2015年天津市高考数学试卷(文科)

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2015年高考数学(文科)真题试卷(天津卷)

2015年高考数学(文科)真题试卷(天津卷)

2015年高考文数真题试卷(天津卷)选择题:每小题给出的四个选项只有一项是符合题目要求的1.(2015 天津)已知全集 , 集合 , 集合 , 则集合A.B.C.D.2.(2015·天津)设变量 满足约束条件 ,则目标函数 的最大值为A.7B.8C.9D.143.(2015·天津)设 ,则" "是" "的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.(2015·天津)已知双曲线 的一个焦点为 ,且双曲线的渐近线与圆 相切,则双曲线的方程为A.B.C.D.5.(2015 天津)如图,在圆 中, 是弦 的三等分点,弦 分别经过点 若,则线段 的长为A.B.3C.D.6.(2015·天津)已知定义在 上的函数 ( 为实数)为偶函数,记,则 的大小关系为()A.B.C.D.7.(2015·天津)已知函数 ,函数 ,则函数的零点的个数为A.2B.3C.4D.5填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分8.(2015·天津) 是虚数单位,计算 的结果为_______________ .9.(2015·天津)一个几何体的三视图如图所示(单位: ),则该几何体的体积为_______________10.(2015·天津)已知函数 ,其中 为实数, 为 的导函数,若 ,则 的值为_______________ 。

11.(2015 天津)已知 ,则当 的值为_______________ 时 取得最大值。

12.(2015 天津)在等腰梯形 中,已知 .点 和点 分别在线段 和 上,且 ,则 的值为_______________ 。

13.(2015 天津)已知函数 ,若函数 在区间内单调递增,且函数 的图像关于直线 对称,则 的值为_______________ 。

2015年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学试题 (文科)解析版

2015年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学试题 (文科)解析版

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(天津卷,含解析)一、选择题(每小题5分,共40分)1.已知全集{1,2,3,4,5,6}U =,集合{2,3,5}A =,集合{1,3,4,6}B =,则集合A U B I =()ð( ) (A) {3} (B) {2,5} (C) {1,4,6} (D){2,3,5}【答案】B 【解析】试题分析:{2,3,5}A =,{2,5}U B =ð,则{}A 2,5U B I =()ð,故选B. 考点:集合运算2.设变量,y x 满足约束条件2020280x x y x y ì-?ïï-?íï+-?ïî,则目标函数3y z x =+的最大值为( )(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)14【答案】C考点:线性规划3.阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出i 的值为( )(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D)5【答案】C 【解析】试题分析:由程序框图可知:2,8;3,S 5;4, 1.i S i i S ====== 故选C.考点:程序框图.4.设x R Î,则“12x <<”是“|2|1x -<”的( )(A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析:由2112113x x x -<⇔-<-<⇔<<,可知“12x <<”是“|2|1x -<”的充分而不必要条件,故选A.考点:1.不等式;2. 充分条件与必要条件.5. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为(2,0)F ,且双曲线的渐近线与圆()222y 3x -+=相切,则双曲线的方程为( )(A)221913x y -= (B) 221139x y -= (C) 2213x y -= (D ) 2213y x -= 【答案】D考点:圆与双曲线的性质.6. 如图,在圆O 中,M ,N 是弦AB 的三等分点,弦CD ,CE 分别经过点M ,N ,若CM =2,MD =4,CN =3,则线段NE 的长为( ) (A)83 (B) 3 (C) 103 (D) 52【答案】A【解析】试题分析:由相交弦定理可18,33CM MD CM MD CN NE AB AB NE CN ⨯⨯=⨯=⨯⇒== 故选A. 考点:相交弦定理7. 已知定义在R 上的函数||()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为( )(A) b c a << (B) b c a << (C) b a c << (D) b c a << 【答案】B 【解析】试题分析:由()f x 为偶函数得0m =,所以2,4,0a b c ===,故选B. 考点:1.函数奇偶性;2.对数运算.8. 已知函数22||,2()(2),2x x f x x x ì-?ï=í->ïî,函数()3(2)g x f x =--,则函数y ()()f x g x =-的零点的个数为 (A) 2 (B) 3 (C)4 (D)5【答案】A考点:函数与方程.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. i 是虚数单位,计算12i2i-+ 的结果为 . 【答案】-i 【解析】试题分析:()2i i 212i i 2i i 2i 2i 2i-+---===-+++. 考点:复数运算.10. 一个几何体的三视图如图所示(单位:m ),则该几何体的体积为 3m .【答案】8π3【解析】试题分析:该几何体是由两个高为1的圆锥与一个高为2圆柱组合而成,所以该几何体的体积为318π2π1π2(m )33⨯⨯⨯+⨯= .考点:1.三视图;2.几何体的体积.11. 已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ,其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,若()13f '= ,则a 的值为 . 【答案】3 【解析】试题分析:因为()()1ln f x a x '=+ ,所以()13f a '==. 考点:导数的运算法则.12. 已知0,0,8,a b ab >>= 则当a 的值为 时()22log log 2a b ⋅取得最大值. 【答案】4 【解析】试题分析:()()()()22222222log log 211log log 2log 2log 164,244a b a b ab +⎛⎫⋅≤=== ⎪⎝⎭当2a b =时取等号,结合0,0,8,a b ab >>=可得4, 2.a b ==考点:基本不等式.13. 在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC P ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=o点E 和点F 分别在线段BC 和CD上,且21,,36BE BC DF DC ==u u u r u u u r u u u r u u u r 则AE AF ⋅u u u r u u u r的值为 .【答案】2918【解析】试题分析:在等腰梯形ABCD 中,由AB DC P ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=o得12AD BC ⋅=u u u r u u u r ,1AB AD ⋅=u u u r u u u r ,12DC AB =u u u r u u u r ,所以()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22121111129131231218331818AB BC AD AB AB AD BC AD AB BC AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=⋅+⋅++⋅=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 考点:平面向量的数量积.14. 已知函数()()sin cos 0,,f x x x x ωωω=+>∈R 若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为 .【答案】π2【解析】试题分析:由()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且()f x 的图像关于直线x ω=对称,可得π2ωω≤,且()222πsin cos 2sin 14f ωωωω⎛⎫=+=⇒+= ⎪⎝⎭,所以2πππ.422ωω+=⇒= 考点:三角函数的性质.三、解答题:本大题共6小题,共80分.15. (本小题满分13分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛.(I )求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数;(II )将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为123456,,,,,A A A A A A ,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.(i )用所给编号列出所有可能的结果;(ii )设A 为事件“编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件A 发生的概率. 【答案】(I )3,1,2;(II )(i )见试题解析;(ii )35【解析】 试题分析:(I )由分层抽样方法可知应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2;(II )(i )一一列举,共15种;(ii )符合条件的结果有9种,所以()93.155P A ==. 试题解析:(I )应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2; (II )(i )从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛,所有可能的结果为{}12,A A ,{}13,A A ,{}14,A A ,{}15,A A ,{}16,A A ,{}23,A A ,{}24,A A ,{}25,A A ,{}26,A A ,{}34,A A ,{}35,A A ,{}36,A A ,{}45,A A ,{}46,A A ,{}56,A A ,共15种.(ii )编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到的结果为{}15,A A ,{}16,A A , {}25,A A ,{}26,A A , {}35,A A ,{}36,A A ,{}45,A A ,{}46,A A ,{}56,A A ,共9种,所以事件A 发生的概率()93.155P A == 考点:分层抽样与概率计算.16. (本小题满分13分)△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为315,12,cos ,4b c A -==-(I )求a 和sin C 的值; (II )求cos 26A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】(I )a =8,15sin 8C =(II )15316. 【解析】考点:1.正弦定理、余弦定理及面积公式;2三角变换.17. (本小题满分13分)如图,已知1AA ⊥平面ABC ,11,BB AA PAB =AC =3,125,7BC AA ==,,127,BB = 点E ,F 分别是BC ,1AC 的中点. (I )求证:EF P 平面11A B BA ; (II )求证:平面1AEA ⊥平面1BCB .(III )求直线11A B 与平面1BCB 所成角的大小.【答案】(I )见试题解析;(II )见试题解析;(III )30o . 【解析】 试题分析:(I )要证明EF P 平面11A B BA , 只需证明1EF BA P 且EF ⊄ 平面11A B BA ;(II )要证明平面1AEA ⊥平面1BCB ,可证明AE BC ⊥,1BB AE ⊥;(III )取1B C 中点N,连接1A N ,则11A B N ∠ 就是直线11A B 与平面1BCB 所成角,Rt△11A NB 中,由11111sin ,2A N AB N A B ∠==得直线11A B 与平面1BCB 所成角为30o. 试题解析:(I )证明:如图,连接1A B ,在△1A BC 中,因为E 和F 分别是BC ,1A C 的中点,所以1EF BA P ,又因为EF ⊄ 平面11A B BA , 所以EF P 平面11A B BA .(II )因为AB =AC ,E 为BC 中点,所以AE BC ⊥,因为1AA ⊥平面ABC ,11,BB AA P 所以1BB ⊥平面ABC ,从而1BB AE ⊥,又1BC BB B =I ,所以AE ⊥平面1BCB ,又因为AE ⊂平面1AEA ,所以平面1AEA ⊥平面1BCB .考点:1.空间中线面位置关系的证明;2.直线与平面所成的角18. (本小题满分13分)已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,{}n b 是等差数列,且112331,2a b b b a ==+=,5237a b -=.(I )求{}n a 和{}n b 的通项公式;(II )设*,n n n c a b n N =?,求数列{}n c 的前n 项和.【答案】(I )12,n n a n -*=∈N ,21,n b n n *=-∈N ;(II )()2323n n S n =-+【解析】 试题分析:(I )列出关于q 与d 的方程组,通过解方程组求出q ,d ,即可确定通项;(II )用错位相减法求和.试题解析:(I )设{}n a 的公比为q ,{}n b 的公差为d ,由题意0q > ,由已知,有24232,310,q d q d ⎧-=⎨-=⎩ 消去d 得42280,q q --= 解得2,2q d == ,所以{}n a 的通项公式为12,n n a n -*=∈N , {}n b 的通项公式为21,n b n n *=-∈N .(II )由(I )有()1212n n c n -=- ,设{}n c 的前n 项和为n S ,则()0121123252212,n n S n -=⨯+⨯+⨯++-⨯L ()1232123252212,n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯L两式相减得()()2312222122323,nnnn S n n -=++++--⨯=--⨯-L所以()2323nn S n =-+ .考点:1.等差、等比数列的通项公式;2.错位相减法求和.19. (本小题满分14分) 已知椭圆22221(a b 0)x y a b+=>>的上顶点为B ,左焦点为F ,离心率为55,(I )求直线BF 的斜率;(II )设直线BF 与椭圆交于点P (P 异于点B ),故点B 且垂直于BF 的直线与椭圆交于点Q (Q 异于点B )直线PQ 与x 轴交于点M ,||=||PM MQ l . (i )求l 的值;(ii )若75||sin PM BQP Ð,求椭圆的方程. 【答案】(I )2;(II )(i )78;(ii )22 1.54x y += 【解析】 试题分析:(I )先由55c a = 及222,a b c =+得5,2a c b c ==,直线BF 的斜率()020b b k c c -===--;(II )先把直线BF ,BQ 的方程与椭圆方程联立,求出点P ,Q 横坐标,可得PM MQ λ=7.8M P P Q M Q x x x x x x -===-(ii )先由75||sin =9PM BQP Ð得=||sin BP PQ BQP Ð=1555||sin 73PM BQP?,由此求出c =1,故椭圆方程为221.54x y += 试题解析:(I )(),0F c - ,由已知55c a = 及222,a b c =+ 可得5,2a c b c == ,又因为()0,B b ,故直线BF 的斜率()020b bk c c-===-- .(II )设点()()(),,,,,P P Q Q M M P x y Q x y M x y ,(i )由(I )可得椭圆方程为22221,54x y c c+= 直线BF 的方程为22y x c =+ ,两方程联立消去y 得2350,x cx += 解得53P c x =- .因为BQ BP ⊥,所以直线BQ 方程为122y x c =-+ ,与椭圆方程联立消去y 得221400x cx -= ,解得4021Q c x = .又因为PM MQ λ= ,及0M x = 得7.8M P PQ MQ x x x x x x λ-===- (ii )由(i )得78PM MQ=,所以777815PM PM MQ ==++,即157PQ PM = ,又因为75||sin =9PM BQP Ð,所以=||sin BP PQ BQP Ð=1555||sin 73PM BQP?. 又因为4223P P y x c c =+=-, 所以2254550233c c BP c c ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因此5555,1,c c == 所以椭圆方程为221.54x y += 考点:直线与椭圆.20. (本小题满分14分)已知函数4()4,,f x x x x R =-? (I )求()f x 的单调性;(II )设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ,曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证:对于任意的正实数x ,都有()()f x g x £;(III )若方程()=()f x a a 为实数有两个正实数根12x x ,,且12x x <,求证:1321-43a x x <-+.【答案】(I )()f x 的单调递增区间是(),1-∞ ,单调递减区间是()1,+∞;(II )见试题解析;(III )见试题解析. 【解析】试题解析:(I )由4()4f x x x =-,可得3()44f x x ¢=-,当()0f x '> ,即1x < 时,函数()f x 单调递增;当()0f x '< ,即1x > 时,函数()f x 单调递减.所以函数()f x 的单调递增区间是(),1-∞ ,单调递减区间是()1,+∞.(II )设()0,0P x ,则1304x = ,()012,f x '=- 曲线()y f x = 在点P 处的切线方程为()()00y f x x x '=- ,即()()()00g x f x x x '=-,令()()()F x f x g x =- 即()()()()0F x f x f x x x '=-- 则()()()0F x f x f x '''=-.由于3()44f x x =-在(),-∞+∞ 单调递减,故()F x '在(),-∞+∞ 单调递减,又因为()00F x '=,所以当()0,x x ∈-∞时,()0F x '>,所以当()0,x x ∈+∞时,()0F x '<,所以()F x 在()0,x -∞单调递增,在()0,x +∞单调递减,所以对任意的实数x ,()()00F x F x ≤= ,对于任意的正实数x ,都有()()f x g x £.考点:1.导数的几何意义;2.导数的应用.。

