第二章 第十一节 第二课时 导数与函数的极值、最值

课时规范练

A 组 基础对点练

1．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( )

A ．a ＜－1

B ．a ＞－1

C ．a ＞－1e

D ．a ＜－1e

解析：∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a .

∵函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，

则方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解，

∵x ＞0时，－e x ＜－1，∴a ＝－e x ＜－1.选A.

答案：A

2．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f (2)等于( )

A ．11或18

B ．11

C ．18

D ．17或18 解析：∵函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，∴f (1)＝10，且f ′(1)＝0，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，

即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝4，

b ＝－11. 而当⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝－3，

b ＝3

时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2，x ∈(－∞，1)，f ′(x )＞0，x ∈(1，＋∞)，f ′(x )＞0，

故舍去．

∴f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16，∴f (2)＝18.选C.

答案：C

3．(2019·岳阳模拟)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( )

A ．y ＝x 3

B ．y ＝ln(－x )

C．y＝x e－x D．y＝x＋2 x

解析：A、B为单调函数，不存在极值，C不是奇函数，故选D.

答案：D

4．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，若t＝ab，则t的最大值为()

A．2 B．3

C．6 D．9

解析：∵f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2，∴f′(x)＝12x2－2ax－2b，又∵f(x)在x＝1处有极值，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0⇒a＋b＝6，∵a＞0，b＞0，a＋b≥2ab，∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立．故选D.

答案：D

5．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是()

A．－37 B．－29

C．－5 D．以上都不对

解析：f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，

所以f(x)在[－2,0]上单调递增，在(0,2]上单调递减．

所以x＝0为极大值点，也为最大值点．

所以f(0)＝m＝3，所以m＝3.所以f(－2)＝－37，f(2)＝－5.

所以最小值是－37.

答案：A

6．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)e x的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)图象的是()

解析：因为[f (x )e x ]′＝f ′(x )e x ＋f (x )(e x )′＝[f (x )＋f ′(x )]e x ，且x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，所以f (－1)＋f ′(－1)＝0；选项D 中，f (－1)＞0，f ′(－

1)＞0，不满足f ′(－1)＋f (－1)＝0.

答案：D

7．函数y ＝2x －1x 2的极大值是________．

解析：y ′＝2＋2x 3，令y ′＝0，得x ＝－1.

当x ＜－1时，y ′＞0；当－1＜x ＜0时，y ′＜0.当x ＞0，y ′＞0， 所以当x ＝－1时，y 取极大值－3.

答案：－3

8．已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )的极大值与极小值之差为________． 解析：因为y ′＝3x 2＋6ax ＋3b ，

⎩⎪⎨⎪⎧ 3×22＋6a ×2＋3b ＝0，3×12＋6a ＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝－1，

b ＝0. 所以y ′＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，则x ＝0或x ＝2.

所以f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4.

答案：4

9．已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围是________．

解析：因为f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋(m ＋6)，所以Δ＝4m 2－4×3(m ＋6)＞0，解得m ＞6或m ＜－3，所以实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪(6，＋∞)．

答案：(－∞，－3)∪(6，＋∞)

10．已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为

y ＝4x ＋4.

(1)求a ，b 的值；

(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．

解析：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.

由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8.

从而a ＝4，b ＝4.

(2)由(1)知f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ，

f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝ ⎛⎭

⎪⎫e x －12. 令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2或x ＝－2.

从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )＞0；

当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )＜0.

故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．

当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．

B 组 能力提升练

11．已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)(x －1)k (k ＝1,2)，则( )

A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值

B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值

C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值

D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值

解析：当k ＝1时，f (x )＝(e x －1)(x －1)，0,1是函数f (x )的零点．当0＜x ＜1时，f (x )＝(e x －1)(x －1)＜0，当x ＞1时，f (x )＝(e x －1)(x －1)＞0,1不会是极值 点．当k ＝2时，f (x )＝(e x －1)(x －1)2，零点还是0,1，但是当0＜x ＜1，x