《高等数学B》 第四章 中值定理及导数的应用 第2节 洛必达法则
(完整版)《高等数学B(经管类)》课程教学大纲
《高等数学B(经管类)》课程教学大纲(Advanced Mathematics B（Economics and Management）)课程编号：161990172学分：10学时：160 （其中：讲课学时：160 实验学时：0 上机学时：0 ）先修课程：无后续课程：线性代数、概率论与数理统计适用专业：经管类专业本科生开课部门：理学院一、课程的性质与目标本课程属于经管类公共基础必修课。
本课程的任务是使学生获得一元函数微积分及其应用、多元函数微积分及其应用、无穷级数与常微分方程等方面的基本概念、基本理论、基本方法和运算技能，以及在经济管理中的一些简单应用，为学习后继课程奠定必要的数学基础，同时培养学生思维能力、推理能力、自学能力、解决问题的能力。
二、课程的主要内容及基本要求第1章函数（4学时）[知识点]集合、函数的基本性质、复合函数与反函数、基本初等函数与初等函数、函数关系的建立、经济学中的常用函数[重点]函数概念，基本初等函数；经济学中的常用函数[难点]建立函数关系[基本要求]1、识记：函数的基本性质；复合函数、反函数的概念及其运算；2、领会：基本初等函数的类型，理解初等函数的概念；3、简单应用：简单问题中函数关系的建立；4、综合应用：经济学中的常用函数关系的建立[考核要求]回顾中学相关知识，介绍有关函数的新知识，为后续学习打下基础第2章极限与连续（18学时）[知识点]数列的极限、函数极限、无穷小与无穷大、极限运算法则、极限存在准则、两个重要极限、连续复利、无穷小的比较、函数的连续性、闭区间上连续函数的性质[重点]极限运算法则，求极限的方法，无穷小的比较、函数的连续性[难点]求极限的方法；函数的间断点的判定[基本要求]1、识记：数列极限的定义和性质；函数极限的定义和性质；无穷小的定义、性质及其与无穷大的关系；函数连续性、间断点的概念；闭区间上连续函数的性质2、领会：理解极限运算法则，掌握求极限的方法；理解极限存在准则，掌握两个重要极限，；掌握等价无穷小及其在求极限中的应用方法；3、简单应用：等价无穷小及其在求极限中的应用；4、综合应用：经济学中的连续复利问题[考核要求]要求学生能直观理解极限的含义，掌握求极限的方法，明确本章的重要地位。
高等数学课件同济版第二节洛必达法则
汇报人：
目录
洛必达法则的起源和历史
洛必达法则是由法国数学家洛必达提出的 洛必达法则是微积分中的一个重要法则，用于解决极限问题 洛必达法则在17世纪末被提出，并在18世纪初被广泛应用
洛必达法则在微积分的发展中起到了重要作用，对现代数学和科学产生了深远影响
洛必达法则在高等数学中的地位和作用
洛必达法则是微积 分中的一个重要定 理，用于解决极限 问题
洛必达法则在高等 数学中广泛应用于 求极限、求导数、 求积分等问题
洛必达法则是解决 复杂极限问题的有 效工具，可以提高 求解效率
洛必达法则在高等 数学中具有重要的 理论价值和实际应 用价值
洛必达法则的定义和定理
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洛必达法则：一种用于求极限的方法，由法国数学家洛必达提出
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法则的逆形式
洛必达法则的变种：包括洛必 达法则的推广形式和洛必达法 则的逆形式
洛必达法则的变种和推广形式： 包括洛必达法则的推广形式和 洛必达法则的逆形式
总结洛必达法则的重要性和应用价值
洛必达法则是微积分中的重要定理， 对于解决极限问题具有重要意义。
洛必达法则可以帮助我们更好地理 解和掌握微积分的基本概念和方法。
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洛必达法则在工程、物理、经济等 领域有着广泛的应用价值。
洛必达法则在解决实际问题时，可 以提高计算效率和准确性。
分析洛必达法则在高等数学中的地位和发展趋势
洛必达法则是微积 分中的重要定理， 广泛应用于求极限、 导数、积分等领域
洛必达法则在高等数 学中的地位：是解决 复杂数学问题的重要 工具，也是理解微积 分概念的重要途径
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高等数学 微分中值定理与导数的应用 (4.2.1)--洛必达法则
不存在并不意味着
lim
xa
f (x) g(x)
不存在
■ 推论
在定理的条件中 x a 改为 x ，有
l
f (x) g ( x)
■ 定理( 型 )
（1） lim g(x) xa
（2）f (x)，g(x) 在 a 的邻域可
且 g(x) 0
A
法法法法法
0 0
型的极限
lim
xa
f (x) g(x)
lim
xa
f (x) g ( x)
在右端有意义 的情况下成立
证明方法 : 怎样应用 Cauchy 定理？
x a+( 或 a-, 等 ) 法则仍适用
应用法则时勿忘等价无穷小替换
lim
xa
f (x) g ( x)
Chap 4 .2
L’Hospital 法则
■
定理(
0 0
型
)
（1）lim f (x) lim g(x) 0
xa
xa
（2） f (x)，g(x) 在 a点邻域可导 且 g(x) 0
（3）lim xa
f (x) g ( x)
A
( A 可以为)
lim
xa
f (x) g(x)
导
lim
xa
f (x) g(x)
A
（3）lim xa
f (x) g ( x)
A
( A 可以为)
x a+( 或 a-, 等 ) 法则仍适用
