_实际问题与一元二次方程(利润问题)
人教版九年级上册实际问题与一元二次方程利润问题优秀ppt
练习1、 某种服装,平均每天可销售20件,每件盈 利44元.若每件降价1元,则每天可多售5件.如 果每天盈利1600元,应降价多少元?
等量关系是:每件服装的利润 每天售出的数量=1600 分析:若设每件服装降价x元,每件盈利(_4_4___x_) 元,每天 能售出(_2_0__5_x_)件.
解: 设每件服装应降价 x元,根据题意,得 (44 x)(20 5x) 1600.
均每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，每件衬衫
解应：降⑴价设多每少件元衬？ 衫（ 2应）降每价天x衬元衫 降⑵价设多 商少 元场时平，均商每场天平盈利
根据均题每意天得盈：利最多？
为y元
（40-x）（20+2x）=1200 则：y= （40-x）（20+2x）
∴ x2-30x+200=0 解之得：x1=10, x2=20 而商场为了尽快减少库存
解: 设每件衬衫应降价 x元,根据题意,得
(40 x)(20 2x) 1200.
整理得 : x2 30 x 200 0. 解这个方程 ,得
x1 20, x2 10. 20 2x 60,或20 2x 40.
答 :为了尽快减少库存 ,应降价20元.
3.某个体经营户以2元/千克的价格购进一批西瓜，以3元 /千克的价格出售，每天可卖出200千克，为了促销，该 经营户决定降价销售。经调查发现这种西瓜每降价0.1 元/千克 ,每天可多售出40千克（每天房租等费用共计 24元），该经营户要想赢利200元，应将每千克的西瓜 的售价降低多少元？
例1: 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,
平均每月能售出600个.市场调研表明:当销售价
为每上涨1元时,其销售量就将减少10个.商场要
《实际问题与一元二次方程2-销售利润问题》
一元二次方程标准形式及解法
一元二次方程的标准形式
01
$ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a neq 0$。
解法
02
一元二次方程的解法包括因式分解法、完全平方公式法和公式
法（韦达定理）。
公式法中的求根公式
03
$x = frac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
判别式与根个数关系
结果展示
将求解得到的最优产品价格和销售量组合进行展示，并计算出对应的最大销售利润。
结果解释
对求解结果进行详细解释，说明最优组合是如何实现销售利润最大化的。
讨论与局限性
讨论模型的适用性和局限性，以及在实际应用中可能遇到的问题和解决方案。例如，市场 需求变化、竞争对手策略调整等因素可能对最优组合产生影响，需要企业根据实际情况进 行调整和优化。
04 建立销售利润问题数学模 型
确定未知数和参数
未知数设定
通常将我们需要求解的量设为未知数 ，如销售量、销售单价、成本等。
参数设定
除了未知数外，问题中还会给出一些 已知条件或参数，如固定成本、单位 变动成本、销售价格等。
根据实际问题建立方程
利润公式
利润 = （销售单价 - 单位成本） × 销售量 - 固定成本。
求解过程
按照所选解法逐步求解方程，得出未知数的值。在求解过程中，需要注意计算准 确性和步骤规范性。
05 案例分析：某企业销售利 润最大化问题
案例背景介绍
企业基本情况
目标市场与消费者需求
某企业是一家生产并销售家居用品的 公司，近年来面临市知名度等方面有较 高要求。
06 总结与展望
本文主要工作及成果总结
学会列一元二次方程解决有关销售利润问题教学设计
学会列一元二次方程解决有关销售利润问题教学设计
一复习回顾
1我们学过的有关销售利润问题中常见的量有哪些？它们之间有怎样的数量关系？
常见的几个量有：进价，售价，销售量、利润，利润率.
数量关系：单件利润 =单件售价-单件进价
商品总利润=总收入-总成本
※=单件利润*销售量
利润率= 售价−进价
*100%
进价
2根据题意填空
（1）某种电器，每件进价a元，售价b元，则销售这种电器每件的利润为元 .
（2）某种月饼，每盒进价a元，原售价b元，如果每盒降价c元销售，则降价后这种月饼每盒的利润为元.
（3)某种月饼，每盒进价a元，原售价b元，如果每盒升价c元销售，则升价后这种月饼每盒的利润为元.
