高中数学苏教版选修2-1第1章《常用逻辑用语》(2)word学案
高中数学 第1章 常用逻辑用语 1.2 简单的逻辑联结词学案 苏教版选修2-1-苏教版高二选修2-1
1.2 简单的逻辑联结词[学习目标] 1.了解联结词“且”“或”“非”的含义.2.会用联结词“且”“或”“非”联结或改写某些数学命题，并判断新命题的真假.3.通过学习，明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假．知识点一“p且q”“p且q”就是用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到的新命题，记作p∧q. 知识点二“p或q”“p或q”就是用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到的新命题，记作p∨q. 知识点三命题的否定一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作非p，读作“非p”或“p的否定”．知识点四含有逻辑联结词的命题的真假判断p q p∨q p∧q 非p真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真思考(1)逻辑联结词“或”与生活用语中的“或”的含义是否相同？(2)命题的否定与否命题有什么区别？答案(1)生活用语中的“或”表示不兼有，而在数学中所研究的“或”则表示可兼有但不一定必须兼有．(2)命题的否定只否定命题的结论，而否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论．题型一p∧q命题及p∨q命题例1 分别写出下列命题构成的“p∧q”“p∨q”的形式，并判断它们的真假．(1)p：函数y＝3x2是偶函数，q：函数y＝3x2是增函数；(2)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角；(3)p：3是无理数，q：3是实数；(4)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等．解(1)p∧q：函数y＝3x2是偶函数且是增函数；∵p真，q假，∴p∧q为假．p∨q：函数y＝3x2是偶函数或是增函数；∵p真，q假，∴p∨q为真．(2)p∧q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角；∵p真，q真，∴p∧q为真．p∨q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角；∵p真，q真，∴p∨q为真．(3)p∧q：3是无理数且是实数；∵p真，q真，∴p∧q为真．p∨q：3是无理数或是实数；∵p真，q真，∴p∨q为真．(4)p∧q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等；∵p真，q真，∴p∧q为真．p∨q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；∵p真，q真，∴p∨q为真．反思与感悟(1)判断p∧q形式的命题的真假，首先判断命题p与命题q的真假，然后根据真值表“一假则假，全真则真”进行判断．(2)判断p∨q形式的命题的真假，首先判断命题p与命题q的真假，只要有一个为真，即可判定p∨q形式命题为真，而p与q均为假命题时，命题p∨q为假命题，可简记为：有真则真，全假为假．跟踪训练1 指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题：(1)李明是男生且是高一学生．(2)方程2x2＋1＝0没有实数根．(3)12能被3或4整除．解(1)是“p且q”形式．其中p：李明是男生；q：李明是高一学生．(2)是“非p ”形式．其中p ：方程2x 2＋1＝0有实根．(3)是“p 或q ”形式．其中p ：12能被3整除；q ：12能被4整除． 题型二 非p 命题例2 写出下列命题的否定形式． (1)面积相等的三角形都是全等三角形； (2)若m 2＋n 2＝0，则实数m 、n 全为零； (3)若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0.解 (1)面积相等的三角形不都是全等三角形． (2)若m 2＋n 2＝0，则实数m 、n 不全为零． (3)若xy ＝0，则x ≠0且y ≠0.反思与感悟 非p 是对命题p 的全盘否定，对一些词语的正确否定是写非p 的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”、“p ∧q ”的否定是“非p ∨非q ”等．跟踪训练2 写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p ：y ＝ sin x 是周期函数； (2)p ：3＜2；(3)p ：空集是集合A 的子集； (4)p ：5不是75的约数．解 (1) 非p ：y ＝ sin x 不是周期函数．命题p 是真命题，非p 是假命题； (2) 非p ：3≥2.命题p 是假命题，非p 是真命题；(3) 非p ：空集不是集合A 的子集．命题p 是真命题，非p 是假命题； (4) 非p ：5是75的约数．命题p 是假命题，非p 是真命题． 题型三 p ∨q 、p ∧q 、非p 命题的综合应用例3 已知命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，若“p ∨q ”与“非q ”同时为真命题，求实数a 的取值范围．解 命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4≥0，x 1＋x 2>－2，x 1＋1x 2＋1>0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1≥0，－2a >－22－2a >0，，解得a ≤－1.命题q ：关于x 的不等式ax2－ax ＋1>0的解集为R ，等价于a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0.由于⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，解得0<a <4，所以0≤a <4.因为“p ∨q ”与“非q ”同时为真命题，即p 真且q 假，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a <0或a ≥4，解得a ≤－1.故实数a 的取值范围是(－∞，－1]．反思与感悟 由真值表可判断p ∨q 、p ∧q 、非p 命题的真假，反之，由p ∨q ，p ∧q ，非p 命题的真假也可判断p 、q 的真假情况．一般求满足p 假成立的参数范围，应先求p 真成立的参数的范围，再求其补集．跟踪训练3 已知命题p ：方程x 2＋ax ＋1＝0有两个不等的实根；命题q ：方程4x 2＋2(a －4)x ＋1＝0无实根，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围． 解 ∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，∴p 与q 一真一假， 由a 2－4>0得a >2或a <－2. 由4(a －4)2－4×4<0得2<a <6.①若p 真q 假，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >2或a <－2，a ≤2或a ≥6，∴a <－2或a ≥6； ②若p 假q 真，则有⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ≤2，2<a <6，通过分析可知不存在这样的a .综上，a <－2或a ≥6.1． 命题p ：“x >0”是“x 2>0”的必要不充分条件，命题q ：△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的充要条件，则下列四个命题正确的是________．(填序号) ①p 真q 假 ②p ∧q 为真 ③p ∨q 为假④p 假q 真答案 ④解析 命题p 假，命题q 真． 2．给出下列命题： ①2>1或1>3；②方程x 2－2x －4＝0的判别式大于或等于0； ③25是6或5的倍数；④集合A ∩B 是A 的子集，且是A ∪B 的子集． 其中真命题的个数为________． 答案 4解析 ①由于2>1是真命题，所以“2>1或1>3”是真命题；②由于方程x 2－2x －4＝0的Δ＝4＋16>0，所以“方程x 2－2x －4＝0的判别式大于或等于0”是真命题；③由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；④由于A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆A ∪B ，所以命题“集合A ∩B 是A 的子集，且是A ∪B 的子集”是真命题．3．已知命题p 1：函数y ＝2x－2－x在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数．则在命题①p 1∨p 2，②p 1∧p 2，③(非p 1)∨p 2和④p 1∧(非p 2)中，为真命题的是________． 答案 ①④解析 p 1是真命题，则非p 1为假命题；p 2是假命题，则非p 2为真命题； ∴①p 1∨p 2是真命题，②p 1∧p 2是假命题，∴③(非p 1)∨p 2为假命题，④p 1∧(非p 2)为真命题． ∴为真命题的是①④.4．已知命题p ：1∈{x |(x ＋2)(x －3)<0}，命题q ：∅＝{0}，则下列判断正确的是________． ①p 假q 真 ②“p ∨q ”为真 ③“p ∧q ”为真 ④“非p ”为真 答案 ②解析 由(x ＋2)(x －3)<0得－2<x <3， ∵1∈(－2,3)，∴p 真． ∵∅≠{0}，∴q 为假， ∴“p ∨q ”为真．5．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是________．①p 为真 ②綈p 为假 ③p ∧q 为假 ④p ∨q 为真答案 ③解析 函数y ＝sin 2x 的最小正周期为2π2＝π，故p 为假命题；x ＝π2不是y ＝cos x 的对称轴，命题q 为假命题，故p ∧q 为假．1.正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个． 2．判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤： (1)逐一判断命题p ，q 的真假．(2)根据“且”“或”的含义判断“p ∧q ”，“p ∨q ”的真假．p ∧q 为真⇔p 和q 同时为真， p ∨q 为真⇔p 和q 中至少一个为真．3．若命题p 为真，则“非p ”为假；若p 为假，则“非p ”为真，类比集合知识，“非p ”就相当于集合p 在全集U 中的补集∁U p .因此(非p )∧p 为假，(非p )∨p 为真． 4．命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件，要注意区别．。
数学选修2-1苏教版：第1章 常用逻辑用语 1.1.1
§1.1 命题及其关系 1.1.1 四种命题学习目标 1.了解命题的概念和分类.2.能判断命题的真假.3.了解命题的构成形式，能将命题改写为“若p ，则q ”的形式.4.了解命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题．知识点一 命题的概念思考 在这些语句中哪些能判断出真假，哪些不能判断出真假． (1)这幅画真漂亮！ (2)求证3是无理数； (3)菱形是平行四边形吗？ (4)等腰三角形的两底角相等； (5)x ＞2012；(6)若x 2＝20122，则x ＝2012.答案 (1)(2)(3)(5)不能判断真假；(4)(6)能判断真假． 梳理 (1)命题的概念：能够判断真假的语句叫做命题． (2)分类命题⎩⎪⎨⎪⎧真命题：判断为真的语句假命题：判断为假的语句知识点二 命题的构成形式1．命题的一般形式为“若p 则q ”．其中p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论． 2．确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p ，则q ”的形式．知识点三四种命题及其关系思考初中已学过命题与逆命题的知识，什么叫做命题的逆命题？答案在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题．梳理(1)四种命题的概念(2)四种命题间的关系(3)四种命题间的真假关系由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．③四种命题中，真命题都是成对出现，即真命题的个数为0或2或4.1．命题均能判断其真假．(√)2．我们所学习过的定理均为命题．(√)3．命题：若函数f(x)为区间D上的奇函数，则f(0)＝0，为真命题．(×)4．命题：若sin A＞sin B，则A＞B，其逆命题为真命题．(×)类型一 命题的概念及真假判断 命题角度1 命题的概念例1 判断下列语句是不是命题，并说明理由． (1)π3是有理数； (2)3x 2≤5；(3)梯形是不是平面图形呢？ (4)若x ∈R ，则x 2＋4x ＋5≥0； (5)一个数的算术平方根一定是负数； (6)若a 与b 是无理数，则ab 是无理数． 考点 命题的定义及分类 题点 命题的定义解 (1)“π3是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．(2)因为无法判断“3x 2≤5”的真假，所以它不是命题． (3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．(4)“若x ∈R ，则x 2＋4x ＋5≥0”是陈述句，并且它是真的，所以它是命题． (5)“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题． (6)“若a 与b 是无理数，则ab 是无理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题． 反思与感悟 判断一个语句是不是命题的三个关键点(1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题． (2)语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题． (3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题．跟踪训练1 下列语句是命题的是________．(填序号)①三角形内角和等于180°；②2＞3；③一个数不是正数就是负数；④x ＞2；⑤这座山真险啊！考点 命题的定义及分类 题点 命题的定义 答案 ①②③解析 依据命题定义，得①②③为命题．命题角度2 命题真假的判断 例2 给定下列命题： ①若a >b ，则2a >2b ；②命题“若a ，b 是无理数，则a ＋b 是无理数”是真命题； ③直线x ＝π2是函数y ＝sin x 的一条对称轴；④在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则△ABC 是钝角三角形． 其中为真命题的是________．(填序号) 考点 命题的真假判断 题点 命题真假的判断 答案 ①③④解析 结合函数f (x )＝2x 的单调性，知①为真命题；而函数y ＝sin x 的对称轴方程为x ＝π2＋k π，k ∈Z ，故③为真命题；又因为AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(π－B )＝－|AB →||BC →|cos B >0，故得cos B <0，从而得B 为钝角，所以④为真命题． 引申探究1．本例中命题④改为：若AB →·BC →<0，则△ABC 是锐角三角形，该命题还是真命题吗？ 解 不是真命题，AB →·BC →<0只能说明∠B 是锐角，其他两角的情况不确定．只有三个角都是锐角，才可以判定三角形为锐角三角形．2．本例中命题④改为：若AB →·BC →＝0，则△ABC 是________三角形． 答案 直角解析 由AB →·BC →＝0，得∠B ＝90°，故该三角形为直角三角形．反思与感悟 一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一．欲判断一个命题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可． 跟踪训练2 判断下列语句是否为命题？若是命题，则判断其真假： (1)2是无限循环小数； (2)x 2－3x ＋2＝0；(3)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？(4)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列； (5)当x ＝4时，2x ＋1＞0.解 (1)能判断真假，是命题，是假命题．(2)不是命题，因为语句中含有变量x ，在没给变量x 赋值前，无法判断语句的真假(这种语句叫“开语句”)．(3)不能判断真假，不是命题．(4)是命题，当等比数列的首项a1＜0，公比q＞1时，该数列是递减数列，因此是一个假命题．(5)能判断真假，是命题，是真命题．类型二四种命题的关系及真假判断命题角度1四种命题的写法例3把下列命题写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；(3)对顶角相等．解(1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0.逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数．否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0.逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数．(2)原命题：若x＝2，则x2＋x－6＝0.逆命题：若x2＋x－6＝0，则x＝2.否命题：若x≠2，则x2＋x－6≠0.逆否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2.(3)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等．逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角．否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等．逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角．反思与感悟由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论，根据其他三种命题的定义，确定所写命题的条件和结论．跟踪训练3写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形．解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．命题角度2 四种命题的真假判断例4 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假． (1)若a >b ，则ac 2>bc 2；(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形． 解 (1)逆命题：若ac 2>bc 2，则a >b .真命题． 否命题：若a ≤b ，则ac 2≤bc 2.真命题． 逆否命题：若ac 2≤bc 2，则a ≤b .假命题．(2)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补．真命题． 否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形．真命题． 逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．真命题．反思与感悟 1.若原命题为真命题，则它的逆命题、否命题可能为真命题，也可能为假命题． 2．原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．互为逆否命题的两个命题的真假性相同．3．在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数要么是0，要么是2，要么是4.跟踪训练4 下列命题中为真命题的是________．(填序号) ①“正三角形都相似”的逆命题；②“若m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题； ③“若x －2是有理数，则x 是无理数”的逆否命题． 答案 ②③解析 ①原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”．故为假命题．②原命题的逆否命题为“若x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤0”． ∵方程无实根，∴判别式Δ＝1＋4m <0，∴m <－14<0.故为真命题．③原命题的逆否命题为“若x 不是无理数，则x －2不是有理数”． ∵x 不是无理数，∴x 是有理数．又2是无理数，∴x －2是无理数，不是有理数．故为真命题． 所以真命题是②③. 类型三 等价命题的应用例5 证明：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.证明 原命题的逆否命题为“已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )”．若a＋b<0，则a<－b，b<－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．即原命题的逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．反思与感悟因为原命题与其逆否命题是等价的，可以证明一个命题的逆否命题成立，从而证明原命题也是成立的．正确写出原命题的逆否命题是证题的关键．跟踪训练5证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.证明“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．∵a＝2b＋1，∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证．1．下列语句：①12>5；②3是12的约数；③0.5是整数；④x是偶数；⑤x<2.其中是命题的为________．(填序号)答案①②③解析依据命题的定义知只有①②③为命题．2．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是________________________．考点四种命题的概念题点按要求写出命题答案若|a|＝|b|，则a＝－b3．命题“若x>1，则x>0”的逆命题是________________，逆否命题是__________________．答案若x>0，则x>1若x≤0，则x≤14．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．答案 4解析逆命题为“若A∩B≠A，则A∪B≠B”；否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”；逆否命题为“若A ∩B ＝A ，则A ∪B ＝B ”， 全为真命题．5．已知命题p ：“若ac ≥0，则二次不等式ax 2＋bx ＋c >0无解”． (1)写出命题p 的否命题； (2)判断命题p 的否命题的真假．解 (1)命题p 的否命题为“若ac <0，则二次不等式ax 2＋bx ＋c >0有解”． (2)命题p 的否命题是真命题． 判断如下： 因为ac <0，所以－ac >0⇒Δ＝b 2－4ac >0⇒二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根⇒ax 2＋bx ＋c >0有解， 所以该命题是真命题．1．根据命题的定义，可以判断真假的语句是命题．命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可．2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p 则q ”的形式．含有大前提的命题写成“若p 则q ”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p 中．3．写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误．若由p 经逻辑推理得出q ，则命题“若p 则q ”为真；确定“若p 则q ”为假时，则只需举一个反例说明即可．一、填空题 1．给出下列命题 ①若a >b ，则a 3>b 3； ②若a >1，则1a<1；③一元二次方程x 2－x ＋1＝0无实数解； ④若a ≥b ，则ac 2≥bc 2.其中为真命题的是________．(填序号) 答案 ①②③④解析 显然①成立，②成立；而对于③：判别式Δ＝(－1)2－4＝－3<0，故该方程无实数解；对于④：结合不等式性质，可知该命题为真命题．2．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是________．答案 若tan α≠1，则α≠π43．下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy ＝0，则|x |＋|y |＝0；③若a >b ，则ac 2>bc 2；④矩形的对角线互相垂直． 其中假命题的个数是________． 答案 4解析 ①等底等高的三角形都是面积相等的三角形，但不一定全等；②当x ，y 中一个为零，另一个不为零时，|x |＋|y |≠0；③当c ＝0时不成立；④矩形的对角线不一定垂直． 4．给出下列命题：①“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题；②“若{a n }既是等差数列，又是等比数列，则a n ＝a n ＋1(n ∈N *)”的逆命题； ③“若m ＞1，则不等式x 2＋2x ＋m ＞0的解集为R ”的逆否命题． 其中所有真命题的序号是________． 答案 ①③解析 ①的否命题为“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零”是真命题；②的逆命题为“数列{a n }中，若a n ＝a n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }既是等差数列，又是等比数列”是假命题，如0,0,0…；对于③，当m ＞1时，Δ＝4－4m ＜0恒成立，x 2＋2x ＋m ＞0的解集为R 是真命题．因此逆否命题是真命题．5．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________． 答案 [1，2]解析 由已知得若1<x <2成立，则m －1<x <m ＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2，∴1≤m ≤2. 6．命题“函数y ＝log 2(x 2－mx ＋4)的值域为R ”为真命题，则实数m 的取值范围为________________． 考点 命题的定义及分类题点 由命题的真假求参数的取值范围 答案 (－∞，－4]∪[4，＋∞)解析 由题意可知，满足条件时，需方程x 2－mx ＋4＝0的判别式Δ≥0，即(－m )2－4×4≥0，解得m ≤－4或m ≥4.7．命题“当a ＞0，a ≠1时，若函数f (x )＝log a x 在其定义域内是减函数，则log a 2＜0”的逆否命题是________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________. 考点 四种命题的概念 题点 按要求写命题答案 当a ＞0，a ≠1时，若log a 2≥0，则函数f (x )＝log a x 在其定义域内不是减函数． 8．已知命题“函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点”为真命题，则实数b 的取值范围是________． 答案 (0,2)解析 函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点等价于函数y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象有两个不同的交点．在同一坐标系中作出函数y ＝|2x －2|及y ＝b 的图象，如图．由图可知b ∈(0,2)．9．已知p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，若p ，q 中有且只有一个是真命题，则实数a 的取值范围是________． 考点 命题的真假判断题点 由命题的真假求参数的取值范围 答案 (－∞，－2]解析 p 为真命题时，Δ＝4a 2－16＜0， 解得－2＜a ＜2.q 为真命题时，5－2a ＞1， 解得a ＜2.当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧－2＜a ＜2，a ≥2，a ∈∅.当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a ＜2，即a ≤－2.故实数a 的取值范围为(－∞，－2]．10．命题“对于正数a ，若a ＞1，则lg a ＞0”及其逆命题、否命题、逆否命题四个命题中真命题的个数为________． 答案 4解析 逆命题：对于正数a ，若lg a ＞0，则a ＞1，否命题：对于正数a ，若a ≤1，则lg a ≤0.逆否命题：对于正数a ，若lg a ≤0，则a ≤1.根据对数的性质可知都是真命题． 二、解答题11．把下列命题改写成“若p 则q ”的形式，并判断命题的真假．(1)当ac >bc 时，a >b ；(2)当m >14时，mx 2－x ＋1＝0无实根； (3)当ab ＝0时，a ＝0或b ＝0.解 (1)若ac >bc ，则a >b .∵当ac >bc ，c <0时，a <b ，∴该命题是假命题．(2)若m >14，则mx 2－x ＋1＝0无实根． ∵Δ＝1－4m <0，∴该命题是真命题．(3)若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，∴该命题是真命题．12．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0，命题q ：1－x ＋x 24<1，若命题p ，q 至少有一个是真命题，求实数x 的取值范围．解 由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1，解得x ≤－1或x ≥3.由1－x ＋x 24<1，得x 2－4x <0，解得0<x <4. 若命题p ，q 至少有一个是真命题，则有以下三种情形：①p 真q 假；②p 假q 真；③p 真q 真．当p 真q 假时，有⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1或x ≥3，x ≤0或x ≥4. 解得x ≤－1或x ≥4. 当p 假q 真时，有⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <3，0<x <4，解得0<x <3. 当p 真q 真时，有⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－1或x ≥3，0<x <4，解得3≤x <4. 综上，满足条件的实数x 的取值范围为以上三种情况的并集，即(－∞，－1]∪(0，＋∞)．13．判断命题：“若b ≤－1，则关于x 的方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实根”的逆否命题的真假．解 方法一 (利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可．方程判别式为Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ，因为b ≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．方法二 (利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x 的方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0无实根，则b >－1”．方程判别式为Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b <0，所以b >0，所以b >－1成立，即原命题的逆否命题为真．三、探究与拓展14．命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是________． 考点 命题的真假判断题点 由命题的真假求参数的取值范围答案 (－∞，0)∪[3，＋∞)解析 若命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是真命题，当a ＝0时，3>0符合题意，当a ≠0时，则a >0且Δ<0，解得0<a <3，综上可知，当0≤a <3时，命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是真命题，故当a <0或a ≥3时，命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是假命题．15．写出命题“当2m ＋1＞0时，如果m ＋32m －1＞0，那么m 2－5m ＋6＜0”的逆命题、否命题和逆否命题，并分别指出四种命题的真假．考点 四种命题的概念题点 判断四种命题的真假解 由2m ＋1＞0，得m ＞－12. 由m ＋32m －1＞0，得m ＜－3或m ＞12， 又m ＞－12，所以m ＞12. 由m 2－5m ＋6＜0，得2＜m ＜3，又m ＞－12，所以2＜m ＜3. 由此可知，原命题可变为“如果m ＞12，那么2＜m ＜3”， 显然原命题是假命题．逆命题为“当2m ＋1＞0时，如果m 2－5m ＋6＜0，那么m ＋32m －1＞0”， 即“如果2＜m ＜3，那么m ＞12”，它是真命题． 否命题为“当2m ＋1＞0时，如果m ＋32m －1≤0， 那么m 2－5m ＋6≥0”，因为⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋1＞0，m ＋32m －1≤0，所以⎩⎨⎧ m ＞－12，－3≤m ＜12，所以－12＜m ＜12， 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋1＞0，m 2－5m ＋6≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞－12，m ≤2或m ≥3，即－12＜m ≤2或m ≥3， 所以否命题可表述为“如果－12＜m ＜12， 那么－12＜m ≤2或m ≥3”，它是真命题． 逆否命题为“当2m ＋1＞0时，如果m 2－5m ＋6≥0，那么m ＋32m －1≤0”， 则逆否命题可表述为“如果－12＜m ≤2或m ≥3， 那么－12＜m ＜12”，它是假命题．。
高二数学选修2-1常用逻辑用语教案 苏教版 教案
2006-2007学年度某某省某某市民兴中学高二数学选修2-1常用逻辑用语教案【课题【课型】：新授课【教学目的】：1、理解四种命题的概念及掌握四种命题之间的相互关系.2、理解一个命题的真假与其它三个命题真假间的关系.3、培养学生逻辑推理能力.【教学重点】：逆命题、否命题、逆否命题的概念及四种命题之间的相互关系【教学难点】：不容易区分条件和结论的简单命题和较复杂的命题(一个条件多个结论型的命题和多个条件一个结论型的命题)的逆命题、否命题和逆否命题的求法．【教具】：多媒体、实物投影仪【教学方法】：启发式【教学过程】：一、复习命题：引入四种命题1、复习命题的概念：能够判断真假的语句叫做命题2、【引例】：如果两个三角形全等，那么它们的面积相等；①如果两个三角形的面积相等，那么它们全等；②如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等；③如果两个三角形的面积不相等，那么它们不全等；④【提问】：命题②、③、④与命题①有何关系？二、四种命题的概念：1、用“若p则q”表示原命题结构，p是命题的条件，q是命题的结论；（1）如果一个命题的条件和结论是另一个命题的结论和条件，则称这两个命题为互逆命题；（2）如果一个命题的条件和结论是另一个命题条件的否定和结论的否定，则称这两个命题为互命题；（3）如果一个命题的条件和结论是另一个命题结论的否定和条件的否定，则称这两个命题为互为逆否命题；注：①设“若p 则q ”为原命题，则用“若q 则P ”表示原命题的逆命题，用“若非P则非q ”表示原命题的否命题，用“若非q 则非P ”表示原命题的逆否命题。
②书写四种命题的步骤：交换原命题的条件和结论所得的命题是逆命题； 同时否定原命题的条件和结论所得的命题是否命题；交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题；2、四种命题的关系： 三、例题讲解：例1：把命题“负数的平方是正数”改写成“若p 则g ”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题．解：原命题：若一个数是负数，则它的平方是正数． 逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数． 否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数．逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．例2：写出命题“若a 和b 都是偶数，则a+b 是偶数”的否命题和逆否命题． 分析：(1)“a 和b 都是偶数”是条件，“a+b 是偶数”是结论．(2)“a 和b 都是偶数”的否定包含三种情况，“a 是偶数，b 不是偶数”或“a 不是偶数，b 是偶数”，或“a 不是偶数，b 也不是偶数”．所以综合起来它的否定即为“a 和b 不都是偶数”． 解：否命题为：若a 和b 不都是偶数，则a+b 不是偶数． 逆否命题为：若a+b 不是偶数，则a 和b 不都是偶数． 【课本例题】：四、【课堂练习】：1、课本练习1-32、(1)命题“若a>b ，则b<a ”的逆命题为(若b<a ，则a>b)(2) 写出命题 “同位角相等，两直线平行”的逆命题、否命题、逆否命题(3)命题“在二次函数2y ax bx c =++中，若24b ac -≥0，则该二次函数的图像与x 轴有公共点”的否命题为(在二次函数2y ax bx c =++中，若24b ac -<0，则该二次函数的图像与x 轴没有公共点．)(指出“≥”的否定是“<”．)(4)把命题“平行线相交”改写成“若p 则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题五、【课堂小结】：(概念及方法)六、【补充练习】：(思考)1．“负数的平方是正数”有几个条件?它的四种命题有其他的写法吗?原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q逆命题若q 则p逆否命题若┐q 则┐p互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互 2．显然例一中“负数的平方是正数”这个命题是真命题，那么它的逆命题、否命题、逆否命题都是真命题吗?3．写出命题“若12,0)1(22-===++-y x y x 且则”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.课题：1.1 四种命题（2） 教学目的：1．理解四种命题的关系，并能利用这个关系判断命题的真假2．培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想教学重点：理解四种命题的关系教学难点：逆否命题的等价性授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一．复习引入：四种命题及其形式原命题：若p 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若−p 则−q ； 逆否命题：若−q 则−p. 二.讲解新课：1．四种命题的相互关系互逆命题、互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系，若把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题与逆否命题.因此，四种命题之间的相互关系，可用右下图表示：2．四种命题的真假关系一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：①、原命题为真，它的逆命题不一定为真②、原命题为真，它的否命题不一定为真③、原命题为真，它的逆否命题一定为真例1．判断以下四种命题的真假原命题：若四边形ABCD为平行四边形，则对角线互相平分真逆命题：若四边形ABCD对角线互相平分，则它为平行四边形；真否命题：若四边形ABCD不是为平行四边形，则对角线不平分；真逆否命题：若四边形ABCD对角线不平分，则它不是平行四边形；真归纳小结：（学生回答，教师整理补充）(1)原命题为真，它的逆命题不一定为真；(2)原命题为真，它的否命题不一定为真；(3)原命题为真，它的逆否命题一定为真结论：两个互为逆否的命题同真或同假(如原命题和它的逆否命题，逆命题和否命题)，其余情况则不一定同真或同假（如原命题和逆命题，否命题和逆否命题等），这时称互为逆否的两个命题等价，即原命题⇔逆否命题例2:设原命题是“当c>0时，若a>b，则ac>bc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假.分析：“当c>0时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是a>b，结论是ac>bc.解：逆命题：当c>0时，若ac>bc，则a>b.它是真命题；否命题：当c>0时，若a≤b，则ac≤bc.它是真命题；逆否命题：当c>0时，若ac≤bc，则a≤b.它是真命题.1．命题“若 x = y 则 |x| = |y|”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它的真假解：逆命题：若 |x| = |y| 则 x = y （假，如 x = 1, y = -1）否命题：若 x ≠ y 则 |x| ≠|y| （假，如 x = 1, y = -1）逆否命题：若 |x| ≠|y| 则 x ≠ y （真）2．写出命题：“若 xy = 6则 x = 3且 y = 2”的逆命题否命题逆否命题，并判断它们的真假解：逆命题：若 x = 3 且 y = 2 则 x + y = 5 （真）否命题：若 x + y ≠ 5 则 x ≠ 3且y≠2 （真）逆否命题：若 x ≠ 3 或y≠2 则 x + y ≠5 （假）四种命题之间的相互关系和真假关系【课题】：充分条件【课型】：新授课【教学目的】：1、【教学重点】：逆命题、否命题、逆否命题的概念及四种命题之间的相互关系【教学难点】：不容易区分条件和结论的简单命题和较复杂的命题(一个条件多个结论型的命题和多个条件一个结论型的命题)的逆命题、否命题和逆否命题的求法．【教具】：多媒体、实物投影仪【教学方法】：启发式【教学过程】：一、复习命题：引入四种命题1、复习命题的概念：能够判断真假的语句叫做命题2、【引例】：如果两个三角形全等，那么它们的面积相等；①如果两个三角形的面积相等，那么它们全等；②如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等；③如果两个三角形的面积不相等，那么它们不全等；④【提问】：命题②、③、④与命题①有何关系？二、四种命题的概念：1、用“若p则q”表示原命题结构，p是命题的条件，q是命题的结论；（1）如果一个命题的条件和结论是另一个命题的结论和条件，则称这两个命题为互逆命题；（2）如果一个命题的条件和结论是另一个命题条件的否定和结论的否定，则称这两个命题为互命题；（3）如果一个命题的条件和结论是另一个命题结论的否定和条件的否定，则称这两个命题为互为逆否命题；注：①设“若p则q”为原命题，则用“若q则P”表示原命题的逆命题，用“若非P 则非q”表示原命题的否命题，用“若非q则非P”表示原命题的逆否命题。