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(天津卷,含解析)

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(天津卷,含解析)

线 A1B1
与平面 BCB1 所成角,Rt△ A1NB1
中,由 sin A1B1N
A1N A1B
1, 2
得直线
A1B1
与平面 BCB1 所成
角为 30 .
试题解析:(I)证明:如图,连接 A1B ,在△ A1BC 中,因为 E 和 F 分别是 BC, A1C 的中点,所以 EF BA1 ,
又因为 EF 平面 A1B1BA , 所以 EF 平面 A1B1BA .
(II)将抽取的 6 名运动员进行编号,编号分别为 A1, A2, A3, A4, A5, A6 ,从这 6 名运动员中随机抽取 2 名参
加双打比赛. (i)用所给编号列出所有可能的结果;
(ii)设 A 为事件“编号为 A5, A6 的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件 A 发生的概率.
【答案】(I)3,1,2;(II)(i)见试题解析;(ii) 3 5
.
(II)(i)从这 6 名运动员中随机抽取 2 名参加双打比赛,所有可能的结果为 A1, A2 ,
A1, A3 , A1, A4 , A1, A5 , A1, A6 , A2, A3 , A2, A4 , A2, A5 , A2, A6 , A3, A4 , A3, A5 ,
A3, A6,A4, A5 ,A4, A6 ,A5, A6,共 15 种.
(C) {1, 4, 6}
(D) {2, 3, 5}
试题分析: A ={2,3,5}, ðU B ={2,5} ,则 A (ðU B)={2,5},故选 B.
考点:集合运算
ì 2.设变量 x, y 满足约束条件 ïïí
x- 2? 0 x- 2y ? 0
,则目标函数 z = 3x + y 的最大值为(

2015天津高考数学(文)试题及答案

2015天津高考数学(文)试题及答案

2015天津高考数学(文)试题及答案满分:班级:_________ 姓名:_________ 考号:_________一、单选题(共8小题)1.复数()A.B.C.D.2.若,满足则的最大值为()A.0B.1C.D.23.执行如图所示的程序框图,输出的结果为()A.B.C.D.4.设,是两个不同的平面,是直线且.“”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是()A.B.C.D.56.设是等差数列. 下列结论中正确的是()A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则7.如图,函数的图象为折线,则不等式的解集是()A.B.C.D.8.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是()A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油二、填空题(共6小题)9.在的展开式中,的系数为.(用数字作答)10.已知双曲线的一条渐近线为,则.11.在极坐标系中,点到直线的距离为.12.在中,,,,则.13.在中,点,满足,.若,则;.14.设函数①若,则的最小值为;②若恰有2个零点,则实数的取值范围是.三、解答题(共6小题)15.已知函数.(Ⅰ) 求的最小正周期;(Ⅱ) 求在区间上的最小值.16.,两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下:组:10,11,12,13,14,15,16组:12,13,15,16,17,14,假设所有病人的康复时间互相独立,从,两组随机各选1人,组选出的人记为甲,组选出的人记为乙.(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率;(Ⅱ) 如果,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;(Ⅲ) 当为何值时,,两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明)17.如图,在四棱锥中,为等边三角形,平面平面,,,,,为的中点.(Ⅰ) 求证:;(Ⅱ) 求二面角的余弦值;(Ⅲ) 若平面,求的值.18.已知函数.(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)求证:当时,;(Ⅲ)设实数使得对恒成立,求的最大值.19.已知椭圆:的离心率为,点和点都在椭圆上,直线交轴于点.(Ⅰ)求椭圆的方程,并求点的坐标(用,表示);(Ⅱ)设为原点,点与点关于轴对称,直线交轴于点.问:轴上是否存在点,使得?若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由.20.已知数列满足:,,且.记集合.(Ⅰ)若,写出集合的所有元素;(Ⅱ)若集合存在一个元素是3的倍数,证明:的所有元素都是3的倍数;(Ⅲ)求集合的元素个数的最大值.答案部分1.试题解析:原式=2i-i2=1+2i答案:A2.考点:线性规划试题解析:如图所表示的区域为不等式组表示的平面区域,易知点为目标函数取得最大值的最优解,即Z max=0+21=2答案:D3.试题解析:据框图可得:答案:B4.试题解析:显然由推不出,但能推出,故选B答案:B5.考点:空间几何体的三视图与直观图试题解析:直观图如图:在过点P作AB的垂线交AB于点D,连接DC,=,,所以,表面积S=2+.答案:6.考点:等差数列试题解析:可使用特值法。

2015年天津市高考数学试卷(文科)答案与解析word版本

2015年天津市高考数学试卷(文科)答案与解析word版本

2015年天津市高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:每题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)(2015•天津)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={2,3,5},集合B={1,2.(5分)(2015•天津)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x+y的最,解得,即3.(5分)(2015•天津)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出i的值为()5.(5分)(2015•天津)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0),且22﹣=1 B﹣=1﹣y2=1=1a b==16.(5分)(2015•天津)如图,在圆O中,M、N是弦AB的三等分点,弦CD,CE分别经过点M,N,若CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE的长为()B.7.(5分)(2015•天津)已知定义在R上的函数f(x)=2|x﹣m|﹣1(m为实数)为偶函数,1=,8.(5分)(2015•天津)已知函数f(x)=,函数g(x)=3﹣f(2﹣x),二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.(5分)(2015•天津)i是虚数单位,计算的结果为﹣i.==10.(5分)(2015•天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.×π故答案为:π11.(5分)(2015•天津)已知函数f(x)=a x lnx,x∈(0,+∞),其中a为实数,f′(x)为f(x)的导函数,若f′(1)=3,则a的值为3.lnx+12.(5分)(2015•天津)已知a>0,b>0,ab=8,则当a的值为4时,log2a•log2(2b)取得最大值.==413.(5分)(2015•天津)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°,点E和F分别在线段BC和DC上,且=,=,则•的值为.==,=•(+++)(+)•+•+•+++××=故答案为:14.(5分)(2015•天津)已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),x∈R,若函数f(x)在区间(﹣ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为.=)x+,ω≤x+,可x=,从而可求sin x+﹣,的单调递增区间为:[①②x+=k,可解得函数x=,可解得:.故答案为:三、解答题:本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(13分)(2015•天津)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.(Ⅰ)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数;(Ⅱ)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6,现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛.(i)用所给编号列出所有可能的结果;(ii)设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”,求事件A发生的概率.=,×=3××=2P==16.(13分)(2015•天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC 的面积为3,b﹣c=2,cosA=﹣.(Ⅰ)求a和sinC的值;(Ⅱ)求cos(2A+)的值.2A+,,32A+=cos2Acos﹣sin2Asin=17.(13分)(2015•天津)如图,已知AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,AB=AC=3,BC=2,AA1=,BB1=2,点E和F分别为BC和A1C的中点.(Ⅰ)求证:EF∥平面A1B1BA;(Ⅱ)求证:平面AEA1⊥平面BCB1;(Ⅲ)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小.BN==18.(13分)(2015•天津)已知{a n}是各项均为正数的等比数列,{b n}是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5﹣3b2=7.(Ⅰ)求{a n}和{b n}的通项公式;(Ⅱ)设c n=a n b n,n∈N*,求数列{c n}的前n项和.,然后利用错位相减法求得数列由已知有,消去的通项公式为(Ⅱ)由(Ⅰ)有两式作差得:19.(14分)(2015•天津)已知椭圆+=1(a>b>0)的上顶点为B,左焦点为F,离心率为.(Ⅰ)求直线BF的斜率.(Ⅱ)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B),过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B),直线PQ与y轴交于点M,|PM|=λ|MQ|.(i)求λ的值.(ii)若|PM|sin∠BQP=,求椭圆的方程.、﹣,计算即得结论;)通过=|PM||BP|=ca=k==2+﹣x+2c,,及=;)∵=,∴=,即|PQ|=|PM|,∴BQP=c|BP|=c=∴椭圆的方程为:+20.(14分)(2015•天津)已知函数f(x)=4x﹣x4,x∈R.(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证:对于任意的实数x,都有f(x)≤g(x);(Ⅲ)若方程f(x)=a(a为实数)有两个实数根x1,x2,且x1<x2,求证:x2﹣x1≤﹣+4.(Ⅲ)由(Ⅱ)知,(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)知,.,可得由此可得。