(4)某商人将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，则1件利润是
____元 ;若每天可销出100件,则一天的总利润是______元.
二新课讲授
例1：某超市将购进一批单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品要涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少？
解：设每个商品涨价x元
由题意，得 (50+x－40)(500－10x)=8000，
整理得 x2－40x+300=0，
解得x1=10，x2=30。
21.3实际问题与一元二次方程——利润问题
思考：这两个根都可以取吗？
探究1 ：
某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销量， 增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果 每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件。若商场平均每天销售这种衬衫 的盈利要达到1200元，每件衬衫应降价多少元？
练习：
2、某童装大世界在销售中发现：“宝宝乐”牌童装平均每天可售出20
件，每件盈利40元. 为了迎接”六一”儿童节，尽快减少库存,商场决定
采取适当的降价措施经调查发现,如果每件童装降价0.5元，那么平均每
天就可多售出4件. 要想平均每天盈利1200元,那么每件童装应该降价多
少元?
每件童装降价1元，多售出
润为 500 元。
所用等量关系为 单件利润×数量=总利润 。
探究1 ：
某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销量， 增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果 每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件。若商场平均每天销售这种衬衫 的盈利要达到1200元，每件衬衫应降价多少元？
分析：每件衬衫降价0.5元，多售出5件，销售量为 （20+5）件；
每每件件衬衬衫衫降降价价1x元元，，多多售售出出05.55 =1x0件件，，销销售售量量为为（（2200++
5） 05.5x）
件 件
0.5
0.5
练习：
1、某童装大世界在销售中发现：“宝宝乐”牌童装平均每天可售出20
件，每件盈利40元. 为了迎接”六一”儿童节，尽快减少库存,商场决定
教学重点： 列一元二次方程解利润问题应用题.
一元二次方程实际应用之利润问题
(a-21)(350-10a)=450
1、某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,若每 件商品售价为x元,则每天可卖出(350-10x)件,但物价局限 定每件商品加价不能超过进价的20%.商店要想每天赚400 元,需要卖出多少件商品?每件商品的售价应为多少元?
例2 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天 可销售出20件，每件盈利40元，经调查发 现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均 每天可多售出2件．若商场平均每天要盈 利1200元，每件衬衫应降价多少元？
等量关系是:每件服装的利润 每天售出的数量=1600
分析:若设每件服装降价x元,每件盈利(_4_4 _ _x)__元,每天
能售出_(_20__5_x_)件.
规定 ： 利润 = 售价 - 进价 5.利润率：利润占进价的百分率，即利润率 = 利润÷进价×100﹪ 6.打折：卖货时，按照标价乘以十分之几或百分之几十，则称
将标价进行了几折.或理解为：销售价占标价的百分率. 例如某种服装打 8 折即按标价的百分之八十出售，或 按标价的十分之八出售
• 例1、某商场从厂家以每件21元的价格购进 一批商品，若每件的售价为a元，则可卖出 （350—10a）件，商场计划要赚450元，则 每件商品的售价为多少元？
解：设每件衬衫应降价 x 元，根据题 意，得
（40－x）（20＋2x）＝1200．
整理得：x2－30x＋200＝0． 解得，x1＝10，x2＝20． 答：每件衬衫应降价 10 元或 20 元．
• 引例3某商店经销一种销售成本为每千克40元的 水产品，椐市场分析，若按每千克50元销售，一 个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售 量就减少10千克。针对这种水产品的销售情况， 要使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多
一元二次方程与实际问题--利润问题
总利润为 （41-30）×（60-(41-40）） 元。
Байду номын сангаас
4、当售价为x元时，单利为 x-30 元，销量为 60-(x-40) 件，
总利润为 （x-30）×（60-(x-40））
元。
阿克苏市第四中学
精讲实练 例：某电脑批发店的一款鼠标垫现在的售价为每 个30元，每天可卖出100个．经市场调查反映，每 涨价2元，每天要少卖出20个．已知进价为每个20 元，当鼠标垫的售价为多少元/个时，这天的利润 为960元．
阿克苏市第四中学
归纳小结
知识点 列一元二次方程解应用题的一般步骤 (1)审：审题； (2)设：设未知数，设未知数的方法有直接设
和间接设； (3)列：根据题中的等量关系列方程； (4)解：解所列方程； (5)验：检验方程的根是否符合题意； (6)答：回答题目中要解决的问题．
阿克苏市第四中学
作业布置 练习题1、2、3
阿克苏市第四中学
谢谢！
阿克苏市第四中学
精讲实练 例：某电脑批发店的一款鼠标垫现在的售价为每个 30元，每天可卖出100个．经市场调查反映，每 涨 降 价2元，每天要 多少卖出20个．已知进价为每个20元 ，当鼠标垫的售价为多少元/个时，这天的利润为 960元．
阿克苏市第四中学
变式练习 变式1：某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小 型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千 克．为了减少库存，该经营户决定降价销售．经调 查发现，这种小型西瓜每千克每降价0.1元，每天可 多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24 元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型 西瓜的售价降低多少元． （只列方程）
一元二次方程与实际问题 -----利润问题
实际问题与一元二次方程(利润问题、表格问题和动点问题)2022-2023学年九年级数学上册(人教版)
4）解：解方程；
5）验：根据实际验结果；
6) 答：写出答案。
九年级学生小明在暑假期间进行勤工俭学.
