高一数学必修五正弦定理

分析：设△ABC的三个角所对边长分别是a、b、c，
且∠A≥∠B≥∠C，
（1）若∵△正A弦B函C是数锐y=角sin或x在直[角0, 三2 ]角上形是增函数 ∴ sin A sin B sin C
故由正弦定理可得a≥b≥c
（2）若△ABC是钝角三角形，则∠A为钝角
∴-∠A<
2
，且-∠A=∠B+∠C>∠B≥∠C
一解
A
B
a=bsinA 一解
思考：小强有一根长为40cm的木棒，若他打算以该木棒为边做一个
三角形的木架，形状如下图所示，则另外还要找两根多长的木棒？(精 确到0.1cm)
C
40cm
30o
A
45o
D
B
2R
2R
2R
sin A : sin B : sin C a : b : c
例3、在ABC中，若
a2 b2
tan A , 试判断ABC的形状 tan B
解：由正弦定理，得
sin2 sin2
A B
tan tan
A B
sin2 sin2
A B
sin A cos A
cos B sin B
Q sin A 0，sin B 0,
2、已知△ABC中，B=30o，C=120o，则a:b:c= 1:1: 3
变式训练
在ABC中，角A、B、C的对边分别 uuur uuur uuur uuur
为a、b、c,若 AB AC = BA BC = 1，c = 2 .
（1）判断ABC的形状； uuur uuur
（2）若 AB AC 6，求ABC的面积
解：Q b c sin C c sin B 1 sin 60o 1
sin B sin C
b
32
Q b c B C,故C为锐角
C 30o,故A 90o
a b2 c2 2
正弦定理可解决的第二类问题： 知三角形任意两边及其中一边的对角，求其它的边和角
例3、在ABC中，已知a 20cm, b 28cm, A 40 , 解三角形。 (角度精确到1，边长精确到1cm)
讨论已知两边和一边对角的三角形的解：
（按角A分类）
A的范围
a,b关系
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
答案：等腰三角形
3
2
小结：
一、正弦定理： a b c 2R sin A sin B sin C
其中，R是△ABC的外接圆的半径
二、可以用正弦定理解决的两类三角问题： （1）知两角及一边，求其它的边和角； （2）知三角形任意两边及其中一边的对角，求其它的边和角（注意判断 解的个数）
思考：你能用正弦定理来解释为什么在三角形中越大的角所对的边就越大 吗？
也可取锐角； （4）若a≥b，则此时只有一解，即角B需取锐角.
C a
b a
A B B B′
B
设在△ABC中，已知a、b、A的值，则解该三角形 可能出现以下情况： 2.若A是钝角或直角 （1）若a > b，则此时只有一解，即角B需取锐角； （2）若a≤b，则此时无解.
C
a b
C a
b
A
B
A
B
解三角形
解：根据正弦定理，sin B bsin A 28sin 40 0.8999.
a
20
因为0 B 180,所以B 64,或B 116
（1）当B 64时，C 180 (A B) 180 (40 64 ) 76,
c
a sin C sin A
20sin 76 sin 40
30(cm).
k b b AD =2R sin B sin D sin ACD
k 2R
A O bC
B A
B
Ob C
D
正弦定理的推论：
a sin
A
b sin
B
c sin C
=2R
(R为△ABC外接圆半径）
a 2R sin A, b 2R sin B, c 2R sin C（边换角）
sin A a ,sin B b ,sin C c （角换边）
（2）当B 116时，C 180 ( A B) 180 (40 116) 24, c a sin C 20sin 24 13(cm). sin A sin 40
练习：若ΔABC满足下列条件，求角B
（1） b＝20，A＝60°，a＝ 20 3 ; 30o （2） b＝20，A＝60°，a＝ 10 3 ; 90o
判断已知两边及其中一边对角的三角形解的个数 的基本步骤： （1）判断已知角A的类型；（钝、直、锐） （2）判断已知两边a、b的大小关系； （3）判断a与bsinA的大小关系.
练习：求分别满足下列条件的三角形的解的个数 （1）a=8，b=16，A=30o; 一解 （2）a=2，b=4，A=60o; 无解 （3）a=30，b=25，A=150o; 一解 （4）b=5，c=3，B=48o; 一解 （5）b=18，c=20，B=60o; 二解
（3） b＝20，A＝60°，a＝15. 无解
思考：若ΔABC中 b＝20，A＝60°,当a为何值角B有1解、 2解、无解
设在△ABC中，已知a、b、A的值，则解该三角形 可能出现以下情况： 1.若A是锐角 （1）若a < bsinA，则此时无解； （2）若a = bsinA，则此时恰有一解，即角B为直角； （3）若bsinA< a <b，则此时有两解，即角B可取钝角，
1.1.1 正弦定理
回顾上节课所学内容
目录
本节课主要知识点
针对性练习
课后作业
回顾上节课所学内容
一、正弦定理： a b c 2R sin A sin B sin C
二、可以用正弦定理解决的三角问题：
①知两角及一边，求其它的边和角 ②知三角形任意两边及其中一边的对角，求其它的边和角
例2、在△ABC中，b= 3 ，c=1，B=60o，解这个三角形.
sin Acos A sin Bcos B，即sin2A sin2B
2A 2k 2B 或 2A 2k 2B(k Z )
Q 0 A,B ，∴k 0，则A B或A+B=
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
2
针对性练习 1、已知△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，且 b sinB=c sinC，则△ABC的形状是 等腰直角三角形
∴ sin( A) sin B sin C
即 sin A sin B sin C
∴由正弦定理可得a>b≥c
小结：正弦定理，两种应用 已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解
或一解（见图示）
C ba
AB a=bsinA 一解
C b aa
C
C
b
a
a
b
A B2 B1 A
B
bsinA<a<b 两解
例4、在正弦定理中，设
a b c k sin A sin B s来自百度文库n C
证明k=2R（R为△ABC的外接圆的半径）
证明：若△ABC为直角三角形 如图，C=90o，c=2R
k
c sin C
2R sin 90o
2R
若△ABC不是直角三角形
如图，作直径AD，连结CD，则AD=2R
∠ACD=90o，B=D