2015年高考真题——文科数学(天津卷) 解析版

2015年高考真题——文科数学(天津卷) 解析版

2015年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文科数学一、选择题(每小题5分,共40分)1.已知全集{1,2,3,4,5,6}U =,集合{2,3,5}A =,集合{1,3,4,6}B =,则集合A U B=()ð( )(A) {3} (B) {2,5} (C) {1,4,6} (D){2,3,5} 【答案】B【解析】试题分析:{2,3,5}A =,{2,5}U B =ð,则{}A 2,5U B =()ð,故选B. 考点:集合运算2.设变量,y x 满足约束条件2020280x x y x y ì-?ïï-?íï+-?ïî,则目标函数3y z x =+的最大值为( )(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)14【答案】C考点:线性规划3.阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出i 的值为( ) (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D)5【答案】C 【解析】试题分析:由程序框图可知:2,8;3,S 5;4, 1.i S i i S ====== 故选C. 考点:程序框图.4.设x R Î,则“12x <<”是“|2|1x -<”的( )(A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析:由2112113x x x -<⇔-<-<⇔<<,可知“12x <<”是“|2|1x -<”的充分而不必要条件,故选A. 考点:1.不等式;2. 充分条件与必要条件.5. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为(2,0)F ,且双曲线的渐近线与圆()222y 3x -+=相切,则双曲线的方程为( )(A)221913x y -= (B) 221139x y -= (C) 2213x y -= (D) 2213y x -= 【答案】D考点:圆与双曲线的性质.6. 如图,在圆O 中,M ,N 是弦AB 的三等分点,弦CD ,CE 分别经过点M ,N ,若CM =2,MD =4,CN =3,则线段NE 的长为( ) (A)83 (B) 3 (C) 103 (D) 52【答案】A【解析】试题分析:由相交弦定理可18,33CM MD CM MD CN NE AB AB NE CN ⨯⨯=⨯=⨯⇒== 故选A. 考点:相交弦定理7. 已知定义在R上的函数||()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为( )(A) b c a << (B) b c a << (C) b a c << (D) b c a << 【答案】B 【解析】试题分析:由()f x 为偶函数得0m =,所以2,4,0a b c ===,故选B. 考点:1.函数奇偶性;2.对数运算.8. 已知函数22||,2()(2),2x x f x x x ì-?ï=í->ïî,函数()3(2)g x f x =--,则函数y ()()f x g x =-的零点的个数为(A) 2 (B) 3 (C)4 (D)5 【答案】A考点:函数与方程.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9. i 是虚数单位,计算12i2i-+ 的结果为 . 【答案】-i 【解析】试题分析:()2i i 212i i 2i i 2i 2i 2i-+---===-+++. 考点:复数运算.10. 一个几何体的三视图如图所示(单位:m ),则该几何体的体积为 3m .【答案】8π3【解析】试题分析:该几何体是由两个高为1的圆锥与一个高为2圆柱组合而成,所以该几何体的体积为318π2π1π2(m )33⨯⨯⨯+⨯=. 考点:1.三视图;2.几何体的体积.11. 已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ,其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,若()13f '= ,则a 的值为 .【答案】3 【解析】试题分析:因为()()1ln f x a x '=+ ,所以()13f a '==. 考点:导数的运算法则.12. 已知0,0,8,a b ab >>= 则当a 的值为 时()22log log 2a b ⋅取得最大值. 【答案】4 【解析】试题分析:()()()()22222222log log 211log log 2log 2log 164,244a b a b ab +⎛⎫⋅≤===⎪⎝⎭当2a b =时取等号,结合0,0,8,a b ab >>=可得4, 2.a b ==考点:基本不等式.13. 在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠= 点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21,,36BE BC DF DC == 则AE AF ⋅的值为 . 【答案】2918【解析】试题分析:在等腰梯形ABCD 中,由AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=得12AD BC ⋅=,1AB AD ⋅=,12DC AB = ,所以()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+ 22121111129131231218331818AB BC AD AB AB AD BC AD AB BC AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=⋅+⋅++⋅=++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭考点:平面向量的数量积. 14. 已知函数()()sin cos 0,,f x x x x ωωω=+>∈R 若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为 .【解析】试题分析:由()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且()f x 的图像关于直线x ω=对称,可得π2ωω≤,且()222πsin cos sin 14f ωωωω⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭,所以2ππ422ωω+=⇒= 考点:三角函数的性质.三、解答题:本大题共6小题,共80分.15. (本小题满分13分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛. (I )求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数;(II )将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为123456,,,,,A A A A A A ,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.(i )用所给编号列出所有可能的结果;(ii )设A 为事件“编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件A 发生的概率. 【答案】(I )3,1,2;(II )(i )见试题解析;(ii )35【解析】 试题分析:(I )由分层抽样方法可知应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2;(II )(i )一一列举,共15种;(ii )符合条件的结果有9种,所以()93.155P A ==. 试题解析:(I )应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2; (II )(i )从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛,所有可能的结果为{}12,A A ,{}13,A A ,{}14,A A ,{}15,A A ,{}16,A A ,{}23,A A ,{}24,A A ,{}25,A A ,{}26,A A ,{}34,A A ,{}35,A A ,{}36,A A ,{}45,A A ,{}46,A A ,{}56,A A ,共15种.(ii )编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到的结果为{}15,A A ,{}16,A A ,{}25,A A ,{}26,A A , {}35,A A ,{}36,A A ,{}45,A A ,{}46,A A ,{}56,A A ,共9种,所以事件A 发生的概率()93.155P A == 考点:分层抽样与概率计算.16. (本小题满分13分)△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为12,cos,4b c A-==-(I)求a和sin C的值;(II)求cos26Aπ⎛⎫+⎪⎝⎭的值.【答案】(I)a=8,sin8C=;(II)16.【解析】考点:1.正弦定理、余弦定理及面积公式;2三角变换.17. (本小题满分13分)如图,已知1AA⊥平面ABC,11,BB AAAB=AC=3,1BC AA==1BB=点E,F分别是BC,1A C的中点.(I)求证:EF平面11A B BA;(II)求证:平面1AEA⊥平面1BCB.(III)求直线11A B与平面1BCB所成角的大小.【答案】(I )见试题解析;(II )见试题解析;(III )30. 【解析】试题分析:(I )要证明EF 平面11A B BA , 只需证明1EFBA 且EF ⊄ 平面11A B BA ;(II )要证明平面1AEA ⊥平面1BCB ,可证明AE BC ⊥,1BB AE ⊥;(III )取1B C 中点N,连接1A N ,则11A B N ∠ 就是直线11A B 与平面1BCB 所成角,Rt △11A NB 中,由11111sin ,2A N AB N A B ∠==得直线11A B 与平面1BCB 所成角为30.试题解析:(I )证明:如图,连接1A B ,在△1A BC 中,因为E 和F 分别是BC ,1A C 的中点,所以1EF BA ,又因为EF ⊄ 平面11A B BA , 所以EF 平面11A B BA .(II )因为AB =AC ,E 为BC 中点,所以AE BC ⊥,因为1AA ⊥平面ABC ,11,BB AA 所以1BB ⊥平面ABC ,从而1BB AE ⊥,又1BC BB B = ,所以AE ⊥平面1BCB ,又因为AE ⊂平面1AEA ,所以平面1AEA ⊥平面1BCB.考点:1.空间中线面位置关系的证明;2.直线与平面所成的角18. (本小题满分13分)已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,{}n b 是等差数列,且112331,2a b b b a ==+=,5237a b -=.(I )求{}n a 和{}n b 的通项公式;(II )设*,n n n c a b n N =?,求数列{}n c 的前n 项和.【答案】(I )12,n n a n -*=∈N ,21,n b n n *=-∈N ;(II )()2323n n S n =-+【解析】 试题分析:(I )列出关于q 与d 的方程组,通过解方程组求出q ,d ,即可确定通项;(II )用错位相减法求和.试题解析:(I )设{}n a 的公比为q ,{}n b 的公差为d ,由题意0q > ,由已知,有24232,310,q d q d ⎧-=⎨-=⎩消去d 得42280,q q --= 解得2,2q d == ,所以{}n a 的通项公式为12,n n a n -*=∈N , {}n b 的通项公式为21,n b n n *=-∈N .(II )由(I )有()1212n n c n -=- ,设{}n c 的前n 项和为n S ,则()0121123252212,n n S n -=⨯+⨯+⨯++-⨯ ()1232123252212,n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯两式相减得()()2312222122323,n n n n S n n -=++++--⨯=--⨯-所以()2323nn S n =-+ .考点:1.等差、等比数列的通项公式;2.错位相减法求和.19. (本小题满分14分) 已知椭圆22221(a b 0)x y a b+=>>的上顶点为B ,左焦点为F ,离心率为5(I )求直线BF 的斜率;(II )设直线BF 与椭圆交于点P (P 异于点B ),故点B 且垂直于BF 的直线与椭圆交于点Q (Q 异于点B )直线PQ 与x 轴交于点M ,||=||PM MQ l . (i )求l 的值; (ii)若||sin =9PM BQP Ð,求椭圆的方程. 【答案】(I )2;(II )(i )78;(ii )22 1.54x y += 【解析】试题分析:(I )先由5c a = 及222,a b c =+得,2a b c ==,直线BF 的斜率()020b bk c c-===--;(II )先把直线BF ,BQ 的方程与椭圆方程联立,求出点P ,Q 横坐标,可得PM MQλ=7.8M P PQ MQ x x x x x x -===-(ii )先由||sin PM BQP Ð得=||sin BP PQ BQP Ð=15||sin 7PM BQP?,由此求出c =1,故椭圆方程为22 1.54x y += 试题解析:(I )(),0F c - ,由已知c a = 及222,a b c =+可得,2a b c == ,又因为()0,B b ,故直线BF 的斜率()020b bk c c-===-- .(II )设点()()(),,,,,P P Q Q M M P x y Q x y M x y ,(i )由(I )可得椭圆方程为22221,54x y c c+= 直线BF 的方程为22y x c =+ ,两方程联立消去y 得2350,x cx += 解得53P cx =-.因为BQ BP ⊥,所以直线BQ 方程为122y x c =-+ ,与椭圆方程联立消去y 得221400x cx -= ,解得4021Q cx =.又因为PM MQ λ= ,及0M x = 得7.8M P P Q M Q x x x x x x λ-===- (ii )由(i )得78PM MQ=,所以777815PM PM MQ ==++,即157PQ PM = ,又因为||sin =9PM BQP Ð,所以=||sin BP PQ BQP Ð=15||sin 73PM BQP ?. 又因为4223P P y x c c =+=-, 所以BP ==,因此51,c == 所以椭圆方程为22 1.54x y += 考点:直线与椭圆.20. (本小题满分14分)已知函数4()4,,f x x x x R =-? (I )求()f x 的单调性;(II )设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ,曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证:对于任意的正实数x ,都有()()f x g x £;(III )若方程()=()f x a a 为实数有两个正实数根12x x ,,且12x x <,求证:1321-43a x x <-+.【答案】(I )()f x 的单调递增区间是(),1-∞ ,单调递减区间是()1,+∞;(II )见试题解析;(III )见试题解析. 【解析】试题解析:(I )由4()4f x x x =-,可得3()44f x x ¢=-,当()0f x '> ,即1x < 时,函数()f x 单调递增;当()0f x '< ,即1x > 时,函数()f x 单调递减.所以函数()f x 的单调递增区间是(),1-∞ ,单调递减区间是()1,+∞.(II )设()0,0P x ,则1304x = ,()012,f x '=- 曲线()y f x = 在点P 处的切线方程为()()00y f x x x '=- ,即()()()00g x f x x x '=-,令()()()F x f x g x =- 即()()()()0F x f x f x x x '=-- 则()()()0F x f x f x '''=-.由于3()44f x x =-在(),-∞+∞ 单调递减,故()F x '在(),-∞+∞ 单调递减,又因为()00F x '=,所以当()0,x x ∈-∞时,()0F x '>,所以当()0,x x ∈+∞时,()0F x '<,所以()F x 在()0,x -∞单调递增,在()0,x +∞单调递减,所以对任意的实数x ,()()00F x F x ≤= ,对于任意的正实数x ,都有()()f x g x £.考点:1.导数的几何意义;2.导数的应用.。

2015年高考文科数学天津卷-答案

2015年高考文科数学天津卷-答案

BQ
方程为
y
1 2
x
2c ,与椭圆方程联立消去
y
,得 21x2
40cx
0
,解得
xQ
40c 21

PM 由l=
MQ
,及 xM 0 ,得 l
xM xP xQ xM
xP xQ
7 8
.
( ii )由( i )得
PM MQ
7 ,所以 8
PM PM MQ
7 7 ,即 7 8 15
PQ
15 7
所以平面 AEA1 平面 BCB1 .
(Ⅲ)取 BB1 中点 M 和 B1C 中点 N ,连结 A1M,A1N .因为 N 和 E 分别为 B1C,BC 中点,
所以
NE∥BB1,NE
1 2
BB1
,故
NE∥AA1,NE
AA1
,所以
A1N∥AE,A1N
AE

又因为 AE 平面 BCB1 ,所以 A1N 平面 BCB1 ,从而 A1B1N 就是直线 A1B1 与平面 BCB1 所成角, 在 △ABC 中,可得 AE 2 ,所以 A1N AE 2 ,因为 BM∥AA1,BM AA1, 所以 A1M / / AB,A1M AB ,又由 AB BB1 ,有 A1M BB1 ,在 Rt△A1MB1 中,可得 A1B1 4 ,
∴ EF 平面 A1B1BA . (Ⅱ)因为 AB AC,E 为 BC 中点,所以 AE BC1 ,因为 AA1 平面 ABC,BB1∥AA1 ,
所以 BB1 平面 ABC ,从而 BB1 AE ,又 BC BB1 B ,
所以 AE 平面BCB1 ,又因为 AE 平面 AEA1 ,
【考点】分层抽样,概率计算.