高二数学选修2-1第一章常用逻辑用语导学案
§1.1 命题及四种命题设计人：韩爱芳1. 掌握命题、真命题及假命题的概念；2. 四种命题的内在联系，能根据一个命题来构造它的逆命题、否命.复习2：什么是定理?什么是公理?.二、新课导学※学习探究1.在数学中,我们把用、、或表达的，可以的叫做命题.其中的语句叫做真命题，的语句叫做假命题练习：下列语句中：（1）若直线//a b，则直线a和直线b无公共点；（2）247+=（3）垂直于同一条直线的两个平面平行；（4）若21x=，则1x=；（5）两个全等三角形的面积相等；（6）3能被2整除.其中真命题有，假命题有2.命题的数学形式：“若p，则q”，命题中的p叫做命题的，q叫做命题的.※典型例题例1：下列语句中哪些是命题?是真命题还是假命题?（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数；（3）指数函数是增函数吗？（4）若空间有两条直线不相交，则这两条直线平行；（52；（6）15x>.命题有，真命题有假命题有.例2 指出下列命题中的条件p和结论q：（1）若整数a能被2整除，则a是偶数；（2）若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直平分.解：（1）条件p：结论q：（2）条件p：结论q：变式：将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假：（1）垂直于同一条直线的两条直线平行；（2）负数的立方是负数；（3）对顶角相等.※动手试试1.判断下列命题的真假：（1）能被6整除的整数一定能被3整除；（2）若一个四边形的四条边相等，则这个四边形是正方形；（3）二次函数的图象是一条抛物线；（4）两个内角等于45︒的三角形是等腰直角三角形.2.把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断它们的真假.(1)等腰三角形两腰的中线相等；(2)偶函数的图象关于y轴对称；(3)垂直于同一个平面的两个平面平行.小结：判断一个语句是不是命题注意两点：（1）是否是陈述句；（2）是否可以判断真假.3.四种命题的概念（1）对两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们这样的两个命题叫做,其中一个命题叫做原命题为：“若p，则q”，则逆命题为：“”.(2) 一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定, 我们把这样的两个命题叫做,其中一个命题叫做命题,那么另一个命题叫做原命题的.若原命题为：“若p，则q”，则否命题为：“”（3）一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定, 我们把这样的两个命题叫做,其中一个命题叫做命题,那么另一个命题叫做原命题的.若原命题为：“若p，则q”，则否命题为：“”练习：下列四个命题：（1）若()f x是周期函数；f x是正弦函数，则()（2）若()f x是周期函数，则()f x是正弦函数；（3）若()f x不是周期函数；f x不是正弦函数，则()（4）若()f x不是正弦函数.f x不是周期函数，则()（1）（2）互为（1）（3）互为（1）（4）互为（2）（3）互为例3 命题：“已知a、b、c、d是实数，若子,==，则a c b da b c d+=+”.写出逆命题、否命题、逆否命题.变式：设原命题为“已知a、b是实数，若a b+是无理数，则a、b都是无理数”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题.※动手试试写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题并判断它们的真假：（1）若一个整数的末位数是0，则这个整数能被5整除；（2）若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等； （3）奇函数的图像关于原点对称.三、总结提升： ※ 学习小结这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1.下列语名中不是命题的是（ ）. A.20x > B.正弦函数是周期函数 C.{1,2,3,4,5}x ∈ D.125>2.设M 、N 是两个集合，则下列命题是真命题的是（ ）. A.如果M N ⊆，那么M N M ⋂= B.如果M N N ⋂=，那么M N ⊆ C.如果M N ⊆，那么M N M ⋃= D.M N N ⋃=，那么N M ⊆3.下面命题已写成“若p ，则q ”的形式的是（ ）. A.能被5整除的数的末位是5B.到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上C.若一个等式的两边都乘以同一个数，则所得的结果仍是等式D.圆心到圆的切线的距离等于半径 4.下列语句中：（1）2+2）1002是个大数（3）好人一生平安（4）968能被11整除，其中是命题的序号是 5.将“偶函数的图象关于y 轴对称”写成“若p ，则q ”的形式，则p ： ，q ：1.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假 （1）若,a b 都是偶数，则a b +是偶数； （2）若0m >，则方程20x x m +-=有实数根.2.把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假：（1）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；（2）矩形的对角线相等.§1.1 四种命题间的相互关系设计人：李月光1．掌握四种命题的内在联系；2. 能分析逆命题、否命题和逆否命题的相互关系，并能利用等价关复习2：判断命题“若0a ≥，则20x x a +-=有实根”的逆命题的真假.二、新课导学 ※ 学习探究1：分析下列四个命题之间的关系（1）若()f x 是正弦函数，则()f x 是周期函数； （2）若()f x 是周期函数，则()f x 是正弦函数； （3）若()f x 不是正弦函数，则()f x 不是周期函数； （4）若()f x 不是周期函数，则()f x 不是正弦函数. （1）（2）互为 （1）（3）互为 （1）（4）互为 （2）（3）互为通过上例分析我们可以得出四种命题之间有如下关系：2、四种命题的真假性例1 以“若2320x x -+=，则2x =”为原命题，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假并总结其规律性.（1） . (2) . 练习：判断下列命题的真假.(1)命题“在ABC ∆中，若AB AC >，则C B ∠>∠”的逆命题； （2）命题“若0ab ≠，则0a ≠且0b ≠”的否命题； （3）命题“若0a ≠且0b ≠，则0ab ≠”的逆否命题； （4）命题“若0a ≠且0b ≠，则220a b +>”的逆命题.反思：（1）直接判断（2）互为逆否命题的两个命题等价来判断. ※ 典型例题例1 证明:若220x y +=，则0x y ==.变式：判断命题“若220x y +=，则0x y ==”是真命题还是假命题？练习：证明：若222430a b a b -+--≠，则1a b -≠.例2 已知函数()f x 在(,)-∞+∞上是增函数,,a b R ∈,对于命题“若0a b +≥，则()()()()f a f b f a f b +≥-+-.”(1) 写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论. (2) 写出其逆否命题,并证明你的结论. ※ 动手试试1.求证：若一个三角形的两条边不等，这两条边所对的角也不相等.2.命题“如果22x a b ≥+，那么2x ab ≥”的逆否命题是（ ） A.如果22x a b <+，那么2x ab < B.如果2x ab ≥，那么22x a b ≥+ C.如果2x ab <，那么22x a b <+ D.如果22x a b ≥+，那么2x ab <三、总结提升： ※ 学习小结这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 命题“若0x >且0y >，则0xy >”的否命题是（ ）.A.若0,0x y ≤≤，则0xy ≤B.若0,0x y >>，则0xy ≤C.若,x y 至少有一个不大于0，则0xy <D.若,x y 至少有一个小于0，或等于0，则0xy ≤2. 命题“正数a 的平方根不等于0”是命题“若a 不是正数，则它的平方根等于0”的（ ）.A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.等价命题3.）. A.假设B. C.D.4. 若1x >，则21x >的逆命题是 否命题是5.命题“若a b >，则221a b ≥-”的否命题为1. 已知,a b 是实数，若20x ax b ++≤有非空解集，则240a b -≥，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断其真假.2.证明：在四边形ABCD 中，若AB CD AC CD +<+，则AB AC <.§1.2.1 充分条件与必要条件设计人：杨光明1. 理解必要条件和充分条件的意义；..复习2：将命题“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”改写为“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假.二、新课导学※学习探究探究任务：充分条件和必要条件的概念问题：1. 命题“若22>+，则2x a b>”x ab（1）判断该命题的真假；（2）改写成“若p，则q”的形式，则P：q：（3）如果该命题是真命题，则该命题可记为：读着：2. 1.命题“若0a=”ab=,则0（1）判断该命题的真假；（2）改写成“若p，则q”的形式，则P：q：（3）如果该命题是真命题，则该命题可记为：读着：新知：一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q .我们就说,由p 推出q ,记作p q ⇒,并且说p 是q 的 ,q 是p 的 试试：用符号“⇒”与“”填空： （1） 22x y = x y =；（2） 内错角相等 两直线平行；（3） 整数a 能被6整除 a 的个位数字为偶数； （4） ac bc = a b =. ※ 典型例题例1 下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若1x =，则2430x x -+=；（2）若()f x x =，则()f x 在(,)-∞+∞上为增函数； （3）若x 为无理数，则2x 为无理数.练习：下列“若P ，则q ”的形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？（1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行； （2）若5x >，则10x >例2 下列“若p ，则q ”形式的命题中哪些命题中的q 是p 必要条件？ （1）若x y =，则22x y =；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等； （3）若a b >，则ac bc >练习：下列“若p ，则q ”形式的命题中哪些命题中的q 是p 必要条件？ （1）若5a +是无理数，则a 是无理数； （2）若()()0x a x b --=，则x a =.小结：判断命题的真假是解题的关键.※ 动手试试练1. 判断下列命题的真假.（1）2x =是2440x x -+=的必要条件； （2）圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的必要条件； （3）sin sin αβ=是αβ=的充分条件； （4）0ab ≠是0a ≠的充分条件.练2. 下列各题中，p 是q 的什么条件？ （1）p ：1x =，q ：1x - （2）p ：|2|3x -≤，q ：15x -≤≤； （3）p ：2x =，q ：3x -=（4）p ：三角形是等边三角形，q ：三角形是等腰三角形.三、总结提升 ※ 学习小结这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？※ 知识拓展设,A B 为两个集合,集合A B ⊆，那么x A ∈是x B ∈的 条件，.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 在平面内,下列哪个是“四边形是矩形”的充分条件？（ ）. A.平行四边形对角线相等 B.四边形两组对边相等 C.四边形的对角线互相平分 D.四边形的对角线垂直2.,x y R ∈，下列各式中哪个是“0xy ≠”的必要条件？（ ）. A.0x y += B.220x y +> C.0x y -= D.330x y +≠3.平面//α平面β的一个充分条件是（ ）. A.存在一条直线,//,//a a a αβ B.存在一条直线,,//a a a αβ⊂C.存在两条平行直线,,,,//,//a b a b a b αββα⊂⊂D.存在两条异面直线,,,,//,//a b a b a b αββα⊂⊂ 4.p :20x -=,q ：(2)(3)0x x --=，p 是q 的 条件.5. p ：两个三角形相似；q ：两个三角形全等，p 是q 的 条件.1. 判断下列命题的真假 （1）“a b >”是“22a b >”的充分条件；（2）“|||ab >”是“22a b >”的必要条件.2. 已知{|A x x =满足条件}p ，{|B x x =满足条件}q . (1)如果A B ⊆,那么p 是q 的什么条件? (2)如果B A ⊆,那么p 是q 的什么条件?§1.2.2 充要条件设计人：刘翠霞1. 理解充要条件的概念；.，找出疑惑之处）1112复习1：什么是充分条件和必要条件?复习2：p：一个四边形是矩形q：四边形的对角线相等.p是q的什么条件?二、新课导学※学习探究探究任务一：充要条件概念问题：已知p：整数a是6的倍数，q：整数a是2 和3的倍数.那么p 是q的什么条件?q又是p的什么条件?新知：如果p q⇔,那么p与q互为试试：下列形如“若p，则q”的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？p是q的什么条件？（1）若平面α外一条直线a与平面α内一条直线平行，则直线a与平面α平行；（2）若直线a与平面α内两条直线垂直，则直线a与平面α垂直.反思：充要条件的实质是原命题和逆命题均为真命题.※ 典型例题例1 下列各题中,哪些p 是q 的充要条件?(1) p : 0b =,q :函数2()f x ax bx c =++是偶函数； (2) p : 0,0,x y >> q :0xy > (3) p : a b > ， q :a c b c +>+变式：下列形如“若p ，则q ”的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？哪些p 是q 的充要条件?(1) p : 0b = ,q :函数2()f x ax bx c =++是偶函数； (2) p : 0,0,x y >> q :0xy > (3) p : a b > ， q :a c b c +>+小结：判断是否充要条件两种方法 （1）p q ⇒且q p ⇒；（2）原命题、逆命题均为真命题； (3) 用逆否命题转化.练习：在下列各题中, p 是q 的充要条件? (1)p :234x x =+ , q :x =(2) p : 30x -=, q :(3)(4)0x x --= (3) p : 240(0)b ac a -≥≠ ,q :20(0)ax bx c a ++=≠(4) p : 1x =是方程20ax bx c ++=的根 q :0a b c ++=例2 已知：O 的半径为r ，圆心O 到直线的距离为d .求证:d r =是直线l 与O 相切的充要条件.变式：已知：O 的半径为r ，圆心O 到直线的距离为d ，证明: (1)若d r =，则直线l 与O 相切. (2)若直线l 与O 相切,则d r =小结：证明充要条件既要证明充分性又要证明必要性.※ 动手试试练1. 下列各题中p 是q 的什么条件？ （1）p ：1x =，q ：1x - （2）p ：|2|3x -=，q ：15x -≤≤ ； （3）p ：2x =，q ：3x -=；（4）p ：三角形是等边三角形，q ：三角形是等腰三角形.练2. 求圆222()()x a y b r -+-=经过原点的充要条件.三、总结提升 ※ 学习小结这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？※ 知识拓展设A 、B 为两个集合，集合A B =是指x A x B ∈⇔∈，则“x A ∈”与“x B ∈”互为.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列命题为真命题的是（ ）. A.a b >是22a b >的充分条件 B.||||a b >是22a b >的充要条件 C.21x =是1x =的充分条件D.αβ=是tan tan αβ= 的充要条件2.“x M N ∈”是“x M N ∈”的（ ）. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.设p ：240(0)b ac a ->≠，q ：关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠有实根，则p 是q 的（ ）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.22530x x --<的一个必要不充分条件是（ ）. A.132x -<< B.102x -<<C.132x -<< D.16x -<<5. 用充分条件、必要条件、充要条件填空. (1).3x >是5x >的(2).3x =是2230x x --=的( 3).两个三角形全等是两个三角形相似的1. 证明：20a b +=是直线230ax y ++=和直线20x by ++=垂直的充要条件.2.求证：ABC ∆是等边三角形的充要条件是222a b c ab ac bc ++=++，这里,,a b c 是ABC ∆的三边.§1.3简单的逻辑联结词设计人：李永福1. 了解“或”“且”“非”逻辑联结词的含义；2. 掌握,,∧∨⌝的真假性的判断；p q p q p3. 正确理解p⌝的意义，区别p⌝与p的否命题；p的真假性的判断，关键在于p与q的真假的判断.，找出疑惑之处）1416复习1：什么是充要条件?复习2：已知{|=满足条件}qB x x=满足条件}p,{|A x x(1)如果A B⊆,那么p是q的什么条件；(2) 如果B A⊆,那么p是q的什么条件；(3) 如果A B=,那么p是q的什么条件.二、新课导学※学习探究探究任务一：“且“的意义问题：下列三个命题有什么关系?(1)12能被3整除；（2）12能被4整除；（3）12能被3整除且能被4整除.新知：1.一般地,用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来就得到一个新命题，记作“”，读作“”.试试：判断下列命题的真假：（1）12是48且是36的约数；（2）矩形的对角线互相垂直且平分.反思：p q∧的真假性的判断，关键在于p与q的真假的判断.探究任务二：“或“的意义问题：下列三个命题有什么关系?(1) 27是7的倍数；（2）27是9的倍数；（3）27是7的倍数或是9的倍数.新知：1.一般地,用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来就得到一个新命题，记作“”，读作“”.（1）47是7的倍数或49是7的倍数；（2）等腰梯形的对角线互相平分或互相垂直.反思：p q∨的真假性的判断，关键在于p与q的真假的判断.探究任务三：“非“的意义问题：下列两个命题有什么关系?(1) 35能被5整除；（2）35不能被5整除；新知：1.一般地,对一个命题的全盘否定就得到一个新命题，记作“”，读作“”或“”.试试：写出下列命题的否定并判断他们的真假：（1）2+2=5；（2）3是方程290x-=的根；（3=-1反思：p⌝的真假性的判断，关键在于p的真假的判断.※典型例题例1 将下列命题用“且”联结成新命题并判断他们的真假：（1）p：平行四边形的对角线互相平分，q：平行四边形的对角线相等；（2）p：菱形的对角线互相垂直，q：菱形的对角线互相平分；（3）p：35是15的倍数，q：35是7的倍数变式：用逻辑联结词“且”改写下列命题，并判断他们的真假：（1）1既是奇数，又是素数；（2）2和3都是素数.小结：p q∧的真假性的判断，关键在于p与q的真假的判断.例2 判断下列命题的真假(1) 22≤；(2) 集合A是A B的子集或是A B的子集；(3) 周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等.变式：如果p q∨为∧为真命题，那么p q∨一定是真命题吗？反之，p q 真命题，那么p q∧一定是真命题吗？小结：p q∨的真假性的判断，关键在于p与q的真假的判断.例3 写出下列命题的否定，并判断他们的真假：（1）p：siny x=是周期函数；（2）p：32<（3）空集是集合A的子集.小结：p⌝的真假性的判断，关键在于p的真假的判断.三、总结提升※学习小结这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？※知识拓展阅读教材第18页,理解逻辑联结词“且”“或”“非”与集合运算.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. “p或q为真命题”是“p且q为真命题”的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.命题P：在ABC>的充要条件；命题q：a b>是C B∠>∠是sin sin∆中，C B22>的充分不必要条件，则（）.ac bcA.p真q假B.p假q假C.“p或q”为假D.“p且q”为真3.命题：（1）平行四边形对角线相等；（2）三角形两边的和大于或等于第三边；（3）三角形中最小角不大于60︒；（4）对角线相等的菱形为正方形.其中真命题有（）.A.1B.2C.3D.44.命题p：0不是自然数，命题q：π是无理数，在命题“p或q”“p且q”“非p”“非q”中假命题是，真命题是.5. 已知p：2||6-≥，q：,,x x∈∧⌝都是假命题，则x的值组成的集x Z p q q1. 写出下列命题，并判断他们的真假：（1）p q∨，这里p：4{2,3}∈；∈，q：2{2,3}（2）p q∧，这里p：4{2,3}∈；∈，q：2{2,3}(3) p q∨，这里p：2是偶数，q：3不是素数；(4) p q∧，这里p：2是偶数，q：3不是素数.2.判断下列命题的真假：（1）52>且73>（2）78≥（3）34>或34<§1.4 全称量词与存在量词班级：组名：姓名：设计人：李洪涛审核人：魏帅举领导审批：1. 掌握全称量词与存在量词的的意义；2. 掌握含有量词的命题：全称命题和特称命题真假的判断.，找出疑惑之处）2123复习1：写出下列命题的否定,并判断他们的真假：（1（2）5不是15的约数（3）8715+≠（4）空集是任何集合的真子集复习2：判断下列命题的真假，并说明理由：（1）p q∨，这里p：π是无理数，q：π是实数；（2）p q∧，这里p：π是无理数，q：π是实数；(3) p q∨，这里p：23>，q：8715+≠；(4) p q∧，这里p：23>，q：8715+≠.二、新课导学※学习探究探究任务一：全称量词的意义问题：1.下列语名是命题吗？（1）与（3），（2）与（4）之间有什么关系？（1）3x>；（2）21x+是整数；（3）对所有的,3∈>；x R x（4）对任意一个x Zx+是整数.∈，212. 下列语名是命题吗？（1）与（3），（2）与（4）之间有什么关系？(1)213x +=；(2)x 能被2和3整除；（3）存在一个0x R ∈，使0213x +=；（4）至少有一个0x Z ∈，0x 能被2和3整除.新知：1.短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示，含有 的命题，叫做全称命题.其基本形式为：,()x M p x ∀∈，读作：2. 短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示，含有 的命题，叫做特称称命题.其基本形式00,()x M p x ∃∈，读作：试试：判断下列命题是不是全称命题或者存在命题,如果是,用量词符号表示出来.(1)中国所有的江河都流入大海；（2）0不能作为除数；（3）任何一个实数除以1，仍等于这个实数；（4）每一个非零向量都有方向.反思：注意哪些词是量词是解决本题的关键,还应注意全称命题和存在命题的结构形式.※ 典型例题例1 判断下列全称命题的真假：（1）所有的素数都是奇数；（2）2,11x R x ∀∈+≥；（3）对每一个无理数x ，2x 也是无理数.变式：判断下列命题的真假：（1）2(5,8),()420x f x x x ∀∈=-->（2）2(3,),()420x f x x x ∀∈+∞=-->小结：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中每一个元素x 验证()p x 成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M 中的一个0x x =，使得0()p x 不成立即可.例2 判断下列特称命题的真假：（1） 有一个实数0x ，使200230x x ++=；（2） 存在两个相交平面垂直于同一条直线；（3） 有些整数只有两个正因数.变式：判断下列命题的真假：(1)2,32a Z a a ∃∈=-(2)23,32a a a ∃≥=-小结：要判定特称命题“00,()x M p x ∃∈” 是真命题只要在集合M 中找一个元素0x ，使0()p x 成立即可；如果集合M 中，使()P x 成立的元素x 不存在，那么这个特称命题是假命题.※ 动手试试练1. 判断下列全称命题的真假：（1）每个指数都是单调函数；（2）任何实数都有算术平方根；（3）{|x x x ∀∈是无理数}，2x 是无理数.练2. 判定下列特称命题的真假：（1）00,0x R x ∃∈≤；（2）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；（3）0{|x x x ∃∈是无理数}，20x 是无理数.三、总结提升※ 学习小结这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？※ 知识拓展数理逻辑又称符号逻辑,是用数学的方法研究推理过程的一门学 莱布尼茨（1646—1716）是数理逻辑的创始人。
高中数学 第1章 常用逻辑用语章末复习课学案 苏教版选修2-1-苏教版高二选修2-1数学学案
第1章常用逻辑用语[体系构建][自我校对]①逆否命题②必要条件③p⇔q④p且q⑤或⑥全称命题⑦存在量词[题型探究]四种命题及其相互关系四种命题是指原命题、逆命题、否命题和逆否命题．一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用非p和非q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p；否命题：若非p，则非q；逆否命题：若非q，则非p.原命题与它的逆命题、否命题之间的真假是不确定的，而原命题与它的逆否命题(或它的逆命题与它的否命题)之间在真假上是始终保持一致的，即同真同假．正是因为原命题与逆否命题的真假一致，所以对某些命题的证明可转化为证明其逆否命题．已知a，b，c∈R，写出命题“若ac＜0，则方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假．[精彩点拨] 按照四种命题的定义写出命题，只需判定原命题及逆命题的真假，利用互为逆否命题的命题是等价命题，可知否命题与逆否命题的真假．[规范解答] 逆命题：“若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R )有两个不相等的实数根，则ac ＜0”，是假命题．如当a ＝1，b ＝－3，c ＝2时，方程x 2－3x ＋2＝0有两个不等实根x 1＝1，x 2＝2，但ac ＝2＞0.否命题：“若ac ≥0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R )没有两个不相等的实数根”，是假命题．这是因为它和逆命题互为逆否命题，而逆命题是假命题．逆否命题：“若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R )没有两个不相等的实数根，则ac ≥0”，是真命题．因为原命题是真命题，而逆否命题与原命题等价．[再练一题]1．给出下列命题：①已知a ＝(3,4)，b ＝(0，－1)，则a 在b 方向上的投影为－4； ②函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0成中心对称； ③命题“如果a ·b ＝0，则a ⊥b ”的否命题和逆命题都是真命题；④若a ≠0，则a ·b ＝a ·c 是b ＝c 成立的必要不充分条件．其中正确命题的序号是________．(将所有正确的命题序号都填上)【导学号：71392036】[解析] ①∵|a |＝5，|b |＝1，a ·b ＝－4，∴cos〈a ，b 〉＝－45， ∴a 在b 方向上的投影为|a |·cos〈a ，b 〉＝－4，①正确；②当x ＝π6时，tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3无意义， 由正切函数y ＝tan x 的图象的性质知，②正确；③∵原命题的逆命题为“若a ⊥b ，则a ·b ＝0”为真，∴其否命题也为真．∴③正确；④当a ≠0，b ＝c 时，a ·b ＝a ·c 成立．(当a ≠0，a ·b ＝a ·c 时不一定有b ＝c )∴④正确．[答案] ①②③④充分条件与必要条件的判断关于充分条件、必要条件与充要条件的判定，实际上是对命题真假的判定；若“p ⇒q ”，且“p ⇐/q ”，则p 是q 的“充分不必要条件”，同时q 是p 的“必要不充分条件”；若“p ⇔q ”，则p 是q 的“充要条件”，同时q 是p 的“充要条件”；若“p ⇔/q ”，则p 是q 的“既不充分也不必要条件”，同时q 是p 的“既不充分也不必要条件”．设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0. q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0.且非p 是非q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．[精彩点拨] 非p 是非q 的必要不充分条件也就是p 是q 的充分不必要条件(q 是p 的必要不充分条件)．利用集合之间关系列不等式组求解．[规范解答] 设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0}＝{x |3a <x <a ，a <0}． B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0}＝{x |x <－4或x ≥－2}．∵非p 是非q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．∴A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－4，a <0或⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ≥－2，a <0， 解得－23≤a <0或a ≤－4. [再练一题]2.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y >4，xy >4是⎩⎪⎨⎪⎧x >2，y >2的什么条件？请说明理由． [解] 当x >2且y >2时，有x ＋y >4，xy >4，即⎩⎪⎨⎪⎧ x >2，y >2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y >4，xy >4.反之，当x ＝1<2，y ＝5时，有x ＋y ＝6>4，xy ＝5>4，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y >4，xy >4⇒/⎩⎪⎨⎪⎧ x >2，y >2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y >4，xy >4是⎩⎪⎨⎪⎧ x >2，y >2的必要不充分条件.含逻辑联结词的命题1.“且”、“或”、“非”这些词叫逻辑联结词，不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题有“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”三种形式．2．含逻辑联结词的命题的真假判断：“p 或q ”中有真为真，“p 且q ”有假为假，非p 与p 真假相反．给出两个命题：p ：函数y ＝x 2－x －1有两个不同的零点，q ：若1x<1，则x >1，那么在下列四个命题中，真命题是________.【导学号：71392037】①(非p )或q ；②p 且q ；③(非p )且 (非q )；④(非p )或(非q )．[精彩点拨] 判断p ，q 真假→非p ，非q 真假→命题真假[规范解答] ∵Δ＝1＋4＝5>0，∴p 真．∵x <0时，1x<0<1但x >1不成立，∴q 假， ∴非q 真，∴①②③均为假命题，④为真命题．[答案] ④[再练一题]3．若命题p ：x (x ＋4)＞0，命题q ：13－x＞1，则非p 是非q 成立的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．[解析] 由命题p ：x (x ＋4)＞0得p ：x ＞0或x ＜－4，则非p ：－4≤x ≤0.由q ：13－x＞1，得q ：2＜x ＜3，则非q ：x ≤2或x ≥3.因为非p ⇒非q ，非q ⇒/非p ，所以非p 是非q 成立的充分不必要条件．[答案] 充分不必要全称命题和存在性命题1．全称命题“∀x ∈M ，p (x )”强调命题的一般性，因此，(1)要证明它是真命题，需对集合M 中每一个元素x ，证明p (x )成立；(2)要判断它是假命题，只需在集合M 中找到一个元素x ，使p (x )不成立即可．2．存在性命题“∃x ∈M ，p (x )”强调结论的存在性，因此，(1)要证明它是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x ，使p (x )成立即可；(2)要判断它是假命题，需对集合M 中每一个元素x ，证明p (x )不成立．判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假．(1)对角互补的四边形都内接于一个圆；(2)对于定义在区间[a ，b ]上的连续函数f (x )，若f (a )·f (b )＜0，则函数f (x )在开区间(a ，b )上至少有一个零点；(3)∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x ＞sin x ； (4)∃x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0.[精彩点拨] 理解含义→寻找量词→判断类别→判断真假[规范解答] (1)全称命题，是真命题；(2)存在性命题，是真命题；(3)全称命题，∵tan x ＝sin x cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴0＜cos x ＜1，sin x ＞0，∴1cos x ＞1，sin x cos x ＞sin x ，即tan x ＞sin x ， ∴是真命题；(4)存在性命题，∵3x ＞0，∴3x ＋1＞1，则log 2(3x＋1)＞0，∴是假命题．[再练一题]4．下列命题中，既是真命题又是存在性命题的是________.【导学号：71392038】①有一个角α，使tan(90°－α)＝tan α；②∃x ∈R ，使sin x ＝π2； ③对任意角α，都有sin(180°－α)＝sin α；④∀α，β∈R ，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.[解析] ①是存在性命题且是真命题，②是存在性命题且是假命题，③④都是全称命题．[答案] ①含一个量词的命题的否定1．全称命题的否定一定是存在性命题．p ：∀x ∈M ，p (x )成立；非p ：∃x ∈M ，非p (x )成立．2．存在性命题的否定一定是全称命题．p ：∃x ∈M ，p (x )成立；非p ：∀x ∈M ，非p (x )成立．3．含有一个量词的命题的否定首先要改变量词，把全称量词改为存在量词；把存在量词改为全称量词，然后再把判断词加以否定．写出下列命题的否定，并判断它们的真假．(1)p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋14≥0； (2)q ：∃x 是质数，x 不是奇数；(3)r ：至少有一个实数x ，使x > x 2＋1；(4)s ：所有的周期函数都有最小正周期．[精彩点拨] 改变量词→否定结论→写出否定→作出判断 [规范解答] (1)非p ：∃x ∈R ，使x 2＋x ＋14<0.由于对任意的实数x ，x 2＋x ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122≥0，故p 是真命题，非p 是假命题．(2)非q ：∀x 是质数，x 是奇数．由于2是质数，且2不是奇数，故q 是真命题，非q 是假命题．(3)非r ：∀x ∈R ，x ≤x 2＋1.由于对任意的实数x ，x ≤|x |＝x 2<x 2＋1，故r 是假命题，非r 是真命题．(4)非s ：有的周期函数没有最小正周期．由于f (x )＝0(x ∈R )是周期函数但没有最小正周期，故s 是假命题，非s 是真命题．[再练一题]5．下列命题的否定是假命题的有________．(填序号)①∃x ＞1，使x 2－2x －3＝0；②有些平行四边形，是矩形；③∀a ，b ∈R ，方程ax ＝b 都有惟一解；④可以被5整除的整数，末位是0.[解析] 对于①“∃x ＞1，使x 2－2x －3＝0”是真命题，故其否定是假命题；对于②“有些平行四边形，是矩形”是真命题．故其否定是假命题；对于③“∀a ，b ∈R ，方程ax ＝b 都有惟一解”是假命题，故其否定是真命题；对于④“可以被5整除的整数，末位是0”是假命题，故其否定是真命题．[答案] ①②[链接高考]1．设m ∈R ，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是________．[解析] “若p 则q ”的逆否命题是“若非q 则非p ”．[答案] 若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤02．命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是________.【导学号：71392039】[解析] 存在性命题“∃x 0∈M ，p (x 0)”的否定是全称命题“∀x ∈M ，非p (x )”．[答案] ∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －13．设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．[解析] ⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12⇒0＜θ＜π6⇒sin θ＜12，而当sin θ＜12时，取θ＝－π6，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6－π12＝π4＞π12，即sin θ＜12⇒/⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12，故“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的充分不必要条件．[答案] 充分不必要4．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)[解析] 若存在负数λ，使m ＝λn ，则m ·n ＝λn ·n ＝λn 2＝λ|n |2＜0.若m ·n ＜0则可得cos 〈m ，n 〉＜0，但不一定推得“存在负数λ，使得m ＝λn ”．综上所述，“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n＜0”的充分不必要条件．[答案] 充分不必要5．已知命题p：∀x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2.下列命题为真命题的是________(填序号). 【导学号：71392040】①p∧q；②p∧非q；③非p∧q；④非p∧非q.[解析] 当x＞0时，x＋1＞1，ln(x＋1)＞0，即p为真命题；取a＝1，b＝－2，这时满足a＞b，显然a2＞b2不成立，即q为假命题，由复合命题真值表易知，②为真命题．[答案] ②。
【精品】数学新学案同步实用课件选修2-1苏教版：第1章 常用逻辑用语1.1.2
命题及其关系
1.1.2 充分条件和必要条件
学习目标
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.
