2020-2021学年黑龙江省哈尔滨三中高一(上)期中数学试卷 (解析版)
2020-2021哈尔滨市高中必修一数学上期中试卷(及答案)
2020-2021哈尔滨市高中必修一数学上期中试卷(及答案)一、选择题1．f (x)＝－x 2＋4x ＋a ，x∈[0,1]，若f (x)有最小值－2，则f (x)的最大值( ) A ．－1B ．0C ．1D ．22．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，若实数a 满足()()120f a f a +->，则a 的取值范围是（ ） A ．()1,1-B ．()0,1C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭3．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-⋃+∞，， B ．(1)(01)-∞-⋃，， C ．(1)(1)-∞-⋃+∞，， D ．(10)(01)-⋃，， 4．1()xf x e x=-的零点所在的区间是（ ） A ．1(0,)2 B ．1(,1)2C ．3(1,)2D ．3(,2)25．函数()111f x x =--的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．6．若函数2()sin ln(14f x x ax x =⋅+的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（ ） A ．2 B ．2±C ．4D ．4±7．设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z8．已知()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若存在三个不同实数a ，b ，c 使得()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．[-2,0)C ．(]2,0-D ．（0,1）9．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10．定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(2)f x f x +=-，且在()0,1上()3xf x =，则()3log 54f =（ ）A ．32B ．23-C ．23D ．32-11．设a ＝2535⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，c ＝2525⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a>c>bB ．a>b>cC ．c>a>bD ．b>c>a12．已知函数在上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题13．函数2()log 1f x x =-________．14．1232e 2(){log (1)2x x f x x x ，，-<=-≥，则f （f （2））的值为____________．15．已知函数()x xf x e e -=-，对任意的[3,3]k ∈-，(2)()0f kx f x -+<恒成立，则x的取值范围为______. 16．已知2a=5b=m ,且11a b+=1,则m =____. 17．已知()32,,x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a的取值范围是________．18．某企业去年的年产量为a ，计划从今年起，每年的年产量比上年增加b ﹪，则第x ()x N *∈年的年产量为y =______.19．已知312ab += ，则933a b a⋅=__________. 20．已知()f x 定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，，则函数()()3g x f x x =-+的零点的集合为 .三、解答题21．已知函数2()(2)3f x x a x =+--．（1）若函数()f x 在[]2,4-上是单调函数，求实数a 的取值范围；（2）当5a =，[1,1]x ∈-时，不等式()24f x m x >+-恒成立，求实数m 的范围． 22．已知函数()()()lg 2lg 2f x x x =++-. （1）求函数()f x 的定义域；（2）若不等式f ()x m >有解，求实数m 的取值范围.23．已知函数()()log 0,1a f x x a a =>≠，且()()321f f -=. （1）若()()3225f m f m -<+，求实数m 的取值范围； （2）求使3227log 2f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭成立的x 的值． 24．一种放射性元素，最初的质量为500g ，按每年10﹪衰减. （Ⅰ）求t 年后，这种放射性元素质量ω的表达式；（Ⅱ）由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期（剩留量为原来的一半所需要的时间）．（精确到0.1；参考数据：）25．设集合A ＝{x ∈R|x 2＋4x ＝0}，B ＝{x ∈R|x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R }，若B ⊆A ，求实数a 的值．26．已知定义域为R 的函数()122x x bf x a++=+－ 是奇函数．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－2k )<0恒成立，求k 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】因为对称轴2[0,1]x =∉，所以min max ()(0)2()(1)31f x f a f x f a ===-∴==+= 选C.2．B解析：B 【解析】 【分析】求出函数()y f x =的定义域，分析函数()y f x =的单调性与奇偶性，将所求不等式变形为()()21f a f a >-，然后利用函数()y f x =的单调性与定义域可得出关于实数a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围. 【详解】对于函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，有1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<， 则函数()y f x =的定义域为()1,1-，定义域关于原点对称，()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=--+=-，所以，函数()y f x =为奇函数，由于函数()1ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数，函数()2ln 1y x =-在区间()1,1-上为减函数，所以，函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--在()1,1-上为增函数， 由()()120f a f a +->得()()()1221f a f a f a >--=-，所以，11112121a a a a -<<⎧⎪-<-<⎨⎪>-⎩，解得01a <<.因此，实数a 的取值范围是()0,1. 故选：B. 【点睛】本题考查函数不等式的求解，解答的关键就是分析函数的单调性和奇偶性，考查计算能力，属于中等题.3．D解析：D 【解析】由f (x )为奇函数可知，()()f x f x x--＝()2f x x<0.而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)；当x <0时，f (x )>0＝f (－1)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x <1，或－1<x <0. 选D点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内4．B解析：B 【解析】函数f （x ）=e x ﹣1x 是（0，+∞）上的增函数，再根据f （12）2＜0，f （1）=e ﹣1＞0，可得f （12）f （1）＜0，∴函数f （x ）=e x ﹣1x 的零点所在的区间是（12，1），故选B ．点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要异号，则区间内至少有一个零点存在.5．B解析：B 【解析】 【分析】 把函数1y x=先向右平移一个单位，再关于x 轴对称，再向上平移一个单位即可. 【详解】 把1y x = 的图象向右平移一个单位得到11y x =-的图象， 把11y x =-的图象关于x 轴对称得到11y x =--的图象， 把11y x =--的图象向上平移一个单位得到()111f x x =--的图象， 故选：B . 【点睛】本题主要考查函数图象的平移，对称，以及学生的作图能力，属于中档题.6．B解析：B 【解析】 【分析】根据图象对称关系可知函数为偶函数，得到()()f x f x =-，进而得到ax +=.【详解】()f x Q 图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数 ()()f x f x ∴=-即：()sin ln sin lnsin lnx ax x ax x ⋅+=-⋅=⋅ax ∴+=恒成立，即：222141x a x +-=24a ∴=，解得：2a =± 本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，关键是能够明确恒成立时，对应项的系数相同，属于常考题型.7．D解析：D 【解析】令235(1)x y zk k ===>，则2log x k =，3log =y k ，5log =z k∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.8．C解析：C 【解析】 【分析】画出函数图像，根据图像得到20a -<≤，1bc =，得到答案. 【详解】()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，画出函数图像，如图所示：根据图像知：20a -<≤，20192019log log b c -=，故1bc =，故20abc -<≤. 故选：C .【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.9．C解析：C 【解析】 【分析】根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果. 【详解】∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C. 【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.10．D解析：D 【解析】 【分析】由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()354f log =()3log 23f +，则()354f log =()31log 21f -+，且()()331log 21log 21f f +=--， 由于()3log 211,0-∈-，故()()31log 2333log 211log 232f f --=--=-=-，据此可得：()()3312log 21log 213f f +=-=-，()354f log =32-.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．A解析：A 【解析】试题分析：∵函数2()5xy =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故a c >.从而选A考点：函数的单调性.12．C解析：C 【解析】 【分析】由函数单调性的定义，若函数在上单调递减，可以得到函数在每一个子区间上都是单调递减的，且当时，，求解即可．【详解】 若函数在上单调递减，则，解得. 故选C. 【点睛】本题考查分段函数的单调性．严格根据定义解答，本题保证随的增大而减小，故解答本题的关键是的最小值大于等于的最大值． 二、填空题13．2+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式解对数不等式得函数定义域详解：要使函数有意义则解得即函数的定义域为点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题解析：[2，+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[2,)+∞.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.14．2【解析】【分析】先求f （2）再根据f （2）值所在区间求f （f （2））【详解】由题意f （2）=log3（22–1）=1故f （f （2））=f （1）=2×e1–1=2故答案为：2【点睛】本题考查分段函数 解析：2 【解析】 【分析】先求f （2），再根据f （2）值所在区间求f （f （2））. 【详解】由题意，f （2）=log 3（22–1）=1，故f （f （2））=f （1）=2×e 1–1=2，故答案为：2． 【点睛】本题考查分段函数求值，考查对应性以及基本求解能力.15．【解析】【分析】先判断函数的单调性和奇偶性根据单调性和奇偶性化简题目所给不等式利用一次函数的性质求得的取值范围【详解】由于故函数为奇函数而为上的增函数故由有所以即将主变量看成（）表示一条直线在上纵坐解析：11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】先判断函数()f x 的单调性和奇偶性，根据单调性和奇偶性化简题目所给不等式，利用一次函数的性质，求得x 的取值范围. 【详解】由于()()f x f x -=-故函数为奇函数，而()1xxf x e e =-为R 上的增函数，故由(2)()0f kx f x -+<，有()()()2f kx f x f x -<-=-，所以2kx x -<-，即20xk x +-<，将主变量看成k （[3,3]k ∈-），表示一条直线在[]3,3-上纵坐标恒小于零，则有320320x x x x -+-<⎧⎨+-<⎩，解得112x -<<.所以填11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性的运用，考查化归与转化的数学思想方法，考查一元一次不等式组的解法，属于中档题.16．10【解析】因为2a=5b=m 所以a=log2mb=log5m 由换底公式可得=logm2+logm5=logm10=1则m=10点睛：(1)在对数运算中先利用幂的运算把底数或真数进行变形化成分数指数解析：10 【解析】因为2a =5b =m ,所以a =log 2m ,b =log 5m , 由换底公式可得11a b+=log m 2+log m 5=log m 10=1,则m =10. 点睛：(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底或指数与对数互化．(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧．17．【解析】【分析】由有两个零点可得有两个零点即与的图象有两个交点则函数在定义域内不能是单调函数结合函数图象可求的范围【详解】有两个零点有两个零点即与的图象有两个交点由可得或①当时函数的图象如图所示此时 解析：()(),01,-∞⋃+∞【解析】 【分析】由()()g x f x b =-有两个零点可得()f x b =有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a 的范围 【详解】()()g x f x b =-Q 有两个零点，()f x b ∴=有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，由32x x =可得，0x =或1x =①当1a >时，函数()f x 的图象如图所示，此时存在b ，满足题意，故1a >满足题意②当1a =时，由于函数()f x 在定义域R 上单调递增，故不符合题意 ③当01a <<时，函数()f x 单调递增，故不符合题意④0a =时，()f x 单调递增，故不符合题意⑤当0a <时，函数()y f x =的图象如图所示，此时存在b 使得，()y f x =与y b =有两个交点综上可得，0a <或1a > 故答案为：()(),01,-∞⋃+∞ 【点睛】本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．18．y ＝a （1+b ）x （x∈N*）【解析】【分析】根据条件计算第一年产量第二年产量…根据规律得到答案【详解】设年产量经过x 年增加到y 件第一年为y ＝a （1+b ）第二年为y ＝a （1+b ）（1+b ）＝a （1+解析：y ＝a （1+b %）x （x ∈N *）【解析】 【分析】根据条件计算第一年产量，第二年产量…根据规律得到答案. 【详解】设年产量经过x年增加到y件，第一年为y＝a（1+b%）第二年为y＝a（1+b%）（1+b%）＝a（1+b%）2，第三年为y＝a（1+b%）（1+b%）（1+b%）＝a（1+b%）3，…∴y＝a（1+b%）x（x∈N*）．故答案为：y＝a（1+b%）x（x∈N*）【点睛】本题考查了指数型函数的应用，意在考查学生的应用能力.19．3【解析】【分析】首先化简所给的指数式然后结合题意求解其值即可【详解】由题意可得：【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则整体数学思想等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力解析：3【解析】【分析】首先化简所给的指数式，然后结合题意求解其值即可.【详解】由题意可得：1321223333 3a ba b a a ba+-+====.【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则，整体数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20．【解析】试题分析：当时由于定义在上的奇函数则；因为时则若时令若时令因则的零点集合为考点：奇函数的定义与利用奇函数求解析式；2函数的零点；3分段函数分段处理原则；解析：【解析】试题分析：当时，，由于()f x定义在R上的奇函数，则；因为0x≥时，，则若时，令若时，令，因，则，的零点集合为考点：奇函数的定义与利用奇函数求解析式；2.函数的零点；3.分段函数分段处理原则；三、解答题21．（1）(,6][6,+)∞∞--U ；（2）3(,)4∞-． 【解析】 【分析】（1）首先求函数的对称轴22a x -=-，令242a --≥或 222a --≤-，求实数a 的取值范围；（2）不等式等价于21x x m ++>恒成立，令()21g x x x =++，转化为()min g x m >，[]1,1x ∈-恒成立，求m 的取值范围. 【详解】解：（1）函数()f x 的对称轴为22a x -=-， 又函数()f x 在[]2,4-上是单调函数，242a -∴-≥或 222a --≤-， 解得6a ≤-或6a ≥．∴实数a 的取值范围为(,6][6,)-∞-+∞U ；（2）当5a =，[]1,1x ∈-时，()24f x m x >+-恒成立，即21x x m ++>恒成立， 令()21g x x x =++，()min g x m >恒成立，函数()g x 的对称轴[]11,12x =-∈-，∴()min 1324g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即34m >， m ∴的范围为3(,)4-∞．【点睛】本题考查二次函数单调性，恒成立的的综合问题，属于基础题型. 22．（1）(2,2)-；（2）lg 4m <． 【解析】试题分析：（1）由对数有意义，得20{20x x +>->可求定义域；（2）不等式()f x m >有解⇔max ()m f x <，由2044x <-≤，可得()f x 的最大值为lg 4，所以lg 4m <．试题解析：（1）x 须满足20{20x x +>->，∴22x -<<，∴所求函数的定义域为(2,2)-.（2）∵不等式()f x m >有解，∴max ()m f x <()()()lg 2lg 2f x x x =++-=2lg(4)x -令24t x =-，由于22x -<<，∴04t <≤∴()f x 的最大值为lg 4.∴实数m 的取值范围为lg 4m <.考点：对数性质、对数函数性、不等式有解问题． 23．（1）2,73⎛⎫⎪⎝⎭；（2）12-或4.【解析】 【分析】（1）先利用对数运算求出32a =，可得出函数()y f x =在其定义域上是增函数，由()()3225f m f m -<+得出25320m m +>->，解出即可；（2）由题意得出272x x -=，解该方程即可. 【详解】（1）()log a f x x =Q ，则()()332log 3log 2log 12a a af f -=-==，解得32a =，()32log f x x ∴=是()0,∞+上的增函数，由()()3225f m f m -<+，得25320m m +>->，解得273m <<. 因此，实数m 的取值范围是2,73⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）()332227log log 2f x x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭Q ，得272x x -=，化简得22740x x --=， 解得4x =或12x =-.【点睛】本题考查对数运算以及利用对数函数的单调性解不等式，在底数范围不确定的情况下还需对底数的范围进行分类讨论，同时在解题时还应注意真数大于零，考查运算求解能力，属于中等题.24．（Ⅰ）ω=500×0.9t . （Ⅱ）6.6年 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）最初的质量为500g ， 经过1年，ω=500（1-10﹪）=500×10.9， 经过2年，ω=500×20.9， ……，由此推出，t 年后，ω=500×0.9t ． （Ⅱ）解方程500×0.9t =250．0.9t =0.5，lg 0.9lg 0.5t =，lg 0.56.6lg 0.9t =≈， 所以，这种放射性元素的半衰期约为6.6年． 考点：指数函数应用题及只属于对数的互化点评：本题第一问由经过一年，二年……的剩余质量归纳出t 年后的剩余含量，第二问涉及到指数式与对数式的转化x a b =转化为log a x b = 25．a ≤－1或a ＝1. 【解析】 【分析】先解方程得集合A ，再由 B ⊆A 得B 为A 子集，根据子集四种情况分类讨论，解出实数a 的值．注意对结果要验证 【详解】解 ∵A ＝{0，－4}，B ⊆A ，于是可分为以下几种情况． (1)当A ＝B 时，B ＝{0，－4}， ∴由根与系数的关系，得22(1)410a a -+=-⎧⎨-=⎩解得a ＝1. (2)当B ≠A 时，又可分为两种情况． ①当B ≠∅时，即B ＝{0}或B ＝{－4}， 当x ＝0时，有a ＝±1； 当x ＝－4时，有a ＝7或a ＝1. 又由Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足条件； ②当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0， 解得a <－1.综合(1)(2)知，所求实数a 的取值为a ≤－1或a ＝1. 26．（Ⅰ）2,1a b ==（Ⅱ）16k <- 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据()00f =解得1b =，根据()()11f f =--解得2a = （Ⅱ）判断函数为奇函数减函数，将不等式化简为223311()2236k t t t <-=--，求二次函数的最小值得到答案. 【详解】（Ⅰ）定义域为R 的函数()1-22x x bf x a++=+是奇函数则()100,12bf b a-+===+ ()-2114f a+=+，()12-111f a +-=+， 根据()()11f f =--，解得2a = ，经检验，满足函数为奇函数（Ⅱ）12111()22221x x xf x +-+==-+++ 易知21x +为增函数，故11()221x f x =-++为减函数 22()(220)2f t t f t k －－+<即2222222)()()2(f t t f t k f t k =-<+-－－即22222t t t k ->-+ 所以223311()2236k t t t <-=-- 恒成立，即2min 3111()2366k t ⎡⎤<--=-⎢⎥⎣⎦当13t =时，有最小值16- 故k 的取值范围是16k <- 【点睛】本题考查了函数的单调性，奇偶性，恒成立问题，将恒成立问题通过参数分离转化为二次函数的最值问题是解题的关键.。
黑龙江省2020-2021学年高一数学上学期期中试题
黑龙江省高一数学上学期期中试题试题说明：1、本试题满分 150 分，答题时间 120 分钟。
2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。
第Ⅰ卷 选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分。
