《高等数学B》 第四章 中值定理及导数的应用 第2节 洛必达法则

x3 − 3 x + 2 . 例2 求 lim 3 2 x →1 x − x − x + 1
0 ( ) 0
6x 3x2 − 3 3 解 原式 = lim 2 = lim = . x →1 3 x − 2 x − 1 x →1 6 x − 2 2
π
例3 求 lim 2
x → +∞
− arctan x .
tan x . 例5 求 lim π tan 3 x x→
2
∞ ( ) ∞
sec2 x 1 cos 2 3 x 解 原式 = lim = lim 2 π 3 sec 3 x π cos 2 x 3 x→ x→
2 2
1 − 6 cos 3 x sin 3 x sin 6 x = lim = lim π 3 x →π − 2 cos x sin x x → sin 2 x
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求 极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则 .
证 定义辅助函数
f ( x), f1 ( x ) = 0, x ≠ a, x = a. F ( x) , F1 ( x ) = 0, x ≠ a, x = a.
在 U (a , δ )内任取一点 x , 在以 a 与 x 为端点的区间上 ,
1 1 0−0 步骤: ∞ − ∞ ⇒ − ⇒ 步骤: . 0 0 0⋅0
1 1 − ). 例8 求 lim( x → 0 sin x x
解 原式 = lim x − sin x x → 0 x ⋅ sin x
(∞−∞ )
1 − cos x =0. = lim x → 0 sin x + x cos x
∞
1. 0 ⋅ ∞ 型
1 1 步骤: 步骤: 0 ⋅ ∞ ⇒ ⋅ ∞ , 或 0 ⋅ ∞ ⇒ 0 ⋅ . 0 ∞
2 x 例7 求 lim x − e . x → +∞
( 0⋅∞ )
ex ex 解 原式 = lim = lim = +∞ . x → +∞ 2 x x → +∞ 2
2. ∞ − ∞ 型
1 原式 = lim (1 + cos x ) = 1 . x →∞ x
三、小结 洛必达法则
00 ,1∞ , ∞ 0 型
0 型 0 ∞ 型 ∞
令y = f g 取对数
∞−∞型
1 g −1 f f −g= 1 g ⋅1 f
0⋅∞ 型
f ⋅g= f 1g
§2 洛必达法则
0 ∞ 一、 型及 型未定式解法 : 洛必达法则 0 ∞ 定义 如果当 x → a (或 x → ∞ ) 时 , 两个函数 f ( x )与
f ( x) F ( x ) 都趋于零或都趋于无穷大 , 那末极限 lim x →a F ( x ) ( x →∞ ) 0 可能存在 、 也可能不存在 . 通常把这种极限称为 或 0 ∞ 型未定式 . ∞ tan x 0 ex ∞ 例如, 例如 lim , ( ) lim 2 , ( ) x→0 x →∞ x → x 0 ∞
lim x ln x
=e
ln x x → 0+ 1 x lim
=e
1 lim x x → 0+ − 1 x2
= e0 = 1 .
例10 求 lim x
x →1
x →1
1 1− x
.
( 1∞ )
=e
lim ln x x →11− x
解 原式 = lim e
x→0
1 ln x 1− x
=e
1 lim x x →1 − 1
定理 设 (1) 当 x → a 时 , 函数 f ( x )及 F ( x ) 都趋于零 ; ( 2) 在 a 点的某去心邻域内 , f ′( x )及 F ′( x ) 都存在, 且
F ′( x ) ≠ 0 ; f ′( x ) ( 3) lim 存在(或为无穷大 ) ; x → a F ′( x ) f ( x) f ′( x ) . 那末 lim = lim x →a F ( x ) x → a F ′( x )
1 x 1 − 2 x2 1. 解 原式 = lim 1 + x = lim 2 = x → +∞ 1 x → +∞ 1 + x − 2 x
0 ( ) 0
ln sin ax . 例4 求 lim x→0 ln sin bx →
(
∞ ) ∞
a cos ax ⋅ sin bx cos bx 解 原式 = lim =1. = lim x → 0 b cos bx ⋅ sin ax x → 0 cos ax
当 x → ∞ 时 , 该法则仍然成立.
f ( x) f ′( x ) lim . = lim x →∞ F ( x ) x → ∞ F ′( x ) ∞ 当 x → a , x → ∞ 时的未定式 , 也有相应的洛必达法则 . ∞
tan x . 例1 求 lim x→0 → x
0 ( ) 0
(tan x )′ sec 2 x 解 原式 = lim = lim =1. x→ 0 → x → 0 ( x )′ 1
f1 ( x ) , F1 ( x ) 满足柯西中值定理的条 件 , 则有
f ′(ξ ) f ( x ) f ( x ) − f (a ) = ( ξ 在 x 与 a 之间) = F ( x ) F ( x ) − F (a ) F ′(ξ )
f ′( x ) f ′(ξ ) 当 x → a 时 , ξ → a , ∵ lim = A , ∴ lim = A, x → a F ′( x ) ξ → a F ′(ξ ) f ( x) f ′(ξ ) ∴ lim = lim = A. x →a F ( x ) ξ → a F ′(ξ ) 证毕。 证毕。
f ′( x ) 0 如果 仍属 型, 且 f ′( x ) , F ′( x ) 满足定理的条 F ′( x ) 0 件 , 可以继续使用洛必达法 则, 即
f ( x) f ′( x ) f ′′( x ) lim = lim = lim =⋯. x →a F ( x ) x → a F ′( x ) x → a F ′′( x )
= e −1 .
例11 求 lim+ (cot x )
1 ln x
1 ln x
. ( ∞0 )
=e
1 ⋅ln(cot x ) ln x
1 1 − ⋅ 2 1 ∵ lim+ ⋅ ln(cot x ) = lim+ cot x sin x 1 x → 0 ln x x →0 x −x = lim+ = −1 , x → 0 cos x ⋅ sin x ∴ 原式 = e .
sec2 x − 1 2 sec2 x tan x = lim = lim 2 x →0 x→0 6x 3x 1 tan x 1 = lim = . 3 x →0 x 3
二 、0 ⋅ ∞ , ∞ − ∞ , 0 , 1 , ∞ 型未定式解法
0 0
∞
关键: 关键: 将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的 0 ∞ ( ), ( ) . 类型 0
−1
解 取对数得 (cot x )
,
注意: 洛必达法则的使用条件. 注意 洛必达法则的使用条件 例12
x + cos x . 求 lim x →∞ x
1 − sin x 解 原式 = lim = lim (1 − sin x ) . x →∞ x →∞ 1
洛必达法则失效. 洛必达法则失效 极限不存在
3. 0 , 1 , ∞ 型
0 0
∞
步骤: 步骤: 00
0 ⋅ ln 0 取对数 ∞ 1 → ∞ ⋅ ln 1 ⇒ 0 ⋅ ∞ . 0 ⋅ ln ∞ 0 ∞
x→0
例9 求 lim+ x x . 解 原式 = lim+ e
x →0
(0 )
x ln x
0
=e
x → 0+
2 2
6 cos 6 x = lim =3. π x → 2 cos 2 x
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注意: 注意: 洛必达法则是求未定式的一种有效方法 但与 其它求极限方法结合使用, 效果更好. 其它求极限方法结合使用 效果更好 .
tan x − x . 例6 求 lim 2 x → 0 x tan x tan x − x 解 原式 = lim (∵ tan x ∼ x ) 3 x→ x →0 x