用高斯消元法求解线性方程组
高斯消元法解线性方程组
高斯消元法解线性方程组线性方程组是数学中常见的问题，其中包含多个线性方程，求解线性方程组即为找到满足所有方程的解。
高斯消元法是一种常用的方法，可以有效地解决线性方程组。
本文将介绍高斯消元法的原理和步骤，并通过一个具体的例子来演示其应用。
一、高斯消元法原理高斯消元法是通过一系列的行变换来将线性方程组转化为上三角形式，进而求解方程组。
具体步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵形式，其中每一行表示一个方程，最后一列为常数项。
2. 选择一个主元，通常选择第一列的第一个非零元素作为主元。
3. 将主元所在行的所有元素除以主元，使主元变为1。
4. 将主元所在列的其他行元素通过适当的倍数加到相应行，使得主元所在列的其他元素都变为0。
5. 重复步骤2-4，直到将矩阵转化为上三角形式。
6. 从最后一行开始，通过回代法求解每个未知数的值。
二、高斯消元法步骤示例为了更好地理解高斯消元法的步骤，下面以一个具体的线性方程组为例进行演示。
假设有如下线性方程组：2x + y - z = 1-3x - y + 2z = -2-2x + y + 2z = 3首先，将线性方程组写成增广矩阵形式：[ 2 1 -1 | 1 ][-3 -1 2 | -2 ][-2 1 2 | 3 ]选择第一列的第一个非零元素2作为主元，将主元所在行的所有元素除以主元，使主元变为1，得到：[ 1 0 -0.5 | 0.5 ][-3 -1 2 | -2 ][-2 1 2 | 3 ]然后，将主元所在列的其他行元素通过适当的倍数加到相应行，使得主元所在列的其他元素都变为0，得到：[ 1 0 -0.5 | 0.5 ][ 0 -1 1.5 | -0.5 ][ 0 1 3 | 4 ]接下来，选择第二列的第二个非零元素-1作为主元，将主元所在行的所有元素除以主元，使主元变为1，得到：[ 1 0 -0.5 | 0.5 ][ 0 1 -1.5 | 0.5 ][ 0 1 3 | 4 ]再次进行行变换，将主元所在列的其他行元素通过适当的倍数加到相应行，使得主元所在列的其他元素都变为0，得到：[ 1 0 -0.5 | 0.5 ][ 0 1 -1.5 | 0.5 ][ 0 0 4.5 | 3 ]将矩阵转化为上三角形式后，从最后一行开始，通过回代法求解每个未知数的值。
毕业设计论文 高斯消去法求解线性方程组
摘要高斯消去法是求解线性方程组的最基本的方法之一。
为了充分利用GPU (Graphics Processing Unit，图形处理器)的并行处理能力，本文改进了高斯列主元消去法的实现过程，从而提高了求解线性方程组的速度。
并研究了在不同方程组阶数下，GPU对这此算法的加速效果。
NVIDIA新近推出的GPU计算平台采用矩阵型的计算架构，对处理大型矩阵具有极大的优势，且相对CPU有着更高的算法可并行性和计算效率。
本文力图基于GPU的CUDA开发环境，利用GP-GPU的计算特性实现求解线性方程组，以提高算法的运行效率。
最后，本文用C语言实现了高斯列主元消去算法求解线性方程组的基本过程，并分别在NVIDIA GPU并行计算平台和Intel CPU计算平台上加以运行，同时进行了两种计算平台上算法实现的性能比较。
关键词：求解线性方程组；高斯消去法；GPU；CUDA；并行计算AbstractGaussian elimination method is one of the most basic methods for solving linear equations. In order to take full advantage of GPU (Graphics Processing Unit, GPU) of the parallel processing capability, this paper improved Gaussian PCA out of the realization of the process of elimination, resulting in improved system of linear equations to solve the speed. And studied the different equations in a few bands, GPU accelerated the effect of this algorithm. NVIDIA recently introduced the use of GPU computing platform for the calculation of matrix-type structure, to deal with large-scale matrix has great advantages, and the relative CPU algorithm has higher computational efficiency and parallelism. This article seeks to CUDA for GPU-based development environment, the use of GP-GPU computing features to achieve the solution of linear equations in order to improve the effi ciency of algorithm. Finally, using C language realization of the Gaussian elimination algorithm PCA out of linear equations to solve the basic process and NVIDIA GPU in parallel computing platform and Intel CPU computing platform to be run, at the same time on two types of computing platforms algorithm Performance Comparison of the achievement.Key words:Solving linear equations; Gaussian elimination method; GPU; CUDA; Parallel Computing目录第一章绪论 (1)1.1 引言 (1)1.2 论文研究背景 (1)1.3 论文研究的目的和意义 (2)1.4 论文结构安排 (3)第二章求解线性方程组的基本理论 (4)2.1 高斯－约当消去法 (4)2.2 矩阵三角分解法 (5)直接三角分解法 (5)追赶法 (5)2.3 平方根法 (6)2.4 迭代法 (6)2.5 高斯消去法 (7)2.6 高斯列主元素消去法 (9)第三章NVIDIA CUDA并行计算平台 (11)3.1 GPU 技术简介 (11)3.2 CUDA介绍 (13)3.3 CUDA编程模型 (17)3.4 应用程序接口 (20)编程语言扩展 (20)第四章功能实现和相关函数介绍 (22)4.1 程序在CPU上的实现 (22)高斯列主元消去算法实现过程 (22)各文件中的主要功能函数介绍 (24)4.2 程序在GPU上的实现 (26)文件中C语言的扩展 (26)文件编写过程 (29)并行性实现 (31)4.3性能比较与结果分析 (32)第五章总结与展望 (36)致谢 (37)参考文献 (38)第一章绪论1.1 引言当今很多科学与工程计算问题大都可以化为线性代数方程组的形式，所以有效的求解线性方程组在科学和工程计算中是非常重要的。