■
0 , , 00 , 1 , 0 型 化为
0 0
或
《高等数学B》第四章中值定理及导数的应用第2节洛必达法则
《高等数学B》第四章中值定理及导数的应用第2节洛必达法则洛必达法则（L'Hôpital's rule）是一种常用于求解极限的方法，该方法是由法国数学家Guillaume de l'Hôpital在1696年提出的。
洛必达法则适用于形如$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$的极限。
具体来说，如果对于函数$f(x)$和$g(x)$，当$x \to a$时，$f(x)$和$g(x)$分别趋于0或无穷大，且$f'(x)$和$g'(x)$都存在（其中$f'(x)$和$g'(x)$分别表示$f(x)$和$g(x)$的导数），则有：$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$其中，等式右边的极限表示对$\frac{f'(x)}{g'(x)}$求导后再取$x \to a$的极限。
这个法则的推导基于泰勒展开的思想。
我们知道，对于充分光滑（即具有连续的导数）的函数，它在其中一点周围可以用泰勒级数展开。
假设$f(x)$和$g(x)$在$a$的邻域内都可展开，则有：$$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2 +\cdots$$$$g(x) = g(a) + g'(a)(x-a) + \frac{1}{2}g''(a)(x-a)^2 +\cdots$$根据极限的定义，我们希望求解的极限是$x \to a$时的极限，因此可以将$x-a$看作一个无穷小量。
我们忽略展开式中的高阶无穷小量，得到：$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} \approx \lim_{x \to a}\frac{f(a) + f'(a)(x-a)}{g(a) + g'(a)(x-a)}$$将$a$代入极限中，我们可以得到：$$\lim_{x \to a} \frac{f(a)}{g(a)}$$上述结果是前提条件$f(a)=g(a)=0$下的结果，而当$f(a) \neq 0$或$g(a) \neq 0$时，我们可以对$\frac{f(x)}{g(x)}$做除法的等价变形，具体来说，我们可以将除法变化为乘法，然后再求极限。
第四章 中值定理及其应用
则F( x) f ( x) g( x) 0.
F( x) C, 即f ( x) g( x) C.
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例3、证明 arcsin x arccos x (1 x 1).
2
证：(arcsin x arccos x) 1 1 x2
由f ( x)、g( x)在[a，b]上满足拉格朗日中值定理条件，
f ( ) f (b) f (a) (1)
ba
g( ) g(b) g(a) (2)
ba
(1) (2)得： f ( ) f (b) f (a) . 这样证可以吗？ g( ) g(b) g(a)
分析：条件中比罗尔 b a y
定理少了第三个条件.
C
y f (x)
M
B
由于直线AB对应的函数为
A
N
g(x)
f (a)
f
(b) b
f a
(a)
(
x
a).o
a
x
D
bx
且从图中可知 f ( x)与g( x)在x a及x b的值相等，
故G( x) f ( x) g( x)在[a，b]上满足罗尔定理的条件.
证： f ( x)在[a,b]上连续, o a
bx
f ( x)在[a，b]上必取得最大值 M 和最小值 m.
(1) 若 M m，则f ( x) C，所以在(a，b)内，有 f ( x) 0.
(a,b)，有f ( ) 0，故结论成立.
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3、罗尔定理：设f ( x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导
2
2
故 arcsin x arccos x (1 x 1).
微积分第4章中值定理与导数的应用
证明函数不等式 的惯用手段！
证: 设 f ( x) ln(1 x), 则 f 在[0, x]上满足拉格朗日定理的条件.
f ( x) f (0) f ()(x 0), (0 x)
即 ln(1 x) ln(1 0) 1 x,
1
又0 x x x x, 1 x 1
x 0
x0 1 x
② 1 ,00 ,0 型： 化为 e 0·∞型 ( u( x)v(x) ev( x)ln u( x) )
1
例5. 求 lim x x , lim x1 x .
x 0
x 1
1, e1
③ 型： 整理成 1/0-1/0 , 经通分化为 0/0 型
f (b) f (a) f (a (b a))(b a), 0 1
f (a h) f (a) f (a h)h, 0 1.
第四章第1节
6
例3 证明不等式 arctan x2arctan x1 x2x1 (x1x2) 证 设 f(x) arctan x
且等号只在个别点处成立.
推论 设 f(x) 在区间 I 上可导，则
证明函数不等式 的惯用手段！
f (x) 0 ( f (x) 0) , x I
f(x) 在 I 上单递调增 (减).
第四章第1节
20
例2. 证明 ex 1 x , x 0 . 证: 设 f ( x) ex 1 x, 则 f (0) = 0 .
