圆与直线方程较难题.
直线和圆的方程题型总结
直线和圆的方程题型总结1. 直线的方程题型1.1 点斜式点斜式方程的形式为：y - y1 = k(x - x1)其中(x1, y1)是直线上已知的一点，k是直线的斜率。
常见的题型包括：例题：已知直线过点 A(2, 3)，斜率为 2. 求直线方程。
解答：根据点斜式方程，直线方程为y - 3 = 2(x - 2)。
1.2 截距式截距式方程的形式为：x/a + y/b = 1其中a是 x 轴截距，b是 y 轴截距。
常见的题型包括：例题：直线与 x 轴和 y 轴的截距分别为 4 和 2. 求直线方程。
解答：根据截距式方程，直线方程为x/4 + y/2 = 1。
1.3 两点式两点式方程的形式为：(y - y1)/(x - x1) = (y - y2)/(x - x2)其中(x1, y1)和(x2, y2)是直线上已知的两点。
常见的题型包括：例题：已知直线通过点 A(-2, 1) 和 B(3, 4). 求直线方程。
解答：根据两点式方程，直线方程为(y - 1)/(x - (-2)) = (y - 4)/(x - 3)。
2. 圆的方程题型2.1 标准式标准式方程的形式为：(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2其中(h, k)是圆心坐标，r是半径。
常见的题型包括：例题：圆心坐标为 (-1, 2)，半径为 3. 求圆的方程。
解答：根据标准式方程，圆的方程为(x - (-1))^2 + (y - 2)^2 = 3^2。
2.2 一般式一般式方程的形式为：x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0其中D, E, F是圆心坐标和半径的函数表达式。
常见的题型包括：例题：圆心坐标为 (2, -1)，半径为 5. 求圆的方程。
解答：根据一般式方程，圆的方程为(x - 2)^2 + (y - (-1))^2 - 5^2 = 0。
结语本文总结了直线和圆的常见方程题型，包括点斜式、截距式、两点式、标准式和一般式。
圆的方程（交点，轨迹）难题
搞定圆的方程（交点，轨迹类难题）常见的隐藏圆已知动点P和两定点A，B。
�����⃗⋅PPPP�����⃗=λλ1.PPPP2.PPPP2+PPPP2=λλ3.PPPP PPPP=λλ（阿波罗尼斯圆）4.直径所对圆周角为9005.圆周角的相关性质6.关于阿波罗尼斯圆（阿氏圆）的相关性质：内分点（圆内点），外分点（圆外点），（即两定点），阿氏圆圆心在一条直线上当一个圆以及其内分点或外分点中一点确定，另外一点必然唯一确定小结论−DD=xx1+xx2−EE=yy1+yy2FF=xx1⋅xx2=yy1⋅yy2以找临界为通法的一类问题【链接】双动点类问题，其中一个在圆上的动点利用三角换元简化问题：消参数法：变式：若上述问题，两圆及定点不变，MA⊥MB，求AB的最值。
（取AB中点，利用RT三角形中，斜边中线等于斜边一半的结论，转为上述问题）（原问题）临界法：临界法：在平面直角坐标系x Oy 中，已知圆C 1：(x +1)2+(y -6)2=25，圆C 2：(x -17)2+(y -30)2=r 2.若圆C 2上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆C 1依次交于点A ，B ，且满足PA=2AB ，则半径r 的取值范围是 . [5,55]临界法：已知圆A：xx2+yy2=1，圆B：xx2+yy2−6xx−8yy+aa=0，若对于圆A上任意一点,，在圆B上总存在不������⃗=3PPMM������⃗，则实数aa的取值范围是________.（9,16]同的两点M，N，使得PPPP中华中学14临界法：角度类临界问题南京一中14易得，M点在轨迹圆xx2+yy2=1上。
对于每一个在轨迹圆上的点M，均做以OM为弦，所对圆周角为30°的外接圆，点P可以在每一个同样的外接圆的优弧上，这些外接圆优弧铺满了一个圆环面，即图中两个圆中间的区域。
我们需要知道最外层的圆的半径，易知，最外层圆的半径即为外接圆的直径2（最远距离）。
直线与圆的方程例题及解析
直线与圆的方程例题及解析1. 直线方程的求解例题一已知直线上两点坐标分别为 A（2，3）和 B（-1，4），求直线 AB 的方程。
解析：设直线的方程为 y = mx + c，其中 m 为斜率，c 为 y 轴截距。
首先，求解斜率 m：m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)根据题意，A（2，3），B（-1，4），带入公式计算斜率：m = (4 - 3) / (-1 - 2) = 1 / (-3) = -1/3将斜率 m 替换到直线方程中：y = -1/3x + c接下来，我们需要求解截距 c。
将点 A（2，3）代入上式，得到：3 = -1/3 * 2 + c解得 c = 4/3。
将 c 替换到直线方程中，得到直线 AB 的方程：y = -1/3x + 4/32. 圆的方程的求解例题二已知圆心坐标为 O（2，-1），半径为 r = 3 的圆，求圆的方程。
解析：圆的方程一般形式为：(x - h)² + (y - k)² = r²其中，（h，k）为圆心坐标，r 为半径。
根据题意，圆心坐标为 O（2，-1），半径为 r = 3。
代入上式，得到圆的方程：(x - 2)² + (y + 1)² = 3²化简得：(x - 2)² + (y + 1)² = 9总结本文介绍了直线与圆的方程的求解方法，并给出了两个例题的解析过程。
在求解直线方程时，通过已知的两个点的坐标计算斜率，然后带入截距公式得到直线方程。
在求解圆的方程时，根据圆的一般形式，将圆心坐标和半径代入方程中得到圆的方程。
希望通过本文的介绍，读者能够更好地理解直线与圆的方程。
【高中数学】秒杀秘诀---直线系和圆系方程
直线系和圆系方程定义：如果两条曲线方程是f 1(x ，y)＝0和f 2(x ，y)＝0，它们的交点是P （x 0，y 0），方程f 1(x ，y)＋λf 2（x ，y ）＝0的曲线也经过点P （λ是任意常数）。
由此结论可得出：经过两曲线f 1(x ，y)＝0和f 2（x ，y ）＝0交点的曲线系方程为：f 1（x ，y ）＋λf 2（x ，y ）＝0。
利用此结论可得出相关曲线系方程。
一.直线系概念：具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系。
它的方程称直线系方程。
几种常见的直线系方程：（1）过已知点P （x 0，y 0）的直线系方程y －y 0＝k （x －x 0）（k 为参数）（2）斜率为k 的直线系方程y ＝kx ＋b （b 是参数）（3）与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程Ax ＋By ＋λ＝0（λ为参数）（4）与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程Bx －Ay ＋λ＝0（λ为参数）（5）过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ（A 2x ＋B 2y ＋C 2）＝0（λ为参数）例1：已知直线l 1：x ＋y ＋2＝0与l 2：2x －3y －3＝0，求经过的交点且与已知直线3x ＋y －1＝0平行的直线分析：不论m 为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。
解：由原方程得m(x ＋2y －1)－(x ＋y －5)＝0，①即⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-+=-+4y 9x 05y x 01y 2x 解得，∴直线过定点P （9，－4）例3：求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.概念：具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。