问题一：他每天在村上以每斤2.5元买进黄瓜，到市场以每斤4元卖掉黄瓜，那么
他卖1斤黄瓜的利润是
1.5 元；
问题二：如果他每天买进并卖完300斤黄瓜，则他每天销售利润是
售价-进价=单件利润
解得，x1=40，x2=70
当x=40时， [800-10（x-30）]=800-10 （40-30）=700 >500
当x=70时， [800-10（x-30）]=800-10 （70-30）=400 <500（不符合题意，舍去）
结合题目内容，你觉得这两个结果都符合题意吗？
（利用一元二次方程解决表格问题）
如果设提价x元，你能根据提示信息列出方程吗？
（10+x）（800-20x）=12000
利用一元二次方程解决利润问题
某工厂生产的某种产品按供需要求分为十个档次．若生产第一档次（最低档次）的产品，一
天可生产76件，每件的利润为10元，每提高一个档次，每件的利润增加2元，每天的产量将
减少4件．设产品的档次（每天只生产一个档次的产品）为x，请解答下列问题．
当运动时间为4s时，P，Q两点的距离为多少？
x=2时，由运动知AP＝3×2＝6 cm，CQ＝2×2＝4 cm，
∴四边形ABCD是矩形，
3x
∴QE＝AD＝6，
∴PE＝AB﹣BE﹣AP＝16﹣6﹣4＝6，
根据勾股定理得PQ=
+
= ,
∴当x＝2 s时，P，Q两点的距离为6 cm；
16-5x
Q两点之间的距离是10cm？
九年级数学 实际问题与一元二次方程--利润问题
（2)在不改变上述关系的情况下，请你帮助商场经理策划每件 商品定价为多少元时，每日盈利可达到1600元？
生活有关一元二次方程的利润问题
例2：百佳超市将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖 500个，已知该商品要涨价1元，其销售量就要减少10个，为 了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？
分析：设商品单价为（50+x)元,则每个商品得利润[（50+x) —40]元， 因为每涨价1元，其销售会减少10，则每个涨价x元，其销售量会减少 10 x个，故销售量为（500 —10 x）个，根据每件商品的利润×件数 =8000，则应用（500 —10 x）·[（50+x) —40]=8000
解：设每个商品涨价x元，则销售价为（50+x)元，销售量为（500 —10 x）个， 则（500 —10 x）·[（50+x) —40]=8000，整理得 x2 40 x 300 0,
解得 x1 10, x2 30都符合题意。
当x=10时,50+ x =60，500 —10 x=400；
当 x=30时，50+ x =80， 500 —10 x=200。
解：(1)100×(100－80)＝2000(元)． 答：原来一天可获利润 2000 元． (2)设每件商品应降价 x 元，由题意，得 (100－80－x)(100＋10x)＝2160， 即 x2－10x＋16＝0. 解得 x1＝2，x2＝8. 答：商店经营商品一天要获利 2160 元，每件商品应降价 2 元或 8 元．
第21章一元二次方程
21.3实际问题与一元二次方程
复习：
1、一支钢笔的进价为5元，售价为9元，
则一支钢笔获利__4____元。 2、如果购买了10支钢笔则获利__4_0__元。
九年级数学上册(人教版)21.3实际问题与一元二次方程(利润问题、表格问题和动点问题)优秀教学案例
5.结合评价结果，调整教学策略，为下一步教学提供参考。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用现实生活中的案例，如购物时的折扣问题，引导学生思考图片、动画等形式，直观地呈现动点问题，让学生感受到数学与生活的紧密联系。
（五）作业小结
1.布置具有实际意义的作业，让学生运用所学知识解决生活中的问题。
2.要求学生撰写解题思路和心得体会，培养学生的数学写作能力。
3.鼓励学生进行自我检查和小组互评，提高学生的自我认知和反思能力。
4.教师对学生的作业进行批改和评价，及时了解学生的学习情况，为下一步教学提供参考。
五、案例亮点
1.情境创设贴近生活：本案例背景以现实生活中的实际问题为导入，创设了与学生生活密切相关的教学情境，如购物折扣、企业经营等，使学生在解决问题的过程中，能够更好地理解和运用一元二次方程的知识。这种情境创设的方式，不仅激发了学生的学习兴趣，还增强了学生运用数学知识解决实际问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣，激发学生学习数学的积极性。
2.培养学生勇于挑战、克服困难的意志，增强学生自信心。
3.培养学生严谨治学的态度，提高学生对数学知识的敬畏之心。
4.培养学生关爱他人、合作共赢的精神，学会与人沟通交流。
5.培养学生关注生活、学以致用的意识，认识到数学在生活中的重要性。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.掌握一元二次方程的基本概念，了解一元二次方程的解法及其应用。
2.能够运用一元二次方程解决实际问题，如利润问题、表格问题和动点问题。
3.理解实际问题与一元二次方程之间的联系，培养将实际问题转化为数学模型的能力。
(完整word版)实际问题与一元二次方程(销售利润问题)
课题：实责问题与一元二次方程〔销售利润问题〕星海中学 潘楚驹【学习目标】 1. 会依照详尽问题中的数量关系列一元二次方程并求解。
2. 能依照问题的实质意义，检验所得结果可否合理。