） 1.集合{}0M x x =≥，{}24xN x =<，则M N =（ ）A. []0,2B. ()0,2C. [)02，D. (]0,22．设12log 3a =，0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132c =，则（ ）A ．a b c <<B.c b a <<C ．c a b <<D.b a c <<3.设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=121)(2x xx x x f ，则))2((f f =（ ）A ．21 B ．16 C ．2 D ．14．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞上是单调递增的函数是（ ） A.21xy =B.x y lg =C.x x y 1-=D.2xy -= 5．在同一直角坐标系中，函数()(0)af x x x =≥与()log (0,1)a g x x a a =>≠的图象可能是（ ）6. 已知314sin =⎪⎭⎫⎝⎛-πα，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+4cos πα等于( ) A ．－13 B.13 C.223 D ．－2237.方程log 2x +3x -2=0的根所在的区间为（ ） A.B.C. D.8.函数)1ln(2+-=kx kx y 的定义域为R ，则实数k 的取值范围是（ ） A ．()2,0 B ．[]4,0 C ．[)4,0 D ． ()4,0 9.已知3sin7a π=，4cos 7b π=，3tan()7c π=-，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. a b c << B. a c b << C. c b a << D. c a b <<10.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 为单位圆上一点，以x 轴为始边，OA 为终边的角为(2k πθθπ≠+，)k Z ∈，若将OA 绕O 点顺时针旋转32π至OB ，则点B 的坐标为（ ） A.()cos ,sin θθ- B.() sin ,cos θθ- C.() cos ,sin θθ- D.() sin ,cos θθ- 11.若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(],0-∞上是增函数，且0)1(=f ，则()()0f x f x x+-<的解集为（ ）A ． ()1,1-B ．()()∞+⋃∞，，11-- C ．()()101--，，⋃∞ D ．()()∞+⋃，，101- 12.已知函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩,则方程[]()3f f x =的实数根的个数是（ ）A ． 6B ．3C ．4D ．5第II 卷 非选择题部分二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.幂函数432)33()(-+-=m x m m x f 在()0+∞，上为减函数，则m 的值为 ；14.函数[]ππ2,0),213sin(∈-=x x y 的单调增区间是 ；15. 函数f （x ）=log 2（-x 2+ax+3）在[]2,1是减函数，则a 的范围是 ；[)[)[)，时当满足上的函数定义在⎪⎩⎪⎨⎧∈--∈+=-∈=+-2,0)21(0,1)(2,1),(2)3()(R .1612x x x x x f x x f x f x f x若存在[4,1)x ∈--，使得不等式234()t t f x -≥成立，则实数t 的取值范围是_______．三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）}}}{512,4221,2)1(log 2+≤<-=⎩⎨⎧⎩⎨⎧<≤=<+=a x a x C x B x x A x 已知集合（1）求A ∩B ；（2）若B ∩C =B ，求a 的取值范围． 18.（本小题满分12分）（1）已知π<<x 0，51cos sin =+x x ，求x tan 的值； （2）已知x tan =2，求x x x x 22cos 3cos sin 2sin ++的值. 19.（本小题满分12分）已知函数)42cos(2)(π-=x x f（1）求函数)(x f 的最小正周期、单调区间；（2）求函数)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡28-ππ，上的最小值和最大值. 20.（本小题满分12分）已知二次函数2()223f x x mx m =-++ ()[]最小值；时，求函数)(1,01x f x ∈ ()().，2,0-f(x )2取值范围求实数上只有一个零点有两个零点，在区间若函数m21.（本小题12分）（1）判断函数f(x)=xx 9+在),0(+∞∈x 上的单调性并证明你的结论？（2）求使不等式09)2(22<++-x m m x 在][5,1∈x 上恒成立时的实数m 的取值范围？22.（本小题满分12分）已知函数1()22xx f x =-，()(4ln )ln ()g x x x b b R =-⋅+∈. （1）若()0f x >，求实数x 的取值范围；（2）若存在12,[1,)x x ∈+∞，使得12()()f x g x =，求实数b 的取值范围；（3）若()0<g x 对于(0,)x ∈+∞恒成立，试问是否存在实数x ，使得[()]f g x b =-成立？若存在，求出实数x 的值；若不存在，说明理由.铁人中学2021级高一学年上学期期中考试数学答案【答案】13. 1 14. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ235， 15.⎥⎦⎤⎝⎛221， 16. (,1][2,)-∞⋃+∞17.（1）（-1,2）；（2）[)0,3- 18.解：（1）由51cos sin =+x x ①，两边平方，251cos sin 21=+x x ，2512cos sin -=x x ，2549251221cos sin 2=⨯+=+）（）（x x ，π<<x 0，所以57cos sin =+x x ②，由①②解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==53cos 54sin x x 4分， 所以34tan -=x （2）原式=5111tan 3tan 2tan cos sin cos 3cos sin 2sin 222222=+++=+++x x x x x x x x x19.（1）T =π,增区间是Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,8,83-ππππ，减区间是Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,85,8ππππ（2）,2)(8,1)(2max min ==-==x f x x f x 时，时，ππ20. （1）函数f(x)对称轴为x=m, 当4)1()(132)()(10;32)0()(0min 2min min==>++-==≤<+==≤f x f m m m m f x f m m f x f m 时，时，时，()(]()⎪⎩⎪⎨⎧>≤<++-≤+=∴141032032)(2minm m m m m m x f （2）函数2()223f x x mx m =-++，在区间(2,0)-上只有一个零点(2)(0)0f f -⋅<，得3726m -<<-. 考虑边界情况：由(2)0f -=，得76m =-，∴272()33f x x x =++，∴2x =-或13x =-， ∴76m =-满足 由(0)0f =，得32m =-，∴2(3)f x x x =+∴3x =-或0x =，∴32m ≠- 综上，得3726m -<≤-.21．解：（1）)(x f 在(]3,0上是减函数，在[)+∞,3上是增函数。
2020-2021哈尔滨市高一数学上期中模拟试题含答案
2020-2021哈尔滨市高一数学上期中模拟试题含答案一、选择题1．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R ðA ．{}12x x -<<B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|12x x x x <-⋃D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥2．若集合{}|1,A x x x R =≤∈，{}2|,B y y x x R ==∈，则A B =I A ．{}|11x x -≤≤B ．{}|0x x ≥C ．{}|01x x ≤≤D ．∅3．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭4．若函数()(),1231,1xa x f x a x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭5．已知定义域为R 的函数()f x 在[1,)+∞单调递增，且(1)f x +为偶函数，若(3)1f =，则不等式(21)1f x +<的解集为（ ） A ．(1,1)- B ．(1,)-+∞ C ．(,1)-∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞U6．函数()1ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．7．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝{x |14x x +-＞0}，那么集合A ∩(∁U B )＝( )A ．{x |－2≤x ＜4}B ．{x |x ≤3或x ≥4}C ．{x |－2≤x ＜－1}D ．{x |－1≤x ≤3}8．设奇函数()f x 在[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-，若函数2()21f x t at ≤-+对所有的[1,1]x ∈-都成立，当[1,1]a ∈-时，则t 的取值范围是（ ） A ．1122t -≤≤ B ．22t -≤≤C ．12t ≥或12t ≤-或0t = D ．2t ≥或2t ≤-或0t =9．函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．10．定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(2)f x f x +=-，且在()0,1上()3xf x =，则()3log 54f =（ ）A ．32B ．23-C ．23D ．32-11．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b12．已知()()2,11,1x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()2log 7f =（ ）A ．7B ．72C ．74D ．78二、填空题13．若函数()24,43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩恰有2个零点，则λ的取值范围是______.14．设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是____________.15．已知函数f(x)＝log a x ＋x －b(a ＞0，且a≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f(x)的零点为x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n= . 16．已知函数2,()24,x x mf x x mx m x m⎧≤=⎨-+>⎩ 其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________. 17．已知集合{}{}1,1,2,4,1,0,2,A B =-=-则A B =I __________．18．已知()32,,x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a的取值范围是________．19．已知()21f x x -=，则()f x = ____.20．已知a ＞b ＞1.若log a b+log b a=52，a b =b a ，则a= ，b= . 三、解答题21．求关于x 的方程2210ax x ++=至少有一个负根的充要条件. 22．已知函数()22f x ax ax b =-+()0a >在[]2,3上的值域为[]1,4.（1）求a ，b 的值； （2）设函数()()f xg x x=，若存在[]2,4x ∈，使得不等式()22log 2log 0g x k x -≥成立，求k 的取值范围.23．已知集合A={x|x ＜-1，或x ＞2}，B={x|2p-1≤x≤p+3}． （1）若p=12，求A∩B； （2）若A∩B=B，求实数p 的取值范围．24．如果f （x ）是定义在R 上的函数，且对任意的x ∈R ，均有f （-x ）≠-f （x ），则称该函数是“X —函数”.（1）分别判断下列函数：①y =211x +；②y =x +1；③y =x 2+2x -3是否为“X —函数”？（直接写出结论）（2）若函数f （x ）=x -x 2+a 是“X —函数”，求实数a 的取值范围；（3）设“X —函数”f （x ）=21,,x x Ax x B ⎧+∈⎨∈⎩在R 上单调递增，求所有可能的集合A 与B .25．有一种候鸟每年都按一定的路线迁陟，飞往繁殖地产卵．科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数301log lg 2100x v x =-，单位是min km ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．（参考数据：lg 20.30=， 1.23 3.74=， 1.43 4.66=）（1）若02x =，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，它的飞行速度是多少min km ？ （2）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（3）若雄鸟的飞行速度为2.5min km ，雌鸟的飞行速度为1.5min km ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？26．已知集合{}24xA x R =∈<，(){}lg 4B x R y x =∈=-.（1）求集合,A B ；（2）已知集合{}11C x m x m =-≤≤-，若集合()C A B ⊆⋃，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.2．C解析：C 【解析】 【分析】求出集合B 后可得A B I . 【详解】因为集合{}|1,{|11}A x x x R x x =≤∈=-≤≤，{}2|,{|0}B y y x x R y y ==∈=≥则A B =I {}|01x x ≤≤，选C【点睛】本题考查集合的交，注意集合意义的理解，如(){}|,x y f x x D =∈表示函数的定义域，而(){}|,y y f x x D =∈表示函数的值域，()(){},|,x y y f x x D =∈表示函数的图像.3．C解析：C 【解析】 【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.4．C解析：C 【解析】 【分析】由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数a 的取值范围. 【详解】当1x >时，x a 为减函数，则01a <<，当1x ≤时，一次函数()231a x -+为减函数，则230a -<，解得：23a >， 且在1x =处，有：()12311a a -⨯+≥，解得：34a ≤， 综上可得，实数a 的取值范围是23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦. 本题选择C 选项. 【点睛】对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．5．A解析：A 【解析】 【分析】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，再利用函数的单调性，即可求出不等式的解集． 【详解】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，且在[1，+∞）上单调递增，所以不等式f （2x+1）＜1=f （3）⇔ |2x+1﹣1|）＜|3﹣1|， 即|2x |＜2⇔|x |＜1，解得-11x ＜＜ 所以所求不等式的解集为：()1,1-. 故选A ． 【点睛】本题考查了函数的平移及函数的奇偶性与单调性的应用，考查了含绝对值的不等式的求解，属于综合题．6．B解析：B 【解析】 【分析】通过函数在2x =处函数有意义，在2x =-处函数无意义，可排除A 、D ；通过判断当1x >时，函数的单调性可排除C ，即可得结果. 【详解】当2x =时，110x x -=>，函数有意义，可排除A ；当2x =-时，1302x x -=-<，函数无意义，可排除D ；又∵当1x >时，函数1y x x=-单调递增，结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，可排除C ； 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.7．D解析：D 【解析】依题意A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞4}，故∁U B ＝{x |－1≤x ≤4}，故A ∩(∁U B )＝{x |－1≤x ≤3}，故选D.8．D解析：D 【解析】试题分析：奇函数()f x 在[]1,1-上是增函数, 且()11f -=-,在[]1,1-最大值是21,121t at ∴≤-+,当0t ≠时, 则220t at -≥成立, 又[]1,1a ∈-,令()[]22,1,1r a ta t a =-+∈-, 当0t >时,()r a 是减函数, 故令()10r ≥解得2t ≥, 当0t <时,()r a 是增函数, 故令()10r -≥,解得2t ≤-,综上知，2t ≥或2t ≤-或0t =,故选D. 考点：1、函数的奇偶性与单调性能；2、不等式恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性与单调性能、不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立（min ()a f x ≤即可）或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合（()y f x =图象在()y g x =上方即可）；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得t 的范围.9．C解析：C 【解析】 由题意知，函数sin 21cos xy x =-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ；当1x =时，sin 201cos 2y =>-，故排除A ．故选C ． 点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．10．D解析：D 【解析】 【分析】由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()354f log =()3log 23f +， 则()354f log =()31log 21f -+，且()()331log 21log 21f f +=--， 由于()3log 211,0-∈-，故()()31log 2333log 211log 232f f --=--=-=-，据此可得：()()3312log 21log 213f f +=-=-，()354f log =32-.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．B解析：B 【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gclog c ,log c lg a lg b==，01c <<Q ，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用cy x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.12．C解析：C 【解析】 【分析】根据函数的周期性以及分段函数的表达式，结合对数的运算法则，代入即可得到结论． 【详解】2222log 4log 7log 83=<<=Q ，20log 721∴<-<，()()2log 72227log 7log 7224f f -∴=-==. 故选：C . 【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式以及函数的周期性进行转化是解决本题的关键．二、填空题13．【解析】【分析】根据题意在同一个坐标系中作出函数和的图象结合图象分析可得答案【详解】根据题意在同一个坐标系中作出函数和的图象如图：若函数恰有2个零点即函数图象与轴有且仅有2个交点则或即的取值范围是：解析：(1，3](4,)+∞U ． 【解析】 【分析】根据题意，在同一个坐标系中作出函数4y x =-和243y x x =-+的图象，结合图象分析可得答案． 【详解】根据题意，在同一个坐标系中作出函数4y x =-和243y x x =-+的图象，如图：若函数()f x 恰有2个零点，即函数()f x 图象与x 轴有且仅有2个交点， 则13λ<…或4λ>，即λ的取值范围是：(1，3](4,)+∞U 故答案为：(1，3](4,)+∞U ．【点睛】本题考查分段函数的图象和函数的零点，考查数形结合思想的运用，考查发现问题解决问题的能力.14．【解析】由题意得：当时恒成立即；当时恒成立即；当时即综上x 的取值范围是【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么然后代入该段的解析式求值解决此类问题时要注解析：1(,)4-+∞ 【解析】 由题意得： 当12x >时，12221x x -+>恒成立，即12x >；当102x <≤时，12112x x +-+> 恒成立，即102x <≤；当0x ≤时，1111124x x x ++-+>⇒>-，即014x -<≤.综上，x 的取值范围是1(,)4-+∞. 【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么，然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处的函数值.15．2【解析】【分析】把要求零点的函数变成两个基本初等函数根据所给的ab 的值可以判断两个函数的交点的所在的位置同所给的区间进行比较得到n 的值【详解】设函数y=logaxm=﹣x+b 根据2＜a ＜3＜b ＜4解析：2 【解析】 【分析】把要求零点的函数，变成两个基本初等函数，根据所给的a ，b 的值，可以判断两个函数的交点的所在的位置，同所给的区间进行比较，得到n 的值. 【详解】设函数y=log a x ，m=﹣x+b 根据2＜a ＜3＜b ＜4，对于函数y=log a x 在x=2时，一定得到一个值小于1，而b-2>1，x=3时，对数值在1和2 之间，b-3<1在同一坐标系中画出两个函数的图象， 判断两个函数的图形的交点在（2，3）之间，∴函数f （x ）的零点x 0∈（n ，n+1）时，n=2．故答案为2.考点：二分法求方程的近似解；对数函数的图象与性质．16．【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示要满足存在实数b 使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根则解得故m 的取值范围是【考点】分段函数函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质函数解析：()3+∞，【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示，要满足存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则24m m m -<，解得3m >，故m 的取值范围是(3,)+∞.【考点】分段函数，函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好地考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.17．【解析】【分析】直接利用集合交集的定义求解即可【详解】因为集合两个集合的公共元素为所以故答案为【点睛】研究集合问题一定要抓住元素看元素应满足的属性研究两集合的关系时关键是将两集合的关系转化为元素间的解析：{}12－，【解析】【分析】直接利用集合交集的定义求解即可.【详解】因为集合{}{}1,1,2,4,1,0,2,A B =-=-两个集合的公共元素为1,2-所以{}1,2A B =-I ．故答案为{}1,2-.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合.18．【解析】【分析】由有两个零点可得有两个零点即与的图象有两个交点则函数在定义域内不能是单调函数结合函数图象可求的范围【详解】有两个零点有两个零点即与的图象有两个交点由可得或①当时函数的图象如图所示此时 解析：()(),01,-∞⋃+∞【解析】【分析】由()()g x f x b =-有两个零点可得()f x b =有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a 的范围【详解】()()g x f x b =-Q 有两个零点，()f x b ∴=有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，由32x x =可得，0x =或1x =①当1a >时，函数()f x 的图象如图所示，此时存在b ，满足题意，故1a >满足题意②当1a =时，由于函数()f x 在定义域R 上单调递增，故不符合题意③当01a <<时，函数()f x 单调递增，故不符合题意④0a =时，()f x 单调递增，故不符合题意⑤当0a <时，函数()y f x =的图象如图所示，此时存在b 使得，()y f x =与y b =有两个交点综上可得，0a <或1a >故答案为：()(),01,-∞⋃+∞【点睛】本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．19．