几种常见的圆系方程：（1）同心圆系：（x －x 0）2＋（y －y 0）2＝r 2，x 0、y 0为常数，r 为参数。
圆与方程难题分类
类型一：圆中的对称问题例16、圆222690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程是例17 自点()33，-A 发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，反射光线所在的直线与圆074422=+--+y x y x C ：相切（1）求光线l 和反射光线所在的直线方程．（2）光线自A 到切点所经过的路程．类型七：圆中的最值问题例18：圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是例19 (1)已知圆1)4()3(221=-+-y x O ：，),(y x P 为圆O 上的动点，求22y x d +=的最大、最小值．(2)已知圆1)2(222=++y x O ：，),(y x P 为圆上任一点．求12--x y 的最大、最小值，求y x 2-的最大、最小值．例20：已知)0,2(-A ，)0,2(B ，点P 在圆4)4()3(22=-+-y x 上运动，则22PB PA +的最小值是 .练习：1：已知点),(y x P 在圆1)1(22=-+y x 上运动.（1）求21--x y 的最大值与最小值；（2）求y x +2的最大值与最小值.2 设点),(y x P 是圆122=+y x 是任一点，求12+-=x y u 的取值范围．说明：这里将圆上的点用它的参数式表示出来，从而将求变量u 的范围问题转化成三角函数的有关知识来求解．或者是利用其几何意义转化成斜率来求解，使问题变得简捷方便．3、已知点)2,4(),6,2(),2,2(----C B A ，点P 在圆422=+y x 上运动，求222PC PB PA ++的最大值和最小值.类型八：轨迹问题例21、基础训练：已知点M 与两个定点)0,0(O ，)0,3(A 的距离的比为21，求点M 的轨迹方程.例22、已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆4)1(22=++y x 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.例23 如图所示，已知圆422=+y x O ：与y 轴的正方向交于A 点，点B 在直线2=y 上运动，过B 做圆O 的切线，切点为C ，求ABC ∆垂心H 的轨迹．说明：题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识．采取代入法求轨迹方程．做题时应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关联点轨迹方程已知，可考虑代入法．例24 已知圆的方程为222r y x =+，圆内有定点),(b a P ，圆周上有两个动点A 、B ，使PB PA ⊥，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程．说明：本题的条件较多且较隐含，解题时，思路应清晰，且应充分利用图形的几何性质，否则，将使解题陷入困境之中．本题给出三种解法．其中的解法一是几何方法，它充分利用了图形中隐含的数量关系．而解法二与解法三，从本质上是一样的，都可以称为参数方法．解法二涉及到了1x 、2x 、1y 、2y 四个参数，故需列出五个方程；而解法三中，由于借助了圆222r y x =+的参数方程，只涉及到两个参数α、β，故只需列出三个方程便可．上述三种解法的共同之处是，利用了图形的几何特征，借助数形结合的思想方法求解．练习：1、由动点P 向圆122=+y x 引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，APB ∠=600，则动点P 的轨迹方程是 .练习巩固：设)0)(0,(),0,(>-c c B c A 为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值)0(>a a ，求P 点的轨迹.2、已知两定点)0,2(-A ，)0,1(B ，如果动点P 满足PB PA 2=，则点P 的轨迹所包围的面积等于4、已知定点)0,3(B ，点A 在圆122=+y x 上运动，M 是线段AB 上的一点，且MB AM 31=，问点M 的轨迹是什么？例5、已知定点)0,3(B ，点A 在圆122=+y x 上运动，AOB ∠的平分线交AB 于点M ，则点M 的轨迹方程是 .练习巩固：已知直线1+=kx y 与圆422=+y x 相交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB ，求点P 的轨迹方程.类型九：圆的综合应用例25、 已知圆0622=+-++m y x y x 与直线032=-+y x 相交于P 、Q 两点，O 为原点，且OQ OP ⊥，求实数m 的值．说明：求解本题时，应避免去求P 、Q 两点的坐标的具体数值．除此之外，还应对求出的m 值进行必要的检验，这是因为在求解过程中并没有确保有交点P 、Q 存在． 解法一显示了一种解这类题的通法，解法二的关键在于依据直线方程构造出一个关于xy 的二次齐次方程，虽有规律可循，但需一定的变形技巧，同时也可看出，这种方法给人以一种淋漓酣畅，一气呵成之感．例26、已知对于圆1)1(22=-+y x 上任一点),(y x P ，不等式0≥++m y x 恒成立，求实数m 的取值范围．说明：在这种解法中，运用了圆上的点的参数设法．一般地，把圆222)()(r b y a x =-+-上的点设为)sin ,cos (θθr b r a ++()2,0[πθ∈)．采用这种设法一方面可减少参数的个数，另一方面可以灵活地运用三角公式．从代数观点来看，这种做法的实质就是三角代换．例27 有一种大型商品，A 、B 两地都有出售，且价格相同．某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离A 地的运费是B 地的运费的3倍．已知A 、B 两地距离为10公里，顾客选择A 地或B 地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．求A 、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．。
与圆有关的难题
