数理方程与特殊函数试卷(10-11-2A)

5，波动方程初值问题：()()⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<-∞∂∂=∂∂==,,,0,,10002

222x t u x u t x x u

t u t t ϕϕ在t x -平面上，点()1,0在初始轴

0=t 上的依赖区间是 ；初始轴0=t 上点)1,0(的影响区域是 。

6，二阶线性偏微分方程()02y 314292222222=∂∂++∂∂+∂∂∂---∂∂x u x y u y x u y x x

u ，当

时，是椭圆型方程，当 时，是双曲型方程。

7，Legendre 方程0122)1(2

22

=+--y dx dy

x dx

y d x 的通解()()x Q C x P C y 21+=，则第一类 Legendre 函数()=x P ；其Rodrigues 表达式为 ； 而第二类Legendre 函数()x Q 在闭区间[]1,1-上是 。 8，对于Legendre 多项式()x P n 有：()()⎰

-=1

1

dx x P x P n m ；由此可知，若函

数()x f 可以展开为()(),11,0

<<-=∑∞

=x x P C x f n n

n

则=n

C

。

二、（本题10分）求解初值问题：⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=∂∂==∂∂-∂∂∂-∂∂==.0,3,031320202

2222t t t u x u x u

x t u t u

三、（本题20分）求解非齐次波动方程初边值问题：

⎪

⎩⎪

⎨⎧≤≤==>==><<=--====.

0,0,sin ,0,0,0,0,0,sin 62000πππx u x u t u u t x x e u u u t t t x x t t xx tt

四、（本题10分）用Fourier 积分变换法求解初值问题：

()⎪⎩⎪⎨

⎧==>ℜ∈===.

0,,0,,002

t t t xx tt

u x u t x u a u ϕ

五、（本题10分）设()000,y x M 是半平面0>y 内一点，1M

是0M 关于-x 轴的对称点，对()y x M ,，证明函数

()1ln MM r M v = 满足该半平面内的Dirichlet 问题：⎪⎩⎪⎨⎧=>=∇==.ln ,

0,000

2

0y MM y r v y v

六、（本题10分）半径为1的薄均匀圆盘内温度分布情况可归结为求

解定解问题：()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==><≤∂∂+

∂∂=∂∂==.10,,0,0,10),1(01

22

2r r u

u t r r u r r

u a t u t r ϕ 根据物理意义，写出此问题的自然条件并求出满足方程和边界条件的变量被分离的特解。