2015年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(天津卷) word版

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2015年天津卷高考数学试卷(文科)一、选择题1.已知全集{1,2,3,4,5,6}U =,集{}2,3,5A =,集合{1,3,4,6}B =,则集合A U C B =I (A) {3} (B) {2,5} (C) {1,4,6} (D){2,3,5}2.设变量,y x 满足约束条件2020280x x y x y ì-?ïï-?íï+-?ïî,则目标函数的最大值为3y z x =+(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)143.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出i 的值为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D)54.设R x Î,则“12x <<”是“|2|1x -<”的(A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件5.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆()222y 3x -+=相切,则双曲线的方程为(A)221913x y -= (B) 221139x y -= (C) 2213x y -= (D) 2213y x -= 6.如图,在圆O 中,M ,N 是弦AB 的三等分点,弦CD ,CE 分别经过点M ,N ,若CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE 的长为 (A)83 (B) 3 (C) 103 (D) 527.已知定义在R上的函数||()21(m )x m f x -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,b,c a ,的大小关系为(A) b c a << (B) b c a << (C) b a c << (D) b c a <<8.已知函数22||,2()(2),2x x f x x x ì-?ï=í->ïî,函数()3(2)g x f x =--,则函数y ()()f x g x =-的零点的个数为(A) 2 (B) 3 (C)4 (D)5二:填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。

2015年高考文科数学天津卷

2015年高考文科数学天津卷



第Ⅰ卷(选择题
注意事项:
共 40 分)
A. a b c B. c a b C. a c b A.2 B.3 C.4 D.5 ( ) D. c b a
1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 2.本卷共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 参考公式: 如果事件 A , B 互斥,那么 P ( A B ) P ( A) P ( B ) . 柱体的体积公式 V Sh ,其中 S 表示柱体的底面面积, h 表示柱体的高.
1 . 4 (Ⅰ)求 a 和 sinC 的值; π (2 A ) (Ⅱ)求 cos 的值. 6
b c 2 , cos A
19. (本小题满分 14 分) x2 y 2 5 已知椭圆 2 2 1(a b 0) 的上顶点为 B,左焦点为 F ,离心率为 . 5 a b (Ⅰ)求直线 BF 的斜率; (Ⅱ)设直线 BF 与椭圆交于点 P(P 异于点 B) ,故点 B 且垂直于 BP 的直线与椭圆交 于点 Q(Q 异于点 B) ,直线 PQ 与 y 轴交于点 M, |PM |= |MQ| . (i)求 的值; (ii)若 |PM |sinBQP =
x2 y2 1(a 0, b 0) 的一个焦点为 F (2,0) ,且双曲线的渐近线与圆 a2 b2

2 2
C.4 D.5
(x 2) y 3 相切,则双曲线的方程为

x y 1 9 13 x2 y2 1 C. 3
A.
2
2
x y 1 13 9 y2 1 D. x 2 3
数学(文科)

(word完整版)2015年高考天津文科数学试题及答案(word解析版),推荐文档

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2015年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(文科)参考公式:• 如果事件A ,B 互斥,那么()()()P A B P A P B =+U ; • 如果事件A ,B 相互独立,那么()()()P AB P A P B =;• 柱体的体积公式V Sh =,其中S 表示柱体的底面面积,h 表示柱体的高;• 锥体体积公式13V Sh =,其中S 表示锥体的底面面积,h 表示锥体的高.第Ⅰ卷(共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)【2015年天津,文1】已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ,集合{}2,3,5A = ,集合{}1,3,4,6B =,则集合U A B =I ð( )(A ){}3 (B ){}2,5 (C ){}1,4,6 (D ){}2,3,5 【答案】B 【解析】{2,3,5}U B =ð,所以{2,5}U A B =I ð,故选B .【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算,基本知识的考查.(2)【2015年天津,文2】设变量,x y 满足约束条件2020280x x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩,则目标函数3z x y =+的最大值为( )(A )7 (B )8 (C )9 (D )14 【答案】C【解析】解法一:作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分),由3z x y =+得3y x z =-+, 平移直线3y x z =-+,由图像可知当直线3y x z =-+过点A 时,3y x z =-+的截距最大,此时z 最大.由20280x x y -=⎧⎨+-=⎩,解得23x y =⎧⎨=⎩,即()2,3A ,代入目标函数3z x y =+得3239z =⨯+=,即目标函数的3z x y =+的最大值为9,故选C .解法二:()()5132289922z x y x x y =+=-++-+≤,当2,3x y ==时取得最大值9,故选C .【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.(3)【2015年天津,文3】阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出i 的值为( )(A )2 (B )3 (C )4 (D )5 【答案】C【解析】由程序框图可知:2,8;3,S 5;4, 1.i S i i S ======,故选C .【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,正确写出每次循环得到的i ,S 的值是解题的关键,属于基础题.(4)【2015年天津,文4】设x R Î,则“12x <<”是“|2|1x -<”的( ) (A )充分而不必要条件(B )必要而不充分条件(C )充要条件(D )既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】2112113x x x -<⇔-<-<⇔<<,则“12x <<”是“|2|1x -<”的充分不必要条件,故选A .【点评】本题考查了简单的不等式的求解,充分必要条件的定义,属于容易题.(5)【2015年天津,文5】已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点为()2,0F ,且双曲线的渐近线与圆()2223x y -+=相切,则双曲线的方程为( )(A )221913x y -= (B )221139x y -= (C )2213x y -= (D )2213y x -=【答案】D【解析】由双曲线的渐近线0bx ay -=,与圆()2223x y -+=相切得:223a b =+,由222c a b =+=,由此可解得1,3a b ==,所以双曲线方程为2213y x -=,故选D .【点评】本题考查点到直线的距离公式,双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,求出,a b 的值,是解题的关键.(6)【2015年天津,文6】如图,在圆O 中,,M N 是弦AB 的三等分点,弦,CD CE 分别经过点,M N .若2,4,3CM MD CN ===,则线段NE 的长为( )(A )83(B )3 (C )103 (D )52 【答案】A【解析】由相交弦定理可知AM MB CM MD ⋅=⋅,CN NE AN NB ⋅=⋅,又因为,M N 是弦AB 的三等分点,所以AM MB AN NB ⋅=⋅,CN NE CM MD ∴⋅=⋅,所以24833CM MD NE CN ⋅⨯===,故选A .【点评】本题考查相交弦定理,考查学生的计算能力,比较基础.(7)【2015年天津,文7】已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-(m 为实数)为偶函数,记0.5(log 3)a f =,()2log 5b f =,()2c f m =,则,,a b c 的大小关系为( )(A )a b c << (B )a c b << (C )c a b << (D )c b a <<【答案】B【解析】因为函数()21x m f x -=-为偶函数,所以0m =,即()21xf x =-,所以 221log log 330.521(log 3)log 2121312,3a f f ⎛⎫===-=-=-= ⎪⎝⎭ ()2log 52log 5214b f ==-=,()02(0)210c f m f ===-=,所以c a b <<,故选B .【点评】本题考查了对数函数的性质,函数的奇偶性,单调性,计算能力,属于中档题.(8)【2015年天津,文8】已知函数()()22222x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()32g x f x =--,若函数()()y f x g x =-的零点个数是( )(A )2 (B )3 (C )4 (D )5 【答案】A【解析】解法一:当0x <时,()22f x x -=,此时方程()()21f x g x x x -=--+的小于0的零点为15x +=-,当02x ≤≤时,()222f x x x -=--=,()()22f x g x x x -=-+=无零点,当2x >时,()2224f x x x -=--=-,方程()()2222733f x x x x x -=-+-=--大于2零点有一个,故选A .解法二:Q ()()32g x f x =--,∴()()()()32y f x g x f x f x =-=-+-,由()()320f x f x -+-=,得:()()23f x f x +-=,设()()()2h x f x f x =+-,若0x ≤,则0x -≥,22x -≥,则()()()222h x f x f x x x =+-=++;若02x ≤≤,则20x -≤≤,022x ≤-≤,则()()()22222222h x f x f x x x x x =+-=-+--=-+-+=;若2x >,0x -<,20x -<,则()()()()22222258h x f x f x x x x x =+-=-+--=-+.E D OA BM N即()2220202582x x x h x x x xx x ⎧++≤⎪=<≤⎨⎪-+>⎩,故函数()()y f x g x =-的零点个数为2个,故选A .【点评】本题主要考查函数零点个数的判断,根据条件求出函数的解析式,利用数形结合是解决本题的关键.第II 卷(共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.(9)【2015年天津,文9】i 是虚数单位,计算12i2i-+的结果为 .【答案】i -【解析】()2i i 212i i 2i i 2i 2i 2i-+---===-+++. 【点评】本题考查复数的乘除运算,基本知识的考查. (10)【2015年天津,文10】一个几何体的三视图如图所示(单位:m ),则该几何体的体积为 3m . 【答案】83π【解析】由三视图可知,该几何体是中间为一个底面半径为1,高为2的圆柱,两端是底面半径为1,高为1的圆锥,所以该几何体的体积22181221133V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=.【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题,是基础题目. (11)【2015年天津,文11】已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞,其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,若()13f '=,则a 的值为 . 【答案】3【解析】因为()()1ln f x a x '=+ ,所以()13f a '==.【点评】本题考查了求导公式的运用;熟练掌握求导公式是关键. (12)【2015年天津,文12】已知0,0,8,a b ab >>= 则当a 的值为 时()22log log 2a b ⋅取得最大值. 【答案】4【解析】()()()()22222222log log 211log log 2log 2log 164244a b a b ab +⎛⎫⋅≤=== ⎪⎝⎭,当2a b =时取等号,结合0a >,0b >,8ab =可得4, 2.a b ==【点评】本题主要考查基本不等式的应用,注意检查等号成立条件以及不等式的使用条件,属于中档题. (13)【2015年天津,文13】在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠=o ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且1,9BE BC DF DC λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r,则AE AF ⋅u u u r u u u r 的最小值为 . 【答案】2918【解析】解法一:因为19DF DC λ=u u u r u u u r ,12DC AB =u u u r u u u r ,119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,AE AB BE AB BC λ=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,()221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC λλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 19199421cos1201818λλλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒211721172929218921818λλλλ=++≥⋅+= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ⋅u u u r u u u r 的最小值为2918. A D C E解法二:在等腰梯形ABCD 中,由AB DC P ,2AB =,1BC =,60ABC ∠=o ,得12AD BC ⋅=u u u r u u u r ,1AB AD ⋅=u u ur u u u r ,12DC AB =u u u r u u u r ,所以()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 21312AB BC AD AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r221111129131218331818AB AD BC AD AB BC AB =⋅+⋅++⋅=++-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 【点评】本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值;关键是正确表示所求,利用基本不等式求最小值.(14)【2015年天津,文14】已知函数()()sin cos 0,,f x x x x ωωω=+>∈R 若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为 .【解析】由()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且()f x 的图像关于直线x ω=对称,可得π2ωω≤,且()222πsin cos sin 14f ωωωω⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭,所以2ππ42ωω+=⇒=. 【点评】本题主要考查了由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式,考查了正弦函数的图象和性质,正确确定k 的值是解题的关键,属于中档题.三、解答题:本大题共6题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15)【2015年天津,文15】(本小题满分13分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛. (Ⅰ)求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数; (Ⅱ)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为123456,,,,,A A A A A A ,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.(i )用所给编号列出所有可能的结果;(ii )设A 为事件“编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件A 发生的概率.解:(Ⅰ)应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2; (Ⅱ)(i )从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛,所有可能的结果为{}12,A A ,{}13,A A ,{}14,A A ,{}15,A A ,{}16,A A ,{}23,A A ,{}24,A A ,{}25,A A ,{}26,A A ,{}34,A A ,{}35,A A ,{}36,A A ,{}45,A A ,{}46,A A ,{}56,A A ,共15种.(ii )编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到的结果为{}15,A A ,{}16,A A , {}25,A A ,{}26,A A ,{}35,A A ,{}36,A A ,{}45,A A ,{}46,A A ,{}56,A A ,共9种,所以事件A 发生的概率()93.155P A == 【点评】本题考查古典概型及其概率公式,涉及分层抽样,属基础题. (16)【2015年天津,文16】(本小题满分13分)ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知ABC ∆ 的面积为,2b c -=,1cos 4A =-.(Ⅰ)求a 和sin C 的值;(Ⅱ)求cos 26A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.解:(Ⅰ)ABC ∆中,由1cos 4A =-,得sin A =由1sin 2bc A =得24bc =,又由2b c -=,解得6,4b c ==由2222cos a b c bc A =+-,可得8a =.(Ⅱ))2cos 2cos 2cos sin 2sin 2cos 1sin cos 666A A A A A A πππ⎛⎫+=-=--= ⎪⎝⎭【点评】本题考查同角三角函数的基本关系式,二倍角公式,余弦定理的应用,考查计算能力.(17)【2015年天津,文17】(本小题满分13分)如图,已知1AA ⊥平面ABC ,11//BB AA ,3AB AC ==,BC =,17AA =,127BB =点E ,F 分别是BC ,1A C 的中点.(Ⅰ)求证://EF 平面11A B BA ; (Ⅱ)求证:平面1AEA ⊥平面1BCB ; (Ⅲ)求直线11A B 与平面1BCB 所成角的大小.解:(Ⅰ)证明:如图,连接1A B ,在△1A BC 中,因为E 和F 分别是BC ,1A C 的中点,所以1//EF BA ,又因为EF ⊄平面11A B BA ,所以//EF 平面11A B BA .(Ⅱ)因为AB AC =,E 为BC 中点,所以AE BC ⊥,因为1AA ⊥平面ABC ,11//BB AA ,所以1BB ⊥平面ABC ,从而1BB AE ⊥,又1BC BB B =I ,所以AE ⊥平面1BCB ,又因为AE ⊂平面1AEA , 所以平面1AEA ⊥平面1BCB .(Ⅲ)取1BB 中点M 和1B C 中点N ,连接1A M ,1A N ,因为N 和E 分别为1B C 和BC 中点,所以1//NE BB ,112NE BB =,故1//NE AA ,1NE AA =,所以1//A N AE ,1A N AE =.又因为AE ⊥平面1BCB ,所以12A N AE ==,因为1//BM AA ,1BM AA =,所以1//A M AB ,1A M AB =, 又由1AB BB ⊥,有11A M BB ⊥,在11Rt A MB ∆中,可得114A B =.在11Rt A NB ∆中,11111sin 2A N AB N A B ∠==,因此1130A B N ∠=︒,所以直线11A B 与平面1BCB 所成角为30︒.【点评】本题考查线面垂直与平行关系的证明,涉及直线与平面所成的角,属中档题. (18)【2015年天津,文18】(本小题满分13分)已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,{}n b 是等差数列,且112331,2a b b b a ==+=,5237a b -=.(Ⅰ)求{}n a 和{}n b 的通项公式;(Ⅱ)设*2221log ,nn n a b n N a -=∈,求数列n b {}的前n 项和.解:(Ⅰ)设{}n a 的公比为q ,{}n b 的公差为d ,由题意0q >,由已知,有24232310q d q d ⎧-=⎨-=⎩,消去d 得42280q q --=,解得2,2q d ==,所以{}n a 的通项公式为12,n n a n -*=∈N ,{}n b 的通项公式为21,n b n n *=-∈N .(Ⅱ)由(Ⅰ)有()1212n n c n -=-,设{}n c 的前n 项和为n S ,则()0121123252212n n S n -=⨯+⨯+⨯++-⨯L , ()1232123252212n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯L ,两式相减得()()2312222122323n n n n S n n -=++++--⨯=--⨯-L ,所以()2323n n S n =-+.【点评】本题主要考查等差数列、等比数列及其前n 项和,考查数列求和的基本方法和运算求解能力,是中档题.(19)【2015年天津,文19】(本小题满分14分)已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上顶点为B ,左焦点为F ,离心率为55.(Ⅰ)求直线BF 的斜率;(Ⅱ)设直线BF 与椭圆交于点P (P 异于点B ),故点B 且垂直于BF 的直线与椭圆交于点Q (Q 异于点B )直线PQ 与x 轴交于点M ,||=||PM MQ l . (i )求l 的值;(ii )若75||sin =9PM BQP Ð,求椭圆的方程.解:(Ⅰ)(),0F c -,由已知55c a =及222a b c =+,可得5,2a c b c ==,又因为()0,B b ,故直线BF 的斜率()020b bk c c-===--.(Ⅱ)设点()()(),,,,,P P Q Q M M P x y Q x y M x y ,(i )由(Ⅰ)可得椭圆方程为2222154x y c c +=,直线BF 的方程为22y x c =+,两方程联立消去y 得:2350x cx +=,解得53P c x =- .因为BQ BP ⊥,所以直线BQ ,方程为122y x c =-+,与椭圆方程联立消去y 得221400x cx -=,解得4021Q cx =.又因为PM MQ λ=,及0M x =得78M P P Q M Q x x x x x x λ-===-.(ii )由(i )得78PM MQ=,所以777815PM PM MQ ==++,即157PQ PM =,又因为||sin PM BQP Ð所以=||sin BP PQ BQP Ð=15||sin 7PM BQP ?.又因为4223P P y x c c =+=-,所以BP ==,1c =, 所以椭圆方程为22154x y +=.【点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、两条直线垂直等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质,考查运算求解能力以及用方程思想和化归思想解决问题的能力,属于中档题.(20)【2015年天津,文20】(本题满分14分)已知函数4()4,,f x x x x R =-?(Ⅰ)求()f x 的单调性;(Ⅱ)设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ,曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证:对于任意的正实数x ,都有()()f x g x ≤;(Ⅲ)若关于x 的方程()=f x a (a 为实数)有两个正实根12x x ,,求证:132143ax x -<-+.解:(Ⅰ)由4()4f x x x =-,可得3()44f x x ¢=-,当()0f x '>,即1x <时,函数()f x 单调递增;当()0f x '<,即1x >时,函数()f x 单调递减.所以函数()f x 的单调递增区间是(),1-∞,单调递减区间是()1,+∞. (Ⅱ)设()0,0P x ,则1304x =,()012f x '=-,曲线()y f x =在点P 处的切线方程为()()00y f x x x '=-,()()()00g x f x x x '=-,令()()()F x f x g x =-,()()()()0F x f x f x x x '=--,则()()()0F x f x f x '''=-.由于3()44f x x =-在(),-∞+∞单调递减,故()F x '在(),-∞+∞单调递减,又因为()00F x '=,所以当 ()0,x x ∈-∞时,()0F x '>,所以当()0,x x ∈+∞时,()0F x '<,所以()F x 在()0,x -∞单调递增,在()0,x +∞ 单调递减,所以对任意的实数x ,()()00F x F x ≤=,对于任意的正实数x ,都有()()f x g x £.(Ⅲ)由(Ⅱ)知13()12(4)g x x =--,设方程()g x a =的根为2x ',可得132412ax '=-+.因为()g x 在(),-∞+∞单调递减.又由(Ⅱ)知()()()222g x f x a g x '≥==,所以22x x '≤.类似的,设曲线()y f x =在原点处的切线为()y h x =,可得()4h x x =,对于任意的(),x ∈-∞+∞,有()()40f x h x x -=-≤,即()()f x h x ≤.设方程()h x a =的根为1x ',可得14ax '=.因为()4h x x =在(),-∞+∞单调递增,()()()111h x a f x h x '==≤.因此11x x '≤,所以13212143ax x x x ''-≤-=-+. 【评析】本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质等基础知识.考查函数思想、化归思想,考查综合分析问题和解决问题的能力,是压轴题.。