１、在平面直角坐标系xoy 中,已知圆O:222211,:(4)4x y O x y +=-+=，动点Ｐ在直线0x b +-=上，过P 分别作圆O,O 1的切线，切点分别为A Ｂ,若满足PB=2PA 的点Ｐ有且只有两个,则实数b 的取值范围是２、过点(4,0)P -的直线l 与圆22:(1)5C x y -+=相交于,A B 两点，若点A 恰好是线段PB 的中点,则直线l 的方程为 ▲3、已知圆22:(2)4C x y -+=,线段E Ｆ在直线:1l y x =+上运动,点P 为线段EF 上任意一点,若圆Ｃ上存在两点Ａ、Ｂ,使得0PA PB ⋅≤,则线段ＥF 长度的最大值是 4、在平面直角坐标系xOy 中,圆1C :22(1)(6)25x y ++-=,圆2C :222(17)(30)x y r -+-=.若圆2C 上存在一点P ,使得过点P 可作一条射线与圆1C 依次交于点A ,B ，满足2PA AB =,则半径ｒ的取值范围是 ▲ ．5、在平面直角坐标系xOy 中,设直线2y x =-+与圆222(0)x y r r +=>交于,A B 两点，O为坐标原点，若圆上一点C 满足5344OC OA OB =+，则r = ▲ . ７、已知圆()()()22:10C x a y a a -+-=>与直线3y x =相交于,P Q 两点,则当CPQ ∆的面积最大时,此时实数a 的值为 ▲８、在平面直角坐标系xO ｙ中，圆C 的方程为(ｘ－1)2＋ｙ2=４，Ｐ为圆C 上一点.若存在一个定圆Ｍ，过Ｐ作圆M 的两条切线ＰA ,PB ,切点分别为A ，B ，当P 在圆Ｃ上运动时,使得∠ＡＰB 恒为60︒,则圆Ｍ的方程为9已知圆22:(2)1C x y -+=，点P 在直线:10l x y ++=上,若过点P 存在直线m 与圆C 交于A 、B 两点,且点A 为PB 的中点，则点P 横坐标0x 的取值范围是 . 1０、已知点0,2A 位圆22:2200M x y ax ay a 外一点,圆M 上存在点T 使得45MAT，则实数a 的取值范围是 ．6、已知圆22:(1)(1)4M x y -+-=,直线:60,l x y A +-=为直线l 上一点，若圆M 上存在两点,B C ,使得60BAC ∠=︒,则点Ａ的横坐标的取值范围是11在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,2)A -，(2,6)B ，一条直线l 过点(0,)m ,且与单 位圆221x y +=恒相切． 若有且只有两个点P 满足:①4PA PB ⋅=-；②点P 到直线l 的距离为1,则实数m 的取值范围是 。
高中数学直线与圆难题
高中数学直线与圆难题一、题目已知圆C：(x - 1)^2+(y - 2)^2 = 25，直线l：(2m + 1)x+(m + 1)y - 7m - 4 = 0（m∈R）。
（1）证明：不论m取何值，直线l与圆C恒相交于两点；（2）求直线l被圆C截得的弦长最小时直线l的方程。
二、解析1. （1）证明直线l与圆C恒相交于两点- 首先将直线l的方程进行变形：- 由(2m + 1)x+(m + 1)y-7m - 4 = 0，可得2mx+x+my + y-7m - 4 = 0，即(2x + y - 7)m+(x + y - 4)=0。
- 然后解方程组2x + y - 7 = 0 x + y - 4 = 0- 用第一个方程减去第二个方程得：(2x + y - 7)-(x + y - 4)=0，即2x + y - 7 - x - y+4 = 0，解得x = 3。
- 将x = 3代入x + y - 4 = 0，得3 + y - 4 = 0，解得y = 1。
- 所以直线l恒过定点A(3,1)。
- 接下来计算点A(3,1)到圆心C(1,2)的距离d。
- 根据两点间距离公式d=√((x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2)，这里x_1 = 1,y_1 = 2,x_2 = 3,y_2 = 1，则d=√((3 - 1)^2+(1 - 2)^2)=√(4 + 1)=√(5)。
- 因为圆C的半径r = 5，且√(5)<5，即点A在圆C内部。
- 所以不论m取何值，直线l与圆C恒相交于两点。
2. （2）求直线l被圆C截得的弦长最小时直线l的方程- 当直线l⊥ AC时，直线l被圆C截得的弦长最小。
- 已知k_AC=(1 - 2)/(3 - 1)=(-1)/(2)。
- 因为两直线垂直，斜率之积为-1，所以直线l的斜率k = 2。
- 又直线l过点A(3,1)，根据点斜式方程y - y_0=k(x - x_0)（这里x_0 = 3,y_0 = 1,k = 2）。
圆与直线交点的快速解法
圆与直线交点的快速解法1. 引言哎呀，数学这东西，有时候真让人头疼，就像吃了一口冬天的冰淇淋，瞬间脑袋嗡嗡的。
不过，今天咱们不谈那些复杂的公式，而是聊聊圆和直线交点的问题。
听起来简简单单，但只要你掌握了窍门，真的会让你觉得如释重负，恨不得给自己一个大大的红包！今天就让我来给大家分享一下这一绝妙的解法。
2. 圆的方程2.1 圆的基本信息好啦，先来认识一下圆。
圆的方程，咱们一般写成这样的形式：((x a)^2 + (yb)^2 = r^2)。
其中，( (a, b) )就是圆心，而 ( r ) 就是半径。
听起来是不是有点复杂？别急，慢慢来，最重要的是能理解这个公式的意义。
想象一下，你在一个广场上，圆心就像是广场的指示牌，半径就是你能走到的范围，OK？2.2 直线的方程说到直线，咱们通常使用 ( y = mx + b ) 的形式来表示。
这里的 ( m ) 就是斜率，表示了直线的倾斜程度；而( b ) 则是与y 轴的交点。
简单来说，这就像是你在路上行走，斜率就是你爬坡的角度， ( b ) 就是你起步的高度。
3. 求交点的过程好了，现在咱们正式开始求圆与直线的交点。
别紧张，虽然听起来复杂，但实际上只需要几个简单的步骤。
3.1 代入法首先，咱们可以把直线方程代入圆的方程。
先把直线方程 ( y = mx + b ) 带入圆的方程。
记住，就像炒菜时加调料，你要把这些元素混合在一起。
最终，你会得到一个看起来很复杂的二次方程。
这个方程之后就要通过求解二次方程来找到 ( x ) 的值。
二次方程的基本形式是( ax^2 + bx + c = 0 )，然后用求根公式就能求得 ( x ) 的解了。
3.2 处理结果接下来，你会发现，最终的结果可能出现两个交点，或者只有一个交点，甚至没有交点。
咱们可以想象成打麻将，有时候拼得兴高采烈，有时候却只能对着麻将牌发呆。
假设有两个交点，就意味着直线穿过圆的两边，若只有一个交点，那可能是直线刚好切到圆的那一瞬间；而没有交点，哦，那就是咱们直线与圆擦肩而过，这也挺扎心的呢！4. 结论那么，经过这个小小的“数学游乐园”的一番游玩，大家是不是对圆与直线的交点求解有了新的领悟呢？数学其实就是一趟奇妙的旅程，只要找到合适的解法，就像在夏日的海边捡贝壳，有趣又让人放松。
直线与圆的方程试题及答案大题
直线与圆的方程试题及答案大题一、选择题1.设直线过点A(1, 2)，斜率为-2，则直线方程是（）– A. y = 2x + 3– B. y = -2x + 3– C. 2y = x + 3– D. -2y = x + 3答案：B2.设点A(-1,3)和B(2,-4)，则直线AB的斜率为（）– A. -1– B. 1– C. 2– D. -2答案：D二、填空题1.过点A(2,1)且与直线y = 2x + 3平行的直线的方程是y = ___________。
答案：2x - 12.过点A(1,-2)且与直线2y = 4x - 3垂直的直线的方程是y = ___________。
答案：-0.5x - 13.过点A(-3,4)，斜率为2的直线方程是 y = ___________。
答案：2x + 10三、解答题1.求过点A(2,3)和B(-1,5)的直线方程。
解：直线AB的斜率 m = (5 - 3)/ (-1 - 2) = 2 / -3 = -2/3直线方程的一般形式为y = mx + c，其中c为常数。
将坐标A(2,3)代入直线方程，得到3 = (-2/3) * 2 + c => 3 = -4/3 + c。
解得c = 3 + 4/3 = 13/3，所以直线方程为y = -2/3x + 13/3。
2.已知直线的斜率为-1/2，过点A(3,4)，求直线的方程。
解：直线方程的斜率为-1/2，过点A(3,4)，所以直线方程可以表示为y = (-1/2)x + c。
将点A(3,4)代入直线方程，得到4 = (-1/2) * 3 + c => 4 = -3/2 + c。
解得c = 4 +3/2 = 11/2，所以直线方程为y = (-1/2)x + 11/2。
四、应用题1.在直角坐标系中，过点A(2,3)和B(-1,5)的直线与y轴交于点C，求点C的坐标。
