的图像是一条抛物线，其性质包括：开口方向、顶点、对称轴、最值、零点、增减性等。
下面将对二次函数的图像和性质进行详细总结。
一、图像特征：1.开口方向：-当a>0时，抛物线开口向上；-当a<0时，抛物线开口向下。
2.顶点：-对于抛物线开口向上的情况，顶点是抛物线的最低点；-对于抛物线开口向下的情况，顶点是抛物线的最高点。
3.对称轴（y轴）：- 对于一般的二次函数y=ax²+bx+c，其对称轴的方程为x=-b/2a；-对于抛物线开口向上的情况，对称轴是抛物线的最低点；-对于抛物线开口向下的情况，对称轴是抛物线的最高点。
4.最值：-对于抛物线开口向上的情况，最小值为顶点的纵坐标；-对于抛物线开口向下的情况，最大值为顶点的纵坐标。
5.零点：- 零点是指二次函数y=ax²+bx+c与x轴的交点；-二次函数可能有0个、1个或2个零点；- 当判别式D=b²-4ac>0时，有两个不相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac=0时，有两个相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac<0时，无实数根。
6.增减性：-当a>0时，抛物线开口向上，函数在对称轴两侧递增；-当a<0时，抛物线开口向下，函数在对称轴两侧递减。
二、性质总结：1.函数的解析式：- 二次函数的解析式一般形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0；-通过解析式可以得到函数的图像特征。
2.零点：-零点是指函数与x轴的交点；- 零点可以通过解二次方程ax²+bx+c=0来求解；- 当判别式D=b²-4ac>0时，有两个不相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac=0时，有两个相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac<0时，无实数根。
(完整版)二次函数图象和性质知识点总结
二次函数的图象和性质知识点总结一、知识点回顾1. 二次函数解析式的几种形式：①一般式：（a 、b 、c 为常数，a ≠0） ②顶点式：（a 、h 、k 为常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标。
③交点式：，其中是抛物线与x 轴交点的横坐标，即一元二次方程的两个根，且a ≠0，（也叫两根式）。
2. 二次函数的图象 ①二次函数的图象是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a 相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。
②任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。
③在画的图象时，可以先配方成的形式，然后将的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将配成的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。
然后取图象与y 轴的交点（0，c ），及此点关于对称轴对称的点（2h ，c ）；如果图象与x 轴有两个交点，就直接取这两个点（x 1，0），y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y a x x x x =--()()12x x 12，ax bx c 20++=y ax bx c =++2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y ax =2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y ax =2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2（x 2，0）就行了；如果图象与x 轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y 轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。
a ＞0 a ＜0 a ＞0 a ＜0(1)抛物线开口向上，(1)抛物线开口向下，(1)抛物线开口(1)抛物线开4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法①配方法：将解析式化为的形式，顶点坐标为y ax bx c =++2y a x h k =-+()2（h ，k ），对称轴为直线，若a ＞0，y 有最小值，当x ＝h 时，；若a ＜0，y 有最大值，当x ＝h 时，。
(完整版)初中二次函数知识点详解最新助记口诀
1、二次函数的性质
函数
二次函数
图像
a>0
a<0
y
0 x
y
0 x
性质
（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；
（2）对称轴是xΒιβλιοθήκη ，顶点坐标是（ ， ）；（3）在对称轴的左侧，即当x< 时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x> 时，y随x的增大而增大，简记左减右增；
（4）抛物线有最低点，当x= 时，y有最小值，
知识点一、二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念
一般地，如果特 ，特别注意a不为零
那么y叫做x的二次函数。
叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于 对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：
①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法
五点法：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴
绝对值大开口小，开口向下A负数。
抛物线有对称轴，增减特性可看图。
线轴交点叫顶点，顶点纵标最值出。
如果要画抛物线，描点平移两条路。
提取配方定顶点，平移描点皆成图。
列表描点后连线，三点大致定全图。
若要平移也不难，先画基础抛物线，
顶点移到新位置，开口大小随基础。
【注】基础抛物线
（2）求抛物线 与坐标轴的交点：
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
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y
y=2x2+1
4、抛物线的平移
y=2x2+1与 y=2x2的图 象有什么关 系?
-3. -2 -1
5 4. 3. 2. 1.
y=2x2
0. -1
1.
2.
3.
x
二次函数y=3x -1图像可以由y=3x 的 图象向下平移一个单位得到
y=3x2
0.25.
这两函数的图像有什么关系？ 2 2
-1
-0.75.