【重点】掌握依照详尽问题中的数量关系列一元二次方程并求解的方法与步骤。
【难点】研究问题中的数量关系 。
【学习过程】 环节一、【师生研学】 一、课前学生研学( 一 ) 回忆：会找出销售问题中的等量关系 1、填空：⑴、某件商品，进价 4 元，售价 6 元，那么利润为元。
这些数量之间的等量关系为 。
⑵、某件商品进价 35 元，售价为 40 元，共卖出 150 件，总合盈利元这些数量之间的等量关系为 。
⑶、某件商品本钱为30 元，假设想盈利 50%，那么售价应该定为元。
这些数量之间的等量关系为。
⑷、某种衣饰，每 ．降价 1 元，那么每天可多销售 5 件，假设降价x 元，那么每天多售件。
某种衣饰，每．降价 3 元，那么每天可多销售 5 件，假设降价x 元，那么每天多售件。
2、销售中常有的等量关系售价、进价、利润 的关系式：单件利润 = 售价—进价．．进价、利润、利润率 的关系：利润率 = 单件利润100%．．．进价标价、折扣数、商品售价关系: 售价＝ 标价折扣数10售价、进价、利润率 的关系：售价 =进价× (1+ 利润率 )．．．( 二 ) 、研究新知〔 利润问题〕， 列方程解应用题的根本步骤：审，设，列，解，验，作答。
某百货商店衣饰柜在销售中发现：“宝乐〞牌童装平均单件利润销量总利润每天可售出 20 件，每件盈利 40 元。
商场决定采用合适的降价措施， 扩大销售量， 减少库存 ，经市场检查发现：降价前．．．．若是每件童装每降价 1 元，那么平均每天即可多售出2降价后件。
要想平均每天在销售这种童装上盈利 1200 元，那么每件童装应降价多少元？环节二、【难点导学】单件利润销量总利润( 一 ) 、课堂生生交流互评、学生分组显现预习成就，教师谈论。
实际问题与一元二次方程
21.3实际问题与一元二次方程第三课时销售利润问题1.一学校为了绿化校园环境,向某园林公司购买了一批树苗,园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵,每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵,每增加1棵,所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元,但每棵树苗最低售价不得少于100元,该校最终向园林公司支付树苗款8800元,请问该校共购买了多少棵树苗?2. 某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．（1）若该公司当月卖出3部汽车，则每部汽车的进价为万元；（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）3.商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加_________件，每件商品盈利_________元（用含x的代数式表示）；（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？4.山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？，5.某单位于“三•八”妇女节期间组织女职工到温泉“星星竹海”观光旅游．下面是领队与旅行社导游收费标准的一段对话：领队：组团去“星星竹海”旅游每人收费是多少？导游：如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元．领队：超过25人怎样优惠呢？导游：如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元．该单位按旅行社的收费标准组团浏览“星星竹海”结束后，共支付给旅行社2700元．请你根据上述信息，求该单位这次到“星星竹海”观光旅游的共有多少人？6.某公司投资新建了一商场共有商铺30间，据预测，当每间的年租金定为10万元时，可以全部租出，每件的年租金每增加5000元，少租出商铺1间，该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元。
实际问题与一元二次方程(五)销售利润问题(课件)数学九年级上册(人教版)
1.某种电器，每件进价a元，售价b元，则销售这种电器每件的利润
为(b-a) 元.
2.某种月饼，每盒进价a元，原售价b元，如果每盒降价c元销售，则降
价后这种月饼每盒的利润为 (b-a-c)元.
3.某种月饼，每盒进价a元，原售价b元，如果每盒升价c元销售，则升
价后这种月饼每盒的利润为 (b-a+c元).
每千克土特产售价(单位：元) 可供出售的土特产质量(单位：克)
现在出售
_____1__0_______
2000
x天后出售
__1__0_+__0__._4_x____
____2_0__0_0__-_5__x____
（2）将这批土特产贮藏多少天后一次性出售最终可获得总利润30800元？
例5.某地农产品专卖店收购了一种非常受欢迎的土特产，该店以8元/千克收 购了这种土特产2000千克，若立即销往外地，每千克可以获利2元．根据市 场调查发现，该种土特产的销售单价每天上涨0.4元/千克，为了获得更大利 润，该店决定先贮藏一段时间后再出售．根据以往经验，这批土特产的贮藏 时间不宜超过60天，在贮藏过程中平均每天损耗5千克． （2）将这批土特产贮藏多少天后一次性出售最终可获得总利润30800元？
【分析】（1）设这个月每件玩偶的销售价为x元，利用