解：由题意可知，过点A(2,3)和B(-1,5)的直线与y轴交于点C，所以C的横坐标为0。
13、直线与圆的方程的应用(提高)知识讲解.docx
1 3 、直线与圆的方程的应用 ( 提高 )直线与圆的方程的应用(提高 )学习目标1．能利用直线与圆的方程解决有关的几何问题；2．能利用直线与圆的方程解决有关的实际问题；3．进一步体会、感悟坐标法在解决有关问题时的作用．要点梳理要点一、用直线与圆的方程解决实际问题的步骤1．从实际问题中提炼几何图形；2．建立直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面问题转化为代数问题；3．通过代数运算，解决代数问题；4．将结果“翻译”成几何结论并作答．要点二、用坐标方法解决几何问题的“三步曲”用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆；然后对坐标和方程进行代数运算；最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论 . 这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”.第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.要点诠释：坐标法的实质就是借助于点的坐标，运用解析工具( 即有关公式 ) 将平面图形的若干性质翻译成若干数量关系 . 在这里，代数是工具、是方法，这是笛卡儿解析几何的精髓所在 .要点三、用坐标法解决几何问题时应注意以下几点1．建立直角坐标系时不能随便，应在利于解题的原则下建立适当的直角坐标系；2．在实际问题中，有些量具有一定的条件，转化成代数问题时要注意范围；3．最后要把代数结果转化成几何结论．典型例题类型一：直线与圆的方程的实际应用1．有一种大型商品， A、B 两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费 A 地是 B 地的两倍，若 A、B 两地相距 10 公里，顾客选择 A 地或 B 地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？【答案】圆 C 内的居民应在 A 地购物．同理可推得圆 C 外的居民应在 B 地购物．圆C 上的居民可随意选择 A 、B 两地之一购物．【解析】以直线 AB 为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，如下图所示．设 A （― 5， 0），则 B（ 5， 0）．在坐标平面内任取一点P（ x，y），设从 A 地运货到 P 地的运费为 2a 元／ km，则从 B 地运货到 P 地的运费为a元／ km．若P 地居民选择在 A 地购买此商品，则，整理得．即点 P 在圆的内部．也就是说，圆 C 内的居民应在 A 地购物．同理可推得圆 C 外的居民应在 B 地购物．圆C 上的居民可随意选择 A 、B 两地之一购物．【总结升华】利用直线与圆的方程解决实际问题的程序是：（ 1）认真审题，明确题意；（2）建立直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与圆的方程的模型；（3）利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；（4）把代数结果还原为对实际问题的解释．在实际问题中，遇到直线与圆的问题，利用坐标法比用平面几何及纯三角的方法解决有时要简捷些，其关键在于建立适当的直角坐标系．建立适当的直角坐标系应遵循三点：（1）若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴；（ 2）常选特殊点作为直角坐标系的原点；（3）尽量使已知点位于坐标轴上．建立适当的直角坐标系，会简化运算过程．要想学会建立适当的直角坐标系，必须靠平时经验的积累．【变式 1】如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度 AB=20m ，拱高OP=4m，在建造时每隔4m 需要用一个支柱支撑，求支柱的长度（精确到0.01m）.【答案】 3.86m【解析】建立坐标系如图所示 .圆心的坐标是 (0，ｂ )，圆的半径是ｒ，那么圆的方程是：因为 P(0,4)、B(10,0)都在圆上，所以解得，.所以圆的方程为把代入圆的方程得，所以,即支柱的高度约为 3.86m.【变式 2】某市气象台测得今年第三号台风中心在其正东300 km 处，以 40km/h 的速度向西偏北30°方向移动.据测定，距台风中心250 km 的圆形区域内部都将受到台风影响，请你推算该市受台风影响的起始时间与持续时间.(精确到分钟 )【答案】 90 分钟10 h【解析】利用坐标法来求解 .如图，不妨先建立直角坐标系xOy，其中圆 A 的半径为250km，过 B(300， 0)作倾斜角为 150°的直线交圆于点 C、D，则该市受台风影响的起始与终结时间分别为 C 开始至 D 结束，然后利用圆的有关知识进行求解 .以该市所在位置 A 为原点，正东方向为x 轴的正方向建立直角坐标系，开始时台风中心在B(300，0)处，台风中心沿倾斜角为150°方向的直线移动，其轨迹方程为 y=(x-300)(x ≤300).该市受台风影响时，台风中心在圆x2+y2=2502内，设射线与圆交于C、D，则 CA=AD=250 ，∴台风中心到达 C 点时，开始影响该市，中心移至 D 点时，影响结束，作AH ⊥CD 于 H，则AH=AB ·sin30°=150，HB=，CH=HD==200，∴BC=-200，则该市受台风影响的起始时间t1=≈1.5(h)，即约 90 分钟后台风影响该市，台风影响的持续时间t2==10(h)即台风对该市的影响持续时间为10 h.【总结升华】应用问题首先要搞清题意，最好是画图分析，运用坐标法求解，首先要建立适当的坐标系，设出点的坐标.还要搞清里面叙述的术语的含义.构造圆的方程进行解题 (如求函数的最值问题 )时，必须充分联想其几何意义，也就是由数思形 .如方程 y=1+表示以(0，1)为圆心，1为半径的上半圆，表示原点与曲线 f(x ， y)=0 上动点连线的斜率 .类型二：直线与圆的方程在平面几何中的应用2．AB为圆的定直径， CD为直径，自 D 作 AB的垂线 DE，延长 ED到 P 使|PD|=|AB| ，求证：直线 CP必过一定点【答案】直线 CP 过定点（ 0，― r）【解析】建立适当的直角坐标系，得到直线CP 的方程，然后探讨其过定点，此时要联想证明曲线过定点的方法．证明：以线段 AB 所在的直线为 x 轴，以 AB 中点为原点，建立直角坐标系，如下图．设圆的方程为x2+y2=r2，直径 AB 位于 x 轴上，动直径为CD．令C（x0，y0），则D（―x 0，―y0），∴P（― x0，― y0― 2r）．∴直线 CP 的方程为．即(y0+r)x ―(y+r)x 0=0．∴直线 CP 过直线： x=0， y+r=0 的交点（ 0，― r），即直线 CP 过定点（ 0，― r）．【总结升华】利用直线与方程解决平面几何问题时，要充分利用圆的方程、直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系等有关知识，正确使用坐标方法，使实际问题转化为代数问题，然后通过代数运算解决代数问题，最后解释代数运算结果的实际含义．【变式】如图，在圆O 上任取 C 点为圆心，作一圆与圆O 的直径 AB 相切于D，圆 C 与圆 D 交于 E、 F，求证： EF 平分 CD．证明：令圆 O 方程为 x2+y2=1．①EF 与 CD 相交于 H，令 C（ x， y ），则可得圆 C 的方程1122222(x－x 1)+(y －y1)=y1，即 x+y－2x1x－2y1 y+x1=0．