1 (1, 2), f (1) 0, 2 (2,3), f (2 ) 0. 而 f (x) 是二次多项式 仅有上述两个根
第四章第1节
洛必达法则和导数应用
验证极限存在性
使用洛必达法则后，需要验证得到的极限是否 与原函数的极限相等，以避免错误结论。
注意计算的复杂性和精度
洛必达法则在计算过程中可能会涉及复杂的运算和近似，需要注意计算的精度 和准确性。
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函数在某点的极值是指该点附近函数值的最小或最大值。
导数与极值的关系
函数的极值点一定是其导数为零的点，但导数为零的点不一定是 极值点。
判断极值的方法
通过求导数并令其为零，然后判断该点附近函数值的符号变化， 确定是否为极值点。
导数在曲线的凹凸性判断中的应用
凹凸性的定义
曲线在某段区间内是凹的或凸的，取决于其切线的斜率变 化。
角速度计算
角速度是描述刚体转动快慢的物理量， 可以通过导数计算刚体在某时刻的角速 度。例如，匀角速度转动的角速度等于 角度对时间的导数。
VS
角加速度计算
角加速度是描述刚体转动角速度变化快慢 的物理量，可以通过导数计算刚体在某时 刻的角加速度。例如，匀角加速转动的角 加速度等于角速度对时间的导数。
导数在电流和电压计算中的应用
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线斜率。
详细描述
在二维坐标系中，函数在某一点的导数等于该点处切线的斜率。导数可以用来 分析函数图像的形状和变化趋势，如单调性、极值点和拐点等。
导数与函数单调性
总结词
导数可以用于判断函数的单调性。
详细描述
如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在此区间内单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。因此，通过 求导并分析导数的符号，可以确定函数的单调性。
第四章 中值定理及导数的应用
o
a
b
x
calculus
证明
因为f ( x)在[a, b]上连续,
则 f ( x)在 [a, b] 上取得最大值 M 和最小值 m .
1) 若 M m, 即 f (x )恒为常数,
f ( x ) 0, 可取(a, b)内任一点作 为 ;
a
b
calculus
2) 若 M m, 由 f (a ) f (b) 知, M , m至少有一个要在(a, b)内取得. 不妨设 M 在 ( a , b) 内点 处取得, 即
calculus
因此，在(-2,-1)内至少存在一点1使f ' 1 )=0 ( 在(-1,1)内至少存在一点2使f ' 2 )=0,在(1, ( 3)内至少存在一点3使f (3 )=0,也即1、2、3
'
是f ' x)=0的实根. (
又由于f ' x)=0为三次方程，所以它最多有三个 ( 实根，因而f ' x)=0只能有三个实根，它们分别 ( 在区间(-2，-1)，(-1，1)，(1，3)内.
calculus
例4 设f ( x)在[0,1]上连续，在( a, b)内可导， 且f (1) 0, 证明 : 至少存在一点 (0,1)使得 2 f ( ) f ' ( ) sin 2 0.
分析 当 （0，1）时,有 2 f ( ) f ' ( )sin 2 0
' x
[ xf ' ( x) f ( x)] F ( x) xf ( x)
0 [ xf ( x)]
x
0
calculus
例3 设f ( x)在[a, b](0 a b)上连续，在(a, b) 内可导，且f (a) b, f (b) a, 证明在(a, b)内至 f ( ) ' 少存在一点，使得f ( ) .
高等数学第四章
f (0) 0 ，从而推出当 x 0 时， f (x) 0 ，即
1 1 x 1 x ．
2
例 2 证明方程 x3 x2 2x 1 0 在 (0,1) 内有 且只有一个实根．
证明 设 f (x) x3 x2 2x 1，显然 f (x) 在[0,1] 上连续，且 f (0) 1, f (1) 3 ，则有 f (0) f (1) 0 ， 故由连续函数根的存在定理知，在 (0,1) 内至少有
第四章 微分中值定理与导数的应用
第一节 微分中值定理 第二节 洛必达法则 第三节 函数单调性 第四节 函数的极值与最值 第五节 曲线的凹凸性与拐点 第六节 函数图形的描绘
第一节 微分中值定理
一、罗尔中值定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理
一、罗尔中值定理
罗尔定理 设函数 f(x) 满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续, (2) 在开区间(a,b)内可导, (3) f(a)=f(b),
注意：罗尔定理的条件有三个，如果缺少其中任 何一个条件，定理将不成立.
罗尔定理几何意义：·
如果 A¼ B 是一条连续的曲线弧，除端点外处处有不
垂直于 x 轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，那么
在曲线弧 A¼ B 上至少存在一点C ，在该点处曲线的切线
平行于 x 轴.
