复变函数课程教学大纲
复变函数 课程教学大纲
复变函教课程教学大纲一、课程的基本信息适应对象：信息与计算科学本科专业课程代码：15E01726学时分配：54学时赋予学分：3先修课程：数学分析，高等代数后续课程：毕业综合训练二、课程性质与任务复变函数是信息与计算科学专业的一门选修课程，主要研究复变函数的微分积分及映照。
这门学科在工程力学，物理以及数学其它分支中有许多应用。
开设本课程的任务就是使学生掌握复变函数基本内容，为进一步学习其它课程，并为从事教学、科研以及其它工作打好基础。
三、教学目的与要求通过本课程的教学,使学生掌握复变函数的微分积分及映照等有关的基本概念和基本方法, 并能应用本课程的理论知识和方法解决实际问题。
四、教学内容与安排第一章复数与复变函数（6学时）1.1复数复数域,复数的乘辕与方根.1.2复平面上的点集区域,集与集之间的距离，区域的连通性,约当曲线.1.3复变函数复变函数的定义，复变函数的极限、连续性.1.4复球面与无穷远点第二章解析函数（10学时）2.1解析函数的概念与柯西-黎曼条件复变函数的导数与微分，解析函数的概念，函数解析的充要条件：柯西-黎曼条件.2.2初等解析函数指数函数，三角函数，双曲函数。
2.3初等多值函数根式函数，对数函数，一般基函数，一般指数函数。
第三章复变函数积分（10学时）3.1复积分的概念及其简单性质复变函数积分的定义，复积分的变量代换公式，积分估值。
3.2柯西积分定理柯西积分定理及其推论，不定积分，柯西积分定理的推广，复围线。
3.3柯西积分公式及其推论柯西积分公式，柯西积分的定义，解析函数的无穷可微性，柯西不等式，LioUVilIe定理，Morera 定理。
3.4解析函数与调和函数的关系，解析函数的定义，调和函数的定义。
第四章解析函数的塞级数表示法（10学时）4.1复级数的基本性质，复数项级数的定义、收敛性，一致收敛的复函数项级数，柯西一致收敛准则，维尔斯特拉斯定理。
4.2'幕级数，Abel定理，和函数的解析性。
《复变函数》课程教学大纲
《复变函数》课程教学大纲适用专业:数学与应用数学执笔人：王小灵审定人：王宏勇系负责人：张从军南京财经大学应用数学系《复变函数》课程教学大纲课程代码：200072英文名：Complex Variable Function课程类别：专业选修课适用专业：数学与应用数学前置课：数学分析后置课：概率论、数学物理方程、偏微分方程学分：2学分课时：54课时主讲教师：王小灵等选定教材：钟玉泉，复变函数论（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.课程概述：复变函数的主要内容是讨论复数之间的相互依赖关系，其主要研究对象是解析函数。
复变函数是在数学分析的基础上，复变函数又称复分析，也称为解析函数论.是实变函数微积分的推广和发展。
因此它不仅在内容上与实变函数微积分有许多类似之处，而且在研究问题的方面与逻辑结构方面也非常类似。
复变函数是一门古老而富有生命力的学科。
早在19世纪，Cauchy、Weierstrass及Riemann 等人就已经给这门学科奠定了坚实的基础。
复变函数不但是我们所学数学分析的理论推广，而且作为一种强有力的工具，已经被广泛的应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等，目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。
复变函数作为一门学科，有其自身的特点和研究方法与研究工具，在学习过程中，应注意与微积分理论的比较，从而加深理解，同时也须注意复变函数本身的特点，并掌握它自身所固有的理论和方法，抓住要点，融会贯通。
教学目的：复变函数是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变函数的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。
教学方法：教学过程宜采用以章为主的单元组织教学法，以课堂讲授为主，结合多媒体教学软件辅助教学，教学中应强调理论与实际并重，各章应安排一定课时的习题课，课后教师需安排时间集中对学生辅导答疑，学生必须完成一定量的作业。