②2①－②得 2x1x+2y1y－1－x1=0．③③式就是直线 EF 的方程，设 CD 的中点为 H＇，其坐标为，将 H＇代入③式，得．即 H＇在 EF 上，∴ EF 平分 CD．类型三：直线与圆的方程在代数中的应用3．已知实数 x、y 满足 x2+y2+4x+3=0，求的最大值与最小值．【答案】【解析】如图所示，设 M （ x， y），则点 M 在圆 O：(x+2)2+y2=1 上．令 Q（ 1， 2），则设，即kx― y― k+2=0．过 Q 作圆 O1的两条切线 QA 、QB，则直线 QM 夹在两切线 QA 、QB 之间，∴k AQ≤k QM≤k QB．又由 O1到直线 kx―y―k+2=0 的距离为 1，得，即．∴的最大值为，最小值为．【总结升华】本例中利用图形的形象直观性，使代数问题得以简捷地解决，如何由“数”联想到“形”呢？关键是抓住“数”中的某些结构特征，联想到解析几何中的某些方程、公式，从而挖掘出“数”的几何意义，实现“数”向“形”的转化．本例中由方程联想得到圆，由等联想到斜率公式．由此可知，利用直线与圆的方程解决代数问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的形象直观性来分析解决问题，也就是数形结合思想方法的灵活运用．涉及与圆有关的最值问题，可借助图形性质利用数形结合求解，一般地：（ 1）形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；（2）形如 t=ax+by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；（3）形如d=(x－a)2+(y－ b)2形式的最值问题，可转化为到定点P（a，b）距离的平方的最值问题．【变式】设函数和，已知当x∈[－4，0]时，恒有，求实数 a 的取值范围．答案与解析【答案】【解析】因为，所以，即，分别画出和的草图，利用数形结合法，当直线与半圆相切时取到最大值，由圆心到直线的距离为 2，求出，即得答案．类型四：直线与圆的方程的综合应用4．设圆满足：（1）截 y 轴所得的弦长为 2；（2）被 x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件（ 1）、（ 2）的所有圆中，求圆心到直线：x―2y=0 的距离最小的圆的方程．【答案】 (x―1)2+(y― 1)2=2 或(x+1)2+(y+1) 2=2【解析】满足题设中两个条件的圆有无数个，但所求的圆须满足圆心到直线的距离最小．这样须通过求最小值的方法找出符合题意的圆的圆心坐标．设圆心为 P（ a，b），半径为 r，则 P 点到 x 轴、 y 轴的距离分别是 |b|和|a|．由题设知：圆 P 截 y 轴所得劣弧对的圆心角为90°，故圆P 截 x 轴所得弦长为∴r2=2b2．又圆 P 截 y 轴所得的弦长为2，∴r2=a2+1，从而 2b2― a2=1．又∵ P（ a， b）到直线 x― 2y=0 的距离为，∴5d2=|a―2b|2=a2+4b2―4ab=2(a―b)2+2b2―a2=2(a―b)2 +1≥1，当且仅当 a=b 时取等号，此时．由，得或，∴ r2=2．故所求的圆的方程为 (x―1)2+(y― 1)2=2 或(x+1) 2+(y+1)2=2．【总结升华】解决直线与圆的综合问题，一方面，我们要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决；另一方面由于直线与圆和平面几何联系得十分紧密（其中直线与三角形、四边形紧密相连），因此我们要勤动手，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件（性质），利用几何知识使问题得到较简捷的解决．本题若用代数方法求解，其计算量大得多，不信自己试试看．在解决有关直线与圆的综合问题时，经常需要引进一些参数（用字母表示相关量），但不一定要解出每一个几何量，而是利用有关方程消去某些参数，从而得到所要的几何量的方程，解此方程即可．这种解题方法就是“设而不求”（设出了但没有求出它）的思想方法．“设而不求”是解析几何中的一种重要的思想方法．【变式】已知圆 x2+y2+x― 6y+m=0 与直线 x+2y― 3=0 相交于 P、Q 两点，点O 为坐标原点，若OP⊥OQ，求 m 的值．【答案】 3【解析】由得代入，化简得：5y2-20y+12+m=0， y1+y6=4，设的坐标分别为，，由可得：===0解得：析【答案与解析】1．【答案】 B【解析】圆心C（2，3），，∴切线长．2．【答案】 B【解析】如图所示，以 A 地为原点，正东方向为 x 轴正方向建立直角坐标系，则 A（0，0），B （40， 0）．设台风的移动方向是射OC，则射线 OC的方程是y=x（ x≥ 0），以B 为圆心， 30 为半径长的圆与射线 OC交于 M和 N两点，则当台风中心在线段 MN上移动时， B 城市处于危险区内．点 B 到直线 OC的距离是，则有（千米），因此 B 城市处于危险区内的时间为（小时）故选 B．3．【答案】 D【解析】直线 AB的方程是，，则当△ ABC面积取最大值时，边 AB上的高即点 C 到直线 AB的距离 d 取最大值．又圆心M（ 1， 0），半径 r=1 ，点M到直线的距离是，由圆的几何性质得 d 的最大值是，所以△ ABC面积的最大值是．故选D．4．【答案】 C【解析】结合圆的几何性质，得圆心 C 到直线的距离 d 满足1＜d＜3．所以．解得－ 17＜ k＜－ 7 或3＜ k＜ 13．故选C．5．【答案】 B5，圆心到点（3，5）的距离为【解析】圆心坐标是（ 3，4），半径是1，根据题意最短弦BD和最长弦（即圆的直径） AC垂直，故最短弦的长为，所以四边形 ABCD的面积为．6．【答案】 B【解析】因为两条切线x―y=0 与 x―y―4=0 平行，故它们之间的距离即为圆的直径，所以，所以．设圆心坐标为P（ a，― a），则点 P 到两条切线的距离都等于半径，所以，，解得a=1，故圆心为（1，―1），所以圆的标准方程为 (x ― 1) 2+(y+1) 2=2，故选 B．7．【答案】 B【解析】设点（ x，y）与圆 C1的圆心（― 1， 1）关于直线 x―y―1=0对称，则，解得，从而可知圆 C2的圆心为（ 2，― 2），又知其半径为 1，故所求圆 C2的方程为 (x ― 2) 2+(y+2) 2 =1．8．【答案】 B【解析】因为三角形的三边长分别为 3、4、5，所以该三角形是直角三角形，其图为如图所示的 Rt△ ABC．圆O是△ ABC的内切圆，可计算得其半径为 1，过 O点作三条直线 EF、GH、MN，分别与△ ABC三边平行此三条直线将△ ABC分割成 6 个部分．记半径为 1 的圆 O1的圆心到三条边 AB、 BC、CA 的距离分别为 d1、d2、 d3．而圆心 O1在这 6个区域时，有（Ⅰ）（最多 4 个公共点）；（Ⅱ）（最多 2 个公共点）；（Ⅲ）（最多 2 个公共点）；（Ⅳ）（最多4个公共点）．而圆心 O1在线段 EF、GH、MN上时，最多有 4 个公共点，故选B．9．【答案】 (x+1) 2+y2=2【解析】根据题意可知圆心坐标是（―1，0），圆的半径等于，22故所求的圆的方程是 (x+1) +y =2．【解析】设所求直线方程为 y=kx，即 kx ―y=0．由于直线 kx―y=0 被圆截得的弦长等于 2，圆的半径是 1，由此得圆心到直线距离等于，即圆心位于直线kx ―y=0 上，于是有 k―2=0，即 k=2，因此所求直线方程为2x―y=0．11．【答案】 8【解析】依题意，可设圆心坐标为（a， a）、圆半径为 r ，其中 r=a ＞0，因此圆方程是 (x ― a) 2+(y ― a) 2=a2由圆过点（ 4，1）得 (4 ―a) 2+(1 ―a) 2 =a2，即 a2―10a+17=0，则该方程的两根分别是圆心 C1， C2的横坐标，．