二、拉格朗日中值定理
定理 设函数f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导；
一个 ，使得 f ( ) 0 ．
又 f (x) 3x2 2x 2 0 ， x (0,1) ，
故 f (x) 在[0,1] 上单调增加，因而函数 f (x)
的图形和 x 轴至多只有一个交点，即方程只有一
个实根． 综合可得，方程 x3 x2 2x 1 0 在 (0,1) 内
第四章 微分中值定理与导数的应用 §4.1 中值
第四章
微分中值定理与导数的应用
§4.1 中值定理
§4.2 洛必达法则
§4.3 函数的单调性
§4.4
§4.5
函数的极值与最值
曲线的凹凸性与拐点
§4.6
§4.8
渐近线与函数作图
泰勒公式
§4.1 中值定理 4.1.1 罗尔定理
罗尔（Rolle）定理 如果函数 f ( x )满足： （1）在闭区间 [a , b]上连续； （2）在开区间 (a , b ) 内可导； （3）在区间端点的函数值相等，即 f (a ) f (b ),那 末在 ( a , b ) 内至少有一点 (a b ) ,使得函数 f ( x ) 在 该点的导数等于零，即
例5
若方程 a0 x 4 a1 x 3 a2 x 2 a3 x 0 有一个
正根 x =x0，证明方程 4a0 x 3 3a1 x 2 2a2 x a3 0 必有一个小于 x0 的正根 f ( x ) a0 x 4 a1 x 3 a2 x 2 a3 x 解 设 则 f (x) 在 (-,+ ) 内连续且可导, 而且
即
x ln(1 x ) x 1 x
例4 不用求函数f (x)=x (x1)(x2)(x3）的导数 ， 说明 f '( x ) 0 有几个实根，并指出它们所在的区 间 解 函数在(-,+ )内连续且可导, 而且 f (0) = f (1) = f(2) = f (3) = 0 所以 f (x) 在 [0,1], [1,2], [2,3]上都满足罗尔定理条件, 因此存在 1 0 ,1 , 2 1, 2 , 3 2 ,3 满足 f '(1 ) f '( 2 ) f '(3 ) 0 由于f (x)是4次多项式, f '( x ) 0 是 3次多项式, 因 此至多有 3 个实根 f ' ( x ) 0 有三个实根, 分别在区间 (0,1) , (1,2) , (2,3) 内
4-12中值定理洛必达法则
三.若在罗尔定理的条件中去掉了 若在罗尔定理的条件中去掉了 结论是否还立？ 结论是否还立？
y
y = f ( x)
f (a) = f (b)
B
A
D
o a
ξ1
ξ2 b
x
几何解释: 几何解释 在曲线弧 AB 上至少有一点 C , 在该点处的切
线平行于弦 AB.
四.拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理
( 拉格朗日（ 拉格朗日（ Lagrange ）中值定理1) 如果函数 f(x)在
增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系. 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系
函数
中值定理
导数
∞ 0 型及 型未定式 ∞ 0
) ， 个 数 如 当x →a (或x →∞ 时 两 函 果 f (x) 与F(x) 都 于 或 趋 无 大 那 趋 零 都 于 穷 ， 末 f (x) 极 lim 限 可 存 、 可 不 在 通 能 在 也 能 存 ． x→ a F x) ( (x→ ) ∞ 0 ∞ 常 这 极 称 把 种 限 为 或 型 定 . 未 式 0 ∞
1 +1 2 = lim x 1 x →+∞ 1+ x
=1
lnsin ax lim 例6 求 x→0+ lnsinbx
∞ ( ) ∞
解
a tan bx a cos ax ⋅ sin bx = lim 原式 = lim + b cos bx ⋅ sin ax x→ 0 b tan ax x →0
+
absec2 bx = lim x→0 ab sec2 ax
闭区间 [ a , b ]上连续 , 在开区间 ( a , b ) 内可导 , 那末在 ( a , b ) 内至少有一点 ξ ( a < ξ < b ) ，使等式 − f ( a ) = f ' ( ξ )( b − a ) 成立 . f (b )
第四章 微分中值定理与导数的应用
1 1, 所以arctan x 2 arctan x1 x 2 x1 . 2 1
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x 例5 证明不等式 ＜ln(1+x)＜x 对一切x＞0成立. 1 x
证 由于f(x)=ln(1+x)在［０，＋∞）上连续、可导， 对任何x＞0，在［0, x］上运用微分中值公式,得 f(x)-f(0)=f′( x)x, (0< <1 ), x 即 ln(1+x)= (0< <1)． 1 x x x 由于 ＜x, ＜
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( ) ( x2 x1 )
因为 f(x)≡0,所以 从而 f(x2)=f(x1) .
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( x1 x2 )
f()=0 .
例4 试证 arcsin x arccos x 证
2 令f ( x ) arcsin x arccos x , 则
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三、 柯西中值定理
定理3 (柯西中值定理) 若函数f(x)和g(x)满足以下条件: (1) 在闭区间[a,b]上连续, (2) 在开区间(a,b)内可导,且g(x)≠0, 那么在(a,b)内至少存在一点,使得
f (b) f (a ) f ( ) g(b) g(a ) g( )
( x 1).