每件的销售价增加1元，则每个月的销售量将减少10件， 该超市某月销售可以表示为__3_0_0_-_1_0_(_x_-_7_0_)_，
列方程:
300-10(x-70)=200
例1.冰墩墩是2022年北京冬奥会的吉祥物，冰墩墩造型的玩偶非常畅销．某 超市经销一种冰墩墩的玩偶，每件成本为60元．经市场调研，当该玩偶每件 的销售价为70元时，每个月可销售300件，若每件的销售价增加1元，则每个 月的销售量将减少10件． (1)若该超市某月销售这种造型玩偶200件，求这个月每件玩偶的销售价． (2)若该超市某月销售这种造型玩偶获得利润4000元，求这个月每件玩偶的 销售价．
实际问题与一元二次方程课件利润问题
利润最小化方案通常需要考虑产 品定价、成本等因素，通过合理 的定价和成本控制来实现利润最
小化。
在制定利润最小化方案时，需要 考虑市场需求和竞争环境，不能 只追求短期的利润最小化而忽视
了长期的发展。
利润均衡方案
利润均衡方案是指企业在追求利润来自同时，也要考虑社会责任和可持续发展等因素 ，实现利润和社会责任的均衡发展。
详细描述
投资回报率问题通常涉及到本金、利率和时间等因素。假设本金为P，年利率为 r，时间为t年，预期的投资回报率可以通过一元二次方程计算得出：F = P(1 + r/n)^(nt)，其中n为每年计息次数。
案例二：生产成本问题
总结词
生产成本问题涉及到原材料、人工和 制造成本等多个方面，通过一元二次 方程可以建立成本与产量的关系模型 。
分析解的合理性
根据实际情况和问题背景，分析解的 合理性，排除不合逻辑或不可能的解 。
验证一元二次方程模型的正确性
检验解是否符合实际情况
将解代入原问题中，检验是否符合实际情况和问题背景。
比较模型预测与实际结果
将模型预测的结果与实际结果进行比较，评估模型的准确性 和适用性。
05
利润问题的解决方案
利润最大化方案
利润最大化方案是指通过各种手段和 策略，使企业的利润达到最大化的方 案。
在制定利润最大化方案时，需要考虑 长期和短期的利益，不能只追求短期 的利润最大化而忽视了长期的发展。
利润最大化方案通常需要考虑市场需 求、产品定价、成本等因素，通过合 理的定价和成本控制来实现利润最大 化。
利润最小化方案
利润最小化方案是指通过各种手 段和策略，使企业的利润达到最
企业在制定投资决策时，需要评估投 资项目的风险和收益，通过合理配置 投资资源，实现利润的最大化。
实际问题与一元二次方程(第二课时面积问题销售利润问题)(原卷版)
九年级数学上分层优化堂堂清二十一章 一元二次方程第二课时 面积问题，销售利润问题学习目标：1.根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程。
2.通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识。
老师对你说：1.几何面积问题：利用勾股定理建立一元二次方程。
利用面积公式建立二元一次方程。
2.销售利润问题：总利润＝单利润×数量现单利润＝原单利润＋涨价部分（－降价部分）现数量＝原数量－变化基数涨价基础涨价部分⨯（原数量＋变化基数降价基础降价部分⨯） 3.数字问题(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a ，十位上数为b ，百位上数为c ，则这个三位数可表示为：100c+10b+a.(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.教材核心知识点精练知识点1：几何图形问题【例1-1】如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料，鸡舍的一边利用长为12米的墙，另外三边用长为27米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门，所围成矩形鸡舍的长、宽分别是多少时，鸡舍面积为90平方米？【例1-2】如图，矩形ABCD中，6cmAB=，8cmBC=，点P从A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度，同时出发，求经移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别是从A B过几秒时，(1)PBQ的面积等于8平方厘米？(2)五边形APQCD的面积最小？最小值是多少？知识点2：数字问题【例2-1】阅读材料，回答下列问题：反序数：有这样一对数，一个数的数字排列完全颠倒过来变成另一个数，简单的说，就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数称为“反序数”，比如：12的反序数是21，456的反序数是654．用方程知识解决问题：若一个两位数，其十位上的数字比个位上的数字大3，这个两位数与其反序数之积为1300，求这个两位数．【例2-2】下图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，l3，14，l5，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（）．A．32B．126C．135D．144知识点3：销售利润问题【例3-1】水果批发市场有一种高档水果，如果每千克盈利(毛利)10元，每天可售出600kg．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20kg．