本课程可根据需要安排课堂讨论。
《复变函数》课程简介及教学大纲
《复变函数》课程简介及教学大纲课程代码：112000091课程名称：复变函数/Function of a Complex Variable课程类别：公共基础课总学时/学分：48/3开课学期：第三或四学期适用对象：非数学专业本科生先修课程：高等数学内容简介：本课程包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、共性映射等内容。
一、课程性质、目的和任务本课程是理工科学生继高等数学后的又一门数学基础课。
本课程主要讲授复变函数的基本理论和方法。
通过本课程的学习，学生不仅能够学到复变函数的基本理论和数学物理及工程技术中常用的数学方法，同时还可以巩固和复习高等数学的基础知识，提高数学素养，为学习有关的后续课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。
在培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和科学计算能力等方面起着特殊重要的作用。
二、课程教学内容及要求本课程包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、共性映射共六章。
第1章复数与复变函数主要内容：1复数的概念、运算及几何表示。
2 复平面上区域、曲线的概念及它们的复数表示。
3 复变函数、映射的概念及其复变函数的极限与连续性。
基本要求：1熟悉复数概念及各种几何表示。
2掌握复数的四则运算、乘幂方根共轭等运算并能简单应用。
3了解复平面上区域、曲线的概念，掌握用复数表示它们的方法。
4 了解复变函数与实二元函数的关系及复变函数的极限与连续性，熟悉复变函数极限与连续性的运算法则及性质，熟悉复变函数与实变函数的极限与连续性之间的联系与区别。
重点：复数的运算及各种几何表示法，复变函数及映射概念。
难点：用复数方法表示平面区域、曲线。
第2章解析函数主要内容：1 复变函数的导数及解析函数的概念。
2 复变函数可导与解析的充要条件，柯西-黎曼方程及解析函数的性质。
3 初等函数。
基本要求：1 理解复变函数的导数及解析函数的概念，掌握复变函数连续、可导、解析之间的关系及求导法则。
《复变函数论》教学大纲
《复变函数论》教学大纲一、课程基本信息课程编码：0601112B中文名称：复变函数论英文名称：Theory of Functions of Complex Variable课程类别：专业基础及核心课总学时：48总学分：3适用专业：数学与应用数学先修课程：数学分析，高等代数，解析几何二、课程目标（一）具体目标通过本课程的学习，使学生达到以下目标：1.了解复变函数的发展历史，遵循周易中的复卦的复。
【支撑毕业要求1】2.理解复数的表示方法。
【支撑毕业要求2】3.理解复变函数的基本概念、基本理论、基本方法。
【支撑毕业要求3】4.掌握留数的计算和应用。
【支撑毕业要求5】5.能够应用复变函数方法解决实际问题，理解不同学科间的联系与渗透。
【支撑毕业要求3、4】6.培养了抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、科学计算能力及分析和解决实际问题的能力。
【支撑毕业要求4、6、7、8】（二）课程目标与毕业要求的对应关系表1 课程目标与毕业要求的对应关系（一）课程内容与课程目标的关系表2 课程内容与课程目标的关系（二）具体内容第一章复变函数的基本概念(10学时）【学习目标与要求】1、学习目标：了解复变函数的发展历史，理解“复”的含义。
会用复数的6种表示方法互相变换，会准确计算六种表示方法中复数的实部、虚部、模、辐角等。
会应用复数乘除的几何意义证明一些几何问题。
会计算复数列的极限。
掌握复变函数极限与实二元函数二重极限关系，会计算复变函数的极限。
掌握柯西黎曼方程，理解可微分的必要条件，理解可微分的充要条件，理解可微分的必要条件。
2、学习要求：理解复数的相关基本概念，掌握复数的代数运算，理解复数的三角形式乘除运算，掌握三角形式的幂运算和开方运算。
