现代设计方法 作业

现代设计方法作业习题1

姓名王金昆工程0802班200879250222

2-1.制作一个体积为5m^3的货箱，由于运输装卸要求其长度不小于4m，要求钢板用料最省，试写出该问题的优化数学模型.

解：设该货箱长为x1m、宽为x2m、高为x3m，表面积为S,体积为V.由题意可以建立优化数学模型：

S=2*(x1*x3+x2*x3)+x1*x2;

V=x1*x2*x3=5;

x1>=4;

x2>=0;

x3>=0;

选择最优化算法求解Smin. 我选择Lingo软件来求解，编程如下：

min=fx;

fx=2*(x1*x3+x2*x3)+x1*x2;

x1*x2*x3=5;

x1>=4;

x2>=0;

x3>=0;

点击Solve出现结果：

Local optimal solution found.

Objective value: 15.14911

Extended solver steps: 5

Total solver iterations: 112

Variable Value Reduced Cost

FX 15.14911 0.000000

X1 4.000000 0.000000

X3 0.7905694 0.1107763E-07 X2 1.581139 0.000000

所以表面积Smin=15.14911 m^2,此时长为4m，宽为1.581139 m,高为0.7905694 m.

2-2.把一根长为L的铜丝截成两段，一段弯成圆形，一段完折成正方形。求截断的两段为何比例才能使圆形和正方形的面积之和最大，试写出该问题的优化数学模型。

解：设弯成正方形的边长为x，所围成的圆形和正方形面积之和为S。建立优化数学模型：

取pai-3.1415926

S=x^2+((L-4*x)/2/pai)^2*pai;

x<=L/4;

x>=0;

选择解析法（求一、二阶导数）

对S求导：令S′=2*x+2*（L-4*x）/pai=0

x=L/(4+pai)

S″=2+8/pai>0

所以当x==L/(4+pai)时，S取最小值：Smin=L^2/(4+pai)/4

而两端值S(0)=L^2/4/pai,S(L/4)=L^2/16

所以Smax=S(0)=L^2/4/pai,即此时只弯成圆形。此此时两段比例为0:L.

也可以选择用Lingo软件来求解，令S=fx, pai=3.1415926，L=1编程如下

max=fx;

fx=x^2+((1-4*x)/2/3.1415926)^2*3.1415926;

x<=0.25;

x>=0;

点击Solve出现结果：

Local optimal solution found.

Objective value: 0.7957747E-01

Extended solver steps: 5

Total solver iterations: 48

Variable Value Reduced Cost FX 0.7957747E-01 0.000000 X 0.000000 0.000000

所以Smax= 0.07957747 L^2，此时x=0.

2-7.求函数F(X)=(x1-1)^2+x2^2在点X=[2;1]的梯度和黑塞矩阵。

解：求梯度grad(X)=[2(x1-1);2x2] 所以grad(X)=[2;2] 求Hesse Matrix H(X)= [2 0;0 2]所以H(X)= [2 0;0 2]

2-8.。函数F(X)=x1^2+x1*x2+x2^2-6*x1-3*x2的极值和极值点。

解：由极值的定义可列式：

grad(X)=0 2*x1+x2+6=0;

x1+2*x2-3=0;

解得x1=3,x2=0 则（3,0）为驻点

再求Hesse Matrix H(X)

H(X )= [2 1；1 2 ] 用极小点存在的充分条件来判定该驻点是否为极值点。 显然各阶顺序主子式的行列式值均大于0

datH(X )= 3>0;a11=2>0 所以X*=[3 0] ＇

所以该函数F(X )在（3,0）点处存在极值且为极小值

F(X*)=-9

课堂补充习题2

123123(3)1000,,,,B B B A A A 某农场承包亩土地，因土壤等自然条件不同，。

现要在三类地上种植三种作物。各土地的面积、各类作物

的计划播种面积以及各种作物在各种土地上的亩产量如表1.3所示。问应如何因地制宜安排作物布局才使总产量最大？建立线性规划问

题的数学模型。

解：设总产量为Y 。由于B1可种植A1、A2、A3，B2也可种A1、A2、A3，同理B3也可种植A1、A2、A3。又设在B1种A1 x1亩，种A2 x2，种A3 x3亩；在B2种A1 x4亩，种A2 x5亩，种A3 x6亩；在B3种A1 x7亩，种A2 x8亩，种A3 x9亩。

则可列式：

一、

Y=600*x1+800*x2+400*x3+700*x4+500*x5+150*x6+500*x7+850*x8+300*x 9;

x1+x2+x3=200;

x4+x5+x6=300;

x7+x8+x9=500;

x1+x4+x7=100;

x2+x5+x8=500;

x3+x6+x9=400;

x1>=0;

x2>=0;

x3>=0;

x4>=0;

x5>=0;

x6>=0;

x7>=0;

x8>=0;

x9>=0;

令Y=fx在LINGO中输入

max=fx;

fx=600*x1+800*x2+400*x3+700*x4+500*x5+150*x6+500*x7+850*x8+300* x9;

x1+x2+x3=200;

x4+x5+x6=300;

x7+x8+x9=500;

x1+x4+x7=100;

x2+x5+x8=500;

x3+x6+x9=400;

x1>=0;

x2>=0;

x3>=0;

x4>=0;

x5>=0;

x6>=0;

x7>=0;

x8>=0;

x9>=0;

点击Solve出现结果：

Global optimal solution found.

Objective value: 605000.0

Total solver iterations: 7