(1)若以每千克能盈利17元的单价出售，求每天的总毛利润为多少元；(2)现市场要保证每天总毛利润为7500元，同时又要使顾客得到实惠，求每千克应涨价多少元；(3)现需按毛利润的10%缴纳各种税费，人工费每日按销售量每千克支出1.5元，水电房租费每日300元．若每天剩下的总纯利润要达到6000元，求每千克应涨价多少元．【例3-2】2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数？(2)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？能力强化提升训练1 .某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过x 度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过x 度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度100x 元交费． (1) 该厂某户居民1月份用电90度，超过了x 度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含x 的代数式表示）(2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的x 度是多少．2 .某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000kg ，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且率为x ．(1)则今年南瓜的种植面积为________亩；今年南瓜亩产量为_______kg （用含x 的代数式表示）(2)今年南瓜的总产量为60000kg ，求南瓜亩产量的增长率．3.甲、乙两工程队共同承建某高速路隧道工程，隧道总长2000米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米，隧道施工成本为6万元；乙每合格完成1米，隧道施工成本为8万元．（1）若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的43，求甲最多施工多少米？ （2）实际施工开始后因地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m 万元时，则每天可多挖12m 米，乙因特殊地质，在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖14m 米，若最终每天实际总成本比计划多（11m -8）万元，求m 的值． 4 .解读诗词(通过列方程算出周瑜去世时的年龄)：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？诗词大意：周瑜三十岁当东吴都督，去世时的年龄是两位数，十位数字比个位数字小三，个位数字的平方等于他去世时的年龄．堂堂清 一、选择题（每小题4分，共32分） 1.有一个两位数，个位数字与十位数字之和为8，把它的个位数字与十位数字对调，得到一个新数，新数与原数之积为1855，则原两位数是（ ）A ．35B ．53C ．62D ．35或532. 修建一个面积为 100 平方米的矩形花园，它的长比宽多 10 米，设宽为 x 米，可列方程为 （ ） A ．()10100x x -=B ．()2210100x x +-=C ．()2210100x x ++=D ．()10100x x +=3 .某网店销售一批运动装，平均每天可销售20套，每套盈利45元；为扩大销售量，增加盈利，采取降价措施，一套运动服每降价1元，平均每天可多卖4套，若网店要获利2100元，设每套运动装降价x 元，则列方程正确的是（ ）A ．()()452042100x x -+=B ．()()452042100x x ++=C ．()()452042100x x --=D ．()()452042100x x +-=4 .如图，要设计一幅宽20cm 、长30cm 的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2:3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，则横彩条和竖彩条的宽度分别是（ ）A ．2cm 和3cmB ．1cm 3和1cm 2C ．5cm 3和5cm 2D ．2cm 5和3cm 5 5 .某餐厅主营盒饭业务，每份盒饭的成本为12元．若每份盒饭的售价为16元，每天可卖出360份．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出40份．若该餐厅想让每天盒饭业务的利润达到1680元，设每份盒饭涨价x 元，则符合题意的方程是（ ）A ．(1612)(36040)1680x x +--=B ．(12)(36040)1680x x --=C ．(12)[36040(16)]1680x x ---=D ．(1612)[36040(16)]1680x x +---=6 .如图，将一张正方形铁皮的四个角同时切去边长为2的四个小正方形，制成一个无盖箱子，若箱子的底面边长为x ，原正方形铁皮的面积为224x x +，则无盖箱子的外表面积为（ ）A ．1B ．4C ．6D ．97.