专题24 反证法、命题与定理(教师版)

一、选择题

（2020·德州）8.下列命题：

①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；

②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；

③一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形；

④对角线相等的平行四边形是矩形.

其中真命题的个数是

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

{答案}B

{解析}①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，而一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，故命题①是假命题；

②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，是真命题；

③一个角为90°且一组邻边相等的平行四边形是正方形，故③是假命题；

④对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题.

7． （2020·岳阳）下列命题是真命题的是（ ）

A ．一个角的补角一定大于这个角

B ．平行于同一条直线的两条直线平行

C ．等边三角形的是中心对称图形

D ．旋转改变图形的形状和大小

{答案}B

{解析}和为180°的两个角互为补角，所以一个角的补角不一定大于这个角，故选项A 错误；平行于同一条直线的两条直线平行，正确，故选项B 正确；等边三角形绕它的中心旋转180°后不能跟自身重合，所以不是中心对称图形，选项C 错误；旋转前后两个图形全等，不改变图形的形状和大小，所以选项D 错误．

9．（2020·深圳）以下说法正确的是（ ）

A ．平行四边形的对边相等

B ．圆周角等于圆心角的一半

C ．分式方程1x －2＝x －1x －2－2的解为x ＝2

D ．三角形的一个外角等于两个内角的和

{答案}A

{解析}根据平行四边形的性质可知选项A 正确；根据圆周角定理“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”，选项B 错误；去分母得1＝x －1－2（x －2），解得x ＝2，显然x ＝2是增根，选项C 错误；根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，选项D 错误；因此本题选A ．

（2020·包头）10、下列命题正确的是（ ）

A ．若分式242

x x --的值为0，则x 的值为±2 B ．一个正数的算术平方根一定比这个数小

C ．若0b a >>，则11

a

a b b ++＞ D ．若2c ≥，则一元二次方程223x x c ++=有实数根

{答案}D

{解析}说明一个命题是假命题时，经常采用的一种方法是列举一个它的反例不成立，即可.分式的值为0时，需要满足分子等于0，分母不为0 .因此当x=2时分母为0 ，无意义，故选项A 错误；一个正数的算术平方根不一定比这个数小，如1的算术平方根是1，等于它本身,0.04的算术平方根是0.2，比本身的数大.故选项B 错误；取2>1>0，11122213

+<=+，故选项C 错误.一元二次方程223x x c ++=的根的判别式44(3)48c c ∆=--=-.当2c ≥时，0∆≥，所以方程有实数根.故选项D 正确.故选D.

8．（2020·昆明）下列判断正确的是（ ）

A.北斗系统第五十五颗导航卫星发射前的零件检查，应选择抽样调查

B.一组数据6，5，8，7，9的中位数是8

C.甲、乙两组学生身高的方差分别为2甲S =2.3，2

乙S =1.8，则甲组学生的身高较整齐

D.命题“既是矩形又是菱形的四边形是正方形”是真命题

{答案}

{解析}本题考查了抽样调查、中位数、方差和正方形的判定.解答过程如下：

北斗系统第五十五颗导航卫星发射前的零件检查，应选择全面调查，故A 错误；

一组数据6，5，8，7，9，重新排列为5，6，7，8，9，∴中位数是7，故B 错误；

甲、乙两组学生身高的方差分别为2甲S =2.3，2乙S =1.8，∴乙组学生的身高较整齐，故C 错误；

命题“既是矩形又是菱形的四边形是正方形”是真命题，故D 正确.

因此本题选D ．

6．（2020·玉林）下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ）

A ．对顶角相等

B ．两直线平行，同位角相等

C ．全等三角形的对应角相等

D ．正方形的四个角都相等

{答案}B

{解析}A 项的逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.这一命题是假命题，故A 不符合题意；B 项的逆命题为：同位角相等，两直线平行.这一命题为真命题，故B 符合题意；C 项的逆命题为：如果两个三角形中有一组对应角相等，那么这两个三角形是全等三角形.这一命题是错误的，这两个三角形可能是相似三角形，故C 不符合题意；D 项的逆命题为：如果一个四边形的四个角都相等，那么该四边形为正方形.这一命题是错误的，这个四边形可能也是矩形，故D 不符合题意.

8．（2020•呼和浩特）命题①设△ABC的三个内角为A、B、C且α＝A+B，β＝C+A，γ＝C+B，则α、β、γ中，最多有一个锐角；②顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形；③从11个评委分别给出某选手的不同原始评分中，去掉1个最高分、1个最低分，剩下的9个评分与11个原始评分相比，中位数和方差都不发生变化．其中错误命题的个数为（）

A．0个B．1个C．2个D．3个

【解析】①设α、β、γ中，有两个或三个锐角，

若有两个锐角，假设α、β为锐角，则A+B＜90°，A+C＜90°，

∴A+A+B+C＝A+180°＜180°，∴A＜0°，不成立，

若有三个锐角，同理，不成立，假设A＜45°，B＜45°，则α＜90°，

∴最多只有一个锐角，故命题①正确；

②如图，菱形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，

∴HG∥EF，HE∥GF，∴四边形EFGH是平行四边形，

∵AC⊥BD，∴HE⊥HG，∴四边形EFGH是矩形，故命题②正确；

③去掉一个最高分和一个最低分，不影响中间数字的位置，故不影响中位数，但是当最高分过高或最低

分过低，平均数有可能随之变化，同样，方差也会有所变化，故命题③错误；

综上：错误的命题个数为1，故选：B．