2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.
3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证
明.
内容索引
问题导学 题型探究
达标检测
问题导学
知识点一 1.框图表示
充分条件与必要条件
(填序号) ①Δ＝b2－4ac≥0是函数f(x)有零点的充要条件； ②Δ＝b2－4ac＝0是函数f(x)有零点的充分条件； ③Δ＝b2－4ac＞0是函数f(x)有零点的必要条件； ④Δ＝b2－4ac＜0是函数f(x)没有零点的充要条件.
解析
答案
反思与感悟 充分、必要条件判断的常用方法
(1)定义法：分清条件和结论，利用定义判断.
跟踪训练 4
x 2 1 设 A＝yy＝2x＋1 ，x∈R， B＝yy＝3x＋m， x∈[－1，1]，
记命题 p：“y∈A”，命题 q：“y∈B”，若 p 是 q 的必要不充分条件，则
②必要性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0， ∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0， ∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0. ∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，
∴a2－ab＋b2≠0.
∴a＋b－1＝0，∴a＋b＝1.
综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件.
题，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么
p与q互为充要条件.
[思考辨析 判断正误]
1.当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.( √ )
数学选修2-1苏教版：第1章 常用逻辑用语 1.1.2
1.1.2充分条件和必要条件学习目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．知识点一充分条件与必要条件1．框图表示2．条件与结论之间的关系知识点二充要条件思考在△ABC中，角A，B，C为它的三个内角，则“A，B，C成等差数列”是“B＝60°”的什么条件？答案因为A，B，C成等差数列，故2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，故B＝60°，反之，亦成立，故“A，B，C成等差数列”是“B＝60°”的充分必要条件．梳理(1)如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称为p是q的充要条件，记作p⇔q.(2)充要条件的实质是原命题“若p则q”和其逆命题“若q则p”均为真命题，如果p是q 的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．1．当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(√)2．当p是q的充分必要条件时，那么q也一定是p的充分必要条件．(√)类型一 充分条件、必要条件的判断例1 对于二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，下列结论正确的是________．(填序号) ①Δ＝b 2－4ac ≥0是函数f (x )有零点的充要条件； ②Δ＝b 2－4ac ＝0是函数f (x )有零点的充分条件； ③Δ＝b 2－4ac ＞0是函数f (x )有零点的必要条件； ④Δ＝b 2－4ac ＜0是函数f (x )没有零点的充要条件． 答案 ①②④解析 ①正确，因为Δ＝b 2－4ac ≥0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根⇔f (x )＝ax 2＋bx ＋c 有零点；②正确，因为Δ＝b 2－4ac ＝0⇒方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根，因此函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有零点，但是f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有零点时，有可能Δ＞0；③错误，因为函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有零点时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根，但未必有Δ＝b 2－4ac ＞0，也有可能Δ＝0；④正确，因为Δ＝b 2－4ac ＜0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)无实根⇔函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)无零点．反思与感悟 充分、必要条件判断的常用方法 (1)定义法：分清条件和结论，利用定义判断．(2)等价法：将不易判断的命题转化为它的等价命题判断． 跟踪训练1 指出下列各题中，p 是q 的什么条件？ (1)p ：ax 2＋ax ＋1>0的解集是R ，q ：0<a <4； (2)p ：|x －2|<3，q ：6x －5<－1；(3)p ：A ∪B ＝A ，q ：A ∩B ＝B ；(4)p ：⎩⎪⎨⎪⎧ α>2，β>2，q ：⎩⎪⎨⎪⎧α＋β>4，αβ>4.解 (1)当a ＝0时，1>0满足题意；当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4a <0，a >0，可得0<a <4.故p 是q 的必要不充分条件． (2)易知p ：－1<x <5，q ：－1<x <5， 所以p 是q 的充要条件．(3)因为A ∪B ＝A ⇔A ∩B ＝B ，所以p 是q 的充要条件．(4)由⎩⎪⎨⎪⎧ α>2，β>2，根据同向不等式相加、相乘的性质，有⎩⎪⎨⎪⎧α＋β>4，αβ>4，即p ⇒q .但⎩⎪⎨⎪⎧ α＋β>4，αβ>4⇏⎩⎪⎨⎪⎧α>2，β>2，比如，当α＝1，β＝5时，⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝6>4，αβ＝5>4，而α<2，所以q ⇏p ，所以p 是q 的充分不必要条件． 类型二 充要条件的探求与证明 命题角度1 充要条件的探求例2 求ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是什么？ 解 (1)当a ＝0时，原方程变为2x ＋1＝0，即x ＝－12，符合要求．(2)当a ≠0时，ax 2＋2x ＋1＝0为一元二次方程，它有实根的充要条件是Δ≥0，即4－4a ≥0，∴a ≤1.①方程ax 2＋2x ＋1＝0只有一个负实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1x 2<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，1a<0，∴a <0.②方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个负实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2<0，x 1x 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，－2a<0，1a >0，∴0<a ≤1.综上所述，ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤1.反思与感悟 探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件⇒结论”和“结论⇒条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件．跟踪训练2 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(n ＋1)2＋t (t 为常数)，试问t ＝－1是否为数列{a n }是等差数列的充要条件？请说明理由． 解 是充要条件．(充分性)当t ＝－1时，S n ＝(n ＋1)2－1＝n 2＋2n . a 1＝S 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1. 又a 1＝3符合上式， ∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，又∵a n ＋1－a n ＝2(常数)，∴数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列． 故t ＝－1是{a n }为等差数列的充分条件． (必要性)∵{a n }为等差数列，则2a 2＝a 1＋a 3，∵a 1＝S 1＝4＋t ，a 2＝S 2－S 1＝5，a 3＝S 3－S 2＝7，∴10＝11＋t ，解得t ＝－1， 故t ＝－1是{a n }为等差数列的必要条件． 综上，t ＝－1是数列{a n }为等差数列的充要条件． 命题角度2 充要条件的证明例3 已知A ，B 是直线l 上的任意两点，O 是直线l 外一点，求证：点P 在直线l 上的充要条件是OP →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，且x ＋y ＝1.证明 ①充分性：若点P 满足OP →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，且x ＋y ＝1，消去y ，得 OP →＝xOA →＋(1－x )OB →＝x (OA →－OB →)＋OB →， ∴OP →－OB →＝x (OA →－OB →)，即BP →＝xBA →. ∴点P 在直线AB 上，即点P 在直线l 上．②必要性：设点P 在直线l 上，则由共线向量基本定理知，存在实数t ，使得AP →＝tAB →＝t (OB →－OA →)，∴OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋tOB →－tOA →＝(1－t )OA →＋tOB →.令1－t ＝x ，t ＝y ，则OP →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，且x ＋y ＝1.综上，点P 在直线l 上的充要条件是OP →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，且x ＋y ＝1. 反思与感悟 证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”⇒“结论”，必要性需要证明“结论”⇒“条件”．跟踪训练3 已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0的充要条件． 证明 ①充分性：∵a ＋b ＝1，∴b ＝1－a ，∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝a 3＋(1－a )3＋a (1－a )－a 2－(1－a )2＝a 3＋1－3a ＋3a 2－a 3＋a －a 2－a 2－1＋2a －a 2＝0， 即a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.②必要性：∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0， ∴(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝0， ∴(a 2－ab ＋b 2)(a ＋b －1)＝0. ∵ab ≠0，∴a ≠0且b ≠0，∴a 2－ab ＋b 2≠0.∴a ＋b －1＝0，∴a ＋b ＝1.综上可知，当ab ≠0时，a ＋b ＝1是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0的充要条件． 类型三 利用充分条件、必要条件求参数的值(或范围)例4 已知p ：2x 2－3x －2≥0，q ：x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0，且命题p 是命题q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解 令M ＝{x |2x 2－3x －2≥0}＝{x |(2x ＋1)(x －2)≥0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－12或x ≥2，N ＝{x |x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0}＝{x |(x －a )[x －(a －2)]≥0}＝{x |x ≤a －2或x ≥a }． 由已知p ⇒q 且q ⇏p ，得M ?N ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥－12，a <2或⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－12，a ≤2， 解得32≤a <2或32<a ≤2，即32≤a ≤2.即实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤32，2.反思与感悟 1.在有些含参数的充要条件问题中，要注意将条件p 和q 转化为集合，从而转化为两集合之间的子集关系，再转化为不等式(或方程)，从而求得参数的取值范围． 2．根据充分条件或必要条件求参数范围的步骤 (1)记集合M ＝{x |p (x )}，N ＝{x |q (x )}．(2)若p 是q 的充分不必要条件，则M ?N ，若p 是q 的必要不充分条件，则N ?M ，若p 是q 的充要条件，则M ＝N .(3)根据集合的关系列不等式(组)． (4)求出参数的范围．跟踪训练4 设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪ y ＝2x 2x ＋1，x ∈R ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝13x ＋m ，x ∈[－1，1]，记命题p ：“y ∈A ”，命题q ：“y ∈B ”，若p 是q 的必要不充分条件，则m 的取值范围为______________． 答案 ⎝⎛⎭⎫13，23解析 由题意知A ＝(0,1)，B ＝⎣⎡⎦⎤m －13，m ＋13，依题意，得B ?A ， 故⎩⎨⎧m －13>0，m ＋13<1，∴13<m <23.1．从“⇒”，“⇒/”与“⇔”中选出适当的符号填空： (1)x ＞1________x ＞0； (2)a ＞b ________a 2＞b 2； (3)a 2＋b 2＝2ab ________a ＝b ； (4)A ⊆∅________A ＝∅.答案 (1)⇒ (2)⇏ (3)⇔ (4)⇔2．“a >1”是“1a <1”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充分不必要解析 由a >1可得到1a<1，反之不成立．3．记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a )的定义域为集合B .若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为________． 答案 (－∞，－3]解析 由于A ＝{x |x 2＋x －6<0}＝{x |－3<x <2}，B ＝{x |y ＝lg(x －a )}＝{x |x >a }，而“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则有A ⊆B ，则有a ≤－3.4．设p ：1≤x ＜4，q ：x ＜m ，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________． 考点 充分条件的概念及判断 题点 由充分条件求取值范围 答案 [4，＋∞)解析 因为p 为q 的充分条件，所以[1,4)⊆(－∞，m )， 得m ≥4.5．“a ＝0”是“直线l 1：x －2ay －1＝0与l 2：2x －2ay －1＝0平行”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充要解析 (1)∵a ＝0，∴l 1：x －1＝0，l 2：2x －1＝0， ∴l 1∥l 2，即a ＝0⇒l 1∥l 2. (2)若l 1∥l 2，当a ≠0时， l 1：y ＝12a x －12a ，l 2：y ＝1a x －12a .令12a ＝1a，方程无解．当a ＝0时，l 1：x －1＝0，l 2：2x －1＝0，显然l 1∥l 2. ∴a ＝0是直线l 1与l 2平行的充要条件．充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件反映了条件p 和结论q 之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法：(1)定义法：分清条件p 和结论q ，然后判断“p ⇒q ”及“q ⇒p ”的真假，根据定义下结论． (2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题．(3)集合法：写出集合A ＝{x |p (x )}及集合B ＝{x |q (x )}，利用集合之间的包含关系加以判断．一、填空题1．“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的________条件． 答案 充分不必要解析 由sin φ＝0可得φ＝k π(k ∈Z )，此为曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点的充要条件，故“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的充分不必要条件．2．若集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x x －1<0，B ＝{x |x －2<2}，则“m ∈A ”是“m ∈B ”的________条件．答案 充分不必要解析 ∵A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x x －1<0＝{x |0<x <1}，B ＝{x |x －2<2}＝{x |x <4}． ∴A ?B ，则“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分不必要条件．3．“k >4，b <5”是“一次函数y ＝(k －4)x ＋b －5的图象交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴”的________条件． 答案 充要解析 ①当k >4，b <5时，一次函数y ＝(k －4)x ＋b －5的图象如图．②当一次函数y ＝(k －4)x ＋b －5交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴，即当x ＝0时，y ＝b －5<0，∴b <5.当y ＝0时，x ＝5－bk －4>0.∵b <5，∴k >4.4．已知不等式m －1<x <m ＋1成立的一个充分不必要条件是13<x <12，则实数m 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－12，43 解析 由题意得⎝⎛⎭⎫13，12?(m －1，m ＋1)，则有⎩⎨⎧m －1≤13，m ＋1>12或⎩⎨⎧m －1<13，m ＋1≥12.∴－12≤m ≤43.5．对任意实数a ，b ，c ，下列命题中，是真命题的是________．(填序号) ①“ac >bc ”是“a >b ”的必要条件； ②“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件； ③“ac 2>bc 2”是“a >b ”的充分条件； ④“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分条件． 答案 ②③解析 由②得当a ＝b 时，得到ac ＝bc ；由③得ac 2>bc 2⇒a >b .6．关于x 的方程m 2x 2－(m ＋1)x ＋2＝0的实数根的总和为2的充要条件是________． 答案 m ＝0解析 当m ＝0时，原方程即x ＝2，满足条件，当m ≠0时，m ＋1m 2＝2，则m ＝1或m ＝－12，但Δ＝[－(m ＋1)]2－8m 2，m ＝1及m ＝－12均使Δ<0，故m ＝0.7．在△ABC 中，“sin A ＝sin B ”是“a ＝b “的________条件． 答案 充要解析 在△ABC 中，由正弦定理及sin A ＝sin B 可得2R sin A ＝2R sin B ，即a ＝b ；反之也成立． 8．设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 答案 3或4解析 由于方程有整数根，由判别式Δ＝16－4n ≥0得1≤n ≤4，逐个分析，当n ＝1,2时，方程没有整数解；而当n ＝3时，方程有正整数解1,3；当n ＝4时，方程有正整数解2. 9．若p ：x (x －3)＜0是q ：2x －3＜m 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________． 答案 [3，＋∞)解析 p ：0＜x ＜3，q ：x ＜3＋m2，若p 是q 的充分不必要条件，则3＋m2≥3，即m ≥3.10．给出下列三个命题：①“a >b ”是“3a >3b ”的充分不必要条件； ②“α>β”是“cos α<cos β”的必要不充分条件；③“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R )为奇函数”的充要条件． 其中正确命题的序号为________． 答案 ③解析 ①∵函数y ＝3x 是R 上的增函数，∴“a >b ”是“3a >3b ”的充要条件，故①错误；②∵2π>π2，cos2π>cos π2，∴α>β⇏cos α<cos β；∵cos π<cos 2π，π<2π，∴cos α<cos β⇏α>β.∴“α>β”是“cos α<cos β”的既不充分又不必要条件，故②错误；③“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R )为奇函数”的充要条件，正确． 11．有下列命题：①“x ＞2且y ＞3”是“x ＋y ＞5”的充分条件； ②“x ＞0”是“x 2＞0”的必要不充分条件；③“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的充分不必要条件； ④“xy ＝1”是“lg x ＋lg y ＝0”的必要不充分条件． 其中真命题的序号为________． 考点 充分条件、必要条件的判断 题点 充分、必要条件的判断 答案 ①④解析 ①当x ＞2且y ＞3时，x ＋y ＞5成立，反之不一定，所以“x ＞2且y ＞3”是“x ＋y ＞5”的充分不必要条件，故①为真命题； ②x ＞0⇒x 2＞0，x 2＞0⇏x ＞0，故②为假命题；③当a ＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则a 1＝21，所以a ＝2，所以“a ＝2”是“两直线平行”的充要条件，故③为假命题；④lg x ＋lg y ＝lg(xy )＝0，所以xy ＝1且x ＞0，y ＞0，所以xy ＝1必成立，反之不然，所以“xy ＝1”是“lg x ＋lg y ＝0”的必要不充分条件，故④为真命题． 综上可知，真命题是①④. 二、解答题12．判断下列各题中，p 是q 的什么条件． (1)p ：|x |＝|y |，q ：x ＝y ；(2)p ：△ABC 是直角三角形，q ：△ABC 是等腰三角形；(3)p ：四边形的对角线互相平分，q ：四边形是矩形；(4)p ：圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，q ：c 2＝(a 2＋b 2)r 2. 考点 充分条件、必要条件的判断 题点 充分、必要条件的判断解 (1)∵|x |＝|y |⇏x ＝y ，但x ＝y ⇒|x |＝|y |， ∴p 是q 的必要不充分条件．(2)∵△ABC 是直角三角形⇏△ABC 是等腰三角形， △ABC 是等腰三角形⇏△ABC 是直角三角形， ∴p 是q 的既不充分又不必要条件．(3)∵四边形的对角线互相平分⇏四边形是矩形， 四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分， ∴p 是q 的必要不充分条件．(4)若圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与直线ax ＋by ＋c ＝0相切， 则圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ， 即r ＝|c |a 2＋b 2， ∴c 2＝(a 2＋b 2)r 2；反过来，若c 2＝(a 2＋b 2)r 2， 则|c |a 2＋b2＝r 成立， 说明圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)的圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ， 即圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与直线ax ＋by ＋c ＝0相切， 故p 是q 的充要条件．13．求方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)有两个正根的充要条件． 解 方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)有两个正根等价于⎩⎪⎨⎪⎧b 2－4ac ≥0，－b a ＞0，c a ＞0，a ＜0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧b 2≥4ac ，b ＞0，c ＜0.所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)有两个正根的充要条件是b 2≥4ac ，且b ＞0，c ＜0. 三、探究与拓展14．“a ≠1或b ≠2”是“a ＋b ≠3成立”的________________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)．最新中小学教案、试题、试卷考点 充分条件、必要条件的判断题点 必要不充分条件的判断答案 必要不充分解析 命题“若a ≠1或b ≠2，则a ＋b ≠3”与命题“若a ＋b ＝3，则a ＝1且b ＝2”互为逆否命题，当a ＝3，b ＝0时，有a ＋b ＝3，所以命题“若a ＋b ＝3，则a ＝1且b ＝2”是假命题，所以命题“若a ≠1或b ≠2，则a ＋b ≠3”是假命题，所以a ≠1或b ≠2推不出a ＋b ≠3.“若a ＝1且b ＝2，则a ＋b ＝3”是真命题，所以命题“若a ＋b ≠3，则a ≠1或b ≠2”是真命题，所以a ＋b ≠3⇒a ≠1或b ≠2，所以“a ≠1或b ≠2”是“a ＋b ≠3成立”的必要不充分条件．15．设a ，b ，c 是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．求证：a 2＝b (b ＋c )的充要条件是A ＝2B .证明 充分性：∵A ＝2B ，∴A －B ＝B ，则sin(A －B )＝sin B ，则sin A cos B －cos A sin B ＝sin B ，结合正弦、余弦定理得a ·a 2＋c 2－b 22ac －b ·b 2＋c 2－a 22bc＝b ，化简整理得a 2＝b (b ＋c )； 必要性：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，且a 2＝b (b ＋c )，得b 2＋bc ＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴1＋2cos A ＝c b ＝sin C sin B， 即sin B ＋2sin B cos A ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，∴sin B ＝sin A cos B －cos A sin B ＝sin(A －B )，由于A ，B 均为三角形的内角，故必有B ＝A －B ，即A ＝2B .综上，知a 2＝b (b ＋c )的充要条件是A ＝2B .。
苏教版2018-2019高二数学新学案选修2-1：第一章 常用逻辑用语 疑难规律方法 第一章
1怎样解逻辑用语问题1．利用集合理清关系充分(必要)条件是高中学段的一个重要概念，并且是理解上的一个难点．要解决这个难点，将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法．本节使用集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释，实践证明效果较好．集合模型解释如下：(1)A是B的充分条件，即A⊆B.(2)A是B的必要条件，即B⊆A.(3)A是B的充要条件，即A＝B.(4)A是B的既不充分又不必要条件，即A∩B＝∅或A，B既有公共元素也有非公共元素．或例1设集合S＝{0，a}，T＝{x∈Z|x2<2}，则“a＝1”是“S⊆T”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)解析T＝{x∈Z|x2<2}＝{－1,0,1}，a＝1时，S＝{0,1}，所以S⊆T；反之，若S⊆T，则S ＝{0,1}或S＝{0，－1}．所以“a＝1”是“S⊆T”的充分不必要条件．答案充分不必要2．抓住量词，对症下药全称命题与特称命题是两类特殊的命题，这两类命题的否定是这部分内容中的重要概念，解决有关此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词，理解其相应的含义，从而对症下药．例2(1)已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”与命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围为______________．(2)已知命题p：“存在x∈[1,2]，x2－a≥0”与命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围为__________________．解析(1)将命题p转化为当x∈[1,2]时，(x2－a)min≥0，即1－a≥0，即a≤1.命题q：即方程有解，Δ＝(2a)2－4×(2＋a)≥0，解得a≤－1或a≥2.综上所述，a的取值范围为(－∞，－1]．(2)命题p转化为当x∈[1,2]时，(x2－a)max≥0，即4－a≥0，即a≤4.命题q同(1)．综上所述，a的取值范围为(－∞，－1]∪[2,4]．答案(1)(－∞，－1](2)(－∞，－1]∪[2,4]点评认真比较两题就会发现，两题形似而神异，所谓失之毫厘，谬之千里，需要我们抓住这类问题的本质——量词，有的放矢．3．挖掘等价转化思想，提高解题速度在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中，时时刻刻渗透着等价转化思想，例如互为逆否命题的两个命题(原命题与逆否命题或逆命题与否命题)一定同真或同假，它们就是等价的；但原命题与逆命题不等价，即原命题为真，其逆命题不一定为真．例3判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a<2”的逆否命题的真假．解原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a≥2，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集”．判断真假如下：函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图像开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，因为a≥2，所以4a－7>0，即抛物线与x轴有交点，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真．2辨析命题的否定与否命题否命题与命题的否定是逻辑关系中的两个相似知识点，但又有着本质的区别，应注意弄清它们的区别和正确表述，下面从以下两个方面来看一下它们的区别．1．否命题与命题的否定的概念设命题“若A，则B”为原命题，那么“若綈A，则綈B”为原命题的否命题，“若A，则綈B”为原命题的否定．所以从概念上看“否命题”是对原命题的条件和结论同时否定后得到的新命题，而且否定的条件仍为条件，否定的结论仍为结论．“命题的否定”是对原命题结论的全盘否定，即“命题的否定”与原命题的条件相同，结论相反．例1写出下列命题的否命题及否定：(1)若|x|＋|y|＝0，则x，y全为0；(2)函数y＝x＋b的值随x的增加而增加．分析问题(1)直接依据格式写出相应的命题；问题(2)先改写成“若A，则B”的形式，然后再写出相应的命题．解(1)原命题的条件为“|x|＋|y|＝0”，结论为“x，y全为0”．写原命题的否命题需同时否定条件和结论，所以原命题的否命题为“若|x|＋|y|≠0，则x，y 不全为0”．写原命题的否定只需否定结论，所以原命题的否定为“若|x|＋|y|＝0，则x，y不全为0”．(2)原命题可以改写为“若x增加，则函数y＝x＋b的值也随之增加”．否命题为“若x不增加，则函数y＝x＋b的值也不增加”；命题的否定为“若x增加，则函数y＝x＋b的值不增加”．点评如果所给命题是“若A，则B”的形式，则可以依据否命题和命题的否定的定义，直接写出相应的命题．如果不是“若A，则B”的形式，则需要先将其改写成“若A，则B”的形式，便于写出命题的否定形式及其否命题．2．否命题与命题的否定的真假从命题的真假上看，原命题与其否命题的真假没有必然的关系，原命题为真，其否命题可能为真，也可能为假；原命题为假，其否命题可能为真，也可能为假．但是原命题与其否定的真假必相反，原命题为真，则其否定为假；原命题为假，则其否定为真．这也可以作为检验写出的命题是否正确的标准．例2写出下列命题的否命题与命题的否定，并判断原命题、否命题和命题的否定的真假：(1)若x2<4，则－2<x<2；(2)若m>0且n>0，则m＋n>0.分析依据定义分别写出否命题与命题的否定．根据不等式及方程的性质逐个判断其真假．解(1)否命题：“若x2≥4，则x≥2或x≤－2”．命题的否定：“若x2<4，则x≥2或x≤－2”．通过解不等式可以知道，原命题为真，否命题为真，命题的否定为假．(2)否命题：“若m≤0或n≤0，则m＋n≤0”．命题的否定：“若m>0且n>0，则m＋n≤0”．由不等式的性质可以知道，原命题为真，否命题为假，命题的否定为假．3判断条件四策略1．应用定义如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件．判断时的关键是分清条件与结论．例1设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)解析条件p：x∈M或x∈P；结论q：x∈P∩M.若x∈M，则x不一定属于P，即x不一定属于P∩M，所以p⇏q；若x∈P∩M，则x∈M且x∈P，所以q⇒p.综上知，“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的必要不充分条件．答案必要不充分2．利用传递性充分、必要条件在推导的过程当中具有传递性，即：若p⇒q，q⇒r，则p⇒r.例2如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的______条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 解析依题意，有A⇐B⇔C⇐D且A⇏B⇔C⇏D，由命题的传递性可知D⇒A，但A⇏D.于是A 是D的必要不充分条件．答案必要不充分3．利用集合运用集合思想来判断充分条件和必要条件是一种行之有效的方法．若p以非空集合A的形式出现，q以非空集合B的形式出现，则①若A⊆B，则p是q的充分条件；②若B⊆A，则p是q的必要条件；③若A?B，则p是q的充分不必要条件；④若B?A，则p是q的必要不充分条件；⑤若A＝B，则p是q的充要条件．例3已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若p是q的充分不必要条件，则m 的取值范围是________．解析 设p ，q 分别对应集合P ，Q ，则P ＝{x |－2≤x ≤10}，Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，由题意知，p ⇒q ，但q ⇏p ，故P ?Q ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m <－2，1＋m ≥10，m >0或⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10，m >0，解得m ≥9.即m 的取值范围是[9，＋∞)．答案 [9，＋∞)4．等价转化由于互为逆否命题的两个命题同真同假，所以当由p ⇒q 较困难时，可利用等价转化，先判断由綈q ⇒綈p ，从而得到p ⇒q .例4 已知p ：x ＋y ≠2，q ：x ，y 不都是1，则p 是q 的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)解析 因为p ：x ＋y ≠2，q ：x ≠1或y ≠1，所以綈p ：x ＋y ＝2，綈q ：x ＝1且y ＝1.