12．【答案】― 1x 2+(y ―1) 2 =1【解析】由题可知，又 k1k PQ=― 1 k1=―1，圆关于直线对称，找到圆心（ 2，3）的对称点（ 0，1），又圆的半径不变，易得x2 +(y ―1) 2=1．13．【答案】 x2+y2― 6x+2y―6=0【解析】设经过两圆交点的圆系方程为x2+y2―4x― 6+(x 2+y2―4y―6)=0 （≠― 1），即，∴圆心坐标为．又∵圆心在直线 x―y―4=0 上，∴，即，∴所求圆的方程为 x2 +y2― 6x+2y―6=0．14．【答案】（ 1）1.7 h 后观测站受到影响，影响时间是 3.7h (2) M 城4.2 h 后受到影响 ,影响时间是 3.7h【解析】（1）设风暴中心到 C 处 A 开始受到影响，到 D 处 A 结束影响，由题意有AC=360，AB=450，∠ ABC=45°，设 BC=x，则．即，故．∴，故 149.76 ÷90≈1.7 ，即约 1.7 h后观测站受到影响，影响时间是（ h） .（2）而 MA∥BC，∴ M城比 A 气象观测站迟（h）受到影响，故M城 4.2 h 后受到影响，影响的时间是 3.7 h ．15．【答案】（ 1）最大值为，最小值为（2）最大值为 51 ，最小值为 11（3）最大值为，最小值为【解析】方程 x2 +y2―6x―6y+14=0，变形为 (x ―3) 2+(y ―3) 2=4．（1）表示圆上的点P与原点连线的斜率，显然PO与圆相切时，斜率最大或最小．设切线方程为 y=kx，即 kx―y=0，由圆心 C（ 3， 3）到切线的距离等于半径长 2，可得，解得，所以，的最大值为，最小值为．（2）x2+y2+2x+3=(x+1) 2+y2 +2，它表示圆上的点 P 到 E（― 1， 0）的距离的平方再加 2，所以，当点 P 与点 E 的距离最大或最小时，所求式子就取最大值或最小值，显然点 P 与点 E 距离的最大值为|CE|+2 ，点 P 与点 E 距离的最小值为 |CE| ―2，又，所以 x2+y2+2x+3 的最大值为 (5+2) 2+2=51，最小值为 (5 ―2) 2 +2=11．（3）设 x+y=b，则 b 表示动直线 y=―x+b 与圆 (x ― 3) 2+(y ―3) 2 =4 相切时， b 取最大值或最小值圆心 C（ 3， 3）到切线 x+y=b 的距离等于圆的半径长2，则，即，解得，所以 x+y 的最大值为，最小值为．。
(完整版)直线与圆题型总结
高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程1求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y 0上的圆的标准方程并判断点 2、设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2; (2)被x 轴分成两段弧, 求圆心到直线I : x 2y 0的距离最小的圆的方程.类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程1已知圆O : x 2 y 2 4，求过点P 2,4与圆0相切的切线.2两圆C 1: x 2 y 2D 1xE 1 yF 1 0与C 2: x 2 y 2 D 2x E 2y F 2 0相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程.3、过圆x 2 y 2 1外一点M(2,3)，作这个圆的两条切线 MA 、MB ，切点分别是 A 、B ，求直线AB 的方程。
练习：2 2 1•求过点 M(3,1)，且与圆(x 1) y4相切的直线I 的方程 __________________ 2 2 52、 过坐标原点且与圆 x y 4x 2y 0相切的直线的方程为 _________22 2 3、 已知直线5x 12y a 0与圆x 2x y 0相切，则a 的值为 _________________________ .类型三：弦长、弧问题2 21、 求直线I : 3x y 6 0被圆C : x y 2x 4y 0截得的弦AB 的长 ________________________________2、 直线 3x y 2 3 0截圆x 2 y 2 4得的劣弧所对的圆心角为 _________________________3、求两圆x 2 y 2 x y 2 0和x 2 y 2 5的公共弦长 __________________________类型四：直线与圆的位置关系 I1、若直线y x m 与曲线y 4 x 2有且只有一个公共点，实数 m 的取值范围 _________________________________4、 若直线y kx 2与圆(x 2)2 (y 3)2 1有两个不同的交点，贝U k 的取值范围是 ________________________ .5、 圆x 2 y 2 2x 4y 3 0上到直线x y 1 0的距离为 2的点共有().(A ) 1 个 (B ) 2 个 (C ) 3 个(D ) 4 个2 2 6、 过点P 3, 4作直线l ，当斜率为何值时，直线I 与圆C: x 1 y 24有公共点 类型五：圆与圆的位置关系2 2 2 2 1、判断圆C 1 : xy 2x 6y 26 0与圆C 2 : x y 4x 2y 4 0的位置关系 ___________________________________2 2 2 2 P(2,4)与圆的其弧长的比为3:1 ,在满足条件(1)(2)的所有圆中,2 圆(x 3)2 (y 3)29上到直线3x 4y 11 0的距离为1的点有_________ 个？ 2 2 3、直线 x y 1 与圆 x y 2ay 0 (a 0)没有公共点，则a 的取值范围是 __________2圆x y 2x 0和圆x y 4y 0的公切线共有___________________________条。
5.教师版：直线与圆方程解答题
直线与圆方程解答题B 组练习1.已知圆M: 223330x y x y +--+=，圆N ：22220x y x y +--=，求两圆的公共弦所在的直线方程及弦长。
答案：-3x y +=2.求过点P （6，－4）且被圆2220x y +=截得长为的弦所在的直线方程．解：设弦所在的直线方程为4(6)y k x +=-，即640kx y k ---=①则圆心（0，0）到此直线的距离为d =构成Rt △，所以2220+=．由此解得717k =-或1k =-． 代入①得切线方程776()401717x y ---⨯--=或6(1)40x y ---⨯--=，即717260x y ++=或20x y +-=．3.（一中）已知两圆222210:22140.M x y N x y x y +=+++-=：和（1）求两圆的公共弦所在的直线方程；（2）求过两圆交点且圆心在230x y +-=上的圆的方程。
解：（1）两个方程联立即可得到直线方程为x+y-2=0（2）设经过两圆交点的圆的方程为22222214+(10)0.x y x y x y λ+++-+-= 整理可得222214100.1+1+1x y x y λλλλ++++-=+ 圆心坐标为11(,)11λλ--++由于圆心在直线230x y +-=上，代入可得=-2.λ 所以圆的方程为22(1)(1)8.x y -+-=4.已知直线0382:=---m y mx l 和圆C ：02012622=++-+y x y x .（1）时，证明l 与C 总相交。
（2）取何值时，l 被C 截得弦长最短，求此弦长。
【答案】（1）将直线整理成点斜式方程，则直线过定点，斜率为. 将圆整理为标准方程，则圆心，半径.∵ . ∴点在圆C 内，故时， 与C 总相交。
（2）由，当与C 垂直时，被C 截得弦长最短，∴当123k m ==-即16m =-时，弦长最短，设弦端点为P 、Q ，则，即最短弦长为。