引申：y=2(x+3)2-4
y=2(x+1)2+2
y 2( x 2) 2 是由 平移 个单位得到
2
y 2 x 2是由 平移 个单位得到
y （x 1 2 2是由 平移 个单位得到 2 ）
y （x 1 2 3是由 平移 个单位得到 2 ）
例2：
解:
1 3 已知二次函数y=—x2+x-— 2 2 （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？ （6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？ 1 （1）∵a= —>0 2 ∴抛物线的开口向上 1 1 ∵y= — (x2+2x+1)-2=—(x+1)2-2 2 2 ∴对称轴x=-1，顶点坐标M（-1，-2）
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
a>0,开口向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
a<0,开口向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
b 4ac b 2 当x 时, y最小值为 2a 4a
二次函数知识导航
• • • • • • • • 1、二次函数 的定义 2、二次函数 的图像及性质 3、求解析式的三种方法 4、a，b，c及相关符号的确定 5、抛物线的平移 6、二次函数 与一元二次方程的关系 7、二次函数 的应用题 8、二次函数 的综合运用
本次复习知识点1——5
1、二次函数的定义
上加下减
顶点坐标
函数
y=ax2
开口方向 a>0时,向上 a<0时,向下
对称轴 y轴 y轴
（0,0）
（0,c）
a>0时,向上 y=ax2+c a<0时,向下
观察图象,回答问题
(1)函数y=3(x-1) 2 的 图象与y=3x2的图象有 什么关系?
y 3x
2
x 12 y 3
把y=3x² 的图像沿轴向右 平移1个单位就得到 y=3(x-1)² 的图像
y随x变化规律
y=3x²
以直线x=0为界线 以直线x=1为界线
y=3(x-1)2
y=3(x+1)2
抛物线
向上ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（-1，0）直线x=-1
以直线x=-1为界线
综合：配方法
例4：由二次函数y=x2的图象经过如何平移可以 得到函数y=x2-5x+6的图象.
5 2 1 y=x2-5x+6 ( x ) 2 4
2.顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k）， y=a(x-h)2+k(a≠0) 通常设抛物线解析式为_______________ 求出表达式后化为一般形式. 3.交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 y=a(x-x1)(x-x2) (x2,0),通常设解析式为_____________(a≠0) 求出表达式后化为一般形式.
把y=3x² 的图像沿x轴向右平 y 3x 1 移1个单位就得到y=3(x-1)² 的图像 把y=3x² 的图像沿轴向左平 移1个单位就得到y=3(x+1)² 的图像
函数 图像 抛物线 抛物线
左加右减
y 3x 2
2
x 12 y 3
开口方 顶点坐标 对称轴 向 向上 向上 （0，0） 直线x=0 （1，0） 直线x=1
-0.5. -0.25
0.
0.25.
0.5.
0.75.
1
x
-0.25. -0. 5. -0.75. -1.
y=3x2-1
二次函数y=ax2与y=ax2+c的图象有什么关系？
二次函数y= ax2+c的图象可以由 y=ax2 的图象 当c > 0 时 向上平移c个单位得到. 当c < 0 时 向下平移-c个单位得到.
b 4ac b 2 当x 时, y最大值为 2a 4a
例2：
1 2 3 已知二次函数y=—x +x-— 2 2 （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？ （6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
• • • • •
定义：y=ax²＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0 ） 定义要点：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式 练习：1、y=-x² ，y=2x² -2/x，y=100-5 x² ， y=3 x² -2x+5,其中是二次函数的有 3 个。
例1：当m_______时,函数y=(m+1)χ =1
例2：
解:
1 3 已知二次函数y=—x2+x-— 2 2 （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？ （6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？ 3 (2)由x=0，得y= - -— 2 3 抛物线与y轴的交点C（0，- -—） 2 1 3 由y=0，得—x2+x- —=0 2 2 x1=-3 x2=1 与x轴交点A（-3，0）B（1，0）
•
• • •
•
例2：
解
1 3 已知二次函数y=—x2+x-— 2 2 （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y随x的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？ （6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？ x=-1 :(5) 当x＜-1时，y随x的增大 而减小; 当x=-1时，y有最小值为 y最小值=-2
龙文教育
——
二次函数考点分析
• 二次函数是初等函数中的重要函数，在解决各类数学问题 和实际问题中有着广泛的应用，是江苏中考热点之一。 • 二次函数主要考查表达式、顶点坐标、开囗方向、对称轴、 最大（小）值、用二次函数模型解决生活实际问题。
• 其中顶点坐标、开囗方向、对称轴、最大（小）值、图象
与坐标轴的交点等主要以填空题、选择题出现。 • 利用二次函数解决生活实际问题以及二次函数与几何知识 结合的综合题以解答题形式出现：一类是二次图象及性质 的纯数学问题，一类是利用二次函数性质结合其它知识解 决实际问题的题目，
例2：
1 3 已知二次函数y=—x2+x-— 2 2 （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？ （6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？ y x=-1 (3) ①画对称轴 (1,0) x (-3,0) ②确定顶点 0 ③确定与坐标轴的交点
是二次函数？
m2 1
- 2χ+1
2、二次函数的图像及性质
y y
0
x
0
x
抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值
y=ax2+bx+c(a>0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线x 2a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线x 2a
解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x
•
(-3,0)
(1,0) x
0 3 (0,-–) 2
•
• • • (-1,-2)
例2：
解:
1 2 3 已知二次函数y=—x +x-— 2 2 （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？ （6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？ y (6)