因为綈p ⇏綈q ，但綈q ⇒綈p ，所以綈q 是綈p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件．答案 充分不必要4 例析逻辑用语中的常见误区误区1 所有不等式、集合运算式都不是命题例1 判断下列语句是不是命题，若是命题，判断其真假．(1)x ＋2>0；(2)x 2＋2>0；(3)A ∩B ＝A ∪B ；(4)A ⊆(A ∪B )．错解 (1)(2)(3)(4)都不是命题．剖析 (1)中含有未知数x ，且x 不确定，所以x ＋2的值也不确定，故无法判断x ＋2>0是否成立，不能判断其真假，故(1)不是命题．(2)x虽为未知数，但x2≥0，所以x2＋2≥2，故可判断x2＋2>0成立，故(2)为真命题．(3)若A＝B，则A∩B＝A∪B＝A＝B；若A?B，则A∩B＝A?(A∪B)＝B.由于A，B的关系未知，所以不能判断其真假，故(3)不是命题．(4)A为A∪B的子集，故A⊆(A∪B)成立，故(4)为真命题．正解(2)(4)是命题，且都为真命题．(1)(3)不是命题误区2原命题为真，其否命题必为假例2判断下列命题的否命题的真假：(1)若a＝0，则ab＝0；(2)若a2>b2，则a>b.错解(1)因为原命题为真命题，故其否命题是假命题；(2)因为原命题为假命题，故其否命题为真命题．剖析否命题的真假与原命题的真假没有关系，否命题的真假不能根据原命题的真假来判断，应先写出原命题的否命题，再判断．正解(1)否命题为：若a≠0，则ab≠0，是假命题；(2)否命题为：若a2≤b2，则a≤b，是假命题．误区3搞不清谁是谁的条件例3使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件是()A．x>3 B．x>4C．x>2 D．x∈{1,2,3}错解由不等式x－3>0成立，得x>3，显然x>3⇒x>2，又x>2⇏x>3，故选C.剖析若p的一个充分不必要条件是q，则q⇒p，p⇏q.本题要求使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件，又x>4⇒x－3>0，而x－3>0⇏x>4，所以使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件为x>4.正解 B误区4考虑问题不周例4如果a，b，c∈R，那么“b2>4ac”是“方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件错解判别式Δ＝b2－4ac>0，即方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根；若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，则判别式Δ＝b2－4ac>0，即b2>4ac.综上可知“b2>4ac”是“方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根”的充要条件，故选C.剖析判别式Δ＝b2－4ac只适用于一元二次方程的实数根存在情况的判断．对于方程ax2＋bx＋c＝0，当a＝0时，原方程为一次方程bx＋c＝0(b≠0)，一次方程不存在判别式，所以当b2>4ac时不能推出方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根；若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，则它的判别式Δ＝b2－4ac>0，即b2>4ac.由上可知，“b2>4ac”是“方程ax2＋bx＋c ＝0有两个不等实根”的必要不充分条件．正解 B误区5用“且”“或”联结命题时只联结条件或结论例5(1)已知p：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11；q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2，试写出“p或q”．(2)p：四条边相等的四边形是正方形；q：四个角相等的四边形是正方形，试写出“p且q”．错解(1)p或q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或x＝2.(2)p且q：四条边相等且四个角相等的四边形是正方形．剖析(1)(2)两题中p，q都是假命题，所以“p或q”，“p且q”也都应是假命题．而上述解答中写出的两命题却都是真命题．错误原因是：(1)只联结了两个命题的结论；(2)只联结了两个命题的条件．正解(1)p或q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2.(2)p且q：四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形．误区6不能正确否定结论例6p：方程x2－5x＋6＝0有两个相等的实数根，试写出“綈p”．错解綈p：方程x2－5x＋6＝0有两个不相等的实数根．剖析命题p的结论为“有两个相等的实数根”，所以“綈p”应否定“有”，而不能否定“相等”．正解綈p：方程x2－5x＋6＝0没有两个相等的实数根．误区7对含有一个量词的命题否定不完全例7已知命题p：存在一个实数x，使得x2－x－2<0，写出綈p.错解一綈p：存在一个实数x，使得x2－x－2≥0.错解二綈p：对任意的实数x，都有x2－x－2<0.剖析该命题是特称命题，其否定是全称命题，但错解一中得到的綈p仍是特称命题，显然只对结论进行了否定，而没有对存在量词进行否定；错解二中只对存在量词进行了否定，而没有对结论进行否定．正解綈p：对任意的实数x，都有x2－x－2≥0.误区8忽略了隐含的量词例8写出下列命题的否定：(1)不相交的两条直线是平行直线；(2)奇函数的图像关于y轴对称．错解(1)不相交的两条直线不是平行直线；(2)奇函数的图像不关于y轴对称．剖析以上错误解答在于没有看出这两个命题都是全称命题．对于一些量词不明显或不含有量词，但其实质只是在文字叙述上省略了某些量词的命题，要特别引起注意．正解(1)存在不相交的两条直线不是平行直线；(2)存在一个奇函数的图像不关于y轴对称．5解“逻辑”问题的三意识1．转化意识由于互为逆否的两个命题同真假，因此，当原命题的真假不易判断或证明原命题较困难时，可以转化为逆否命题来判断或证明．例1证明：若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1.分析本题直接证明原命题是真命题，显然不太容易，可考虑转化为证明它的逆否命题是真命题．证明命题“若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1”的逆否命题是“若a－b＝1，则a2－b2＋2a－4b－3＝0”．由a－b＝1得a2－b2＋2a－4b－3＝(a＋b)(a－b)＋2(a－b)－2b－3＝a －b－1＝0.∵原命题的逆否命题是真命题，∴原命题也是真命题．故若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1.例2命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0，命题q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0，且q是p的必要不充分条件，求a的取值范围．分析将充分、必要条件转化为集合之间的关系，进而转化为集合运算问题．解 设A ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0(a <0)}＝{x |3a <x <a }，B ＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8＞0}＝{x |x 2－x －6≤0}∪{x |x 2＋2x －8>0}＝{x |－2≤x ≤3}∪{x |x <－4或x >2}＝{x |x <－4或x ≥－2}．因为q 是p 的必要不充分条件，所以p ⇒q ，q ⇏p ，由A ?B 得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ≥－2a <0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－4a <0即a ≤－4或－23≤a <0. 所以实数a 的取值范围是(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫－23，0 2．简化意识判断命题真假的关键：一是识别命题的构成形式；二是分别将各命题简化，对等价的简化命题进行判断．例3 已知命题p ：函数y ＝log 0.5(x 2＋2x ＋a )的值域为R ，命题q ：函数y ＝－(5－2a )x 在R 上是减少的．若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是____________． 分析 先将命题p ，q 等价转化，再根据题意构建关于a 的关系式，从而得到a 的取值范围． 解析 函数y ＝log 0.5(x 2＋2x ＋a )的值域为R ，即y ＝x 2＋2x ＋a 的值域包含(0，＋∞)，即在方程x 2＋2x ＋a ＝0中，Δ＝4－4a ≥0⇔a ≤1，即p 真⇔a ≤1；函数y ＝－(5－2a )x 是减函数⇔5－2a >1⇔a <2，即q 真⇔a <2.由p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，知命题p ，q 中必有一真一假．若p 真q 假，则无解；若p 假q 真，则1<a <2.故满足题意的实数a 的取值范围是(1,2)．答案 (1,2)点评 若命题“p 或q ”“p 且q ”中含有参数，求解时，可以先等价转化命题p ，q ，直至求出这两个命题为真时参数的取值范围，再依据“p 或q ”“p 且q ”的真假情况确定参数的取值范围．3．反例意识在“逻辑”中，经常要对一个命题的真假(尤其是假)作出判断，若直接从正面判断一个命题是假命题不易进行，这时可以通过举出恰当的反例来说明，这是一个简单有效的办法． 例4 设A ，B 为两个集合，则下列四个命题中真命题的序号是________．①A⊈B⇔对任意x∈A，都有x∉B；②A⊈B⇔A∩B＝∅；③A⊈B⇔B⊈A；④A⊈B⇔存在x∈A，使得x∉B.分析画出表示A⊈B的V enn图进行判断．解析画出Venn图，如图1所示，则A⊈B⇔存在x∈A，使得x∉B，故①②是假命题，④是真命题．A⊈B⇒B⊈A不成立的反例如图2所示．同理可得B⊈A⇒A⊈B不成立．故③是假命题．综上，真命题的序号是④.答案④。
(教师用书)高中数学 第一章 常用的逻辑用语教案 苏教版选修2-1
第一章常用的逻辑用语1．1命题及其关系1．1.1 四种命题(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假．2．过程与方法通过学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．3．情感、态度与价值观通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及分析问题和解决问题的能力．●重点难点重点：(1)会写四种命题并会判断命题的真假；(2)四种命题之间的相互关系．难点：(1)命题的否定与否命题的区别；(2)写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；(3)分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假．教学时，应从回顾命题的相关知识入手，以命题的结构为切入点，结合具体的实例，总结出四种命题的定义，并将理论应用于实践，通过适当的例题及练习，掌握四种命题的写法及真假的判断方法，并且体会四种命题间的关系，从而突出教学的重点；对于命题的否定与否命题，要结合具体的实例，进行区别，分析它们结构的区别，辨析其真假，从而化解难点．(教师用书独具)●教学建议本节课作为数学的工具课程，安排在选修教材的开篇，是非常合适的，首先之前通过必修课的学习，学生已经具备大量的数学基本素材，有例可举；其次，学习本章内容，又可为学习后续课程提供新的逻辑思维方式，因此本章内容承前启后，作用极大．本节课作为概念理论课，学习时切忌抽象，从认识的角度出发，由具体到抽象，由特殊到一般，通过具体实例抽象出相关逻辑概念，由一般到具体，由相关概念及理论指导学生进行四种命题的互求及真假性的判断．●教学流程回顾初中有关命题的概念，判断命题真假．⇒通过具体实例抽象出四种命题的定义，理清四种命题条件与结论间的关系，辨析命题的否定与否命题的区别．⇒展示题板，由实例得出四种命题间的关系，抽象出逆否命题的概念，并得出互为逆否命题间的真假关系．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握命题的判断方法，以及其真假的判别方法．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握四种命题的互求，以及它们真假性判断的方法．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握命题的真假性的应用，即由它们的真假性求字母参数的取值范围．⇒通过易错易误辨析，体会带有大前提命题的否命题的写法，杜绝错误的写法．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能.力【问题导思】观察下列语句：①两个全等的三角形面积相等；②y＝2x是一个增函数；③请把门关上；④y＝tan x的定义域为全体实数吗？⑤若x>2012，则x>2013.1．上述哪几个语句能判断真假？【提示】①②⑤2．语句⑤的条件和结论分别是什么？【提示】条件为“x>2012”，结论为“x>2013”．命题定义：能够判断真假的语句形式：若p则q，其中p是命题的条件，q是命题的结论分类真命题：判断为真的语句假命题：判断为假的语句观察下列四个命题：(1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；(2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；(3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；(4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．1．命题(1)与命题(2)、(3)、(4)的条件和结论之间分别有什么关系？【提示】命题(1)的条件是命题(2)的结论，且命题(1)的结论是命题(2)的条件；对于命题(1)、(3)，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定；对于命题(1)、(4)，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定．2．命题(1)(4)的真假性相同吗？命题(2)(3)的真假性相同吗？【提示】命题(1)(4)同为真，命题(2)(3)同为假．1．四种命题的概念一般地，设“若p则q”为原命题，那么“若q则p”就叫做原命题的逆命题，原命题与逆命题称为互逆命题；“若非p则非q”就叫做原命题的否命题，原命题和否命题称为互否命题；“若非q则非p”就叫做原命题的逆否命题，原命题与逆否命题称为互为逆否命题．2．四种命题之间的关系一般地，互为逆否命题的两个命题，要很都是真命题，要么都是假命题．判断下列语句是否为命题？是真命题还是假命题？(1)若平面四边形的边都相等，则它是菱形；(2)空集是任何集合的真子集；(3)对顶角相等吗？(4)对顶角不相等；(5)6>3；(6)x>3.【思路探究】能否判定真假→结论【自主解答】(1)能判断真假，是真命题；(2)能判断真假，是假命题；(3)不是命题；(4)能判断真假，是假命题；(5)能判断真假，是真命题；(6)不能判断真假，不是命题．1．判断语句是否为命题的标准是能否判断其真假，是否符合已学过的公理、定理、公式等，一般情况下疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．2．假命题也是命题，往往有人错误地认为不是命题．下列语句是否是命题？若是，判断其真假，并说明理由．①2是无限循环小数；②x2－3x＋2＝0；③当x＝4时，2x>0；④垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？⑤把门关上．【解】①是命题，能判断真假.2是无理数，此命题为假命题．②不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，我们无法判断语句的真假．③是命题，能作出真假判断的语句，是一个真命题．④不是命题，因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断．⑤不是命题，没有作出判断．写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假：(1)正偶数不是素数；(2)已知a，b，c∈R，若ac<0，则ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．【思路探究】将原命题改写成若p则q的形式→依照定义写出另外三种命题→判断真假【自主解答】(1)原命题：若一个数是正偶数，则这个数不是素数，是假命题；逆命题：若一个数不是素数，则这个数是正偶数，是假命题；否命题：若一个数不是正偶数，则这个数是素数，是假命题；逆否命题：若一个数是素数，则这个数不是正偶数，是假命题．(2)由方程根的判别式与0的大小关系，可知原命题是真命题．逆命题：已知a，b，c∈R，若ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则ac<0，是假命题，如当a＝1，b＝－3，c＝2时，方程x2－3x＋2＝0有两个不相等的实数根x1＝1，x2＝2，但此时ac＝2>0.否命题：已知a，b，c∈R，若ac≥0，则ax2＋bx＋c＝0没有实数根或只有一个根，是假命题．这是因为逆命题是假命题，否命题和逆命题互为逆否命题，具有相同的真假性．逆否命题：已知a，b，c∈R，若ax2＋bx＋c＝0没有实数根或只有一个根，则ac≥0，是真命题．因为原命题是真命题，逆否命题与原命题同真假．1．对于题(1)这样的命题，条件与结论不明显，需将原命题改写成“若p则q”的形式，必要时可以加入字母或文字．注意命题形式的改变并不改变命题的真假性，只是表述形式上发生了变化．2．对于四种命题的真假性判断，其方法有两个：①借助相应的定义、定理、公式等直接判断；②借助其逆否命题进行判断．写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假： (1)如果一个四边形是平行四边形，则它的两组对边互相平行； (2)负数的平方是正数．【解】 (1)原命题：平行四边形的两组对边互相平行，显然是真命题． 逆命题：如果一个四边形的两组对边互相平行，则它是平行四边形，是真命题． 否命题：如果一个四边形不是平行四边形，则它的两组对边不互相平行，是真命题． 逆否命题：如果一个四边形的两组对边不互相平行，则它不是平行四边形，是真命题． (2)原命题：若一个数是负数，则它的平方是正数，是真命题． 逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数，是假命题． 否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数，是假命题． 逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数，是真命题．已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x ＜0}，若命题“A ∩B＝∅”是假命题，求实数m 的取值范围．【思路探究】A ∩B ＝∅假⇒A ∩B ≠∅⇒错误!)→取 交 集【自主解答】 因为“A ∩B ＝∅”是假命题，所以A ∩B ≠∅.设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，则U ＝{m |m ≤－1或m ≥32}．假设方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U x 1＋x 2≥0x 1x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U 4m ≥02m ＋6≥0⇒m ≥32.又集合{m |m ≥32}关于全集U 的补集是{m |m ≤－1}，所以实数m 的取值范围是{m |m ≤－1}．1．本题若从正面分析，首先要使Δ≥0，然后分两个负根，一正根一负根，两种情况求并集再与Δ≥0求交集，这样解题十分繁琐，故采用“正难则反”思想简化解题过程．2．利用命题的真假求参数的取值范围，应注意转化思想的应用，即根据所给的真或(假)命题，转化为相应的数学问题进行求解．已知命题P ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题Q ：1－x ＋x 24<1，若命题P 是真命题，命题Q 是假命题，求实数x 的取值范围．【解】 由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1， 即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3. 由1－x ＋x 24<1，得x 2－4x <0，解得0<x <4.因为命题P 为真命题，命题Q 为假命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1或x ≥3x ≤0或x ≥4，解得x ≤－1或x ≥4.所以，满足条件的实数x 的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞).忽略大前提而致错将命题“a >0时，函数y ＝ax ＋b 的值随x 的增大而增大”写成“若p则q ”的形式，并写出其否命题．【错解】 “若p 则q ”的形式：若a >0，则函数y ＝ax ＋b 的值随x 的增大而增大； 否命题：若a ≤0，则函数y ＝ax ＋b 的值随x 的不增大而不增大．【错因分析】 原命题有两个条件：“a >0”和“x 增大”，其中“a >0”是大前提，在写原命题、逆命题、否命题、逆否命题时，都要把“a >0”置于“若”字的前面，把“x 增大”作为原命题的条件．错解中对否命题的写法，把“a >0”和“x 增大”都否定了，从而改变了一次函数的性质，特别是当a ＝0时，便失去了研究“增”与“不增”的意义，应在不改变函数性质的前提下完成解答．【防范措施】 (1)有大前提的命题，改写成“若p 则q ”的形式时，要注意其书写格式为“大前提，若p 则q ”，而不能为“若大前提且p ，则q ”或“若大前提或p ，则q ”．(2)对于含有大前提的命题，在写其他三种命题时，应保持大前提不变．【正解】 “若p 则q ”的形式：当a >0时，若x 增大，则函数y ＝ax ＋b 的值也随着增大；否命题：当a >0时，若x 不增大，则函数y ＝ax ＋b 的值也不增大．1．已知原命题，写出它的逆命题、否命题及逆否命题是本节的重点内容，求解本类题目时，首先应将原命题改写为“若p则q”的形式，弄清条件与结论，并注意命题的大前提与条件的关系．2．四种命题的真假性判断，由于互为逆否命题的两个命题同真假，因此只需判断两个互否命题的真假性即可．1．下列语句是命题的是________． (1)若a >b ，则a 2>b 2； (2)a 2>b 2；(3)方程x 2－x －1＝0的近似根； (4)方程x 2－x －1＝0有根吗？【解析】 (2)、(3)无法判断真假；(4)是疑问句，不是陈述句，不能判断真假，故(2)、(3)、(4)不是命题．【答案】 (1)2．(2013·肇庆高二检测)命题“若a >－3，则a >－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．【解析】 原命题与逆否命题为真命题，逆命题及否命题为假命题． 【答案】 23．(2012·湖南高考改编)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是________．①若α≠π4，则tan α≠1；②若α＝π4，则tan α≠1；③若tan α≠1，则α≠π4；④若tan α≠1，则α＝π4.【解析】 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的条件是“α＝π4”，结论是“tan α＝1”，故其逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．【答案】 ③4．写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假． (1)若|a |＝|b |，则a ＝b ； (2)若x ＜0，则x 2＞0.【解】 (1)逆命题：若a ＝b ，则|a |＝|b |，它为真命题； 否命题：若|a |≠|b |，则a ≠b ，它为真命题； 逆否命题：若a ≠b ，则|a |≠|b |，它为假命题． (2)逆命题：若x 2＞0，则x ＜0，它为假命题； 否命题：若x ≥0，则x 2≤0，它为假命题；逆否命题：若x2≤0，则x≥0，它为真命题.一、填空题1．下列命题：①若xy＝1，则x、y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④实数的平方是非负数．其中真命题的序号是________．【解析】①④均正确，②③均错误．【答案】①④2．(2013·漳州高二检测)命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是________．【解析】条件：x2<1，结论：－1<x<1，交换条件结论的位置并全否定可得．【答案】若x≤－1或x≥1，则x2≥13．“若x≠1，则x2－1≠0”的逆否命题为________命题(填“真”“假”)．【解析】逆否命题为：若x2－1＝0则x＝1，显然为假命题．【答案】假4．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是________．【解析】逆命题的条件和结论是它的原命题的结论和条件．【答案】若|a|＝|b|，则a＝－b5．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________．【解析】原命题的条件是“a＋b＋c＝3”，结论是“a2＋b2＋c2≥3”，所以否命题是“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”．【答案】若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<36．有下列四个命题：①“已知函数y＝f(x)，x∈D，若D关于原点对称，则函数y＝f(x)，x∈D为奇函数”的逆命题；②“对应边平行的两角相等”的否命题；③“若a≠0，则方程ax＋b＝0有实根”的逆否命题；④“若A∪B＝B，则B≠A”的逆否命题．其中的真命题是________．【解析】①的逆命题为：若y＝f(x)，x∈D为奇函数，则D关于原点对称，为真命题．②的否命题为：若两个角的对应边不平行，则两角不相等，为假命题．③的逆否命题为：若ax＋b＝0无实根，则a＝0，为真命题．④的逆否命题为：若B＝A，则A∪B≠B，为假命题．【答案】①③7．命题“若a，b是奇数，则a＋b是偶数”以及它的逆命题、否命题、逆否命题，这四个命题中，真命题个数为________．【解析】因为原命题是真命题，而逆命题“若a＋b是偶数，则a，b都是奇数”是假命题，所以逆否命题是真命题，否命题是假命题，所以，真命题的个数是2.【答案】 28．(2013·杭州高二检测)把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．若函数f(x)＝log2x的图象与g(x)的图象关于________对称，则函数g(x)＝________.(注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形)．【解析】可考虑关于x轴、y轴、直线y＝x、原点对称等几种情形之一．【答案】(1)x轴，－log2x；(2)y轴，log2(－x)；(3)直线y＝x,2x；(4)原点，－log2(－x)二、解答题9．指出下列命题中的条件p和结论q，并判断命题的真假：(1)若x＋y是有理数，则x，y都是有理数；(2)如果一个函数的图象是一条直线，那么这个函数为一次函数；(3)函数y＝2x＋1为增函数．【解】(1)条件p：x＋y是有理数，结论q：x，y都是有理数，是假命题．(2)条件p：一个函数的图象是一条直线，结论q：这个函数为一次函数，是假命题．(3)将命题“函数y＝2x＋1为增函数”改写为“若p则q”的形式为“若一个函数为y ＝2x＋1，则这个函数为增函数”．则条件p：一个函数为y＝2x＋1，结论q：这个函数为增函数，是真命题．10．分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假：(1)若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等；(2)奇函数的图象关于原点对称；(3)已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.【解】(1)逆命题：若一个三角形的两个角相等，则这个三角形的两条边相等，是真命题．否命题：若一个三角形的两条边不相等，则这个三角形的两个角不相等，是真命题．逆否命题：若一个三角形的两个角不相等，则这个三角形的两条边不相等，是真命题．(2)原命题：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象关于原点对称，是真命题．逆命题：若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数，是真命题．否命题：若一个函数不是奇函数，则这个函数的图象关于原点不对称，是真命题．逆否命题：若一个函数的图象关于原点不对称，则这个函数不是奇函数，是真命题．(3)逆命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d，是假命题．否命题：已知a，b，c，d是实数，若a与b、c与d不都相等，则a＋c≠b＋d，是假命题．逆否命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a与b、c与d不都相等，是真命题．11．判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．【解】原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a ＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集”．判断其真假如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.因为a<1，所以4a－7<0，即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象与x轴无交点，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．故原命题的逆否命题为真命题.(教师用书独具)主人邀请张三、李四、王五三人吃饭聊天，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能来了，”主人听了随口说了句：“你看看，该来的没有来，”张三听了，脸色一沉，起来一声不吭地走了，主人愣了片刻，又道了句：“哎哟，不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去．请你用逻辑与命题的原理解释二人离去的原因．【思路探究】利用主人说的两个命题的逆否命题来说明原因．【自主解答】张三走的原因：“该来的没有来”的逆否命题是“来了不该来的”，张三觉得自己是不该来的．李四走的原因：“不该走的又走了”的逆否命题是“该走的没有走”，李四觉得自己是应该走的．1．这是一个老笑话，是说主人不会说话，不过在这个故事中却蕴含着逻辑思想，通过这样的题目，可以激发同学们学习数学的兴趣．2．利用逆否命题的等价性还可以证明数学命题即反证法．证明：如果p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2.【证明】 该命题的逆否命题为：若p ＋q >2，则p 2＋q 2≠2.p 2＋q 2＝12[(p ＋q )2＋(p －q )2]≥12(p ＋q )2.∵p ＋q >2，∴(p ＋q )2>4，∴p 2＋q 2>2. 即p ＋q >2时，p 2＋q 2≠2成立． ∴如果p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2.1.1.2 充分条件和必要条件(教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能正确理解充分条件、必要条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件． 2．过程与方法通过对充分条件、必要条件的概念的理解与应用，培养学生的分析、判断和归纳的逻辑思维能力．3．情感、态度与价值观通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及良好的思维品质，在练习过程中进行辨证唯物主义思想教育．●重点难点重点：理解充要条件的意义，掌握命题条件的充要性判断．难点：充分条件、必要条件、充要条件的证明与探究．教学时，应以回顾命题的结构入手，结合具体的实例，归纳出必要条件、充分条件、充要条件的定义，并将理论应用于实践，通过适当的例题及练习，掌握判定条件充要性的方法，强调利用推出符号得出条件之间的充要关系，在此基础上进一步探讨充分条件、必要条件、充要条件的证明与探究方法，突出教学的重点，化解教学的难点．(教师用书独具)●教学建议本节课是四种命题的延伸和深化，首先应以上节课学习的命题知识为基础，进行理论铺垫，通过具体的命题，得出充分条件、必要条件、充要条件的定义，进而探究充要性的判断方法，以及充分条件、必要条件、充要条件的探究方法，培养学生发散性思维能力．在学习的过程中，要多举实例，类型要全，设计知识面要广泛，使学生利用新的逻辑思维方式理解以前各章节学习的概念、定理及性质．●教学流程回顾提问四种命题的构成、真假关系，举例回答．⇒通过具体实例抽象出充分条件、必要条件的定义，归纳出充分条件、必要条件的判定方法．⇒通过具体实例抽象出充要条件的定义，归纳出充要条件的判定方法，进而总结条件关系的分类，辨析充分条件与充要条件的关系．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握条件充要性的判断方法及步骤，并提醒学生注意判别时的常犯错误．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握多个命题间充要关系的判断方法，即用推出符号画出多个命题间的关系，找出通路，并且注意是否可逆．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握命题的条件充要性的应用，即由它们的充要性求字母参数的取值范围．⇒通过易错易误辨析，体会探求充分条件、必要条件、充要条件时不要把题意弄反，充分条件与必要条件不可颠倒．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力．”与“前面我们讨论了“若p则q”形式的命题，其中有的命题为真命题，有的命题为假命题．1．若x>a2＋b2，能推出x>2ab吗？【提示】能．2．若ab＝0，能推出a＝0吗？【提示】不能．q”为真，记作“p⇒q”；“若p则q”为假，记作“pq”．一般地，命题“若p则【问题导思】判断命题“若x＝1，则x2－4x＋3＝0”中条件和结论的关系，并请你从集合的角度来解释．【提示】“x＝1”是“x2－4x＋3＝0”的充分条件，“x2－4x＋3＝0”是“x＝1”的必要条件．两个条件“x＝1”和“x2－4x＋3＝0”都是变量的取值，和集合有关．将“x＝1”对应集合记作A，“x2－4x＋3＝0”对应集合记作B.显然A B.1．一般地，如果“p⇒q”，那么称p是q的充分条件，同时称q 是p的必要条件；如果“p⇒q”，且“q⇒p”，那么称p是q的充分必要条件，简记为p是q的充要条件，记作p⇔q.2．如果“p⇒q”，且“q p”，那么称p是q的充分不必要条件．3．如果“p q”，且“q⇒p”，那么称p是q的必要不充分条件．4．如果“pD⇒/q”，且“qD⇒/p”，那么称p是q的既不充分又不必要条件.指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”和“既不充分又不必要条件”中选出一种)：(1)p：λa＝0，q：λ＝0或a＝0(其中，λ是实数，a是向量)；(2)p：x＝a，q：|x|＝|a|；(3)p：四边形是矩形，q：四边形是正方形；(4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．【思路探究】结合充要条件定义结论判断p⇒q？判断q⇒p?【自主解答】(1)因为λa＝0⇔λ＝0或a＝0，所以p是q的充要条件．(2)因为x＝a⇒|x|＝|a|，|x|＝|a| x＝a，所以p是q的充分不必要条件．(3)因为四边形是正方形⇒四边形是矩形，四边形是矩形四边形是正方形，所以p 是q的必要不充分条件．(4)因为四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等，所以p是q的既不充分又不必要条件．1．判断p是q的充分条件还是必要条件，即对命题“若p则q”“若q则p”进行真假判断，即确定p与q之间有怎样的推式成立，注意命题的真假对应的推式．2．判断p是q的什么条件，不能只看p⇒q是否成立，还要检验q⇒p是否成立．下列各组命题中，p是q的什么条件？(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；(2)p：△ABC中有两个角相等，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：a2＋b2>2ab，q：|a＋b|<|a|＋|b|.【解】(1)因为能被6整除的数一定能被3整除，所以p⇒q，但能被3整除的数不一定能被6整除，如9，所以q p，所以p是q的充分不必要条件．(2)因为三角形中若有两个角相等，则一定是等腰三角形．反之，等腰三角形中一定有两个角相等，所以p⇔q，即p是q的充要条件．(3)因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2>0，所以a≠b.而|a＋b|<|a|＋|b|必须满足a，b异号，即p q，同时q⇒p，所以p是q的必要不充分条件．的探求若p是r的充分不必要条件，r是q的必要条件，r又是s的充要条件，q是s的必要条件，则s是p的什么条件？【思路探究】题设中给出的信息较多，而且还有一些干扰信息，因此要想从中找出s 与p的关系并不容易，可考虑将文字语言翻译成符号语言，使它们之间的关系一目了然，便于找到答案．【自主解答】p，q，r，s之间的关系如图所示，由图可知p⇒s，但s p，故s 是p的必要不充分条件．1．当题目中涉及到多个命题时，判断其充要性时，一般可采用“⇒”链接成图，寻求“通路”．2．用图形来反映条件之间的关系有三个地方易出错：(1)翻译不准确，(2)标注箭头有误，(3)读图错误．因此解决此类问题时，一定要细心，避免弄巧成拙．如果p 是q 的必要条件，r 是q 的充分不必要条件，那么下列说法正确的是________． ①r 是p 的充分不必要条件； ②r 是p 的必要不充分条件； ③r 是p 的充要条件；④r 是p 的既不充分又不必要条件． 【解析】 由题意可得，故r 是p 的充分不必要条件．【答案】 ①的应用已知条件p ：{x |x <1－a 5或x >1＋a 5(a ≥0)}，条件q ：12x 2－3x ＋1>0，试选取适当的实数a 的值，使p 是q 的充分条件．【思路探究】p ⇒q →转化为集合关系→利用数轴→求a 范围【自主解答】 由已知，p 是q 成立的充分条件，则集合p 是集合q 的子集． ∵2x 2－3x ＋1>0，∴q ：{x |x <12或x >1}．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 5≤12，a ＋15≥1，∴a ≥4.∴a 的取值范围是[4，＋∞)．1．由条件的充要性求字母参数的取值范围，一般转化为集合间的包含关系列等式(或不等式)．2．作题时，要审清题意，如本例中，p 是q 的充分条件，有两层含义，即充要和充分不必要，不要片面地当成后者，而列错不等式⎩⎪⎨⎪⎧1－a 5<12a ＋15>1.(2013·泉州高二检测)已知p ：x 2－8x －20>0，q ：x 2－2x ＋1－m 2>0(m >0)，若q 是p 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．【解】 由x 2－8x －20>0，得x >10或x <－2. 由x 2－2x ＋1－m 2>0，得x >1＋m 或x <1－m (m >0)． ∴p ：{x |x >10或x <－2}，q ：{x |x >1＋m 或x <1－m }． 又∵q 是p 的充分不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1＋m ≥10， 解得m ≥9.1－m ≤－2，混淆充分条件与必要条件致误使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件是________．①x ≥0；②x <0或x >2；③x ∈{－1,3,5}；④x ≤－12或x ≥3.【错解】 由2x 2－5x －3≥0解得x ≥3或x ≤－12，因为集合{x |x ≥3或x ≤－12x |x >2或x <0}，所以“x <0或x >2”是使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件．故填②.【答案】 ②【错因分析】 对于两个条件A ，B ，如果A ⇒B 成立，则A 是B 的充分条件(B 的充分条件是A )，B 是A 的必要条件；如果B ⇒A 成立，则A 是B 的必要条件，B 是A 的充分条件；如果A ⇔B ，则A ，B 互为充要条件．解题时最容易出错的原因就是颠倒了充分性和必要性．【防范措施】 在解答问题时务必看清设问方式，明确哪个是条件，哪个是结论，然后根据充分、必要条件的概念作出准确的判断．。