圆与直线方程较难题
====Word 行业资料分享--可编辑版本--双击可删==== 源-于-网-络-收-集 1、 已知两定点A （-2，0），B （1，0），如果动点P 满足条件|PA|=2|PB|，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于多少2、 设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；③圆心到直线:20l x y -=的距离为55，求该圆的方程． 3、 已知圆C 与两坐标轴的正半轴都相切，圆心C 到直线y=-x 的距离等于 2．（1）求圆C 的方程；（2）若直线 l ：xm+yn=1（m ＞2，n ＞2）与圆C 相切，求mn 的最小值．4、 在平面直角坐标系xoy 中，以C （1，-2）为圆心的圆与直线 x+y+32+1=0相切． （I ）求圆C的方程；（II ）是否存在斜率为1的直线l ，使得以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在，求出此直线方程，若不存在，请说明理由．5、 已知圆C ：x 2+（y-2）2=5，直线l ：mx-y+1=0．（1）求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点；（2）若圆C 与直线相交于点A 和点B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．6、 一动圆被两条直线x+2y=0，x-2y=0截得的弦长分别为6和2，求动圆圆心的轨迹方程．7、 求过圆x 2+y 2+2x-4y+1=0和直线2x+y+4=0的交点，且面积最小的圆方程．8、 已知过点A （-1，0）的动直线l 与圆C ：x 2+（y-3）2=4相交于P ，Q 两点，M 是PQ中点，l 与直线m ：x+3y+6=0相交于N ．（1）求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ；（2）当 PQ=23时，求直线l 的方程；（3）探索 •AM AN 是否与直线l 的倾斜角有关？．9、 已知圆M 的圆心M 在x 轴上，半径为1，直线 l ：y=43x-12，被圆M 所截的弦长为 3，且圆心M 在直线l 的下方．（I ）求圆M 的方程；（II ）设A （0，t ），B （0，t+6）（-5≤t ≤-2），若圆M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积S 的最大值和最小值10、 1、（2011•陕西）如图，设P 是圆2x +2y =25上的动点， 点D 是P 在x 轴上的摄影，M 为PD 上一点，且|MD|=45|PD| （Ⅰ）当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为45的直线被C 所截线段的长度． 11、 已知圆C ：2(1)x ++2y =8．（1）求过点Q （3，0）的圆C 的切线l 的方程；（2）如图定点A （1，0），M 为圆C 上一动点，点P 在AM 上，点N在CM 上，且满足 AM =2AP ，NP •AM =0，求N 点的轨迹方程。
直线和圆的方程十年高考题(含答案)
直线和圆的方程十年高考题（含答案）直线和圆的方程・考点阐释解析几何是用代数方法来研究几何问题的一门数学学科.在建立坐标系后，平面上的点与有序实数对之间建立起对应关系，从而使平面上某些曲线与某些方程之间建立对应关系；使平面图形的某些性质(形状、位置、大小)可以用相应的数、式表示出来；使平面上某些几何问题可以转化为相应的代数问题来研究.学习解析几何，要特别重视以下几方面：(1)熟练掌握图形、图形性质与方程、数式的相互转化和利用；(2)与代数、三角、平面几何密切联系和灵活运用.•试题类编一、选择题1.(2003北京春文12,理10)已知直线ax+by+c=0 (abcw 0)与圆x2+y2=1 相切，贝U三条边长分别为|a|, |b|, |c|的三角形( )A.是锐角三角形B.是直角三角形C.是钝角三角形D.不存在2.（2003北京春理，12）在直角坐标系xOy 中，已知△ AOB三边所在直线的方程分别为x=0, y=0, 2x+3y=30,贝U/XAOB 内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（）A.95B.91C.88D.753.（2002京皖春文，8）到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（）A.x —y=0B.x+y=0C.|x| —y=0D.|x|—|y|=04.（2002京皖春理，8）圆2x2 + 2y2=1与直线xsin e+y—1 = 0（0 GR, e# 万十kjt,kGZ）的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.不确定的5.（2002 全国文）若直线（1+a）x+y+1=0 与圆x2+y2—2x=0相切，则a的值为（）B.2, —2C.1A.1 , —16. （2002全国理）圆（x —1） 2+ y 2=1 的圆心到直线y=^33x 的距离是（）A.1B.‘C.122D.T 37. （2002北京，2）在平面直角坐标系中，已知两点 A （cos80° ,sin80° ） ,B（cos20° , sin20° ）,则 |AB|的值是（ ）A.1B.—C.-D.12228. （2002北京文，6）若直线l: y=kx V3与直线2x + 3y —6=0的交点位于第一象限，则直 线l 的倾斜角的取值范围是（）B.(6,2)D.[6,2]9.（2002北京理，6）给定四条曲线：①x=1.其中与直线x+y —京=0仅有一个交点的曲线是（）十2X一4④1= 2L4 + 2XA.[6,3)A.①②③B.②③④C.①d④ D.①③④10.(2001 全国文，2)过点A (1, —1)、B (―1, 1)且圆心在直线x+y—2=0上的圆的方程是( )A. (x —3) 2+ (y+1) 2 = 4B. ( x + 3) 2+ (y—1) 2=4C. (x—1) 2+ (y—1) 2 = 4D. (x+1) 2+ (y+1) 2= 411.(2001上海春，14)若直线x=1的倾斜角为a ,则a ( )A.等于0B.等于zC.等于万D.不存在12.(2001天津理，6)设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是 ( )A.x+y— 5=0B.2x —y—1=0C.2y—x —4=0D.2x+y — 7=013.(2001京皖春，6)设动点P在直线x=1 上，O为坐标原点.以OP为直角边，点。
直线与圆的方程例题
1、已知直线方程为3x - 4y + 5 = 0，圆方程为x2 + y2 = 16，判断直线与圆的位置关系。
A. 相离B. 相切C. 相交D. 无法确定（答案）C2、直线l过点P(2,3)且与圆x2 + y2 - 4x = 0相交于A、B两点，若弦AB的长度为2√3，则直线l的斜率可能为？A. 1B. -1C. 1或-1/7D. -1或7（答案）D3、给定圆方程(x - 1)2 + (y - 2)2 = 9和直线方程y = 2x + 1，求圆心到直线的距离。
A. √5B. 2√5C. 3√5D. 4√5（答案）A4、直线x - y + 1 = 0与圆x2 + y2 + 2x - 2y - 2 = 0相交，则交点个数为？A. 0个B. 1个C. 2个D. 无数个（答案）C5、已知直线方程2x - y - 3 = 0与圆方程x2 + y2 - 2x = 0，求直线被圆截得的弦长。