数值方法高斯消元法
数值方法高斯消元法
高斯消元法（Gaussian Elimination）是指通过迭代使用矩阵运算，化为上三
角形矩阵来求解线性方程组的一种特殊数值算法。
它是数值分析中用于求解结构化和非结构化方程组的主要方法之一，属于改进的回代法，是由德国数学家高斯于
19世纪末提出的。
高斯消元法主要用于求解下列形式的方程组：Ax = b，其中A为非奇异矩阵，
x为未知向量，b为系数向量。
由此可见，该方法最重要的两个思想就是消元和迭代。
本算法的消元操作是通过矩阵的标准变换来实现的，即存在一个三角阵T，它
的下三角部分的映射是原矩阵A，其上三角部分本身恒为单位矩阵，这样一来，原
方程就被转化为一组三角方程，而且由上三角的单位矩阵可以再次得出未知向量x。
在实际应用中，高斯消元法最重要的特点就是它的计算精度高，时间效率也非
常高。
这是因为在处理大矩阵时，它不仅能够提高计算精度，而且能有效控制计算时间。
因此，高斯消元法广泛用于各种数值分析领域，如量子力学计算，复杂系统建模，模式识别，统计过程等等。
此外，高斯消元法也被广泛应用于工业领域，如航空航天，汽车制造，电力电子等。
总而言之，高斯消元法无疑是一种非常出色的线性方程组求解算法，有效地合
理地求解了大量复杂的线性数值问题，用它取代传统的回代法有效地节省了计算时间，是当今数值分析中可靠、高效斗算算法。
线性方程组的求解方法
线性方程组的求解方法线性方程组是数学中的基础概念，广泛应用于各个领域，如物理、经济学、工程学等。
解决线性方程组的问题，对于推动科学技术的发展和解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍几种常见的线性方程组的求解方法，包括高斯消元法、矩阵法和迭代法。
一、高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的经典方法之一。
它的基本思想是通过一系列的行变换将方程组化为阶梯形或行最简形，从而得到方程组的解。
首先，将线性方程组写成增广矩阵的形式，其中增广矩阵是由系数矩阵和常数向量组成的。
然后，通过行变换将增广矩阵化为阶梯形或行最简形。
最后，通过回代法求解得到方程组的解。
高斯消元法的优点是简单易懂，容易实现。
但是，当方程组的规模较大时，计算量会很大，效率较低。
二、矩阵法矩阵法是求解线性方程组的另一种常见方法。
它的基本思想是通过矩阵运算将方程组化为矩阵的乘法形式，从而得到方程组的解。
首先，将线性方程组写成矩阵的形式，其中矩阵是由系数矩阵和常数向量组成的。
然后，通过矩阵运算将方程组化为矩阵的乘法形式。
最后，通过求逆矩阵或伴随矩阵求解得到方程组的解。
矩阵法的优点是计算效率高，适用于方程组规模较大的情况。
但是，对于奇异矩阵或非方阵的情况，矩阵法无法求解。
三、迭代法迭代法是求解线性方程组的一种近似解法。
它的基本思想是通过迭代计算逐步逼近方程组的解。
首先，将线性方程组写成矩阵的形式，其中矩阵是由系数矩阵和常数向量组成的。
然后，选择一个初始解，通过迭代计算逐步逼近方程组的解。
最后，通过设定一个误差限，当迭代结果满足误差限时停止计算。
迭代法的优点是计算过程简单，适用于方程组规模较大的情况。
但是，迭代法的收敛性与初始解的选择有关，有时可能无法收敛或收敛速度较慢。
综上所述，线性方程组的求解方法有高斯消元法、矩阵法和迭代法等。
每种方法都有其适用的场景和特点，选择合适的方法可以提高计算效率和解决实际问题的准确性。
在实际应用中，根据问题的具体情况选择合适的方法进行求解，能够更好地推动科学技术的发展和解决实际问题。
1.用高斯消元法解下列线性方程组：
1.用高斯消元法解下列线性方程组：(1)123123123123233,350,43,3136;x x x x x x x x x x x x -+=⎧⎪+-=⎪⎨-+=⎪⎪+-=-⎩ (2)12341234123412342353,34232,288,7980;x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=-⎪⎨++-=⎪⎪+++=⎩(3)1234123412343,31,123;2x x x x x x x x x x x x ⎧⎪--+=⎪-+-=⎨⎪⎪--+=-⎩ (4)12341234123424270,36430,5104250.x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩解(1)21122133128331502133(,)411341131313613136r r r r A b -↔---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪=−−−→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ 212431412412831283051990153093315051990153093315r r r r r r r r -↔------⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪ ⎪−−−→−−−→⎪ ⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ 32434235219()61283128301530153006600110012120000r r r r r r r +-+⨯-----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---- ⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 2312521001010200110000r r r r +-⎛⎫⎪⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭因此方程组的解为123121x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩(2)1342223513113253423234232(,)12818128187918011324r r r r A b ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪=−−−→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 322131344131132511325011131301113130111313000090000900000r r r r r r r r r r ---↔-----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为()2,(,)3r r ==A A b ，所以方程组无解.