【解析】【分析】利用换元法求函数解析式【详解】令则代入可得到即【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式考查基本代换求解能力解析：()21?x + 【解析】【分析】利用换元法求函数解析式.【详解】令 1t x -=则 t 1,x =+代入 ()21f x x -= 可得到()()21f t t =+ ,即()()21f x x =+.【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，考查基本代换求解能力. 20．【解析】试题分析：设因为因此【考点】指数运算对数运算【易错点睛】在解方程时要注意若没注意到方程的根有两个由于增根导致错误解析：42【解析】试题分析：设log ,1b a t t =>则，因为21522t t a b t +=⇒=⇒=， 因此22222, 4.b a b b a b b b b b b a =⇒=⇒=⇒==【考点】指数运算，对数运算． 【易错点睛】在解方程5log log 2a b b a +=时，要注意log 1b a >，若没注意到log 1b a >，方程5log log 2a b b a +=的根有两个，由于增根导致错误 三、解答题21．充要条件是1a ≤．【解析】【分析】当0a ≠时，根据根为“1正1负”、“2负根”进行讨论，由此求得a 的范围.当0a =时，直接解出方程的根.由此求得a 的取值范围.【详解】①0a ≠时，显然方程没有等于零的根．若方程有两异号实根，则0a <；若方程有两个负的实根，则必有102{001440aa aa >-<∴≤∆=-≥＜．． ②若0a =时，可得12x =-也适合题意． 综上知，若方程至少有一个负实根，则1a ≤．反之，若1a ≤，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x 的方程2210ax x ++=至少有一负的实根的充要条件是1a ≤．【点睛】本小题主要考查根据含有参数的一元二次方程根的分布求参数，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.22．(1)1,1a b == (2) 1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）先求得函数()f x 的对称轴，然后根据函数()f x 在[]2,3上的单调性列方程组，解方程组求得,a b 的值.（2）由（1）求得函数()f x 的解析式，进而求得()g x 的解析式，将不等式()22log 2log 0g x k x -≥分离常数2k ，利用换元法，结合二次函数的性质，求得k 的取值范围.【详解】（1）由已知可得()()21f x a x b a =-+-，对称轴为1x =.因为0a >，所以()f x 在[]2,3上单调递增， 所以()()21,34,f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩即1,44,a b a a b a +-=⎧⎨+-=⎩解得1,1,a b =⎧⎨=⎩ （2）由（1）可得()221f x x x =-+，则()()12f x g x x x x==+-. 因为()22log 2log 0g x k x -≥，所以2221log 22log log x k x x +-≥. 又[]2,4x ∈，所以()2221221log log k x x ≤-+. 令21log t x=，则2221k t t ≤-+.因为[]2,4x ∈，所以1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.记()221h t t t =-+，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以当12t =时，()max 14h t =， 所以124k ≤，解得18k ≤，故k 的取值范围是1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】 本小题主要考查根据二次函数的对称轴、单调性和值域求解析式，考查存在性问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.23．（1）722x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；（2）3 4.2p p ><-或 【解析】【分析】(1)根据集合的交集得到结果即可；（2）当A∩B=B 时，可得B ⊆A ，分B 为空集和不为空集两种情况即可.【详解】（1）当时，B={x |0≤x ≤}， ∴A∩B={x |2＜x ≤}；（2）当A∩B=B 时，可得B ⊆A ；当时，令2p -1＞p +3，解得p ＞4，满足题意； 当时，应满足解得； 即综上，实数p 的取值范围．【点睛】 与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集;（2）看这些元素满足什么限制条件;（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．24．（1）①②是“X —函数”，③不是“X —函数”.（2）（0，+∞）（3）A =[0，+∞），B =（-∞，0）【解析】【分析】（1）直接利用信息判断结果；（2）利用信息的应用求出参数的取值范围；（3）利用函数的单调性的应用和应用的例证求出结果.【详解】（1）①②是“X —函数”，③不是“X —函数”；（2）∵f （-x ）=-x -x 2+a ，-f （x ）=-x +x 2-a ，f （x ）=x -x 2+a 是“X —函数”，∴f （-x ）=-f （x ）无实数解，即x 2+a =0无实数解，∴a ＞0，∴a 的取值范围为（0，+∞）；（3）对任意的x ≠0，若x ∈A 且-x ∈A ，则-x ≠x ，f （-x ）=f （x ），与f （x ）在R 上单调增矛盾，舍去； 若x ∈B 且-x ∈B ，f （-x ）=-f （x ），与f （x ）是“X —函数”矛盾，舍去；∴对任意的x ≠0，x 与-x 恰有一个属于A ，另一个属于B ，∴（0，+∞）⊆A ，（-∞，0）⊆B ，假设0∈B ，则f （-0）=-f （0），与f （x ）是“X —函数”矛盾，舍去；∴0∈A ，经检验，A =[0，+∞），B =（-∞，0）符合题意.【点睛】本题考查的知识要点：信息题型的应用，反证法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型.25．（1）1.70/min km ；（2）466；（3）9【解析】试题分析：（1）直接代入求值即可，其中要注意对数的运算；（2）还是代入求值即可；（3）代入后得两个方程，此时我们不需要解出1x 、2x ，只要求出它们的比值即可，所以由对数的运算性质，让两式相减，就可求得129x x =． 试题解析：（1）将02x =，8100x =代入函数式可得：31log 81lg 22lg 220.30 1.702v =-=-=-= 故此时候鸟飞行速度为1.70/min km ． （2）将05x =，0v =代入函数式可得：310log lg 52100x =-即3log 2lg52(1lg 2)20.70 1.40100x ==⋅-=⨯= 1.43 4.66100x ∴==于是466x =． 故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位．（3）设雄鸟每分钟的耗氧量为1x ，雌鸟每分钟的耗氧量为2x ，依题意可得：13023012.5log lg 2100{11.5log lg 2100x x x x =-=-两式相减可得：13211log 2x x =，于是129x x =． 故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍．考点：1．函数代入求值；2．解方程；3．对数运算．26．(1) ()4,B =+∞(),2A =-∞;(2) m 的取值范围是()-3∞，. 【解析】试题分析：（1）由题意，根据指数幂的运算性质，可得(),2A =-∞，根据函数()lg 4y x =- 可解得4x >，得到集合B ；（2）由（1）可得()()(),24,A B =-∞+∞U U ，根据()C A B ⊆⋃，再分C =∅和C ≠∅两种情况分类讨论，即可求得实数m 的取值范围.试题解析：（1）∵x 222<∴()A ,2∞=-又∵()y lg x 4=-可知x 4>∴()B 4,∞=+（2）∵()()()A B ,24,∞∞⋃=-⋃+，又∵()C A B ⊆⋃（i ）若C ∅=，即1m m 1->-，解得m 1<，满足：()C A B ⊆⋃∴m 1<符合条件（ii ）若C ∅≠，即m m 1-≤-，解得m 1≥，要保证：()C A B ⊆⋃1m 4->或m 12-<，解得m 3<-（舍）或m 12-<解得[)m 1,3∈,综上：m 的取值范围是()-3∞， .。
黑龙江省2020-2021学年高一数学上学期期中试题(含解析)
黑龙江省高一上学期期中考试数学试题一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分, 共60分。
）1.已知集合M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，则M∩N＝( )．A. {1,2}B. {2,3}C. {1,2,3,4}D. {1,4}【答案】B【解析】【分析】根据集合交集的定义求解即可．【详解】∵，∴．故选B．【点睛】本题考查集合交集的运算，根据定义直接求解即可，属于简单题．2.下列等式成立的是( )．A. log2(8－4)＝log2 8－log2 4B. ＝C. log2 23＝3log2 2D. log2(8＋4)＝log2 8＋log2 4【答案】C【解析】【分析】根据对数的运算性质进行分析、判断即可得到答案．【详解】根据对数的运算性质逐个进行判断可得，选项A,B,D都不符合对数的运算性质，选项C符合．所以C正确．故选C．【点睛】解答本题时容易出现错误，解题的关键是记清对数的三个运算性质及换底公式，属于基础题．3. 下列四组函数中，表示同一函数的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：因的定义域相同,且解析式也相同,故应选A．考点：函数相等的定义．4.已知函数，则f(－1)的值是( )．A. －2B. －1C. 0D. 1【答案】D【解析】【分析】根据分段函数的解析式进行求解可得结果．【详解】由题意得．故选D．【点睛】已知分段函数的解析式求函数值时，首先要分清自变量所在的范围，然后代入解析式后求解即可得到结果．5.终边在直线y=x上的角α的集合是( )．A. {α|α=k•360°+45°，k∈Z}B. {α|α=k•360°+225°，k∈Z}C. {α|α=k•180°+45°，k∈Z}D. {α|α=k•180°-45°，k∈Z}【答案】C【解析】【分析】终边在直线上的角有两类，即终边分别在第一、三象限内，然后根据终边相同的角的表示方法得到两类角的集合，再求并集后可得所求．【详解】由题意得终边在直线上的角的集合为．故选C．【点睛】解答本题时注意两点：（1）终边与角相同的角连同角在内，可以构成一个集合；（2）由于角的终边为射线，所以终边在一条直线上的角应包括两类．6.关于幂函数的叙述正确的是（）A. 在(0，＋∞)上是增函数且是奇函数B. 在(0，＋∞)上是增函数且是非奇非偶函数C. 在(0，＋∞)上是增函数且是偶函数D. 在(0，＋∞)上是减函数且是非奇非偶函数【答案】B【解析】【分析】根据函数的定义域和单调性分别对给出的四个选项进行分析、判断后可得正确的结论．【详解】由题意得，函数的定义域为，所以函数为非奇非偶函数，所以排除A,C．又由幂函数的性质可得函数在定义域内单调递增，所以排除D．故选B．【点睛】本题考查幂函数的性质，解题的关键是熟知函数的相关性质，并结合选项作出正确的判断，属于简单题．7.下面四个函数：①②③④.其中值域为的函数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】试题分析：注意到分段函数的值域是每支函数值域的并集，显然①④值域为R，②的值域，③的值域为考点：函数的值域8.已知函数y＝log a(x＋3)＋1的图象恒过定点P，则点P的坐标是( )．A. (-2,2)B. (-2,1)C. (-3,1)D. (-3,2)【答案】B【解析】【分析】令得到定点的横坐标，进而可得定点的纵坐标，于是可得到定点的坐标．【详解】令，解得，此时，所以函数y＝log a(x＋3)＋1的图象恒过点．故选B．【点睛】解有关对数型函数的图象过定点的问题时，常抓住对数函数的图象过定点这一性质，通过对照进行求解，即对数型函数，若有，则函数图象恒过定点．9.设a＝，b＝，c＝，则（）A. a<b<cB. c<a<bC. b<c<aD. b<a<c【答案】D【解析】试题分析：因为函数是减函数，所以，幂函数在单调递增，所以，故选择D考点：指数函数、幂函数的性质10.函数f(x)= 的零点所在的大致区间是( )．A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)【答案】B【解析】【分析】根据零点存在性定理对每个区间进行验证后可得结论．【详解】∵，∴，∴，∴函数的零点所在的大致区间是(2,3)．故选B．【点睛】用零点存在性定理能判断函数零点的存在性，但不能判断函数具体有几个零点；并非函数的所有零点都能用这种方法来判断存在性，如果函数在零点两侧的函数值同号，则不能用零点存在性定理判断函数零点的存在性了．11.二次函数y=ax2+bx与指数函数y=()x的图象只可能是( )．A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：根据二次函数的对称轴首先排除B,D，再根据a﹣b的值的正负，结合二次函数和指数函数的性质逐个检验即可得出答案．详解：根据指数函数可知a，b同号且不相等，则二次函数y=ax2+bx的对称轴＜0可排除B,D，C选项中，a﹣b＞0，a＜0，∴＞1，则指数函数单调递增，故C不正确．故答案为：A．点睛：（1）本题主要考查二次函数和指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)类似这种根据解析式找图像的问题，一般是先分别求出两个函数中同一参数的范围，再看是否相同，如果不一致，就是错误的.12.已知偶函数在上为增函数，且，则实数的取值范围是( )．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意得函数在上为减函数，从而由可得，解绝对值不等式可得所求的范围．【详解】∵偶函数在上为增函数，∴函数在上为减函数．∵，∴，两边平方整理得，解得，∴实数的取值范围是．故选A．【点睛】偶函数具有性质：，利用这一性质可将偶函数的问题转化到同一单调区间上进行研究．另外，根据偶函数的单调性和对称性，可将函数值的大小问题转化成自变量到对称轴的距离的大小的问题求解．第Ⅱ卷非选择题部分二、填空题（每小题5分，共20分。
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨一中高三(上)期中数学试卷(理科)
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（每小题5分，共60分，每个小题只有一个选项是正确的.）1．（5分）集合A＝{x∈N*|x2﹣3x﹣4≤0}，B＝{x|x2﹣3x+2＝0}，若B⊆C⊆A，则满足条件的集合C的个数是（）A．8B．7C．4D．32．（5分）复数z＝i6+（1+i）2的虚部是（）A．1B．2C．i D．2i3．（5分）已知，，则角α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角4．（5分）若M为△ABC所在平面内一点，且满足，，则△ABC的形状为（）A．正三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形5．（5分）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载“两环互相贯为一得其关换，解之为三，用a n表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的移动最少次数，{a n}满足a1＝1，且a n＝，则解下4个圆环所需的最少移动次数为（）A．7B．10C．12D．226．（5分）函数y＝f（x）在P（1，f（1））处的切线如图所示（1）+f′（1）＝（）A．0B．C．D．﹣7．（5分）已知m，n为不同直线，α，β为不同平面，n⊥α；②m⊥n；③m∥β，α⊥β，α∥β，其中能使m⊥α成立的充分条件有（）A．①②B．①③C．①④D．③④8．（5分）设数列{a n}为正项数列，数列{a n}满足a1＝2，na n+12﹣2a n+1a n﹣（n+2）a n2＝0，若[x]表示不超过x的最大整数，（例如[1.6]＝1，[﹣1.6]＝﹣2）则＝（）A．2018B．2019C．2020D．20219．（5分）函数f（x）＝sin（ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，只需把y＝f（x）的图象上所有点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度10．（5分）设O为△ABC的重心，且，则的值为（）A．B．C．D．11．（5分）在平面四边形ABCD中，AB⊥BD，∠BCD＝30°2+4BD2＝6，若将△ABD沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C，则三棱锥A﹣BDC外接球的表面积是（）A．4πB．5πC．6πD．8π12．（5分）已知函数f（x）＝，则函数g（x）＝f[f（x）（）A．4B．7C．8D．9二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）实数x，y满足，则z＝2y﹣3x的最小值为．14．（5分）数列{a n}满足a1+a2+…+a n＝3n+1，n∈N*，则a n＝．15．（5分）函数f（x）＝x x3﹣x2+ax﹣5在区间[﹣1，2]上不单调，则实数a的范围为．16．（5分）已知函数f（x）＝x2+（a+8）x+a2+a﹣12，且f（a2﹣4）＝f（2a﹣8），设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝f（n），则的最小值为．三、解答题（本大题共70分）[选修4-4：坐标系与参数方程]17．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，曲线C的极坐标方程为ρ＝2a cosθ（a＞0）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，设点M（0，﹣1）2，求实数a的值．18．（12分）设函数f（x）＝，其中向量＝（4cos x，1），＝（sin（x﹣）（1）求函数f（x）的解析式及其单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝（A）的值域．19．（12分）如图所示，在三棱柱BCD﹣B1C1D1与四棱锥A﹣BB1D1D的组合体中，已知BB1⊥平面BCD，四边形ABCD是菱形，∠BCD＝60°，BB1＝1．（Ⅰ）设O是线段BD的中点，求证：C1O∥平面AB1D1；（Ⅱ）求直线B1C与平面AB1D1所成角的正弦值．20．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且a1＜2，a n＞0，6S n＝a n2+3a n+2，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若对∀n∈N*，b n＝（﹣1）n a n2，求数列{b n}的前2n项的和T2n．21．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD＝2BC＝2AD＝4，AE＝BE，△P AD 为正三角形（1）求二面角P﹣EC﹣D的余弦值；（2）线段PC上是否存在一点M，使得异面直线DM和PE所成的角的余弦值为若存在；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．（1）求a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．2020-2021学年黑龙江省哈尔滨一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共60分，每个小题只有一个选项是正确的.）1．（5分）集合A＝{x∈N*|x2﹣3x﹣4≤0}，B＝{x|x2﹣3x+2＝0}，若B⊆C⊆A，则满足条件的集合C的个数是（）A．8B．7C．4D．3【分析】化简A，B，再利用B⊆C⊆A，即可求出满足条件的集合C的个数．【解答】解：A＝{x∈N*|x2﹣3x﹣7≤0}＝{1，6，3，4}2﹣3x+2＝5}＝{1，2}，又B⊆C⊆A，所以满足条件的集合C为{3，2}，2，4}，2，4}，8，3，4}，故选：C．【点评】本题考查集合的包含关系及应用，解答的关键是理解B⊆C⊆A，比较基础．2．（5分）复数z＝i6+（1+i）2的虚部是（）A．1B．2C．i D．2i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，即可算出结果．【解答】解：复数z＝i6+（1+i）5＝（i2）3+3+2i+i2＝（﹣8）3+1+6i﹣1＝﹣1+8i，所以复数z的虚部为2，故选：B．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．（5分）已知，，则角α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【分析】由二倍角公式求出sinα，cosα的值，则看判断角α所在的象限．【解答】解：∵，，∴＝，＞0，∴角α是第一象限角．故选：A．【点评】本题考查了三角函数的化简求值，考查了三角函数的诱导公式的应用，是基础题．4．（5分）若M为△ABC所在平面内一点，且满足，，则△ABC的形状为（）A．正三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【分析】根据算出△MBC中MB＝MC，△MBC是等腰三角形．而，得到＝﹣2，代入第一个等式可得•＝0，从而得到BC ⊥AM．再根据△MBC是等腰三角形，得到AM是BC的垂直平分线，可得AB＝AC，而且M不是△ABC的重心，可得△ABC是等腰三角形且不是等边三角形，得到本题答案．【解答】解：∵∴，可得||由此可得△MBC中MB＝MC，△MBC是等腰三角形又∵，可得∴结合，得•＝8由此可得BC所在直线与AM所在直线互相垂直，∵AM与等腰△BMC的底边中线ME在一条直线上，∴AM是BC的垂直平分线，可得AB＝AC又∵，∴△ABC不是等边三角形故选：B．【点评】本题给出三角形中的向量式，叫我们判断三角形的形状，着重考查了平面向量的数量积计算性质和向量加减法的定义等知识，属于中档题．5．（5分）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载“两环互相贯为一得其关换，解之为三，用a n表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的移动最少次数，{a n}满足a1＝1，且a n＝，则解下4个圆环所需的最少移动次数为（）A．7B．10C．12D．22【分析】根据已知规律和递归式，推导出a4的值即可．【解答】解：根据题意，a2＝2a2﹣1＝1；a5＝2a2+5＝4；a4＝2a3﹣1＝3；即解下4个圆环最少移动7次；故选：A．【点评】本题比较新颖，考查学生对于递归式的掌握和理解，属基础题．6．（5分）函数y＝f（x）在P（1，f（1））处的切线如图所示（1）+f′（1）＝（）A．0B．C．D．﹣【分析】由切线经过的两点求得切线的斜率与切线方程，得到f′（1），进一步求得f（1），则答案可求．【解答】解：∵切线过点（2，0）与（4，∴f′（1）＝，则切线方程为y＝，取x＝1，∴f（1）+f′（1）＝．故选：A．【点评】本题考查导数及其几何意义，训练了由直线上的两点求直线的方程，是基础题．7．（5分）已知m，n为不同直线，α，β为不同平面，n⊥α；②m⊥n；③m∥β，α⊥β，α∥β，其中能使m⊥α成立的充分条件有（）A．①②B．①③C．①④D．③④【分析】本题考查的知识点是直线与平面垂直关系的判定及必要条件、充分条件与充要条件的判断，我们结合线面垂直的判定方法，及题目中所给的条件，对四个选项逐一进行分析，即可得到答案．【解答】解：①中，m∥n，易得m⊥α；②中，m⊥n，则m与α可能平行也可能相交；③中，m∥β，则m与α可能平行也可能相交也可能线在面内；④中，m⊥β，由面面平行的性质，故④正确；故能使m⊥α成立的充分条件有①④故选：C．【点评】此种题型解答的关键是熟练掌握空间直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直和平行的判定及性质．8．（5分）设数列{a n}为正项数列，数列{a n}满足a1＝2，na n+12﹣2a n+1a n﹣（n+2）a n2＝0，若[x]表示不超过x的最大整数，（例如[1.6]＝1，[﹣1.6]＝﹣2）则＝（）A．2018B．2019C．2020D．2021【分析】首先利用数列的递推关系式的应用和叠乘法的应用求出数列的通项公式，进一步求出结果．【解答】解：数列{a n}满足a1＝2，，整理得[na n+1﹣（n+2）a n]（a n+a n+2）＝0，由于数列为正项数列，所以na n+1＝（n+4）a n，整理得，，…，，各式相乘得到，所以a n＝n（n+4）．则，＝1所以＝4+2018＝2020．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠乘法在数列的通项公式的求法中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力9．（5分）函数f（x）＝sin（ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，只需把y＝f（x）的图象上所有点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【分析】由＝可求得ω，再由ω+φ＝π可求得φ，从而可得到f（x）＝sin（ωx+φ）的解析式，利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换即可得到答案．