专题24 反证法、命题与定理(教师版)
人教版九年级数学《反证法》精品教学课件
复习巩固 教科书第94页内容 举出两个数学中能用 反证法证明的例子.
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再见
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习
3.在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C.
A
证明：假设 ∠B＝∠C ，
B
C
则 AB＝AC （ 等角对等边 ）
这与 已知AB≠AC 矛盾．
假设不成立．
∴ ∠B≠∠C
．
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习
典型例题
【例】用反证法证明：两直线平行，同位角相等．
分组讨论： 1.学生先分组进行讨论； 2.学生讲解思路； 3.教师补充完善.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
【例】用反证法证明：两直线平行，同位角相等．
A′
已知：如图，AB∥CD，直线EF交AB于点O， A
求证：∠1=∠2.
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24.2.1 反证法
学习目标
1.通过实例理解反证法的含义，并了解运用反证法证明的基本步骤； 2.通过反证法的证明过程，体会新的证明方法和思路； 3.在“分析、推理”等过程中，培养学生的推理能力以及逻辑思维 能力； 4.利用现实生活和数学中的反证法素材体会“正难则反”的思想， 开拓思维，并激发学生的求知、探索欲望.
与以前学过的证明不同
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延伸
反证法证题的基本步骤： 第一步：假设命题的 结论 不成立. 第二步：从这个假设出发，经过推理论证，得出与学过的概念、 基本事实、已证明的定理、性质或题设相 矛盾 的结果. 第三步：由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明 原命题 是 正确的.
反证法讲课稿
29.2反证法讲学稿[【学习目标】知识与能力：通过实例，体会反证法的含义过程与方法：了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题.情感、态度、价值观：在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性.【学习重难点】体会反证法证明命题的思路方法，用反证法证明简单的命题既是教学重点又是教学难点. 【学习过程】一．学前准备：1.自学课本80页到81页，写下疑惑摘要：2. 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°二、自学、合作探究1、用具体例子让学生体会反证法的思路思考：在△ABC中，已知AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C≠90°.求证；a2＋b2≠c2.有些命题想从已知条件出发，经过推理，得出结论是很困难的，因此，人们想出了一种证明这种命题的方法，即反证法.假设a2＋b2＝c2，则由勾股定理的逆定理可以得到∠C＝90°，这与已知条件∠C≠90°产生矛盾，因此，假设a2＋b2＝c2是错误的.所以a2＋b2≠c2是正确的.2、由上述的例子归纳反证法的步骤1．假设命题的结论的反面是正确的；2．从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、巳证的定理、定义或已知条件矛盾；3．由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论是正确的.三、例题讲解例1．求证两条直线相交只有一个交点.例二．试证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行.四、学习体会通过本节课的学习，同学们体会了在证明命题另一种方法，即反证法，它是当有的命题从已知条件出发，经过推理，很难得出结论时，人们想出的一种证明命题的方法，希望同学们能运用这种方法证明一些简单的命题.五、自我测试1.求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么他们所对的边也不等.2.求证：一个五边形不可能有4个内角为锐角.六、板书设计七、自我提高1．“a<b”的反面应是（）A．a≠b B．a>b C．a=b D．a=b或a>b2．用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（）A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于cC．a⊥b D．a与b相交3．用反证法证明命题“在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等”时，应假设___________．4．用反证法证明“若│a│<2，则a<4”时，应假设__________．5．请说出下列结论的反面:（1）d是正数; （2）a≥0; （3）a<5．6．如下左图，直线AB，CD相交，求证：AB，CD只有一个交点．证明：假设AB，CD相交于两个交点O与O′，那么过O，O′两点就有_____条直线，这与“过两点_______”矛盾，所以假设不成立，则________．7．完成下列证明．如上右图，在△ABC中，若∠C是直角，那么∠B一定是锐角．证明：假设结论不成立，则∠B是______或______．当∠B是____时，则_________，这与________矛盾；当∠B是____时，则_________，这与________矛盾．综上所述，假设不成立．∴∠B一定是锐角．8．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，•应先假设这个三角形中（） A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°9．若用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45•°”时，应假设_______________．10. 已知：如图，设点A、B、C在同一条直线l上.求证：经过A、B、C三点不能作一个圆.11. 三角形内角中至多有一个内角是钝角.12. 求证：圆内两条不是直径的弦不能互相平分.13.求证：一个三角形中不能有两个直角.八、学（教）后感学习目标】知识与能力：通过实例，体会反证法的含义过程与方法：了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题.情感、态度、价值观：在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性.【学习重难点】体会反证法证明命题的思路方法，用反证法证明简单的命题既是教学重点又是教学难点. 【学习过程】二．学前准备：1.自学课本80页到81页，写下疑惑摘要：2. 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°二、自学、合作探究1、用具体例子让学生体会反证法的思路思考：在△ABC中，已知AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C≠90°.求证；a2＋b2≠c2.有些命题想从已知条件出发，经过推理，得出结论是很困难的，因此，人们想出了一种证明这种命题的方法，即反证法.假设a2＋b2＝c2，则由勾股定理的逆定理可以得到∠C＝90°，这与已知条件∠C≠90°产生矛盾，因此，假设a2＋b2＝c2是错误的.所以a2＋b2≠c2是正确的.2、由上述的例子归纳反证法的步骤1．假设命题的结论的反面是正确的；2．从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、巳证的定理、定义或已知条件矛盾；3．由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论是正确的.三、例题讲解例1．求证两条直线相交只有一个交点.例二．试证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行.四、学习体会通过本节课的学习，同学们体会了在证明命题另一种方法，即反证法，它是当有的命题从已知条件出发，经过推理，很难得出结论时，人们想出的一种证明命题的方法，希望同学们能运用这种方法证明一些简单的命题.五、自我测试1.求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么他们所对的边也不等.2.求证：一个五边形不可能有4个内角为锐角.六、板书设计七、自我提高1．“a<b”的反面应是（）A．a≠b B．a>b C．a=b D．a=b或a>b2．用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（）A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于cC．a⊥b D．a与b相交3．用反证法证明命题“在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等”时，应假设___________．4．用反证法证明“若│a│<2，则a<4”时，应假设__________．5．请说出下列结论的反面:（1）d是正数; （2）a≥0; （3）a<5．6．如下左图，直线AB，CD相交，求证：AB，CD只有一个交点．证明：假设AB，CD相交于两个交点O与O′，那么过O，O′两点就有_____条直线，这与“过两点_______”矛盾，所以假设不成立，则________．7．完成下列证明．如上右图，在△ABC中，若∠C是直角，那么∠B一定是锐角．证明：假设结论不成立，则∠B是______或______．当∠B是____时，则_________，这与________矛盾；当∠B是____时，则_________，这与________矛盾．综上所述，假设不成立．∴∠B一定是锐角．8．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，•应先假设这个三角形中（） A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°9．若用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45•°”时，应假设_______________．10. 已知：如图，设点A、B、C在同一条直线l上.求证：经过A、B、C三点不能作一个圆.11. 三角形内角中至多有一个内角是钝角.12. 求证：圆内两条不是直径的弦不能互相平分.13.求证：一个三角形中不能有两个直角.八、学（教）后感。
反证法——证明命题为真命题的杀手锏
反证法——证明命题为真命题的杀手锏反证法在目前的高中教材中虽较显见，但也是教材中证明真命题的一种重要方法。
教材中第一次使用反证法是在“不等式的基本性质”一小节中证明不等式的基本性质八时用到。
第二次用到是在立体几何中证明两直线是异面直线。
反证法首先假设某命题不成立（即在原命题的题设下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说假设不成立，原命题得证。
反正法的基本原理就是原命题与其逆否命题是同真同假的两个命题。
为什么说反证法是证明真命题的杀手锏呢？如今，高考的证明题一般都是代数问题（函数、数列等），几何证明题几乎不可能考，所以证明题现在转战代数题。
而高中代数不像几何那样有一套完整的公理、判定定理和性质定理（当然这一套现在也减负减掉了，这也是证明题不考几何题主因），在高中代数里我们判定一个事实的依据只能是概念的定义，而很多结论仅根据定义从正面往往无法推理，这个时候反证法祭出往往就能解决。
例一.证明：tan1°是无理数分析：拿到这个问题我们首先要搞明白何为无理数——无限不循环小数，不能写作两整数之比。
已知什么呢，tan30°=1/√3是无理数。
所以这个问题的证明用反证法就容易了。
证明：假设tan1°不是无理数，则tan1°是有理数。
因为tan2°=2tan1°/(1-（tan1°）^2)，所以tan2°也是有理数，同理可推得tan4°、tan8°、tan16°、tan32°也都是有理数，又因为tan30°=tan（32°-2°）=（tan32°-tan2°）/（1+tan32°*tan2°），所以tan30°是有理数与tan30°=1/√3是无理数矛盾因此，tan1°是无理数。
反证法 课件
用反证法证明唯一性命题
求证方程 2x＝3 有且只有一个根.
[证明] ∵2x＝3，∴x＝log23，这说明方程2x＝3有根．下面用反证法证 明方程2x＝3的根是唯一的：
假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)， 则2b1＝3,2b2＝3，
两式相除得2b1－b2＝1. 若b1－b2>0，则2 b1－b2>1，这与2 b1－b2＝1相矛盾． 若b1－b2<0，则2 b1－b2<1，这也与2 b1－b2＝1相矛盾． ∴b1－b2＝0，则b1＝b2. ∴假设不成立，从而原命题得证．
－32＜a＜12， ⇒a＞13或a＜－1，
－2＜a＜0.
⇒－32＜a＜－1，
这与已知a≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程
有实数解．
母题探究：1.(变条件)将本题改为：已知下列三个方程x2＋4ax－4a＋3＝ 0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实数根，如何求实 数a的取值范围？
反设词
至少有一个
一个也没有
至多有一个
至少有两个
至少有n个
至多有n－1个
已知 a≥－1，求证三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x ＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0 中至少有一个方程有实数解.