(3)21311111011110(,)1113100241111123001222r r r r A b --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪=--−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212321211101111102110012001222000000000r r r r r ⨯++⎛⎫-- ⎪--⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−→-−−−→- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭对应的同解方程组为1243412122⎧=++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩x x x x x ，令2142,==x k x k则方程组的解为11221324212122x k k x k x k x k ⎧⎪⎪=++⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎪=⎩ （12(,)k k ∈R .(4)1224271224(,)36433643510425510425r r ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A b 211313223(1)531()21224122415002150012006450000+⨯-+-⨯---⎛⎫--⎛⎫ ⎪⎪ ⎪−−−→-−−−→- ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭r r r r r r r r 120111500120000-⎛⎫⎪ ⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭对应的同解方程组为12434211152=-⎧⎪⎨=⎪⎩x x x x x 令2142,==x k x k ，则方程组的解为112213242211152x k k x kx k x k =-⎧⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪=⎪⎩ 12(,)k k ∈R . 2.讨论p 取何值时，下述非齐次线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在有解时求解.12321231234,,2 4.x x px x px x p x x x ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩ 分析 本题为含有参数p 的非齐次线性方程组的求解，由于其系数矩阵为方阵，故可用行列式分析.解 111111011112022p pp p p p=-=++---A 11(1)(1)(4)22=+=+---p p p p可见：(1)当0A ≠，即4≠p 且1≠-p 时，方程组有唯一解，利用克莱姆法则求得212232124121p p x p p p x p p x p ⎧+=⎪+⎪⎪++⎪=⎨+⎪⎪-=⎪+⎪⎩(2)当4=p 时，0A =，此时213111441144(,)141160552011240228r r r r +-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭A b 232152114410300114011400000000⨯+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−−−→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r r对应的同解方程组为132334x x x x =-⎧⎨=-+⎩，令3=x k则方程组的解为12334x k x k x k =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩ ()k ∈R .(3)当1=-p 时，0A =，此时213111141114(,)1111000511240238r r r r +---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭A b23111402380005r r ↔-⎛⎫ ⎪−−−→-- ⎪ ⎪⎝⎭，因为()2,(,)3==r A r A b ，所以方程组无解.3.当,a b 取何值时，下述非齐次线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在有解时求出它的全部解. 123423423412340,221,(3)2,32 1.x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=⎧⎪++=⎪⎨-+--=⎪⎪+++=-⎩解 1111001221(,)01323211a b a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪--- ⎪-⎝⎭A b 3241311110012************+-⎛⎫ ⎪ ⎪−−−→ ⎪-+ ⎪----⎝⎭r r r r a b a 4211110012************+⎛⎫ ⎪⎪−−−→ ⎪-+ ⎪-⎝⎭r r a b a 由此可见：(1)当1,1=≠-a b 时，()2,(,)3r r ==A A b ，方程组无解.(2)当1,1==-a b 时，()(,)2r r ==A A b ，方程组有无穷多解. 此时(,)A b 可化简为10111012210000000000---⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭ 令3142,==x k x k方程组的解为11221231421221x k k x k k x k x k =+-⎧⎪=--+⎪⎨=⎪⎪=⎩ 12(,)k k ∈R .(3)当1,≠∈a b R 时，方程组有唯一解为123421231110b a x a a b x a b x a x -+⎧=⎪-⎪--⎪=⎪-⎨⎪+=⎪-⎪⎪=⎩4.设121232343454515-=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪-=⎪⎩x x a x x a x x a x x ax x a ，证明方程组有解的充分必要条件是510==∑i i a ，并在有解的情况下，求出它的全部解.分析 线性方程组解的存在性主要依据线性方程组解的定义及有解判别定理来证明.证明 123451100001100(,)001100001110001a a a a a -⎛⎫ ⎪- ⎪⎪=- ⎪-⎪ ⎪-⎝⎭A b 543211234511100001100001100001100000++++=-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-−−−−−→ ⎪- ⎪⎪⎪⎝⎭∑r r r r r i i a a a a a当()(,)r r =A A b 时，方程组有无穷多解，故要满足510==∑ii a.