f '( x)
1 1 x2
1 1 x2
0, x ( 1,1)
得f ( x ) C , x ( 1,1) 又因f (0)
2
, 且f ( 1)
2
,
故 f ( x ) arcsin x arccos x
高等数学》课件4.微分中值定理与导数的应用
思考题
1． 将拉格朗日中值定理中的条件 f (x) “在 闭区间[a,b]上连续”换为“在开区(a,b) 内连续” 后,定理是否还成立?试举例(只需画图)说明．
2． 罗尔(Rolle)中值定理是微分中值定理中一 个最基本的定理．仔细阅读下面给出的罗尔中值定理 的条件与结论,并回答所列问题．
罗尔(Rolle)中值定理 若 f (x)满足如下 3 条: (1) 在闭区间[a,b]上连续; (2) 在开区间(a,b)内可导; (3) 在 区 间 [a,b] 端 点 出 的 函 数 值 相 等 , 即
例1
求
lim
x1
x3 x3 x
3x 2
x
2
． 1
解
lim
x 1
x3 x3 x
3x 2
x
2
1
=
lim
x 1
3x2 3x2
3 2x
1
= lim 6x = 6 = 3 ．
x1 6x 2
4
2
例 2 求lim1 cos x ． xπ tan x
解 lim1 cos x = lim sin x = 0．
推 论 2 如 果 对 (a,b) 内 任 意 x ， 均 有 f (x) g(x)，则在(a,b) 内 f (x)与 g(x)之间只差一个 常数，即 f (x) g(x) C （C 为常数）．
证 令F (x) f (x) g(x)，则F(x) 0，由推论 1 知 ， F(x) 在 (a,b) 内 为 一 常 数 C ， 即 f (x) g(x) C, x (a,b)，证毕．
f (a) f (b),则在开区间(a,b) 内至少存在一点 ,使 得 f ( ) 0．
需回答的问题: (1) 罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的联系与
第四章 微分中值定理与导数的应用
第四章 微分中值定理与导数的应用数学受到高度尊崇的另一个原因在于：恰恰是数学，给精密的自然科学提供了无可置疑的可靠保证，没有数学，它们无法达到这样的可靠程度。
——爱因斯坦本章首先介绍微分中值定理，然后，运用微分中值定理，我们介绍一种求极限的方法——洛必达法则。
最后，运用微分中值定理，通过导数来研究函数及其曲线的某些性态，并利用这些知识解决一些实际问题。
第一节 微分中值定理一、 罗尔定理定理4.1 (罗尔(Rolle )定理)如果函数()f x 满足： (1) 在[,]a b 上连续， (2) 在(,)a b 内可导， (3) ()()f a f b =，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0f ξ'=．证明 由闭区间上连续函数性质，)(x f 在] ,[b a 上必能取到最小值m 和最大值M 。
如果m = M ，那么C x f ≡)(，于是] ,[b a x ∈∀有，0)(='x f 。
否则，m M >，于是，)(a f M ≠或)(a f m ≠至少有一个成立。
根据罗尔中值定理的条件（3），在) ,(b a 内至少存在一个最值点ξ，不妨设M f =)(ξ，因为)(x f 在ξ可导，那么，由费马定理，0)(='ξf 。
罗尔中值定理的几何意义是：如果一条连续曲线)(x f y =，除曲线端点之外每一点都存在切线，并且曲线的两个端 点在同一水平线上，那么在该曲线上至少存在一点，使得过该点的切线为水平切线.如图4.1.1所示，由定理假设知，函数y =f (x )(a ≤x ≤b )的图形是一条连续曲线段 ACB ，且直线段AB 平行于x 轴。
定理的结论表明，在曲线上至少存在一点C ，在该点曲线具有水平切线．图4.1.1例4.1.1 验证罗尔定理对函数2()23f x x x =-+在区间[1,3]-上的正确性． 解 显然函数2()23f x x x =-+在[1,3]-上满足罗尔定理的三个条件，由 ()222(1)f x x x '=-=-,可知(1)0f '=,因此存在1(1,3)ξ=∈-,使(1)0f '=． 注 罗尔定理的三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立．但也不能认为这些条件是必要的．例如，f (x )=sin x （0≤x ≤3π2）在区间［0, 3π2］上连续，在(0, 3π2)内可导，但f (0)≠f (3π2)=-1,而此时仍存在3(0,)22ππξ=∈，使()f ξ'=cos π2=0(图4.1.2 )．图4.1.2若不满足罗尔定理中的三个条件，则罗尔定理的结论就不一定成立。
第四章 微分中值定理与导数的应用
第四章 微分中值定理与导数的应用第一节 中值定理(2课时)要求:理解罗尔中值定理与拉格朗日中值定理。
了解柯西中值定理。
重点：理解中值定理及简单的应用。
难点：中值定理证明的应用。
一、罗尔（Rolle)定理罗尔定理 如果函数)(x f 满足条件（1)在闭区间],[b a 上连续；(2）在开区间),(b a 内可导； (３))()(b f a f =．则在开区间),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ,使得函数)(x f 在该点的导数等于零,即0)(='ξf ．几何解释设曲线AB 的方程为))((b x a x f y ≤≤=，罗尔定理的条件的几何表示，AB 是一条连续的曲线弧,除端点外处处具有不垂直于x 轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，结论是曲线弧AB 上至少有一点C,使该点处曲线的切线是水平的．从图中看到，在曲线的最高点或最低点处，切线是水平的，这就启发了我们证明这个定理的思路,ξ应在函数取最值点处找.例１．