求圆的切线方程的几种方法

求圆的切线方程的几种方法

在直线与圆的位置关系中,相切是一个重要的位置关系.众所周知,在圆上的点可以作一条直线与该圆相切,过圆外一点可以作二条直线与该圆相切.本文就如何求圆的切线方程的方法展开讨论,供同学们参考.

1.利用几何性质来求切线方程

当直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于半径.因此,利用点到直线的距离公式即可以求出切线方程.

例1 已知圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝4,圆外一点P (3,2),求经过点P 且与圆C 相切的直线方程.

解:当过P 的直线的斜率不存在时,显然不是圆的切线.

设所求的直线的斜率为k ,直线方程为y －2＝k (x －3),

化为一般形式为kx －y －3k ＋2＝0.

由于直线与圆相切,故圆心到直线的距离d 等于半径2,即

d ＝|－1－3k ＋2|k 2＋1＝|3k －1|k 2＋1

＝2, 解得k ＝3±265

. 所以切线方程为y －2＝3±265

(x －3). 点评:求切线方程时,点到直线的距离公式相当重要,不能记错.设直线方程时,一定要考虑直线的斜率不存在时的情况,避免漏解.

2.利用方程的判别式来求切线方程

当直线与圆相切时,直线与圆只有一个公共点,此时圆的方程与直线联立,利用判别式等于零即可以求出切线方程.

例2 已知圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝4,圆外一点P (2,2),求经过点P 且与圆C 相切的直线方程.

解:当过P 的直线的斜率不存在时,直线x ＝2是圆的切线.

当过P 的直线的斜率存在时，设所求的直线方程为y －2＝k (x －2).

直线方程与圆的方程联立,整理,得(1＋k 2)x 2＋2k (1－2k )x ＋4k 2－4k －3＝0,

因为直线与圆只有一个公共点,故Δ＝4k 2(1－2k )2－4(1＋k 2)(4k 2－4k －3)＝0.

解得k ＝－34

. 所以所求的切线方程是x ＝2或y －2＝－34

(x －2). 点评:利用判别式求解时计算量比较大,本题注意不能漏解了x ＝2.

3.利用垂直关系求切线方程

当已知切点时,我们可以利用圆心与切点的连线与直线垂直、斜率之积为－1来求出切线方程.

例3 已知圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝4,求以P (3,2)为切点的切线方程.

解:由已知得圆心O (0,1),点P 在圆C 上,显然x ＝3不是圆的切线.

设切线方程为l :y －2＝k (x －3).

由直线OP ⊥l 得k ·k OP ＝－1,所以k ＝－1k OP

＝－3. 所以切线方程为y －2＝－3(x －3)即y ＝－3x ＋5.

点评:由直线垂直求出切线的斜率,可以避免繁杂的计算.

小结:在求圆的切线方程时,先判断切线方程有几条,再是注意特殊情况(如斜率不存在),三是注意使用哪种方法计算最简捷.