现代设计方法 作业

现代设计方法作业习题1
姓名王金昆工程0802班200879250222
2-1.制作一个体积为5m^3的货箱，由于运输装卸要求其长度不小于4m，要求钢板用料最省，试写出该问题的优化数学模型.
解：设该货箱长为x1m、宽为x2m、高为x3m，表面积为S,体积为V.由题意可以建立优化数学模型：
S=2*(x1*x3+x2*x3)+x1*x2;
V=x1*x2*x3=5;
x1>=4;
x2>=0;
x3>=0;
选择最优化算法求解Smin. 我选择Lingo软件来求解，编程如下：
min=fx;
fx=2*(x1*x3+x2*x3)+x1*x2;
x1*x2*x3=5;
x1>=4;
x2>=0;
x3>=0;
点击Solve出现结果：
Local optimal solution found.
Objective value: 15.14911
Extended solver steps: 5
Total solver iterations: 112
Variable Value Reduced Cost
FX 15.14911 0.000000
X1 4.000000 0.000000
X3 0.7905694 0.1107763E-07 X2 1.581139 0.000000
所以表面积Smin=15.14911 m^2,此时长为4m，宽为1.581139 m,高为0.7905694 m.
2-2.把一根长为L的铜丝截成两段，一段弯成圆形，一段完折成正方形。

求截断的两段为何比例才能使圆形和正方形的面积之和最大，试写出该问题的优化数学模型。

解：设弯成正方形的边长为x，所围成的圆形和正方形面积之和为S。

建立优化数学模型：
取pai-3.1415926
S=x^2+((L-4*x)/2/pai)^2*pai;
x<=L/4;
x>=0;
选择解析法（求一、二阶导数）
对S求导：令S′=2*x+2*（L-4*x）/pai=0
x=L/(4+pai)
S″=2+8/pai>0
所以当x==L/(4+pai)时，S取最小值：Smin=L^2/(4+pai)/4
而两端值S(0)=L^2/4/pai,S(L/4)=L^2/16
所以Smax=S(0)=L^2/4/pai,即此时只弯成圆形。

此此时两段比例为0:L.
也可以选择用Lingo软件来求解，令S=fx, pai=3.1415926，L=1编程如下
max=fx;
fx=x^2+((1-4*x)/2/3.1415926)^2*3.1415926;
x<=0.25;
x>=0;
点击Solve出现结果：
Local optimal solution found.
Objective value: 0.7957747E-01
Extended solver steps: 5
Total solver iterations: 48
Variable Value Reduced Cost FX 0.7957747E-01 0.000000 X 0.000000 0.000000
所以Smax= 0.07957747 L^2，此时x=0.
2-7.求函数F(X)=(x1-1)^2+x2^2在点X=[2;1]的梯度和黑塞矩阵。

解：求梯度grad(X)=[2(x1-1);2x2] 所以grad(X)=[2;2] 求Hesse Matrix H(X)= [2 0;0 2]所以H(X)= [2 0;0 2]
2-8.。

函数F(X)=x1^2+x1*x2+x2^2-6*x1-3*x2的极值和极值点。

解：由极值的定义可列式：
grad(X)=0 2*x1+x2+6=0;
x1+2*x2-3=0;
解得x1=3,x2=0 则（3,0）为驻点
再求Hesse Matrix H(X)
H(X )= [2 1；1 2 ] 用极小点存在的充分条件来判定该驻点是否为极值点。

显然各阶顺序主子式的行列式值均大于0
datH(X )= 3>0;a11=2>0 所以X*=[3 0] ＇
所以该函数F(X )在（3,0）点处存在极值且为极小值
F(X*)=-9
课堂补充习题2
123123(3)1000,,,,B B B A A A 某农场承包亩土地，因土壤等自然条件不同，。

现要在三类地上种植三种作物。

各土地的面积、各类作物
的计划播种面积以及各种作物在各种土地上的亩产量如表1.3所示。

问应如何因地制宜安排作物布局才使总产量最大？建立线性规划问
题的数学模型。

解：设总产量为Y 。

由于B1可种植A1、A2、A3，B2也可种A1、A2、A3，同理B3也可种植A1、A2、A3。

又设在B1种A1 x1亩，种A2 x2，种A3 x3亩；在B2种A1 x4亩，种A2 x5亩，种A3 x6亩；在B3种A1 x7亩，种A2 x8亩，种A3 x9亩。

则可列式：
一、
Y=600*x1+800*x2+400*x3+700*x4+500*x5+150*x6+500*x7+850*x8+300*x 9;
x1+x2+x3=200;
x4+x5+x6=300;
x7+x8+x9=500;
x1+x4+x7=100;
x2+x5+x8=500;
x3+x6+x9=400;
x1>=0;
x2>=0;
x3>=0;
x4>=0;
x5>=0;
x6>=0;
x7>=0;
x8>=0;
x9>=0;
令Y=fx在LINGO中输入
max=fx;
fx=600*x1+800*x2+400*x3+700*x4+500*x5+150*x6+500*x7+850*x8+300* x9;
x1+x2+x3=200;
x4+x5+x6=300;
x7+x8+x9=500;
x1+x4+x7=100;
x2+x5+x8=500;
x3+x6+x9=400;
x1>=0;
x2>=0;
x3>=0;
x4>=0;
x5>=0;
x6>=0;
x7>=0;
x8>=0;
x9>=0;
点击Solve出现结果：
Global optimal solution found.
Objective value: 605000.0
Total solver iterations: 7
Variable Value Reduced Cost
FX 605000.0 0.000000
X1 0.000000 350.0000
X2 0.000000 150.0000
X3 200.0000 0.000000
X4 100.0000 0.000000
X5 0.000000 200.0000
X6 200.0000 0.000000
X7 0.000000 350.0000
X8 500.0000 0.000000
X9 0.000000 0.000000
所以总产量Ymax=605000.0 此时在B1种A1 0亩，种A2 0，种A3 200亩；在B2种A1 100亩，种A2 0亩，种A3 200亩；在B3种A1 0亩，种A2 500亩，种A3 0亩。

由于版权问题，我多做了些习题。

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