《机械工程测试技术基础》第三版熊诗波 黄长艺 课后答案

机械工程测试技术基础第三版课后题答案

1.1求周期方波（图1-4）的傅立叶级数（复指数函数形式）。画出频谱图|C n |—ω ；φn —ω 图并与表1-1对比。

解：傅立叶级数的复指数形式表达式：⋅⋅⋅±±±==

∑+∞

-∞

=,3,2,1,0;)(0n e

C t x n t

jn n

ω

式中：

所以：

幅值频谱：

相位频谱：

傅立叶级数的复指数形式的幅值频谱图和相位频谱都是双边频谱图。 1.2求正弦信号 x (t )=x 0sin ωt 的绝对均值μ|x |和均方根值x rms

解：

1.3求指数函数 的频谱。 解：

[]

()⎪⎩⎪⎨⎧

⋅⋅⋅±±±=⋅

⋅⋅±±±=-=--=+⨯+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦

⎤+⎢⎣⎡-==---------⎰

⎰⎰,6,4,2;

0,5,3,1;2cos 12111)(1)(12

0000

2

00200202200

0000

00

0000n n n A j n n A j e e n jA n jA e jn A T e jn A T dt Ae dt e A T dt e t x T C jn jn T t jn T t jn T t jn T t jn T T t jn n πππ

ππωωπ

πωωωωω⋅⋅⋅±±±±=⎪⎭⎫ ⎝⎛

-=∑

+∞

-∞=,7,5,3,1;2)(0n e

n A j t x t jn n ωπ⋅⋅⋅±±±==+=,5,3,1;22

2n n A C C C nI nR n π

⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅---=⋅⋅⋅=-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-==,5,3,1;2,5,3,1;202n n n A arctg C C arctg nR nI n ππ

πϕω

π

πωμ2;2sin 1)(lim 0000000=

===⎰⎰

∞→T x tdt x T dt t x T T T x 式中：()2

sin 1)(1002

0002000x dt dt x T dt t x T x T T rms ===⎰

⎰ω)0;0(;)(≥>=-t Ae t x t ααf

j A

dt e

Ae dt e t x f X ft

j t ft j παπαπ2)()(022+=

⋅==⎰

⎰∞+--∞+∞--

1.4求符号函数（题图1-1a ）和单位阶跃函数（题图1-1b ）的频谱. 解:1) 符号函数的频谱:

令:

2)单位阶跃函数的频谱:

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1.5求被截断的余弦函数cos ω0t （题图1-2）的傅立叶变换。

解：

f

j dt e e dt e e dt

e t x

f X t x e

t x ft j t

ft j t ft j t

ππαπααπαα1)1(lim )()(;

)(lim )(022002110

1=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-===⎰⎰⎰∞+---∞--→--→f

j dt e e dt e

t x f X t x e

t x ft j t ft

j t

ππααπαα21lim )()(;

)

(lim )(02022

202

=⎪⎭⎫ ⎝⎛===⎰⎰∞+--→--→⎩⎨

⎧≥<=T t T t t t x ;

0;cos )(0ω(

)

[

]

2

10000222202sin sin 2)(2)(sin 2)(2)(sin 2

12cos )()(00

θ

θπ

π

πππ

πππππ⋅+⋅=⎥

⎦⎤

⎢⎣⎡--+++=+===--+-+--+∞∞--⎰⎰

⎰c c T T f f T f f T f f T f f T dt e e e dt te f dt e t x f X ft j t f j t f j T T T

T ft j ft j

1.6求指数衰减振荡信号（见图1-11b ）： 的频谱 解：

1.7设有一时间函数f (t )及其频谱(题图1-3所示)，现乘以余弦型振荡cos ω0t ，(ω0>ωm )。

在这个关系中，函数f (t )叫做调制信号，余弦型振荡cos ω0t 叫做载波。试求调幅信号f (t )cos ω0t 的傅立叶变换。示意画出调幅信号及其频谱。又问：若ω0<ωm 时将会出现什么情况？ 解：

当ω0<ωm 时，将会出现频率混叠现象

1.8求正弦信号x (t )=x 0sin （ω0t +φ）的均值μx 和均方值φx 2和概率密度函数p (x )

解：将x (t )=x 0sin （ω0t +φ）写成（ω0t +φ）=arcsin(x (t )/ x 0)

等式两边对x 求导数：

)0,0(;sin )(0≥>=-t t e t x t

αωα()

()

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+-++=-⋅===-∞+---+∞-+∞∞--⎰⎰

⎰)(21

)(2122

2sin )()(0

02022200

200f f j f f j j dt

e e e j

e dt

e

t f e

dt e t x f X ft j t f j t f j t ft j t

ft j παπαππππαπαπ[](

)

)22(2

1

)22(212

1

)(2cos )()()(0022220200f f F f f F dt

e e

e t

f dt

e

t f t f dt e

t x f X ft

j t f j t f j ft j ft j ππππππππππ-++=⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+=⋅==-∞+∞---+∞

∞

-+∞∞--⎰

⎰

⎰)

(1

)(11122

002

000

t x x x t x x dx dt -=

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=ωω