天津市高考数学试卷文科解析

天津市高考数学试卷文科解析

B .{ 2,5}
C.{ 1, 4,6}
D . { 2, 3, 5}
2.( 5 分)( 2015?天津)设变量 x, y 满足约束条件
则目标函数 z=3x+y 的最
大值为(

A.7
B.8
C.9
D . 14
3.(5 分)( 2015?天津) 阅读如图所示的程序框图, 运行相应的程序, 则输出 i 的值为 ( )
15.( 13 分)( 2015?天津)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为
先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取
6 名运动员组队参加比赛.
27, 9, 18,
(Ⅰ )求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数;
(Ⅱ )将抽取的 6 名运动员进行编号,编号分别为 运动员中随机抽取 2 人参加双打比赛.
f(x ) =2|x|﹣ 1=
则集合 A ∩?UB={2 , 5} . 故选: B .
点 本题考查集合的交、并、补的混合运算,基本知识的考查. 评:
2.( 5 分)( 2015?天津)设变量 x, y 满足约束条件
大值为( A. 7
) B.
考 简单线性规划. 点: 专 不等式的解法及应用. 题:
则目标函数 z=3x+y 的最 8C. 9D. 14
A . 充分而不必要条件
B.





分 条

C. 充要条件
D.










考 充要条件.
点:
专 简易逻辑.
题:
分 求解: |x﹣ 2|< 1,得出 “1<x< 2”,根据充分必要条件的定义判断即可.