当有解时，继续对(,)A b 作初等行变换，得123423434410001010010010100011000000-+++⎛⎫ ⎪-++ ⎪⎪-+ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭a a a a a a a a a a 令5=x k 由此得出方程组的解为112342234334445x a a a a k x a a a k x a a k x a kx k=++++⎧⎪=+++⎪⎪=++⎨⎪=+⎪=⎪⎩ ()k ∈R5.已知向量(3,5,7,9)α=，(1,5,2,0)β=-(1)如果αξβ+=，求ξ；(2)如果325αξβ-=，求ξ.解 (1)由αξβ+=，可得(1,5,2,0)(3,5,7,9)(4,0,5,9)ξβα=-=--=--- (2)由325αξβ-=，可得111127(35)(14,10,11,27)(7,5,,)2222ξαβ=-=-=-6.设1233()2()5()αααααα-++=+，求α.其中T T T 123(2,5,1,3),(10,1,5,10),(4,1,1,1)ααα===- 解 由已知可得 123332255αααααα-++=+T 1231(325)(1,2,3,4)6αααα=+-= 7.把向量β表示成向量1234,,,αααα的线性组合.(1)1234(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,2,1,1)ααααβ==--=--=--=(2)1234(1,1,0,0),(2,1,3,1),(1,1,0,0),(0,1,1,1),(0,0,0,1)ααααβ====--=解 (1)T T T T T12341111111112(,,,,)1111111111ααααβ⎛⎫⎪--⎪= ⎪--⎪--⎝⎭ 4321313411()21111111111002210022102020010100220000220r r r r r r r r r ---⨯--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭234224234123441()2145100011111411001101002401010100104100011400014r r r r r r r r r r r r r r ↔--⨯-----⨯⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪- ⎪ ⎪−−−→−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ -⎪⎝⎭ 由此可知123451114444βαααα=+--(2)T T T T T 12341210011110(,,,,)0301011011ααααβ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭3221414223(1)1210012100010100101003010000200111100121r r r r r r r r r +---⨯-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭343241232(1)210001010000010100010r r r r r r r r +⨯-+--⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→ ⎪- ⎪⎝⎭由此可知13βαα=-8.判断下列向量组的线性相关性. (1)123(1,1,1),(0,2,5),(1,3,6)ααα===(2)T T T 123(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14)βββ=-==(3)T T T 123(1,1,3,1),(4,1,3,2),(1,0,1,2)γγγ==-=-解 (1)因为123,,ααα构成的矩阵为方阵，故可用行列式求解.因为1011001231220156155==，所以向量组123,,ααα线性相关.(2)123(,,)βββ=213141241031031300332170114214022r r r r r r +--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23242132103011000000r r r r r ⨯--⎛⎫ ⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭，因为123(,,)23r βββ=<，所以向量组123,,βββ线性相关. (3)3242213123141141110031(,,)3310154122012r r r r r r γγγ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=−−−→ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24433253141012001000r r r r r r ↔-+⎛⎫ ⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭，因为123(,,)3r γγγ=，所以向量组123,,γγγ线性无关. 9.设112223334441,,,βααβααβααβαα=+=+=+=+，证明向量组1234,,,ββββ线性相关.分析 可按向量组的线性相关的定义，把证明向量组线性相关转化为证明齐次线性方程组有非零解，或直接寻找1234,,,ββββ之间的线性关系式，若系数不全为0，则向量组线性相关。
C++ 数学与算法系列之高斯消元法求解线性方程组
C++ 数学与算法系列之高斯消元法求解线性方程组1. 前言什么是消元法？消元法是指将多个方程式组成的方程组中的若干个变量通过有限次地变换，消去方程式中的变量，通过简化方程式，从而获取结果的一种解题方法。
消元法主要有代入消元法、加减消元法、整体消元法、换元消元法、构造消元法、因式分解消元法、常数消元法、利用比例性质消元法等。
对方程式消元时，是基于如下的初等行变换规则：•改变方程组中方程式的顺序，或者说无论先求解方程组中哪一个方程式，不影响方程组的解。
•对一个方程式中的所有系数乘以或除以某一个非零数，不影响方程组的解。
•方程式之间可以倍乘后相加或相减，不影响解。
其中最常用的为代入消元法和加减消元法，简要介绍一下。
代入消元法如求解2x+3y=10和x+y=4; 2个方程式中的x ,y变量时。
可以把第2个方程式变换成x=4-y。
然后代入到第1个方程中，2(4-y)+3y=10。
可求解出y=2，x=2。
加减消元法还是求解如上的方程组。
可以把第2个方程式乘以2后再去减第1个方程式，或者说让第1个方程式减去第2个方程式乘以2。
2x+3y-2x-2y=10-8。
可以求解y=2。
本文主要和大家聊聊高斯消元法，高斯(Gauss)消元法也称为简单消元法，是求解一般线性方程组的经典算法。
2. 高斯消元法在理解高斯消元化之前，先理解几个基本概念：什么是增广矩阵？增广矩阵是线性代数中的概念，如下线性方程组：使用每个方程式的系数构建的矩阵，称为系数矩阵，表示为：用方程式的系数和结果构建的矩阵称为方程组的增广矩阵。