数学选修2-1苏教版：第1章 常用逻辑用语 章末复习
章末复习学习目标 1.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系.2.理解充分条件、必要条件的概念，掌握充分条件、必要条件的判定方法.3.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、存在性命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定．1．命题及其关系(1)判断一个语句是否为命题，关键是：①为陈述句；②能判断真假．(2)互为逆否命题的两个命题的真假性相同．(3)四种命题之间的关系如图所示．2．充分条件、必要条件和充要条件(1)定义若p则q为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p ⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，则称p是q的充分必要条件，简称充要条件．(2)特征充分条件与必要条件具有以下两个特征：①对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件；②传递性：若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的充分条件．即若p⇒q，q ⇒r，则p⇒r.必要条件和充分条件一样具有传递性，但若p是q的充分条件，q是r的必要条件，则p与r的关系不能确定．3．简单的逻辑联结词与量词(1)常见的逻辑联结词有“且”、“或”、“非”．(2)短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中通常称为全称量词，通常用符号“∀x ”表示“对任意x ”．(3)短语“有一个”“有些”“存在一个”“至少一个”等表示部分的量词在逻辑中通常称为存在量词，通常用符号“∃x ”表示“存在x ”．(4)含有全称量词的命题叫做全称命题，含有存在量词的命题叫做存在性命题．1．已知命题p ：∀x ＞0，x 3＞0，那么綈p ：∃x ＞0，x 3≤0.(√) 2．命题“若x ＞0且y ＞0，则x ＋y ＞0”的否命题是假命题．(√) 3．“φ＝π2”是“y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充要条件．(×)4．“若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题是真命题．(×)类型一 命题及其关系 例1 (1)有下列命题：①“若x ＋y >0，则x >0且y >0”的否命题； ②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若q ≤1，则x 2＋2x ＋q ＝0有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”． 其中是真命题的是________．(填序号) 考点 四种命题的真假判断 题点 利用四种命题的关系判断真假 答案 ①③(2)设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是________．(填序号) ①p ∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧(綈q )；④p ∨(綈q )． 考点 “p ∨q ”形式的命题 题点 判断“p ∨q ”形式命题的真假 答案 ①解析 由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当b ≠0时，a ，c 一定共线，故命题q 是真命题．故①为真命题．反思与感悟 (1)互为逆否命题的两命题真假性相同．(2)“p 与綈p ”一真一假，“p ∨q ”一真即真，“p ∧q ”一假就假．跟踪训练1 (1)命题“若x 2>1，则x <－1或x >1”的逆否命题是________． 考点 四种命题题点 四种命题概念的理解 答案 若－1≤x ≤1，则x 2≤1(2)设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是________．(填序号) ①p 为真；②q 为真；③p ∧q 为假；④p ∨q 为真． 考点 “p ∧q ”形式的命题 题点 判断“p ∧q ”形式命题的真假 答案 ③解析 由题意知p 是假命题，q 是假命题，因此只有③正确． 类型二 充分条件与必要条件例2 已知p ：x －5x －3≥2，q ：x 2－ax ≤x －a ，若綈p 是綈q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解 由p 得1≤x <3，∵q ：x 2－ax ≤x －a ，∴x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0， 即(x －1)(x －a )≤0， ①当a <1时，a ≤x ≤1； ②当a ＝1时，x ＝1； ③当a >1时，1≤x ≤a .∵綈p 是綈q 的充分条件，∴q 是p 的充分条件． 设q 对应集合A ，p 对应集合B ，则A ⊆B ， 当a <1时，A ⊈B ，不合题意； 当a ＝1时，A ⊆B ，符合题意；当a >1时，1≤x ≤a ，要使A ⊆B ，则1<a <3. 综上所述，a 的取值范围为[1,3)．反思与感悟 若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，即q 的充分条件是p ，p 的必要条件是q .如果将“必要条件”理解为“必然结果”，则可认为p 的必然结果是q ，q 是p 的必然结果．则p ⇏q 易表述为以下几种说法： p 是q 的不充分条件，q 的不充分条件是p ；q 是p 的不必要条件，p 的不必要条件是q .跟踪训练2 已知命题p ：(4x －3)2≤1，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解 由(4x －3)2≤1，得－1≤4x －3≤1，即12≤x ≤1.由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得(x －a )(x －a －1)≤0，即a ≤x ≤a ＋1. 因为p 是q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1，解得0≤a ≤12.即实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，12 类型三 等价转化思想的应用例3 已知c >0且c ≠1，设p ：函数y ＝log c x 在(0，＋∞)上是减少的；q ：不等式x ＋|x －2c |>1的解集为R .如果p 和q 有且仅有一个为真命题，求c 的取值范围． 解 函数y ＝log c x 在(0，＋∞)上是减少的⇔0<c <1. 不等式x ＋|x －2c |>1的解集为R ⇔函数y ＝x ＋|x －2c |在R 上恒大于1.∵x ＋|x －2c |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2c ，x ≥2c ，2c ，x <2c ，∴函数y ＝x ＋|x －2c |在R 上的最小值为2c ， ∴2c >1且c ≠1，得c >12且c ≠1.如果p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧0<c <1，0<c ≤12，解得0<c ≤12； 如果q 真p 假，则⎩⎪⎨⎪⎧c ＞1，c >12且c ≠1，解得c ＞1.∴c 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，12∪(1，＋∞)． 反思与感悟 等价转化思想是包含在化归思想中的一种比较具体的数学思想，本章主要体现在四种命题间的相互转化与集合之间的等价转化、原命题与其逆否命题之间的等价转化等，即以充要条件为基础，把同一种数学意义的内容从一种数学语言形式等价转化为另一种数学语言形式，从而使复杂问题简单化、具体化．跟踪训练3 已知命题p ：(x ＋1)(x －5)≤0，命题q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． (1)若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；(2)若m ＝5，“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数x 的取值范围．解 (1)由命题p ：(x ＋1)(x －5)≤0，解得－1≤x ≤5. 命题q ：1－m ≤x <1＋m (m >0)．∵p 是q 的充分条件，∴[－1,5]⊆[1－m,1＋m ]，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－1，5≤1＋m ，解得m ≥4， 则实数m 的取值范围为[4，＋∞)． (2)∵m ＝5，∴命题q ：－4≤x ≤6. ∵“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题， ∴命题p ，q 为一真一假．当p 真q 假时，可得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤5，x <－4或x ＞6，无解；当q 真p 假时，可得⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >5，－4≤x ≤6，解得－4≤x <－1或5<x ≤6.因此x 的取值范围是[－4，－1)∪(5,6]． 类型四 分类讨论思想的应用例4 命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围． 解 设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0，∴－2<a <2. 又∵函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数， ∴3－2a >1，∴a <1.又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a ≥1，∴1≤a <2；②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a <1，∴a ≤－2.综上可知，所求实数a 的取值范围 为(－∞，－2]∪[1,2)．反思与感悟 分类讨论思想是中学数学中常用的数学思想之一，利用分类讨论思想解答问题已成为高考中考查学生知识和能力的热点．这是因为：其一，分类讨论问题一般都覆盖较多的知识点，有利于对学生知识面的考查；其二，解分类讨论问题需要有一定的分析能力，一定的分类讨论思想与技巧，因此有利于对能力的考查；其三，分类讨论问题常与实际问题相联系．解决分类讨论问题的实质是：整体问题化为部分来解决，化成部分后，可以增加题设条件，这也是解分类讨论问题总的指导思想．跟踪训练4 已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)上单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，如果p ∨q 为真，p ∧q 为假，求a 的取值范围． 解 方法一 由题意知，p 和q 有且只有一个为真．p 为真时，0＜a ＜1；∵y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴有两个不同交点，∴Δ＝(2a －3)2－4＞0，得a ＜12或a ＞52，即q 为真时，0<a ＜12或a ＞52. (1)当p 为真，且q 为假时，a ∈(0,1)∩⎝⎛⎭⎫⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎦⎤1，52，即a ∈⎣⎡⎭⎫12，1. (2)当p 为假，且q 为真时，a ∈(1，＋∞)∩⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫0，12∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞，即a ∈⎝⎛⎭⎫52，＋∞. 综上，a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞. 方法二 ∵A ＝{a |p (a )}＝{a |0<a <1}，B ＝{a |q (a )}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪0<a <12或a >52， ∴p 和q 有且只有一个为真⇔a ∈A ∪B 且a ∉A ∩B ， 故a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞.1．设命题p ：∃n ∈N *，n 2>2n ，则綈p 为_______________． 答案 ∀n ∈N *，n 2≤2n解析 将命题p 的量词“∃”改为“∀”，“n 2>2n ”改为“n 2≤2n ”．2．已知命题p ：|x ＋1|>2，命题q ：x >a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________． 答案 [1，＋∞)解析 綈p 是綈q 的充分不必要条件的等价命题为q 是p 的充分不必要条件，即q ⇒p ，而p ⇏q ，命题p 化简为x >1或x <－3，所以当a ≥1时，q ⇒p . 3．给出以下四个判断：①若“p 或q ”为真命题，则p ，q 均为真命题；②命题“若x ≥4且y ≥2，则x ＋y ≥6”的逆否命题为“若x ＋y ＜6，则x ＜4且y ＜2”；③若x ≠300°，则cos x ≠12；④命题“∃x ∈R ，e x ≤0”是假命题． 其中是真命题的是________．(填序号) 考点 命题真假性的判断 题点 命题的真假性判断 答案 ④解析 若“p 或q ”为真命题，则p ，q 至少有一个为真命题，故①错误；命题“若x ≥4且y ≥2，则x ＋y ≥6”的逆否命题为“若x ＋y ＜6，则x ＜4或y ＜2”，故②错误；若x ≠300°，则cos x ≠12，错误，如x ＝60°≠300°，但cos 60°＝12；由指数函数的值域可知，命题“∃x ∈R ，e x ≤0”是假命题．4．对任意x ∈[－1,2]，x 2－a ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________． 考点 全称命题的真假性判断 题点 恒成立求参数的取值范围 答案 (－∞，0]解析 由x 2－a ≥0，得a ≤x 2，故a ≤(x 2)min ，得a ≤0.5．分别指出下列各组命题的“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”形式的新命题的真假． (1)p ：2>2，q ：2＝2；(2)p ：∅是{0}的真子集，q ：0∈∅；(3)p ：函数y ＝x 2＋2x ＋5的图象与x 轴有公共点，q ：方程x 2＋2x ＋5＝0没有实数根． 考点 “或”“且”“非”的综合问题 题点 判断复合命题的真假解 (1)∵p ：2>2，是假命题，q ：2＝2，是真命题， ∴命题p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，綈p 是真命题． (2)∵p ：∅是{0}的真子集，是真命题，q ：0∈∅，是假命题， ∴命题p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，綈p 是假命题． (3)∵p ：函数y ＝x 2＋2x ＋5的图象与x 轴有公共点，是假命题， q ：方程x 2＋2x ＋5＝0没有实数根，是真命题，∴命题p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，綈p 是真命题．1．判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义，应根据命题中所出现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判断．2．判断命题真假的步骤：确定复合命题的构成形式⇒判断其中简单命题的真假⇒根据真值表判断复合命题的真假3．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断，如下表：4.含有一个量词的命题的否定：特别提醒：(1)全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．(2)命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念．对一个命题进行否定，就是要对其结论进行否定，而否命题是既否定条件又否定结论．一、填空题1．命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是________．答案∃x∈R，x2＝x解析全称命题的否定是存在性命题，所以“∀x∈R，x2≠x”的否定为“∃x∈R，x2＝x”．2．下列命题中的假命题是________．(填序号)①∀x∈R,2x－1>0；②∀x∈N*，(x－1)2>0；③∃x∈R，lg x<1；④∃x∈R，tan x＝2.答案②解析①中命题是全称命题，易知2x－1>0恒成立，故是真命题；②中命题是全称命题，当x＝1时，(x－1)2＝0，故是假命题；③中命题是存在性命题，当x＝1时，lg x＝0，故是真命题；④中命题是存在性命题，依据正切函数定义，可知是真命题．3．已知直线l1：ax＋y＝1和直线l2：9x＋ay＝1，则“a＋3＝0”是“l1∥l2”的________条件．答案充分不必要解析因为两直线平行，所以有a2－9＝0，解得a＝±3，当a＝±3时，显然两条直线平行，故“a＋3＝0”是“l1∥l2”的充分不必要条件．4．下列命题中，为真命题的全称命题是________．(填序号)①对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0；②菱形的两条对角线相等；③∃x，x2＝x；④对数函数在定义域上是单调函数．答案④解析①中含有全称量词“任意”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，是假命题；②④在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等；③是存在性命题，④正确．5．命题p：若ac＝b，则a，b，c成等比数列，则命题p的否命题是________命题．(填“真”“假”)答案假解析其原命题的否命题是：若ac≠b，则a，b，c不成等比数列．若b＝－ac，则b2＝ac，此时a，b，c也可以成等比数列，故为假命题．6．已知a，b为任意非零向量，有下列命题：①|a|＝|b|；②a2＝b2；③a2＝a·b.其中可以作为a＝b的必要不充分条件的是________．(填序号)答案①②③解析由a＝b可以推得①，②，③均成立，而由①，②或③都推不出a＝b.7．下列有关命题的叙述，①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题；②“x>5”是“x2－4x－5>0”的充分不必要条件；③命题p：∃x∈R，使得x2＋x－1<0，则綈p：∀x∈R，使得x2＋x－1≥0；④命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2－3x＋2≠0”．其中错误的个数为________．答案 2解析若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真，所以p∧q不一定为真，所以①错误；x2－4x－5>0得x>5或x<－1，所以“x>5”是“x2－4x－5>0”的充分不必要条件，②正确；根据存在性命题的否定是全称命题知③正确；“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x ≠1且x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”，所以④错误，所以错误命题的个数为2. 8．有下列命题：①垂直于同一条直线的两个平面互相平行； ②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；③若直线m ，n 与同一个平面所成的角相等，则m ，n 互相平行； ④若直线m ，n 是异面直线，则与m ，n 都相交的两条直线是异面直线． 其中假命题的个数是________． 答案 3解析 ①垂直于同一条直线的两个平面互相平行，正确； ②垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，错误；③若直线m ，n 与同一个平面所成的角相等，则m ，n 互相平行或相交或异面，错误； ④若直线m ，n 是异面直线，则与m ，n 都相交的两条直线是异面直线或相交直线，错误． 9．命题p ：若a >0，b >0，则ab ＝1是a ＋b ≥2的必要不充分条件，命题q ：函数y ＝log 2x －3x ＋2的定义域是(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则以下四个命题中正确的是________．(填序号) ①“p ∨q ”为假；②“p ∧q ”为真；③p 真q 假；④p 假q 真． 答案 ④解析 由命题p ：a >0，b >0，ab ＝1得a ＋b ≥2ab ＝2，所以p 为假命题； 命题q ：由x －3x ＋2>0得x <－2或x >3，所以q 为真命题．10．已知命题p ：若a ＝(1,2)与b ＝(－2，λ)共线，则λ＝－4；命题q ：任意k ∈R ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2－2y ＝0相交．则下面结论正确的是________．(填序号) ①(綈p )∨q 是真命题；②p ∧(綈q )是真命题；③p ∧q 是假命题；④p ∨q 是假命题． 答案 ①解析 命题p 为真，命题q ：圆心(0,1)到直线kx －y ＋1＝0的距离为d ＝0k 2＋1<1，命题q 是真命题．故(綈p )∨q 是真命题．11．定义f (x )＝{x }({x }表示不小于x 的最小整数)为“取上整函数”，例如{1.2}＝2，{4}＝4.“取上整函数”在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照“取上整函数”进行计费的．以下关于“取上整函数”的性质是真命题的序号是________．(填序号)①f (2x )＝2f (x )；②若f (x )＝f (y )，则x －y <1；③任意x ，y ∈R ，f (x ＋y )≤f (x )＋f (y )；④f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f (2x )； ⑤函数f (x )为奇函数．答案 ②③解析 根据新定义“取上整函数”的意义f (2x )＝2f (x )不一定成立，如x 取1.5；f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f (2x )不一定成立，如x 取0；函数f (x )不满足奇函数的关系，如f (1.6)＝2，f (－1.6)＝－1.故答案为②③.二、解答题12．对于任意实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 恒成立，求实数m 的取值范围．解 令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≥－2， 又∵∀x ∈R ，sin x ＋cos x >m 恒成立，∴只要m <－2即可．∴所求m 的取值范围是(－∞，－2)．13．已知命题p ：“存在a >0，使函数f (x )＝ax 2－4x 在(－∞，2]上单调递减”，命题q ：“存在a ∈R ，使∀x ∈R,16x 2－16(a －1)x ＋1≠0”．若命题“p ∧q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解 若p 为真，则对称轴x ＝－－42a ＝2a 在区间(－∞，2]的右侧，即2a≥2，∴0<a ≤1. 若q 为真，则方程16x 2－16(a －1)x ＋1＝0无实数根，∴Δ＝[－16(a －1)]2－4×16<0，∴12<a <32. ∵命题“p ∧q ”为真命题，∴命题p ，q 都为真，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a ≤1，12<a <32，∴12<a ≤1. 故实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤12，1.三、探究与拓展14．已知直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的________条件． 考点 充分、必要条件的概念及判断题点 充分不必要条件的判断答案 充分不必要解析 由直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，易知k ≠0，且圆心O 到直线l 的距离d ＝11＋k 2＜1，所以|AB |＝21－d 2＝21－11＋k 2 ＝2k 21＋k 2. 若k ＝1，则|AB |＝2，d ＝22， 所以△OAB 的面积为12×2×22＝12. 反过来，若△OAB 的面积为12， 则S ＝12×11＋k 2×2k 21＋k 2＝k 21＋k 2＝12， 解得k ＝±1.故“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分不必要条件．15．设命题p ：a ＞1；命题q ：不等式－3x ≤a 对一切正实数x 均成立．(1)若命题q 为真命题，求实数a 的取值范围；(2)若命题“p ∨q ”为真命题，且“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围． 解 (1)∵x ＞0，∴3x ＞1，∴－3x ＜－1，∵－3x ≤a ，∴a ≥－1，∴实数a 的取值范围是[－1，＋∞)．(2)由命题“p ∨q ”为真，且“p ∧q ”为假，得命题p ，q 一真一假．①当p 真q 假时，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，a ＜－1，无解； ②当p 假q 真时，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≥－1， 解得－1≤a ≤1，∴实数a 的取值范围是[－1,1]．。
【高中】高中数学苏教版选修21第1章常用逻辑用语2word学案
【关键字】高中1．2简单的逻辑联结词[学习目标] 1.了解联结词“且”“或”“非”的含义.2.会用联结词“且”“或”“非”联结或改写某些数学命题，并判断新命题的真假.3.通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假．[知识链接]1．观察三个命题：①5是10的约数；②5是15的约数；③5是10的约数且是15的约数，它们之间有什么关系？答：命题③是由命题①②用“且”联结得到的新命题，“且”与集合运算中交集的定义A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中“且”的意义相同，叫逻辑联结词，表示“并且”，“同时”的意思．2．观察三个命题：①3>2；②3＝2；③3≥2，它们之间有什么关系？答：命题③是由命题①②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题．3．观察下列两组命题，看它们之间有什么关系？(1)p：1是素数；q：1不是素数．(2)p：y＝tanx是周期函数；q：y＝tanx不是周期函数．答：两组命题中，命题q都是命题p的否定．[预习导引]1．逻辑联结词把两个命题联结成新命题的常用逻辑联结词有“或”、“且”、“非”．2．含有逻辑联结词的命题的真假p q 綈p p∨q p∧q要点一用逻辑联结词联结组成新命题例1 分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的新命题．(1)p：π是无理数，q：e不是无理数．(2)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等．(3)p：正△ABC三内角都相等，q：正△ABC有一个内角是直角．解(1)p∨q：π是无理数或e不是无理数．p∧q：π是无理数且e不是无理数．綈p：π不是无理数．(2)p∨q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等．p∧q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等．綈p：方程x2＋2x＋1＝0没有两个相等的实数根．(3)p∨q：正△ABC三内角都相等或有一个内角是直角；p∧q：正△ABC三内角都相等且有一个内角是直角；綈p：正△ABC三个内角不都相等．规律方法解决这类问题的关键是正确理解“或”“且”“非”的定义，用“或”“且”“非”联结p、q构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可把命题p、q中的条件或结论合并．跟踪演练1 分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式：(1)p：是无理数，q：大于1；(2)p：N⊆Z，q：{0}∈N；(3)p：x2＋1>x－4，q：x2＋1<x－4.解(1)“p∨q”：是无理数或大于1；“p∧q”：是无理数且大于1；“綈p”：不是无理数．(2)“p∨q”：N⊆Z或{0}∈N；“p∧q”：N⊆Z且{0}∈N；“綈p”：NZ.(3)“p∨q”：x2＋1≠x－4；“p∧q”：x2＋1>x－4且x2＋1<x－4；“綈p”：x2＋1≤x－4.要点二含逻辑联结词的命题的真假判断例2 指出下列命题的构成形式并判断真假： (1)不等式|x ＋2|≤0没有实数解； (2)－1是偶数或奇数； (3)属于集合Q ，也属于集合R ； (4)A(A ∪B)．解 (1)此命题是“綈p ”的形式，其中p ：不等式|x ＋2|≤0有实数解．因为x ＝－2是该不等式的一个解，所以命题p 为真命题，即綈p 为假命题．所以该命题为假命题．(2)此命题是“p ∨q ”的形式，其中p ：－1是偶数，q ：－1是奇数，因为命题p 为假命题，命题q 为真命题，所以“p ∨q ”为真命题，故该命题为真命题．(3)此命题为“p ∧q ”的形式，其中p ：2∈Q ，q ：2∈R ，因命题p 为假命题，命题q 为真命题，所以命题“p ∧q ”为假命题．故该命题为假命题． (4)此命题为“綈p ”的形式，其中p ：A ⊆(A ∪B )， 因为p 为真命题，所以綈p 为假命题， 故该命题为假命题．规律方法 理解简单复合命题，字面上有逻辑联结词当然简单，否则需寻找与其等价的词语、符号或式子．跟踪演练2 分别指出由下列各组命题构成的p ∨q 、p ∧q 、綈p 形式的命题的真假： (1)p ：2＋2＝5，q ：3>2；(2)p ：9是质数，q ：8是12的约数； (3)p ：∅{0}，q ：∅＝{0}．解 (1)p 假q 真，故p ∨q 为真；p ∧q 为假；綈p 为真． (2)p 假q 假，故p ∨q 为假；p ∧q 为假；綈p 为真． (3)p 真q 假，故p ∨q 为真；p ∧q 为假；綈p 为假． 要点三 逻辑联结词的应用例3 已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在x ∈(0，＋∞)内单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，如果p 和q 有且只有一个正确，求a 的取值范围． 解 对于命题p ，当0<a <1时，函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减；当a >1时，函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减．对于命题q ，曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点等价于(2a －3)2－4>0， 即0<a <12或a >52.方法一 (1)若p 正确且q 不正确，即函数y ＝log a (x ＋1)在x ∈(0，＋∞)内单调递减，曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴不交于不同的两点，因此a ∈(0,1)∩([12，1)∪(1，52])，即a ∈[12，1)．(2)若p 不正确且q 正确，即函数y ＝log a (x ＋1)在x ∈(0，＋∞)内不是单调递减，曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，因此a ∈(1，＋∞)∩[(0，12)∪(52，＋∞)]，即a ∈(52，＋∞)．综上，a 的取值范围为[12，1)∪(52，＋∞)．方法二 设A ＝{a |p (a )}＝(0,1)，B ＝{a |q (a )} ＝(0，12)∪(52，＋∞)．所以p 和q 有且只有一个正确⇔a ∈A ∪B 且a ∉A ∩B 故a 的取值范围为[12，1)∪(52，＋∞)．规律方法 解答这类问题，应先由每个简单命题为真，确定参数的取值范围，再由复合命题的真值，得参数所满足的条件，进而确定参数的取值范围．