验证罗尔定理对函数34)(2+-=x x x f 在]3,1[上的正确性． 证明 因为函数)3)(1(34)(2--=+-=x x x x x f 在闭区间]3,1[上连续，可导．)2(242)(-=-='xxxf且0)3()1(==ff函数)(xf在区间]3,1[上满足罗尔定理条件，所以在区间)3,1(内存在ξ使得)2(2)(=-='ξξf,于是)3,1(2∈=ξ.故确实在区间)3,1(内至少存在一点2=ξ使得0)2(='f,结论成立．二、拉格朗日中值定理(微分中值定理）几何分析拉格朗日中值定理设函数)(xf满足条件(１）在闭区间],[ba上连续;（２）在开区间),(ba内可导.则在区间),(ba内至少存在一点)(ba<<ξξ，使得等式))(()()(abfafbf-'=-ξ成立.推论1如果函数)(xf在区间I上的导数恒为零,那么函数)(xf在区间I 上是一个常数（它的逆命题也成立）．例２.试证2cotarctanπ=+xarcx)(+∞<<-∞x．证明构造函数xarcxxf cotarctan)(+=，因为函数)(xf在),(+∞-∞上可导,且1111)(22=+-+='xxxf(２）在开区间),(ba内可导，且0)(≠'xF,),(bax∈则在区间),(ba内至少有一点ξ，使等式)()()()()()(ξξFfaFbFafbf''=--成立．说明(１）公式)()()()()()(ξξFfaFbFafbf''=--中的ξ是同一值,即(ξξξ=''=''xxFxfFf))()(()()(）; (2）当xxF=)(时,1)(,)()(='-=-xFabaFbF,正是拉氏中值公式；三个定理联系，罗尔定理−−−−←−−→−=特例推广)()(bfaf拉氏定理−−−−←−−→−=特例（推广xXF)柯西定理. 作业129P习题4.1)3)(1(3963)(2-+=--='x x x x x f ,（２)令0)(='x f ，得3,1=-=x x ,（3)列表如下x)1,(--∞1- )3,1(-3),3(+∞ )(x f '符号+ 0— 0+)(x f↗极大值 10↘极小值 22-↗应用定理2判别极值的步骤如下， (1)求出函数)(x f 的定义域，及导数)(x f '；（２)求出函数)(x f 的全部驻点(即求出方程0)(='x f 在所讨论的区间内的全部实根)；（3)用这些点将函数)(x f 的定义域分成若干小区间,考查在各点两侧导数的符号,根据定理２判别该点是否有极值点,是极大值点还是极小值点; （4)求出各极值点的函数值,就得)(x f 的全部极值. 例2．求函数32)1(x x y -=的极值.解 （1)函数的定义域为(,)-∞+∞，导数为31325xx y -=',(2)令0='y ,得52=x ， (3）列表如下x（0,∞-）0 (52,0) 52 ),52(+∞ y '+不存在 — 0 +已知铁路每公里货运的费用与公路上每公里的运费之比为5:3,为使货物从供应站B 运到工厂C 的运费最省，问Ｄ点应选在何处?解 1)建立模型总费用与D 的选择有关,设x AD =,总费用y 与x 有关,因为 2220,100x CD x BD +=-=，由于铁路运费与公路运费之比为53,因此不妨设铁路运费为k 3，公路运费为k 5（k 为某整数）,则从点B 到点C 需总运费DB k CD k y ⋅+⋅=35＝)100(340052x k x k -++(1000≤≤x )， 2)现在问题归结为x 在闭区间]100,0[上取何值时目标函数y 的值最小，因为)34005(2-+='xx k y ,令0='y ，解方程得)(15km x =.又由于k y x 400|0==，k y x 380|15==，2100511500|+==k y x ． 经过比较可得，k y x 380|15==为最小值，因此当)(15km x AD ==时，总费用最省.说明在实际问题中，根据实际问题性质可以判定可导函数)(x f 确有最值,而且一定在区间内部取得,若0)(='x f 只有一个根,那么不必讨论)(0x f 是否为极值，就可判定)(0x f 为最值. 作业 129P 习题４.4第五节 曲线的凹凸性与拐点(1课时）要求:会用导数研究函数图形的凹凸性和拐点。
洛必达法则和导数应用
c1o1lx s i0m si2x x n 3cxc o3x o s3xs c1o 1 lx is 0s m ix n 2 x x 3 c3 o xlx s i0c m 1 3 o xs
1 cx o c s3 o x s 3 x c2 o x ssixn
lim c1 o x 0 s
6 x 2
例7
计
算 lim esix ns x 0
ixn excoxx scoxs x3
令 f(u)euu f(u)(u1)eu
原式 lx i0m (1)e(x s3x i nxco x )介 s s于 ixn和 xcox之 s
lx i0m (1)elx i0m sixn x3 xco xs
xsinx 1
0 0
型
limexexxex 1
x0 12x
12
f(x )在 x 0 点 处,且 可 f(0 ) 导 1 . 12
例4
lim ln(1 e2x )ln(1 2 )
x
x
lim x
ln(1 ln(1
e2x ) 2x)1
xlim ln21e(2x2x1)e22x(121x22)
x
xlim(lxn2(122xx))12
1
exp 1 e 2
2
解法 :二 1
xlim0
f (x) x2 x
x2
1型
expxl im 0f(xx3)(xx21 ) x
expxl im 0f(x)x3x2x
0 0
型
exx lp i0m f(x3 ) x2 2x1
1
exp x l i0 m f(6xx)2 expxl im 0f6(x) e 2
第五节
洛必达法则 导数的应用
高等数学-洛必达法则
解 先通分，再用洛必达法则，得
1
3
− 3
→1 − 1
−1
2 + − 2
=
→1 3 − 1
0
0
2 + 1
=
= 1.
