(完整版)初中圆题型总结

②3.圆的基本题型纵观近几年全国各地中考题， 圆的有关概念以及性质等一般以填空题， 选择 题的形式考查并占有一定的分值；一般在 10 分－15分左右，圆的有关性质，如 垂径定理，圆周角，切线的判定与性质等综合性问题的运用一般以计算证明的形 式考查；利用圆的知识与其他知识点如代数函数， 方程等相结合作为中考压轴题 将会占有非常重要的地位， 另外与圆有关的实际应用题， 阅读理解题， 探索存在 性问题仍是热门考题，应引起注意 . 下面究近年来圆 的有关热点题型，举例解析 如下。

一、圆的性质及重要定理的考查基础 知识链接：（ 1）垂径定理；（ 2）同圆或等圆中的圆心角、弦、弧之间的关 系 .（3） 圆周角定理及推论 （4）圆内接四边形性质【例 1】（江苏镇江）如图， AB 为⊙ O 直径， CD 为弦，且 CD AB ，垂足为H ．（1） OCD 的平分线 CE 交⊙O 于 E ，连结OE ．求证： E 为弧 ADB 的中点；2）如果⊙ O 的半径为 1，CD 3 ，①求 O 到弦 AC 的距离；E 为弧 ADB 的中点．2）①Q CD AB ， AB 为⊙ O 的直径， CD3 ，3CH 1CD3．又OC 1， sin COB CH 23．22 OC 1 2COB 60o ， BAC 30o ．11 作OP AC 于 P ，则 OP OA ．②填空：此时圆周上存在 解析】（1）Q OC OE ， 又 OCE DCE ，OE ∥CD ．又CD AB ， AOEBOE 90o ．E BDCE．22且 AD ，CE 交于点 H ，求证： AH=AO1 OE=2CD【点评】 本题综合考查了利用垂径定理和勾股定理及锐角三角函数求解问题的 能力. 运用垂径定理时，需添加辅助线构造与定理相关的“基本图形”. 几何上把圆心到弦的距离叫做弦心距 , 本题的弦心距就是指线段 OD 的长. 在圆中 解有关弦心距半径有关问题时 , 常常添加的辅助线是连半径或作出弦心距 ,把垂 径定理和勾股定理结合起来解题 .如图, ⊙O 的半径为 r ,弦心距为 d,弦长a 之间 2的关系为 r 2 d 2 a .根据此公式 ,在a 、r 、d 三个量中,知道任何两个量就可 2 以求出第三个量 . 平时在解题过程中要善于发现并运用这个基本图形 . 【例 2】 （安徽芜湖）如图，已知点 E 是圆 O 上的点，B 、C 分别是劣弧 AD 的三等分点， BOC 46o ，则 AED 的度数为 ．【解析】由 B 、C 分别是劣弧 AD 的三等分点知，圆心角∠AOB=∠BOC=∠COD, 又 BOC 46o ，所以 ∠AOD=13o8.根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。

从而有 AED ＝69o. 点评 本题根据同圆或等圆中的圆心角、圆周角的关系。

强化练习】1】. 如图， ⊙O 是 ABC 的外接圆， BAC 60 ，AD ，CE 分别是 BC ，AB 上的高，，求 AB 2＋CD 2 的值。

【2】（第25题）如图，⊙ O是△ ABC 的外接圆，弦BD 交AC 于点E，连接CD，且AE=DE ，BC=CE ．（1）求∠ ACB 的度数；（2）过点O 作OF⊥AC 于点F，延长FO 交BE 于点G，DE=3 ，EG=2，求AB 的长．二、直线与圆的位置关系基础知识链接：1、直线与圆的位置关系有三种:⑴如果一条直线与一个圆没有公共点, 那么就说这条直线与这个圆相离. ⑵如果一条直线与一个圆只有一个公共点, 那么就说这条直线与这个圆相切,此时这条直线叫做圆的切线, 这个公共点叫做切点.⑶如果一条直线与一个圆有两个公共点,那么就说这条直线与这个圆相交, 此时这条直线叫做圆的割线, 这两个公共点叫做交点.2、直线与圆的位置关系的判定；3、弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；4. 和圆有关的比例线段（1）相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等；（2）推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项；（3）切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；（4）推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