A. √6B. 2√6C. 3√6D. 4√6（答案）B6、圆x2 + y2 = 1与直线y = kx + b相切，若b = √2/2，则k的值为？A. 1B. -1C. ±1D. 0（答案）C7、直线l过原点且与圆x2 + y2 - 2y = 0相交，若交点构成的弦长为2，则直线l的方程为？A. y = xB. y = -xC. y = x 或 y = -xD. 无法确定（答案）C8、给定直线方程x + y - 1 = 0和圆方程(x - 2)2 + (y - 3)2 = 4，判断直线是否穿过圆。
A. 是B. 否C. 无法确定D. 以上都不对（答案）A9、圆x2 + y2 = 4与直线y = x + b相交，若交点构成的弦长为2√2，则b的值为？A. ±2B. ±√2C. 2D. -2（答案）A10、已知直线方程3x - 4y + 12 = 0与圆方程x2 + y2 - 6x = 0，求直线被圆截得的弦所在的直线方程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1、
已知两定点A （-2，0），B （1，0），如果动点P 满足条件|PA|=2|PB|，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于多少
10、 设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；③圆心到直线:20l x y -=的距离为55
，求该圆的方程． 11、 已知圆C 与两坐标轴的正半轴都相切，圆心C 到直线y=-x 的距离等于 2．
（1）求圆C 的方程；
（2）若直线 l ：xm+yn=1（m ＞2，n ＞2）与圆C 相切，求mn 的最小值．
12、 在平面直角坐标系xoy 中，以C （1，-2）为圆心的圆与直线 x+y+32+1=0相
切． （I ）求圆C 的方程；（II ）是否存在斜率为1的直线l ，使得以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在，求出此直线方程，若不存在，请说明理由．
13、 已知圆C ：x 2+（y-2）2=5，直线l ：mx-y+1=0．（1）求证：对m ∈R ，直线l 与圆
C 总有两个不同交点；（2）若圆C 与直线相交于点A 和点B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．
14、 一动圆被两条直线x+2y=0，x-2y=0截得的弦长分别为6和2，求动圆圆心的轨迹
方程．
15、 求过圆x 2+y 2+2x-4y+1=0和直线2x+y+4=0的交点，且面积最小的圆方程．
16、 已知过点A （-1，0）的动直线l 与圆C ：x 2+（y-3）2=4相交于P ，Q 两点，M 是
PQ
中点，l 与直线m ：x+3y+6=0相交于N ．
（1）求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ；
（2）当 PQ=23时，求直线l 的方程；
（3）探索 •AM AN 是否与直线l 的倾斜角有关？．
17、
已知圆M 的圆心M 在x 轴上，半径为1，直线 l ：y=43x-12，被圆M 所截的弦长为 3，且圆心M 在直线l 的下方．
（I ）求圆M 的方程；
（II ）设A （0，t ），B （0，t+6）（-5≤t ≤-2），若圆M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积S 的最大值和最小值
18、 1、（2011•陕西）如图，设P 是圆2x +2
y =25上的动点， 点D 是P 在x 轴上的摄影，M 为PD 上一点，且|MD|=
45|PD| （Ⅰ）当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程
（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为
45的直线被C 所截线段的长度． 19、 已知圆C ：2(1)x ++2y =8．
（1）求过点Q （3，0）的圆C 的切线l 的方程；
（2）如图定点A（1，0），M为圆C上一动点，点P在AM上，点N
在CM上，且满足AM=2AP，NP•AM=0，求N点的轨迹方程
1. P(x,y)
PA²=4PB²
所以(x+2)²+y²=4[(x-1)²+y²]
x²+4x+4+y²=4x²-8x+4+4y²
x²-4x+y²=0
(x-2)²+y²=4
2.设圆心为P(a,b),半径为r,
则P到X轴、Y轴距离分别为|b|、|a|.
由题设知圆P截X轴所得劣弧所对的圆心角为90度,知圆P所截X轴所得的弦长为 (根2)*r,故
r^2=2b
又圆P截Y轴所得弦长为2,所以有
r^2=a^2+1
从而得
2b^2-a^2=1
又P(a,b)到直线x-2y=0的距离为
d=|a-2b|/根5
--->5d^2=a^2+4b^2-4ab>=a^2+4b^2-2(a^2+b^2)=2b^2-a^2=1
当a=b时上式等号成立,
此时,5d^2=1,从而d取得最小值.
由此有{a=b,2b^2-a^2=1}
--->a=b=1,或a=b=-1
由于r^2=2b^2,则r=根2
于是,所求圆的方程是:
(x-1)^2+(y-1)^2=2,
或(x+1)^2+(y+1)^2=2.
5.1证明：∵直线l：mx-y+1=0经过定点D（0，1），
点D到圆心（0，1）的距离等于1 小于圆的半径5，
故定点（0，1）在圆的内部，故直线l与圆C总有两个不同交点．
2。
联立直线方程与椭圆方程，再结合韦达定理以及弦长公式即可解决问题．
3设中点M（x，y），因为L：m（x-1）-（y-1）=0恒过定点P（1，1）
∴kAB=y-1/x-1，又kMC=y-1/x，kAB•KNC=-1，
∴y-1/x-1•y-1/x=-1，
x2+y2-x-2y+1=0，
(x-1/2)2+(y-1)2=1/4，表示圆心坐标是（1/2，1），半径是1/2的圆；
9. (1)
L：y=(4/3)x-1/2 ，即：4x-3y- 3/2=0
设圆心M(a，0)
弦长的一半为√3/2，半径r=1
∴M到直线L的距离d= √[r² - (√3/2)²]= 1/2
又：d=|4a - 3/2|/√(4²+3²)
∴d=|4a - 3/2|/5 =1/2
∴a=1或-1/4
即M(1，0)或(-1/4，0)
又∵M在直线L下方
∴M(1，0)
即圆M：(x-1)²+y²=1
(2)
设AC斜率为k1，BC斜率为k2，则：
直线AC的方程为y=k1x+t，即k1x-y+t=0
直线BC的方程为y=k2x+t+6，即k2x-y+t+6=0
联立AC、BC，得：
C点的横坐标为X(C)=6/(k1-k2)
∵|AB|=t+6-t=6
∴S=(1/2)·|AB|·|X(C)|=18/(k1-k2) (画个草图就知道k1＞k2，即k1-k2＞0) ∵AC、BC与圆M相切
∴圆心M到AC的距离d1= |k1+t|/√(k1²+1) = r =1，解得k1=(1-t²)/(2t)
圆心M到BC的距离d2= |k2+t+6|/√(k2²+1) = r =1，解得k2=[1-(t+6)²]/[2(t+6)] ∴k1-k2=(1-t²)/(2t) - [1-(t+6)²]/[2(t+6)] = 3(t²+6t+1)/(t²+6t)
∴S=18/(k1-k2) (已证)
=6(t²+6t)/(t²+6t+1)
=6(t² + 6t + 1 -1 )/(t²+6t+1)
=6 [ 1 - 1/(t²+6t+1) ]
∵-5≤t≤-2
∴-2≤t+3≤1
∴0≤(t+3)²≤4
∴-8≤t²+6t+1＝(t+3)²-8≤-4
∴S(max)=6(1 + 1/4 )=15/2 S(min)=6(1 + 1/8)=27/4。