[证明] 假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小
于0，即：
4aa－21－24－－4a42＜a＋0，3＜0， 2a2＋4×2a＜0，
数a的取值范围． [解] 假设三个方程都有实数根，则
4aa－21－24－－4a42≥a＋0，3≥0， 2a2＋4×2a≥0，
即43aa22＋ ＋42aa－ －31≥ ≤00， ， a2＋2a≥0，
反证法课件
3.反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下：
结论词 至少有一个 至__多__有__一__个__ 至少有n个 至多有_n_个
一__个__也__没__有___
至多有
反设词
至少有两个
(不存在)
_(_n_－__1_) _个
至少有 (n＋1)个
结论词 只有一个 对所有x成立
对_任__意___x不成立
没有或至少 存在_某__个___x
题型三 用反证法证明结论中含有“至多”“至少”“都”等词语的问题 例3 用反证法证明：如果函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程 f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实数根.(不考虑重根) 证明 假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实数根， 设α，β为它的两个实数根， 则f(α)＝f(β)＝0. 因为α≠β，不妨设α＜β，又因为函数f(x)在[a，b]上是增函数， 所以f(α)＜f(β)，这与f(α)＝f(β)＝0矛盾， 所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实数根.
反设词
有两个
不成立
存在某个x成立
结论词 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ是
_一__定__是___
p或q
p_且_ q
反设词 _不__都__是__ 不一定是 綈p且__綈q 綈p或綈q
思考 (1)有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，这种 说法对吗？为什么？ 答案 这种说法是错误的，反证法是先否定命题，然后再证明命题的 否定是错误的，从而肯定原命题正确，不是通过逆否命题证题. 命题的否定与原命题是对立的，原命题正确，其命题的否定一定不对. (2)反证法主要适用于什么情形？ 答案 要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的 线索不够清晰；如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论， 而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.
反证法 课件(人教版)
归纳升华 (1)用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的思路步 骤，其次注意反证法是在条件较少、不易入手时常用的方法． (2) 结 论 是 含 有 “ 不 ”“ 不 是 ”“ 不 可 能 ”“ 不 存 在”“没有”等词语的否定性命题时，结论的反面比较具体， 适于应用反证法．
类型 2 用反证法证明“至多”“至少”等存在性
1＋x 1＋y 所以 y ， x 中至少有一个小于 2.
归纳升华 对于含有“至多”“至少”的命题适合用反证法，对 于此类问题，需仔细体会“至少有一个”“至多有一个” 等字眼的含义，弄清结论的否定是什么，避免出现证明遗 漏的错误．
类型 3 用反证法证明唯一性问题 [典例 3] 已知一点 A 和平面 α.求证：经过点 A 只能 有一条直线和平面 α 垂直． 证明：根据点 A 和平面 α 的位置关系，分两种情况 证明． (1)如图①所示，点 A 在平面 α 内，假设经过点 A 至 少有平面 α 的两条垂线 AB、AC，那么 AB、AC 是两条 相交直线，它们确定一个平面 β，
命题．反证法是先否定命题，然后再证明命题的否定是错
误的，从而肯定原命题正确.
类型 1 用反证法证明否定性命题(自主研析)
[典例 1] 设{an}是公比为 q 的等比数列，Sn 是它的 前 n 项和．
(1)求证：数列{Sn}不是等比数列． (2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？
证明：(1)法一(反证法) 若{Sn}是等比数列， 则 S22＝S1S3， 即 a21(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)， 因为 a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2， 即 q＝0，这与 q≠0 矛盾，故{Sn}不是等比数列．
问题 [典例 2] 已知 x，y＞0，且 x＋y＞2.求证：1＋y x，1＋x y 中至少有一个小于 2.
2020届中考数学总复习(24)命题与证明-精练精析(1)及答案解析
图形的性质——命题与证明1一．选择题（共8小题）1．下列命题是假命题的是（）A．四个角相等的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线垂直的四边形是菱形 D．对角线垂直的平行四边形是菱形2．已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，当b＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（）A．b=﹣1 B．b=2 C．b=﹣2 D．b=03．已知命题A：任何偶数都是8的整数倍．在下列选项中，可以作为“命题A是假命题”的反例的是（）A．2k B．15 C．24 D．424．下列四个命题：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．其中正确的命题个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个5．以下命题是真命题的是（）A．等腰梯形是轴对称图形B．对角线相等的四边形是矩形C．四边相等的四边形是正方形D．有两条相互垂直的对称轴的四边形是菱形6．下列命题错误的是（）A．所有的实数都可用数轴上的点表示B．等角的补角相等C．无理数包括正无理数，0，负无理数D．两点之间，线段最短7．已知下列命题：①若a＞b，则ac＞bc；②若a=1，则=a；③内错角相等；④90°的圆周角所对的弦是直径．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．下列命题是真命题的是（）A．四边形都相等的四边形是矩形B．菱形的对角线相等C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．对角线相等的梯形是等腰梯形二．填空题（共7小题）9请举反例说明命题“对于任意实数x，x2+5x+5的值总是正数”是假命题，你举的反例是x= _________ （写出一个x的值即可）．10．已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题：_________ ，该逆命题是_________ 命题（填“真”或“假”）．11．以下四个命题：①每一条对角线都平分一组对角的平行四边形是菱形．②当m＞0时，y=﹣mx+1与y= 两个函数都是y随着x的增大而减小．③已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A，B，C，D按逆时针依次排列，若A点坐标为（1，，则D点坐标为（1，．④在一个不透明的袋子中装有标号为1，2，3，4的四个完全相同的小球，从袋中随机摸取一个然后放回，再从袋中随机地摸取一个，则两次取到的小球标号的和等于4的概率为．其中正确的命题有_________ （只需填正确命题的序号）12．命题“对顶角相等”的逆命题为_________ ．13．命题“对顶角相等”的题设是_________ ，结论是_________ ．14命题“直角三角形两个锐角互余”的条件是_________ ，结论是_________ ．15．请阅读下列语句：①一个数的相反数是它本身，则这个数一定是正数；②方程ax2+bx+c=0，当b2﹣4ac＞0时，方程一定有两个不等实根；③函数y=kx+b，当k＞0时，图象有可能不经过第二象限；④两边一角对应相等的两个三角形全等；⑤某校对A、B两个班在一次数学测试中成绩统计为：A班的方差＞B班的方差，得出结论是：B班的成绩比A班的好．其中正确的是_________ （只填序号）三．解答题（共5小题）16．写出下列命题的已知、求证，并完成证明过程．命题：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：“等角对等边”）．已知：如图，_________ ．求证：_________ ．证明：17．已知命题：“如图，点B、F、C、E在同一条直线上，则AB∥DE．”判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，在不添加其他辅助线的情况下，请添加一个适当的条件使它成为真命题，并加以证明．18．已知命题：“P是等边三角形ABC内的一点，若P到三边的距离相等，则PA=PB=PC．”证明这个命题，并写出它的逆命题．判断其逆命题成立吗？若成立，请给出证明．19．设a、b、c都是实数，考虑如下3个命题：①若a2+ab+c＞0，且c＞1，则0＜b＜2；②若c＞1且0＜b＜2，则a2+ab+c＞0；③若0＜b＜2，且a2+ab+c＞0，则c＞1．试判断哪些命题是正确的，哪些是不正确的，对你认为正确的命题给出证明；你认为不正确的命题，用反例予以否定．20．如图，直线AB和直线CD、直线BE和直线CF都被直线BC所截．在下面三个式子中，请你选择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明．①AB⊥BC、CD⊥BC，②BE∥CF，③∠1=∠2．题设（已知）：_________ ．结论（求证）：_________ ．证明：_________ ．图形的性质——命题与证明1参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．下列命题是假命题的是（）A．四个角相等的四边形是矩形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线垂直的四边形是菱形D．对角线垂直的平行四边形是菱形考点：命题与定理．分析：根据矩形的判定对A、B进行判断；根据菱形的判定方法对C、D进行判断．解答：解：A、四个角相等的四边形是矩形，为真命题，故A选项不符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故B选项不符合题意；C、对角线垂直的平行四边形是菱形，为假命题，故C选项符合题意；D、对角线垂直的平行四边形是菱形，为真命题，故D选项不符合题意．故选：C．点评：本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．2．已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，当b＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（）A．b=﹣1 B．b=2 C．b=﹣2 D．b=0考点：命题与定理；根的判别式．专题：常规题型．分析：先根据判别式得到△=b2﹣4，在满足b＜0的前提下，取b=﹣1得到△＜0，根据判别式的意义得到方程没有实数解，于是b=﹣1可作为说明这个命题是假命题的一个反例．解答：解：△=b2﹣4，由于当b=﹣1时，满足b＜0，而△＜0，方程没有实数解，所以当b=﹣1时，可说明这个命题是假命题．故选：A．点评：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了根的判别式．3．已知命题A：任何偶数都是8的整数倍．在下列选项中，可以作为“命题A是假命题”的反例的是（）A．2k B．15 C．24 D．42考点：命题与定理．分析：证明命题为假命题，通常用反例说明，此反例满足命题的题设，但不满足命题的结论．解答：解：42是偶数，但42不是8的倍数．故选：D．点评：本题考查了命题：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．4．下列四个命题：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．其中正确的命题个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个考点：命题与定理；平行四边形的判定．专题：常规题型．分析：分别利用平行四边形的判定方法判断得出即可．解答：解：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形，此选项正确；（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形，此选项正确；（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形，此选项正确；（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，此选项正确．故选：A．点评：此题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题关键．5．以下命题是真命题的是（）A．等腰梯形是轴对称图形B．对角线相等的四边形是矩形C．四边相等的四边形是正方形D．有两条相互垂直的对称轴的四边形是菱形考点：命题与定理．专题：常规题型．分析：根据等腰图形的性质对A矩形判断；根据矩形、正方形和菱形的判定方法分别对B、C、D矩形判断．解答：解：A、等腰梯形是轴对称图形，所以A选项正确；B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项错误；C、四边相等且有一个角为90°的四边形是正方形，所以C选项错误；D、有两条相互垂直的对称轴的四边形可以是菱形或矩形，所以D选项错误．