理解复数的几何表示和几何意义，掌握复数乘法除法的几何意义，了解复数幂和开方的几何意义。
理解复数极限的定义，掌握复数列极限的充要条件，理解复变函数的定义，理解复变函数定义域和值域的关系，了解复变函数的分类，理解复变函数极限的定义和充要条件，理解连续性的定义，掌握复变函数连续的性质，理解复变函数连续的充要条件。
复变函数教学大纲
复变函数教学大纲一、引言复变函数是数学中重要的概念和工具之一，它在多个学科领域中具有广泛的应用。
本教学大纲旨在介绍复变函数的基本概念、性质和相关定理，培养学生的复变函数思维和解题能力。
二、基础知识1. 复数的基本概念1.1 复数的定义和表示1.2 复数的运算规则1.3 复数平面2. 复数函数的基本性质2.1 复数函数的定义2.2 复数函数的分类2.3 复数函数的连续性三、解析函数与调和函数1. 解析函数的概念1.1 解析函数的定义1.2 拟解析函数1.3 解析函数的运算性质2. 调和函数的概念与性质2.1 调和函数的定义2.2 调和函数的性质2.3 调和函数的应用案例四、复变函数的微积分1. 复变函数的导数与全纯函数1.1 复变函数的导数定义1.2 全纯函数的性质1.3 Cauchy-Riemann方程2. 积分和级数2.1 线积分的定义2.2 级数收敛性与收敛域2.3 保形映射与调和函数的全纯性五、留数理论与积分计算1. 留数的概念与计算1.1 留数的定义1.2 计算留数的方法1.3 应用案例：圆周积分计算2. 积分计算与柯西公式2.1 柯西公式的概念与应用2.2 柯西积分定理与柯西奇点定理2.3 辐角原理与Rouché定理六、解析函数的应用1. 解析函数在物理学中的应用1.1 电磁场中的解析函数1.2 流体力学中的解析函数1.3 其他物理学领域的应用2. 解析函数在工程学中的应用2.1 线性系统与解析函数2.2 信号处理与解析函数2.3 通信系统与解析函数七、实际案例与综合应用1. 热区变换与应用1.1 极坐标变换1.2 电场中的热区变换2. 综合案例分析2.1 基于复变函数的工程问题求解2.2 基于复变函数的物理问题求解八、教学评估与提升1. 教学评估方式1.1 课堂表现评估1.2 作业和实验评估1.3 考试评估2. 教学内容提升2.1 添加实例和案例分析2.2 引入计算机辅助教学2.3 拓展教材资料和参考书目九、总结通过本次复变函数教学，学生将掌握复数的基本概念和运算规则，理解解析函数和调和函数的性质，学会应用留数理论和积分计算复变函数，了解复变函数在不同学科和领域的应用，并通过综合应用案例提升解题能力和综合分析能力。
复变函数教学大纲
复变函数教学大纲
一、前言
复变函数是数学中非常重要的一个分支，研究和应用广泛。
本教学大纲旨在介绍复变函数的基本概念、性质和应用，帮助学生掌握复变函数的理论和解题方法。
二、基本概念和初等函数
1. 复数的定义和运算规则
2. 复变函数的定义和性质
3. 初等函数概念及其在复变函数中的应用
三、解析函数
1. 解析函数的定义和性质
2. 函数的解析性与调和性的关系
3. 基本解析函数的引入和性质
四、级数展开
1. 幂级数的概念和性质
2. 基本初等函数的幂级数展开
3. 常用函数的级数展开
五、留数与留数定理
1. 解析函数的奇点及分类
2. 留数的定义和计算方法
3. 留数定理及其应用
六、辐角原理和主要定理
1. 辐角原理的引入和性质
2. 极大模原理的定义和应用
3. 唯一性定理和边界值问题的解决
七、复变函数的应用
1. 简单电路中的应用
2. 热传导方程中的应用
3. Laplace变换和傅里叶变换中的应用
八、论文写作与参考文献
1. 论文写作的基本要求和格式
2. 如何查找和引用相关文献
3. 导师指导与学术交流
结语
本教学大纲囊括了复变函数的基本理论和重要应用，并配有适当的例题和习题，以帮助学生巩固所学知识。
希望通过本课程的学习，学生能够对复变函数有一个深入的理解，并能够独立解决实际问题。
复变函数教学大纲(工科)(2)
课程编号：×××课程名称：复变函数(Complex Functions)《复变函数》教学大纲一、课程说明复变函数的理论和方法，对物理、力学、工程及数学的其他分支都有广泛的应用。