在综合参数的取值范围时，有时利用集合来处理，可以简化解题的过程．如本例的方法二，就较为简捷．跟踪演练3 命题p ：1是集合{x |x 2<a }中的元素；q ：2是集合{x |x 2<a }中的元素，则a 为何值时，“p ∨q ”为真？a 为何值时，“p ∧q ”为真？解 若p 为真，则1∈{x |x 2<a }，所以12<a ，即a >1；若q 为真，则2∈{x |x 2<a }，即a >4. 若“p ∨q ”为真，则a >1或a >4，即a >1； 若“p ∧q ”为真，则a >1且a >4，即a >4.1．命题p ：“x >0”是“x 2>0”的必要不充分条件，命题q ：△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的充要条件，则________．①p 真q 假 ②p ∧q 为真 ③p ∨q 为假 ④p 假q 真 答案 ④解析 命题p 假，命题q 真． 2．给出下列命题： ①2>1或1>3；②方程x 2－2x －4＝0的判别式大于或等于0； ③25是6或5的倍数；④集合A ∩B 是A 的子集，且是A ∪B 的子集． 其中真命题的个数为________． 答案 4解析 由于2>1是真命题，所以“2>1或1>3”是真命题；由于方程x 2－2x －4＝0的Δ＝4＋16>0，所以“方程x 2－2x －4＝0的判别式大于或等于0”是真命题；由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；由于A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆A ∪B ，所以命题“集合A ∩B 是A 的子集，且是A ∪B 的子集”是真命题．3．“p 是真命题”是“p ∧q 为真命题”的________条件． 答案 必要不充分解析 “p 是真命题”则p ∧q 不一定真，“p ∧q 为真命题”则“p 是真命题”一定真． 4．设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是________．①p 为真 ②綈p 为假 ③p ∧q 为假 ④p ∨q 为真 答案 ③解析 函数y ＝sin2x 的最小正周期为2π2＝π，故p 为假命题；x ＝π2不是y ＝cos x 的对称轴，命题q 为假命题，故p ∧q 为假．1.从集合的角度理解“且”“或”“非”对联结词“且”“或”“非”的含义的理解可类比集合中“交”“并”“补”的含义理解：设A ＝{x |x 满足命题p }，B ＝{x |x 满足命题q }，U 为全集，则p ∧q 对应于A ∩B ，p ∨q 对应于A ∪B ，綈p 对应于∁U A .2．对含有逻辑联结词的命题真假性的判断 当p 、q 都为真时，p ∧q 才为真； 当p 、q 有一个为真时，p ∨q 就为真； 綈p 与p 的真假性相反且一定有一个为真．一、基础达标1．命题“2011≥2010”使用的逻辑联结词是______． 答案 或解析 “2011≥2010”的含义是“2011>2010或2011＝2010”，是一个含逻辑联结词“或”的命题．2．下列命题中，是真命题的是________(填序号)． ①{∅}是空集；②{x ∈N ||x －1|<3}是无限集；③空集是任何集合的真子集；④x2－5x＝0的根是自然数．答案④解析{∅}是以∅为元素的集合；{x∈N||x－1|<3}＝{0,1,2,3}；空集是任何非空集合的真子集．x2－5x＝0的根是0,5.3．给定两个命题p，q.若非p是q的必要而不充分条件，则p是非p的________条件．答案充分而不必要解析q⇒非p，非p q⇔p⇒非q，非q p.4．已知命题p：2是偶数，命题q：2是3的约数，则下列命题：①p∧q②p∨q③綈p④(綈p)∧(綈q)其中真命题是______(填序号)．答案②解析因为p为真命题，q为假命题，所以“p∨q”“綈q”为真命题，“p∧q”“綈p”是假命题，故“(綈p)∧(綈q)”为假命题，故填②.5．对于命题p和q，若p∧q为真命题，则下列四个命题：①p∨綈q是真命题；②p∧綈q是真命题；③綈p∧綈q是假命题；④綈p∨q是假命题．其中真命题是________(填序号)．答案①③解析若p∧q为真命题，则p和q都是真命题，所以①和③都是真命题．6．“a≥5且b≥2”的否定是________________．答案a<5或b<2解析本题考查命题的否定，“p∨q”的否定是“綈p∧綈q”，“p∧q”的否定是“綈p∨綈q”．7．分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”，“綈p”形式的新命题，并判断其真假．(1)p：3是9的约数，q：3是18的约数．(2)p：菱形的对角线一定相等．q：菱形的对角线互相垂直．(3)p：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同．q：方程x2＋x－1＝0的两实根绝对值相等．(4)p：π是有理数，q：π是无理数．解(1)p∨q：3是9的约数或是18的约数，真命题；p∧q：3是9的约数且是18的约数，真命题；綈p：3不是9的约数，假命题．(2)p∨q：菱形的对角线一定相等或互相垂直，真命题；p ∧q ：菱形的对角线一定相等且互相垂直，假命题； 綈p ：菱形的对角线不一定相等，真命题．(3)p ∨q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根符号相同或绝对值相等，假命题； p ∧q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根符号相同且绝对值相等，假命题； 綈p ：方程x 2＋x －1＝0的两实根符号不同，真命题． (4)p ∨q ：π是有理数或是无理数，真命题； p ∧q ：π是有理数且是无理数，假命题； 綈p ：π不是有理数，真命题． 二、能力提升8．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数， p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数．则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题有______． 答案 q 1，q 4解析 p 1是真命题，则綈p 1为假命题；p 2是假命题，则綈p 2为真命题；∴q 1：p 1∨p 2是真命题，q 2：p 1∧p 2是假命题．∴q 3：(綈p 1)∨p 2为假命题，q 4：p 1∧(綈p 2)为真命题． ∴真命题是q 1，q 4.9．设有两个命题：p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，q ：函数y ＝－(5－2a )x 在R 上是减函数，若“p ∧q ”为真命题，则实数a 的取值范围是______． 答案 －2<a <2解析 因为“p ∧q ”为真命题，所以p ，q 均为真命题，故⎩⎪⎨⎪⎧(2a )2－16<0，5－2a >1，解得－2<a <2.10．已知a ＞0且a ≠1，设p ：y ＝a x 是R 上的单调递减函数；q ：函数g (x )＝lg(2ax 2＋2x ＋1)的值域为R ；如果“p ∧q ”为假命题，“p ∨q ”为真命题，则a 的取值范围是________． 答案 (12，1)解析 由题意知，p ：0＜a ＜1，q ：0＜a ≤12，当p 真q 假时，得12＜a ＜1；当p 假q 真时，无解．11．写出下列各命题的否定形式及否命题： (1)面积相等的两个三角形是全等三角形； (2)若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0.解 (1)否定形式：面积相等的两个三角形不一定是全等三角形． 否命题：面积不相等的两个三角形不一定是全等三角形． (2)否定形式：若xy ＝0，则x ≠0且y ≠0.否命题：若xy ≠0，则x ≠0且y ≠0.12．设有两个命题．命题p ：不等式x 2－(a ＋1)x ＋1≤0的解集是∅；命题q ：函数f (x )＝(a ＋1)x 在定义域内是增函数．如果p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求a 的取值范围． 解 对于p ：因为不等式x 2－(a ＋1)x ＋1≤0的解集是∅，所以Δ＝[－(a ＋1)]2－4<0. 解不等式得：－3<a <1.对于q ：f (x )＝(a ＋1)x 在定义域内是增函数， 则有a ＋1>1，所以a >0.又p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题， 所以p 、q 必是一真一假． 当p 真q 假时有－3<a ≤0， 当p 假q 真时有a ≥1.综上所述，a 的取值范围为(－3,0]∪[1，＋∞)． 三、探究与创新13．已知命题p ：方程a 2x 2＋ax －2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0，若命题“p ∨q ”是假命题，求实数a 的取值范围． 解 由a 2x 2＋ax －2＝0，得(ax ＋2)(ax －1)＝0. 显然a ≠0，∴x ＝－2a 或x ＝1a .若命题p 为真，∵x ∈[－1,1]，故⎪⎪⎪⎪－2a ≤1或⎪⎪⎪⎪1a ≤1，∴|a |≥1. 若命题q 为真，即只有一个实数x 满足x 2＋2ax ＋2a ≤0， 即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点． ∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.∵命题“p ∨q ”为假命题，∴p ，q 均为假命题． ∴a 的取值范围是{a |－1<a <0或0<a <1}．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
高中数学第1章常用逻辑用语章末复习提升学案苏教版选修2-1(2021年整理)
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第1章常用逻辑用语1．要注意全称命题、存在性命题的自然语言之间的转换．2．正确理解“或"的意义，日常用语中的“或”有两类用法：其一是“不可兼”的“或"；其二是“可兼”的“或”，我们这里仅研究“可兼”的“或”．3．有的命题中省略了“且"“或”,要正确区分．4．常用“都是”表示全称肯定,它的存在性否定为“不都是”,两者互为否定;用“都不是”表示全称否定,它的存在性肯定可用“至少有一个是”来表示．5．在判定充分条件、必要条件时，要注意既要看由p能否推出q，又要看由q能否推出p,不能顾此失彼．证明题一般是要求就充要条件进行论证，证明时要分两个方面,防止将充分条件和必要条件的证明弄混．6．否命题与命题的否定的区别．对于命题“若p，则q",其否命题形式为“若非p，则非q”，其命题的否定为“若p，则非q”，即否命题是将条件、结论同时否定,而命题的否定是只否定结论．有时一个命题的叙述方式是简略式,此时应先分清条件p，结论q,改写成“若p，则q”的形式再判断．1．转化与化归思想将所研究的对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想方法称之为转化与化归思想．一般将有待解决的问题进行转化,使之成为大家熟悉的或容易解决的问题模式．本章主要体现原命题与其逆否命题之间的转化、逻辑语言与一般数学语言的转化等．通过转化，使复杂问题简单化,抽象问题具体化．例1 判断下列命题的真假．(1）对角线不相等的四边形不是等腰梯形；（2）若x∉A∩B，则x∉A且x∉B；（3）若x≠y或x≠－y，则｜x｜≠|y|.解(1)该命题的逆否命题：“若一个四边形是等腰梯形,则它的对角线相等”，它为真命题，故原命题为真．（2）该命题的逆否命题：“若x∈A或x∈B，则x∈A∩B”,它为假命题，故原命题为假．（3）该命题的逆否命题：“若｜x｜＝|y|，则x＝y且x＝－y",它为假命题,故原命题为假．跟踪训练1 下列各题中，p是q的什么条件?(1)p：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，q：c2＝（a2＋b2）r2(其中r>0)；（2）p：x＋y≠－2，q：x,y不都是－1。
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-1教案 第一章 常用的逻辑用语 复习总结
四种命题及其关系1.如果用p和q分别表示命题的条件和结论，那么它的四种形式是：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若綈p则綈q；逆否命题：若綈q则綈p.应注意的是：如果所给命题不是“若p则q”形式，首先应改写成“若p则q”形式；如果一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是说大前提不变．2．四种命题之间的关系四种命题中有两对互为逆否的命题，分别是原命题和逆否命题，否命题和逆命题．由于互为逆否的命题同真假，则四种命题中，真命题的个数只能是0、2、4.给出命题：“已知a，b，c，d为实数，若a≠b且c≠d，则a＋c≠b ＋d”，对原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，其中真命题的个数为________．【思路点拨】判断原命题及逆命题的真假→由互为逆否的命题真假性相同判断逆否命题及否命题的真假【解析】原命题为假命题．如3≠5,4≠2，但3＋4＝5＋2.逆命题为“a＋c≠b＋d，则a≠b且c≠d”也是假命题，如3＋4≠3＋5，但a＝b＝3.由原命题与其逆否命题等价，逆命题与其否命题等价，知逆否命题和否命题都为假命题．【答案】0写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并判断其真假．(1)若x＋y＝5，则x＝3且y＝2；(2)平行于同一直线的两条直线互相平行；(3)矩形的对角线相等且互相平分；(4)正偶数不是质数．【解】(1)逆命题：若x＝3且y＝2，则x＋y＝5.(真)否命题：若x＋y≠5，则x≠3或y≠2.(真)逆否命题：若x≠3或y≠2，则x＋y≠5.(假)(2)逆命题：若两条直线互相平行，则它们平行于同一条直线．(真命题)否命题：若两条直线不平行于同一条直线，则它们不互相平行．(真命题)逆否命题：若两条直线互相不平行，则它们不平行于同一条直线．(真命题)(3)逆命题：若一个四边形的对角线相等且互相平分，则它是矩形．(真命题)否命题：若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等或不互相平分．(真命题)逆否命题：若一个四边形的对角线不相等或不互相平分，则它不是矩形．(真命题)(4)逆命题：如果一个数不是质数，那么这个数是正偶数．(假命题)否命题：如果一个数不是正偶数，那么这个数是质数．(假命题)逆否命题：如果一个数是质数，那么这个数不是正偶数．(假命题)充要条件的判断及应用这是因为充分条件、必要条件很好地体现了数学上逻辑推理的纯粹性与完备性．另一原因是这一逻辑知识可以和本学科内的任一知识相联系、相结合．正确理解充分条件、必要条件的定义是解题的关键，而理解定义的前提是分清命题的条件与结论．对于命题“p⇒q”来说，它可以有四种自然语言描述：(1)p是q的充分条件；(2)q 是p的必要条件；(3)q成立的充分条件是p；(4)p成立的必要条件是q.只有深刻理解这四句话，才能做好这一类的题目．下列各题中，p 是q 的什么条件？(1)在△ABC 中，p ：∠A ≠30°，q ：sin A ≠12； (2)p ：x ＋y ≠－2，q ：x 、y 不都是－1.【思路点拨】 由于p ，q 所述对象都具有否定性，从正面入手较难，宜用逆否命题等价判断．【规范解答】 (1)在△ABC 中，綈q ：sin A ＝12，綈p ：∠A ＝30°. ∵在△ABC 中，sin A ＝12，则∠A ＝30°或∠A ＝150°， ∴綈q綈p ，而綈p ⇒綈q ，故綈q 是綈p 的必要不充分条件，从而，p 是q 的必要不充分条件．(2)綈p ：x ＋y ＝－2，綈q ：x ＝－1且y ＝－1.∵綈q ⇒綈p ，但綈p綈q ，故綈q 是綈p 的充分不必要条件，从而，p 是q 的充分不必要条件．若非空集合A ，B ，C 满足A ∪B ＝C ，且B 不是A 的子集，则下列结论中正确的有________． ①“x ∈C ”是“x ∈A ”的充分条件但不是必要条件；②“x ∈C ”是“x ∈A ”的必要条件但不是充分条件；③“x ∈C ”是“x ∈A ”的充要条件；④“x ∈C ”不是“x ∈A ”的充分条件也不是“x ∈A ”的必要条件．【解析】 由A ∪B ＝C ，知A ⊆C ，B ⊆C ，故由x ∈A ，则x ∈C ，但x ∈C ，可能有x ∈B ，但x ∉A ，由充分必要条件的定义知选②.【答案】 ②全称命题与存在性命题通常有两种方法：(1)定义法：对给定的集合的每一个元素x ，p (x )都为真；(2)代入法：在给定的集合内找出一个x 0，使p (x 0)为假，则全称命题为假．判断存在性命题的真假时，通常用代入法：在给定的集合中能找到一个元素x ，使命题p (x )为真，则为真命题，否则为假命题．通常在对全称命题和存在性命题进行否定时，首先要判断所给命题是全称命题还是存在性命题，然后按照下面的规则进行否定：全称命题否定后，全称量词变为存在量词，肯定判断变为否定判断；存在性命题否定后，存在量词变为全称量词，肯定判断变为否定判断．判断下列命题是否是全称命题或存在性命题，若是，用符号表示，并判断其真假．(1)有一个实数α，sin 2α＋cos 2α≠1；(2)任何一条直线都存在斜率；(3)对于所有的实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0恰有唯一解．【思路点拨】判断类别→符号表示→判断真假【规范解答】 (1)存在性命题，符号表示：∃α∈R ，sin 2α＋cos 2α≠1.假命题．(2)全称命题，符号表示：∀直线l ，l 存在斜率．假命题．(3)全称命题，符号表示：∀a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0恰有唯一解．假命题．写出下列命题的否定，并判断它们的真假：(1)p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋14≥0； (2)q ：∃x 是质数，x 不是奇数；(3)r ：至少有一个实数x ，使x > x 2＋1；(4)s ：所有的周期函数都有最小正周期．【解】 (1)綈p ：∃x ∈R ，使x 2＋x ＋14<0.由于对任意的实数x ，x 2＋x ＋14＝(x ＋12)2≥0，故p 是真命题，綈p 是假命题．(2)綈q ：∀x 是质数，x 是奇数．由于2是质数，且2不是奇数，故q 是真命题，綈q 是假命题．(3)綈r ：∀x ∈R ，x ≤x 2＋1.对于对任意的实数x ，x ≤|x |＝x 2<x 2＋1，故r 是假命题，綈r 是真命题． (4)綈s ：有的周期函数没有最小正周期．由于f (x )＝0(x ∈R )是周期函数但没有最小正周期，故s 是假命题，綈s 是真命题．逻辑联结词“或”、“且”、“非”逻辑联结词的出现使得命题复杂化，对于一个较复杂的命题真假的判断，首先找出命题中所含的逻辑联结词，并将其分解成“简单命题＋逻辑联结词”的形式，再根据真值表进行真假判断．给出两个命题：p ：函数y ＝x 2－x －1有两个不同的零点，q ：若1x<1，则x >1，那么在下列四个命题中，真命题是________．①(綈p )∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧(綈q )；④(綈p )∨(綈q )．【思路点拨】 判断p 、q 真假→綈p 、綈q 真假→命题真假【解析】 ∵Δ＝1＋4＝5>0，∴p 真．∵x <0时1x<0<1但x >1不成立，∴q 假， ∴綈q 真，∴①②③均为假命题，④为真命题．【答案】 ④分别指出下列各命题的构成形式，并指出命题的真假．(1)8或6是30的约数；(2)41是偶数且41是质数；(3)方程x 2－x ＋1＝0没有实数根．【解】 (1)“p 或q ”的形式，其中p ：8是30的约数，q ：6是30的约数，原命题为真命题．(2)“p 且q ”的形式，其中p ：41是偶数，q ：41是质数．原命题为假命题．(3)“非p ”的形式，其中p ：方程x 2－x ＋1＝0有实数根．原命题为真命题．转化与化归思想把一种状况转化为另一种状况，也就是转化为另一种情境，使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式．本章中，很多综合问题常是以逻辑形式叙述的数学命题，只有将逻辑条件转化为一般数学命题，才能利用相关知识进行求解． 设命题p ：函数f (x )＝(a －32)x 是R 上的减函数，命题q ：函数f (x )＝x 2－4x ＋3在[0，a ]上的值域为[－1,3]．若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求a 的取值范围．【思路点拨】 将“p 且q 为假，p 或q 为真”转化为“一真一假”再进行分类讨论．【规范解答】 由0＜a －32＜1得32＜a ＜52， ∵f (x )＝(x －2)2－1在[0，a ]上的值域为[－1,3]得2≤a ≤4，∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴p 、q 一真一假．若p 真q 假，得32＜a ＜2；若p 假q 真，得52≤a ≤4. 综上所得，a 的取值范围是32＜a ＜2或52≤a ≤4.设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解】 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )·(x －a )<0，又a >0，所以a <x <3a ，当a ＝1时，1<x <3，即p 为真时，实数x 的取值范围是1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，得2<x ≤3， 即q 为真时，实数x 的取值范围是2<x ≤3，若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是2<x <3.(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，即綈p ⇒綈q ，且綈q 綈p ，设A＝{x|綈p}，B＝{x|綈q}，则A B.又A＝{x|綈p}＝{x|x≤a或x≥3a}，B＝{x|綈q}＝{x≤2或x>3}，则0<a≤2，且3a>3，所以实数a的取值范围是1<a≤2.综合检测(一)第1章常用逻辑用语(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)1．命题“∀x∈R，x2＋3≥2x”的否定是________．【解析】全称命题的否定是存在性命题．【答案】∃x∈R，x2＋3<2x2．命题“π≥3.14”使用的逻辑联结词是________．【解析】“≥”含两种情形即“>”或“＝”，故用了逻辑联结词“或”．【答案】或3．下列全称命题为真命题的是________．①所有的素数是奇数；②∀x∈R，x2＋1≥1；③对每一个无理数x，x2也是无理数；④所有的平行向量均相等．【解析】①中，2是素数不是奇数，故①假；③中，取x＝2为无理数，x2＝2是有理数，故③假；④中，a＝(1,2)，b＝(2,4)平行，但不相等．故只有②为真．【答案】②4．命题“若A⊆B，则A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________．【解析】∵原命题是假命题，∴逆否命题是假命题．又∵逆命题若A＝B，则A⊆B为真命题，∴否命题是真命题．【答案】 25．(2013·天津高考改编)设a，b∈R，则“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的________条件．【解析】由不等式的性质知(a－b)·a2＜0成立，则a＜b成立；而当a＝0，a＜b成立时，(a－b)·a2＜0不成立，所以(a－b)·a2＜0是a＜b的充分而不必要条件．【答案】充分不必要6．(2013·玉溪高二检测)若集合A＝{x|xx－1＜0}，B＝{x|x＜4}，则“m∈A”是“m∈B”的________条件．【解析】∵xx－1＜0，∴x(x－1)＜0，∴0＜x＜1，∴A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|x＜4}，∴A B.【答案】充分不必要7．已知a，b为任意非零向量，有下列命题：①|a|＝|b|；②a2＝b2；③a2＝a·b.其中可以作为a＝b的必要不充分条件的是________．【解析】a＝b⇒|a|＝|b|，但|a|＝|b|D⇒/a＝b，故①为必要不充分条件；a＝b⇒a2＝b2，但a2＝b2D⇒/a＝b，②也为必要不充分条件；a＝b⇒a2＝a·b，a2＝a·b D⇒/a＝b，③也为必要不充分条件．【答案】①②③8．(2013·南京高二检测)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的否命题是________；命题的否定是________．【解析】由命题“若p则q”的否命题“若綈p，则綈q”，命题的否定是“若p，则綈q”，注意区别．【答案】若x与y不都是偶数，则x＋y不是偶数若x，y都是偶数，则x＋y不是偶数9．已知p：|x|>1，q：x<－2，则綈p是綈q的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)【解析】p：x>1或x<－1，綈p：－1≤x≤1，綈q：x≥－2，∴綈p是綈q的充分不必要条件．【答案】充分不必要10．(2013·课标全国卷Ⅰ改编)已知命题p：∀x∈R,2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是________．①p∧q；②綈p∧q；③p∧綈q; ④綈p∧綈q.【解析】 当x ＝0时，有2x ＝3x ，不满足2x ＜3x ，∴p ：∀x ∈R,2x ＜3x 是假命题． 如图，函数y ＝x 3与y ＝1－x 2有交点，即方程x 3＝1－x 2有解，∴q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2是真命题．∴p ∧q 为假命题，排除①.∵綈p 为真命题，∴綈p ∧q 是真命题，填②.【答案】 ②11．设A ，B 为两个集合，下列真命题的序号为________．①A ⃘B ⇔对∀x ∈A ，有x ∉B ；②A ⃘B ⇔A ∩B ＝∅；③A ⃘B ⇔A ⊉B ；④A ⃘B ⇔∃x ∈A ，使x ∉B .【解析】 A ⃘B ，说明A 中有元素，不在B 中．【答案】 ④12．设α，β，γ为平面，m ，n ，l 为直线，则m ⊥β的一个充分条件是________(填序号)． ①α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥l ；②α∩γ＝m ，α⊥γ，β⊥γ；③α⊥γ，β⊥γ，m ⊥γ；④n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α.【解析】 ④中，由n ⊥α，m ⊥α知m ∥n ，又n ⊥β，∴m ⊥β.【答案】 ④13．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数f (x )＝3＋log 2x 的图象与g (x )的图象关于________对称，则函数g (x )＝________.(注：填上你认为成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形)【解析】 本题考查两函数的对称性、函数解析式的求法等，答案不唯一．【答案】 ①x 轴 －3－log 2x ；或②y 轴 3＋log 2(－x )；或③原点 －3－log 2(－x )；或④直线y ＝x 2x －314．已知不等式|x －m |<1成立的一个充分而不必要条件是13<x <12，而实数m 的取值范围是________．【解析】 不等式|x －m |<1⇔m －1<x <m ＋1的一个充分而不必要条件是13<x <12，则{x |13<x <12}⊂{x |m －1<x <m ＋1}，则⎩⎨⎧ m ＋1≥12，m －1≤13，∴⎩⎨⎧ m ≥－12，m ≤43.即－12≤m ≤43，显然等号不会同时成立． 【答案】 [－12，43] 二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)指出下列命题中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC 中，p ：∠A ＝∠B ，q ：sin A ＝sin B ；(2)对于实数x 、y ，p ：x ＋y ≠8，q ：x ≠2或y ≠6；(3)在非空集合A 、B 中，p ：x ∈A ∪B ，q ：x ∈B ；(4)已知x 、y ∈R ，p ：(x －1)2＋(y －2)2＝0，q ：(x －1)·(y －2)＝0.【解】 (1)在△ABC 中，∠A ＝∠B ⇒sin A ＝sin B ，反之，若sin A ＝sin B ，因为A 与B 不可能互补(因为三角形三个内角和为180˚)，所以只有∠A ＝∠B .故p 是q 的充要条件．(2)易知：綈p ：x ＋y ＝8，綈q ：x ＝2且y ＝6, 显然綈q ⇒綈p .但綈pD ⇒/綈q ，即綈q 是綈p 的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p 是q 的充分不必要条件．(3)显然x ∈A ∪B 不一定有x ∈B ，但x ∈B 一定有x ∈A ∪B ，所以p 是q 的必要不充分条件．(4)条件p ：x ＝1且y ＝2，条件q ：x ＝1或y ＝2，所以p ⇒q 但qD ⇒/p ，故p 是q 的充分不必要条件．16．(本小题满分14分)写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p ：不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根；(2)q ：存在一个实数x ，使得x 2＋x ＋1≤0；(3)r ：等圆的面积相等，周长相等；(4)s ：对任意角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1.【解】 (1)綈p ：存在实数m ，方程x 2＋x －m ＝0没有实数根．当Δ＝1＋4m ＜0时，即m ＜－14时，一元二次方程没有实数根，所以綈p 是真命题． (2)这一命题的否定形式是綈q ：对所有实数x ，都有x 2＋x ＋1＞0.利用配方法可以验证綈q 是一个真命题．(3)这一命题的否定形式是綈r ：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等，由平面几何知识知綈r 是一个假命题．(4)这一命题的否定形式是綈s ：存在α∈R ，使sin 2α＋cos 2α≠1.由于命题s 是真命题，所以綈s 是假命题．17．(本小题满分14分)已知p ：函数y ＝2|x －1|的图象关于直线x ＝1对称；q ：函数y ＝x ＋1x的图象在y ＝2|x －1|的图象上方，判断p 且q ，p 或q ，綈p 的真假． 【解】 画图可知p 真q 假，∴p 且q 为假，p 或q 为真，綈p 为假．18．(本小题满分16分)设函数f (x )＝x |x －a |＋b ，求证：f (x )为奇函数的充要条件是a 2＋b 2＝0.【证明】 充分性：∵a 2＋b 2＝0，∴a ＝b ＝0，∴f (x )＝x |x |.∵f (－x )＝－x |－x |＝－x |x |＝－f (x )．∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．必要性：若f (x )为奇函数，则对一切x ∈R ，f (－x )＝－f (x )恒成立．即－x |－x －a |＋b ＝－x |x －a |－b 恒成立．令x ＝0，则b ＝－b ，∴b ＝0.令x ＝a ，则2a |a |＝0，∴a ＝0.即a 2＋b 2＝0.∴f (x )为奇函数的充要条件是a 2＋b 2＝0.19．(本小题满分16分)已知p ：－x 2＋8x ＋20≥0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)．(1)若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围；(2)若“非p ”是“非q ”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．【解】 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m .(1)∵p 是q 的充分不必要条件，∴[－2,10]是[1－m,1＋m ]的真子集．∴实数m 的取值范围是m ≥9.(2)∵“非p ”是“非q ”的充分不必要条件，∴q 是p 的充分不必要条件．∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m ≥－2，1＋m ≤10.∴0<m ≤3.∴实数m 的取值范围是0<m ≤3.20．(本小题满分16分)已知命题p ：函数y ＝log 0.5(x 2＋2x ＋a )的值域为R ，命题q ：函数y ＝－(5－2a )x 是R 上的减函数．若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．【解】 函数y ＝log 0.5(x 2＋2x ＋a )的值域为R ，即z ＝x 2＋2x ＋a 的函数值要取得一切正实数⇔Δ＝4－4a ≥0⇔a ≤1，即p 真⇔a ≤1；函数y ＝－(5－2a )x 是减函数⇔5－2a ＞1，即q 真⇔a ＜2.由p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，知命题p ，q 中必有一真一假，故1＜a ＜2.。
选修2-1 常用逻辑用语导学案加课后作业及参考答案