故选：A．点评：本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．6．下列命题错误的是（）A．所有的实数都可用数轴上的点表示 B．等角的补角相等C．无理数包括正无理数，0，负无理数D．两点之间，线段最短考点：命题与定理．专题：常规题型．分析：根据实数与数轴上的点一一对应对A进行判断；根据补角的定义对B进行判断；根据无理数的分类对C进行判断；根据线段公理对D进行判断．解答：解：A、所有的实数都可用数轴上的点表示，所以A选项正确；B、等角的补角相等，所以B选项正确；C、无理数包括正无理数和负无理数，0是有理数，所以C选项错误；D、两点之间，线段最短，所以D选项正确．故选：C．点评：本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．7．已知下列命题：①若a＞b，则ac＞bc；②若a=1，则=a；③内错角相等；④90°的圆周角所对的弦是直径．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：命题与定理．专题：常规题型．分析：先对原命题进行判断，再判断出逆命题的真假即可．解答：解；①若a＞b，则ac＞bc是假命题，逆命题是假命题；②若a=1，则=a是真命题，逆命题是假命题；③内错角相等是假命题，逆命题是假命题；④90°的圆周角所对的弦是直径是真命题，逆命题是真命题；其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个；故选：A．点评：主要考查命题与定理，用到的知识点是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．8．下列命题是真命题的是（）A．四边形都相等的四边形是矩形B．菱形的对角线相等C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．对角线相等的梯形是等腰梯形考点：命题与定理．分析：利用特殊的四边形的判定和性质定理逐一判断后即可确定正确的选项．解答：解：A、四条边都相等的是菱形，故错误，是假命题；B、菱形的对角线互相垂直但不相等，故错误，是假命题；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形但不一定是正方形，故错误，是假命题；D、正确，是真命题．故选：D．点评：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是牢记特殊的四边形的判定定理，难度不大，属于基础题．二．填空题（共7小题）9．请举反例说明命题“对于任意实数x，x2+5x+5的值总是正数”是假命题，你举的反例是x= （写出一个x的值即可）．考点：命题与定理．专题：开放型．分析：先进行配方得到x2+5x+5=x2+5x+﹣=（x﹣）2﹣，当x=时，则有x2+5x+5=﹣＜0．解答：解：x2+5x+5=x2+5x+﹣=（x﹣）2﹣，当x=时，x2+5x+5=﹣＜0，∴是假命题．故答案为：．点评：本题考查了命题与定理的知识，在判断一个命题为假命题时，可以举出反例．10．已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，该逆命题是假命题（填“真”或“假”）．考点：命题与定理．分析：交换原命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题．解答：解：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写成它的逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，该逆命题是假命题，故答案为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假．点评：本题考查逆命题的概念，以及判断真假命题的能力以及全等三角形的判定和性质．11．以下四个命题：①每一条对角线都平分一组对角的平行四边形是菱形．②当m＞0时，y=﹣mx+1与y= 两个函数都是y随着x的增大而减小．③已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A，B，C，D按逆时针依次排列，若A点坐标为（1，，则D点坐标为（1，．④在一个不透明的袋子中装有标号为1，2，3，4的四个完全相同的小球，从袋中随机摸取一个然后放回，再从袋中随机地摸取一个，则两次取到的小球标号的和等于4的概率为．其中正确的命题有①（只需填正确命题的序号）考点：命题与定理．专题：推理填空题．分析：利用菱形的性质、一次函数及反比例函数的性质、图形与坐标及概率的知识分别判断后即可确定答案．解答：解：①每一条对角线都平分一组对角的平行四边形是菱形，故①正确．②当m＞0时，﹣m＜0，y=﹣mx+1是y随着x的增大而减小，y= 是在同一象限内y随着x 的增大而减小，故②错误．③已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A，B，C，D按逆时针依次排列，若A点坐标为（1，，则D点坐标为（﹣，1），故③错误．④在一个不透明的袋子中装有标号为1，2，3，4的四个完全相同的小球，从袋中随机摸取一个然后放回，再从袋中随机地摸取一个，则两次取到的小球标号的和等于4的概率为，故④错误，故答案为：①．点评：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解菱形的性质、一次函数及反比例函数的性质、图形与坐标及概率的知识，难度一般．12．命题“对顶角相等”的逆命题为如果两个角相等，那么它们是对顶角．考点：命题与定理．分析：把一个命题的题设和结论互换即可得到其逆命题．解答：解：“对顶角相等”的条件是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等，所以逆命题是：如果两个角相等，那么它们是对顶角．故答案为：如果两个角相等，那么它们是对顶角．点评：本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．13．命题“对顶角相等”的题设是两个角是对顶角，结论是这两个角相等．考点：命题与定理．分析：任何一个命题都可以写成如果…，那么…的形式，如果后面是题设，那么后面是结论．解答：解：命题“对顶角相等”可写成：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．故命题“对顶角相等”的题设是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”．点评：本题考查的是命题的题设与结论，解答此题目只要把命题写成如果…，那么…的形式，便可解答．14．命题“直角三角形两个锐角互余”的条件是一个直角三角形中的两个锐角，结论是这两个锐角互余．考点：命题与定理．分析：命题有条件和结论两部分组成，条件是已知的，结论是结果．解答：解：“直角三角形两个锐角互余”的条件是一个直角三角形中的两个锐角，结论是这两个锐角互余．点评：本题考查了命题的条件和结论的叙述．15．请阅读下列语句：①一个数的相反数是它本身，则这个数一定是正数；②方程ax2+bx+c=0，当b2﹣4ac＞0时，方程一定有两个不等实根；③函数y=kx+b，当k＞0时，图象有可能不经过第二象限；④两边一角对应相等的两个三角形全等；⑤某校对A、B两个班在一次数学测试中成绩统计为：A班的方差＞B班的方差，得出结论是：B班的成绩比A班的好．其中正确的是②③（只填序号）考点：命题与定理．分析：利用相反数的定义、根的判别式、一次函数的性质、全等三角形的判定及方差的意义分别判断后即可确定正确的答案．解答：解：①一个数的相反数是它本身，则这个数一定是正数，错误；②方程ax2+bx+c=0，当b2﹣4ac＞0时，方程一定有两个不等实根，正确；③函数y=kx+b，当k＞0时，图象有可能不经过第二象限，正确；④两边一角对应相等的两个三角形全等，错误；⑤某校对A、B两个班在一次数学测试中成绩统计为：A班的方差＞B班的方差，得出结论是：B班的成绩比A班的好，错误，故答案为：②③．点评：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解相反数的定义、根的判别式、一次函数的性质、全等三角形的判定及方差的意义，属于基础题，比较简单．三．解答题（共5小题）16．写出下列命题的已知、求证，并完成证明过程．命题：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：“等角对等边”）．已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C．求证：AB=AC ．证明：考点：命题与定理；等腰三角形的性质．专题：证明题．分析：根据图示，分析原命题，找出其条件与结论，然后根据∠B=∠C证明△ABC 为等腰三角形，从而得出结论．解答：解：在△ABC中，∠B=∠C，AB=AC，证明：过点A作AD⊥BC于D，∴∠ADB=∠ADC=90°，在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（AAS），∴AB=AC．点评：本题主要考查学生对命题的定义的理解，难度适中．17．已知命题：“如图，点B、F、C、E在同一条直线上，则AB∥DE．”判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，在不添加其他辅助线的情况下，请添加一个适当的条件使它成为真命题，并加以证明．考点：命题与定理．分析：根据平行线的性质与判定分析得出即可．解答：解：如图，点B、F、C、E在同一条直线上，则AB∥DE，是假命题，当添加：∠B=∠E时，AB∥DE，理由：∵∠B=∠E，∴AB∥DE．点评：此题主要考查了命题与定理，熟练利用平行线的判定得出是解题关键．18．已知命题：“P是等边三角形ABC内的一点，若P到三边的距离相等，则PA=PB=PC．”证明这个命题，并写出它的逆命题．判断其逆命题成立吗？若成立，请给出证明．考点：命题与定理．分析：首先画出图形，由PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PD=PE，根据角平分线的判定得出BP平分∠ABC，由BA=BC，根据等腰三角形三线合一的性质得出BP是AC的垂直平分线，同理，AP是BC的垂直平分线，CP是AB的垂直平分线，那么P是△ABC三边垂直平分线的交点，根据线段垂直平分线的性质即可证明PA=PB=PC；将原命题的题设与结论交换位置即可写出其逆命题；可证明其逆命题成立．先由PA=PB，AC=BC，根据线段垂直平分线的判定得出CP是AB的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质得出CP平分∠ACB，同理，BP平分∠ABC，AP平分∠BAC，那么P是△ABC三个角的角平分线的交点，根据角平分线的性质即可得出PD=PE=PF．解答：解：如图，已知P是等边三角形ABC内的一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，PD=PE=PF．求证：PA=PB=PC．证明：∵PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PD=PE，∴BP平分∠ABC，∵BA=BC，∴BP是AC的垂直平分线，同理，AP是BC的垂直平分线，CP是AB的垂直平分线，∴P是△ABC三边垂直平分线的交点，∴PA=PB=PC．逆命题：P是等边三角形ABC内的一点，若PA=PB=PC，则P到三边的距离相等．其逆命题成立．证明：∵PA=PB，∴P在AB的垂直平分线上，∵AC=BC，∴C在AB的垂直平分线上，∴CP是AB的垂直平分线，∴CP平分∠ACB，同理，BP平分∠ABC，AP平分∠BAC，∴P是△ABC三个角的角平分线的交点，∴PD=PE=PF．点评：本题考查了命题与定理，角平分线、线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质，难度适中．利用数形结合是解题的关键．19．设a、b、c都是实数，考虑如下3个命题：①若a2+ab+c＞0，且c＞1，则0＜b＜2；②若c＞1且0＜b＜2，则a2+ab+c＞0；③若0＜b＜2，且a2+ab+c＞0，则c＞1．试判断哪些命题是正确的，哪些是不正确的，对你认为正确的命题给出证明；你认为不正确的命题，用反例予以否定．考点：推理与论证；反证法．专题：推理填空题．分析：用反证法证明就可以代入特殊值来看看，令b=4，c=5可以证明命题①不正确，b=1，c=，可以证明命题③不正确若，命题②正确可证明．解答：解：令b=4，c=5可以证明命题①不正确．若b=1，c=，可以证明命题③不正确．命题②正确，证明如下由c＞1，且0＜b＜2，得0＜＜1＜c．则c＞＞，c＞＞0故a2+ab+c=+（c﹣）＞0点评：本题考查灵活运用反例的能力以及灵活掌握不等式的能力．20．如图，直线AB和直线CD、直线BE和直线CF都被直线BC所截．在下面三个式子中，请你选择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明．①AB⊥BC、CD⊥BC，②BE∥CF，③∠1=∠2．题设（已知）：①②．结论（求证）：③．证明：省略．考点：命题与定理；平行线的判定与性质．专题：计算题．分析：可以有①②得到③：由于AB⊥BC、CD⊥BC得到AB∥CD，利用平行线的性质得到∠ABC=∠DCB，又BE∥CF，则∠EBC=∠FCB，可得到∠ABC﹣∠EBC=∠DCB﹣∠FCB，即有∠1=∠2．解答：已知：如图，AB⊥BC、CD⊥BC，BE∥CF．求证：∠1=∠2．证明：∵AB⊥BC、CD⊥BC，∴AB∥CD，∴∠ABC=∠DCB，又∵BE∥CF，∴∠EBC=∠FCB，∴∠ABC﹣∠EBC=∠DCB﹣∠FCB，∴∠1=∠2．故答案为①②；③；省略．点评：本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了平行线的性质．。
专题24 解三角形中的最值、范围问题(解析版)