2
→1 3
注 本题还可采用先通分再约分的方法计算.
17
03 其它类型的未定式
3. “00 ”“∞0 ”“1∞ ”型未定式
这3种未定式可看作是幂指函数[()] () 求极限.先将幂
例5 求 + 2 .
→0
解 这是“0 ⋅
∞
∞ ”型未定式，先将其转化为“ ”型未定式，
∞
再使用洛必达法则.
1
2
+ 2 = +
= + = −
= 0.
2
+
1
→0
→0
→0
→0 2
−
3
2
15
03 其它类型的未定式
2. “∞ − ∞”型未定式
本节内容
01
0
“ ”型未定式
0
02
∞
“ ”型未定式
∞
03 其它类型的未定式
8
02
∞
“ ”型未定式
∞
定理3.5（洛必达法则II） 设函数()和函数()满足条件
(1) () = ∞， () = ∞；
→0
→0
(2)函数() ，() 在0 的某去心邻域内可导，且′ () ≠ 0；
效果.
（4）使用洛必达法则求未定式极限是常用的方法，
但该方法不一定是最佳的方法，甚至在某些特殊
《应用微积分》4.2洛必达法则
情形(4)和(5)的结果不确定,我们称 lim
f (x) g(x)
为不定式。
不定式共有7种，它们是：
0 型， 型，0 型，1 2型，1 型，00 型，0 型，
0
本节我们介绍的罗必达法则及其应用就是这些不定式的定值法。
定理 4.3 设函数 f (x)与 g(x) 满足下列条件：
（1）xlimx0
（1）
只有
0 0
型和
（2） 求极限，若不是不定式，则不能使用罗必达法则。
至于其他类型的不定式必须通过等价变换化成 0 型或
0
型不定式，才能使用洛必达法则，具体转化思路如下
情形4.1 lim[ f (x) g(x)]为 1 2 型不定式时，转化思路是
11
lim[ f (x) g(x)] g(x) 1
组成的极限式 lim f (x) 和 lim[ f (x)]g(x) ，其结果有时确定，
g(x)
有时不确定，例如假设A,B为常数，有
im
g(x)
B
0，则
lim
f (x) g(x)
A B
；
（2）若 lim f (x) A ，lim g(x) ，则
lim
f (x) 0 g(x)
ln x
x
n
(n
0)
x
（3）lim x
e
x
（
0 ， >0）
解 以上三个极限在相应的极限过程中都是“ ”型不定式
c os x
（1）
lim ln sin x lim sin x
x0 ln x
1 x0
x cosx
lim
1
x0 sin x
1x
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1 1 − ). 例8 求 lim( x → 0 sin x x
解 原式 = lim x − sin x x → 0 x ⋅ sin x
(∞−∞ )
1 − cos x =0. = lim x → 0 sin x + x cos x
当 x → ∞ 时 , 该法则仍然成立.
f ( x) f ′( x ) lim . = lim x →∞ F ( x ) x → ∞ F ′( x ) ∞ 当 x → a , x → ∞ 时的未定式 , 也有相应的洛必达法则 . ∞
tan x . 例1 求 lim x→0 → x
0 ( ) 0
(tan x )′ sec 2 x 解 原式 = lim = lim =1. x→ 0 → x → 0 ( x )′ 1
lim x ln x
=e
ln x x → 0+ 1 x lim
=e
1 lim x x → 0+ − 1 x2
= e0 = 1 .
例10 求 lim x
x →1
x →1
1 1− x
.
( 1∞ )
=e
lim ln x x →11− x
解 原式 = lim e
x→0
1 ln x 1− x
=e
1 lim x x →1 − 1
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求 极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则 .
证 定义辅助函数
f ( x), f1 ( x ) = 0, x ≠ a, x = a. F ( x) , F1 ( x ) = 0, x ≠ a, x = a.