如下图所示：当方程组中的每一个方程的结果都为0时, 即b1=b2=b3=b4……bm=0，称这样的方程组为齐次线性方程组。
2.1 高斯消元法的思想高斯消元的基本思想：•对于一个有n个变量、有n个方程式的方程组。
•把方程组中除了第1个方程式外的其它方程式中的x1消去，同理，再把除了第2个方程式以下的方程组中其它方程式中的x2消去，依次类推，直到最后1个方程式中只留下xn。
高斯消元法是线性代数中的一个算法可用来求解线性方
高斯消元法，是线性代数中的一个算法，可用来求解线性方程组，并可以求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。
高斯消元法的原理是：若用初等行变换将增广矩阵化为，则AX = B与CX = D是同解方程组。
所以我们可以用初等行变换把增广矩阵转换为行阶梯阵，然后回代求出方程的解。
以上是线性代数课的回顾，下面来说说高斯消元法在编程中的应用。
首先，先介绍程序中高斯消元法的步骤：(我们设方程组中方程的个数为equ，变元的个数为var，注意：一般情况下是n个方程，n个变元，但是有些题目就故意让方程数与变元数不同)1. 把方程组转换成增广矩阵。
2. 利用初等行变换来把增广矩阵转换成行阶梯阵。
枚举k从0到equ – 1，当前处理的列为col(初始为0) ，每次找第k行以下(包括第k行)，col列中元素绝对值最大的列与第k行交换。
如果col列中的元素全为0，那么则处理col + 1列，k不变。
3. 转换为行阶梯阵，判断解的情况。
①无解当方程中出现(0, 0, …, 0, a)的形式，且a != 0时，说明是无解的。
②唯一解条件是k = equ，即行阶梯阵形成了严格的上三角阵。
利用回代逐一求出解集。
③无穷解。
条件是k < equ，即不能形成严格的上三角形，自由变元的个数即为equ – k，但有些题目要求判断哪些变元是不缺定的。
这里单独介绍下这种解法：首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个。
我们先把所有的变元视为不确定的。
在每个方程中判断不确定变元的个数，如果大于1个，则该方程无法求解。
如果只有1个变元，那么该变元即可求出，即为确定变元。
以上介绍的是求解整数线性方程组的求法，复杂度是O(n3)。
浮点数线性方程组的求法类似，但是要在判断是否为0时，加入EPS，以消除精度问题。
高斯消元法简介在信息学竞赛中，很多问题都可以转化成线性方程组或者与之相关的问题。
因此，我们需要了解线性方程组的各种解法。
高斯消元法求解线性方程组
高斯消元法求解线性方程组线性方程组是数学中重要的概念，它描述了一组线性方程的集合。
解决线性方程组的问题在科学和工程领域中具有广泛的应用。
高斯消元法是一种常用的方法，用于求解线性方程组。
本文将介绍高斯消元法的原理和步骤，并通过实例演示其应用。
一、高斯消元法的原理高斯消元法是一种基于矩阵变换的方法，用于将线性方程组转化为简化的行阶梯形式。
其基本思想是通过一系列的行变换，将方程组中的系数矩阵化为上三角矩阵，从而简化求解过程。
具体而言，高斯消元法的步骤如下：1. 将线性方程组的系数矩阵和常数向量写成增广矩阵的形式。
2. 选取一个主元素，通常选择第一列的第一个非零元素作为主元素。
3. 通过行变换，将主元素下方的所有元素化为零。
4. 选取下一个主元素，并重复步骤3，直到将矩阵化为上三角形式。
5. 通过回代法，求解得到线性方程组的解。
二、高斯消元法的步骤为了更好地理解高斯消元法的步骤，我们以一个具体的线性方程组为例进行演示。
假设我们有以下线性方程组：```2x + 3y - z = 14x - y + z = -2x + 2y + 3z = 3```首先，我们将其写成增广矩阵的形式：```[2, 3, -1 | 1][4, -1, 1 | -2][1, 2, 3 | 3]```接下来，我们选取第一列的第一个非零元素2作为主元素，并通过行变换将主元素下方的元素化为零。
具体步骤如下：1. 将第二行乘以2，然后与第一行相减，得到新的第二行：`[0, -7, 3 | -4]`2. 将第三行乘以0.5，然后与第一行相减，得到新的第三行：`[0, 0.5, 2.5 | 1.5]`此时，得到的矩阵为：```[2, 3, -1 | 1][0, -7, 3 | -4][0, 0.5, 2.5 | 1.5]```接下来，我们选取第二列的第二个非零元素-7作为主元素，并通过行变换将主元素下方的元素化为零。
具体步骤如下：1. 将第三行乘以14，然后与第二行相加，得到新的第三行：`[0, 0, 35 | 7]`此时，得到的矩阵为：```[2, 3, -1 | 1][0, -7, 3 | -4][0, 0, 35 | 7]```最后，我们通过回代法求解得到线性方程组的解。
高斯消元法详解
高斯消元法详解高斯消元法是一种线性代数中用于解决线性方程组的方法。
它的基本思想是通过一系列的行变换将一个线性方程组转化为一个上三角矩阵，然后通过回带求解出未知数的值。
高斯消元法的基本步骤如下：1. 将待求解的线性方程组写成增广矩阵形式，即将系数矩阵和常数向量合并成一个矩阵。
2. 选取第一行第一列元素不为零的行作为主元行，通过初等行变换将该行化为主元，即使该行第一列元素为1，其余元素为0。
3. 对于每个未被选中的行，将其第一列元素通过初等行变换化为0。
具体做法是将该行乘以主元所在行第一列的相反数，并加到主元所在行上。
4. 重复步骤2和3直到所有未被选中的行都被化为0或者无法选取主元。
5. 回带求解出未知数的值。
从最后一行开始，依次代入已经求出来的未知数值并计算出当前未知数值。
需要注意的是，在进行高斯消元法时需要注意以下几点：1. 当选择主元时应尽量避免选取小数作为主元，因为小数的精度有限，可能会导致计算误差。
2. 当系数矩阵中存在多个相同的行时，需要将它们合并成一个行，以减少计算量。
3. 在进行回带求解时，应注意未知数的顺序和求解的顺序应该一致。
高斯消元法可以用于求解任意大小的线性方程组，但是当方程组的规模很大时，计算量会非常大。
此外，在某些情况下高斯消元法可能会出现无法选取主元或者主元为0的情况，此时需要采用其他方法进行求解。
总之，高斯消元法是一种简单而有效的线性方程组求解方法，在实际应用中得到了广泛的应用。
熟练掌握高斯消元法可以提高我们在科学计算和工程设计中的能力和水平。
高斯消元法解线性方程组
高斯消元法解践牲方程组在工程技术和工程菅理中有许名冋题经常可以旧结为线性方程组类塑的数学模塑，送些模型中方程和未知量f数常常有多f,而fl方程个数与未知量个数也不一定相同。
那么这算的线性方程组是否有解昵？如果有解，解是否唯一？若解不唯一，解的结构如何昵？这就是下面要过论的冋題。
一、线性方程组设含有〃f未知量、有〃H、方程武组成的方程组勺2勺+…+6”兀a2l x l+a22x2+-- + a2n x n=b2其巾系g 常数®都是已知数，石是未知量（也称为未知a）o当右端常数顶几, b2ib m不全为0时，称方程组⑶）为非齐次线性方程组；当b严咕… »0时,即a llXl+a}2x2 + -+a ln x n=0t/21x I+a22x2+--+a2ll x… =04內+知2勺+-+仏止=0称为齐次线性方程组。
由〃个数人，k2,心组成的一f有序数组（g k2, ■■■, k…），如果将它们依次代入方程组（3.1 ）中的“，兀，…，兀后，（3.1 ）中的毎个方程部变械恒等式, 则称这个有序数组（J k2, k n）为方程级（3.1 ）的一个解。