专题24 解三角形中的最值、范围问题解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式. 1、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，其中R 为ABC 外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 学/科-+网 例如：（1）222222sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=⇔+-= （2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=⇒+=（恒等式） （3）22sin sin sin bc B Ca A= 2、余弦定理：2222cos a b c bc A =+-变式：()()2221cos a b c bc A =+-+ 此公式在已知,a A 的情况下，配合均值不等式可得到b c +和bc 的最值4、三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：sin sin cos cos a b A B A B A B >⇔>⇔>⇒<其中由cos cos A B A B >⇔<利用的是余弦函数单调性，而sin sin A B A B >⇔>仅在一个三角形内有效.5、解三角形中处理不等关系的几种方法（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值） （2）利用均值不等式求得最值【经典例题】例1.【2018届百校联盟TOP20高三四月联考全国一卷】已知四边形中，，设与面积分别为，则的最大值为_____.【答案】【解析】分析：利用余弦定理推，求出的表达式，利用二次函数以及余弦函数的值的范围，求的最大值即可．点睛：求解三角函数的最值(或值域)时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得．例2.【2018届普通高等学校招生全国统一考试高三下学期第二次调研】在中，角A,B,C所对的边分别为，则实数a的取值范围是____________.【答案】.【解析】由，得，所以，则由余弦定理，得，解得，又，所以的范围是.例3.【2018届浙江省杭州市高三第二次检测】在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．若对任意λ∈R，不等式恒成立，则的最大值为_____．【答案】2例4.【衡水金卷信息卷三】已知的三边分别为，，，所对的角分别为，，，且满足，且的外接圆的面积为，则的最大值的取值范围为__________．【答案】【解析】由的三边分别为，，可得：，可知：，，，例5.【2018届湖南省株洲市高三检测（二）】已知中，角所对的边分别是,且.(1)求角的大小； (2)设向量，边长，当取最大值时，求边的长. 【答案】(1)(2).【解析】分析：（1）由题意，根据正弦定理可得，再由余弦定理可得，由此可求角的大小； （2）因为由此可求当取最大值时，求边的长.（2）因为所以当时，取最大值，此时，由正弦定理得，例6.【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知的内角的对边分别为其面积为,且.学/科/*网（Ⅰ）求角；（II ）若,当有且只有一解时,求实数的范围及的最大值.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】分析：（Ⅰ）利用余弦定理和三角形的面积公式化简得到,再解这个三角方程即得A 的值. （II ）先根据有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到m 的取值范围，再写出S 的函数表达式求其最大值.详解：(Ⅰ)由己知(Ⅱ)由己知，当有且只有一解时，或,所以；当时，为直角三角形，当 时，由正弦定理 ，，所以，当时，综上所述，.例7.【2018届四川省资阳市高三4月（三诊）】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()sin sin a b A B +- ()sin sin c C B =-．（1）求A ．（2）若4a =，求22b c +的取值范围．【答案】（1）3A π=；（2）(]16,32.221616b c bc +=+>，进而可得结果.试题解析：（1）根据正弦定理得()()a b a b +- ()c c b =-，即222a b c bc -=-，则222122b c a bc +-=，即1cos 2A =，由于0πA <<，【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 例8．【2018届甘肃省张掖市高三三诊】已知3cos,cos 44x x m ⎛⎫= ⎪⎭， sin ,cos 44x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设函数()f x m n =⋅．（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）设ABC ∆的内角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ，且a ， b ， c 成等比数列，求()f B 的取值范围．【答案】(1) 424,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦， k Z ∈．(2) ⎛ ⎝⎦. 【解析】试题分析：（1）由题()13cos ,cos sin ,cos sin 4444262x x x x x f x m n π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅=++ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭，根据正弦函数的性质222262x k k πππππ-≤+≤+可求其单调增区间；（2）由题2b ac =可知2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=， （当且仅当a c =时取等号），所以03B π<≤，6263B πππ<+≤，由此可求 ()f B 的取值范围．（当且仅当a c =时取等号），所以03B π<≤， 6263B πππ<+≤， ()1f B <≤，综上， ()f B的取值范围为⎛ ⎝⎦． 例9.【2018届吉林省吉林市高三第三次调研】锐角ABC ∆中， ,,A B C 对边为,,a b c ，()()()222sin cos ba c B C A C --+=+（1）求A 的大小； （2）求代数式b c a +的取值范围.【答案】（1）3π（22b ca+<≤ 【解析】试题分析：（1）由()()()222sin cos b a c B C A C --+=+及余弦定理的变形可得2cos sin B A B -，因为cos 0B ≠，故得sin A =ABC ∆中3A π=．（2）利用正弦定理将所求变形为2sin sin 32sin sin 6B B b c B a A ππ⎛⎫++ ⎪+⎛⎫⎝⎭==+ ⎪⎝⎭，然后根据6B π+的取值范围求出代数式b ca+的取值范围即可．试题解析： （1）∵2222cos b a c ac B --=-， ()()()222sin cos b a c B C A C --+=+，∴()()2cos sin cos ac B B C A C -+=+ ， ∴()()2cos sin ,B A B ππ--=-∴2cos sin B A B -=，∴23sin sin sin sin sin 3222sin sin sin 6sin 3B B B Bb c B C B a A A πππ⎛⎫+++ ⎪++⎛⎫⎝⎭====+ ⎪⎝⎭,∵ABC ∆为锐角三角形，且3A π=∴02{02B C ππ<<<<，即02{ 2032B B πππ<<<-<, 解得62B ππ<<，∴2,363B πππ<+<sin 16B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭．2b c a +<≤．故代数式b c a +的取值范围2⎤⎦．点睛：（1）求b ca+的取值范围时，可根据正弦定理将问题转化为形如()sin y A x ωϕ=+的函数的取值范围的问题解决，这是在解三角形问题中常用的一种方法，但在解题中要注意确定角x ωϕ+的范围．（2）解答本题时要注意“锐角三角形”这一条件的运用，根据此条件可的求得6B π+的范围，然后结合函数的图象可得sin 6B π⎛⎫+⎪⎝⎭的范围，以达到求解的目的． 例10.【2018届衡水金卷信息卷（一）】已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若向量()()2,cos ,,cos m b c B n a A =-=-，且//m n .（1）求角A 的值；（2）已知ABC ∆的外接圆半径为2ABC ∆周长的取值范围. 【答案】(1) 3A π=(2) (]4,6 【解析】试题分析：（1）由//m n ，得62)0c c o s A a c o s B-+=（，利用正弦定理统一到角上易得1cos 2A =；（2）根据题意，得2sin 2a R A ==，由余弦定理，得()223a b c bc =+-，结合均值不等式可得()216b c +≤，所以b c +的最大值为4，又2b c a +>=，从而得到ABC ∆周长的取值范围.得1cos 2A =.又()0,A π∈，所以3A π=.（2）根据题意，得2sin 2a R A ===.由余弦定理，得()22222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-，即()223432b c bc b c +⎛⎫=+-≤ ⎪⎝⎭，整理得()216b c +≤，当且仅当2b c ==时，取等号， 所以b c +的最大值为4.又2b c a +>=，所以24b c <+≤，所以46a b c <++≤. 所以ABC ∆的周长的取值范围为(]4,6.【精选精练】1.【2018届东莞市高三第二次考试】在中，若，则的取值范围为( )A.B.C.D. 【答案】D【解析】因为，所以，即，即，2．【2018届湖南省衡阳市高三二模】在中，已知为的面积)，若,则的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】C【解析】 ，，，，又，，，，故选C.3．【2018届四川省绵阳市高三三诊】四边形ABCD 中， AB =， 1BC CD DA ===，设ABD ∆、BCD ∆的面积分别为1S 、2S ，则当2212S S +取最大值时， BD =__________．【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式的应用,考查同角三角函数关系,考查利用余弦定理解三角形,考查二次函数最值的求法.首先根据题目所求,利用三角形面积公式,写出面积的表达式,利用同角三角函数关系转化为余弦值,利用余弦定理化简,再利用配方法求得面积的最值,并求得取得最值时BD 的值. 4．【2018届广东省肇庆市高三第三次模拟】已知的角对边分别为，若，且的面积为，则的最小值为________.【答案】5．【2018届辽宁省辽南协作校高三下学期一模】设的内角所对的边分别为且+,则的范围是__________．【答案】 【解析】由+得,所以，即，再由余弦定理得 ，即，解得，又，所以的范围是.点睛：在解三角形问题中，一般需要利用余弦定理结合均值不等式，来求两边和的取值范围或者是三角形的面积的最值，只需运用余弦定理，并变形为两边和与两边积的等式，在利用均值不等式转化为关于两边和或两边积的不等式，解不等式即可求出范围.6．【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知锐角ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、,且2cos 2,2a C c b a +==,则ABC ∆的最大值为__________．即4bc ≤，所以ABC ∆的最大值为max 11sin 422S bc A ==⨯= 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.7．【2018届宁夏石嘴山市高三4月适应性测试（一模）】已知,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边，且sin cos b A B =.（1）求角B ；（2）若b =ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）3B π=；（2）.【解析】试题分析：（1）由正弦定理边化角得到tan B =（2）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 2212a c ac =+-结合222a c ac +≥即可得最值.试题解析：（1）∵sin cos b A B =，∴由正弦定理可得sin sin cos B A A B =，即ABC ∆面积的最大值为.8．【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知的内角的对边分别为其面积为,且.（Ⅰ）求角；（II ）若,当有且只有一解时,求实数的范围及的最大值.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】分析：（Ⅰ）利用余弦定理和三角形的面积公式化简得到,再解这个三角方程即得A 的值. （II ）先根据有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到m 的取值范围，再写出S 的函数表达式求其最大值.详解：(Ⅰ)由己知由余弦定理得，所以，即,，所以.由正弦定理 ，，所以，当时，综上所述，.点睛：本题在转化有且只有一解时,容易漏掉m=2这一种情况.此时要通过正弦定理和正弦函数的图像分析，不能死记硬背.先由正弦定理得再画正弦函数的图像得到或.9．【衡水金卷信息卷（二）】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin cos a C A =. （1）求角A 的大小；（2）若2b =，且43B ππ≤≤，求边c 的取值范围.