在 U (a , δ )内任取一点 x , 在以 a 与 x 为端点的区间上 ,
3. 0 , 1 , ∞ 型
0 0
∞
步骤: 步骤: 00
0 ⋅ ln 0 取对数 ∞ 1 → ∞ ⋅ ln 1 ⇒ 0 ⋅ ∞ . 0 ⋅ ln ∞ 0 ∞
x→0
例9 求 lim+ x x . 解 原式 = lim+ e
x →0
(0 )
x ln x
0
=e
x → 0+
§2 洛必达法则
0 ∞ 一、 型及 型未定式解法 : 洛必达法则 0 ∞ 定义 如果当 x → a (或 x → ∞ ) 时 , 两个函数 f ( x )与
f ( x) F ( x ) 都趋于零或都趋于无穷大 , 那末极限 lim x →a F ( x ) ( x →∞ ) 0 可能存在 、 也可能不存在 . 通常把这种极限称为 或 0 ∞ 型未定式 . ∞ tan x 0 ex ∞ 例如, 例如 lim , ( ) lim 2 , ( ) x→0 x →∞ x → x 0 ∞
tan x . 例5 求 lim π tan 3 x x→
2
∞ ( ) ∞
sec2 x 1 cos 2 3 x 解 原式 = lim = lim 2 π 3 sec 3 x π cos 2 x 3 x→ x→
2 2
1 − 6 cos 3 x sin 3 x sin 6 x = lim = lim π 3 x →π − 2 cos x sin x x → sin 2 x
1 原式 = lim (1 + cos x ) = 1 . x →∞ x
三、小结 洛必达法则
00 ,1∞ , ∞ 0 型
0 型 0 ∞ 型 ∞
令y = f g 取对数
∞−∞型
1 g −1 f f −g= 1 g ⋅1 f
0⋅∞ 型
f ⋅g= f 1g
f ′( x ) 0 如果 仍属 型, 且 f ′( x ) , F ′( x ) 满足定理的条 F ′( x ) 0 件 , 可以继续使用洛必达法 则, 即
f ( x) f ′( x ) f ′′( x ) lim = lim = lim =⋯. x →a F ( x ) x → a F ′( x ) x → a F ′′( x )
−1
解 取对数得 (cot x )
,
注意: 洛必达法则的使用条件. 注意 洛必达法则的使用条件 例12
x + cos x . 求 lim x →∞ x
1 − sin x 解 原式 = lim = lim (1 − sin x ) . x →∞ x →∞ 1
洛必达法则失效. 洛必达法则失效 极限不存在
1 x 1 − 2 x2 1. 解 原式 = lim 1 + x = lim 2 = x → +∞ 1 x → +∞ 1 + x − 2 x
0 ( ) 0
ln sin ax . 例4 求 lim x→x ⋅ sin bx cos bx 解 原式 = lim =1. = lim x → 0 b cos bx ⋅ sin ax x → 0 cos ax
x3 − 3 x + 2 . 例2 求 lim 3 2 x →1 x − x − x + 1
0 ( ) 0
6x 3x2 − 3 3 解 原式 = lim 2 = lim = . x →1 3 x − 2 x − 1 x →1 6 x − 2 2
π
例3 求 lim 2
x → +∞
− arctan x .
= e −1 .
例11 求 lim+ (cot x )
1 ln x
1 ln x
. ( ∞0 )
=e
1 ⋅ln(cot x ) ln x
1 1 − ⋅ 2 1 ∵ lim+ ⋅ ln(cot x ) = lim+ cot x sin x 1 x → 0 ln x x →0 x −x = lim+ = −1 , x → 0 cos x ⋅ sin x ∴ 原式 = e .
sec2 x − 1 2 sec2 x tan x = lim = lim 2 x →0 x→0 6x 3x 1 tan x 1 = lim = . 3 x →0 x 3
二 、0 ⋅ ∞ , ∞ − ∞ , 0 , 1 , ∞ 型未定式解法
0 0
∞
关键: 关键: 将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的 0 ∞ ( ), ( ) . 类型 0
定理 设 (1) 当 x → a 时 , 函数 f ( x )及 F ( x ) 都趋于零 ; ( 2) 在 a 点的某去心邻域内 , f ′( x )及 F ′( x ) 都存在, 且
F ′( x ) ≠ 0 ; f ′( x ) ( 3) lim 存在(或为无穷大 ) ; x → a F ′( x ) f ( x) f ′( x ) . 那末 lim = lim x →a F ( x ) x → a F ′( x )
∞
1. 0 ⋅ ∞ 型
1 1 步骤: 步骤: 0 ⋅ ∞ ⇒ ⋅ ∞ , 或 0 ⋅ ∞ ⇒ 0 ⋅ . 0 ∞
2 x 例7 求 lim x − e . x → +∞
( 0⋅∞ )
ex ex 解 原式 = lim = lim = +∞ . x → +∞ 2 x x → +∞ 2
2. ∞ − ∞ 型
2 2
6 cos 6 x = lim =3. π x → 2 cos 2 x
2
注意: 注意: 洛必达法则是求未定式的一种有效方法 但与 其它求极限方法结合使用, 效果更好. 其它求极限方法结合使用 效果更好 .
tan x − x . 例6 求 lim 2 x → 0 x tan x tan x − x 解 原式 = lim (∵ tan x ∼ x ) 3 x→ x →0 x
f1 ( x ) , F1 ( x ) 满足柯西中值定理的条 件 , 则有
f ′(ξ ) f ( x ) f ( x ) − f (a ) = ( ξ 在 x 与 a 之间) = F ( x ) F ( x ) − F (a ) F ′(ξ )
f ′( x ) f ′(ξ ) 当 x → a 时 , ξ → a , ∵ lim = A , ∴ lim = A, x → a F ′( x ) ξ → a F ′(ξ ) f ( x) f ′(ξ ) ∴ lim = lim = A. x →a F ( x ) ξ → a F ′(ξ ) 证毕。 证毕。