为加快推动生态巩义建设步伐，形成“城在林中、园在城中、山水相依，林路相随”的生态格局，市政府计划在某街心公园的一块矩形空地上修建草坪，如图，矩形长为40m ，宽为30m ，在矩形内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为2816m ，道路的宽度应为多少设矩形地块四周道路的宽度为x m ，根据题意，下列方程不正确的是（ ）A ．()2120080604816x x x -+-=B ．()()4030816x x --=C ．()()402302816x x --=D ．()8023021200816x x x +-=- 8 .《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少？利用方程思想设矩形门宽为x 尺，则依题意所列方程为（ ）（1丈10==10尺，1尺10==10寸）A ．222( 6.8)10x x ++=B ．()2226.8100x x +-=C．()222x x+-=D．2226.810x+=6.8100二、填空题（每小题4分，共20分）9 .如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路，其余部分作为耕地为10 .已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个，将BCP沿BP三、解答题（共48分）14 .（8分）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个,因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，定价为多少元？15 .（8分）有一块长32cm、宽14cm的矩形铁皮．(1)如图1，如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为2280cm的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长；(2)由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图2所示的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，问能否折出底面积为2180cm的有盖盒子？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由．16.（8分）如图，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为15米，花圃一面利用墙，其余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米．(1)若围成的花圃面积为40平方米时，求BC的长；(2)围成的花圃面积能否为75平方米，如果能，请求BC的长；如果不能，请说明理由．17 .（8分）某网店专门销售某种品牌的工艺品，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)如果规定每天工艺品的销售量不低于240件且有盈利，销售单价x应定在什么范围？(3)如果在（2）的条件下，网店每天销售利润为3750元，求该种工艺品销售单价是多少元？18 .（8分）阅读材料，回答下列问题：反序数：有这样一对数，一个数的数字排列完全颠倒过来变成另一个数，简单的说，就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数称为“反序数”，比如：12的反序数是21，456的反序数是654．用方程知识解决问题：若一个两位数，其十位上的数字比个位上的数字大3，这个两位数与其反序数之积为1300，求这个两位数．19 .（8分）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形……按此规律排列下去，解答下列问题：（1）第5个图案中黑色三角形的个数有个．（2）第n个图案中黑色三角形的个数能是50个吗？如果能，求出n的值；如果不能，试用一元二次方程的相关知识说明道理．1.今年某村农产品喜获丰收，该村村委会在网上直播销售A、B两种优质农产品礼包．(1)已知今年7月份销售A种农产品礼包256包，8、9月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，9月份的销售量达到400包．若设8、9两个月销售量的月平均增长率为x，求x的值；(2)若B种农产品礼包每包成本价为16元，当售价为每包30元时，每月销量为200包．为了尽快减少库存，该村准备在10月进行降价促销，经调查发现，若B种农产品礼包每包每降价1元，月销售量可增加20包，当B种农产品礼包每包降价多少元时，该村销售B种农产品礼包在10月份可获利2860元?2.某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算，第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12 ．经过三年治理，境内长江水质明显改善．（1）求的n值；（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；。
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1、审清题意，找出等量关系式是列方程的关键. 2、销售问题基本关系式有：
分析:每个台灯的销售利润×平均每月台灯的销售量
=10000元