【答案】(1) 3A π=；(2) 1⎡⎤⎣⎦.在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sin b c B C=，∴22sin 2sin 311sin sin sin tan B C B c B B B B π⎛⎫- ⎪⎝⎭===+=+，∵43B ππ≤≤，∴1tan B ≤≤21c ≤≤，即c的取值范围为1⎡⎤⎣⎦.10．【2018届辽宁省沈阳市东北育才学校高三三模】已知ABC ∆三个内角 ,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积S满足222a b c =+-． （1）求角C 的值；（2）求()cos2cos A A B +-的取值范围． 【答案】（1）23π；（2）(tan C =0C π<<， 23C π∴=.（2）()3cos2cos =cos2cos 2cos232A A B A A A A π⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭23A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭0,2333A A ππππ<<∴<+<(203A π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ 11．【2018届江苏省姜堰、溧阳、前黄中学高三4月联考】在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C =.（1）求b 的值；（2）若4B π=， S 为ABC ∆的面积，求cos S A C +的取值范围.【答案】(1) 4b =(2) (【解析】试题分析：（1）利用正余弦定理， sin cos 3cos sin A C A C =可转化为2222b ac -=，又222a c b -=，从而得到b 的值； （2）由正弦定理1sin sin 2S bc A A C ==，故324S AcosC A π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭限制角A的范围，求出cos S A C +的取值范围.（2）由正弦定理sin sin b c B C =得114sin 4sin sin sin 22sin4S bc A A C A C π==⋅⋅=()324S AcosC A C A π⎛⎫∴+=-=-⎪⎝⎭， 在ABC ∆中，由3040{ 202A A C A C πππ<<<<<<> 得3,82A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 320,44A ππ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭，3cos 24A π⎫⎛⎫∴-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭(S AcosC ∴+∈.12．【衡水金卷信息卷 （五）】在锐角ABC ∆中，内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，且25sin 2sin 224B C A π+⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭.（1）求角A ；（2）若a =ABC ∆周长的取值范围. 【答案】(1) 3A π=(2) (3+(3.试题解析：（1）∵252224B C sin A sin π+⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，∴()15224cos B C cos A -+-=-， ∴2152124cosA cos A +--=-，整理，得28210cos A cosA --=，∴14cosA =-或12cosA =， ∵02A π<<，∴12cosA =，即3A π=.（2）设ABC ∆的外接圆半径为r，则22a r sinA===，∴1r =. ∴()2b c r sinB sinC +=+ 223sinB sin B π⎡⎤⎛⎫=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴ABC ∆周长的取值范围是(3+.。
备战2021高考理数热点题型和提分秘籍 专题24 正弦定理和余弦定理的应用(解析版)
专题二十四正弦定理和余弦定理的应用【高频考点解读】能够运用正弦定理、余弦定理等学问和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.【热点题型】题型一考查测量距离例1、如图所示，有两座建筑物AB和CD都在河的对岸(不知道它们的高度，且不能到达对岸)，某人想测量两座建筑物尖顶A、C之间的距离，但只有卷尺和测量仪两种工具．若此人在地面上选一条基线EF，用卷尺测得EF的长度为a，并用测角仪测量了一些角度：∠AEF＝α，∠AFE＝β，∠CEF＝θ，∠CFE＝φ，∠AEC ＝γ.请你用文字和公式写出计算A、C之间距离的步骤和结果．【提分秘籍】求距离问题时要留意(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解；(2)确定用正弦定理还是余弦定理，假如都可用，就选择更便于计算的定理．【举一反三】隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边选取相距 3 km的C，D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离．【热点题型】题型二考查高度问题例2、如图，在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)()A．2.7 m B．17.3 mC．37.3 m D．373 m【解析】在△ACE中，tan 30°＝CEAE＝CM－10AE.∴AE＝CM－10tan 30°.在△AED中，tan 45°＝DEAE＝CM＋10AE，∴AE ＝CM ＋10tan 45°，∴CM －10tan 30°＝CM ＋10tan 45°， ∴CM ＝103＋13－1＝10(2＋3)≈37.3(m)．【答案】C【提分秘籍】求解高度问题首先应分清(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内视线与水平线的夹角； (2)精确 理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，留意方程思想的运用． 【举一反三】如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________米．【热点题型】题型三 考查方位角例3、如图，我国的海监船在D 岛海疆例行维权巡航，某时刻航行至A 处，此时测得其东北方向与它相距16海里的B 处里一外国船只，且D 岛位于海监船正东142海里处．(1)求此时该外国船只与D 岛的距离；(2)观测中发觉，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方向航行．为了将该船拦截在离D 岛12海里处，不让其进入D 岛12海里内的海疆，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值．(参考数据：sin 36°52′≈0.6，sin 53°08′≈0.8)【提分秘籍】解决方位角问题其关键是弄清方位角概念．结合图形恰当选择正、余弦定理解三角形，同时留意平面图形的几何性质的应用．【举一反三】如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进m km后在B处测量该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛四周n km范围内(包括边界)有暗礁，现该船连续东行，当α与β满足条件________时，该船没有触礁危急．【热点题型】题型四考查函数思想在解三角形中的应用例4、如图所示，一辆汽车从O点动身沿一条直线大路以50公里/小时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向)，汽车开动的同时，在距汽车动身点O点的距离为5公里、距离大路线的垂直距离为3公里的M点的地方有一个人骑摩托车动身想把一件东西送给汽车司机．问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少公里？∴当t＝18时，v取得最小值为30，∴其行驶距离为vt＝308＝154公里．故骑摩托车的人至少以30公里/小时的速度行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了154公里．【提分秘籍】函数思想在解三角形中常与余弦定理应用及函数最值求法相综合，此类问题综合性较强，力量要求较高，要求考生要有肯定的分析问题解决问题的力量．解答本题利用了函数思想，求解时把速度表示为时间的函数，利用函数最值求法完成解答，留意函数中以1t为整体构造二次函数，求最值．【举一反三】如图所示，已知树顶A离地面212米，树上另一点B离地面112米，某人在离地面32米的C处看此树，则该人离此树________米时，看A，B的视角最大．【高考风向标】1．（2022·天津卷）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝14a，2sin B＝3sin C，则cos A的值为________．【答案】－14【解析】∵2sin B＝3sin C，∴2b＝3c.又∵b －c ＝a 4，∴a ＝2c ，b ＝32c ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝94c 2＋c 2－4c 22×32c ×c ＝－14.2．（2022·新课标全国卷Ⅱ）设点M (x 0，1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．3．（2022·广东卷）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则a b＝________．4．（2022·安徽卷）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B .(1)求a 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4的值．5．（2022·北京卷）如图1-2，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．图1-26．（2022·福建卷）在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________．7．（2022·湖南卷）如图1-5所示，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.图1-5(1)求cos ∠CAD 的值；(2)若cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216，求BC 的长．8．（2022·江西卷）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC的面积是( )A ．3 B.9 32 C.3 32D ．3 3【答案】C 【解析】由余弦定理得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝2ab －62ab ＝12，所以ab ＝6，所以S △ABC ＝12ab sin C＝3 32.9．（2022·辽宁卷）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．10． （2022·全国卷）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .＝－tan(A ＋C ) ＝tan A ＋tan Ctan A tan C －1＝－1， 所以B ＝135°.11．（2022·新课标全国卷Ⅰ）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )·(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．12．（2022·新课标全国卷Ⅱ）钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．113．（2022·山东卷）在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为______．14．（2022·陕西卷）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．(2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立， ∴cos B 的最小值为12.15．（2022·四川卷）如图1-3所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46 m ，则河流的宽度BC 约等于________m ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)图1-316．（2022·浙江卷）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B＝3sin A cos A －3sin B cos B .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝45，求△ABC 的面积．17．（2022·重庆卷）已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin 2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A －B )＋12，面积S 满足1≤S ≤2，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式肯定成立的是( )A ．