2015年高考真题文科高中数学天津卷和答案

2015年高考真题文科高中数学天津卷和答案

2015年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文科数学一、选择题(每小题5分,共40分)1.已知全集{1,2,3,4,5U =,集合{2,3,5}A =,集合{1,3,4,6B =,则集合A U B=()ð( ) (A) {3} (B) {2,5} (C) {1,4,6} (D){2,3,5} 【答案】B 【解析】试题分析:{2,3,5}A =,{2,5}U B =ð,则{}A 2,5U B =()ð,故选B. 考点:集合运算2.设变量,y x 满足约束条件2020280x x y x y ì-?ïï-?íï+-?ïî,则目标函数3y z x =+的最大值为( )(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)14 【答案】C考点:线性规划3.阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出i 的值为( ) (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D)5【答案】C 【解析】试题分析:由程序框图可知:2,8;3,S 5;4, 1.i S i i S ====== 故选C. 考点:程序框图.4.设x R Î,则“12x <<”是“|2|1x -<”的( ) (A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析:由2112113x x x -<⇔-<-<⇔<<,可知“12x <<”是“|2|1x -<”的充分而不必要条件,故选A. 考点:1.不等式;2. 充分条件与必要条件.5. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为(2,0)F ,且双曲线的渐近线与圆()222y 3x -+=相切,则双曲线的方程为( )(A) 221913x y -= (B) 221139x y -= (C) 2213x y -= (D) 2213y x -= 【答案】D考点:圆与双曲线的性质.6. 如图,在圆O 中,M ,N 是弦AB 的三等分点,弦CD ,CE 分别经过点M ,N ,若CM =2,MD =4,CN =3,则线段NE 的长为( )(A) 83 (B) 3 (C) 103 (D) 52【答案】A 【解析】试题分析:由相交弦定理可18,33CM MD CM MD CN NE AB AB NE CN ⨯⨯=⨯=⨯⇒== 故选A.考点:相交弦定理7. 已知定义在R 上的函数||()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为( )(A) b c a << (B) b c a << (C) b a c << (D) b c a << 【答案】B 【解析】试题分析:由()f x 为偶函数得0m =,所以2,4,0a b c ===,故选B. 考点:1.函数奇偶性;2.对数运算.8. 已知函数22||,2()(2),2x x f x x x ì-?ï=í->ïî,函数()3(2)g x f x =--,则函数y ()()f x g x =-的零点的个数为(A) 2 (B) 3 (C)4 (D)5 【答案】A考点:函数与方程.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9. i 是虚数单位,计算12i2i-+ 的结果为 .【解析】试题分析:()2i i 212i i 2i i 2i 2i 2i-+---===-+++. 考点:复数运算.10. 一个几何体的三视图如图所示(单位:m ),则该几何体的体积为3m .【答案】8π3【解析】试题分析:该几何体是由两个高为1的圆锥与一个高为2圆柱组合而成,所以该几何体的体积为318π2π1π2(m )33⨯⨯⨯+⨯=. 考点:1.三视图;2.几何体的体积.11. 已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ,其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,若()13f '= ,则a 的值为 . 【答案】3 【解析】试题分析:因为()()1ln f x a x '=+ ,所以()13f a '==. 考点:导数的运算法则.12. 已知0,0,8,a b ab >>= 则当a 的值为 时()22log log 2a b ⋅取得最大值. 【答案】4试题分析:()()()()22222222log log 211log log 2log 2log 164,244a b a b ab +⎛⎫⋅≤=== ⎪⎝⎭当2a b =时取等号,结合0,0,8,a b ab >>=可得4, 2.a b ==考点:基本不等式.13. 在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠= 点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21,,36BE BC DF DC == 则AE AF ⋅的值为 . 【答案】2918【解析】试题分析:在等腰梯形ABCD 中,由AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=得12AD BC ⋅=,1AB AD ⋅=,12DC AB = ,所以()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+ 22121111129131231218331818AB BC AD AB AB AD BC AD AB BC AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=⋅+⋅++⋅=++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭考点:平面向量的数量积. 14. 已知函数()()sin cos 0,,f x x x x ωωω=+>∈R 若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为 .【解析】试题分析:由()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且()f x 的图像关于直线x ω=对称,可得π2ωω≤,且()222πsin cos sin 14f ωωωω⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭,所以2ππ42ωω+=⇒= 考点:三角函数的性质.三、解答题:本大题共6小题,共80分.15. (本小题满分13分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛. (I )求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数;(II )将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为123456,,,,,A A A A A A ,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛. (i )用所给编号列出所有可能的结果;(ii )设A 为事件“编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件A 发生的概率.【答案】(I )3,1,2;(II )(i )见试题解析;(ii )35【解析】试题分析:(I )由分层抽样方法可知应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2;(II )(i )一一列举,共15种;(ii )符合条件的结果有9种,所以()93.155P A ==. 试题解析:(I )应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2; (II )(i )从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛,所有可能的结果为{}12,A A ,{}13,A A ,{}14,A A ,{}15,A A ,{}16,A A ,{}23,A A ,{}24,A A ,{}25,A A ,{}26,A A ,{}34,A A ,{}35,A A ,{}36,A A ,{}45,A A ,{}46,A A ,{}56,A A ,共15种.(ii )编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到的结果为{}15,A A ,{}16,A A ,{}25,A A ,{}26,A A , {}35,A A ,{}36,A A ,{}45,A A ,{}46,A A ,{}56,A A ,共9种,所以事件A 发生的概率()93.155P A == 考点:分层抽样与概率计算.16. (本小题满分13分)△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知△ABC的面积为12,cos ,4b c A -==-(I )求a 和sin C 的值;(II )求cos 26A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 的值.【答案】(I )a =8,sin C =(II . 【解析】考点:1.正弦定理、余弦定理及面积公式;2三角变换.17. (本小题满分13分)如图,已知1AA ⊥平面ABC ,11,BB AAAB =AC =3,1BC AA ==1BB = 点E ,F 分别是BC ,1AC 的中点. (I )求证:EF 平面11A B BA ; (II )求证:平面1AEA ⊥平面1BCB .(III )求直线11A B 与平面1BCB 所成角的大小.【答案】(I )见试题解析;(II )见试题解析;(III )30.【解析】试题分析:(I )要证明EF 平面11A B BA , 只需证明1EF BA 且EF ⊄ 平面11A B BA ;(II )要证明平面1AEA ⊥平面1BCB ,可证明AE BC ⊥,1BB AE ⊥;(III )取1B C 中点N,连接1A N ,则11A B N ∠ 就是直线11A B 与平面1BCB 所成角,Rt△11A NB 中,由11111sin ,2A N AB N A B ∠==得直线11A B 与平面1BCB 所成角为30. 试题解析:(I )证明:如图,连接1A B ,在△1A BC 中,因为E 和F 分别是BC ,1AC 的中点,所以1EF BA ,又因为EF ⊄ 平面11A B BA , 所以EF 平面11A B BA . (II )因为AB =AC ,E 为BC 中点,所以AE BC ⊥,因为1AA ⊥平面ABC ,11,BB AA 所以1BB ⊥平面ABC ,从而1BB AE ⊥,又1BCBB B = ,所以AE ⊥平面1BCB ,又因为AE ⊂平面1AEA ,所以平面1AEA ⊥平面1BCB.考点:1.空间中线面位置关系的证明;2.直线与平面所成的角18. (本小题满分13分)已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,{}n b 是等差数列,且112331,2a b b b a ==+=,5237a b -=. (I )求{}n a 和{}n b 的通项公式;(II )设*,n n n c a b n N =?,求数列{}n c 的前n 项和.【答案】(I )12,n n a n -*=∈N ,21,n b n n *=-∈N ;(II )()2323n n S n =-+ 【解析】试题分析:(I )列出关于q 与d 的方程组,通过解方程组求出q ,d ,即可确定通项;(II )用错位相减法求和.试题解析:(I )设{}n a 的公比为q ,{}n b 的公差为d ,由题意0q > ,由已知,有24232,310,q d q d ⎧-=⎨-=⎩ 消去d 得42280,q q --= 解得2,2q d == ,所以{}n a 的通项公式为12,n n a n -*=∈N , {}n b 的通项公式为21,n b n n *=-∈N .(II )由(I )有()1212n n c n -=- ,设{}n c 的前n 项和为n S ,则()0121123252212,n n S n -=⨯+⨯+⨯++-⨯ ()1232123252212,n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯两式相减得()()2312222122323,n n n n S n n -=++++--⨯=--⨯-所以()2323n n S n =-+ .考点:1.等差、等比数列的通项公式;2.错位相减法求和.19. (本小题满分14分) 已知椭圆22221(a b 0)x y a b+=>>的上顶点为B ,左焦点为F ,离心率为5, (I )求直线BF 的斜率;(II )设直线BF 与椭圆交于点P (P 异于点B ),故点B 且垂直于BF 的直线与椭圆交于点Q (Q 异于点B )直线PQ 与x 轴交于点M ,||=||PM MQ l . (i )求l 的值; (ii)若||sin PM BQP Ð求椭圆的方程. 【答案】(I )2;(II )(i )78 ;(ii )22 1.54x y += 【解析】试题分析:(I)先由c a =及222,a b c =+得,2a b c =,直线BF 的斜率()020b bk c c-===--;(II )先把直线BF ,BQ 的方程与椭圆方程联立,求出点P ,Q 横坐标,可得PM MQλ=7.8M P P Q MQ x x x x x x -===-(ii )先由||sin PM BQP Ð得=||sin BP PQ BQP Ð=15||sin 7PM BQP ?,由此求出c =1,故椭圆方程为221.54x y += 试题解析:(I )(),0F c - ,由已知c a =及222,a b c =+可得,2a b c == ,又因为()0,B b ,故直线BF 的斜率()020b bk c c-===-- .(II )设点()()(),,,,,P P Q Q M M P x y Q x y M x y ,(i )由(I )可得椭圆方程为22221,54x y c c+= 直线BF 的方程为22y x c =+ ,两方程联立消去y 得2350,x cx += 解得53P c x =-.因为BQ BP ⊥,所以直线BQ 方程为122y x c =-+ ,与椭圆方程联立消去y 得221400x cx -= ,解得4021Q cx =.又因为PM MQλ= ,及0M x = 得7.8M PPQ M Q x x x x x x λ-===- (ii )由(i )得78PMMQ =,所以777815PM PM MQ ==++,即157PQ PM = ,又因为||sin PM BQP Ð所以=||sin BP PQ BQP Ð=15||sin 7PM BQP ?又因为4223P P y x c c =+=-, 所以BP ==,因此1,c == 所以椭圆方程为22 1.54x y += 考点:直线与椭圆.20. (本小题满分14分)已知函数4()4,,f x x x x R =-?(I )求()f x 的单调性;(II )设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ,曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证:对于任意的正实数x ,都有()()f x g x £;(III )若方程()=()f x a a 为实数有两个正实数根12x x ,,且12x x <,求证:1321-43a x x <-+. 【答案】(I )()f x 的单调递增区间是(),1-∞ ,单调递减区间是()1,+∞;(II )见试题解析;(III )见试题解析.【解析】试题解析:(I )由4()4f x x x =-,可得3()44f x x ¢=-,当()0f x '> ,即1x < 时,函数()f x 单调递增;当()0f x '< ,即1x > 时,函数()f x 单调递减.所以函数()f x 的单调递增区间是(),1-∞ ,单调递减区间是()1,+∞.(II )设()0,0P x ,则1304x = ,()012,f x '=- 曲线()y f x = 在点P 处的切线方程为()()00y f x x x '=- ,即()()()00g x f x x x '=-,令()()()F x f x g x =- 即()()()()0F x f x f x x x '=-- 则()()()0F x f x f x '''=-.由于3()44f x x =-在(),-∞+∞ 单调递减,故()F x '在(),-∞+∞ 单调递减,又因为()00F x '=,所以当()0,x x ∈-∞时,()0F x '>,所以当()0,x x ∈+∞时,()0F x '<,所以()F x 在()0,x -∞单调递增,在()0,x +∞单调递减,所以对任意的实数x ,()()00F x F x ≤= ,对于任意的正实数x ,都有()()f x g x £.考点:1.导数的几何意义;2.导数的应用.。

天津市高考数学试题有解析文科

天津市高考数学试题有解析文科

2015年天津市高考数学试题(有解析文科)2015年天津市高考数学试题(有解析文科)一、选择题(每小题5分,共40分)1.已知全集,集合,集合,则集合()(A)(B)(C)(D)【答案】B【解析】试题分析:,,则,故选B.考点:集合运算2.设变量满足约束条件,则目标函数的最大值为()(A)7(B)8(C)9(D)14【答案】C考点:线性规划3.阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出i的值为()(A)2(B)3(C)4(D)5【答案】C【解析】试题分析:由程序框图可知:故选C.考点:程序框图.4.设,则“”是“”的()(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析:由,可知“”是“”的充分而不必要条件,故选A.考点:1.不等式;2.充分条件与必要条件.5.已知双曲线的一个焦点为,且双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的方程为()(A)(B)(C)(D)【答案】D考点:圆与双曲线的性质.6.如图,在圆O中,M,N是弦AB的三等分点,弦CD,CE分别经过点M,N,若CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE的长为()(A)(B)3(C)(D)【答案】A【解析】试题分析:由相交弦定理可故选A.考点:相交弦定理7.已知定义在R上的函数为偶函数,记,则,的大小关系为()(A)(B)(C)(D)【答案】B【解析】试题分析:由为偶函数得,所以,故选B.考点:1.函数奇偶性;2.对数运算.8.已知函数,函数,则函数的零点的个数为(A)2(B)3(C)4(D)5【答案】A考点:函数与方程.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.i是虚数单位,计算的结果为.【答案】-i【解析】试题分析:.考点:复数运算.10.一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为.【答案】【解析】试题分析:该几何体是由两个高为1的圆锥与一个高为2圆柱组合而成,所以该几何体的体积为.考点:1.三视图;2.几何体的体积.11.已知函数,其中a为实数,为的导函数,若,则a的值为.【答案】3【解析】试题分析:因为,所以.考点:导数的运算法则.12.已知则当a的值为时取得最大值.【答案】4【解析】试题分析:当时取等号,结合可得考点:基本不等式.13.在等腰梯形ABCD中,已知,点E和点F分别在线段BC和CD上,且则的值为.【答案】【解析】试题分析:在等腰梯形ABCD中,由,得,,,所以考点:平面向量的数量积.14.已知函数若函数在区间内单调递增,且函数的图像关于直线对称,则的值为.【答案】【解析】试题分析:由在区间内单调递增,且的图像关于直线对称,可得,且,所以考点:三角函数的性质.三、解答题:本大题共6小题,共80分.15.(本小题满分13分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛.(I)求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数;(II)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.(i)用所给编号列出所有可能的结果;(ii)设A为事件“编号为的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件A发生的概率.【答案】(I)3,1,2;(II)(i)见试题解析;(ii)【解析】试题分析:(I)由分层抽样方法可知应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2;(II)(i)一一列举,共15种;(ii)符合条件的结果有9种,所以.试题解析:(I)应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2;(II)(i)从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛,所有可能的结果为,,,,,,,,,,,,,,,共15种.(ii)编号为的两名运动员至少有一人被抽到的结果为,,,,,,,,,共9种,所以事件A发生的概率考点:分层抽样与概率计算.16.(本小题满分13分)△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为,(I)求a和sinC的值;(II)求的值.【答案】(I)a=8,;(II).【解析】考点:1.正弦定理、余弦定理及面积公式;2三角变换.17.(本小题满分13分)如图,已知平面ABC,AB=AC=3,,,点E,F分别是BC,的中点.(I)求证:EF平面;(II)求证:平面平面.(III)求直线与平面所成角的大小.【答案】(I)见试题解析;(II)见试题解析;(III). 【解析】试题分析:(I)要证明EF平面,只需证明且EF平面;(II)要证明平面平面,可证明,;(III)取中点N,连接,则就是直线与平面所成角,Rt△中,由得直线与平面所成角为. 试题解析:(I)证明:如图,连接,在△中,因为E和F分别是BC,的中点,所以,又因为EF平面,所以EF平面. (II)因为AB=AC,E为BC中点,所以,因为平面ABC,所以平面ABC,从而,又,所以平面,又因为平面,所以平面平面. 考点:1.空间中线面位置关系的证明;2.直线与平面所成的角18.(本小题满分13分)已知是各项均为正数的等比数列,是等差数列,且,.(I)求和的通项公式;(II)设,求数列的前n项和.【答案】(I),;(II)【解析】试题分析:(I)列出关于q与d的方程组,通过解方程组求出q,d,即可确定通项;(II)用错位相减法求和.试题解析:(I)设的公比为q,的公差为d,由题意,由已知,有消去d得解得,所以的通项公式为,的通项公式为. (II)由(I)有,设的前n项和为,则两式相减得所以.考点:1.等差、等比数列的通项公式;2.错位相减法求和.19.(本小题满分14分)已知椭圆的上顶点为B,左焦点为,离心率为,(I)求直线BF的斜率;(II)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B),故点B 且垂直于BF的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B)直线PQ 与x轴交于点M,.(i)求的值;(ii)若,求椭圆的方程.【答案】(I)2;(II)(i);(ii)【解析】试题分析:(I)先由及得,直线BF的斜率;(II)先把直线BF,BQ的方程与椭圆方程联立,求出点P,Q横坐标,可得(ii)先由得=,由此求出c=1,故椭圆方程为试题解析:(I),由已知及可得,又因为,故直线BF的斜率.(II)设点,(i)由(I)可得椭圆方程为直线BF的方程为,两方程联立消去y得解得.因为,所以直线BQ方程为,与椭圆方程联立消去y得,解得.又因为,及得(ii)由(i)得,所以,即,又因为,所以=.又因为,所以,因此所以椭圆方程为考点:直线与椭圆.20.(本小题满分14分)已知函数(I)求的单调性;(II)设曲线与轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为,求证:对于任意的正实数,都有;(III)若方程有两个正实数根且,求证:.【答案】(I)的单调递增区间是,单调递减区间是;(II)见试题解析;(III)见试题解析.【解析】试题解析:(I)由,可得,当,即时,函数单调递增;当,即时,函数单调递减.所以函数的单调递增区间是,单调递减区间是.(II)设,则,曲线在点P处的切线方程为,即,令即则. 由于在单调递减,故在单调递减,又因为,所以当时,,所以当时,,所以在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x,,对于任意的正实数,都有.考点:1.导数的几何意义;2.导数的应用.。