5. 三角形的内切圆（1）有关概念：三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多边形的内切圆、圆的外切多边形；6、圆的切线的性质与判定。

例1】（甘肃兰州）如图，四边形ABCD内接于⊙ O，BD是⊙O的直径，AE CD，垂足为 E ，DA平分BDE ．1）求证：AE 是⊙ O的切线；2）若DBC 30o，DE 1cm，求BD的长．AOCED【解析】（1）证明：连接OA，Q DA平分BDE ，BDA EDAQOA OD ，ODA OAD ．OAD EDA．OA∥CE．Q AE DE ，AED 90o，OAE DEA 90o．BAE 是⊙ O的切线．AE OA ．（2）Q BD 是直径，BCD BAD90o．Q DBC 30o，BDC60o，BDE120o．QDA 平分BDE BDA EDA60o．ABD EAD30o ．在Rt △ AED中，AED90o，EAD30o，AD 2DE ．在Rt △ABD 中，BAD90o，ABD30o，BD 2ADQDE 的长是1cm，BD 的长是4cm．4DE ．D点评】证明圆的切线，过切点的这条半径为必作辅助线.即经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.例2】（广东茂名）如图，⊙ O是△ ABC的外接圆，且AB=AC，点D在弧BC上运A 1）求证：∠ ADB=∠E；2）当点D运动到什么位置时，DE是⊙O的切线？请说明理由．3）当AB=5，BC=6时，求⊙ O的半径．（4 分）解析】（1）在△ ABC中，∵ AB=AC，∴∠ ABC=∠ C．∵DE∥BC，∴∠ABC=∠E，∴∠ E=∠ C．又∵∠ ADB=∠C，∴∠ ADB=∠ E．2）当点D是弧BC的中点时，DE是⊙ O的切线．理由是：当点D是弧BC的中点时，则有AD⊥BC，且AD过圆心O．又∵ DE∥BC，∴ AD⊥ED．∴ DE是⊙O的切线．（3）连结BO、AO，并延长AO交BC于点F，1 则AF⊥BC，且BF= BC=3．2又∵ AB=5，∴ AF=4．设⊙ O的半径为r ，在Rt△OBF中，OF=4－r ，OB=r ，BF=3，r 2＝32＋（4－r ）2解得r ＝25，∴⊙ O的半径是25．88【点评】本题综合运用了等腰三角形的性质，圆的切线判定，解题最关键是抓住题中所给的已知条件，构造直角三角形，探索出不同的结论.【例4】已知：如图7，点P是半圆O的直径BA延长线上的点，PC切半圆于C 点，CD⊥ AB于D点，若PA：PC＝1：2，DB＝4，求tan ∠ PCA及PC的长。

动，过点D作DE∥BC，DE交AB的延长线于点E，连结AD、BD．BC EDCC图7证明：连结CB∵PC切半圆O于C点，∴∠ PCA＝∠ B ∵∠P＝∠P，∴△PAC∽△ PCB ∴AC：BC＝PA：PC∴∵AB是半圆O的直径，∴∠ ACB＝90°又∵CD⊥AB∴AB＝AD＋DB＝5∵∴【例5】已知：如图8，在Rt△ ABC中，E 为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，求证：（1）AC是⊙D的切线；（2）AB＋EB＝AC分析：（1）欲证AC与⊙ D相切，只要证圆心D到AC的距离等于⊙ D的半径BD。