【解答】解：∵＝，∴T＝π＝（ω＞0），∴ω＝2；又×2+φ＝π，∴φ＝．∴f（x）＝sin（8x+），∴f（x﹣）＝sin[7（x﹣]＝sin2x，∴为了得到y＝sinωx的图象，只需把y＝f（x）的图象上所有点向右平移．故选：D．【点评】本题考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的图象求其解析式与函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换，求得函数f（x）＝sin（ωx+φ）的解析式是关键，属于中档题．10．（5分）设O为△ABC的重心，且，则的值为（）A．B．C．D．【分析】根据OA⊥OB，结合向量的数量积、正余弦定理可推出5c2＝a2+b2，然后将结论切化弦，进而结合正余弦定理，化成a，b，c的表达式，再将条件代入即可．【解答】解：设三角形ABC的三边为a，b，c，三角为A，B，C．因为O为△ABC的重心，且，故，即，故，即b2﹣6c2﹣bc×cos A＝0，即，所以a2+b3＝5c2．而＝＝＝＝＝．故选：D．【点评】本题考查正余弦定理以及向量在解三角形中的应用，同时考查化归思想以及学生的运算能力．属于中档题．11．（5分）在平面四边形ABCD中，AB⊥BD，∠BCD＝30°2+4BD2＝6，若将△ABD沿BD 折成直二面角A﹣BD﹣C，则三棱锥A﹣BDC外接球的表面积是（）A．4πB．5πC．6πD．8π【分析】先证明一条侧棱垂直于底面，可得外接球的球心为过底面外接圆的圆心作垂直于底面的垂线与中截面的交点，再由R2＝r2+（）2，求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积．【解答】解：因为将△ABD沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C，AB⊥BD，AB⊆面ABD，∴AB⊥面ABD，所以外接球的球心为过底面外接圆的圆心作垂直于底面的垂线与中截面的交点，设外接球的半径为R，底面外接圆的半径为r2＝r2+（）2，在△BCD中，由题意知2r＝＝，所以R5＝BD2+＝，而AB2+3BD2＝6，所以R5＝，所以外接球的表面积S＝3πR2＝6π，故选：C．【点评】考查三棱锥的棱长与外接球的半径的关系及球的表面积公式，属于中档题．12．（5分）已知函数f（x）＝，则函数g（x）＝f[f（x）（）A．4B．7C．8D．9【分析】先令f（x）＝1，可解得或x＝﹣1，再令g（x）＝0，则或f（x）＝﹣1，作出函数f（x）的图象，观察图象即可得出结论．【解答】解：令f（x）＝1，解得，则令g（x）＝0，可得，作出函数f（x）的图象如下图所示，由图象可知，有6个零点，，f（x）＝﹣6有1个零点，故函数g（x）有7个零点．故选：B．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，整体思想的运用，考查计算能力，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）实数x，y满足，则z＝2y﹣3x的最小值为﹣3．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝2y﹣3x得y＝x+，平移直线y＝x+x+，直线y＝x+，此时z最小，由，解得A（2，则z＝2y﹣3x取得最小值为：﹣2，故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．14．（5分）数列{a n}满足a1+a2+…+a n＝3n+1，n∈N*，则a n＝．【分析】数列{a n}满足a1+a2+…+a n＝3n+1，n∈N*，知n＝1时，，解得a1＝12．n≥2时，a1+a2+…+a n+＝3（n+1）+1，两式相减得＝3，由此能求出a n＝．【解答】解：∵数列{a n}满足a8+a2+…+a n＝3n+1，n∈N*，①∴n＝6时，，解得a2＝12．n≥2时，a1+a2+…+a n+＝3（n+1）+1，②②﹣①，得＝3，∴a n+1＝5n+2，∴．n＝1时，3n+3＝9≠a1．∴a n＝．故答案为：．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意a1的准确求解．15．（5分）函数f（x）＝x3﹣x2+ax﹣5在区间[﹣1，2]上不单调，则实数a的范围为（﹣3，1）．【分析】求导函数，先考虑其反面，再求结论的补集即可得到结论．【解答】解：求导函数可得：f′（x）＝x2﹣2x+a＝（x﹣3）2+a﹣1，如果函数f（x）＝x3﹣x3+ax﹣5在区间[﹣1，6]上单调∴a≥1或a≤﹣3于是满足条件的实数a的范围为（﹣4，1）故答案为：（﹣3，3）【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查解不等式，正确理解题意是关键．16．（5分）已知函数f（x）＝x2+（a+8）x+a2+a﹣12，且f（a2﹣4）＝f（2a﹣8），设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝f（n），则的最小值为．【分析】由题意可得等差数列的通项公式和求和公式，代入由基本不等式可得．【解答】解：由题意可得a2﹣4＝6a﹣8或a2﹣4+2a﹣8＝7×（﹣），解得a＝5或a＝﹣4，当a＝﹣1时，f（x）＝x2+7x﹣12，数列{a n}不是等差数列；当a＝﹣4时，f（x）＝x5+4x，S n＝f（n）＝n2+7n，∴a1＝5，a4＝7，a n＝5+（6﹣5）（n﹣1）＝6n+3，∴＝＝•＝•[（n+1）+（2+8，当且仅当n+1＝即n＝，∵n为正数，故当n＝7时原式取最小值．【点评】本题考查等差数列的通项公式，涉及基本不等式和不等式的性质，属中档题．三、解答题（本大题共70分）[选修4-4：坐标系与参数方程]17．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，曲线C的极坐标方程为ρ＝2a cosθ（a＞0）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，设点M（0，﹣1）2，求实数a的值．【分析】（Ⅰ）消去参数t可得直线l的普通方程为：﹣y﹣1＝0，由ρ＝2a cosθ得ρ2＝2aρcosθ，得x2+y2＝2ax，曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2ax＝0（Ⅱ）利用参数t的几何意义可得．【解答】解：（Ⅰ）消去参数t可得直线l的普通方程为：﹣y﹣1＝3，由ρ＝2a cosθ得ρ2＝2aρcosθ，得x2+y2＝8ax，曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4ax＝0（Ⅱ）将代入x2+y2﹣3ax＝0得t2+（﹣1+t）2﹣at＝7，即t2﹣（+a）t+3＝0+a）7﹣4＞0，设A，B对应的参数为t4，t2，则t1+t7＝+a，t1t7＝1，∴|MA||MB|＝|t1t6|＝1，∴|AB|＝1，∴|AB|2＝（t1﹣t2）3＝（t1+t2）2﹣4t1t6＝（+a）2﹣4＝1，∵a＞0，∴a＝﹣，∴a＝﹣．【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．18．（12分）设函数f（x）＝，其中向量＝（4cos x，1），＝（sin（x﹣）（1）求函数f（x）的解析式及其单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝（A）的值域．【分析】（1）直接利用平面向量的数量积的应用和三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．（2）利用向量的数量积和三角函数的关系式及函数的定义域求出函数的值域．【解答】解：（1）向量＝（4cos x，＝（sin（x﹣）．所以：函数f（x）＝＝＝＝2，令（k∈Z），解得（k∈Z），故函数的单调递增区间为：[]（k∈Z）．（2）在△ABC中，角A，B，b，c，且＝，所以，所以cos B＝，由于7＜B＜π，所以B＝．由于A+B+C＝π，故A+C＝，故，则，所以，故函数f（A）的值域为（0，7]．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，向量的数量积，向量的坐标运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19．（12分）如图所示，在三棱柱BCD﹣B1C1D1与四棱锥A﹣BB1D1D的组合体中，已知BB1⊥平面BCD，四边形ABCD是菱形，∠BCD＝60°，BB1＝1．（Ⅰ）设O是线段BD的中点，求证：C1O∥平面AB1D1；（Ⅱ）求直线B1C与平面AB1D1所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）取B1D1的中点E，连接C1E，OA，AE，推导出C1EAO为平行四边形，从而C1O∥EA，由此能证明C1O∥平面AB1D1．（Ⅱ）法一：过点C作平面AB1D1的垂线，垂足为G，连接B1G，则∠CB1G就是直线B1C与平面AB1D1所成角的平面角．连接EO，推导出B1D1⊥平面AEO，从而平面AEO ⊥平面AB1D1，作OH⊥AE，垂足为H，则OH⊥平面AB1D1．推导出点C到平面AB1D1的距离为，由此能求出直线B1C与平面AB1D1所成角的正弦值．法二：以O为坐标原点，OA，OB，OE所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出直线B1C与平面AB1D1所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：取B1D1的中点E，连接C3E，OA，推导出C1E＝OA且C1E∥OA，所以C6EAO为平行四边形，所以C1O∥EA，所以C1O∥平面AB5D1．解：（Ⅱ）解法一：过点C作平面AB1D3的垂线，垂足为G1G，则∠CB1G就是直线B5C与平面AB1D1所成角的平面角．又CG是点O到平面AB7D1的距离的2倍，连接EO，由B8D1⊥EC1，B5D1⊥EO，知B1D6⊥平面AEO，所以平面AEO⊥平面AB1D1，在△AEO中，作OH⊥AE，即OH⊥平面AB5D1．由题可得AO＝，B8C＝，AE＝2，在Rt△AEO中，OH＝＝，所以点C到平面AB1D7的距离为，所以sin∠CB1G＝．解法二：以O为坐标原点，OA，OE所在的直线分别为x，y，如图所示，建立空间直角坐标系O﹣xyz，得A（，0，4），B1（0，2，1），D1（8，﹣1，C（﹣，4，所以＝（﹣，7，＝（7，2，＝（﹣，﹣1）．设平面AB1D的一个法向量为＝（x，y，则，得令x＝5，有y＝0，所以，2，）．记α为直线B1C与平面AB3D1所成角的平面角，则sinα＝＝．【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且a1＜2，a n＞0，6S n＝a n2+3a n+2，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若对∀n∈N*，b n＝（﹣1）n a n2，求数列{b n}的前2n项的和T2n．【分析】（1）6S n＝+3a n+2，n∈N*．n≥2时，6a n＝6S n﹣6S n﹣1，化为（a n+a n﹣1）（a n ﹣a n﹣1﹣3）＝0，由a n＞0，可得a n﹣a n﹣1＝3，n＝1时，6a1＝+3a1+2，且a1＜2，解得a1．利用等差数列的通项公式可得a n．（2）b n＝（﹣1）n＝（﹣1）n（3n﹣2）2．b2n﹣1+b2n＝﹣（6n﹣5）2+（6n﹣2）2＝3（12n﹣7）＝36n﹣21．利用分组求和即可得出．【解答】解：（1）6S n＝+7a n+2，n∈N*．n≥2时，7a n＝6S n﹣6S n﹣6＝+3a n+8﹣（+2）n+a n﹣4）（a n﹣a n﹣1﹣3）＝3，∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1＝3，n＝1时，6a4＝+5a1+2，且a4＜2，解得a1＝8．∴数列{a n}是等差数列，首项为1．∴a n＝1+7（n﹣1）＝3n﹣4．（2）b n＝（﹣1）n＝（﹣8）n（3n﹣2）8．∴b2n﹣1+b3n＝﹣（6n﹣5）7+（6n﹣2）6＝3（12n﹣7）＝36n﹣21．∴数列{b n}的前8n项的和T2n＝36（1+6+……+n）﹣21n＝﹣21n＝18n7﹣3n．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD＝2BC＝2AD＝4，AE＝BE，△P AD 为正三角形（1）求二面角P﹣EC﹣D的余弦值；（2）线段PC上是否存在一点M，使得异面直线DM和PE所成的角的余弦值为若存在；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设O是AD中点，△P AD为正三角形，则PO⊥AD，PO⊥平面ABCD，推导出OE⊥AD，以O为原点，OA为x轴，OE为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用同量法能求出二面角P﹣EC﹣D的余弦值．（2）设，根据＝，求出λ即可判断M的位置．【解答】解：（1）设O是AD中点，△P AD为正三角形，平面P AD⊥平面ABCD，PO⊥平面ABCD，又AD＝AE＝2，∴△ADE为正三角形，以O为原点，OA为x轴，OP为z轴，如图，则P（0，4，），E（0，，C（﹣2，，设平面PEC法向量为＝（x，y，＝（﹣2，，﹣），，，﹣），则，取y＝8，得，1，1），平面EDC的法向量＝（6，0，cos＜，＞＝＝，∴二面角P﹣EC﹣D的余弦值为．（2）设，则，＝，，所以＝＝＝，所以或，所以存在点M为线段PC的三等分点．【点评】本题考查了二面角的余弦值的求法和满足条件的点是否存在的判断与求法，考查了空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查了运算求解能力和空间想象力，考查了数形结合思想与方程思想，属中档题．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．（1）求a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．【分析】（1）通过分析可知f（x）≥0等价于h（x）＝ax﹣a﹣lnx≥0，进而利用h′（x）＝a﹣可得h（x）min＝h（），从而可得结论；（2）通过（1）可知f（x）＝x2﹣x﹣xlnx，记t（x）＝f′（x）＝2x﹣2﹣lnx，解不等式可知t（x）min＝t（）＝ln2﹣1＜0，从而可知f′（x）＝0存在两根x0，x2，利用f（x）必存在唯一极大值点x0及x0＜可知f（x0）＜，另一方面可知f（x0）＞f（）＝．【解答】解：（1）因为f（x）＝ax2﹣ax﹣xlnx＝x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0），则f（x）≥7等价于h（x）＝ax﹣a﹣lnx≥0，求导可知h′（x）＝a﹣．则当a≤2时h′（x）＜0，即y＝h（x）在（0，所以当x3＞1时，h（x0）＜h（1）＝3，矛盾．因为当0＜x＜时h′（x）＜6时h′（x）＞0，所以h（x）min＝h（），又因为h（1）＝a﹣a﹣ln1＝0，所以＝1；另解：因为f（1）＝0，所以f（x）≥6等价于f（x）在x＞0时的最小值为f（1），所以等价于f（x）在x＝1处是极小值，所以解得a＝7；（2）由（1）可知f（x）＝x2﹣x﹣xlnx，f′（x）＝2x﹣4﹣lnx，令f′（x）＝0，可得2x﹣2﹣lnx＝0，则t′（x）＝2﹣，令t′（x）＝0，解得x＝，所以t（x）在区间（0，）上单调递减，+∞）上单调递增，所以t（x）min＝t（）＝ln2﹣7＜0）＝，所以t（x）在（6，，所以t（x）＝8有解，即f′（x）＝0存在两根x0，x7，且不妨设f′（x）在（0，x0）上为正、在（x2，x2）上为负、在（x2，+∞）上为正，所以f（x）必存在唯一极大值点x7，且2x0﹣5﹣lnx0＝0，所以f（x7）＝﹣x3﹣x0lnx0＝﹣x0+6x0﹣2＝x0﹣，由x0＜可知f（x0）＜（x8﹣）max＝﹣+＝；由f′（）＜0可知x2＜＜，所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x7，）上单调递减，所以f（x0）＞f（）＝；综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x7，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．。
2020-2021学年哈尔滨一中高三上学期期中数学试卷(理科)(含解析)
2020-2021学年哈尔滨一中高三上学期期中数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M满足{1,2}⊆M⊂{1,2,3,4}，则集合M的个数是()A. 4B. 3C. 2D. 12.若复数2−bi1+2i(b∈R,i为虚数单位)的实部和虚部互为相反数，则实数b为()A. −2B. 2C. 23D. −233.若α是第二象限角，sinα2=45，则sinα=()A. 925B. 2125C. 2425D. −24254.已知向量a⃗=(1,−2),b⃗ =(−2,3)，则a⃗⋅b⃗ =()A. −8B. 4C. 7D. −15.[√n]表示不超过√n的最大整数．若S1=[√1]+[√2]+[√3]=3，S2=[√4]+[√5]+[√6]+[√7]+[√8]=10，S3=[√9]+[√10]+[√11]+[√12]+[√13]+[√14]+[√15]=21，…，则S n=()A. n(n+2)B. n(n+3)C. (n+1)2−1D. n(2n+1)6.一水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水速度如图甲，出水口出水速度如图乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点所打开一个进水口和一个出水口；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 37.“x>0”是“x2+4x+3>0”成立的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 非充分非必要条件D. 充要条件 8. 若{b n }为等差数列，b 2=4，b 4=8.数列{a n }满足a 1=1，b n =a n+1−a n (n ∈N ∗)，则a 8=( )A. 56B. 57C. 72D. 73 9. 为了得到函数的图象，只需把函数的函数( )A. 向左平移个单位长度B. 向右平移 个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度 10. 在如图所示的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱B 1B ，AD 的中点，异面直线BF 与D 1E 所成角的余弦值为( ) A. √147 B. 57 C. √105D. 2√55 11. 四面体ABCD 中，△ABD 和△CBD 均为正三角形，且它们所在平面互相垂直，已知AB =2，则四面体ABCD 外接球的表面积为( )A. 12πB. 16π3C. 20π3D. 16π 12. 对于实数和，定义运算“∗”：，设，且关于x 的方程恰有三个互不相等的实数根，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x ，y 满足{2x −y ≥4x +2y ≤6y +2≥0，则y+1x+3的取值范围为______．14. 在数列{a n }中，a 1=1，a n =n 2n 2−1a n−1(n ≥2).记S n 为数列{a n n 2}的前n 项和，若S n =4925，则n =________．15. 设函数f(x)=12x 2e x ，f(x)的单调减区间是______ ．16. 如果函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的单调递减区间是 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =1+t y =√3t(t 为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2(3+sin 2θ)=12．(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设点M(1,0)，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求1|MA|+1|MB|的值．18. 已知a ⃗ =(sinx,1),b ⃗ =(sinx,cosx)，f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ .求f(x)的最大值以及此时x 的值．19. 如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AD =AA 1=1，AB =2，点E ，M ，N 分别是线段BC ，AE ，CD 1的中点．(Ⅰ)求证：MN//平面ADD 1A 1；(Ⅱ)在线段A 1D 1上有一点P ，若二面角P −AE −D 的余弦值为2√2121，求点D 1到平面PAE 的距离．20. 数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =n(n +1)(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b 13+b 232+b 333+⋯+bn 3n =a n ，求数列{b n }的通项公式； (3)令c n =a nb n 4，求数列{c n }的 n 项和T n ．21. 如图，已知四棱锥P −ABCD 的底面的菱形，∠BCD =60°，点E是BC 边的中点，AC 与DE 交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，(1)求证：PD⊥BC；(2)若AB=6√3，PC=6√2，求二面角P−AD−C的大小；(3)在(2)的条件下，求异面直线PB与DE所成角的余弦值．22.已知函数f(x)=xlnx．(1)求函数f(x)在点(1,0)处的切线；(2)若g(x)=−x2+ax−3，且不等式g(x)−2f(x)≤0对一切x>0恒成立，求实数a的取值范围；(3)当x∈(0,+∞)时，求证：e x lnx+2e x−1>1．x【答案与解析】1.答案：B解析：解：根据子集的定义，可得集合M必定含有1、2两个元素，而且含有1，2，3，4中的至多三个元素，因此，满足条件{1,2}⊆M⊊{1,2，3，4}的集合M有：{1,2}、{1,2，3}、{1,2，4}，共3个，故选：B．根据集合包含关系的定义，将满足条件的集合逐个列出，即可得到本题答案．本题给出集合的包含关系，求满足条件集合M的个数．考查了集合的包含关系的理解和子集的概念等知识，属于基础题．2.答案：D解析：解：∵2−bi1+2i =(2−bi)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=(2−2b)−(4+b)i5的实部和虚部互为相反数，∴2−2b=4+b，得b=−23．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部和虚部互为相反数列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.答案：C解析：解：∵α是第二象限角，∴α2是第一或三象限角，∵sinα2=45，∴cosα2=35，∴sinα=2sinα2cosα2=2425．故选：C．先确定α2是第一或三象限角，再利用同角三角函数的基本关系求得cosα2，利用二倍角公式求得sinα的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于中档题．。
2020-2021学年黑龙江省哈师大附中高一上学期期中数学试题(解析版)