显然由X. =0, x2=0, 组成的有序数组（0,0, -,0 ）是齐次线性方程组（3.2 ）的一个解,林之为齐次线性方程组（3.2 ）的零解，而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时，號之为非零解。
（利用葩阵来过论线性方程组的解的悄况或求线性方程组的解是很方便的。
因此, 我『I先给出线性方程组的葩阵表示形式。
）非齐次线性方程组（3.1 ）的矩晖表示形式为：AX^B其中A ='^11 %«21a22… (2),%=-V2,B-“2 % a ml…4顺bn称力为方程组（3.1）的系数矩晖，X为未知矩阵，3为常数拒阵。
将系数矩阵力利常数葩阵3故在一起构成的葩阵称为方程组(3.1 )的壇广葩阵。
齐次线性方程组(3.2)的矩晖表示形式为：AX=O 二、高斯消元法(下面介绍利用矩阵求解方程组的方法，影么犯阵初等行变换会不会改变方 程组的解昵？我们先看一 f 定理。
线性方程组的解法
线性方程组的解法在数学中，线性方程组是由一系列线性方程组成的方程集合。
解决线性方程组是数学中的一个重要问题，在实际应用中也有广泛的应用。
本文将介绍几种常见的线性方程组的解法，以帮助读者更好地理解和应用这些方法。
一、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的一种常见且经典的方法。
它通过一系列的行变换，将线性方程组化简为一个上三角矩阵，从而求得方程组的解。
具体步骤如下：步骤1：将线性方程组写成增广矩阵的形式。
步骤2：选取一个非零的系数作为主元素，并将该系数所在行作为当前行。
步骤3：将主元素所在列的其他行元素都通过初等变换变为0。
步骤4：重复步骤2和步骤3，直到将矩阵化简为上三角形式。
步骤5：回代求解，得到线性方程组的解。
高斯消元法是一种直观且容易理解的解法，但对于某些特殊的线性方程组，可能会遇到无解或者无穷多解的情况。
二、矩阵的逆乘法矩阵的逆乘法是另一种解决线性方程组的方法，它通过矩阵的逆和向量的乘法，将线性方程组表示为一个矩阵方程，从而求得方程组的解。
具体步骤如下：步骤1：将线性方程组表示为增广矩阵的形式。
步骤2：判断增广矩阵的系数矩阵是否可逆，如果可逆，则存在矩阵的逆。
步骤3：计算增广矩阵的系数矩阵的逆。
步骤4：将原始线性方程组表示为矩阵方程形式，即AX = B。
步骤5：求解矩阵方程，即X = A^(-1)B。
矩阵的逆乘法是一种简便且高效的解法，但需要注意矩阵的可逆性，在某些情况下可能不存在逆矩阵或者矩阵的逆计算比较困难。
三、克拉默法则克拉默法则是一种基于行列式求解线性方程组的方法。
它通过计算方程组的系数行列式和各个未知数在方程组中的代数余子式，从而求得方程组的解。
具体步骤如下：步骤1：将线性方程组的系数和常数项构成一个矩阵。
步骤2：计算系数矩阵的行列式，即主行列式D。
步骤3：分别将主行列式D中的每一列替换为常数项列，计算得到各个未知数的代数余子式。
步骤4：根据克拉默法则的公式，未知数的值等于其对应的代数余子式除以主行列式D。
高斯消元法的适用条件
高斯消元法的适用条件
高斯消元法是一种线性方程组求解方法，在实际应用中需要注意其适用条件。
其适用条件如下：
1.方程组中未知数的个数与方程的个数相等；
2.方程组中各个方程的系数可以表示成一个矩阵，且该矩阵可逆；
3.方程组中各个方程的系数必须为实数或复数；
4.方程组中各个方程的系数应当为常数或者变量，而不是函数或其他复杂形式。
如果以上条件都满足，则可以使用高斯消元法求解线性方程组。
否则需要采用其他方法进行求解。
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高斯消元法
高斯消元法
从高斯消元法的全过程可以看到，在利用其对方程组 进行变换的时候，发生改变的是方程组的系数及自由项， 所以我们可以用原方程组的增广矩阵进行相应的初等行变 换进行代替：
高斯消元法
当增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形 矩阵后，要写出相应的方程组，然后用回代 的方法求出解．如果用矩阵将回代的过程表 示出来，这个过程实际上就是对阶梯形矩阵 进一步简化，使其最终化成一个特殊的矩阵， 从这个特殊矩阵中就可以直接解出或“读出” 方程组的解．
高斯消元法
再将方程(4-3)的（-2）倍加到方程(4-2)，方程(4-3)的3倍加 到方程(4-4)，得
高Hale Waihona Puke 消元法用回代的方式可得方程组的解为
上例的解法可以用于任意线性方程组.从解的过程中可以 看出，对线性方程组我们可施行下列三种运算对方程组进行 化简：
（1）交换某两个方程的次序. （2）某一方程两端乘以一非零常数. （3）某一方程两端乘以同一常数加到另一方程上.
高斯消元法
【例4-5】
解线性方程组
解 利用初等行变换，将方程组的增广矩阵A化成阶梯形矩阵， 再求解，即
阶梯形矩阵的第三行000－2所表示的方程为0x1+0x2+0x3= －2．由该方程可知，无论x1,x2,x3取何值，都不能满足这个方程， 因此原方程组无解．
高斯消元法
【例4-6】
解线性方程组
高斯消元法
高斯消元法
高斯消元法
对于线性方程组，常用的求解方法 是高斯消元法，它的基本思想是通过对 方程组做同解变形，简化未知量的系数， 从而得到与原方程组同解且易直接求解 的阶梯形方程组，从而得到整个方程组 的解.下面举例说明其解法.
高斯消元法
线代求公共解的三大方法
线代求公共解的三大方法线性代数是数学中的一个重要分支，研究了向量空间和线性映射的性质及其相关的代数结构。
在线性代数中，求解线性方程组是一个常见的问题。
而求解线性方程组的公共解可以通过三大方法进行求解。
本文将介绍这三大方法并对其进行详细解析。
一、高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的常用方法之一。
其基本思想是通过一系列的行变换将线性方程组转化为一个上三角形的增广矩阵，然后利用回代法求解方程组的解。
具体步骤如下：1. 将线性方程组表示为增广矩阵的形式；2. 选取一个主元，将该主元下面的元素消为零；3. 重复上述步骤，直到将矩阵转化为上三角形；4. 利用回代法求解线性方程组的解。
高斯消元法的优点是求解过程简单、直观，适用于小规模的线性方程组。
但是当线性方程组的规模较大时，计算量会增加，效率较低。
二、矩阵的秩与零解矩阵的秩是矩阵中线性无关的列向量的最大个数。
对于线性方程组Ax=0，如果矩阵A的秩等于列数n，则方程组只有零解。
这是因为矩阵的秩等于列数意味着矩阵的列向量线性无关，无法找到非零解。
在求解公共解时，我们可以通过计算矩阵的秩来判断方程组是否有非零解。
如果矩阵的秩小于列数n，则方程组存在非零解。
此时，可以通过求解齐次线性方程组的通解，再加上非齐次方程的任意特解，得到线性方程组的公共解。
三、矩阵的逆与唯一解如果线性方程组的系数矩阵A是可逆的，即存在矩阵B使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，则方程组有唯一解。
此时，解可以通过矩阵的逆来计算，即x=A^(-1)b。
矩阵的逆存在的条件是矩阵A的行列式不为零。
如果矩阵A的行列式为零，则矩阵A不可逆，方程组可能没有解，或者有无穷多个解。