通过本课程的教学，使学生掌握复变函数的基本理论和基本方法，培养学生具有较好的分析问题和解决问题的能力。
为了贯彻“少而精”的原则，本大纲在内容选取上注意了突出基本理论和基本方法，本大纲内容，重点放在单复变函数的微分、积分、解析函数的级数展开、残数定理等内容上。
对于初等多值解析函数和解析开拓，要求只作初步介绍。
本课程总时数为36学时左右，其中讲授时数与习题课时数之比大致是3:1。
二、学时分配表三、教学目的与要求教学目的：1、通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，获得独立地分析和解决些有关的理论和实际问题的能力。
为进一步学习其他课程，并为其他实际工作打好基础。
2、通过基本概念的正确讲解，基本理论的系统阐述，基本运算能力的严格训练，使学生受到严格的思维训练，为初步掌握数学思维方法打下基础。
基本要求：掌握解析函数的基本性质，并能初步地运用这些性质来证明或计算四、教学内容纲要第一章复数与复变函数主要内容：复数的有关概念，复数点集的概念，复数的运算。
要求：1、理解复数的下列概念：实部、虚部、模、幅角、共轭复数、乘幂与方根，熟练掌握相应的运算。
）2、理解平面点集(复数集)的下列概念：区域、单连通区域，边界、闭区域。
3、了解Jordan曲线概念，复变函数的极限与连续定义并能进行相应的运算，知道复球面与无穷远点的关系。
重点: 复变函数的概念，极限与连续性难点: 同上第二章解析函数主要内容：解析概念与初步运算性质，Cauchy——Riemann 条件，初等解析函数与初等多值函数。
要求：1、了解复函数的可导与微分的概念，理解解析的概念及其与Cauchy——Riemann 条件的关系。
2、熟练掌握初等解析函数的运算。
复变函数课程大纲
复变函数课程大纲一、课程简介复变函数是数学分析的重要分支，研究复数域上的函数及其性质。
本课程旨在介绍复变函数的基本理论和应用，使学生对复变函数的复杂性和美妙性有全面的了解。
二、课程目标1. 理解和掌握复数的基本概念和性质。
2. 掌握复变函数的连续性、可微性和解析性。
3. 熟悉复变函数的积分理论和Laurent级数展开。
4. 理解共形映射的概念和应用。
5. 学会应用复变函数分析解决实际问题。
三、课程大纲1. 复数与复平面1.1 复数的定义与运算规则1.2 复数的几何表示及其性质1.3 复平面上的点集与集合运算2. 复变函数的基础2.1 复变函数的定义2.2 复变函数的极限与连续性2.3 复变函数的导数与解析性2.4 初等函数的复变函数3. 全纯函数与解析函数3.1 全纯函数的定义与性质3.2 解析函数的概念与判定条件3.3 应用：调和函数与调和共轭函数4. 积分理论4.1 积分路径和积分曲线4.2 积分的独立性与积分路径的连通性 4.3 柯西黎曼积分定理及其应用4.4 柯西积分公式和柯西定理5. 级数展开与留数理论5.1 函数的Taylor展开5.2 Laurent级数的定义与性质5.3 留数与留数定理5.4 应用：计算复积分和求解微分方程6. 共形映射6.1 什么是共形映射6.2 平面区域的共形映射6.3 上半平面到单位圆盘的映射6.4 应用：边值问题与几何构造四、教学方法为达到课程目标和要求，将采用以下教学方法：1. 理论讲授：将重点突出的知识点进行全面而详细的讲解。
2. 示例演练：通过具体的例子和问题，在课堂上进行实际操作和计算，以加深学生对知识的理解。
3. 案例分析：引入一些真实的案例和应用，让学生将所学的复变函数理论应用于实际问题的求解。
4. 讨论互动：组织课堂讨论，鼓励学生积极参与，提出问题和思考，促进学习效果的提高。
五、考核方式1. 平时作业：布置课后习题和实践题，加深对知识的理解与应用能力。
复变函数教学大纲
《复变函数》教学大纲一、《复变函数》课程说明（一）课程代码： 08130006（二）课程英文名称：Functions of Complex Variables（三）开课对象：数学与应用数学本科、信息与计算科学本科学生（四）课程性质：考试复变函数是数学专业的一门专业必修课，又是数学分析的后继课。