bc (b ＋c )>8B ．ab (a ＋b )>16 2C ．6≤abc ≤12D ．12≤abc ≤2418．（2021·新课标全国卷Ⅰ）如图1－4所示，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA.图1－419．（2021·福建卷）如图1－4所示，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝2 23，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为__________．图1－420．（2021·湖北卷）在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c.已知cos 2A －3cos(B ＋C)＝1.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝5 3，b ＝5，求sin Bsin C 的值．21．（2021·湖南卷）在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b ，若2asin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π12B.π6C.π4D.π322．（2021·江西卷）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A)cos B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．又0<a<1，于是有14≤b 2<1，即有12≤b<1.23．（2021·北京卷）在△ABC 中，a ＝3，b ＝2 6，∠B ＝2∠A. (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．24．（2021·辽宁卷）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若asin Bcos C ＋csin Bcos A ＝12b ，且a>b ，则∠B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π625．（2021·全国卷）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c)(a －b ＋c)＝ac.(1)求B ；(2)若sin Asin C ＝3－14，求C. 【解析】(1)由于(a ＋b ＋c)(a －b ＋c)＝ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝－ac. 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12，因此B ＝120°.26．（2021·山东卷）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B)的值．27．（2021·陕西卷）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bcos C ＋ccos B ＝asin A ，则△ABC 的外形为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【答案】B 【解析】结合已知bcos C ＋ccos B ＝asin A ，所以由正弦定理代入可得sin Bcos C ＋sin Ccos B ＝sin Asin Asin(B ＋C)＝sin 2Asin A ＝sin 2Asin A ＝1，故A ＝90°，故三角形为直角三角形．28．（2021·四川卷） 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2 A －B2cos B －sin (A －B)sin B ＋cos(A ＋C)＝－35.(1)求cos A 的值；(2)若a ＝4 2，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影．29．（2021·四川卷）设P 1，P 2，…，P n 为平面α内的n 个点，在平面α内的全部点中，若点P 到P 1，P 2，…，P n 点的距离之和最小，则称点P 为P 1，P 2，…， P n 点的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点A ，B 的中位点．则有下列命题：①若A ，B ，C 三个点共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点A ，B ，C ，D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 其中的真命题是________．(写出全部真命题的序号)【答案】①④ 【解析】对于①，假如中位点不在直线AB 上，由三角形两边之和大于第三边可知与题意冲突．而当中位点在直线AB 上时，假如不与C 重合，则|PA|＋|PB|＋|PC|＞|PA|＋|PB|也不符合题意，故C 为唯一的中位点，①正确；30．（2021·天津卷）在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( )A.1010 B.105C.31010D.5531．（2021·新课标全国卷Ⅱ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝bcos C ＋csin B.(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．(2)△ABC 的面积S ＝12acsin B ＝24ac.由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2accos π4.又a 2＋c 2≥2ac ，故ac≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立． 因此△ABC 面积的最大值为2＋1.32．（2021·重庆卷）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2＋b 2＋2ab ＝c 2. (1)求C ；(2)设cos Acos B ＝3 25，cos （α＋A ）cos （α＋B ）cos 2α＝25，求tan α的值．【随堂巩固】1．有一长为10 m 的斜坡，倾斜角为75°，在不转变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长( )A ．5 mB ．10 mC ．10 2 mD ．10 3 m2．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°，距灯塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向N 处，则该船航行的速度为( )A.1722海里/小时 B ．346海里/小时C.1762海里/小时 D ．342海里/小时3．甲船在岛A 的正南B 处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB ＝10千米，同时乙船自岛A 动身以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为( )A.1507分钟B.157小时 C ．21.5分钟D ．2.15小时答案：A4.如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点间的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 mD.2522m5．地上画了一个角∠BDA ＝60°，某人从角的顶点D 动身，沿角的一边DA 行走10米后，拐弯往另一边的方向行走14米正好到达∠BDA 的另一边BD 上的一点，我们将该点记为点N ，则N 与D 之间的距离为( )A ．14米B ．15米C ．16米D ．17米 解析：如图，设DN ＝x m ，则142＝102＋x 2－2×10×x cos 60°，∴x 2－10x －96＝0.∴(x－16)(x＋6)＝0.∴x＝16或x＝－6(舍)．∴N与D之间的距离为16米．答案：C6．已知等腰三角形的面积为32，顶角的正弦值是底角的正弦值的3倍，则该三角形的一腰长为()A. 2B. 3 C．2 D. 67.如图，在某灾区的搜救现场，一条搜救犬从A点动身沿正北方向行进x m到达B处发觉生命迹象，然后向右转105°，行进10 m到达C处发觉另一生命迹象，这时它向右转135°回到动身点，那么x＝________.8．一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.解析：如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在△AMB中，由正弦定理得60sin 45°＝BMsin 30°，解得BM＝302(km)．答案：30 29．一个大型喷水池的中心有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是________ m.10．如图，在某平原地区一条河的彼岸有一建筑物，现在需要测量其高度AB.由于雨季河宽水急不能涉水，只能在此岸测量．现有的测量器材只有测角仪和皮尺．现在选定了一条水平基线HG，使得H，G，B三点在同一条直线上．请你设计一种测量方法测出建筑物的高度，并说明理由．(测角仪的高为h)解析：如图，测出∠ACE的度数，测出∠ADE的度数，测量出HG的长度，即可计算出建筑物的高度AB.理由如下：设∠ACE ＝α，∠ADE ＝β，HG ＝s .11.如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船马上前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里的C 处的乙船．(1)求处于C 处的乙船和遇险渔船间的距离；(2)设乙船沿直线CB 方向前往B 处救援，其方向向CA →成θ角，求f (x )＝sin 2θsin x ＋34cos 2θcos x (x ∈R)的值域．∴f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－237，237.12．A ，B ，C 是一条直线上的三个点，AB ＝BC ＝1 km ，从这三点分别遥望一座电视塔P ，A 处看塔，塔在东北方向，B 处看塔，塔在正东方向，C 处看塔，塔在南偏东60°方向．求塔到直线AC 的距离．解析：如图，过A 点作东西方向的一条直线l ，过C ，B ，P 分别作CM ⊥l ，BN ⊥l ，PQ ⊥l ，垂足分别为M ，N ，Q .过P 作PD ⊥AC ，垂足为D ，则线段PD 的长即为塔到直线AC 的距离． 在△P AC 中，由12AC ·PD ＝12P A ·PC sin 75°， 得PD ＝53＋713，∴塔到直线AC 的距离为53＋713km.13.某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，设计一个对角线在l 上的四边形电气线路，如图所示．为充分利用现有材料，边BC ，CD 用一根长为5米的材料弯折而成，边BA ，AD 用一根长为9米的材料弯折而成，要求∠A 和∠C 互补，且AB ＝BC .(1)设AB ＝x 米，cos A ＝f (x )，求f (x )的解析式，并指出x 的取值范围； (2)求四边形ABCD 面积的最大值．∴g (x )的最大值为g (4)＝12×9＝108，∴四边形ABCD 的面积S 的最大值为108＝63，∴所求四边形ABCD 面积的最大值为63平方米．。
人教版数学九年级上册24.2.1反证法教案
在今天的课堂上，我们探讨了反证法这一重要的数学证明方法。通过教学，我发现学生们对反证法的概念和应用表现出浓厚的兴趣，但也存在一些理解和应用上的困难。
首先，反证法的逻辑推理过程对学生来说是一个挑战。他们在理解如何从假设的反面出发，通过推导出矛盾来证明原命题的正确性时，往往会感到困惑。在今后的教学中，我需要更加耐心地引导学生逐步理解反证法的逻辑过程，通过更多具体的案例和练习，帮助他们掌握这种方法。
（3）反证法在解决实际问题中的应用：将反证法应用于解决生活中的问题，提高学生的数学应用能力。
举例：在一个比赛中，假设没有平局，通过反证法证明“如果每个队伍至少输了一场比赛，那么一定有一个队伍赢了所有比赛。”
2.教学难点
（1）反证法的逻辑推理：学生需要理解反证法背后的逻辑推理，即从假设的反面出发，通过严密的逻辑推导出矛盾，这需要较强的逻辑思维能力和对数学知识的深入理解。
其次，学生在识别矛盾方面也遇到了一些难题。有时候，他们会将非本质的矛盾与真正的矛盾混淆，或者在推导过程中忽略了矛盾的出现。我意识到，在这方面，我需要加强对学生的引导，让他们学会如何识别并利用矛盾来解决问题。
此外，小组讨论的环节让我看到了学生们的合作精神和思维碰撞。他们在讨论反证法在实际生活中的应用时，提出了许多有趣的观点和问题。这也让我意识到，将数学知识与学生们的日常生活联系起来，能够激发他们的学习兴趣，提高课堂参与度。
本节课将围绕以上内容展开教学，让学生掌握反证法的基本概念，学会运用反证法进行数学证明，并能够将反证法应用于解决实际问题。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力，使其能够运用反证法进行严密的数学证明；
2.提高学生的批判性思维，学会从反面思考问题，善于发现问题的矛盾之处；
反证法 课件(人教版)
2.反证法可以适用的两种情形 (1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结 论的线索不够清晰. (2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从 反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.