2020-2021学年黑龙江省哈师大附中高一上学期期中数学试题一、单选题1．设集合2|01x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，集合{}|20B x x =-<<，则A B =（ ） A ．{}|21x x -<<- B ．{}|21x x --<≤ C ．{}|21x x -<≤-D ．{}|10x x -≤≤ 【答案】A【分析】由201x x -≥+求出集合A (注意分母不能为零)，然后根据集合的交运算求交集即可．【详解】由201x x -≥+得：2x ≥或1x <-， 所以{|1A x x =<-或}2x ≥，又{}|20B x x =-<<，所以{}|21A B x x =-<<-．故选：A ．2．函数0()f x = ） A ．{|3}x x B ．{|3}x x < C ．{|3x x ，且1}x ≠ D ．{|3x x <，且1}x ≠【答案】D【分析】可看出，要使得()f x 有意义，需满足1030x x -≠⎧⎨->⎩，然后解出x 的范围即可． 【详解】解：要使()f x 有意义，则1030x x -≠⎧⎨->⎩，解得3x <且1x ≠， ()f x ∴的定义域为{|3x x <，且1}x ≠．故选：D ．3．如果a b >，那么下列不等式中正确的是( ) ．A ．11a b <B ．22a b >C ．a c b c >D ．2211a b c c >++【答案】D【分析】通过反例1a =，1b =-，0c可排除,,A B C ；利用不等式的性质可证得D 正确.【详解】若1a =，1b =-，则1111a b =>=-，221a b ==，则A ，B 错误； 若a b >，0c ，则0a c b c ==，则C 错误； 211c +≥ 21011c ∴<≤+，又a b > 2211a b c c ∴>++，则D 正确. 故选D 【点睛】本题考查根据不等式的性质比较大小的问题，对于此类问题通常采用排除法来进行排除，属于基础题.4．设a R ∈，则“38a <”是“|1|1a -<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】先化简解出不等式，由充分必要条件的定义判断出即可．【详解】解：由“38a <”得2a <，由“|1|1a -<”解得02a <<， 2a <推不出02a <<，02a <<可推出2a <，故“38a <”是“|1|1a -<”的必要不充分条件，故选：B ．5．函数y =的单调增区间是（ ）A ．(-∞，2]B ．[1，2]C ．[1，3]D ．[2，3] 【答案】B【分析】求出函数的定义域，利用复合函数单调性求出增区间即可．【详解】解：由2430x x -+-得2430x x -+，得13x ，设243t x x =-+-，则对称轴为2x =，则y =为增函数，要求函数y =的单调增区间，根据复合函数单调性可知，只需要求243t x x =-+-的递增区间，243t x x =-+-的递增区间为[1，2]，∴函数243y x x =-+-的单调增区间是[1，2]，故选：B ．6．已知函数()||2f x x x x =-，则有（ ）A ．()f x 是偶函数，递增区间为[0，)+∞B ．()f x 是偶函数，递增区间为(-∞，1]C ．()f x 是奇函数，递减区间为[1-，1]D ．()f x 是奇函数，递增区间为(-∞，0]【答案】C【分析】由已知结合函数奇偶性的定义可判断函数奇偶性，作出函数的图象，结合图象可求单调区间．【详解】解：因为()||2f x x x x =-，所以()22()f x x x x x x x f x -=--+=-+=-，故()f x 为奇函数，因为222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-=⎨--<⎩，结合二次函数性质可知，()f x 的单调递减区间为[1-，1]．故选：C ．7．已知31()f x x x=+，则函数()f x 的图象的是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】先判断函数的奇偶性，再根据基本不等式即可判断．【详解】解：31()()f x xf x x-=--=-，()f x 的定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞， ∴函数()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除CD ，当0x >时，333441111111()4?··33333327f x x x x x x x x x x x =+=+++=，当且仅当313x x=，即413x =<时取等号，故排除B ， 故选：A ．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.8．在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是 （ ）A ．[15,20]B ．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30]【答案】C 【详解】如图△ADE ∽△ABC ，设矩形的另一边长为y ，则22404040ADE ABC x S y S ∆∆-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，所以40y x =-，又300xy ，所以(40)300x x -，即2403000x x -+，解得1030x .【考点定位】本题考查平面几何知识和一元二次不等式的解法，对考生的阅读理解能力、分析问题和解决问题的能力以及探究创新能力都有一定的要求.属于中档题.9．已知定义域()1,1-的奇函数()y f x =，当[)0,1x ∈时，函数()f x 为增函数，若()()2390f a f a -+-<，则实数a 的取值范围为（ ）A．()B．( C．()4 D ．()2,3-【答案】B【分析】推导出函数()f x 是定义在()1,1-上的增函数，且为奇函数，由()()2390f a f a -+-<可得()()233f a f a -<-，根据题中条件可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围.【详解】()f x 是定义在()1,1-上的奇函数，∴由()()2390f a f a -+-<， 得()()()22399f a f a f a -<--=-． 当[)0,1x ∈时，函数()f x 为增函数，所以，函数()f x 在(]1,0-上为增函数，所以，函数()f x 在()1,1-上是增函数，∴2213119139a a a a -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩，解得3a <<所以，实数a的取值范围是(．故选：B ．【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.10．已知关于x 的方程2(3)10ax a x +-+=在区间1(,)2+∞上存在两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2332a <<B ．213a <C ．9aD ．293a < 【答案】B【分析】可设2()(3)1f x ax a x =+-+，0a ≠，讨论0a >，0a <，结合对称轴与区间的关系和1()2f 的符号、判别式的符号，解不等式可得所求范围．【详解】解：方程有两个实数根，显然0a ≠，可设2()(3)1f x ax a x =+-+，对称轴是32a x a -=， 当0a >时，要使二次方程在区间1(,)2+∞上有两个实数根，如图所示， 则需3122a a ->，且113()10242a f a -=++>，且2(3)40a a ∆=--， 即为302a <<且23a >，且9a 或1a ，则213a <； 当0a <时，要使二次方程在区间1(,)2+∞上有两个实数根，如图所示，则需3122a a ->，且113()10242a f a -=++<，且2(3)40a a ∆=--， 即为302a <<且23<a ，且9a 或1a ，则a ∈∅． 综上可得，a 的取值范围是213a <． 故选：B ．【点睛】本题解题关键是结合二次函数的图象特征研究二次方程根的分布，分类讨论借助图象准确列出不等关系，突破难点.11．若函数()f x 同时满足：（1）对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +-=；（2）对于定义域上的任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有()()()()11122122x f x x f x x f x x f x ->-，则称函数()f x 为“理想函数”．给出下列四个函数：①()2f x x =；②()3f x x =；③()2121x x f x -=+；④()224,04,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩，其中被称为“理想函数”的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】首先确定“理想函数”满足的条件为①奇函数；②函数在定义域内为单调递增函数；进一步对①②③④这四个函数进行判断即可．【详解】由（1）知：()f x 为定义域上的奇函数；由（2）知：()()()11120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，可知()f x 单调递增.即“理想函数”满足①奇函数；②函数在定义域内为单调递增函数；对于①，()2f x x =是偶函数，在定义域内不单调递增，①不是“理想函数”； 对于②，()3f x x =；满足函数是奇函数，在定义域内单调递增，②为“理想函数”； 对于③，()()21212121x x f x f x x x --+-==≠--+-，函数不是奇函数，③不是“理想函数”； 对于④，()224,04,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩，当0x <时，0x ->，则()()()2244f x x x x x f x -=--=-=-，又()00f =，可知()f x 为定义域上的奇函数；又当0x ≥时，()f x 单调递增，由奇函数性质知：()f x 在(],0-∞上单调递增，则()f x 在定义域内单调递增，④为“理想函数”.故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是能够明确新定义函数的具体要求，即函数需为奇函数且在定义域内单调递增，进而利用函数奇偶性和单调性的判断方法依次判断各个选项.二、多选题12．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是（ ）A ．a b +≥B ．222a b ab +≥C ．2b aa b +≥ D ．11a b +> 【答案】BC【分析】AD 可举例排除，BC 利用基本不等式来判断..【详解】解：A.当1a b ==-时，112--≥，不成立；B.由基本不等式得222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立，成立；C.由基本不等式得2b a a b +≥=，当且仅当a b =时，等号成立，成立；D.当1a b ==-时，112-->，不成立；故选：BC.【点睛】本题考查基本不等式的应用，是基础题.三、填空题13．幂函数()y f x =的图象过点(8,，则()9f =______.【答案】3【分析】设()af x x =，由已知得出()88a f ==a 的值，进而可求得()9f 的值.【详解】设幂函数()af x x =（a 为常数），幂函数()y f x =的图象过点(8,，8a ∴=，解得12a =， ()f x ∴=，因此，()93f =.故答案为：3.14．函数2()(21)5f x x a x =+-+在区间(-∞，1]单调递减，则实数a 的取值范围为__．【答案】(-∞，1]2-． 【分析】由已知结合二次函数的单调性与对称轴的位置关系，求出实数a 的取值范围．【详解】解：因为2()(21)5f x x a x =+-+在区间(-∞，1]单调递减， 所以1212a -，解得，12-a ． 故答案为：(-∞，1]2-．15．函数g(x)＝2x ________．【答案】17,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】＝t ，(t≥0)，则x ＋1＝t 2，即x ＝t 2－1，∴y＝2t 2－t －2＝2117248t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，t≥0， ∴当t ＝14时，y min ＝－178，∴函数g(x)的值域为17,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭,故填17,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.四、双空题16．设函数21,1()23,1x x f x x x x +⎧=⎨-+>⎩． ①若()2f x =，则x =__；②若()(1)2f x f x +->，则x 取值范围是__．【答案】1 1(2，)+∞． 【分析】①对x 分情况讨论，分段求出x 的值即可．②对x 分1x 和12x <和2x >三种情况讨论，分别求出()f x 和(1)f x -的解析式，化简整理解出x 的取值范围，最后再求并集即可．【详解】解：①当1x 时，()1f x x =+，12x ∴+=，1x ∴=，当1x >时，2()23=-+f x x x ， 2232x x ∴-+=，解得：1x =（舍去），综上所述，若()2f x =，则1x =．②()i 当1x 时，10x -，∴不等式()(1)2f x f x +->可化为：1(1)12x x ++-+>，即212x +>， 解得：12x >， ∴112x <， ()ii 当12x <时，11x -，∴不等式()(1)2f x f x +->可化为：223(1)12x x x -++-+>，即232x x -+>， △140=-<，12∴<x ，()iii 当2x >时，11x ->，∴不等式()(1)2f x f x +->可化为：2223(1)2(1)32x x x x -++---+>，即22670x x -+>，△36427200=-⨯⨯=-<，2x ∴>，综上所述，x 取值范围是：1(2，)+∞． 故答案为：1，1(2，)+∞． 【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，主要运用分类讨论的数学思想，考查了解一元二次不等式．五、解答题17．已知集合{}2A x a x a =<<，{}2540B x x x =-+->． （1）若1A ∉，求实数a 的取值范围；（2）若:p x A ∈，:q x B ∈，且p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）[)1,-+∞；（2）[]0,2．【分析】（1）由1A ∈可得出实数a 的不等式组，求得对应的实数a 的取值范围，利用补集思想可求得当1A ∉时，实数a 的取值范围；（2）利用p 是q 的充分不必要条件，建立不等式关系，即可求实数a 的取值范围．【详解】（1）若1A ∈，则211a a <⎧⎨>⎩，解得1a <-. 因此，当1A ∉时，1a ≥-，则实数a 的取值范围是[)1,-+∞；（2）由2540x x -+->，得2540x x -+<，解得14x <<，即()1,4B =， :p x A ∈，:q x B ∈，且p 是q 的充分不必要条件，A ∴ B ，当A =∅时，即2a a ≤，解得01a ≤≤，满足题意；当A ≠∅时，由A B ，可得2214a a a a ⎧>⎪≥⎨⎪≤⎩，解得12a <≤.当2a =时，()2,4A =，()1,4B =，则A B 成立.综上所述，实数a 的取值范围为[]0,2.【点睛】结论点睛：本题考查利用充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则求解： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对的集合与p 对应集合互不包含． 18．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，1()1f x x=+． （Ⅰ）求当0x 时，()f x 的解析式；（Ⅱ）用定义法证明：函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增．【答案】（Ⅰ）0,0()11,0x f x x x =⎧⎪=⎨-<⎪⎩；（Ⅱ）证明见解析. 【分析】（Ⅰ）根据题意，由奇函数的定义可得(0)0f =，当0x <时，0x ->，求出()f x -的表达式，结合函数的奇偶性分析可得()f x 的表达式，综合可得答案；（Ⅱ）根据题意，利用函数的单调性定义可得结论．【详解】解：（Ⅰ）根据题意，()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)0f =，当0x <时，0x ->，则11()11f x x x-=+=+-， 又由()f x为奇函数，则1()()1f x f x x=--=-，则当0x时，0,0()11,0x f x x x =⎧⎪=⎨-<⎪⎩， （Ⅱ）证明：设120x x <<，则1212121111()()11)()f x f x x x x x -=+-+=--121212121()x x x x x x x x -==-，又由120x x <<，则12()0x x -<0>，1210x x >， 则12())0(f x f x -<，则函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增． 【点睛】方法点睛：定义法判定函数()f x 在区间D 上的单调性的一般步骤： 1.取值：任取1x ，2x D ∈，规定12x x <， 2.作差：计算()()12f x f x -； 3.定号：确定()()12f x f x -的正负； 4.得出结论：根据同增异减得出结论. 19．已知函数2()6(0)f x x ax a =-+>．（Ⅰ）关于x 的不等式()0f x <的解集为{|23}x x <<，求()f x y x=在区间[2，4]的最小值；（Ⅱ）解关于x 的不等式1()5f x x a<+．【答案】（Ⅰ）5；（Ⅱ）答案见解析.【分析】（Ⅰ）根据不等式和方程的关系求出a 的值，从而求出()f x y x=的解析式，求出函数的最小值即可； （Ⅱ）问题转化为()10a x x a a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，通过讨论a 的范围，求出不等式的解集即可．【详解】解：（Ⅰ）不等式()0f x <的解集为{|23}x x <<2∴和3是方程260x ax -+=的根23a +=，解得：5a =故2()56f x x x =-+()665255f x y x x x x x∴==+-⋅-=当且仅当x =“=”成立故()f x y x=在区间[2，4]的最小值是5； （Ⅱ）1()5f x x a <+即2165x ax x a-+<+，(0)a >故22(1)0ax a x a -++<，故1()0a x x a a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭1()0x x a a ⎛⎫∴--< ⎪⎝⎭①1a a <即1a >时，1x a a << ②1a a =即1a =时，不等式无解 ③1a a >即01a <<时，1a x a<< 综上：1a >时，不等式的解集是1{|}x x a a<< 1a =时，不等式无解01a <<时，不等式的解集是1}|{x a x a<<．20．若二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠满足(1)()2f x f x x +-=，且(0)1f =． （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）当[1x ∈，3]时，不等式()(2)f x m x <+恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）2()1f x x x =-+；（Ⅱ）7(5，)+∞.【分析】（Ⅰ）由(0)1f =，可得c ，再由恒等式的性质可得a ，b 的方程，求得a ，b ，即可得到()f x 的解析式；（Ⅱ）由题意可得2(1)120x m x m -++-<在[1x ∈，3]恒成立，考虑二次函数的图象，可得g （1）0<，且g （3）0<，解不等式可得所求范围． 【详解】解：（Ⅰ）由(0)1f =，可得1c =，由22(1)()(1)(1)()22f x f x a x b x c ax bx c ax a b x +-=++++-++=++=， 即为22a =，0a b +=，解得1a =，1b =-， 则2()1f x x x =-+；（Ⅱ）当[1x ∈，3]时，不等式()(2)f x m x <+恒成立， 即为21(2)x x m x -+<+恒成立，则2(1)120x m x m -++-<在[1x ∈，3]恒成立， 设2()(1)12g x x m x m =-++-，可得g （1）1(1)120m m =-++-<，且g （3）93(1)120m m =-++-<，即为13m >且75m >，则75m >，即m 的取值范围是7(5，)+∞． 【点睛】关键点点睛：本题考查二次函数的解析式的求法，以及不等式恒成立问题解法，考查待定系数法和转化思想、运算能力和推理能力，一元二次不等式恒成立，可转化为求出对应二次函数的最值．由最值满足的关系求得参数范围． 21．已知函数2()1mx nf x x+=+是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =． （1）求()f x 的解析式； （2）已知0a >，0b >，且128a b+=，若存在a ，b 使()2b f t a >+成立，求实数t的取值范围．【答案】（Ⅰ）22()1xf x x=+；（Ⅱ）(2⎤-⎦． 【分析】（1）根据题意分析可得()()0011f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解可得m 、n 的值，则可得出函数()f x 的解析式； （2）因为128a b+=，所以112282b b a a a b ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，展开利用基本不等式可得122b a +≥， 则只需使1()2f t >，然后求解不等式即可解得实数t 的取值范围． 【详解】解：（1）根据题意，函数2()1mx nf x x +=+是定义在[]1,1-上的奇函数， 则(0)0f =，可得0n =，则2()1mxf x x =+，又由()11f =得，则12m=，可得2m =，则22()1xf x x=+． （2）因为0a >，0b >，且128a b+=，所以1121211222828282b b b a a a a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当22b a a b =，即14a =，12b =时，等号成立， 若存在a ，b 使()2b f t a >+成立，则1()2f t >，即22112t t >+，解得：22t -<<[]1,1t ∈-，所以实数t的取值范围是(2⎤⎦．【点睛】本题主要考查根据函数奇偶性求解函数的解析式，考查基本不等式的运用，解答本题时注意以下几点：（1）当奇函数()f x 在0x =处有意义时，则有()00f =； （2）若存在a ，b 使()2b f t a >+成立，只需使min ()2b f t a ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，然后根据128a b +=，利用基本不等式求解2ba +的最小值． 22．在函数()f x 定义域内的某个区间D 上，任取两个自变量1x 、2x ，若都有1212()()()22++≤x x f x f x f ，则称()f x 为D 上的凹函数；若都有1212()()()22x x f x f x f ++≥，则称()f x 为D 上的凸函数．已知函数()()af x x a R x =-∈．（1）当1a =时，判断函数()f x 在区间(0,)+∞上的凹凸性，并证明你的结论； （2）若对任意的(0,1)x ∈，都有()()11f x f x ⋅-≥恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）()f x 在区间(0,)+∞上为凹函数．证明见解析；（2）1a ≥或14a -≤． 【分析】（1）函数1()f x x x=-在区间(0,)+∞上为凹函数．由函数的凹凸性的定义，运用作差法和因式分解，可得结论；（2）将原不等式化为222(1)[(1)](1)a a ax x x x x x -+-≥+--，可令(1)t x x =-，运用二次函数求得t 的范围，解关于t 的不等式，结合恒成立思想可得a 的范围． 【详解】解：（1）函数1()f x x x=-在区间(0,)+∞上为凹函数． 理由：设1x 、2(0,)x ∈+∞，121212121212()()2111()()2222x x f x f x x x f x x x x x x +++-=---+-+ 22221212121212121212121212121212124()14()()()1·()()2()22()2()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+--++-+=++=++++22121212121212124()()02()2()x x x x x x x x x x x x x x -+-==-++，即有1212()()()22++≤x x f x f x f ，即()f x 在区间(0,)+∞上为凹函数． （2）()()11f x f x ⋅-≥即为()(1)11a ax x x x--+≥-在(0,1)x ∈上恒成立， 由01x <<，可得011x <-<，上式化为22()[(1)](1)a x a x x x ---≥-， 即为2222[(1))][(1)](1)a a x x x x x x -+-+-≥-， 即有222(1)[(1)](1)a a ax x x x x x -+-≥+--，可令(1)t x x =-，2111(1)0,244t x x x ⎛⎫⎛⎤=-=--+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，则上式化为22(21)()0t a t a a +-+-≥，可得()(1)0t a t a ++-≥，解得1t a ≥-，或t a ≤-在104t <≤上恒成立，故10a -≤或14a -≥， 解得1a ≥或14a -≤．【点睛】本题解题关键是紧扣新定义，利用作差法证明1212()()()22++≤x x f x f x f ，即判断()f x 是凹函数；恒成立问题的常见方法是分离参数法、构造函数法和数形结合法，本题采用分离参数法，巧妙换元(1)t x x =-，再进行因式分解，即转化成1t a ≥-，或t a ≤-在104t <≤上恒成立，即突破难点.。
哈三中2023-2024学年高三上学期期中考试试题(含答案)