已经形成了超级系统的理论而且深刻地渗入到代数学，解析数论、微分方程、概率统计、计算数学和拓扑学等数学分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也有很多的应用。
先修课程：数学分析，解析几何，高等代数，一般物理，常微分方程。
（五）教学目的：通过本课程的教学和学习，使学生了解和把握解析函数的一样理论，同意周密的复分析训练，并为以后从事教学，科研及其它实际工作打好基础。
（六）教学内容：本课程要紧讲述解析函数的分析理论，级数理论和几何理论；要紧内容为复平面和复变函数，解析函数的初等函数及多值性问题，复函数的积分和调和函数，级数，留数理论及应用，保形映照等。
（七）教学时数学时数：72学时分数：4学分教学时数具体分派：（八）教学方式教师课堂教学为主。
（九）考核方式和成绩记载说明考核方式为考试。
严格考核学生出勤情形，达到学籍治理规定的缺课量取消考试资格。
综合成绩依照平常成绩和期末成绩评定，平常成绩占40% ，期末成绩占60% 。
二、教学大纲与各章的大体要求第一章复数与复变函数教学要点：通过本章的教学使学生初步使学生初步把握并熟悉复平面的基础知识和复函数的概念，把握区域和复数的各类表示方式及其运算，了解复球面的成立与球极投影，和复变函数的概念与二元实函数的关系。
1、使学生把握复数各类表示方式及其运算。
2、使学生了解区域的概念。
3、使学生了解复球面与无穷远点。
4、使学生明白得复变函数概念。
教学时数：6学时教学内容：第一节复数一、复数域、复平面二、复数的模与辐角三、乘幂、方根、共轭复数第二节复平面上点集一、平面点集的几个大体概念二、区域、约当曲线第三节复变函数一、复变函数二、复极限、复持续第四节复球面和无穷远点一、复球面二、扩充复平面上的几个概念考核要求：1、复数复数的各类运算、表示法和三角不等式（应用）2、复平面上点集平面点集的几个大体概念（领会）区域、约当曲线（领会）3、复变函数复极限、复持续（识记）4、复球面和无穷远点无穷远点（识记）第二章解析函数教学要点：1、明白得复变函数可导与解析的概念，弄清这两个概念之间的关系。
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4． 复数项级数与复变函数项级数、绝对收敛与一致收敛、逐项积分与逐项求导、
幂级数与泰勒（Taylor）展式、罗朗（Laurent）展式、解析函数的孤立奇点
与唯一性、最大摸原理、解析函数孤立奇点的分类与在无穷远点的性质、施瓦
尔兹（Schwarz）引理
基本要求：熟悉复数项级数和复函数项级数的基本性质，掌握复函数项级数的
专业必修课
授课对象 （Audience）
数学系本科生
授课语言
(Language of
中文
Instruction) *开课院系 （School） 先修课程
（Prerequisite） 授课教师
数学系 数学分析课程网址来自（Instructor）
(Course Webpage) 复变函数是数学分析的一门后继课程，也是全日制大学数学系本科生必修的一
典型的复积分和实积分；掌握幅角原理及儒歇定理。(A4,A5,B2,B3,B7,C2,C4)
6． 共形映射、分式线形变换与某些初等函数构成的共形映射、黎曼映照定理与边
界对应原理
基本要求：熟悉单叶解析函数和共形映射的概念，了解解析变换的保域性和保角性；
熟悉分式线形映射（变换）的性质，了解分式线性变换群，会用分式线形映射与一
门专业基础课，通常放在大学二年级数学分析的主要内容学习完之后开设。复变函
数论（又称复分析）是经过数个世纪发展起来的一门数学学科，且很多方面发展得
相当成熟，结果也相当丰富。通过学习，可以使学生更进一步感受数学之美。同时
复变函数论也是和实际相联系的一门学科，一些平面上（甚至更广）的实际问题可
*课程简介（Description） 以用复变函数建立模型并加以解决。本课程属于数学基础课程，和数学分析有一些 相通之处，但也有着本质的不同。推广与创新是数学乃至科学研究中的一个很通用
（Liouville）定理与代数基本定理
基本要求：熟悉复变函数积分的定义和基本性质，掌握 Cauchy（积分）定理、Cauchy