2015年高考真题——文科数学(天津卷)原卷版

2015年高考真题——文科数学(天津卷)原卷版

2015年天津卷高考数学试卷(文科)一、选择题1.已知全集{1,2,3,4,5,6}U =,集合{2,3,4}A =,集合{1,3,4,6}B =,则集合A U C B =(A) {3} (B) {2,5} (C) {1,4,6} (D){2,3,5}2.设变量,y x 满足约束条件2020280x x y x y ì-?ïï-?íï+-?ïî,则目标函数的最大值为3y z x =+ (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)143.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出i 的值为(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D)54.设R x Î,则“12x <<”是“|2|1x -<”的(A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件5.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为F(2,0), 且双曲线的渐近线与圆()222y 3x -+=相切,则双曲线的方程为 (A) 221913x y -= (B) 221139x y -= (C) 2213x y -= (D) 2213y x -= 6.如图,在圆O 中,M ,N 是弦AB 的三等分点,弦CD ,CE 分别经过点M ,N ,若CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE 的长为(A) 83 (B) 3 (C) 103 (D) 527.已知定义在R 上的函数||()21(m )x m f x -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,b,c a ,的大小关系为(A) b c a << (B) b c a << (C) b a c << (D) b c a <<8.已知函数22||,2()(2),2x x f x x x ì-?ï=í->ïî,函数()3(2)g x f x =--,则函数y ()()f x g x =-的零点的个数为(A) 2 (B) 3 (C)4 (D)5二:填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。

2015年高考数学(文)试题(天津卷)(有答案)