哈三中2023—2024学年度上学期高三学年期中考试数学试卷考试说明：（1）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟；（2）第I卷，第II卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I卷（选择题,共60分）一、选择题（共60分）(一)单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）A．2B．22A ．1B ．2已知ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是()()2a b c b c a ab +-++=，那么ABC A ．直角三角形C ．等边三角形如图，在边长为4的正三角形ABC 中，,DE AF 的中点，将ABC 沿,,DE EF DF 异面直线PG 与DH 所成的角的余弦值为A ．13B ．23在《九章算术商功》中将正四面形棱台体（棱台的上、下底面均为正方形）称为方亭．在方亭1111ABCD A B C D -中，AB =侧面积为33，则该方亭的体积为A ．72B ．768．已知函数21,1,1()122,1,2x x x f x x x a x -⎧≤⎪⎪+=⎨⎪-++->⎪⎩若总存在实数t ，使得函数()()g x f x t =-有三个零点，则实数a 的取值范围为A ．0a >B ．0a >或12a ≤-C ．0a >或12a <-D ．102a -<<(二)多项选择题（共4小题，每小题5分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．下列说法中不正确的是A ．各侧面都是正方形的正四棱柱一定是正方体B ．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台C ．任意两条直线都可以确定一个平面D ．空间中三条直线,,a b c ，若a 与b 共面，b 与c 共面，则a 与c 共面10．已知平面向量()1,x =a ，()2,3x x =-b ，x ∈R ，则下列说法正确的是A ．若∥a b ，则32x =-或1x =B ．若()+⊥a b a ，则1=5x C ．当3x =时，向量b 在向量a 方向上的投影向量为39,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．若0x <或5x >，则a 与b 夹角为钝角11．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,πA >><ωϕ）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是A ．π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数B ．()f x 在ππ,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．函数()f x 的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称D ．若函数()()0y f x =>λλ在[]0,π上没有零点，则50,12⎛⎫∈ ⎪⎝⎭λ。
黑龙江省哈尔滨三中国际部高一(上)期中数学试卷
高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={0,1，2}，N={x|x2−3x+2≤0}，则M∩N=( )A. {1}B. {2}C. {0,1}D. {1,2}2.下列函数中，在各自定义域内为增函数的是( )A. y=x2−2B. y=3xC. y=1−2−xD. y=−(x+2)23.若集合A={−1,1}，B={0,2}，则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为( )A. 5B. 4C. 3D. 24.已知集合A={1,3，m}，B={1,m}，A∪B=A，则m=( )A. 0或3B. 0或3C. 1或3D. 1或35.函数y=x2+x+1(x∈R)的递减区间是( )A. [12,+∞)B. [−1,+∞)C. (−∞,−12]D. (−∞,+∞)6.若A={(x,y)|4x+y=6}，B={(x,y)|3x+2y=7}，则A∩B=( )A. {2,1}B. {(2,1)}C. {1,2}D. {(1,2)}7.与函数y=2x2+1不相同的函数是( )A. y=|x2|+|x2+1|B. y=(2x2+1)2C. y=|2x2+1|D. y=(2x2+1)(x+1)x+18.函数y=(2x+3)0|x|−x的定义域是( )A. {x|{x<0且x≠−32}B. {x|x<0}C. {x|x>0}D. {x|{x≠0且x≠−32，x∈R}9.下列说法中，正确的是( )A. 偶函数的图象一定与y轴相交B. 若奇函数y=f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0C. 既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0，x∈RD. 图象过原点的增函数(或减函数)一定是奇函数10.下列函数中既是奇函数又在定义域上为增函数的是( )A. f(x)=3x+1B. f(x)=1xC. f(x)=1−1xD. f(x)=x311.函数f(x)=x2−4x−8的定义域为[0,a]，值域为[−12,−8]，则a的取值范围是( )A. [2,4]B. [4,6]C. [2,6]D. [0,4]12.已知定义域为R的奇函数f(x)满足f(2)=0，若对任意x1，x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，f(x1)−f(x2)x1−x2>0恒成立，则不等式xf(x)>0的解集为( )A. (−2,0)∪(2,+∞)B. (−2,0)∪(0,2)C. (−∞,−2)∪(2,+∞)D. (−∞,−2)∪(0,2)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R都有(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，则f(−3)与f(−π)的大小关系是______．14.已知f(x)=ax5+bx3+cx−8，且f(d)=10，则f(−d)=______．15.2x2−3x−53x2−13x+4≥0的解集为______．16.设定义在[−2,2]的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1−m)<f(1)，则实数m的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合A={x|x>6或x<−3}，B={x|a<x<a+3}，若A∪B=A，求实数a的取值范围．18.判断下列函数奇偶性：(1)f(x)=x−1+1−x(2)f(x)=36−x2|x+3|−319.已知函数f(x)=x2−2ax−a2在区间[0,2]上的最大值为−1，求实数a的值．20.用函数单调性定义证明，求证：函数f(x)=−1x−1在区间(−∞,0)上是单调增函数21.函数f(x)，x∈(−1,1)为奇函数，且f(1−a)+f(1−a2)<0.若f(x)是(−1,1)上的减函数，求实数a的取值范围．22.若函数f(x)=ax2+1bx+c是奇函数，(a,b，c∈N)且f(1)=2，f(2)<3．(1)求实数a，b，c的值；(2)判断函数f(x)在(−∞,−1]上的增减性，并证明．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．【解答】解：∵N={x|x2−3x+2≤0}={x|(x−1)(x−2)≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N={1,2}，故选D．2.【答案】C【解析】解：A中，y=x2−2在(−∞,0)上是减函数，在(0,+∞)上是增函数，∴不满足条件；B中，y=3x在(−∞,0)上是减函数，(0,+∞)上是减函数，∴不满足条件；C中，y=1−2−x在定义域(−∞,2]是增函数，∴满足条件；D中，y=−(x+2)2在(−∞,−2)上是增函数，在[−2,+∞)上是减函数，∴不满足条件；故选：C．根据基本初等函数在定义域内的单调性情况，判定各选项中的函数是否满足条件即可．本题考查了基本初等函数在定义域内的单调性问题，是基础题．3.【答案】C【解析】解：由题意，∵集合A={−1,1}，B={0,2}，−1+0=−1，1+0=1，−1+2=1，1+2=3∴{z|z=x+y,x∈A,y∈B}={−1,1，3}∴集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为3故选C．根据题意，计算元素的和，根据集合中元素的互异性，即可得到结论．本题考查集合的概念，考查集合中元素的性质，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：A∪B=A⇔B⊆A．∴{1,m}⊆{1,3，m}，∴m=3或m=m，解得m=0或m=1(与集合中元素的互异性矛盾，舍去)．综上所述，m=0或m=3．故选：B．由两集合的并集为A，得到B为A的子集，转化为集合间的基本关系，再利用子集的定义，转化为元素与集合，元素与元素的关系．此题考查了并集及其运算，以及集合间的包含关系，是一道基础题．5.【答案】C【解析】解：∵y=x2+x+1的图象是对称轴为直线x=−12，抛物线开口向上的抛物线，∴函数y=x2+x+1的单调递减区间是(−∞,−12]，故选：C．将二次函数的解析式进行配方，得到函数的对称轴，结合函数图象的开口方向，利用函数单调性和对称轴之间的关系确定单调减区间．本题主要考查二次函数的图象和性质，利用函数单调性和对称轴之间的关系是解决本题的关键．6.【答案】D【解析】解：A∩B中的元素即直线4x+y=6和直线3x+2y=7交点的坐标，把两直线方程联立方程组解得两直线交点坐标为(1,2)，故A∩B={(1,2)}，故选：D．根据题意，结合集合的意义，把两直线方程联立方程组解得两直线交点坐标为(1,2)，从而求得A∩B中的元素．本题考查两个集合的交集的定义，求两直线交点坐标，求出两直线交点坐标，是解题的关键．7.【答案】D【解析】解：函数y=2x2+1的定义域为R，值域为[1,+∞)，选项A中的函数y=|x2|+|x2+1|=x2+x2+1=2x2+1，它的定义域为R，值域为[1,+∞)，和已知函数为同一函数；选项B中的函数即y=|2x2+1|=2x2+1，它的定义域为R，值域为[1,+∞)，和已知函数为同一函数；选项C中的函数y=|2x2+1|=2x2+1，它的定义域为R，值域为[1,+∞)，和已知函数为同一函数；选项D中的函数的定义域为{x|x≠−1}，故它和已知函数不是同一函数，故选：D．由题意利用函数的三要素作出判断．本题主要考查函数的三要素，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：由题意得：2x+3≠0|x|−x>0，解得：x<0且x≠−32，故函数的定义域是{x|x<0且x≠−32}，故选：A．根据指数幂的意义，以及二次根式的性质求出x的范围即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质以及指数幂的意义，是一道基础题．9.【答案】B【解析】解：A.y=1x2是偶函数，但函数与y轴没有交点，故A错误，B.若奇函数y=f(x)在x=0处有定义，则由f(−x)=−f(x)得f(−0)=−f(0)，即f(0)=0，故B正确，C.若函数f(x)是奇函数则f(−x)=−f(x)，若函数f(x)是偶函数，则f(−x)=f(x)，则−f(x)=f(x)，则f(x)=0，此时只要定义域关于原点对称即可，故C错误，D.函数的单调性和奇偶性没有关系，故过过原点的增函数(或减函数)不一定是奇函数，故D错误，故选：B．根据函数奇偶性的性质分别进行判断即可．本题主要考查与函数奇偶性有关的命题的真假判断，涉及函数奇偶性的定义和性质，难度不大．10.【答案】D【解析】解：y=3x+1不是奇函数，排除A；f(x)=1x在(−∞,0)，(0,+∞)上为减函数，排除B；f(x)=1−1x不是奇函数，排除C；y=x3的图象关于原点对称，且在定义域上为增函数，故选：D．先利用奇函数的定义排除A、C，再利用单调性排除B，即可得正确选项．本题考查了基本初等函数的奇偶性和单调性，排除法解选择题．11.【答案】A【解析】解：f(x)=x2−4x−8=(x−2)2−12，f(x)在(−∞,2)为减函数，在(2,+∞)为增函数，∴f(x)min=f(2)=−12，f(0)=−8，若x∈[0,a]，值域为[−12,−8]，则a≥2，f(a)≤f(0)，即a2−4a−8≤−8，解得0≤a≤4，所以2≤a≤4，故选：A．f(x)=x2−4x−8=(x−2)2−12，f(x)在(−∞,2)为减函数，在(2,+∞)为增函数，∴f(x)min=f(2)=−12，f(0)=−8，进而得出a在2的右边且f(a)≤f(0)，进而求解．考查二次函数的图象，对称轴，特定定义域的值域．12.【答案】C【解析】解：∵对任意x1，x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，f(x1)−f(x2)x1−x2>0恒成立，∴f(x)在(0,+∞)上是增函数，且f(x)在R上是奇函数，∴f(x)在(−∞,0)上是增函数，由f(2)=0得，f(−2)=0，∴由xf(x)>0得，x>0f(x)>f(2)或x<0f(x)<f(−2)，∴x>2或x<−2，∴不等式xf(x)>0的解集为(−∞,−2)∪(2,+∞)．故选：C．根据条件即可得出f(x)在(−∞,0)，(0,+∞)上单调递增，且f(2)=f(−2)=0，从而根据xf(x)>0可得出x>0f(x)>f(2)或x<0f(x)<f(−2)，根据f(x)的单调性即可解出该不等式组，从而得出原不等式的解集．本题考查了增函数的定义，奇函数在对称区间上的单调性，奇函数的定义，转化为不等式组求不等式解集的方法，考查了计算和推理能力，属于基础题．13.【答案】f(−3)>f(−π)【解析】解：∵函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R都有(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，∴函数f(x)是增函数∵−3>−π∴f(−3)>f(−π)故答案为：f(−3)>f(−π)．先确定函数是增函数，再利用单调性的定义，即可得到结论．本题考查函数的单调性，考查单调性的运用，确定函数的单调性是关键．14.【答案】−26【解析】解：根据题意，f(x)=ax5+bx3+cx−8，则f(−x)=a(−x)5+b(−x)3+c(−x)−8=−(ax5+bx3+cx)−8，则f(−x)+f(x)=−16；则有f(d)+f(−d)=−16，若f(d)=10，则f(−d)=−26；故选：根据题意，由函数的解析式求出f(−x)的解析式，进而分析可得f(−x)+f(x)=−16，据此分析可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．15.【答案】{x|x>4或13<x≤52或x≤−1}【解析】解：由2x2−3x−53x2−13x+4≥0可得，(2x−5)(x+1)(3x−1)(x−4)≥0，转化为(x+1)(3x−1)(2x−5)(x−4)≥0且(3x−1)(x−4)≠0，根据高次不等式的解法可得，x>4或13<x≤52或x≤−1，故答案为：{x|x>4或13<x≤52或x≤−1}．由2x2−3x−53x2−13x+4≥0可得，(x+1)(3x−1)(2x−5)(x−4)≥0且(3x−1)(x−4)≠0，结合高次不等式的解法可求．本题主要考查了分式及高次不等式的求解，属于基础试题．16.【答案】2<m≤3或−1≤m<0【解析】解：∵函数f(x)是偶函数，∴f(x)=f(−x)=f(|x|)，∵函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，∴f(1−m)=f(|1−m|)<f(1)，∴0≤|1−m|≤2|1−m|>1，解得2<m≤3或−1≤m<0，故答案为2<m≤3或−1≤m<0．根据函数f(x)是偶函数，得到f(x)=f(−x)=f(|x|)，根据函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，，把不等式f(1−m)<f(1)转化为自变量不等式，从而求得实数m的取值范围，在转化不等式时注意函数的定义域．此题是个中档题．考查函数的奇偶性和单调性的定义和函数图象的对称性，及根据函数的单调性转化不等式，体现了转化的思想方法．17.【答案】解：∵A∪B=A，∴B⊆A，且A={x|x>6或x<−3}，B={x|a<x<a+3}，∴a+3≤−3或a≥6，∴a≤−6或a≥6，∴a的取值范围为{a|a≤−6或a≥6}．【解析】根据A∪B=A可得出B⊆A，从而可得出a+3≤−3或a≥6，解出a的范围即可．本题考查了描述法的定义，并集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)对于f(x)=x−1+1−x，有x−1≥01−x≥0，解可得x=1，即函数的定义域为{x|x=1}，其定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数；(2)对于f(x)=36−x2|x+3|−3，有36−x2≥0|x+3|−3≠0，解可得：−6<x≤6且x≠0，即函数的定义域为{x|−6<x≤6且x≠0}，其定义域不关于原点对称；为非奇非偶函数．【解析】根据题意，先求出函数的定义域，结合奇偶性的性质分析可得结论．本题考查函数奇偶性的判断，注意分析函数的定义域，属于基础题．19.【答案】解：f(x)的对称轴为x=a，①a≤0时，f(x)在[0,2]上单调递增，∴f(x)在[0,2]上的最大值为f(2)=4−4a−a2=−1，解得a=−5或1，∴a=−5；②0<a<2时，f(x)在[0,2]上的最大值为f(0)=−a2=−1，或f(2)=4−4a−a2=−1，且0<a<2，∴解得a=1，③a≥2时，f(x)在[0,2]上单调递减，∴f(x)在[0,2]上的最大值为f(0)=−a2=−1，且a≥2，∴a∈⌀，综上得，a=−5或1．【解析】可求出f(x)的对称轴为x=a，从而可讨论a≤0，0<a<2，a≥2，然后在每种情况下，根据f(x)在[0,2]上的最大值为−1，即可求出a的值．本题考查了二次函数的对称轴，二次函数的单调性，根据单调性求函数最值的方法，考查了推理和计算能力，属于基础题．20.【答案】证明：任取x1<x2<0，∵f(x1)−f(x2)=−1x1−1−(−1x2−1)=1x2−1x1=x1−x2x1x2，由题设可得，x1−x2<0，x1⋅x2>0，∴f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，故函数f(x)=−1x−1在区间(−∞,0)上是单调增函数．【解析】由定义可知，任取x1<x2<0，代入解析式，作差变形推出可得f(x1)<f(x2)，从而得到函数f(x)在区间(−∞,0)上为增函数．本题考查了函数单调性的定义和证明，属于基础题．21.【答案】解：根据题意，函数f(x)，x∈(−1,1)为奇函数，则f(1−a)+f(1−a2)<0⇒f(1−a)<−f(1−a2)⇒f(1−a)<f(a2−1)，又由f(x)是(−1,1)上的减函数，则f(1−a)<f(a2−1)⇒−1<1−a<1−1<a2−1<11−a>a2−1，解可得：0<a<1，即a的取值范围为(0,1)；故a的取值范围(0,1)．【解析】根据题意，由函数奇偶性的性质可得f(1−a)+f(1−a2)<0⇒f(1−a)<−f(1−a2)⇒f(1−a)<f(a2−1)，结合函数的定义域以及单调性分析可得−1<1−a<1−1<a2−1<11−a>a2−1，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数的定义域，属于基础题．22.【答案】解：(1)根据题意，函数f(x)=ax2+1bx+c是奇函数，(a,b，c∈N)且f(1)=2，则f(−1)=−2，又由f(2)<3，则有a+1b+c=2a+1−b+c=−24a+12b+c<3且a、b、c∈N，解可得a=1，b=1，c=0；(2)由(1)可得：f(x)=x2+1x=x+1x，函数f(x)在(−∞,−1]上为增函数，设x1<x2≤−1，f(x1)−f(x2)=(x1+1x1)−(x2+1x2)=(x1x2−1)(x1−x2)x1x2，又由x1<x2≤−1，则(x1−x2)<0且(x1x2−1)>0，则有f(x1)−f(x2)<0，故函数f(x)在(−∞,−1]上为增函数．【解析】(1)根据题意，由奇函数的性质可得f(−1)=−2，进而可得a+1b+c=2a+1−b+c=−24a+12b+c<3，解可得a、b、c的值，即可得答案；(2)根据题意，由作差法分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是求出a、b、c的值，属于基础题．。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题
黑龙江省哈尔滨市第三中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{}222M y y x x ==--∣，N x y ⎧==⎨⎩，则M N = （）A ．[3,1)-B ．[1,1)-C ．(1,3)D ．[1，4]2．已知向量a ，b 满足2a b a b -=+ ，其中b 是单位向量，则a 在b方向上的投影向量是（）A ．bB ．34bC ．14bD ．12b- 3．已知函数()22()log 2,f x x ax a =-∈R ，则“1a ≤”是“函数()f x 在(1,)+∞上单调递增”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若πcos 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则1tan sin αα-=（）A ．125-B ．65C ．125D ．5125．已知圆221:(3)81C y x ++=和222:(3)1C y x -+=，若动圆P 与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M ，则M 的方程为（）A ．221167y x +=B ．221259y x +=C ．2212516y x +=D ．221169x y +=6．如图，三棱柱111ABC A B C -中，E ，F 分别是AB 、AC 的中点，平面11EFC B 将三棱柱分成体积为12,V V （左为1V ，右为2V ）两部分，则21:V V =（）A ．5:6B ．3:4C ．1:2D ．5:77．专家表示，海水倒灌原因是太阳、月亮等星体的共同作用下，海水的自然涨落，如果天气因素造成的涨水现象赶上潮汐高潮的时候，这个时候水位就会异常的高.某地发生海水倒灌，未来24h 需要排水减少损失，因此需要紧急抽调抽水机.经测算，需要调用20台某型号抽水机，每台抽水机需要平均工作24h.而目前只有一台抽水车可立即投入施工，其余抽水机需要从其他施工现场抽调.若抽调的抽水机每隔20min 才有一台到达施工现场投入工作，要在24h 内完成排水任务，指挥部至少共需要抽调这种型号的抽水机（）A ．25台B ．24台C ．23台D ．22台8．已知函数2()(2)ln 1()f x ax a x x a =-+++∈R ，若12,(0,)x x ∀∈+∞，当12x x ≠时，()()12122f x f x x x ->--恒成立，则a 的取值范围是（）A ．(,1)∞--B ．(,1]-∞-C ．(0,8]D ．[0,8]二、多选题9．设12,F F 是椭圆2211612x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且122PF PF -=．则下列说法中正确的是（）A ．125,3PF PF ==B ．离心率为12C ．12PF F 的面积为6D ．12PF F 的面积为1210．已知函数π()sin(2)2f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭满足ππ43f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()f x 在区间π,2t ⎛⎤ ⎥⎝⎦上恰有3个零点，则（）A ．()f x 的最小正周期是π2B ．()7,π24x f x f ⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭R C ．t 的最小值为37π24D ．t 的最大值为49π2411．在ABC V 中，5,6,AB AC BC P ===为ABC V 内的一点，AP xAB yAC =+，则下列说法正确的是（）A ．若P 为ABC V 的重心，则12x y +=B ．若P 为ABC V 的外心，则18PB BC ⋅=-C ．若P 为ABC V 的垂心，则716x y +=D ．若P 为ABC V 的内心，则58x y +=三、填空题12．已知i 为虚数单位，若复数z 满足|4i |2z -=，则|1i |z +-的最大值是.13．边长为1的正三角形ABC 的内心为O ，过O 的直线与边AB ，AC 交于P 、Q ，则2211||||OP OQ +的最大值为.14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足231(,1)n n S a n N n =-∈≥，函数()f x 定义域为R ，对任意R x ∈都有1()(1)1()f x f x f x ++=-，若(2)3f =，则()21013f a 的值为.四、解答题15．记锐角ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin a C C b c =+.(1)求A ；(2)求b ca+的取值范围.16．为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x 分钟/每天）和他们的数学成绩（y 分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）.表一：编号12345学习时间x 3040506070数学成绩y65788599108(1)请用相关系数说明该组数据中变量y 与变量x 之间的关系可以用线性回归模型拟合（结果精确到0.001）；(2)求y 关于x 的经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩；(3)基于上述调查，某校提倡学生周六在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周六在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到22⨯列联表（表二）．依据表中数据及小概率值0.001α=的独立性检验，分析“周六在校自主学习与成绩进步”是否有关.表二：没有进步有进步合计参与周六在校自主学习35130165未参与周六不在校自主学习253055合计60160220（参考数据：551122820,435,i ii i i i x y y x ====∑∑的方差为200,i y 的方差为230.81074≈）附：()()()()()121ˆˆˆ,nniiiii nii x x y y x x y y r b a y bx x x ==----===--∑∑∑，22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.α0.100.050.0100.0050.001αχ 2.7063.8416.6357.87910.82817．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b ，满足1122331,4,7a b a b a b ==+=+=.(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)求数列{}n n a b ⋅的前n 项和为n S ；(3)在（2）的条件下，设数列11n n n S a a +⎧⎫-⎨⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，若对于任意的*N n ∈时，141n T n λ>++恒成立，求实数λ的取值范围．18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知1AA ⊥底面1111,3,A B C AA AB AC ==，2,BC D =为BC 的中点，点F 在棱1BB 上，且2,BF E =为线段A 上的动点.(1)证明：1C F EF ⊥；(2)若直线1C D 与EF 所成角的余弦值为156，求二面角1E FC D --的正弦值.19．设()y f x =是定义在区间D 上的连续函数，若存在区间0[,],(,)a b D x a b ⊆∈，使得()y f x =在[)0,a x 上单调递增，在(]0,x b 上单调递减，则称()y f x =为“含峰函数”，0x 为“峰点”，[,]a b 称为()y f x =的一个“含峰区间”.(1)判断下列函数是否为“含峰函数”？若是，请指出“峰点”；若不是，请说明理由：（i ）1y x x=+；（ii ）sin y x x =-.(2)已知*2,()ln(1)2t f x t x x x ∈=--+N 是“含峰函数”，且[]2,3是它的一个“含峰区间”，求t 的最大值；(3)设()()432,,324m n g x x mx nx m n x ∈=--++-R 是“含峰函数”，[],a b 是它的一个“含峰区间”，并记b a -的最大值为(),M m n .若()()12g g ≥，且()10g ≥，求的(),M m n 最小值.。