（积分）公式、解析函数的无穷可微性、Cauchy 不等式、Liouville 定理、Morera
定理、以及解析函数与调和函数的关系。(A4,A5,B2,B3,B7,C2,C4)
课程教学大纲（course syllabus）
*学习目标(Learning Outcomes)
*教学内容、进度安排
1． 复数及其表示、复平面与复球面、曲线与区域
基本要求：熟悉复数、复平面、扩充复平面与复球面的概念，了解各类区域和曲线
的概念。(A4,A5,B2,B3,C2)
2． 复变函数的极限与连续性、导数与柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）条件、共轭
的模式，学习复变函数这门课程正是体验这种模式、培养这种研究能力的一个方法。
复变函数的基本内容包括：复变函数的极限与连续性、导数与积分、级数、留数、
共形映射、解析延拓等。
Complex Analysis is a continuation of Mathematical Analysis (Calculus). The theory extends and develops Calculus from the real domain to the complex domain. In *课程简介（Description） this course we will introduce the following contents for undergraduates: limits and continuity of functions of one complex variable, analytic functions and complex integration, complex series, residues, conformal mappings and analytic continuation.
复变函数课程教学大纲
课程基本信息（Course Information）
课程代码
*学时
（Course Code）
MA2132/MA205 （Credit Hours）
64
*课程名称
（中文）复变函数
（Course Name）
（英文）Complex Analysis
*学分
（Credits）
4
课程性质 (Course Type)
些初等函数所构成的映射构造某些区域间的共形映射；了解 Riemann 映照定理与边
界对应原理。(A4,B2,B3,B7,C2)
7． 解析延拓的概念与用幂级数的解析延拓、对称原理、黎曼面的概念、沿曲线的
解析延拓与单值性定理
基本要求：掌握解析开拓的概念及幂级数方法，了解 Painlevé连续开拓原理及
Riemann-Schwarz 对称原理；了解完全解析函数、Riemann 面的概念、沿曲线的解
孤立奇点（包括无穷远点）的分类以及 Schwarz 引理；了解整函数和亚纯函数的概
念以及 Picard 定理。(A4,A5,B2,B3,B7,C2,C4)
5． 留数与留数定理、幅角原理与儒歇（Rouché）定理、用留数计算某些类型的积
分
基本要求：熟悉留数的概念，会进行留数的计算；特别强调会用留数定理计算一些
Cauchy 一致收敛准则及优级数准则、内闭一致收敛和 Weierstrass 定理、幂级数
的 Abel 定理和收敛半径的计算；掌握解析函数的 Taylor 展开定理，熟悉一些常用
初等函数的 Taylor 展式；掌握解析函数的零点孤立性及唯一性定理、最大模原理；
掌握解析函数的 Laurent 展开定理，会求一些函数的 Laurent 展式，掌握解析函数
调和函数与解析函数、初等函数
基本要求：掌握复变函数的极限与连续性、可导与解析的概念，Cauchy-Riemann
方程（条件）与可导（解析）的充要条件；熟悉初等解析函数及初等多值函数。
(A4,A5,B2,B3,C2,C4)
3． 复变函数的积分、柯西定理与柯西积分公式、莫勒拉（Morera）定理、刘维尔
析开拓以及单值性定理。(A4,B2,B3,C2)
教学内容
学 教学方式 作业及要求 基本要求 考查方式
时
及要求
复数及复平面
4 课堂讲授
习题
完成要求 见考核方式
(Class Schedule