总结：通过高斯消元法可以求解线性方程组的公共解，但对于大规模方程组效率较低。
通过计算矩阵的秩可以判断方程组是否有非零解，进而求解公共解。
如果方程组的系数矩阵可逆，则方程组有唯一解，解可以通过矩阵的逆来计算。
线性代数是数学中的重要分支，其中求解线性方程组的公共解是一个常见问题。
大学数学(解线性方程组)
大学数学(解线性方程组)大学数学（解线性方程组）在大学数学课程中，解线性方程组是一个基础而重要的内容。
线性方程组是由一系列线性方程组成的方程组，其中每个方程都是未知数的线性组合。
解线性方程组的过程涉及到找到使得方程组中的所有方程都成立的未知数的值。
本文将介绍解线性方程组的常用方法和技巧。
一、高斯消元法高斯消元法是一种常用且有效的解线性方程的方法。
它的基本思想是通过使用一系列列变换将线性方程组化为上三角形式，从而使得方程求解更加简单。
首先，将线性方程组写成增广矩阵的形式，其中未知数的系数构成一个矩阵，等号右边的常数构成一个列矩阵。
然后，我们可以使用以下步骤来进行高斯消元法：1. 选定一个主元素：选择一个非零的系数作为主元素，通常选择系数绝对值最大的行作为主元素所在的行。
2. 行变换：将主元素所在的行除以主元素的值，使主元素变为1。
然后，将该主元素所在列上的其他元素通过适当的倍数相减，使得主元素下方的元素都变为0。
3. 重复步骤1和步骤2：重复选定主元素和行变换的过程，直到将线性方程组化为上三角形式。
4. 回代求解：从最后一行开始，逐个求解未知数的值。
对于每一行来说，已知未知数的值可以直接代入该行的方程，从而得到下一个未知数的值，直到求解出所有的未知数。
二、矩阵方法矩阵方法是另一种常用于解线性方程组的方法。
通过将线性方程组的系数矩阵和常数矩阵相乘，可以得到一个新的矩阵。
然后，通过对新的矩阵进行逆矩阵或者伴随矩阵运算，可以求解出未知数的值。
具体步骤如下：1. 构造增广矩阵：将线性方程组的系数矩阵和常数矩阵合并成一个增广矩阵。
2. 行变换：使用矩阵的初等行变换将增广矩阵化为行最简形式，即将其变为上三角矩阵。
3. 回代求解：从最后一行开始，逐个求解未知数的值，通过代入法可得到每个未知数的值。
三、矩阵的逆如果线性方程组的系数矩阵是可逆矩阵，那么可以通过求逆矩阵的方式直接得到未知数的值。
逆矩阵与原系数矩阵的乘积即为单位矩阵。
线性方程组的解法及应用案例
线性方程组的解法及应用案例一、引言线性方程组是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
解决线性方程组的方法有很多种，本文将介绍常见的解法，并结合实际案例进行应用分析。
二、高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的一种常见方法。
它通过将方程组转化为阶梯形式，从而简化计算过程。
下面通过一个例子来说明高斯消元法的具体步骤。
假设有如下线性方程组：```2x + 3y - z = 13x - 2y + 2z = 3x + y - z = 0```首先，我们将方程组写成增广矩阵的形式：```[2 3 -1 | 1][3 -2 2 | 3][1 1 -1 | 0]```接下来，我们通过行变换的方式将矩阵转化为阶梯形式。
具体步骤如下：1. 将第二行乘以2，然后与第一行相减，消去x的系数：```[2 3 -1 | 1][0 -8 4 | 1][1 1 -1 | 0]```2. 将第三行乘以0.5，然后与第一行相减，消去x的系数：```[2 3 -1 | 1][0 -8 4 | 1][0 -1 0 | -0.5]```3. 将第三行乘以-8，然后与第二行相加，消去y的系数：```[2 3 -1 | 1][0 0 8 | -3][0 -1 0 | -0.5]```4. 将第三行乘以3，然后与第二行相加，消去y的系数：```[2 3 -1 | 1][0 0 8 | -3][0 0 0 | -2]```现在，我们得到了一个阶梯形的矩阵。
接下来，我们可以通过回代的方式求解方程组的解。
从最后一行开始，我们可以得到z的值为1。
然后，将z的值代入第二行的方程中，可以得到y的值为-0.5。
最后，将z和y的值代入第一行的方程中，可以得到x的值为0.5。
综上所述，线性方程组的解为x=0.5，y=-0.5，z=1。
三、矩阵求逆法除了高斯消元法，矩阵求逆法也是求解线性方程组的一种常见方法。
它通过求解方程组的逆矩阵，从而得到方程组的解。
下面通过一个例子来说明矩阵求逆法的具体步骤。
高斯消元法的适用条件
高斯消元法的适用条件
高斯消元法是求解线性方程组的一种常见方法，但是它并不是适用于所有线性方程组的。
具体而言，高斯消元法适用的条件如下：
1. 系数矩阵必须是一个方阵，即行数和列数相等。
2. 系数矩阵必须是可逆的，即行列式不为零。
3. 系数矩阵的各个元素必须都是已知数或常数。
4. 方程组的个数必须等于未知数的个数。
如果以上条件都满足，那么高斯消元法就可以被应用于求解该线性方程组。
在实际应用中，我们还需要注意到以下一些问题：
1. 如果系数矩阵的某个元素非常小，甚至接近于零，那么在进
行消元的过程中会出现除以零的情况，导致计算错误。
因此，我们需要对这种情况进行特别的处理，比如采用交换行或列的方式来避免出现除以零的情况。
2. 如果系数矩阵中某些元素具有相同的值，那么在进行消元的
过程中会出现多解或无解的情况。
这时，我们需要对系数矩阵进行一些变换，使其符合高斯消元法的要求。
总的来说，高斯消元法是一种非常实用的求解线性方程组的方法，但是在应用时需要注意以上所述的条件和问题。
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线性方程组的求解方法详解
线性方程组的求解方法详解线性方程组是由一系列线性方程组成的方程组，其中每个方程的未知数都是一次项（与其他未知数之间没有乘法关系）。
解线性方程组的目标是找到满足所有方程的未知数的值。
线性方程组的求解方法有多种，包括高斯消元法、矩阵方法、Cramer法则等。
1.高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的经典方法之一、它通过将线性方程组转化为行简化阶梯形矩阵的形式，从而求得未知数的值。
具体步骤如下：第一步，将线性方程组写成增广矩阵的形式，其中增广矩阵的最后一列为方程组的常数项。
第二步，选择一行（通常选择第一行）为主元行，并将其系数设置为1第三步，对于其他行，通过消去主元的系数，并使得该列上下的其他系数为零。
这一步称为消元操作。
第四步，重复第三步，直到所有行都被消元为止。
第五步，通过回代法，将最简形的增广矩阵转化为解方程组所需的形式。
从最后一行开始，将未知数的值代入到其他行的系数中，直到所有未知数都求得其值。
2.矩阵方法矩阵方法是一种利用矩阵运算求解线性方程组的方法。
该方法可以通过矩阵的逆矩阵、伴随矩阵等来求解。
具体步骤如下：第一步，将线性方程组的系数矩阵和常数矩阵写成增广矩阵的形式。
第二步，求解系数矩阵的逆矩阵。
第三步，将逆矩阵和常数矩阵相乘，得到未知数的解向量。
3. Cramer法则Cramer法则是一种基于行列式的方法，可以求解n元线性方程组。
该方法的基本思想是通过计算行列式的值来求解方程组。
具体步骤如下：第一步，计算线性方程组的系数矩阵的行列式值，如果行列式值不为零则方程组有唯一解，如果行列式值为零，则方程组无解或者有无穷多解。