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨三中高三(上)期中数学试卷(理科)
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）期中数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={x|y =log 2(x −1)}，B ={x|x 2−x −6≤0}，则A ∪B =( )A. [−2,+∞)B. [1,3]C. (1,3]D. (1,+∞)2. 已知|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，(a ⃗ −b ⃗ )⊥a ⃗ ，则向量a ⃗ 、b ⃗ 的夹角为( )A. π6B. π4C. π3D. π23. 数列{a n }中，a 1=2，a n =1−1an−1(n ≥2)，则a 8=( )A. 2B. 12C. −1D. 14. 中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C =Wlog 2(1+SN ).它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN 叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN 从1000提升至4000，则C 大约增加了( )附：lg2≈0.3010A. 10%B. 20%C. 50%D. 100%5. 如图，在△ABC 中，已知BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +32AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 12AB ⃗⃗⃗⃗⃗+32AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 6. 等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1010a 1011=3.则log 3a 1+log 3a 2+⋯+log 3a 2020=( )A. 3B. 505C. 1010D. 20207. 函数f(x)=1+e x1−e xcosx 的图象大致形状是( )A. B.C. D.8.已知向量a⃗与b⃗ 的夹角为60°，|a⃗|=2，|b⃗ |=5，则2a⃗−b⃗ 在a⃗方向上的投影为()A. 32B. 2 C. 52D. 39.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(2+x)=f(2−x)，当x∈[−2,0]时，f(x)=(√22)x−1，若关于x的方程f(x)−log a(x+2)=0(a>0,a≠1)在区间(−2,10)内恰有5个不同的实数根，则实数a的取值范围是()A. (8,12)B. (12,+∞)C. (8,12]D. (1,8)10.已知函数f(x)=(m2−m−1)x m3−1是幂函数，对任意的x1，x2∈(0,+∞)且x1≠x2，满足f(x1)−f(x2)x1−x2>0，若a，b∈R，a+b<0，则f(a)+f(b)的值()A. 恒大于0B. 恒小于0C. 等于0D. 无法判断11.已知函数f(x)=ln|x|+x2+3，若不等式f(log3a)≤f(x2−2x+2)对于x∈R恒成立，则a的取值范围为()A. [13,1) B. [13,3] C. [13,1)∪(1,3] D. [3,+∞)12.已知函数f(x)=sinωx+acosωx，周期T<2π，f(π3)=√3，且在x=π6处取得最大值，则使得不等式λ|ω|≥a恒成立的实数λ的最小值为()A. √310B. √311C. √312D. √313二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若向量a⃗=(t,t−√3)与b⃗ =(t+√3,2)共线，则t=______．14.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f(x)=______．15.我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”.他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程px2=q中，p为“隅”，q为“实”.即若△ABC的大斜、中斜、小斜分别为a，b，c，则S2=14[a2c2−(a2+c2−b22)2].已知点D是△ABC边AB上一点，AC=3，BC=2，∠ACD=45°，tan∠BCD=8+√157，则△ABC的面积为______．16.设S n是数列{a n}的前n项和，a1=3，当n≥2时，有S n+S n−1−2S n S n−1=2na n，则使S1S2……S m≥2021成立的正整数m的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a7=1，S4=−32．(1)求数列{a n}的通项公式．(2)求S n，并求S n的最小值．18.已知函数f(x)=12cos2x+√32sinxcosx−14，(x∈R)．(1)当函数f(x)取得最大值时，求自变量x的取值集合；(2)用五点法做出该函数在[0,π]上的图象；(3)写出函数f(x)单调递减区间．19.数列{a n}中，a1=2，a n+1=2(n+1)na n．(1)求证：数列{a nn}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=na n−n，数列{2n b n b n+1}的前n项和为S n.求证：S n<1．20.△ABC中，三内角A，B，C所对边分别为a，b，c，AB2−=AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ +BA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ +CA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)判断△ABC的形状；(2)若M=(a+b+c)(1a +1b+1c)，试求M的最小值．21.已知函数f(x)=12ax2−x⋅lnx+b，g(x)=f′(x)．(1)判断函数y=g(x)的单调性；(2)若x∈(0,e](e≈2.718)，判断是否存在实数a，使函数g(x)的最小值为2？若存在求出a的值；若不存在，请说明理由．(3)证明：3(12+23+34+⋯+nn+1)>n−ln√n+13，n∈N∗．22. 曲线C 1：{y =2t −1x=2t+1(其中t 为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 2：ρ=2acosθ(a >0)关于C 1对称． (1)求曲线C 1的普通方程，曲线C 2直角坐标方程；(2)将C 2向左平移2个单位长度，按照{x′=12xy′=√32y变换得到C 3，点P 为C 3上任意一点，求点P 到曲线C 1距离的最大值．23. 已知函数f(x)=|x −2|．(1)解不等式f(x)−f(2x +4)<2；(2)若f(x −1)+f(x +3)≥m 2+3m 对所有的x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合A ={x|y =log 2(x −1)}={x|x >1}， B ={x|x 2−x −6≤0}={x|−2≤x ≤3}， ∴A ∪B ={x|x ≥−2}=[−2,+∞)． 故选：A ．先求出集合A 和B ，由此能求出A ∪B ．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：因为(a ⃗ −b ⃗ )⊥a ⃗ ， 所以(a ⃗ −b ⃗ )⋅a ⃗ =0，所以a ⃗ 2−a ⃗ ⋅b⃗ =0， 所以a ⃗ ⋅b ⃗ =1， 设向量a ⃗ 、b ⃗ 的夹角为θ， 则cosθ=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b⃗ |=11×2=12，由θ∈[0,π]， 所以θ=π3， 故选：C ．由向量数量积的运算得：a ⃗ ⋅b ⃗ =1，由向量的夹角公式得：cosθ=a ⃗ ⋅b ⃗|a ⃗ ||b⃗ |=11×2=12，由θ∈[0,π]，所以θ=π3，得解．本题考查了向量的夹角公式及向量数量积的运算，属简单题．3.【答案】B【解析】解：数列{a n }中，a 1=2，所以a 2=1−12=12，a 3=1−1a 2=1−112=−1，a 4=1−1−1=2，故数列{a n }的周期为3，所以a 8=a 2×3+2=a 2=12． 故选：B ．直接利用数列的递推关系式求出数列的周期，进一步求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式，数列的周期，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：当SN =1000时，C =Wlog 21000， 当SN =4000时，C =Wlog 24000， 因为log 24000log21000=lg4000lg1000=3+2lg23≈3.60203≈1.2，所以将信噪比SN 从1000提升至4000，则C 大约增加了20%， 故选：B ．根据题意，计算出log 24000log21000即可．本题考查的是对数的运算，掌握对数的运算法则和运算性质是解题的关键，属于中档题．5.【答案】A【解析】解：∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∴由BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) 化简可得3AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 故选：A ．根据向量减法的三角形法则，将BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 化成用向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示，化简即得所求AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的线性表达式． 本题给出三角形的一边的一个三等分点，求向量的线性表达式．着重考查了平面向量的减法法则和平面向量的基本定理及其意义等知识，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：由题意，可知∵数列{a n}为等比数列，且a1010a1011=3，∴根据等比中项的性质，可得a1a2020=a2a2019=⋯=a1010a1011=3，∴log3a1+log3a2+⋯+log3a2020=log3a1a2…a2020=log3(a1a2020⋅a2a2019…a1010a1011)=log331010=1010．故选：C．本题结合等比中项的性质及对数的运算法则进行计算即可得到正确的选项．本题主要考查了等比数列的性质应用，以及对数的运算．考查了整体思想，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．7.【答案】D【解析】解：∵f(−x)=1+e −x1−e−x ⋅cos(−x)=e x+1e x−1⋅cosx=−1+e x1−e xcosx=−f(x)，∴f(x)为奇函数，排除选项A和C；当0<x<1时，e x>1，cosx>0，∴f(x)<0，排除选项B，故选：D．根据函数奇偶性的概念可判断f(x)为奇函数，排除选项A和C，再对比剩下选项，只需考虑0<x<1时，f(x)与0的大小关系即可作出选择．本题考查函数的图象与性质，一般可从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查了平面向量数量积的定义与投影的计算问题，是基础题目．根据平面向量数量积的定义与投影的定义，进行计算即可．【解答】解：∵向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60°，且|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=5，∴(2a ⃗ −b ⃗ )⋅a ⃗ =2a ⃗ 2−b ⃗ ⋅a ⃗=2×22−5×2×cos60°=3， ∴向量2a ⃗ −b ⃗ 在a ⃗ 方向上的投影为a ⃗ ⋅(2a ⃗ −b⃗ )|a ⃗ |=32．故选：A ．9.【答案】C【解析】解：由f(2+x)=f(2−x)，得f(x +4)=f[2−(x +2)]=f(−x)， 又f(x)是偶函数，则f(x +4)=f(x)，则f(x)是周期为4的周期函数． 又当x ∈[−2,0]时，f(x)=(√22)x −1，∴当x ∈[0,2]时，−x ∈[−2,0]，则f(x)=f(−x)=(√22)−x −1=(√2)x −1．关于x 的方程f(x)−log a (x +2)=0(a >0,a ≠1)在区间(−2,10)内恰有5个不同的实数根，即y =f(x)与y =log a (x +2)在区间(−2,10)内有5个不同的交点． 显然a >1．在同一平面直角坐标系内作出函数y =f(x)与y =log a (x +2)的图象如图：则{log a 8<1log a 12≥1，解得8<a ≤12． ∴实数a 的取值范围是(8,12]． 故选：C ．由已知求得f(x)的周期，再求出函数在[0,2]上的解析式，作出函数y =f(x)与y =log a (x +2)的图象，由图可得关于a 的不等式组，求解得答案．本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．10.【答案】B【解析】【分析】根据幂函数的定义求出m的值，再根据条件判断单调性，由得出结论．本题主要考查幂函数的定义和性质，属于中档题．【解答】解：∵已知函数f(x)=(m2−m−1)x m3−1是幂函数，∴m2−m−1=1，∴m=2，或m=−1，f(x)=x7，或f(x)=x−2．>0，对任意的x1，x2∈(0,+∞)且x1≠x2，满足f(x1)−f(x2)x1−x2故f(x)是增函数，∴f(x)=x7．若a，b∈R，a+b<0，即a<−b，∴a7<(−b)7，即a7<−b7，即a7+b7<0．则f(a)+f(b)=a7+b7<0，故选：B．11.【答案】C【解析】解：∵函数f(x)=ln|x|+x2+3，∴其定义域为{x|x≠0}，∴f(−x)=ln|−x|+(−x)2+3=f(x)，即为偶函数，∵x>0时，f(x)=lnx+x2+3单调递增，∴不等式f(log3a)≤f(x2−2x+2)对于x∈R恒成立，即不等式f(|log3a|)≤f(|x2−2x+2|)对于x∈R恒成立，∴|log3a|≤|x2−2x+2|=(x−1)2+1对于x∈R恒成立，∴|log3a|≤1且log3a≠0，∴−1≤log3a≤1且log3a≠0，≤a≤3且a≠1，∴13故选：C．先研究函数f(x)=ln|x|+x2+3的奇偶性以及单调性，进而求解结论．本题主要考查函数的奇偶性以及单调性的应用，属于中档题目．12.【答案】B【解析】解：f(x)=sinωx+acosωx=√a2+1sin(ωx+φ)，其中tanφ=a，∵x=π6处取得最大值∴π6ω+φ=π2+2kπ，即φ=π2+2kπ−π6ω，k∈Z，∴tanφ=tan(π2+2kπ−π6ω)=tan(π2−π6ω)=1tanπω6=a，①，k∈Z，∵f(π3)=√a2+1sin(π3ω+φ)=√a2+1sin(π3ω+π2+2kπ−π6ω)=√a2+1cosπ6ω=√3，k∈Z，∴cosπ6ω=√3√a2+1，②，①×②得sinπ6ω=1a⋅√3a2+1，∴sin2ωπ6+cos2ωπ6=3a2+1+3a2(a2+1)=1，即a4−2a2−3=0，解得a=√3，a=−√3(舍去)，由①得tanωπ6=tan(π6+kπ)，k∈Z，∵cosωπ6>0，∴ωπ6在第一象限，∴取√33=tan(π6+2kπ)，k∈Z，由T=2π|ω|<2π，即|ω|>1，∴ωπ6=π6+2kπ，k∈Z，∴ω=12k+1，k∈Z，使|ω|最小，则k=−1，即|ω|min=11，若不等式λ|ω|≥a恒成立，则λ≥(a|ω|)max=√311，故选：B．先根据三角恒等变换和三角形函数的性质，以及同角的三角函数的关系可得tanφ=1 tanπω6=a，①，再根据f(π3)=√3，可得cosπ6ω=√3√a2+1，②，通过①②求出a的值，再根据三角函数的性质可得ω=12k+1，k∈Z，求出|ω|min=11，根据不等式λ|ω|≥a恒成立，则λ≥(a|ω|)max，即可求出答案．本题考查了三角恒等换和同角的三角函数的关系，三角形函数的图象和性质，属于难题．13.【答案】3或−1【解析】解：向量a⃗=(t,t−√3)与b⃗ =(t+√3,2)共线，所以2t−(t−√3)(t+√3)=0，化简得t2−2t−3=0，解得t=3或t=−1．故答案为：3或−1．根据平面向量的共线定理，列方程求出t的值．本题考查了平面向量的坐标运算与应用问题，是基础题．14.【答案】sin(2x+π3)【解析】解：由函数图象可得函数的最大值为1，可得A=1，又∵函数的周期34T=7π12−(−π6)=3π4，∴T=2πω=π，可得ω=2，∴函数解析式为：f(x)=sin(2x+φ)，又函数图象经过点(−π6,0)，得：sin[2×(−π6)+φ]=0，可得2×(−π6)+φ=kπ，k∈Z，解之得φ=kπ+π3，(k∈Z)，又∵|φ|<π2，∴φ=π3，∴f(x)的解析式是f(x)=sin(2x+π3).故答案为：sin(2x+π3).首先根据函数图象得函数的最大值得到A，然后算出函数的周期T，利用周期的公式，得到ω，最后将点(−π6,0)代入，结合φ的范围，可得φ的值，即可求解f(x)的解析式．本题给出了函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象，要确定其解析式，着重考查了三角函数基本概念和函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的知识点，属于基础题．15.【答案】3√154【解析】解：因为tan∠ACB =tan(∠ACD +∠BCD)=1+8+√1571−8+√157=−√15，所以cos∠ACB =−14，由余弦定理可知AB 2=AC 2+BC 2−2AC ⋅BCcos∠ACB ， =9+4−2×3×2×(−14)=16， 即AB =4，根据“三斜求积术”可得S 2=14[42×22−(42+22−322)2]=13516，所以S =3√154． 故答案为：3√154由已知结合两角和的三角公式及同角平方关系可求cos∠ACB ，然后结合余弦定理可求AB ，代入已知公式即可求解．本题主要考查了两角和的正切公式及同角基本关系，余弦定理在求解三角形中的应用．16.【答案】1010【解析】解：∵S n +S n−1−2S n S n−1=2na n ， ∴S n +S n−1−2S n S n−1=2n(S n −S n−1)， ∴2S n S n−1=(2n +1)S n−1−(2n −1)S n ， ∴2n+1S n−2n−1S n−1=2．令b n =2n+1S n，则b n −b n−1=2(n ≥2)．∴数列{b n }是以b 1=3S 1=3a 1=1为首项，以2为公差的等差数列．∴b n =2n −1． 即2n+1S n=2n −1，得S n =2n+12n−1． ∴S 1S 2…S m =3×53×…×2m+12m−1=2m +1． 由2m +1≥2021，解得m ≥1010． 即正整数m 的最小值为1010． 故答案为：1010．把已知数列递推式变形，得到2n+1S n−2n−1S n−1=2，令bn =2n+1S n，则b n −b n−1=2(n ≥2)，可知数列{b n }是以b 1=3S 1=3a 1=1为首项，以2为公差的等差数列，求其通项公式，得到S n ，再由累积法求得S 1S 2…S m ，求解不等式得答案．本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了利用累积法求数列的通项公式，是中档题．17.【答案】解：(1)∵S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 7=1，S 4=−32．∴{a 1+6d =14a 1+4×32d =−32，解得a 1=−11，d =2，∴数列{a n }的通项公式a n =−11+(n −1)×2=2n −13． (2)S n =−11n +n(n−1)2×2=n 2−12n =(n −6)2−36．∴n =6时，S n 的最小值为−36．【解析】(1)由等差数列{a n }的通项公式和前n 项和列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{a n }的通项公式．(2)求出S n =n 2−12n =(n −6)2−36.从而n =6时，S n 的最小值为−36．本题考查等差数列的通项公式、前n 项和的最小值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：(1)因为f(x)=12cos 2x +√32sinxcosx −14=12×1+cos2x 2+√34sin2x −14=12sin(2x +π6)，令2x +π6=2kπ+π2，k ∈Z ，解得x =kπ+π6，k ∈Z ，所以函数f(x)取得最大值12时，自变量x 的取值集合为{x|x =kπ+π6,k ∈Z}． (2)列表如下：描点，连线可得函数图象如下：(3)令2kπ+π2<2x+π6<2kπ+3π2，k∈Z，解得kπ+π6<x<kπ+2π3，k∈Z，可得函数f(x)单调递减区间为(kπ+π6,kπ+2π3)，k∈Z．【解析】(1)利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式为f(x)=12sin(2x+π6)，进而根据正弦函数的性质即可求解．(2)利用五点法即可做出该函数在[0,π]上的图象．(3)令2kπ+π2<2x+π6<2kπ+3π2，k∈Z，即可解得函数f(x)单调递减区间．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质，考查了五点作图法的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．19.【答案】证明：(1)依题意，由a n+1=2(n+1)na n，可得a n+1 n+1=2⋅a nn，∵a11=2，∴数列{a nn}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a nn=2⋅2n−1=2n，n∈N∗，∴a n=n⋅2n，n∈N∗．(2)由(1)，知b n=na n−n =nn⋅2n−n=12n−1，2n b n b n+1=2n(2n−1)(2n+1−1)=12n−1−12n+1−1，∴S n =121−1−122−1+122−1−123−1+⋯+12n −1−12n+1−1=121−1−12n+1−1=1−12n+1−1<1，∴不等式S n <1成立．【解析】本题第(1)题将题干中的已知条件进行转化即可推导出数列{a nn }是以2为首项，2为公比的等比数列，通过计算出数列{ann }的通项公式即可计算出数列{a n }的通项公式；第(2)题先根据第(1)题的结果计算出数列{b n }的通项公式，再计算出数列{2n b n b n+1}的通项公式，然后运用裂项相消法求出前n 项和S n 的表达式，最后根据不等式的性质即可证明结论成立．本题主要考查数列求通项公式，以及运用裂项相消法求和．考查了转化与化归思想，整体思想，不等式的运算能力，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．20.【答案】解：(1)∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即C =π2， ∴△ABC 为直角三角形； (2)∵△ABC 为直角三角形， ∴a =csinA ，b =ccosA ， ∴M =(a+b+c)(ab+ac+bc)abc=(sinA+cosA+1)(sinAcosA+sinA+cosA)sinAcosA，令t =sinA +cosA(1<t ≤√2)，则sinAcosA =t 2−12，∴M =(t+1)(t 2−12+t)t 2−12=t 2+2t−1t−1=t −1+2t−1+4，∵1<t ≤√2，∴0<t −1≤√2−1，且y =x +2x 在(0,√2)上单调递减， ∴t −1=√2−1时，M min =5+3√2．