高中数学苏教版选修2-1第1章《常用逻辑用语》(2)word学案

1．2简单的逻辑联结词

[学习目标] 1.了解联结词“且”“或”“非”的含义.2.会用联结词“且”“或”“非”联结或改写某些数学命题，并判断新命题的真假.3.通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假．

[知识链接]

1．观察三个命题：①5是10的约数；②5是15的约数；③5是10的约数且是15的约数，它们之间有什么关系？

答：命题③是由命题①②用“且”联结得到的新命题，“且”与集合运算中交集的定义A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中“且”的意义相同，叫逻辑联结词，表示“并且”，“同时”的意思．2．观察三个命题：①3>2；②3＝2；③3≥2，

它们之间有什么关系？

答：命题③是由命题①②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题．

3．观察下列两组命题，看它们之间有什么关系？

(1)p：1是素数；q：1不是素数．

(2)p：y＝tan x是周期函数；q：y＝tan x不是周期函数．

答：两组命题中，命题q都是命题p的否定．

[预习导引]

1．逻辑联结词

把两个命题联结成新命题的常用逻辑联结词有“或”、“且”、“非”．

2．含有逻辑联结词的命题的真假

p q綈p p∨q p∧q

真真假真真

真假假真假

假真真真假

假假真假假

要点一用逻辑联结词联结组成新命题

例1分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的新命题．

(1)p：π是无理数，q：e不是无理数．

(2)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等．

(3)p：正△ABC三内角都相等，q：正△ABC有一个内角是直角．

解(1)p∨q：π是无理数或e不是无理数．p∧q：π是无理数且e不是无理数．綈p：π不是无理数．

(2)p∨q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等．

p∧q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等．

綈p：方程x2＋2x＋1＝0没有两个相等的实数根．

(3)p∨q：正△ABC三内角都相等或有一个内角是直角；

p∧q：正△ABC三内角都相等且有一个内角是直角；

綈p：正△ABC三个内角不都相等．

规律方法解决这类问题的关键是正确理解“或”“且”“非”的定义，用“或”“且”“非”联结p、q构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可把命题p、q中的条件或结论合并．

跟踪演练1分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式：

(1)p：2是无理数，q：2大于1；

(2)p：N⊆Z，q：{0}∈N；

(3)p：x2＋1>x－4，q：x2＋1

解(1)“p∨q”：2是无理数或大于1；

“p∧q”：2是无理数且大于1；

“綈p”：2不是无理数．

(2)“p∨q”：N⊆Z或{0}∈N；

“p∧q”：N⊆Z且{0}∈N；

“綈p”：N Z.

(3)“p∨q”：x2＋1≠x－4；

“p∧q”：x2＋1>x－4且x2＋1

“綈p”：x2＋1≤x－4.

要点二含逻辑联结词的命题的真假判断

例2指出下列命题的构成形式并判断真假：

(1)不等式|x＋2|≤0没有实数解；

(2)－1是偶数或奇数；

(3)2属于集合Q ，也属于集合R ； (4)A (A ∪B )．

解 (1)此命题是“綈p ”的形式，其中p ：不等式|x ＋2|≤0有实数解．因为x ＝－2是该不等式的一个解，所以命题p 为真命题，即綈p 为假命题．所以该命题为假命题．

(2)此命题是“p ∨q ”的形式，其中p ：－1是偶数，q ：－1是奇数，因为命题p 为假命题，命题q 为真命题，所以“p ∨q ”为真命题，故该命题为真命题．

(3)此命题为“p ∧q ”的形式，其中p ：2∈Q ，q ：2∈R ，因命题p 为假命题，命题q 为真命题，所以命题“p ∧q ”为假命题．故该命题为假命题． (4)此命题为“綈p ”的形式，其中p ：A ⊆(A ∪B )， 因为p 为真命题，所以綈p 为假命题， 故该命题为假命题．

规律方法 理解简单复合命题，字面上有逻辑联结词当然简单，否则需寻找与其等价的词语、符号或式子．

跟踪演练2 分别指出由下列各组命题构成的p ∨q 、p ∧q 、綈p 形式的命题的真假： (1)p ：2＋2＝5，q ：3>2；

(2)p ：9是质数，q ：8是12的约数； (3)p ：∅

{0}，q ：∅＝{0}．

解 (1)p 假q 真，故p ∨q 为真；p ∧q 为假；綈p 为真． (2)p 假q 假，故p ∨q 为假；p ∧q 为假；綈p 为真． (3)p 真q 假，故p ∨q 为真；p ∧q 为假；綈p 为假． 要点三 逻辑联结词的应用

例3 已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在x ∈(0，＋∞)内单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，如果p 和q 有且只有一个正确，求a 的取值范围． 解 对于命题p ，当01时，函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减．对于命题q ，曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点等价于(2a －3)2－4>0， 即052

.

方法一 (1)若p 正确且q 不正确，即函数y ＝log a (x ＋1)在x ∈(0，＋∞)内单调递减，曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴不交于不同的两点，因此a ∈(0,1)∩([12，1)∪(1，52])，即a ∈[1

2，1)．

(2)若p 不正确且q 正确，即函数y ＝log a (x ＋1)在x ∈(0，＋∞)内不是单调递减，曲线y ＝x 2＋