用反证法证明否定性命题 【技法点拨】
1.用反证法证明否定性命题的适用类型 结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命 题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具 体，适合使用反证法
【归纳】 (1)用反证法证题时，若原命题的反面不唯一时怎么 办？(2)宜用反证法证明的题型有哪些？ 提示：(1)用反证法证明命题时，若原命题的反面不唯一，这 时要把每一种情况一一否定，不能遗漏. (2)宜用反证法证明的题型有： ①易导出与已知矛盾的命题； ②“否定性”命题；
③“唯一性”命题； ④“必然性”命题； ⑤“至多”“至少”类的命题； ⑥涉及“无限”结论的命题等.
用反证法证明唯一性命题 【技法点拨】
用反证法证明唯一性命题的一般思路 证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性 和唯一性.当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存 在”等形式出现的命题时，由于假设结论易导出矛盾，所以用 反证法证其唯一性比较简单明了.
【典例训练】(建议教师以第2题为例重点讲解) 1.在用反证法证明“两条相交直线有且只有一个交点”时的反 证应分为________和___________________. 2.求证方程2x=3有且只有一个根.
【解析】1.两条直线的交点个数包括：没有交点，有且只有一 个交点和不只有一个交点.故“有且只有一个交点”的反设应为 无交点和不只有一个交点. 答案：无交点 不只有一个交点
2.因为2x=3，所以x=log23.这说明方程有一个根.下面用反证 法证明方程2x=3的根是唯一的. 假设方程2x=3有两个根x1,x2(x1≠x2)， 则 2x1 3, 2两x2 式3,相除，得 =1.2x1x2 若x1-x2＞0，则2x1x＞2 1,这与 2x=1x12 矛盾； 若x1-x2＜0，则2x1x＜2 1,这也与 2=x11x2矛盾， 因此只能x1-x2=0，这与x1≠x2矛盾. 如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾.故2x=3只有一个根.
人教版数学九年级上册24.反证法课件
造成矛盾的原因是：假设李子是甜的，这个假设是错误 的，说明本来的结论：路边的李子是苦的是正确的。
先假设结论的反面是正确 的，然后通过逻辑推理，推出 与公理、已证的定理、定义或 已知条件相矛盾，说明假设不 成立，从而得到原结论正确．
这种证明方法叫做反证法
方法迁移
.
成
立
，
原
结论
四、作业
1、试说出下列命题的反面： （1）a是实数。a不是实数 （2)a大于2。a小于或等于２ （3）a小于2。a大于或等于２ （4）至少有没2个有两个
（5）最多有一个 一个也没有（6）两条直线平行。 两直线相交
2、用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步是 假设a=。b
反证法
实例：南方某风水先生到北方看风水，恰逢天降大 雪。乃作一歪诗：“天公下雪不下雨，雪到地上变 成雨；早知雪要变成雨，何不起初就下雨。”他的 歪诗又恰被一牧童听到，亦作一打油诗讽刺风水先 生 ：“先生吃饭不吃屎，饭到肚里变成屎；早知饭
要变成屎，何不起初就吃屎。”
实际上，小牧童正是奇妙运用了反证法，驳斥了风水先生否定 事物普遍运动的规律，只强调结果，不要变化过程的形而上学 的错误观点：假设风水先生说的是真理，只强调变化最后的结 果，不要变化过程也可，那么，根据他的逻辑，即可得出先生 起初就应吃屎的荒唐结论。风水先生当然不会承认这个事实了。 那么，显然，他说的就是谬论了。
证明： 反证法：假设∠A，∠B，∠C都大于60度，
那么∠A+∠B+∠C>180度。 这与三角形内角和定理矛盾 所以，假设不成立。 所以，在一个三角形中，至少有一个内角小于或 等于60°。
课堂小结
假 设
反证法教案
反证法教案教学目标：1.了解反证法的概念和基本思想。
2.通过反证法的实例演示，培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
3.能够应用反证法解决实际问题。
教学重点：1.明确反证法的概念和基本思想。
2.学会运用反证法解决实际问题。
教学难点：1.理解反证法的思想和方法。
2.运用反证法解决实际问题。
教学方法：1.讲授法。
2.案例分析法。
教学过程：一、引入教师可以通过以下问题引入反证法：1.当我们想证明一个命题时，有哪些方法可以使用？2.如果一个命题是假的，我们如何证明它是假的？二、讲解反证法的概念和基本思想1.反证法的概念反证法是一种证明方法，它是一种通过假设命题的反面，然后推出矛盾的方法，从而证明原命题是成立的。
2.反证法的基本思想反证法的基本思想是：如果一个命题是假的，那么它的反命题就是真的。
因此，我们可以假设原命题的反面是成立的，然后推导出矛盾，从而证明原命题是成立的。
三、案例演示教师可以通过以下实例演示反证法的应用：例1. 证明：根号2是无理数。
假设根号2是有理数，即根号2=a/b（a、b互质），则有2=a^2/b^2，即a^2=2b^2。
因此，a是偶数，设a=2k，则2b^2=a^2=4k^2，即b^2=2k^2。
因此，b也是偶数，与a、b互质矛盾。
因此，假设不成立，根号2是无理数。
例2. 证明：不存在最大的素数。
假设存在最大的素数p，那么p+1不是素数。
因为p+1是大于1的整数，所以它可以分解成若干个素数的积，即p+1=a1×a2×a3×…×an。
因为p是最大的素数，所以p 不可能是a1、a2、a3、…、an中的任何一个，因此，p+1不可能是素数，与假设矛盾。
因此，假设不成立，不存在最大的素数。
四、课堂练习教师可以让学生通过以下题目练习反证法的应用：1.证明：根号3是无理数。
2.证明：不存在两个相邻的自然数，它们的平方和是完全平方数。
3.证明：不存在有理数x和y，满足x^2=2y^2。
知识点24 反证法、命题与定理2020
一、选择题（2020·德州）8.下列命题：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；③一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形；④对角线相等的平行四边形是矩形.其中真命题的个数是A. 1B. 2C. 3D. 4{答案}B{解析}①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，而一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，故命题①是假命题；②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，是真命题；③一个角为90°且一组邻边相等的平行四边形是正方形，故③是假命题；④对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题.7． （2020·岳阳）下列命题是真命题的是（ ）A ．一个角的补角一定大于这个角B ．平行于同一条直线的两条直线平行C ．等边三角形的是中心对称图形D ．旋转改变图形的形状和大小{答案}B{解析}和为180°的两个角互为补角，所以一个角的补角不一定大于这个角，故选项A 错误；平行于同一条直线的两条直线平行，正确，故选项B 正确；等边三角形绕它的中心旋转180°后不能跟自身重合，所以不是中心对称图形，选项C 错误；旋转前后两个图形全等，不改变图形的形状和大小，所以选项D 错误．9．（2020·深圳）以下说法正确的是（ ）A ．平行四边形的对边相等B ．圆周角等于圆心角的一半C ．分式方程1x －2＝x －1x －2－2的解为x ＝2D ．三角形的一个外角等于两个内角的和 {答案}A{解析}根据平行四边形的性质可知选项A 正确；根据圆周角定理“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”，选项B 错误；去分母得1＝x －1－2（x －2），解得x ＝2，显然x ＝2是增根，选项C 错误；根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，选项D 错误；因此本题选A ．（2020·包头）10、下列命题正确的是（ ）A ．若分式242x x --的值为0，则x 的值为±2 B ．一个正数的算术平方根一定比这个数小C ．若0b a >>，则11aa b b ++＞ D ．若2c ≥，则一元二次方程223x x c ++=有实数根{答案}D{解析}说明一个命题是假命题时，经常采用的一种方法是列举一个它的反例不成立，即可.分式的值为0时，需要满足分子等于0，分母不为0 .因此当x=2时分母为0 ，无意义，故选项A 错误；一个正数的算术平方根不一定比这个数小，如1的算术平方根是1，等于它本身,0.04的算术平方根是0.2，比本身的数大.故选项B 错误；取2>1>0，11122213+<=+，故选项C 错误.一元二次方程223x x c ++=的根的判别式44(3)48c c ∆=--=-.当2c ≥时，0∆≥，所以方程有实数根.故选项D 正确.故选D.8．（2020·昆明）下列判断正确的是（ ）A.北斗系统第五十五颗导航卫星发射前的零件检查，应选择抽样调查B.一组数据6，5，8，7，9的中位数是8C.甲、乙两组学生身高的方差分别为2甲S =2.3，2乙S =1.8，则甲组学生的身高较整齐D.命题“既是矩形又是菱形的四边形是正方形”是真命题{答案}{解析}本题考查了抽样调查、中位数、方差和正方形的判定.解答过程如下：北斗系统第五十五颗导航卫星发射前的零件检查，应选择全面调查，故A 错误；一组数据6，5，8，7，9，重新排列为5，6，7，8，9，∴中位数是7，故B 错误；甲、乙两组学生身高的方差分别为2甲S =2.3，2乙S =1.8，∴乙组学生的身高较整齐，故C 错误；命题“既是矩形又是菱形的四边形是正方形”是真命题，故D 正确.因此本题选D ．6．（2020·玉林）下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ）A ．对顶角相等B ．两直线平行，同位角相等C ．全等三角形的对应角相等D ．正方形的四个角都相等{答案}B{解析}A 项的逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.这一命题是假命题，故A 不符合题意；B 项的逆命题为：同位角相等，两直线平行.这一命题为真命题，故B 符合题意；C 项的逆命题为：如果两个三角形中有一组对应角相等，那么这两个三角形是全等三角形.这一命题是错误的，这两个三角形可能是相似三角形，故C 不符合题意；D 项的逆命题为：如果一个四边形的四个角都相等，那么该四边形为正方形.这一命题是错误的，这个四边形可能也是矩形，故D 不符合题意.8． （2020•呼和浩特）命题①设△ABC 的三个内角为A 、B 、C 且α＝A +B ，β＝C +A ，γ＝C +B ，则α、β、γ中，最多有一个锐角；②顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形；③从11个评委分别给出某选手的不同原始评分中，去掉1个最高分、1个最低分，剩下的9个评分与11个原始评分相比，中位数和方差都不发生变化．其中错误命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解析】①设α、β、γ中，有两个或三个锐角，若有两个锐角，假设α、β为锐角，则A+B＜90°，A+C＜90°，∴A+A+B+C＝A+180°＜180°，∴A＜0°，不成立，若有三个锐角，同理，不成立，假设A＜45°，B＜45°，则α＜90°，∴最多只有一个锐角，故命题①正确；②如图，菱形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴HG∥EF，HE∥GF，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，∴HE⊥HG，∴四边形EFGH是矩形，故命题②正确；③去掉一个最高分和一个最低分，不影响中间数字的位置，故不影响中位数，但是当最高分过高或最低分过低，平均数有可能随之变化，同样，方差也会有所变化，故命题③错误；综上：错误的命题个数为1，故选：B．为大家整理的资料供学习参考，希望能帮助到大家，非常感谢大家的下载，以后会为大家提供更多实用的资料。
人教版数学九年级上册24.2.1反证法课件
a∥b ，c与a相交. b 求证：c与b也相交.