因此要作DF⊥AC于F（2）只要证AC＝AF＋FC＝AB＋EB，证明的关键是证BE＝FC，这又转化为证△ EBD ≌△ CFD。

证明：（1）如图8，过D作DF⊥AC，F 为垂足∵AD是∠ BAC的平分线，DB⊥AB，∴ DB＝DF ∴点 D 到AC的距离等于圆 D 的半径∴AC是⊙ D的切线（2）∵AB⊥BD，⊙ D的半径等于BD，∴AB是⊙ D的切线，∴AB＝AF∵在Rt△BED和Rt△FCD中，ED＝CD，BD＝FD ∴△ BED≌△FCD，∴ BE＝FC ∴AB＋BE＝AF＋FC＝AC小结：有关切线的判定，主要有两个类型，若要判定的直线与已知圆有公共点，可采用“连半径证垂直”的方法；若要判定的直线与已知圆的公共点没有给出，可采用“过圆心作垂线，证垂线段等于半径”的方法。

此例题属于后一类例6】已知：如图9，AB为⊙ O的弦，P为BA延长线上一点，PE 与⊙ O 相切于点E，C为中点，连CE交AB于点F。

求证：分析：由已知可得PE2＝PA· PB，因此要证PF2＝PA·PB，只要证PE＝PF。

即证∠ PFE＝∠ PEF。

证明一：如图9，作直径CD，交AB于点G，连结ED，∴∠CED＝90°点C为的中点，∴ CD⊥AB，∴∠ CFG＝∠ DPE为⊙ O切线，E为切点∠ PEF＝∠ D，∴∠ PEF＝∠ CFG∠ CFG＝∠ PFE，∴∠ PFE＝∠ PEF，∴ PE＝PF PE2＝PA·PB，∴PF2＝PA·PB 连结AC、AE∵点C是的中点，∴，∴∠ CAB＝∠AEC ∵PE切⊙O于点E，∴∠ PEA＝∠C∵∠ PFE＝∠ CAB＋∠ C，∠ PEF＝∠ PEA＋∠ AEC∴∠ PFE＝∠ PEF，∴ PE＝PF∵PE2＝PA·PB，∴PF2＝PA·PB【例7】（1）如图10，已知直线AB过圆心O，交⊙ O于A、B，直线AF交⊙O 于F（不与B重合），直线l 交⊙O于C、D，交BA延长线于E，且与AF 垂直，垂足为G，连结AC、ADCAG；②AC·AD＝AE·AF2）在问题（1）中，当直线l 向上平行移动，与⊙ O相切时，其它条件不变。

①请你在图10－1 中画出变化后的图形，并对照图10标记字母；②问题（1）中的两个结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由。

证明：（1）①连结BD∵AB是⊙ O的直径，∴∠ ADB＝90°∴∠ AGC＝∠ ADB＝90°又∵ ACDB是⊙ O内接四边形∴∠ ACG＝∠ B，∴∠ BAD＝∠ CAG②连结CF∵∠ BAD＝∠ CAG，∠ EAG＝∠ FAB∴∠ DAE＝∠ FAC又∵∠ ADC＝∠ F，∴△ ADE∽△AFC∴，∴ AC· AD＝AE·AF（2）①见图10－ 1 ②两个结论都成立，证明如下：①连结BC，∵AB是直径，∴∠ ACB＝90° ∴∠ ACB＝∠ AGC＝90° ∵GC切⊙O于C，∴∠ GCA＝∠ ABC ∴∠ BAC＝∠ CAG（即∠ BAD＝∠CAG）②连结CF∵∠ CAG＝∠ BAC，∠ GCF＝∠ GAC，∴∠ GCF＝∠ CAE，∠ ACF＝∠ ACG－∠ GFC，∠ E＝∠ ACG－∠ CAE∴∠ ACF＝∠ E，∴△ ACF∽△ AEC，∴ ∴AC2＝AE·AF（即AC·AD＝AE· AF）说明：本题通过变化图形的位置，考查了学生动手画图的能力，并通过探究式的提问加强了对学生证明题的考查，这是当前热点的考题，希望引起大家的关注。