售价应定为x元，则每个台灯的销售利润为__x___3_0__元;
平均每月的销售量为_6__0_0__1_0_(_x___4_0_)_个。
某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每月
能售出600个.市场调研表明:当销售价每上涨1元时, 其销售量就将减少10个.商场要想销售利润平均每月 达到10000元,每个台灯的定价应为多少元?这时应进 台灯多少个?
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售 利润．
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与 x的关系式．
（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得 月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?
分析：（3）月销售成本不超过10000元，那么销售量就不超过 10000/40=250kg，在这个前提下， 求月销售利润达到8000元， 销售单价应为多少．
某商店经销一种销售成本为每千克40元的产品，据市场分 析， 若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每 涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种情况，请解答以下 问题：
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售 利润．
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与 x的关系式．
1、若将例题中“当销售价每上涨1元时,其销售量就 将减少10个”变为“当销售价每上涨5元时,其销售 量就将减少10个”应如何解答? 2、若将例题中“当销售价每上涨1元时,其销售量就 将减少10个”变为“当销售价每降低5元时,其销售 量就将增加10个”应如何解答?
1. 某种服装,平均每天可销售20件,每件盈利 44元.若每件降价1元,则每天可多售5件.如果 每天盈利1600元,应降价多少元?
x1 36, x2 4. 答 : 每件服装应降价36元或4元.
2、某商店将进价为8元的商品按每件10元售出， 每天可售出200件，现采取提高售价减少销量的办 法增加利润，如果这种商品销售价每提高0.5元， 销量将减少10件.问每商品定价多少元，才能使每 天的利润为640元？
分析:每件商品的销售利润×平均每天商品的销售量
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售 利润．
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与 x的关系式．
（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得 月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?
分析：（1）销售单价定为55元，比原来的销售价50元提高5元， 因此，销售量就减少5×10kg．
1、一种衣服进价为m元，售价为n元，
销售10件衣服可获利 10(n m元) .
2、某玩具售出一件获利x元，现在降价
3元销售，售出m件可获利 m(x 3元) .
某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每月
能售出600个.市场调研表明:当销售价每上涨1元时, 其销售量就将减少10个.商场要想销售利润平均每月 达到10000元,每个台灯的定价应为多少元?这时应进 台灯多少个?
分析:若设每件服装降价x元,每件盈利_(_44__x_)_元,每天 能售出_(2_0__5_x_) 件.
等量关系是:每件服装的利润 每天售出的数量=1600
解 : 设每件服装应降价x元, 根据题意, 得
(44 x)(20 5x) 1600思. 考：
为了尽快减小库存，
整理得: x2 40x 144 服0. 装应降价元？ 解这个方程, 得
=640元
售价应定为x元，则每件商品的销售利润为__x__8___元; 平均每天的销售量为_2__0_0___2_0_(_x__1_0_)_件。
3、某商店经销一种销售成本为每千克40元的产品，据市场 分析， 若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价 每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种情况，请解答以 下问题：
（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得 月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?
分析；（2）销售利润y=（销售单价-销售成本40）×销售量
[500-10(x-50)]
某商店经销一种销售成本为每千克40元的产品，据市场分 析， 若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每 涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种情况，请解答以下 问题：