证明：假设c与b不相交，则c与b平行，
由于直线a∥b ， 那么c与a平行， 这与已知“c与a相交”矛盾.
因此假设不成立
∴ c与b也相交
你能总结出以上这种证明方法的步骤吗?
当一个命题不 易直接证明时 ，可以考虑反
证法
否定结论 推出矛盾
肯定结论
二、反证法的步骤
。
∴ ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° ，
即 ∠A+∠B+∠C>180° 。
这与 三角形的内角和为180°矛盾．假设不成立．
∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. ．
点拨：至少的反面是没有！
注:“至少”、“至多” 型命题常用反证法
即
。
这与____________________________矛盾；
( 4 ) 至少有一个
假设“不是妈妈打破的”
假设 “不是妈妈打破”不成立
【重点】理解反证法的思 维过程和特点。
【难点】运用反证法证题 时，一定要用到假设。
路边苦李
王戎7岁时,与小 伙伴们外出游玩,看 到路边的李树上结满 了果子.小伙伴们纷 纷去摘取果子,只有 王戎站在原地不动.
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
三角形至少有一个角是直角或钝角
三角形至少有一个角是直角或钝角
假设 “不是妈妈打破”不成立
那么过点A 就有两条直线a、b与直线c平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾,假设不成立。
(3)肯定原命题的结论是正确的。
用反证法应注意的事项 :
人教版数学九年级上册24.2.1反证法课件4
谢谢！再见！
大家议一议！ 探我究来4告：诉你（经验之谈）
哪些问题适宜用反证法
1.存在性问题 2.否定性问题 3.唯一性问题 4.至多、至少类问题 5.一些基本命题、基本定理
总之，直接证明比较困难的命题
则在△ABP与△ACP中
拓展应用 这种证明方法与前面的证明方法不同，它是先假设结论不成立(即结论的反面成立)，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，得出与
已知条件、学过的概念、已证明的定理或性质、基本事实矛盾的结果，从而得到原结论的正确.
这这1与说、已明知∠已条1 ≠件知∠∠2A：不P正B≠如确∠，AP图所C以矛∠，盾1，=在假∠设2△.不成A立.BC中，AB=AC，∠APB≠∠APC。 假求设李证子不：是苦P的B，≠即P李C子是甜的，
用反证法证题的一般步骤：
小试身手——运用反证法
探究1：掀起你的盖头来——认识反证法 这种证明方法与前面的证明方法不同，它是先假设结论不成立(即结论的反面成立)，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，得出与
已知条件、学过的概念、已证明的定理或性质、基本事实矛盾的结果，从而得到原结论的正确.
课 题：24.
用反证法证题的一般步骤：
那么，树上的李子还会这么多吗？
这与事实矛盾.说明 李子是甜的这个假设是错 的还是对的？
所以，李子是苦的
假设李子是甜的
那么李子会被过路人摘去 解渴，树上的李子会很少.
事实上树上的李子很多,这与事实相矛盾.
造成矛盾的原因是：假设李子是甜的，这个假设是错误 的，说明原来的结论：路边的李子是苦的是正确的.
反思中成长——收获反证法
同学们，学了这节课， 你们有何体会？
---德国数学家希尔伯特说， 禁止数学家使用反证法， 就象禁止拳击家使用拳头。
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一、选择题
（2020·德州）8.下列命题：
①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；
③一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形；
④对角线相等的平行四边形是矩形.
其中真命题的个数是
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
{答案}B
{解析}①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，而一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，故命题①是假命题；
②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，是真命题；
③一个角为90°且一组邻边相等的平行四边形是正方形，故③是假命题；
④对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题.
7． （2020·岳阳）下列命题是真命题的是（ ）
A ．一个角的补角一定大于这个角
B ．平行于同一条直线的两条直线平行
C ．等边三角形的是中心对称图形
D ．旋转改变图形的形状和大小
{答案}B
{解析}和为180°的两个角互为补角，所以一个角的补角不一定大于这个角，故选项A 错误；平行于同一条直线的两条直线平行，正确，故选项B 正确；等边三角形绕它的中心旋转180°后不能跟自身重合，所以不是中心对称图形，选项C 错误；旋转前后两个图形全等，不改变图形的形状和大小，所以选项D 错误．
9．（2020·深圳）以下说法正确的是（ ）
A ．平行四边形的对边相等
B ．圆周角等于圆心角的一半
C ．分式方程1x －2＝x －1x －2－2的解为x ＝2
D ．三角形的一个外角等于两个内角的和
{答案}A
{解析}根据平行四边形的性质可知选项A 正确；根据圆周角定理“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”，选项B 错误；去分母得1＝x －1－2（x －2），解得x ＝2，显然x ＝2是增根，选项C 错误；根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，选项D 错误；因此本题选A ．
（2020·包头）10、下列命题正确的是（ ）
A ．若分式242
x x --的值为0，则x 的值为±2 B ．一个正数的算术平方根一定比这个数小
C ．若0b a >>，则11
a
a b b ++＞ D ．若2c ≥，则一元二次方程223x x c ++=有实数根
{答案}D
{解析}说明一个命题是假命题时，经常采用的一种方法是列举一个它的反例不成立，即可.分式的值为0时，需要满足分子等于0，分母不为0 .因此当x=2时分母为0 ，无意义，故选项A 错误；一个正数的算术平方根不一定比这个数小，如1的算术平方根是1，等于它本身,0.04的算术平方根是0.2，比本身的数大.故选项B 错误；取2>1>0，11122213
+<=+，故选项C 错误.一元二次方程223x x c ++=的根的判别式44(3)48c c ∆=--=-.当2c ≥时，0∆≥，所以方程有实数根.故选项D 正确.故选D.
8．（2020·昆明）下列判断正确的是（ ）
A.北斗系统第五十五颗导航卫星发射前的零件检查，应选择抽样调查
B.一组数据6，5，8，7，9的中位数是8
C.甲、乙两组学生身高的方差分别为2甲S =2.3，2
乙S =1.8，则甲组学生的身高较整齐
D.命题“既是矩形又是菱形的四边形是正方形”是真命题
{答案}
{解析}本题考查了抽样调查、中位数、方差和正方形的判定.解答过程如下：
北斗系统第五十五颗导航卫星发射前的零件检查，应选择全面调查，故A 错误；
一组数据6，5，8，7，9，重新排列为5，6，7，8，9，∴中位数是7，故B 错误；
甲、乙两组学生身高的方差分别为2甲S =2.3，2乙S =1.8，∴乙组学生的身高较整齐，故C 错误；
命题“既是矩形又是菱形的四边形是正方形”是真命题，故D 正确.
因此本题选D ．
6．（2020·玉林）下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ）
A ．对顶角相等
B ．两直线平行，同位角相等
C ．全等三角形的对应角相等
D ．正方形的四个角都相等
{答案}B
{解析}A 项的逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.这一命题是假命题，故A 不符合题意；B 项的逆命题为：同位角相等，两直线平行.这一命题为真命题，故B 符合题意；C 项的逆命题为：如果两个三角形中有一组对应角相等，那么这两个三角形是全等三角形.这一命题是错误的，这两个三角形可能是相似三角形，故C 不符合题意；D 项的逆命题为：如果一个四边形的四个角都相等，那么该四边形为正方形.这一命题是错误的，这个四边形可能也是矩形，故D 不符合题意.
8．（2020•呼和浩特）命题①设△ABC的三个内角为A、B、C且α＝A+B，β＝C+A，γ＝C+B，则α、β、γ中，最多有一个锐角；②顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形；③从11个评委分别给出某选手的不同原始评分中，去掉1个最高分、1个最低分，剩下的9个评分与11个原始评分相比，中位数和方差都不发生变化．其中错误命题的个数为（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解析】①设α、β、γ中，有两个或三个锐角，
若有两个锐角，假设α、β为锐角，则A+B＜90°，A+C＜90°，
∴A+A+B+C＝A+180°＜180°，∴A＜0°，不成立，
若有三个锐角，同理，不成立，假设A＜45°，B＜45°，则α＜90°，
∴最多只有一个锐角，故命题①正确；
②如图，菱形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴HG∥EF，HE∥GF，∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，∴HE⊥HG，∴四边形EFGH是矩形，故命题②正确；
③去掉一个最高分和一个最低分，不影响中间数字的位置，故不影响中位数，但是当最高分过高或最低
分过低，平均数有可能随之变化，同样，方差也会有所变化，故命题③错误；
综上：错误的命题个数为1，故选：B．。