与圆有关的最值问题K

（2）∵ EF GH
∴
S四边形EFGH
1 EF GH 2 4 d12 4 d 2 2 2
8 (d12 d 2 2 ) 2 7 2
（当且仅当 d1 d2 ， 2 时取等号） 2
小结 圆的最值问题常见的解法有两种:几何法和代数法. 1.几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特 征及意义,则考虑利用图形来解决,这就是 2.代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的 函数关系,则可首先建立目标函数,再求这个函数的 最值.
动点到定点距离平方的最值问题；
x2 y 2 1
类型三：向函数问题转化
例3（ 2010全国理科）
已知圆O： x2 y 2 1 ，PA、PB为该圆的两条切线，
A、B为两切点，则 PA PB的最小值为
A O P B
解：令APB 2
( (0, )) 2

PA PB PA PB cos 2
，
，
(1 tt)) 1 (1 tt)(1 )(1 2 2 1 令sin 2 t (t 0) 则 tt 则PA PAPB PB 2 2 3 3 2 2 2 2 3 3 tt tt
2 ，即 sin
（当且仅当 t 2 2
2 时取等号） 2
变式2：由直线y x 1上一点向圆C： ( x 3) 2 y 2 1引切线， 则切线长的最小值为
y
PA PC r PC 1
2 2 2 2
P
PCmin 2 2
PAmin 7
O C
A
x
变式3：已知P点为直线y x 1上一动点，过P作圆 C： ( x 3) 2 y 2 1的切线PA, PB, A、B为切点， 则当PC为何值时，APB最大。
PQ PC r 2 2 1 PQ PC r 2 2 1
O
C
x
N
变式1：已知A(0， 1)，B(2， 3), Q为圆C： ( x 3) 2 y 2 1上任一点， 则SQAB的最小值为
y
B
A Q O
C
x
SVQAB
1 AB hQ 2hQ 2(2 2 1) 4 2 2
类型四：向基本不等式转化
例4： 线l1，l2 , l1交圆C与E、F两点，l2交圆C与G、H两点， (1) EF GH的最大值 (2)求四边形EGFH面积的最大值。
E H
M
O
已知圆C： ( x 2) 2 y 2 4, 过点A(1,0)做两条相互垂直的直
y
C
N G
A
F
x
解：（1）令圆心C到弦EF的距离为 d1,到弦GH的距离为 d2
2 2
Байду номын сангаас
求下列各式的最值： (1) x 2 y (3)(x 2) 2 ( y 1) 2 y 1 (2) x2 (4) | x y 1 |
例2：若实数x, y满足x 2 y 2 2 x 4 y 0, 求下列各式的最值： (1) x 2 y
解：令 x 2 y z 则 y 2 x 2 z 由题意，当直线的纵截距最小时， z最大，此时直线和圆相切，故圆心到直线的距离
例2：若实数x, y满足x 2 y 2 2 x 4 y 0, 求下列各式的最值： (3)(x 2) 2 ( y 1) 2
C
O
y
A
·
x
15 2
50,15 2 50

例2：若实数x, y满足x 2 y 2 2 x 4 y 3 0, 求下列各式的最值： (4) | x y 1|
y
APB APC
sin APC 1 PC
O
P A C
x
PCmin 2 2
B
PC 2 2时，APB最大。
变式4： P作圆C： 已知P为直线y x 1上一动点，过 ( x 3) 2 y 2 1 的切线PA, PB，A、B为切点，则四边形 PACB面积的最小 值为
例2：
2 2
已知圆C：x y 2 x 4 y 3 0, 从圆C外一点P( x, y )向该圆 引一条切线，切点为M , O为坐标原点，且有 PM PO，求 使得 PM取得最小值的点 P的坐标。
y
C
O
x
P
S四边形PACB SPAC SPBC 2SPAC
SPAC SPAB 2SPAB 1 2 PA AC PA 2
y
1 2 PA AC PA 2
P A
CB
由变式2可知， PAmin 7 故四边形PACB面积的最小值为
O
B
C
x
7
y
C
O
x y 1 [4 10, 4 10]
x
方法小 结
①形如
y b xa
形式的最值问题，可转化为动直线
斜率的最值问题； ②形如 t ax by 形式的最值问题，可转化为动直线
截距的最值问题；
③形如 m ( x a) 2 ( y b) 2 形式的最值问题，可转化为圆心
方法小 结
总结：求圆上动点到定 直线的距离的最值可转 化为
求圆心到定直线的距离
若直线与圆相离，则圆 上点与直线的
最大距离dmax d / r
最小距离dmin d / r
（其中d / 表示圆心到定直线的距 离）
类型二：抓住所求式的几何意义求最值
例2：若实数x, y满足x y 2 x 4 y 3 0,
1 tan 22 2 22 2 22 2 cos cos 2 2 cos cos cos 2 2 (1 sin sin )(1 )(1 2sin 2sin ) )) cos 2 cos cos cos 2 (1 (1 sin )(1 2sin ， PA PA PB PB 22 2 PA PB 22 2 22 2 tan tan sin sin sin sin tan sin sin PA PB
1 1
C
O
y
x
d
5 z 5
5
故z 0或 10
由题意， zmax 0 即x-2y的最大值为0．
zmin 10 即x-2y的最大值为-10．
例2：若实数x, y满足x y 2 x 4 y 0,
2 2
求下列各式的最值： y 1 (2) x2
C
y
A
·
O
x
1 k [2, ) (, ] 2
与圆有关的最值问题
一：圆上一点到直线距离的最值问题
二：抓住所求式的几何意义求最值
三：向函数问题转化 四：向基本不等式转化
类型一：圆上一点到直线距离的最值问题
则 | PQ | 的最小值为 最大值为
y
P
M Q
例1：已知P为直线y x 1上任一点，Q为圆C： ( x 3) 2 y 2 1上任一点，
作业：已知圆 x2＋y2＋2ax－2ay＋2a2－4a＝0(0<a≤4)的 圆心为 C，直线 l：y＝x＋m. (1)若 m＝4，求直线 l 被圆 C 所截得弦长的最大值； (2)若直线 l 是圆心下方的切线，当 a 在(0,4]变化时，求 m 的取值范围．
【解答】 (1)∵x2＋y2＋2ax－2ay＋2a2－4a＝0， ∴(x＋a)2＋(y－a)2＝4a. ∴圆心为 C(－a，a)，半径为 r＝2 a. 设直线 l 被圆 C 所截得的弦长为 2t，圆心 C 到直线 l 的距离为 d. m＝4 时，直线 l：x－y＋4＝0， |－a－a＋4| 圆心 C 到直线 l 的距离 d＝ ＝ 2|a－2|， 2 t2＝(2 a)2－2(a－2)2＝－2a2＋12a－8＝－2(a－3)2＋10. ∴当 a＝3 时，直线 l 被圆 C 所截得弦长的最大值为 2 10.
|－a－a＋m| |m－2a| (2)圆心 C 到直线 l 的距离 d＝ ＝ ， 2 2 ∵直线 l 是圆 C 的切线， |m－2a| ∴d＝r，即 ＝2 a. 2 ∴m＝2a± 2 2a. ∵直线 l 在圆 C 的下方， ∴m＝2a－2 2a＝( 2a－1)2－1. ∵a∈(0,4]，∴m∈－1，8－4 2.
则EF+GH 2( 4 d12 4 d 2 2 )
又d12 d22 CA2 1
4 d12 4 d22 8 (d12 d22 ) 8 1 14 由 2 2 2 2
2 （当且仅当 d1 d2 ， 时取等号） 2
8 1 14 则EF+GH 2 2