§1.1.1命题导学案【学习要求】1．了解命题的概念.2．会判断命题的真假，能够把命题化为“若p，则q”的形式.【学法指导】学习中要通过命题的一般形式把握命题，从命题的工具作用认识命题，不要过多地纠缠在判断一个语句是不是命题上，只要求能够从课本的例子中了解命题的概念就可以了.【知识要点】1．命题：一般地，我们把用表达的，可以的陈述句叫做命题.2．命题的真假：判断的命题叫做真命题，判断的命题叫做假命题.3．命题的形式：在数学中，“”是命题的常见形式，其中p叫做命题的，q叫做命题的. 【问题探究】探究点一命题的概念及分类问题1我们在初中已经学过许多数学命题，你能举出一些数学命题的例子吗？当时是怎么定义命题的？问题2观察下列语句的特点：（1）两个全等三角形的周长相等；（2）5能被2整除；（3）对顶角相等；（4）今天天气真好啊！（5）请把门关上！（6）2是质数吗？（7）若x＝2，则x2＝4；（8）3＋2＝6.回答：①以上有几个命题？②命题必须具备什么特征？问题3数学中的定义、公理、定理都是命题吗？问题4怎样判断一个命题是真命题还是假命题？例1判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由.（1）求证3是无理数. （2）若x R，则x2＋4x＋4≥0.（3）你是高一的学生吗？（4）并非所有的人都喜欢苹果.（5）若xy是有理数，则x、y都是有理数. （6）60x＋9>4.跟踪训练1判断下列语句中哪些是命题，是真命题还是假命题？（1）末位是0的整数能被5整除；（2）平行四边形的对角线相等且互相平分；（3）两直线平行，则斜率相等；（4）△ABC中，若∠A＝∠B，则sin A＝sin B；（5）余弦函数是周期函数吗？探究点二命题的结构问题在数学中，命题的常见形式为“若p，则q”，除此以外，还可以写成什么形式？例2把下列命题改写成“若p，则q”的形式：（1）各位数数字之和能被9整除的整数，可以被9整除；（2）斜率相等的两条直线平行；（3）能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；（4）钝角的余弦值是负数.跟踪训练2指出下列命题的条件p与结论q，并判断命题的真假. （1）若整数a是偶数，则a能被2整除；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）相等的两个角正切值相等.【当堂检测】1．下列语句为命题的是()A．对角线相等的四边形B．同位角相等C．x≥2D．x2－2x－3<02．下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a>b，则ac2>bc2；④矩形的对角线互相垂直. 其中假命题的个数是_______3．把下列命题写成“若p，则q”的形式.（1）ac>bc⇒a>b；（2）已知x、y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；（3）当m>14时，mx2－x＋1＝0无实数根；（4）当abc＝0时，a＝0或b＝0或c＝0；（5）负数的立方是负数.【课堂小结】1．根据命题的意义，可以判断真假的陈述句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可.2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式.含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式，大前提应保持不变.【课后作业】一、基础过关1．下列语句中是命题的是()A．周期函数的和是周期函数吗？B．sin 45°＝1C．x2＋2x－1>0 D．梯形是不是平面图形呢？2．下列语句中是命题的为()①空集是任何集合的子集；②若x>1，则x>2；③ 3比1大吗？④若平面上两条直线不相交，则它们平行；⑤－2＝－2；⑥x>15.A．①②⑥B．①②④C．①④⑤D．①②④⑤3．下列说法正确的是()A．命题“正项等差数列的公差大于零”是真命题B．语句“最高气温30℃时我就开空调”不是命题C．“四边形是菱形”是真命题D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题4．已知a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是() A．若a∥b，则α∥βB．若α⊥β，则a⊥bC．若a、b相交，则α、β相交D．若α、β相交，则a、b相交5．下列命题：①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集.其中真命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个6．下列命题：①若xy＝1，则x、y互为倒数；②对角线垂直的平行四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是________.7．已知命题：弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧.若把上述命题改为“若p，则q”的形式，则p是______________________，q是________________________.二、能力提升8．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面9．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中为真命题的是()A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，则b＝c10．给出下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，是真命题的是________.(填序号)11．判断下列语句是否是命题，并说明理由.（1）若x＋y是有理数，则x，y均为有理数.（2）一条直线l与平面α不是平行就是相交.（3）x2＋2x－3<0.12．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断其真假.（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）当x＝2或x＝4时，x2－6x＋8＝0；（3）正方形是矩形又是菱形；（4）方程x2－x＋1＝0有两个实数根.三、探究与拓展13．设有两个命题：p：x2－2x＋2≥m的解集为R；q：函数f(x)＝－(7－3m)x是减函数，若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围.§1.1.2四种命题~§1.1.3四种命题间的相互关系导学案【学习要求】1．了解四种命题的概念.2．认识四种命题的结论，会写出某命题的逆命题，否命题和逆否命题.3．理解四种命题的关系.4．会利用命题的等价性解决问题.【学法指导】在本节的学习中，不要去死记硬背形式化的定义与模式，而应多通过具体实例，发现四种命题形式间的逻辑关系，并能利用这种关系对命题真假作出判断，从而体会正难则反思想的应用.【知识要点】1．四种命题的概念一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的.也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆命题为.对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的.也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的否命题为.对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做.如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的.也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆否命题为.2．四种命题的相互关系3．四种命题的真假性之间的关系（1）两个命题互为逆否命题，它们有的真假性.（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性.【问题探究】探究点一四种命题的概念问题1观察下列四个命题：（1）若两个角是对顶角，则它们相等；（2）若两个角相等，则它们是对顶角；（3）若两个角不是对顶角，则它们不相等；（4）若两个角不相等，则它们不是对顶角.命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？问题2若(1)为原命题，则(2)为(1)的________命题，(3)为(1)的________命题，(4)为(1)的________命题.问题3在四种命题中，原命题是固定的吗？例1把下列命题写成“如果p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题.（1）正数的平方根不等于0；（2）当x＝2时，x2＋x－6＝0.跟踪训练1分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：（1）实数的平方是非负数；（2）若x、y都是奇数，则x＋y是偶数.探究点二四种命题的关系问题1通过以上学习，你认为如果原命题为真，那么它的逆命题、否命题的真假性是怎样的？问题2原命题为真，它的逆否命题的真假性如何？问题3四种命题中，真命题的个数可能为多少？例2下列命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题.其中的真命题是__________.跟踪训练2有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的否命题；②“若a≥b，则a2≥b2”的逆否命题；③“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；④“对顶角相等”的逆命题.其中真命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3探究点三等价命题的应用问题我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题.你认为等价命题证明问题和反证法是不是一回事？例3证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b R∈，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.跟踪训练3证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.【当堂检测】1．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数2．命题“如果x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是()A．如果x2≥1，则x≥1，或x≤－1 B．如果－1<x<1，则x2<1C．如果x>1或x<－1，则x2>1 D．如果x≥1或x≤－1，则x2≥13．命题“若平面向量a，b共线，则a，b方向相同”的逆否命题是_________，它是_____命题(填“真”或“假”). 4．给出以下命题：①“若x2＋y2≠0，则x、y不全为零”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题. 其中为真命题的是________.5．若命题p的逆命题是q，命题p的否命题是r，则q是r的（）.A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．以上结论都不正确【课堂小结】1．写四种命题时，可以按下列步骤进行：（1）找出命题的条件p和结论q；（2）写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q；（3）按照四种命题的结构写出所有命题.2．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础.【课后作业】一、基础过关1．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是()A．若α≠π4，则tan α＝1 B．若α＝π4，则tan α≠1C．若tan α≠1，则α≠π4D．若tan α≠1，则α＝π42．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是()A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b3．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．44．以下说法错误的是()A．如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题也必为真命题B．如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定为真命题C．原命题、否命题、逆命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数D．一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题5．“如果x、y R∈且x2＋y2＝0，则x、y全为0”的否命题是()A．若x、y R∈且x2＋y2≠0，则x、y全不为0 B．若x、y R∈且x2＋y2≠0，则x、y不全为0C．若x、y R∈且x、y全为0，则x2＋y2＝0 D．若x、y R∈且xy≠0，则x＋y≠06．命题“正数的绝对值等于它本身”的逆命题是___________________，这是________命题.7．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②正方形的四条边相等；③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形.其中互为逆命题的有__________；互为否命题的有__________；互为逆否命题的有________.(填序号) 8．写出命题“已知a，b R∈，若a2>b2，则a>b”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假.二、能力提升9．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是()A．3 B．2 C．1 D．010．有下列四个命题，其中真命题有：①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题.其中真命题的序号为()A．①②B．②③C．①③D．③④11．给定下列命题：①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若x＋y≠8，则x≠2或y≠6；③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若xy＝0，则x、y中至少有一个为0”的否命题.其中真命题的序号是________.12．判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假.三、探究与拓展13．求证：如果p2＋q2＝2，则p＋q≤2.§1.2.1充分条件与必要条件导学案【学习要求】1．结合具体实例，理解充分条件、必要条件的意义.2．会判断某些条件之间的关系.【学法指导】充分条件、必要条件是常用的逻辑用语，在数学中有广泛的应用，对于理解数学有很大的帮助.在此引入概念，对于这两个概念的准确理解需要一定的时间体会和思考，对于概念的运用和掌握依赖于后续的学习，不要急于求成，而应在后续的学习中经常借助这些概念表达、阐述和分析.【知识要点】【问题探究】探究点一充分条件、必要条件问题1判断下列两个命题的真假，并思考命题(1)中条件和结论之间的关系：（1）若x>a2＋b2，则x>2ab；（2）若ab＝0，则a＝0.问题2结合充分条件、必要条件的定义，说说你对充分条件与必要条件的理解.问题3判断命题“若x＝1，则x2－4x＋3＝0”中条件和结论的关系，并请你从集合的角度来解释.问题4结合以上分析，请你归纳判断充分条件，必要条件有哪些方法？例1指出下列各组命题中，p是q的什么条件？(充分不必要条件，必要不充分条件，既是充分条件也是必要条件，既不充分也不必要条件)（1）p：(x－2)(x－3)＝0，q：x＝2；（2）p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；（3）p：x>1，q：x2>1；（4）p：x，y不全为0，q：x＋y≠0.跟踪训练1指出下列命题中，p是q的什么条件？（1）p：x2＝2x＋1，q：x＝2x＋1；（2）p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；（3）p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；（4）p：sin α>sin β，q：α>β.探究点二充分条件、必要条件与集合的关系问题设集合A＝{x|x满足条件p}，集合B＝{x|x满足条件q}，若A⊆B，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？例2是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由. 跟踪训练2已知p：3x＋m<0，q：x2－2x－3>0，若p是q 的一个充分不必要条件，求m的取值范围.【当堂检测】1．a<0，b<0的一个必要条件为()A．a＋b<0 B．a－b>0 C．ab>1 D．ab<－12．如果命题“若A则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的______________条件3．若“x<m”是“(x－1)(x－2)>0”的充分不必要条件，求m的取值范围.4．指出下列各组命题中，p是q的什么条件？(充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分也不必要条件)（1）p：△ABC中，b2>a2＋c2，q：△ABC为钝角三角形；（2）p：△ABC中有两个角相等，q：△ABC是正三角形；（3）若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0.【课堂小结】1．充分条件、必要条件的判断方法：（1）定义法：直接利用定义进行判断.（2）等价法：“p⇔q”表示p等价于q，要证p⇒q，只需证它的逆否命题綈q⇒綈p即可；同理要证p⇐q，只需证綈q⇐綈p即可.所以p⇔q，只需綈q⇔綈p.（3）利用集合间的包含关系进行判断.2．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.【课后作业】一、基础过关1．“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的( )A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．既不是充分条件，也不是必要条件D ．既是充分条件，也是必要条件 2．“ab ≠0”是“直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交”的( )A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．既是充分条件，也是必要条件D ．既不是充分条件，也不是必要条件 3．若綈p 是綈q 的必要条件，则q 是p 的( )A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．既是充分条件，也是必要条件D ．既不是充分条件，也不是必要条件 4．下列命题中，真命题是( )A ．“x 2>0”是“x >0”的充分条件B ．“xy ＝0”是“x ＝0”的必要条件C ．“|a |＝|b |”是“a ＝b ”的充分条件D ．“|x |>1”是“x 2不小于1”的必要条件5．设a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 6．设0<x <π2，则“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．设x ，y 是两个实数，命题：“x ，y 中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )A ．x ＋y ＝2B ．x ＋y >2C ．x 2＋y 2>2D ．xy >1二、能力提升8．不等式(a ＋x )(1＋x )<0成立的一个充分而不必要条件是－2<x <－1，则a 的取值范围是________. 9．设p ：x <－1或x >1；q ：x <－2或x >1，则綈p 是綈q 的__________条件. 10．设α、β、γ为平面，m 、n 、l 为直线，则对于下列条件： ① α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥l ；② α∩γ＝m ，α⊥β，γ⊥β； ③ α⊥γ，β⊥γ，m ⊥α；④ n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α.其中为m ⊥β的充分条件的是________(将你认为正确的所有序号都填上). 11．下列各题中，p 是q 的什么条件？说明理由. （1）p ：a 2＋b 2＝0；q ：a ＋b ＝0.（2）p ：p ≤－2或p ≥2；q ：方程x 2＋px ＋p ＋3＝0有实根.（3）p ：圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切；q ：c 2＝(a 2＋b 2)r 2.12．已知p ：－2≤x ≤10，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.三、探究与拓展13．设计如下图所示的两个电路图，条件A ：“开关S 1闭合”；条件B ：“灯泡L 亮”，问A 是B 的什么条件？§1.2.2 充要条件导学案【学习要求】1．理解充要条件的意义.2．会判断、证明充要条件.【学法指导】在数学中，形如“p 是q 的充要条件”的命题是相当普遍的.要证明命题的条件是充要条件，就是既要证明原命题，又要证明原命题的逆命题.证明原命题即证明命题条件的充分性，证明原命题的逆命题，即证明命题条件的必要性.在本节的学习中注意体验数学的等价转化思想，增强逻辑思维能力.【知识要点】1．如果既有 ，又有 ，就记作p ⇔q ，p 是q 的充分必要条件，简称 条件. 2．概括地说，如果 ，那么p 与q 互为充要条件.【问题探究】探究点一 充要条件的判断问题1 已知p ：整数a 是6的倍数，q ：整数a 是2和3的倍数，那么p 是q 的什么条件？q 又是p 的什么条件？问题2 结合实例说说你对充要条件的理解. 例1 下列各题中，哪些p 是q 的充要条件？（1）p ：b ＝0，q ：函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数； （2）p ：x >0，y >0，q ：xy >0； （3）p ：a >b ，q ：a ＋c >b ＋c .跟踪训练1 （1）a ，b 中至少有一个不为零的充要条件是( ) A ．ab ＝0 B ．ab >0 C ．a 2＋b 2＝0 D ．a 2＋b 2>0（2）x >2的一个必要不充分条件是__________；x ＋y >0的一个充分不必要条件是_________________. （3）“函数y ＝x 2－2x －a 没有零点”的充要条件是________.探究点二 充要条件的证明例2 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0且p ≠1)，求证数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1. 跟踪训练2 求证：方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0的两个根均大于1的充要条件是k <－2. 跟踪训练3 求关于x 的方程ax 2＋x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件.【当堂检测】1．“lg x >lg y ”是“x >y ”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．设{a n }是等比数列，则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．设φR ∈，则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R)为偶函数”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．“m ＝－1”是“直线mx ＋(2m －1)y ＋1＝0与直线3x ＋my ＋3＝0垂直”的___________条件. 5．已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0，则l 1∥l 2的充要条件是a ＝________. 6．已知p 、q 是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么 （1）s 是q 的什么条件？（2）r 是q 的什么条件？（3）p 是q 的什么条件？【课堂小结】1．充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法. 2．充要条件的证明与探求（1）充要条件的证明分充分性和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别： ①p 是q 的充要条件，则由p ⇒q 证的是充分性，由q ⇒p 证的是必要性； ②p 的充要条件是q ，则p ⇒q 证的是必要性，由q ⇒p 证的是充分性.（2）探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.【课后作业】一、基础过关1．“x ，y 均为奇数”是“x ＋y 为偶数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．一次函数y ＝－m n x ＋1n 的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是 ( )A ．m >1，且n <1B ．mn <0C ．m >0，且n <0D ．m <0，且n <04．平面α∥平面β的一个充分条件是 ( )A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a 、b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a 、b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α 5．已知a ，b ，c R ∈，“2b ＝a ＋c ”是“a ，b ，c 成等差数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．在△ABC 中，“△ABC 为钝角三角形”是“AB →·AC →<0”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充要条件；②“a ＋5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件；④“a <5”是“a <3”的必要条件.将所有正确命题的序号填在横线上________. 二、能力提升8．已知命题p ：集合{x |x ＝cosn π3，n Z ∈}只有4个元素，q ：集合{y |y ＝x 2＋1，x R ∈}与集合{x |y ＝x 2＋1}相等，则新命题：①p 或q ；②p 且q ；③非p ；④非q 中真命题的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．39．已知p ：12≤x ≤1，q ：(x －a )(x －a －1)>0，若p 是綈q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________.10．设A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充要条件，则D 是A 的__________条件.11．求不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立的充要条件.12．求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.三、探究与拓展13．设x ，y R ∈，求证|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件是xy ≥0.§1.3.1 且(and)~1.3.2 或(or) 导学案【学习要求】1．了解联结词“且”“或”的含义.2．会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题，并判断新命题的真假.【学法指导】用集合的“交”、“并”之间的关系理解由“且”、“或”构成的命题，建立命题和集合运算之间的关系，体会逻辑用语在表述中的作用，注意逻辑联结词“或”与自然语言中的“或者”的区别与联系，以便准确地表达相关的数学知识.【知识要点】1．“p且q”就是用联结词“”把命题p和命题q联结起来，得到的新命题，记作.2．“p或q”就是用联结词“”把命题p和命题q联结起来，得到的新命题，记作.3．真值表【问题探究】探究点一p∧q命题问题1观察三个命题：①5是10的约数；②5是15的约数；③5是10的约数且是15的约数，它们之间有什么关系？问题2分析问题1中三个命题的真假，并归纳p∧q型命题的真假和命题p，q真假的关系.例1将下列命题用“且”联结成新命题，并判断它们的真假：（1）p：平行四边形的对角线互相平分，q：平行四边形的对角线相等；（2）p：菱形的对角线互相垂直，q：菱形的对角线互相平分；（3）p：35是15的倍数，q：35是7的倍数.跟踪训练1指出下列命题的构成形式及构成它的命题p，q，并判断它们的真假.（1）(n－1)·n·(n＋1) (n N∈*)既能被2整除，也能被3整除；（2）∅是{∅}的元素，也是{∅}的真子集.探究点二p∨q命题问题1观察三个命题：①3>2；②3＝2；③3≥2，它们之间有什么关系？问题2分析问题1中三个命题的真假，并归纳p∨q型命题的真假与p、q真假的关系.例2分别指出下列命题的形式及命题的真假：（1）相似三角形的面积相等或对应角相等；（2）集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集；（3）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等.跟踪训练2对下列各组命题，用逻辑联结词“或”构造新命题，并判断它们的真假.（1）p：正数的平方大于0，q：负数的平方大于0；（2）p：3>4，q：3<4；（3）p：π是整数，q：π是分数.探究点三p∨q与p∧q的应用问题如果p∧q为真命题，那么p∨q一定是真命题吗？反之，如果p∨q为真命题，那么p∧q一定是真命题吗？例3设有两个命题.命题p：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是∅；命题q：函数f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数.如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围.跟踪训练3本例中其它条件不变，把“p∧q为假命题，p∨q为真命题”改为“p∨q为真命题”，求a的取值范围. 【当堂检测】1．“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．给出下列命题：①2>1或1>3；②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；③25是6或5的倍数；④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集.其中真命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．43．“p是假命题”是“p或q为假命题”的___________条件.4．p：1x－3<0，q：x2－4x－5<0，若p且q为假命题，则x的取值范围是_______________________.【课堂小结】1．正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”两个中至少选一个.2．一个复合命题，从字面上看不一定是“或”、“且”字样，这样需要我们掌握一些词语、符号或式子与逻辑联结词的关系，如“或者”，“x＝±3”、“≤”的含义为“或”；“并且”，“綊”的含义为“且”.【课后作业】一、基础过关1．“p是真命题”是“p∧q为真命题”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．命题p：“x>0”是“x2>0”的必要不充分条件，命题q：△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件，则() A．p真q假B．p∧q为真C．p∨q为假D．p假q真3．命题“ab≠0”是指()A．a≠0且b≠0B．a≠0或b≠0C．a、b中至少有一个不为0 D．a、b不都为04．下列命题：①5>4或4>5；②9≥3；③若a>b，则a＋c>b＋c；④菱形的两条对角线互相垂直，其中假命题的个数为()A．0 B．1 C．2 D．35．“1不大于2”可用逻辑联结词表示为____________.6．给定下列命题：p：0不是自然数，q：2是无理数，在命题“p∧q”“p∨q”中，真命题是__________.二、能力提升7．对于命题p：对任意的实数x，有－1≤sin x≤1，q：存在一个实数使sin x＋3cos x＝π成立，下列结论正确的是()A．p假q真B．p真q假C．p、q都假D．p、q都真。
苏教版高中数学选修2-1第1章 常用逻辑用语(选修2-1)
第1章常用逻辑用语（苏教版选修2-1）≤其中正确的命题是.10.已知命题使sin x=√52；命题,有x2+x+1>0.给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(﹁q)”是假命题；③命题“(﹁p)∨q”是真命题；④命题“(﹁p)∨(﹁q)”是假命题.其中正确的是.11.命题：“如果√x－2+(y+1)2=0，则x=2且y=－1”的逆否命题为.12.已知命题p:∀x∈R,a x2+2x+3≥0，如果命题ℸp为真命题，则实数a的取值范围是.13.已知命题p:(x−3)(x+1)>0,命题q:x2−2x+1−m2>0(m>0),若命题p是命题q的充分不必要条件，则实数m的范围是____________.14.下列四个结论中，正确的有(填序号).①若A是B的必要不充分条件，则非B也是非A的必要不充分条件；②“{a＞0,Δ=b2－4ac≤0”是“一元二次不等式a x2＋bx＋c≥0的解集为R”的充要条件；③“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件；④“x≠0”是“x＋|x|＞0”的必要不充分条件.二、解答题（本大题共6小题，共90分）15.（本小题满分14分）设命题为“若m>0，则关于x的方程x2+x−m=0有实数根”,试写出它的否命题、逆命题和逆否命题，并分别判断它们的真假．16.（本小题满分14分）已知命题p：任意x∈R，ax2+2x+3≥0，如果命题﹁p是真命题，求实数a的取值范围．17.（本小题满分14分）设p：实数x满足x2－4ax+3a2＜0，其中a＞0；q：实数x满足{x2－x－6≤0,x2+2x－8＞0.（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.18.（本小题满分16分）若∀x∈R,函数f(x)=m(x2−1)+x−a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．19.（本小题满分16分）设P,Q,R,S四人分别获得一到四等奖，已知：（1）若P得一等奖，则Q得四等奖；（2）若Q得三等奖，则P得四等奖；（3）P所得奖的等级高于R；（4）若S未得一等奖，则P得二等奖；（5）若Q得二等奖，则R不是四等奖；（6）若Q得一等奖，则R得二等奖.问P,Q,R,S分别获得几等奖？20.（本小题满分16分）设命题p:函数f(x)=(a−32)x是R上的减函数，命题q:函数f(x)=x2−4x+3在[0,a]上的值域为[−1,3]．若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求a的取值范围．第1章常用逻辑用语（苏教版选修2-1）答题纸得分：＿＿＿一、填空题1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.二、解答题15.解：16.解：17.解：18.解：19.解：20.解：第1章常用逻辑用语（苏教版选修2-1）答案一、填空题1.②解析：“若﹁p则﹁q”与“若q则p”是互为逆否的命题，②不正确，故选②.2.[-1,3]解析：已知命题是假命题，则它的否定为真命题，命题的否定为∀x∈R,x2+(a−1)x+1≥0.若为真命题，需方程x2+(a−1)x+1=0的判别式Δ=(a−1)2−4≤0,解得−1≤a≤3.3.必要不充分解析：集合A={x||x−1|≤1,x∈R}={x|0≤x≤2,x∈R},集合B={x|log2x≤1,x∈R}= {x|0<x≤2,x∈R}，故x∈A⇏x∈B，x∈B⇒x∈A，所以“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件.4.[0,12]解析：由已知得若p成立，则12≤x≤1,若q成立，则a≤x≤a+1.又﹁p是﹁q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，所以{a≤12，1＜a+1，或{a＜12，1≤a+1.所以.5.2解析：将函数y=sin2x的图象向右平移π3个单位长度得到函数y=sin2(x−π3)=sin(2x−2π3)的图象，所以命题P是假命题，“非P”是真命题，“P且Q”是假命题.函数y=sin(x+π6)cos(π3−x)=cos(π2−x−π6)cos(π3−x)=cos2(π3−x)=cos(2x−2π3)2+12,最小正周期为π，命题Q为真命题，所以“P或Q”为真命题.故真命题有2个.6.{a|a≤−2或a=1}解析：若p成立，对∀x∈[1,2],有a≤x2.因为1≤x≤2,所以1≤x2≤4,即a≤(x2)min= 1.若q成立，则方程x2+2ax+2−a=0的判别式Δ=4a2−4(2−a)≥0,解得a≤−2或a≥1.因为命题“p∧q”是真命题，所以p真q真，故a的取值范围为{a|a≤−2或a=1}.7.①②解析：“p或q”是假命题，则它的否定是真命题，即“﹁p且﹁q”是真命题，①是真命题；若|x|>|y|，则x2>y2，若x2>y2,则|x|>|y|，所以②是真命题；数形结合可得，若一元二次不等式的解集是∅，则必有a>0且Δ<0，所以③是假命题；当时，必有但当x=1，y=5时，满足但x<2，所以④是假命题.8.①③解析：对于命题①，若f(x+2π)=sin(φx+2πφ+φ)=sin(φx+φ)成立，φ必须是整数，所以命题①是假命题；对于函数f(x)=sin(φx+φ)，当φ=π2时，函数为偶函数，所以命题③是假命题；同理可得，命题②④是真命题.9.①②解析：A∩B=∅，集合A和集合B没有公共元素，①正确；A⊆B，集合A中的元素都是集合B中的元素，②正确；③错误；A=B，则集合A中的元素与集合B中元素完全相同，元素个数相等，但两个集合的元素个数相等，并不意味着它们的元素相同，④错误.10.②③解析：因为√52>1，所以命题p是假命题，﹁p是真命题；由函数y=x2+x+1的图象可得，命题q是真命题，﹁q是假命题.所以命题“p∧q”是假命题,命题“p∧(﹁q)”是假命题，命题“(﹁p)∨q”是真命题，命题“(﹁p)∨(﹁q)”是真命题.所以②③正确.11.如果x≠2或y≠－1，则√x－2+(y+1)2≠0解析：“x=2且y=－1”的否定为“x≠2或y≠－1”，“√x－2+(y+1)2=0”的否定为√x－2+(y+1)2≠0，故原命题的逆否命题为“如果x≠2或y≠－1，则√x－2+(y+1)2≠0”.12.a＜13解析：∵¬p为真命题，∴p为假命题.又当p为真命题时，需a x2+2x+3≥0恒成立，显然a=0时不正确，则需4-120aa⎧⎨⎩＞，≤，∴a≥13，∴当p为假命题时，a＜13.13.(0,2)解析：两个命题可分别表示为或x<−1，或x<1−m，要使命题p是命题q的充分不必要条件，则{1+m≤3，1−m>−1，m>0，或{1+m<3，1−m≥−1，m>0，解得0<m<2.14.①②④解析：∵原命题与其逆否命题等价，∴若A是B的必要不充分条件，则非B也是非A的必要不充分条件.x≠1⇏x2≠1，反例：x＝－1⟹x2＝1，∴“x≠1”是“x2≠1”的不充分条件.x≠0⇏x＋|x|＞0，反例：x＝－2⟹x＋|x|＝0.但x＋|x|＞0⟹x＞0⟹x≠0，∴“x≠0”是“x＋|x|＞0”的必要不充分条件.二、解答题15.解：否命题为“若m≤0，则关于x的方程x2+x−m=0没有实数根”；逆命题为“若关于x的方程x2+x−m=0有实数根，则m>0”；逆否命题为“若关于x的方程x2+x−m=0没有实数根，则m≤0”.由方程x2+x−m=0根的判别式Δ=1+4m>0，得m>−14，此时方程有实数根．因为m>0使1+4m>0，所以方程x2+x−m=0有实数根，所以原命题为真，从而逆否命题为真.但方程x2+x−m=0有实数根，必须m>−14，不能推出m>0，故逆命题为假,从而否命题为假.16.解：因为命题﹁p是真命题，所以p是假命题.又当p是真命题，即ax2+2x+3≥0恒成立时，应有{a>0，Δ=4−12a≤0，解得a≥13，所以当p是假命题时，a<13.所以实数a的取值范围是{a|a<13}.17.解：由x2－4ax+3a2＜0，得(x－3a)(x－a)＜0.又a＞0，所以a＜x＜3a.（1）当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3.由{x2－x－6≤0,x2+2x－8＞0,得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3. 若p∧q为真，则p真q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3.（2）若ℸp是ℸq的充分不必要条件，即¬p⟹¬q，且¬q⇏¬p.设A={x|¬p},B={x|¬q},则A B，又A={x|¬p}={x|x≤a或x≥3a}，B={x|¬q}={x|x≤2或x＞3}，则有0＜a≤2且3a＞3，所以实数a的取值范围是1＜a≤2.18.解：（1）当m=0时，f(x)=x−a的图象与x轴恒相交；（2）当m≠0时，二次函数f(x)=m(x2−1)+x−a=mx2+x−m−a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ=1+4m(m+a)≥0恒成立，即Δ=4m2+4am+1≥0恒成立，又4m2+4am+1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ′=(4a)2−16≤0,解得−1≤a≤1．综上，当m=0时，a∈R；当m≠0时，a∈[−1,1]．19.解：由（3）知，得一等奖的只有P,Q,S之一（即R不可能是一等奖）.若P得一等奖，则S未得一等奖，与（4）矛盾；若Q得一等奖，由（6）知，R得二等奖，P只能得三等奖或四等奖，与（3）矛盾.所以只有S得一等奖.若P是二等奖，由（2）知，Q不得三等奖，只能是四等奖，所以R是三等奖；若P是三等奖，则R是四等奖，Q得二等奖，与（5）矛盾.所以S，P，R，Q分别获得一等奖，二等奖，三等奖，四等奖.20.解：由0<a−32<1得32<a<52.因为f(x)=(x−2)2−1在[0,a]上的值域为[−1,3],所以2≤a≤4.又因为“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，所以p,一真一假．若p真q假，则32<a<2；若p假q真，则52≤a≤4.综上可得，a的取值范围是{a|32<a<2或52≤a≤4}.。