第二步，将系数矩阵的每一列用常数项替换，并计算其行列式值。
第三步，将每个未知数的系数矩阵的行列式值除以原始行列式的值，得到解向量。
4.LU分解法LU分解法是一种将线性方程组的系数矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的方法。
该方法利用了矩阵分解的性质，通过将线性方程组转化为一个简单的形式，从而求得未知数的值。
高斯消元法原理
高斯消元法原理
高斯消元法是一种用于解决线性方程组的方法。
它是由德国数学
家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪开发出来的。
该方法是将线性方
程组的系数矩阵转化为上三角矩阵的过程，从而方便得出方程组的解。
这种方法在数值计算和计算机科学领域中被广泛使用。
这种方法的基本过程是将每个方程的系数转化为数字，然后用一
些运算规则将它们变成更简单的形式。
然后，将这些系数排列成一个
矩阵，并重复应用这些规则来消去下对角线上的所有元素。
这将导致
该矩阵变成一个上三角矩阵，其中只有对角线上的元素不为0。
最后，使用回带法，得出方程的解。
高斯消元法涉及的数学理论可能比较复杂，但它的应用并不难理解。
这种方法可以使用计算机程序来实现，以便在较大的矩阵中解决
更复杂的线性方程组。
使用高斯消元法求解的优点是：它是一种直接
的方法，不需要迭代步骤，因此比其他方法更准确、更快速。
高斯消元法的实际运用非常广泛，在许多领域都发挥了作用。
在
工程领域中，它用于解决电路和结构方程组等问题。
在计算机科学领
域中，它用于解决图像处理和机器学习等问题。
此外，高斯消元法还
用于解决微积分和矩阵论的问题。
总之，高斯消元法是一种非常有用的数学工具。
它提供了解决线
性方程组的直接方法，可以在各种领域中应用。
通过对该方法的学习
和实践，您可以了解到更多关于线性代数的知识，这些知识对数学的许多其他领域也非常有用。
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3 -1 -1 5 10 -1 -2 -1 10 -2 4.2 7.2 8.3 Output 文件格式： 1、方程个数 n 2、方程的解 例如对以上的 Input 文件内容，其 Output 结果为： 3 1.1000000 1.2000000 1.3000000
!用高斯消去法求线性方程组的解 Ax=b,n*n !数据输入文件 input 的数据格式为 n,A,其中 A 按行优先 subroutine Gauss(input,output) character *(20) input,output real A(1:100,1:100),x(1:100),b(1:100),xx(1:100) integer n,k,i,j,flag,s,q,choice integer location(1:100),maxi,maxj,lch real temp,swap write(*,*)'****调用 Gauss 函数求解线性方程组****' write(*,*)'检验传入的数据' write(*,*)'检验 A(i,j)' open(10,file=input) read(10,*) n do i=1,n read(10,*) (A(i,j),j=1,n) write(*,*) (A(i,j),j=1,n) if(A(i,i).eq.0) choice=1
!主程序 character *(20) input,output input='test.dat' output='result.dat' call Gauss(input,output) end
enddo write(*,*)'检验 b(i)' do i=1,n read(10,*) b(i) write(*,*) b(i) location(i)=i !初始 x(i)的位置 enddo write(*,*)'传入数据检验结束' close(10) do k=1,n-1 !利用全主元素消元法 write(*,*)'' write(*,*)'------>进行第 k 次消元,k=',k maxi=k makj=k do i=k,n do j=k,n if(A(i,j).gt.A(maxi,maxj)) then !记住最大值位置 maxi=i maxj=j end if enddo enddo write(*,*)'最大系数位置为：',maxi,maxj !交换行位置 do j=1,n temp=A(k,j) A(k,j)=A(maxi,j) A(maxi,j)=temp enddo temp=b(k) b(k)=b(maxi) b(maxi)=temp !交换列位置 do i=1,n temp=A(i,k) A(i,k)=A(i,maxj) A(i,maxj)=temp enddo write(*,*)'交换后的 A(i,j)' do i=1,n write(*,*) (A(i,j),j=1,n) enddo write(*,*)'交换后的 b(i)' write(*,*) (b(i),i=1,n) !记住列原本 x(i)交换后的位置 location(maxj)=k location(k)=maxj
!开始消元 do i=k+1,n b(i)=b(i)-b(k)*A(i,k)/A(k,k) do j=k+1,n A(i,j)=A(i,j)-A(k,j)*A(i,k)/A(k,k) enddo A(i,k)=0 enddo write(*,*)'消元结果 A(i,j)' do i=1,n write(*,*)(A(i,j),j=1,n) enddo write(*,*)'消元结果 b(i)' write(*,*)(b(i),i=1,n) enddo !输出消元结果 write(*,*)'************最终消元结果************' do i=1,n write(*,*) '线性方程:',i write(*,*) (A(i,j),j=1,n),b(i) enddo write(*,*)'************最终消元结果************' !回代方程 x(n)=b(n)/A(n,n) do i=n-1,1,-1 temp=0.0 do j=i+1,n temp=temp+A(i,j)*x(j) enddo x(i)=(b(i)-temp)/A(i,i) enddo write(*,*)'Gauss 函数求解结果：' open(20,file=output) write(20,*) n !还原 x(i)到初始位置 do i=1,n xx(location(i))=x(location(i)) enddo !输出最终结果 do i=1,n write(*,*) xx(i) write(20,*) xx(i) enddo close(20) write(*,*)'****高斯消元法调用结束****' return end
高斯消元法解线性方程组－－ Fortran 语言 陈洋洋 程序说明： 子过程 Gauss(input,output)用来求解线性方程组 Ax=b,参数 input 为输Βιβλιοθήκη 文件名，output 为 输出文件名。
Input 文件格式： 1、给出系数矩阵的阶数 n 2、给出系数矩阵 A（行优先） 3、给出向量 b