2015年高考数学(文)试题(天津卷)(有答案)
11.已知函数 ,其中a为实数, 为 的导函数,若 ,则a的值为.
12.已知 则当a的值为时 取得最大值。
13.在等腰梯形ABCD中,已知 , 点E和点F分别在线段BC和DC上,且 则 的值为.
14.已知函数 若函数 在区间 内单调递增,且函数 的图像关于直线 对称,则 的值为.
三、解答题:本大题共6小题,共80分。
2015年天津卷高考数学试卷(文科)
一、选择题
1.已知全集 ,集 ,集合 ,则集合
(A) (B) (C) (D)
2.设变量 满足约束条件 ,则目标函数的最大值为
(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)14
3.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出i的值为
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D)5
(I)解:设 ,由已知离心率 及 又因为 ,故直线BF的斜率
(II)设点 ,(i)由(I)可得椭圆方程为 直线BF的方程为 ,将直线方程与椭圆方程联立,消去y,得 解得 .因为 ,所以直线BQ方程为 ,与椭圆方程联立,消去y,整得 ,解得 .
二.填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分39分。
(9.)-i (10). (11) . 3 (12)4 (13) (14)
三.解答题
(15)本小题主要考查分层抽样,用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识,考查运用概率、统计知识解决简单实际问题的能力。满分13分
(ii)设A为事件“编号为 的两名运动员至少有1人被抽到”,求事件A发生的概率。
16.(13分)△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为 ,
(I)求a和sinC的值;
(II)求 的值。
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2015年天津市高考数学试卷(文科)一、选择题:每题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={2,3,5},集合B={1,3,4,6},则集合A∩∁U B=()A.{3}B.{2,5}C.{1,4,6}D.{2,3,5}2.(5分)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x+y的最大值为()A.7 B.8 C.9 D.143.(5分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出i的值为()A.2 B.3 C.4 D.54.(5分)设x∈R,则“1<x<2”是“|x﹣2|<1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x﹣2)2+y2=3相切,则双曲线的方程为()A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣y2=1 D.x2﹣=16.(5分)如图,在圆O中,M、N是弦AB的三等分点,弦CD,CE分别经过点M,N,若CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE的长为()A.B.3 C.D.7.(5分)已知定义在R上的函数f(x)=2|x﹣m|﹣1(m为实数)为偶函数,记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.c<b<a8.(5分)已知函数f(x)=,函数g(x)=3﹣f(2﹣x),则函数y=f(x)﹣g(x)的零点个数为()A.2 B.3 C.4 D.5二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.(5分)i是虚数单位,计算的结果为.10.(5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.11.(5分)已知函数f(x)=a x lnx,x∈(0,+∞),其中a为实数,f′(x)为f (x)的导函数,若f′(1)=3,则a的值为.12.(5分)已知a>0,b>0,ab=8,则当a的值为时,log2a•log2(2b)取得最大值.13.(5分)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°,点E 和F分别在线段BC和DC上,且=,=,则•的值为.14.(5分)已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),x∈R,若函数f(x)在区间(﹣ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为.三、解答题:本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(13分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.(Ⅰ)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数;(Ⅱ)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6,现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛.(i)用所给编号列出所有可能的结果;(ii)设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”,求事件A 发生的概率.16.(13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC 的面积为3,b﹣c=2,cosA=﹣.(Ⅰ)求a和sinC的值;(Ⅱ)求cos(2A+)的值.17.(13分)如图,已知AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,AB=AC=3,BC=2,AA1=,BB1=2,点E和F分别为BC和A1C的中点.(Ⅰ)求证:EF∥平面A1B1BA;(Ⅱ)求证:平面AEA1⊥平面BCB1;(Ⅲ)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小.18.(13分)已知{a n}是各项均为正数的等比数列,{b n}是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5﹣3b2=7.(Ⅰ)求{a n}和{b n}的通项公式;(Ⅱ)设c n=a n b n,n∈N*,求数列{c n}的前n项和.19.(14分)已知椭圆+=1(a>b>0)的上顶点为B,左焦点为F,离心率为.(Ⅰ)求直线BF的斜率.(Ⅱ)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B),过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B),直线PQ与y轴交于点M,|PM|=λ|MQ|.(i)求λ的值.(ii)若|PM|sin∠BQP=,求椭圆的方程.20.(14分)已知函数f(x)=4x﹣x4,x∈R.(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g (x),求证:对于任意的实数x,都有f(x)≤g(x);(Ⅲ)若方程f(x)=a(a为实数)有两个实数根x1,x2,且x1<x2,求证:x2﹣x1≤﹣+4.2015年天津市高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:每题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)(2015•天津)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={2,3,5},集合B={1,3,4,6},则集合A∩∁U B=()A.{3}B.{2,5}C.{1,4,6}D.{2,3,5}【分析】求出集合B的补集,然后求解交集即可.【解答】解:全集U={1,2,3,4,5,6},集合B={1,3,4,6},∁U B={2,5},又集合A={2,3,5},则集合A∩∁U B={2,5}.故选:B.【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算,基本知识的考查.2.(5分)(2015•天津)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x+y 的最大值为()A.7 B.8 C.9 D.14【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,求最大值.【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分).由z=3x+y得y=﹣3x+z,平移直线y=﹣3x+z,由图象可知当直线y=﹣3x+z经过点A时,直线y=﹣3x+z的截距最大,此时z最大.由,解得,即A(2,3),代入目标函数z=3x+y得z=3×2+3=9.即目标函数z=3x+y的最大值为9.故选:C.【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.3.(5分)(2015•天津)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出i 的值为()A.2 B.3 C.4 D.5【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的i,S的值,当S=0时满足条件S≤1,退出循环,输出i的值为4.【解答】解:模拟执行程序框图,可得S=10,i=0i=1,S=9不满足条件S≤1,i=2,S=7不满足条件S≤1,i=3,S=4不满足条件S≤1,i=4,S=0满足条件S≤1,退出循环,输出i的值为4.故选:C.【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,正确写出每次循环得到的i,S 的值是解题的关键,属于基础题.4.(5分)(2015•天津)设x∈R,则“1<x<2”是“|x﹣2|<1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】求解:|x﹣2|<1,得出“1<x<2”,根据充分必要条件的定义判断即可.【解答】解:∵|x﹣2|<1,∴1<x<3,∵“1<x<2”∴根据充分必要条件的定义可得出:“1<x<2”是“|x﹣2|<1”的充分不必要条件.故选:A【点评】本题考查了简单的不等式的求解,充分必要条件的定义,属于容易题.5.(5分)(2015•天津)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一个焦点为F (2,0),且双曲线的渐近线与圆(x﹣2)2+y2=3相切,则双曲线的方程为()A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣y2=1 D.x2﹣=1【分析】由题意可得双曲线的渐近线方程,根据圆心到切线的距离等于半径得,求出a,b的关系,结合焦点为F(2,0),求出a,b的值,即可得到双曲线的方程.【解答】解:双曲线的渐近线方程为bx±ay=0,∵双曲线的渐近线与圆(x﹣2)2+y2=3相切,∴,∴b=a,∵焦点为F(2,0),∴a2+b2=4,∴a=1,b=,∴双曲线的方程为x2﹣=1.故选:D.【点评】本题考查点到直线的距离公式,双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,求出a,b的值,是解题的关键.6.(5分)(2015•天津)如图,在圆O中,M、N是弦AB的三等分点,弦CD,CE分别经过点M,N,若CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE的长为()A.B.3 C.D.【分析】由相交弦定理求出AM,再利用相交弦定理求NE即可.【解答】解:由相交弦定理可得CM•MD=AM•MB,∴2×4=AM•2AM,∴AM=2,∴MN=NB=2,又CN•NE=AN•NB,∴3×NE=4×2,∴NE=.故选:A.【点评】本题考查相交弦定理,考查学生的计算能力,比较基础.7.(5分)(2015•天津)已知定义在R上的函数f(x)=2|x﹣m|﹣1(m为实数)为偶函数,记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.c<b<a【分析】根据函数的奇偶性得出f(x)=2|x|﹣1=,利用单调性求解即可.【解答】解:∵定义在R上的函数f(x)=2|x﹣m|﹣1(m为实数)为偶函数,∴f(﹣x)=f(x),m=0,∵f(x)=2|x|﹣1=,∴f(x)在(0,+∞)单调递增,∵a=f(log0.53)=f(log23),b=f(log25),c=f(2m)=f(0)=0,0<log23<log25,∴c<a<b,故选:B【点评】本题考查了对数函数的性质,函数的奇偶性,单调性,计算能力,属于中档题.8.(5分)(2015•天津)已知函数f(x)=,函数g(x)=3﹣f(2﹣x),则函数y=f(x)﹣g(x)的零点个数为()A.2 B.3 C.4 D.5【分析】求出函数y=f(x)﹣g(x)的表达式,构造函数h(x)=f(x)+f(2﹣x),作出函数h(x)的图象,利用数形结合进行求解即可.【解答】解:∵g(x)=3﹣f(2﹣x),∴y=f(x)﹣g(x)=f(x)﹣3+f(2﹣x),由f(x)﹣3+f(2﹣x)=0,得f(x)+f(2﹣x)=3,设h(x)=f(x)+f(2﹣x),若x≤0,则﹣x≥0,2﹣x≥2,则h(x)=f(x)+f(2﹣x)=2+x+x2,若0≤x≤2,则﹣2≤﹣x≤0,0≤2﹣x≤2,则h(x)=f(x)+f(2﹣x)=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2,若x>2,﹣x<0,2﹣x<0,则h(x)=f(x)+f(2﹣x)=(x﹣2)2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8.即h(x)=,作出函数h(x)的图象如图:当y=3时,两个函数有2个交点,故函数y=f(x)﹣g(x)的零点个数为2个,故选:A.【点评】本题主要考查函数零点个数的判断,根据条件求出函数的解析式,利用数形结合是解决本题的关键.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.(5分)(2015•天津)i是虚数单位,计算的结果为﹣i.【分析】直接利用复数的除法运算法则化简求解即可.【解答】解:i是虚数单位,===﹣i.故答案为:﹣i.【点评】本题考查复数的乘除运算,基本知识的考查.10.(5分)(2015•天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体,结合图中数据求出它的体积.【解答】解:根据几何体的三视图,得;该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体,且圆柱底面圆的半径为1,高为2,圆锥底面圆的半径为1,高为1;∴该几何体的体积为V几何体=2×π•12×1+π•12•2=π.故答案为:π.【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题,是基础题目.11.(5分)(2015•天津)已知函数f(x)=a x lnx,x∈(0,+∞),其中a为实数,f′(x)为f(x)的导函数,若f′(1)=3,则a的值为3.【分析】由题意求出f'(x),利用f′(1)=3,求a.【解答】解:因为f(x)=a x lnx,所以f′(x)=f(x)=lna•a x lnx+a x,又f′(1)=3,所以a=3;故答案为:3.【点评】本题考查了求导公式的运用;熟练掌握求导公式是关键.12.(5分)(2015•天津)已知a>0,b>0,ab=8,则当a的值为4时,log2a•log2(2b)取得最大值.【分析】由条件可得a>1,再利用基本不等式,求得当a=4时,log2a•log2(2b)取得最大值,从而得出结论.【解答】解:由题意可得当log2a•log2(2b)最大时,log2a和log2(2b)都是正数,故有a>1.再利用基本不等式可得log2a•log2(2b)≤===4,当且仅当a=2b=4时,取等号,即当a=4时,log2a•log2(2b)取得最大值,故答案为:4.【点评】本题主要考查基本不等式的应用,注意检查等号成立条件以及不等式的使用条件,属于中档题.13.(5分)(2015•天津)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°,点E和F分别在线段BC和DC上,且=,=,则•的值为.【分析】根据向量数量积的公式和应用,进行运算求解即可.【解答】解:∵AB=2,BC=1,∠ABC=60°,∴BG==,CD=2﹣1=1,∠BCD=120°,∵=,=,∴•=(+)•(+)=(+)•(+)=•+•+•+•=2×1×cos60°+×2×1×cos0°+×1×1×cos60°+××1×1×cos120°=1+=,故答案为:【点评】本题主要考查向量数量积的应用,根据条件确定向量的长度和夹角是解决本题的关键.14.(5分)(2015•天津)已知函数f(x)=s inωx+cosωx(ω>0),x∈R,若函数f(x)在区间(﹣ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为.【分析】由两角和的正弦函数公式化简解析式可得f(x)=sin(ωx+),由2kπ﹣≤ωx+≤2kπ+,k∈Z可解得函数f(x)的单调递增区间,结合已知可得:﹣ω≥①,ω≤②,k∈Z,从而解得k=0,又由ωx+=kπ+,可解得函数f(x)的对称轴为:x=,k∈Z,结合已知可得:ω2=,从而可求ω的值.【解答】解:∵f(x)=sinωx+co sωx=sin(ωx+),∵函数f(x)在区间(﹣ω,ω)内单调递增,ω>0∴2kπ﹣≤ωx+≤2kπ+,k∈Z可解得函数f(x)的单调递增区间为:[,],k∈Z,∴可得:﹣ω≥①,ω≤②,k∈Z,∴解得:0<ω2≤且0<ω2≤2k,k∈Z,解得:﹣,k∈Z,∴可解得:k=0,又∵由ωx+=kπ+,可解得函数f(x)的对称轴为:x=,k∈Z,∴由函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,可得:ω2=,可解得:ω=.故答案为:.【点评】本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,考查了正弦函数的图象和性质,正确确定k的值是解题的关键,属于中档题.三、解答题:本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(13分)(2015•天津)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.(Ⅰ)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数;(Ⅱ)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6,现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛.(i)用所给编号列出所有可能的结果;(ii)设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”,求事件A 发生的概率.【分析】(Ⅰ)由题意可得抽取比例,可得相应的人数;(Ⅱ)(i)列举可得从6名运动员中随机抽取2名的所有结果共15种;(ii)事件A包含上述9个,由概率公式可得.【解答】解:(Ⅰ)由题意可得抽取比例为=,27×=3,9×=1,18×=2,∴应甲、乙、丙三个协会中分别抽取的运动员的人数为3、1、2;(Ⅱ)(i)从6名运动员中随机抽取2名的所有结果为:(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,A5),(A1,A6),(A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A2,A6),(A3,A4),(A3,A5),(A3,A6),(A4,A5),(A4,A6)),(A5,A6),共15种;(ii)设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”,则事件A包含:(A1,A5),(A1,A6),(A2,A5),(A2,A6),(A3,A5),(A3,A6),(A4,A5),(A4,A6)),(A5,A6)共9个基本事件,∴事件A发生的概率P==【点评】本题考查古典概型及其概率公式,涉及分层抽样,属基础题.16.(13分)(2015•天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为3,b﹣c=2,cosA=﹣.(Ⅰ)求a和sinC的值;(Ⅱ)求cos(2A+)的值.【分析】(Ⅰ)通过三角形的面积以及已知条件求出b,c,利用正弦定理求解sinC 的值;(Ⅱ)利用两角和的余弦函数化简cos(2A+),然后直接求解即可.【解答】解:(Ⅰ)在三角形ABC中,由cosA=﹣,可得sinA=,△ABC的面积为3,可得:,可得bc=24,又b﹣c=2,解得b=6,c=4,由a2=b2+c2﹣2bccosA,可得a=8,,解得sinC=;(Ⅱ)cos(2A+)=cos2Acos﹣sin2Asin==.【点评】本题考查同角三角函数的基本关系式,二倍角公式,余弦定理的应用,考查计算能力.17.(13分)(2015•天津)如图,已知AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,AB=AC=3,BC=2,AA1=,BB1=2,点E和F分别为BC和A1C的中点.(Ⅰ)求证:EF∥平面A1B1BA;(Ⅱ)求证:平面AEA1⊥平面BCB1;(Ⅲ)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小.【分析】(Ⅰ)连接A1B,易证EF∥A1B,由线面平行的判定定理可得;(Ⅱ)易证AE⊥BC,BB1⊥AE,可证AE⊥平面BCB1,进而可得面面垂直;(Ⅲ)取BB1中点M和B1C中点N,连接A1M,A1N,NE,易证∠A1B1N即为直线A1B1与平面BCB1所成角,解三角形可得.【解答】(Ⅰ)证明:连接A1B,在△A1BC中,∵E和F分别是BC和A1C的中点,∴EF∥A1B,又∵A1B⊂平面A1B1BA,EF⊄平面A1B1BA,∴EF∥平面A1B1BA;(Ⅱ)证明:∵AB=AC,E为BC中点,∴AE⊥BC,∵AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,∴BB1⊥平面ABC,∴BB1⊥AE,又∵BC∩BB1=B,∴AE⊥平面BCB1,又∵AE⊂平面AEA1,∴平面AEA1⊥平面BCB1;(Ⅲ)取BB1中点M和B1C中点N,连接A1M,A1N,NE,∵N和E分别为B1C和BC的中点,∴NE平行且等于B1B,∴NE平行且等于A1A,∴四边形A1AEN是平行四边形,∴A1N平行且等于AE,又∵AE⊥平面BCB1,∴A1N⊥平面BCB1,∴∠A1B1N即为直线A1B1与平面BCB1所成角,在△ABC中,可得AE=2,∴A1N=AE=2,∵BM∥AA1,BM=AA1,∴A1M∥AB且A1M=AB,又由AB⊥BB1,∴A1M⊥BB1,在RT△A1MB1中,A1B1==4,在RT△A1NB1中,sin∠A1B1N==,∴∠A1B1N=30°,即直线A1B1与平面BCB1所成角的大小为30°【点评】本题考查线面垂直与平行关系的证明,涉及直线与平面所成的角,属中档题.18.(13分)(2015•天津)已知{a n}是各项均为正数的等比数列,{b n}是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5﹣3b2=7.(Ⅰ)求{a n}和{b n}的通项公式;(Ⅱ)设c n=a n b n,n∈N*,求数列{c n}的前n项和.【分析】(Ⅰ)设出数列{a n}的公比和数列{b n}的公差,由题意列出关于q,d的方程组,求解方程组得到q,d的值,则等差数列和等比数列的通项公式可求;(Ⅱ)由题意得到,然后利用错位相减法求得数列{c n}的前n 项和.【解答】解:(Ⅰ)设数列{a n}的公比为q,数列{b n}的公差为d,由题意,q>0,由已知有,消去d整理得:q4﹣2q2﹣8=0.∵q>0,解得q=2,∴d=2,∴数列{a n}的通项公式为,n∈N*;数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣1,n∈N*.(Ⅱ)由(Ⅰ)有,设{c n}的前n项和为S n,则,,两式作差得:=2n+1﹣3﹣(2n﹣1)×2n=﹣(2n ﹣3)×2n﹣3.∴.【点评】本题主要考查等差数列、等比数列及其前n项和,考查数列求和的基本方法和运算求解能力,是中档题.19.(14分)(2015•天津)已知椭圆+=1(a>b>0)的上顶点为B,左焦点为F,离心率为.(Ⅰ)求直线BF的斜率.(Ⅱ)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B),过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B),直线PQ与y轴交于点M,|PM|=λ|MQ|.(i)求λ的值.(ii)若|PM|sin∠BQP=,求椭圆的方程.【分析】(Ⅰ)通过e=、a2=b2+c2、B(0,b),计算即得结论;(Ⅱ)设点P(x P,y P),Q(x Q,y Q),M(x M,y M).(i)通过(I),联立直线BF 与椭圆方程,利用韦达定理可得x P=﹣,利用BQ⊥BP,联立直线BQ与椭圆方程,通过韦达定理得x Q=,计算即得结论;(ii)通过=可得|PQ|=|PM|,利用|PM|sin∠BQP=,可得|BP|=,通过y P=2x P+2c=﹣c 计算可得c=1,进而可得结论.【解答】解:(Ⅰ)设左焦点F(﹣c,0),∵离心率e=,a2=b2+c2,∴a=c,b=2c,又∵B(0,b),∴直线BF的斜率k===2;(Ⅱ)设点P(x P,y P),Q(x Q,y Q),M(x M,y M).(i)由(I)知a=c,b=2c,k BF=2,∴椭圆方程为+=1,直线BF方程为y=2x+2c,联立直线BF与椭圆方程,消去y并整理得:3x2+5cx=0,解得x P=﹣,∵BQ⊥BP,∴直线BQ的方程为:y=﹣x+2c,联立直线BQ与椭圆方程,消去y并整理得:21x2﹣40cx=0,解得x Q=,又∵λ=,及x M=0,∴λ===;(ii)∵=,∴==,即|PQ|=|PM|,又∵|PM|sin∠BQP=,∴|BP|=|PQ|sin∠BQP=|PM|sin∠BQP=,又∵y P=2x P+2c=﹣c,∴|BP|==c,因此=c,即c=1,∴椭圆的方程为:+=1.【点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、两条直线垂直等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质,考查运算求解能力以及用方程思想和化归思想解决问题的能力,属于中档题.20.(14分)(2015•天津)已知函数f(x)=4x﹣x4,x∈R.(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g (x),求证:对于任意的实数x,都有f(x)≤g(x);(Ⅲ)若方程f(x)=a(a为实数)有两个实数根x1,x2,且x1<x2,求证:x2﹣x1≤﹣+4.【分析】(Ⅰ)求出原函数的导函数,得到导函数的零点,由零点对定义域分段,根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性;(Ⅱ)设出点p的坐标,利用导数求出切线方程g(x)=f′(x0)(x﹣x0),构造辅助函数F(x)=f(x)﹣g(x),利用导数得到对于任意实数x,有F(x)≤F(x0)=0,即对任意实数x,都有f(x)≤g(x);(Ⅲ)由(Ⅱ)知,,求出方程g(x)=a的根,由g(x)在(﹣∞,+∞)上单调递减,得到x2≤x2′.同理得到x1′≤x1,则可证得.【解答】(Ⅰ)解:由f(x)=4x﹣x4,可得f′(x)=4﹣4x3.当f′(x)>0,即x<1时,函数f(x)单调递增;当f′(x)<0,即x>1时,函数f(x)单调递减.∴f(x)的单调递增区间为(﹣∞,1),单调递减区间为(1,+∞).(Ⅱ)证明:设点p的坐标为(x0,0),则,f′(x0)=﹣12,曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y=f′(x0)(x﹣x0),即g(x)=f′(x0)(x﹣x0),令函数F(x)=f(x)﹣g(x),即F(x)=f(x)﹣f′(x0)(x﹣x0),则F′(x)=f′(x)﹣f′(x0).∵F′(x0)=0,∴当x∈(﹣∞,x0)时,F′(x)>0;当x∈(x0,+∞)时,F′(x)<0,∴F(x)在(﹣∞,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减,∴对于任意实数x,F(x)≤F(x0)=0,即对任意实数x,都有f(x)≤g(x);(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)知,,设方程g(x)=a的根为x2′,可得.∵g(x)在(﹣∞,+∞)上单调递减,又由(Ⅱ)知g(x2)≥f(x2)=a=g(x2′),因此x2≤x2′.类似地,设曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=h(x),可得h(x)=4x,对于任意的x∈(﹣∞,+∞),有f(x)﹣h(x)=﹣x4≤0,即f(x)≤h(x).设方程h(x)=a的根为x1′,可得,∵h(x)=4x在(﹣∞,+∞)上单调递增,且h(x1′)=a=f(x1)≤h(x1),因此x1′≤x1,由此可得.【点评】本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质等基础知识.考查函数思想、化归思想,考查综合分析问题和解决问题的能力,是压轴题.参与本试卷答题和审题的老师有:qiss;w3239003;sdpyqzh;刘长柏;maths;742048;changq;caoqz;lincy;sxs123;cst(排名不分先后)菁优网2017年3月17日。

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