【解析】(1)根据AB 2−=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可得出CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =0，从而得出C =π2，即得出△ABC 是直角三角形；(2)根据△ABC 为直角三角形即可得出M =(sinA+cosA+1)(sinAcosA+sinA+cosA)sinAcosA，然后令t =sinA +cosA(1<t ≤√2)即可得出M =t −1+2t−1+4，然后根据函数y =x +2x 的单调性即可求出M 的最小值．本题考查了向量数量积的运算，向量垂直的充要条件，换元法的应用，函数y =x +2x 的单调性，考查了计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)g(x)=ax −1−lnx ，x >0，∴g′(x)=a −1x =ax−1x，当a ≤0时，g′(x)<0，g(x)在(0,+∞)为减函数，当a >0时，在x ∈(0,1a )，g′(x)<0，在(1a ,+∞)，g′(x)>0， ∴g(x)在(0,1a )为减函数，在(1a ,+∞)为增函数．(2)当a ≤0时，函数g(x)在(0,e]为减函数，g(x)min =ae −2=2，无解； 当0<a ≤1e 时，即1a ≥e ，函数g(x)在(0,e]为减函数，∴当x =e 时有最小值，g(x)min =ae −1−1=2，解得a =4e ，不合题意舍去； 当a >1e 时，即0<1a <e ，函数g(x)在(0,1a )为减函数，在(1a ,e]为增函数， ∴当x =1a 时有最小值，g(x)min =1−1+lna =2，解得a =e 2， 综上所述，存在实数a =e 2，当x ∈(0,e]时，函数g(x)的最小值是2．(3)证明：由(2)知，若x ∈(0,e]，g(x)=e 2x −1−lnx ≥2，即e 2x ≥3+lnx 恒成立， 即9x >e 2x ⩾3+lnx 在x ∈(0,e]内恒成立， 即x >19(3+lnx)在x ∈(0,e]内恒成立， 取x =n n+1，n ∈N ∗， 则nn+1>19(3+ln nn+1)， 则3⋅nn+1>1+13ln nn+1，∴3(12+23+34+⋯+n n+1)>n +13ln(12×23×…×n n+1)=n +13ln 1n+1=n −ln √n +13．【解析】(1)求导，分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出；(2)根据(1)的结论，分类讨论，根据导数和函数的最值的关系，即可求出a 的值； (3)根据(2)可得g(x)=e 2x −1−lnx ≥2，即x >19(3+lnx)x ∈(0,e]内恒成立，取x =nn+1，可得3⋅nn+1>1+13ln nn+1，累加即可证明． 本题考查函数单调性与导数的关系的应用，考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间，掌握函数恒成立时所取的条件，是一道综合题．22.【答案】解：(1)由{y =2t −1x=2t+1消去t 得x −y −2=0，由ρ=2acosθ得ρ2=2aρcosθ，得x 2+y 2−2ax =0，依题意C 2的圆心C 2(a,0)在C 1：x −y −2=0上，所以a −0−2=0，解得a =2， 故曲线C 1 的普通方程为x −y −2=0，曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2−4x =0.即(x −2)2+y 2=4．(2)C 2向左平移2各单位长度后得x 2+y 2=4，再按照{x′=12x y′=√32y 变换得到C 3：x 2+y 23=1，设P 点坐标为(cosθ,√3sinθ)，P 点到C 1 的距离为d =√3sinθ−2|√2=|2sin(θ−π6)+2|√2，当θ=2π3时，点P 到C 1 的距离最大，最大值为2√2．【解析】(1)消去参数t 可得C 1的普通方程，两边同乘以ρ后可得C 2的直角坐标方程，利用直线过圆心可得a =2；(2)利用图象变换先得C 3，再C 2上设P 点，由点到直线的距离求出距离d 再根据三角函数求最大值．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：(1)f(x)−f(2x +4)<2即为|x −2|−|2x +2|<2，等价为{2−x +2x +2<2x ≤−1或{−1<x <22−x −2x −2<2或{x ≥2x −2−2x −2<2，化为x ≤−2或−23<x <2或x ≥2，综上可得，原不等式的解集为(−∞,−2)∪(−23,+∞)；(2)若f(x−1)+f(x+3)≥m2+3m对所有的x∈R恒成立，即为|x−3|+|x+1|≥m2+3m对所有的x∈R恒成立，即有(|x−3|+|x+1|)min≥m2+3m，由|x−3|+|x+1|≥|x−3−x−1|=4，当−1≤x≤3时，取得等号，则m2+3m≤4，解得−4≤m≤1，即m的取值范围是[−4,1]．【解析】(1)由绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；(2)由题意可得(|x−3|+|x+1|)min≥m2+3m，由绝对值的性质可得最小值，再由二次不等式的解法可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和性质的运用，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和分类讨论思想，运算能力和推理能力，属于中档题．。
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2020-2021学年黑龙江省哈尔滨三中高一（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝{2，4，6，8，10}，集合A＝{2，4}，B＝{4，6}，则如图所示的阴影区域表示的集合为（）A．{8，10}B．{4，8}C．{4，10}D．{2，4，6，10} 2．设命题P：∃n∈N，n3＜n，则￢P为（）A．∀n∉N，n3≥n B．∀n∉N，n3≤n C．∃n∈N，n3＞n D．∀n∈N，n3≥n 3．已知a＝0.50.2，b＝0.50.1，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．若函数f（x）的定义域为[0，4]，则函数f（2x）的定义域为（）A．（0，2]B．[0，8]C．[0，4]D．[0，2]5．下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A．f（x）＝2x+3，g（t）＝B．f（x）＝，g（t）＝C．f（x）＝，g（t）＝tD．f（x）＝3x，g（t）＝3t6．函数y＝的值域为（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，]C．（0，]D．（0，]7．某件商品经过三次降价，由原来的125元降到27元，则该商品平均降价的百分率为（）A．40%B．30%C．60%D．65%8．函数y＝的单调递增区间是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．[0，2]D．[1，2]9．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜“和“＞”“符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（）A．若ab≠0且a＜b，则B．若a＞b＞0，则C．若a+b＝2，则ab＜1D．若c＜b＜a且ac＜0，则cb2＜ab210．已知函数f（x）＝的定义域为R，则m的取值范围是（）A．﹣1＜m＜2B．﹣1＜m≤2C．﹣1≤m≤2D．﹣1≤m＜2 11．已知f（x）的图象为如图（1），把y＝f（x）经过适当的变换得到g（x），其图象为（2），那么g（x）用f（x）可以表示为（）A．g（x）＝f（|x|）B．g（x）＝|f（x）|C．g（x）＝f（﹣|x|）D．g（x）＝﹣f（﹣|x|）12．若函数f（x）在定义域内存在实数x0，f（3）＝﹣f（）成立，则称f（x）为“理想函数”，若f（x）＝x2﹣2mx+m2﹣2为定义域R上的“理想函数”，则实数m的取值范围是（）A．[1﹣，]B．（1﹣，]C．[，]D．（，]二、填空题（共4小题）.13．已知f（x）＝，则f[f（1）]＝．14．已知a＞0，b＞0，化简：（3a b）（﹣8a b）÷（﹣6a b）＝．15．若∃x0∈[0，m]，使﹣x2+4x﹣3≥0，则实数m的范围为．16．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（|x|﹣2）＝k有6个不同的实数根，则实数k的取值范围为．三、解答题（共6小题）.17．（10分）设集合A＝{x|＜0}．B＝{x|x2﹣4ax+3a2＜0，a＞0）．（1）若a＝4，求（∁R A）∩B；（2）设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18．（12分）已知a＞0，b＞0．（1）求证：a3+b3≥a2b+ab2；（2）若a+b＝3，求的最小值．19．（12分）已知函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（x）＝（1）求函数f（x）的解析式；（2）用函数单调性的定义证明：f（x）在（﹣1，1）上为单调递增函数．20．（12分）已知函数f（x）＝．（1）求f（1）及函数f（x）的值域；（2）指出函数f（x）在其定义域内的单调性（只需写出结论，不需要证明）；（3）应用（2）的结论，解关于x的不等式f[ax2+（2a﹣1）x﹣1]≥．21．（12分）某工厂生产甲、乙两种产品所得利润分别为P和Q（万元），它们与投入资金m（万元）的关系有如下公式：，，今将200万元资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投入资金都不低于25万元．（Ⅰ）设对乙种产品投入资金x（万元），求总利润y（万元）关于x的函数关系式及其定义域；（Ⅱ）如何分配投入资金，才能使总利润最大，并求出最大总利润．22．（12分）已知关于x的函数f（x）＝ax2+4x（a＜0），对于给定的负实数a，总能确定一个最大的正数T（a），当0≤x≤T（a）时，恒有﹣3≤f（x）≤2．（1）求T（﹣1）的值；（2）求T（a）的表达式；（3）求T（a）的最大值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝{2，4，6，8，10}，集合A＝{2，4}，B＝{4，6}，则如图所示的阴影区域表示的集合为（）A．{8，10}B．{4，8}C．{4，10}D．{2，4，6，10}【分析】先求出A∪B，阴影区域表示的集合为∁U（A∪B），由此能求出结果．解：∵全集U＝{2，4，6，8，10}，集合A＝{2，4}，B＝{4，6}，∴A∪B＝{2，4，6}，∴如图所示阴影区域表示的集合为：∁U（A∪B）＝{8，10}．故选：A．2．设命题P：∃n∈N，n3＜n，则￢P为（）A．∀n∉N，n3≥n B．∀n∉N，n3≤n C．∃n∈N，n3＞n D．∀n∈N，n3≥n 【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．解：命题P：∃n∈N，n3＜n为特称命题，则命题的否定为：∀n∈N，n3≥n．故选：D．3．已知a＝0.50.2，b＝0.50.1，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a【分析】先利用幂函数y＝x0.2在（0，+∞）上单调递增，比较出a，c的大小关系，再利用指数函数y＝0.5x在R上单调递减，比较出a，b的大小关系，从而得到a，b，c的大小关系．解：∵幂函数y＝x0.2在（0，+∞）上单调递增，且0.5＞0.3，∴0.50.2＞0.30.2，即a＞c，∵指数函数y＝0.5x在R上单调递减，且0.2＞0.1，∴0.50.2＜0.50.1，即a＜b，∴c＜a＜b，故选：C．4．若函数f（x）的定义域为[0，4]，则函数f（2x）的定义域为（）A．（0，2]B．[0，8]C．[0，4]D．[0，2]【分析】根据f（x）的定义域求出f（2x）的定义域即可．解：由题意得：0≤2x≤4，解得：0≤x≤2，故函数f（2x）的定义域是[0，2]，故选：D．5．下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A．f（x）＝2x+3，g（t）＝B．f（x）＝，g（t）＝C．f（x）＝，g（t）＝tD．f（x）＝3x，g（t）＝3t【分析】可看出A，B选项中的两个函数的定义域都不相同，不是同一个函数；选项C 的两函数的对应关系不同，不是同一个函数，从而只能选D．解：A．f（x）的定义域为R，g（t）的定义域为{t|t≠0}，定义域不同，不是同一个函数；B．f（x）的定义域为{x|x≤﹣2或x≥2}，g（t）的定义域为{t|t≥2}，定义域不同，不是同一个函数；C.，，对应关系不同，不是同一个函数；D．f（x）＝3x和g（t）＝3t的定义域和对应关系都相同，是同一个函数．故选：D．6．函数y＝的值域为（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，]C．（0，]D．（0，]【分析】求解t＝x2+x+1的值域，结合反比例函数的性质可得函数y＝的值域；解：设t＝x2+x+1＝，即t∈[，+∞），函数y＝转化为y＝（），根据反比例函数的性质，可得0＜y．故选：C．7．某件商品经过三次降价，由原来的125元降到27元，则该商品平均降价的百分率为（）A．40%B．30%C．60%D．65%【分析】设降价百分率为x%，由题意知125（1﹣x%）3＝27，由此能够求出这种商品平均降价的百分率．解：设降价百分率为x%，∴125（1﹣x%）3＝27，即1﹣x%＝0.6解得x＝40．故选：A．8．函数y＝的单调递增区间是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．[0，2]D．[1，2]【分析】令t＝x2﹣2x，求出该二次函数的减区间，利用复合函数的单调性即可得到函数y＝的单调递增区间．解：令t＝x2﹣2x，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x＝1，则函数t＝x2﹣2x在（﹣∞，1]上是减函数，由外层函数y＝是减函数，由复合函数的单调性可得，函数y＝的单调递增区间是（﹣∞，1]．故选：B．9．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜“和“＞”“符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（）A．若ab≠0且a＜b，则B．若a＞b＞0，则C．若a+b＝2，则ab＜1D．若c＜b＜a且ac＜0，则cb2＜ab2【分析】由a＞b＞0，通过作差即可判断B，取特殊值即可判断ACD．解：A．取a＝﹣2，b＝1，可知＞不成立，因此A不正确；B．∵a＞b＞0，∴﹣＝＞0，∴＞，因此B正确；C．取a＝b＝1时，ab＝1，因此C不正确；D．取b＝0时，cb2＜ab2不正确，因此D不正确．故选：B．10．已知函数f（x）＝的定义域为R，则m的取值范围是（）A．﹣1＜m＜2B．﹣1＜m≤2C．﹣1≤m≤2D．﹣1≤m＜2【分析】根据二次函数的性质以及二次根式的性质求出函数的定义域即可．解：由题意得：m+1＝0即m＝﹣1时，f（x）＝恒成立，符合题意，m+1≠0时，f（x）的定义域是R，只需，解得：﹣1＜m≤2，综上：m∈[﹣1，2]，故选：C．11．已知f（x）的图象为如图（1），把y＝f（x）经过适当的变换得到g（x），其图象为（2），那么g（x）用f（x）可以表示为（）A．g（x）＝f（|x|）B．g（x）＝|f（x）|C．g（x）＝f（﹣|x|）D．g（x）＝﹣f（﹣|x|）【分析】由图（1）到图（2）由轴左边的没有变化，右边的是结果沿x轴翻折得到的，即可判断．解：f（x）的图象关于原点对称，g（x）的图象关于y轴对称，由图（1）到图（2）由轴左边的没有变化，右边的是结果沿x轴翻折得到的，故g（x）＝f（﹣|x|），故选：C．12．若函数f（x）在定义域内存在实数x0，f（3）＝﹣f（）成立，则称f（x）为“理想函数”，若f（x）＝x2﹣2mx+m2﹣2为定义域R上的“理想函数”，则实数m的取值范围是（）A．[1﹣，]B．（1﹣，]C．[，]D．（，]【分析】因为函数满足新定义，则问题由存在问题转化为求方程解的问题，进而可以求解．解：f（x）＝x2﹣2mx+m2﹣2为定义域R上的“理想函数”，∴（）2﹣2m•3+m2﹣2＝﹣（3）2+2m•﹣m2+2，∴2m2﹣4＝﹣（3）2﹣（）2+2m（3+）＝﹣（3+）2+2+2m（3+），∴2m2﹣6＝﹣（3+）2+2m（3+），设t＝3+，则t≥2，∴2m2﹣6+t2﹣2mt＝0，即t2﹣2mt+2m2﹣6＝0在t∈[2，+∞）有解，令g（t）＝t2﹣2mt+2m2﹣6，t∈[2，+∞），其对称轴为x＝m，当m≥2时，则△＝4m2﹣4（2m2﹣6）≥0，解得2≤m≤，当m＜2时，f（2）＝4﹣4m+2m2﹣6≤0，解得1﹣≤m＜2，综上所述m的取值范围为[1﹣，6]，故选：A．二、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡相应的位置上.13．已知f（x）＝，则f[f（1）]＝10．【分析】利用分段函数的性质求解．解：∵函数f（x）＝，∴f（1）＝2×12+1＝3，f[f（1）]＝f（3）＝2×3+4＝10．故答案为：10．14．已知a＞0，b＞0，化简：（3a b）（﹣8a b）÷（﹣6a b）＝4a．【分析】利用有理数指数幂的运算性质求解．解：原式＝﹣24÷（﹣6）＝＝4a．故答案为：4a．15．若∃x0∈[0，m]，使﹣x2+4x﹣3≥0，则实数m的范围为[1，+∞）．．【分析】由题意求出不等式﹣x2+4x﹣3≥0的解集，即可得出实数m的范围．解：∃x0∈[0，m]，使﹣x2+4x﹣3≥0成立，可令﹣x2+4x﹣3≥0，得x2﹣4x+3≤0，解得1≤x≤3，所以实数m的范围是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．16．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（|x|﹣2）＝k有6个不同的实数根，则实数k的取值范围为．【分析】作出函数f（x）的图象，根据图象可知方程f（t）＝k的实根个数可能为0，1，2，3，4，而t＝|x|﹣2最多有2个实根，由此分类讨论即可得出结果．解：作出函数f（x）的图象如图所示，由图可知方程f（t）＝k的实根个数可能为0，1，2，3，4，且当k＜﹣2时，方程f（t）＝k无实根，当k＝﹣2时，方程f（t）＝k有唯一实根，当﹣2＜k＜0时，方程f（t）＝k有2个实根，当k＝0或k≥1时，方程f（t）＝k有3个实根，当0＜k＜1时，方程f（t）＝k有4个实根，而t＝|x|﹣2最多有2个实根，此时t∈（﹣2，+∞），故方程f（|x|﹣2）＝k有6个不同的实数根等价于f（t）＝k的实根至少有3个，当k＝0时，f（t）＝k的三个根均大于﹣2，符合题意；当时，f（t）＝k的四个根均大于﹣2，f（|x|﹣2）＝k有8个不同的实数根，不合题意；当时，此时f（|x|﹣2）＝k有7个不同的实数根，不合题意；当时，f（t）＝k只有三个均大于﹣2的不同实根，符合题意．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设集合A＝{x|＜0}．B＝{x|x2﹣4ax+3a2＜0，a＞0）．（1）若a＝4，求（∁R A）∩B；（2）设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）分别化简集合A，B，根据集合的补集和交集即可求出；（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，可得B⫋A，即可得到，解得即可．解：（1）由＜0，解得﹣5＜x＜，故A＝（﹣5，），∴∁R A＝（﹣∞，﹣5]∪[，+∞）当a＝4时，x2﹣16x+48＜0，解得4＜x＜12，即B＝（4，12），∴（∁R A）∩B＝[，12），（2）由x2﹣4ax+3a2＜0，可得（x﹣a）（x﹣3a）＜0，解得a＜x＜3a，即B＝（a，3a），命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，∴B⫋A，∴，解得0＜a≤，故实数a的取值范围（0，]．18．（12分）已知a＞0，b＞0．（1）求证：a3+b3≥a2b+ab2；（2）若a+b＝3，求的最小值．【分析】（1）根据条件，可得a3+b3﹣a2b﹣ab2≥0，从而证明不等式成立；（2）根据条件，可得＝，然后利用基本不等式，即可求出的最小值．解：（1）证明：∵a＞0，b＞0．∴a3+b3﹣a2b﹣ab2＝a2（a﹣b）+b2（b﹣a）＝（a2﹣b2）（a﹣b）＝（a﹣b）2（a+b）≥0，∴a3+b3≥a2b+ab2．（2）∵a＞0，b＞0，a+b＝3，∴＝＝，当且仅当，即a＝1，b＝2时取等号，∴的最小值为3．19．（12分）已知函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（x）＝（1）求函数f（x）的解析式；（2）用函数单调性的定义证明：f（x）在（﹣1，1）上为单调递增函数．【分析】（1）根据f（0）＝0，求出b的值，求出函数的解析式即可；（2）根据函数的单调性的定义证明即可．解：（1）函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，则f（0）＝0，则f（0）＝b+1＝0，解得：b＝﹣1，故f（x）＝；（2）任意x1，x2∈（﹣1，1），设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝，∵+1＞0，+1＞0，x2﹣x1＞0，且x1，x2∈（﹣1，1），x1x2﹣1＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x）在（﹣1，1）上递增．20．（12分）已知函数f（x）＝．（1）求f（1）及函数f（x）的值域；（2）指出函数f（x）在其定义域内的单调性（只需写出结论，不需要证明）；（3）应用（2）的结论，解关于x的不等式f[ax2+（2a﹣1）x﹣1]≥．【分析】（1）求出f（1）的值，根据函数的单调性求出f（x）的值域即可；（2）根据函数的解析式求出函数的单调性即可；（3）问题转化为（x+2）（ax﹣1）≥0，通过讨论a的范围，求出x的范围即可．解：（1）f（1）＝＝，f（x）＝＝1﹣，x→+∞时，f（x）→1，x→﹣∞时，f（x）→0，故f（x）的值域是（0，1）；（2）f（x）在R单调递增；（3）由（1）f（1）＝，f[ax2+（2a﹣1）x﹣1]≥即f[ax2+（2a﹣1）x﹣1]≥f（1），即ax2+（2a﹣1）x﹣2≥0，即（x+2）（ax﹣1）≥0，①a＝0时，﹣（x+2）≥0，解得：x≤﹣2，②a＞0时，∵＞0＞﹣2，解得：x≥或x≤﹣2，③﹣＜x＜0时，＜﹣2，要使（x+2）（ax﹣1）≥0，解得：≤x≤﹣2，④a＝﹣时，（x+2）（ax﹣1）＝﹣（x+2）≤0，解得：x＝﹣2，⑤a＜﹣时，＞﹣2，解得：﹣2≤x≤．21．（12分）某工厂生产甲、乙两种产品所得利润分别为P和Q（万元），它们与投入资金m（万元）的关系有如下公式：，，今将200万元资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投入资金都不低于25万元．（Ⅰ）设对乙种产品投入资金x（万元），求总利润y（万元）关于x的函数关系式及其定义域；（Ⅱ）如何分配投入资金，才能使总利润最大，并求出最大总利润．【分析】（Ⅰ）对乙种产品投入资金x万元，对甲种产品投入资金（200﹣x）万元，那么y＝（200﹣x）+60+70+6，化简整理，再由投入资金都不低于25万元，解不等式求得定义域；（Ⅱ）令t＝，则y＝﹣t2+6t+230，由配方和二次函数的值域求法，即可得到所求最大值．解：（Ⅰ）根据题意，对乙种产品投入资金x万元，对甲种产品投入资金（200﹣x）万元，那么y＝（200﹣x）+60+70+6＝﹣x+6+230，由，解得25≤x≤175，所以函数的定义域为[25，175]；（Ⅱ）令t＝，则y＝﹣t2+6t+230＝﹣（t﹣6）2+248，因为x∈[25，175]，所以t∈[5，5]，当t∈[5，6]时函数单调递增，当t∈[6，5]时函数单调递减，所以当t＝6时，即x＝36时，y max＝248，答：当甲种产品投入资金164万元，乙种产品投入资金36万元时，总利润最大．最大总利润为248万元．22．（12分）已知关于x的函数f（x）＝ax2+4x（a＜0），对于给定的负实数a，总能确定一个最大的正数T（a），当0≤x≤T（a）时，恒有﹣3≤f（x）≤2．（1）求T（﹣1）的值；（2）求T（a）的表达式；（3）求T（a）的最大值．【分析】（1）当a＝﹣1时，f（x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，要使存在一个最大的正数T（﹣1），在区间[0，T（﹣1）]上，﹣3≤f（x）≤2恒成立，T（a）只能是﹣x2+4x ＝2较小的根即可；（2）利用二次函数的性质求出函数的最大值，研究二次函数的最值与2的大小关系，分类讨论，可求T（a）的表达式；（3）由（2）中所得的表达式，求其最值即可．解：（1）当a＝﹣1时，f（x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，因为函数f（x）的最大值大于2，要使存在一个最大的正数T（﹣1），当0≤x≤T（﹣1）时，恒有﹣3≤f（x）≤2，所以T（﹣1）只能是﹣x2+4x＝2较小的根2﹣．（2）由a＜0，f（x）＝a（x+）2﹣，当﹣＞2，即﹣2＜a＜0时，要使﹣3≤f（x）≤2，在区间[0，T（a）]上恒成立，要使得正数T（a）最大，正数T（a）只能是ax2+4x＝2的较小的根，即T（a）＝；当﹣≤2，即a≤﹣2时，要使﹣3≤f（x）≤2，在区间[0，T（a）]上恒成立，要使得正数T（a）最大，正数T（a）只能是ax2+4x＝﹣3的较大的根，即T（a）＝；所以T（a）＝．（2）当﹣2＜a＜0时，T（a）＝＝＜1；当a≤﹣2时，T（a）＝＝≤；所以T（a）的最大值为．。