高中数学(苏教版 选修2-1)第1章 常用逻辑术语 简单的逻辑联结词
1．了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，能用“或”、“且”、“非”表示相关的数学内容．(重点)2．“p或q”、“p且q”、“非p”命题的真假判断．(难点)3．非p与否命题的区别．(易错点)[基础·初探]教材整理1逻辑联结词阅读教材P10例1以上部分，完成下列问题．1．逻辑联结词命题中的“或”、“且”、“非”称为逻辑联结词．2．命题构成的形式判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)联结词“且”表示同时具有的意思．()(2)“p或q”有两层含义：要么是p不是q，要么是q不是p.()(3)联结词“非”与日常用语中的“不是”、“否定”、“全盘否定”、“问题的反面”等词语等价．()(4)由“p且q为假命题”可得“p为假命题”．()【答案】(1)√(2)×(3)√(4)×教材整理2含逻辑联结词命题的真假判断阅读教材P10～P11思考以上部分，完成下列问题．一般地，“p或q”、“p且q”与“非p”形式的命题的真假性可以用下面的表来表示：命题p：{2}∈{2,3}，q：{2}⊆{2,3}，则下列对命题的判断，正确的是________(填上所有正确的序号)．①p或q为真；②p或q为假；③p且q为真；④p且q为假；⑤非p为真；⑥非q为假．【解析】p假，q真，故p或q为真，p且q为假，非p为真，非q为假．【答案】①④⑤⑥[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型](1)①p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等．②p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．(2)指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题．①方程2x2＋1＝0没有实数根；②12能被3或4整除．【精彩点拨】弄清含逻辑联结词的命题的形式，构造新命题或分解新命题为简单命题．【自主解答】(1)①p且q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．p或q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．非p：梯形没有一组对边平行．②p且q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．p或q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．非p：－1不是方程x2＋4x＋3＝0的解．(2)①是“非p”形式，其中p：方程2x2＋1＝0有实根．②是“p或q”形式，其中p：12能被3整除；q：12能被4整除．用联结词构造新命题的注意点1．利用逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成新命题，关键是正确理解这三个逻辑联结词的含义．2．构成新命题时，在不引起歧义的前提下，有时为了通顺也可以适当添加词语或省略联结词，如李明是班长兼体育委员，就省略了“且”．[再练一题]1．分别写出由下列命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的新命题．(1)p：π是无理数，q：e不是无理数；(2)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等；(3)p：正三角形ABC三内角都相等，q：正三角形ABC有一个内角是直角．【解】(1)p或q：π是无理数或e不是无理数．p且q：π是无理数且e不是无理数．非p：π不是无理数．(2)p或q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等．p且q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等．非p：方程x2＋2x＋1＝0没有两个相等的实数根．(3)p或q：正三角形ABC三内角都相等或有一个内角是直角；p且q：正三角形ABC三内角都相等且有一个内角是直角；非p：正三角形ABC三个内角不都相等．(1)p：6<6，q：6＝6；(2)p：函数y＝x2＋x＋2的图象与x轴没有公共点，q：不等式x2＋x＋2<0无解；(3)p：函数y＝cos x是周期函数，q：函数y＝cos x是奇函数．【精彩点拨】先判断命题p，q的真假，再判断“p且q”、“p或q”、“非p”的真假．【自主解答】(1)∵p为假命题，q为真命题，∴p且q为假命题，p或q为真命题，非p为真命题．(2)∵p为真命题，q为真命题，∴p且q为真命题，p或q为真命题，非p为假命题．(3)∵p为真命题，q为假命题，∴p且q为假命题，p或q为真命题，非p为假命题．判断含逻辑联结词命题真假的步骤1．确定复合命题的构成形式，是“p且q”、“p或q”还是“非q”形式．2．判断其中简单命题p，q的真假．3．根据真值表判断含逻辑联结词命题的真假．[再练一题]2．写出由下列命题构成的“p且q”、“p或q”形式的新命题，并指出其真假. 【导学号：09390009】(1)p：4∈{2,3}，q：2∈{2,3}；(2)p：不等式x2＋2x－8<0的解集是{x|－4<x<2}，q：不等式x2＋2x－8<0的解集是{x|x<－4或x>2}．【解】(1)p且q：4∈{2,3}且2∈{2,3}，假．p或q：4∈{2,3}或2∈{2,3}，真．(2)p且q：不等式x2＋2x－8<0的解集是{x|－4<x<2}且是{x|x<－4或x>2}．p或q：不等式x2＋2x－8<0的解集是{x|－4<x<2}或是{x|x<－4或x>2}．∵不等式x2＋2x－8<0的解集是{x|－4<x<2}，∴p且q为假，p或q为真．[探究共研型]探究1q的真假性如何？【提示】“p或q”为真，说明命题p和q中至少有一个为真；“p且q”为假，说明命题p和q中至少有一个为假，所以p真时q假，p假时q真，即命题p，q一真一假．探究2逻辑联结词与日常生活中的意义有什么区别？试作出分析．【提示】 逻辑联结词“且”、“或”、“非”与日常生活中的意义有所不同．如日常生活中的“且”有时与“及”、“和”相当；日常生活中的“或”是不可兼顾的．日常生活中的否定常用词有“不是”，是全盘否定，而逻辑中的“且”可以从命题的真假去理解，逻辑中的“或”可以兼顾，逻辑中的“否定”有时否定全部，有时否定一部分．已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负实数根； q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根． 若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．【精彩点拨】 这是一道综合题，它涉及命题、方程、不等式、一元二次方程根与系数的关系等．我们可以先利用命题的知识判断p ，q 的真假，再求m 的值，也可以先化简p ，q 的取值范围，再利用命题的知识求解．【自主解答】 p ：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，m >0，解得m >2.q ：Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)<0，解得1<m <3. ∵p 或q 为真，p 且q 为假， ∴p 为真，q 为假或p 为假，q 为真，即⎩⎪⎨⎪⎧m >2，m ≤1或m ≥3，或⎩⎨⎧m ≤2，1<m <3.解得m ≥3或1<m ≤2，故m 的取值范围为{m |m ≥3或1<m ≤2}．解决此类问题的方法一般是先化简p ，q 中的取值范围，然后利用命题的知识来判断p ，q 的真假，最后确定m 的取值范围.当p ，q 中m 的取值范围不易求出时，也可以利用非p 与p ，非q 与q 不能同真同假的特点，先求非p ，非q 中m 的取值范围.[再练一题]3．已知命题p ：关于x 的不等式 x 2＋(a －1)x ＋1≤0的解集为空集∅；命题q ：函数y ＝(a －1)x 为增函数，若命题p 且q 为假命题，p 或q 为真命题，求实数a 的取值范围．【解】若命题p：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋1≤0的解集为空集∅，则(a－1)2－4＜0，即a2－2a－3＜0，所以－1＜a＜3，则当p为假命题时，a≤－1或a≥3；若命题q：函数y＝(a－1)x为增函数，为真，得a－1＞1，即a＞2，则当q为假命题时，a≤2；因为命题p且q为假命题，p或q为真命题，所以p，q中一真一假，若p真q假，则－1＜a≤2；若p假q真，则a≥3，所以实数a的取值范围为－1＜a≤2或a≥3.[构建·体系]1．命题“3≥0”中，使用逻辑联结词的情况，下列说法正确的是________．①是简单命题，没有使用逻辑联结词；②使用了逻辑联结词，是“p或q”形式的命题；③使用了逻辑联结词，是“p且q”形式的命题；④使用了逻辑联结词，是“非p”形式的命题．【解析】命题“3≥0”是“3＞0或3＝0”，即该命题使用了逻辑联结词，是“p或q”形式的命题．【答案】②2．如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，那么下列判断正确的有________．①命题p不一定是假命题；②命题q一定是真命题；③命题q不一定是真命题；④命题p与命题q的真假相同．【解析】p或q为真说明p，q至少有一个为真，又∵非p为真，∴p假，故q为真，故填②.【答案】②3．设p：若a＞2，则a＞1，非p是________．【解析】命题p的否定只否定结论，条件不变．【答案】若a＞2，则a≤14．分别用“p或q”、“p且q”、“非p”填空．(1)命题“非空集A∩B中的元素既是A中的元素，也是B中的元素”是________的形式；(2)命题“非空集A∪B中的元素是A中元素或B中的元素”是________的形式；(3)命题“非空集∁U A的元素是U中的元素但不是A中的元素”是________的形式．【解析】(1)“也”是“且”的意思，∴为p且q命题．(2)是p或q命题．(3)为非p命题形式．【答案】(1)p且q(2)p或q(3)非p5．设命题p：x2－4≥0，命题q：x2＋2x－3≤0，若p且q为真，求x的取值范围．【解】解不等式x2－4≥0，得x≥2或x≤－2，解不等式x2＋2x－3≤0，得－3≤x≤1，因为p且q为真，则p与q都真，所以x的取值范围是－3≤x≤－2.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。
高中数学苏教版选修2-1课件：第1章1.2 简单的逻辑联结词
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10、低头要有勇气，抬头要有低气。2 021/5/1 12021/5/11202 1/5/115 /11/202 1 8:59:43 AM
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11、人总是珍惜为得到。2021/5/11202 1/5/112 021/5/1 1May -2111-M ay -21
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12、人乱于心，不宽余请。2021/5/112 021/5/1 12021/5/11Tu esday , May 11, 2021
第1章 常用逻辑用语
1．2 简单的逻辑联结词
第1章 常用逻辑用语
学习导航
学习 目标
1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含 义．(重点) 2．能用“或”“且”“非”表述相关的数学内 容．(难点)
学法 指导
1.注意逻辑联结词的数学含义，与平时用语相区 别．
2．理解新命题p∨q，p∧q，﹃p与命题p、q的关 系.
(2)这个命题是非p的形式，其中p：9的算术平方根是－3，因 为p假，所以非p为真，即原命题为真命题． (3)这个命题是p且q的形式，其中p：垂直于弦的直径平分这 条弦，q：垂直于弦的直径平分这条弦所对的两段弧，因为p 真q真，所以p且q为真，即原命题为真命题． [方法归纳] 对于“p或q”形式的复合命题，记“有真必真”，即命题p与 命题q两个命题中只要有真命题，复合命题“p或q”就是真命 题；对于“p且q”形式的复合命题，记“有假必假”，即命 题p与命题q两个命题中只要有假命题，复合命题“p且q”就 是假命题；对于“非p”形式的复合命题，记“真假相反”， 即p真则“非p”假，p假则“非p”真
3．给定下列命题：p：0 不是自然数，q： 2是无理数，在命 题“﹃p”、“﹃q”、“p∧q”、“p∨q”中，真命题是 __﹃__p__，__p_∨__q_________．
苏教版高中数学选修2-1第一章 常用逻辑用语.docx
第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.1四种命题双基达标(限时15分钟)1．下列语句：①12>5；②3是12的约数；③0.5是整数；④x是偶数；⑤x<2.其中是命题的有__________．(填序号)解析由命题的定义知①②③是命题．答案①②③2．命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题为__________________________________．解析原命题的逆否命题是把条件和结论都否定后，再交换位置，注意“－1<x<1”的否定是“x≥1或x≤－1”．答案若x≥1或x≤－1，则x2≥13．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；③“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；④“同位角相等”的逆命题．其中真命题的个数是________．解析 ①“若x ＋y ≠0，则x ，y 不是相反数”是真命题．②“若a 2≤b 2，则a ≤b ”，取a ＝0，b ＝－1，a 2≤b 2，但a ＞b ，故是假命题．③“若x >－3，则x 2－x －6≤0”，解不等式x 2－x －6≤0可得－2≤x ≤3，而x ＝4>－3，不是不等式的解，故是假命题．④“相等的角是同位角”是假命题．答案 14．命题“若x ≠2，则x 3－x 2－x －2≠0”的逆否命题是______；是______(填“真”或“假”)命题．解析 ∵x 3－x 2－x －2＝(x －2)(x 2＋x ＋1)＝0，而x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥34>0，∴x ＝2，故原命题为真命题．又原命题与逆否命题具有相同真假性，故逆否命题也为真命题．答案 “若x 3－x 2－x －2＝0，则x ＝2” 真5．给出下面3个命题：①函数y ＝tan x 在第一象限是增函数；②奇函数的图象一定过原点；③“若0<log a b <1，则a >b >1”的逆命题．其中真命题的序号是______．解析 ①举反例：x ＝2π＋π6或π4，tan(2π＋π6)＝33，tan π4＝1，由于2π＋π6>π4时，tan(2π＋π6)<tan π4，则原命题为假命题．②例如y ＝1x是奇函数但不过原点．③若0<log a b <1，则a >b >1的逆命题为若a >b >1，则0<log a b <1是真命题，因为a >b >1，所以log a a >log a b >log a 1＝0，即0<log a b <1.答案 ③6．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：(1)若q <1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根；(2)若a >b ，则1a <1b. 解 (1)逆命题：若方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根，则q <1，假命题．否命题：若q ≥1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，假命题．逆否命题：若方程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，则q ≥1，真命题．(2)逆命题：若1a <1b，则a >b ，假命题． 否命题：若a ≤b ，则1a ≥1b，假命题． 逆否命题：若1a ≥1b，则a ≤b ，假命题． 综合提高 (限时30分钟)7．下列语句：①x ＝0；②－5∈Z ；③作线段AB ；④2020年人类将登上火星；⑤lg 100＝2.其中命题的个数是______个．解析①语句中含有变量，不能判断真假，不是命题；③是祈使句，不是命题；②⑤是陈述句且能判断真假，是命题；④目前不能确定真假，但随着时间的推移，总能确定真假，这类猜想也是命题，故②④⑤是命题．答案 38．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是______个．解析原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题；逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”为假命题，则否命题是假命题．故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，只有逆否命题是真命题．答案 19．给定下列命题：①“若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实根”；②“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题；③“矩形的对角线相等”的逆命题．其中真命题的序号是______．解析①Δ＝4＋4k>0，k>－1，∴是真命题．②否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，是真命题．③逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，是假命题．答案①②10．设有两个命题：①关于x的不等式mx2＋1>0的解集是R；②函数f(x)＝log m x是减函数，如果这两个命题中有且只有一个真命题，则实数m的取值范围是______．解析①是真命题，则m≥0；②是真命题，则0<m<1，若①真，②假，则m＝0或m≥1；若②真，①假，m不存在．综上，m＝0或m≥1.答案m＝0或m≥111．已知a，b∈R，求证：若a3＋b3＋3ab≠1，则a＋b≠1.证明原命题证明较困难改证它的等价命题(逆否命题)：已知a，b∈R，求证：若a＋b＝1，则a3＋b3＋3ab＝1.因为a＋b＝1，所以a3＋b3＋3ab＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＋3ab＝a2－ab＋b2＋3ab＝(a＋b)2＝1.因为逆否命题与原命题等价，所以原命题正确．12．已知集合A＝{x|x2＋(2＋a)x＋1＝0，x∈R}，B＝{x∈R|x>0}，试问是否存在实数a，使得A∩B＝∅？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．解假设存在实数a满足条件A∩B≠∅，若A∩B≠∅，则方程x2＋(2＋a)x＋1＝0的两实数根x1，x2至少有一个为正；因为x1·x2＝1>0，所以两根x1，x2均为正数．则由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（2＋a ）2－4≥0，x 1＋x 2＝－（2＋a ）>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0或a ≤－4，a <－2，即a ≤－4. 又∵集合{a |a ≤－4}的补集为{a |a >－4}，∴存在满足条件A ∩B ＝∅的实数a ，其取值范围是(－4，＋∞)．13．(创新拓展)写出命题“已知a 、x 为实数，如果关于x 的不等式x 2＋4x ＋a ＋2≤0的解集非空，则a >3”的逆否命题，并判断其真假．解 其逆否命题为：已知a 、x 为实数，如果a >3，则关于x 的不等式x 2＋4x ＋a ＋2≤0的解集非空．法一 若a >3，则x 2＋4x ＋a ＋2＝0的判别式Δ＝16－4a －8＝8－4a <0，此时不等式x 2＋4x ＋a ＋2≤0的解集为空集，故其逆否命题为假命题．法二 从原命题角度出发，若其解集为非空集合，则有Δ＝8－4a >0，得a <2，故原命题为假命题，所以其逆否命题也为假命题．。
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1．2简单的逻辑联结词[学习目标] 1.了解联结词“且”“或”“非”的含义.2.会用联结词“且”“或”“非”联结或改写某些数学命题，并判断新命题的真假.3.通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假．[知识链接]1．观察三个命题：①5是10的约数；②5是15的约数；③5是10的约数且是15的约数，它们之间有什么关系？答：命题③是由命题①②用“且”联结得到的新命题，“且”与集合运算中交集的定义A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中“且”的意义相同，叫逻辑联结词，表示“并且”，“同时”的意思．2．观察三个命题：①3>2；②3＝2；③3≥2，它们之间有什么关系？答：命题③是由命题①②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题．3．观察下列两组命题，看它们之间有什么关系？(1)p：1是素数；q：1不是素数．(2)p：y＝tan x是周期函数；q：y＝tan x不是周期函数．答：两组命题中，命题q都是命题p的否定．[预习导引]1．逻辑联结词把两个命题联结成新命题的常用逻辑联结词有“或”、“且”、“非”．2．含有逻辑联结词的命题的真假p q綈p p∨q p∧q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假要点一用逻辑联结词联结组成新命题例1分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的新命题．(1)p：π是无理数，q：e不是无理数．(2)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等．(3)p：正△ABC三内角都相等，q：正△ABC有一个内角是直角．解(1)p∨q：π是无理数或e不是无理数．p∧q：π是无理数且e不是无理数．綈p：π不是无理数．(2)p∨q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等．p∧q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等．綈p：方程x2＋2x＋1＝0没有两个相等的实数根．(3)p∨q：正△ABC三内角都相等或有一个内角是直角；p∧q：正△ABC三内角都相等且有一个内角是直角；綈p：正△ABC三个内角不都相等．规律方法解决这类问题的关键是正确理解“或”“且”“非”的定义，用“或”“且”“非”联结p、q构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可把命题p、q中的条件或结论合并．跟踪演练1分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式：(1)p：2是无理数，q：2大于1；(2)p：N⊆Z，q：{0}∈N；(3)p：x2＋1>x－4，q：x2＋1<x－4.解(1)“p∨q”：2是无理数或大于1；“p∧q”：2是无理数且大于1；“綈p”：2不是无理数．(2)“p∨q”：N⊆Z或{0}∈N；“p∧q”：N⊆Z且{0}∈N；“綈p”：N Z.(3)“p∨q”：x2＋1≠x－4；“p∧q”：x2＋1>x－4且x2＋1<x－4；“綈p”：x2＋1≤x－4.要点二含逻辑联结词的命题的真假判断例2指出下列命题的构成形式并判断真假：(1)不等式|x＋2|≤0没有实数解；(2)－1是偶数或奇数；(3)2属于集合Q ，也属于集合R ； (4)A (A ∪B )．解 (1)此命题是“綈p ”的形式，其中p ：不等式|x ＋2|≤0有实数解．因为x ＝－2是该不等式的一个解，所以命题p 为真命题，即綈p 为假命题．所以该命题为假命题．(2)此命题是“p ∨q ”的形式，其中p ：－1是偶数，q ：－1是奇数，因为命题p 为假命题，命题q 为真命题，所以“p ∨q ”为真命题，故该命题为真命题．(3)此命题为“p ∧q ”的形式，其中p ：2∈Q ，q ：2∈R ，因命题p 为假命题，命题q 为真命题，所以命题“p ∧q ”为假命题．故该命题为假命题． (4)此命题为“綈p ”的形式，其中p ：A ⊆(A ∪B )， 因为p 为真命题，所以綈p 为假命题， 故该命题为假命题．规律方法 理解简单复合命题，字面上有逻辑联结词当然简单，否则需寻找与其等价的词语、符号或式子．跟踪演练2 分别指出由下列各组命题构成的p ∨q 、p ∧q 、綈p 形式的命题的真假： (1)p ：2＋2＝5，q ：3>2；(2)p ：9是质数，q ：8是12的约数； (3)p ：∅{0}，q ：∅＝{0}．解 (1)p 假q 真，故p ∨q 为真；p ∧q 为假；綈p 为真． (2)p 假q 假，故p ∨q 为假；p ∧q 为假；綈p 为真． (3)p 真q 假，故p ∨q 为真；p ∧q 为假；綈p 为假． 要点三 逻辑联结词的应用例3 已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在x ∈(0，＋∞)内单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，如果p 和q 有且只有一个正确，求a 的取值范围． 解 对于命题p ，当0<a <1时，函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减；当a >1时，函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减．对于命题q ，曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点等价于(2a －3)2－4>0， 即0<a <12或a >52.方法一 (1)若p 正确且q 不正确，即函数y ＝log a (x ＋1)在x ∈(0，＋∞)内单调递减，曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴不交于不同的两点，因此a ∈(0,1)∩([12，1)∪(1，52])，即a ∈[12，1)．(2)若p 不正确且q 正确，即函数y ＝log a (x ＋1)在x ∈(0，＋∞)内不是单调递减，曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，因此a ∈(1，＋∞)∩[(0，12)∪(52，＋∞)]，即a ∈(52，＋∞)．综上，a 的取值范围为[12，1)∪(52，＋∞)．方法二 设A ＝{a |p (a )}＝(0,1)，B ＝{a |q (a )} ＝(0，12)∪(52，＋∞)．所以p 和q 有且只有一个正确⇔a ∈A ∪B 且a ∉A ∩B 故a 的取值范围为[12，1)∪(52，＋∞)．规律方法 解答这类问题，应先由每个简单命题为真，确定参数的取值范围，再由复合命题的真值，得参数所满足的条件，进而确定参数的取值范围．在综合参数的取值范围时，有时利用集合来处理，可以简化解题的过程．如本例的方法二，就较为简捷．跟踪演练3 命题p ：1是集合{x |x 2<a }中的元素；q ：2是集合{x |x 2<a }中的元素，则a 为何值时，“p ∨q ”为真？a 为何值时，“p ∧q ”为真？解 若p 为真，则1∈{x |x 2<a }，所以12<a ，即a >1；若q 为真，则2∈{x |x 2<a }，即a >4. 若“p ∨q ”为真，则a >1或a >4，即a >1； 若“p ∧q ”为真，则a >1且a >4，即a >4.1．命题p ：“x >0”是“x 2>0”的必要不充分条件，命题q ：△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的充要条件，则________．①p 真q 假 ②p ∧q 为真 ③p ∨q 为假 ④p 假q 真 答案 ④解析 命题p 假，命题q 真． 2．给出下列命题： ①2>1或1>3；②方程x 2－2x －4＝0的判别式大于或等于0； ③25是6或5的倍数；④集合A ∩B 是A 的子集，且是A ∪B 的子集． 其中真命题的个数为________． 答案 4解析 由于2>1是真命题，所以“2>1或1>3”是真命题；由于方程x 2－2x －4＝0的Δ＝4＋16>0，所以“方程x 2－2x －4＝0的判别式大于或等于0”是真命题；由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；由于A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆A ∪B ，所以命题“集合A ∩B 是A 的子集，且是A ∪B 的子集”是真命题．3．“p 是真命题”是“p ∧q 为真命题”的________条件． 答案 必要不充分解析 “p 是真命题”则p ∧q 不一定真，“p ∧q 为真命题”则“p 是真命题”一定真． 4．设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是________．①p 为真 ②綈p 为假 ③p ∧q 为假 ④p ∨q 为真 答案 ③解析 函数y ＝sin2x 的最小正周期为2π2＝π，故p 为假命题；x ＝π2不是y ＝cos x 的对称轴，命题q 为假命题，故p ∧q 为假．1.从集合的角度理解“且”“或”“非”对联结词“且”“或”“非”的含义的理解可类比集合中“交”“并”“补”的含义理解：设A ＝{x |x 满足命题p }，B ＝{x |x 满足命题q }，U 为全集，则p ∧q 对应于A ∩B ，p ∨q 对应于A ∪B ，綈p 对应于∁U A .2．对含有逻辑联结词的命题真假性的判断 当p 、q 都为真时，p ∧q 才为真； 当p 、q 有一个为真时，p ∨q 就为真； 綈p 与p 的真假性相反且一定有一个为真．一、基础达标1．命题“2019≥2019”使用的逻辑联结词是______． 答案 或解析 “2019≥2019”的含义是“2019>2019或2019＝2019”，是一个含逻辑联结词“或”的命题．2．下列命题中，是真命题的是________(填序号)． ①{∅}是空集；②{x∈N||x－1|<3}是无限集；③空集是任何集合的真子集；④x2－5x＝0的根是自然数．答案④解析{∅}是以∅为元素的集合；{x∈N||x－1|<3}＝{0,1,2,3}；空集是任何非空集合的真子集．x2－5x＝0的根是0,5.3．给定两个命题p，q.若非p是q的必要而不充分条件，则p是非p的________条件．答案充分而不必要解析q⇒非p，非p q⇔p⇒非q，非q p.4．已知命题p：2是偶数，命题q：2是3的约数，则下列命题：①p∧q②p∨q③綈p④(綈p)∧(綈q)其中真命题是______(填序号)．答案②解析因为p为真命题，q为假命题，所以“p∨q”“綈q”为真命题，“p∧q”“綈p”是假命题，故“(綈p)∧(綈q)”为假命题，故填②.5．对于命题p和q，若p∧q为真命题，则下列四个命题：①p∨綈q是真命题；②p∧綈q是真命题；③綈p∧綈q是假命题；④綈p∨q是假命题．其中真命题是________(填序号)．答案①③解析若p∧q为真命题，则p和q都是真命题，所以①和③都是真命题．6．“a≥5且b≥2”的否定是________________．答案a<5或b<2解析本题考查命题的否定，“p∨q”的否定是“綈p∧綈q”，“p∧q”的否定是“綈p∨綈q”．7．分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”，“綈p”形式的新命题，并判断其真假．(1)p：3是9的约数，q：3是18的约数．(2)p：菱形的对角线一定相等．q：菱形的对角线互相垂直．(3)p：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同．q：方程x2＋x－1＝0的两实根绝对值相等．(4)p：π是有理数，q：π是无理数．解(1)p∨q：3是9的约数或是18的约数，真命题；p ∧q ：3是9的约数且是18的约数，真命题； 綈p ：3不是9的约数，假命题．(2)p ∨q ：菱形的对角线一定相等或互相垂直，真命题； p ∧q ：菱形的对角线一定相等且互相垂直，假命题； 綈p ：菱形的对角线不一定相等，真命题．(3)p ∨q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根符号相同或绝对值相等，假命题； p ∧q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根符号相同且绝对值相等，假命题； 綈p ：方程x 2＋x －1＝0的两实根符号不同，真命题． (4)p ∨q ：π是有理数或是无理数，真命题； p ∧q ：π是有理数且是无理数，假命题； 綈p ：π不是有理数，真命题． 二、能力提升8．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数， p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数．则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题有______． 答案 q 1，q 4解析 p 1是真命题，则綈p 1为假命题；p 2是假命题，则綈p 2为真命题；∴q 1：p 1∨p 2是真命题，q 2：p 1∧p 2是假命题．∴q 3：(綈p 1)∨p 2为假命题，q 4：p 1∧(綈p 2)为真命题． ∴真命题是q 1，q 4.9．设有两个命题：p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，q ：函数y ＝－(5－2a )x 在R 上是减函数，若“p ∧q ”为真命题，则实数a 的取值范围是______． 答案 －2<a <2解析 因为“p ∧q ”为真命题，所以p ，q 均为真命题，故⎩⎪⎨⎪⎧(2a )2－16<0，5－2a >1，解得－2<a <2.10．已知a ＞0且a ≠1，设p ：y ＝a x 是R 上的单调递减函数；q ：函数g (x )＝lg(2ax 2＋2x ＋1)的值域为R ；如果“p ∧q ”为假命题，“p ∨q ”为真命题，则a 的取值范围是________． 答案 (12，1)解析 由题意知，p ：0＜a ＜1，q ：0＜a ≤12，当p 真q 假时，得12＜a ＜1；当p 假q 真时，无解．11．写出下列各命题的否定形式及否命题：(1)面积相等的两个三角形是全等三角形； (2)若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0.解 (1)否定形式：面积相等的两个三角形不一定是全等三角形． 否命题：面积不相等的两个三角形不一定是全等三角形． (2)否定形式：若xy ＝0，则x ≠0且y ≠0. 否命题：若xy ≠0，则x ≠0且y ≠0.12．设有两个命题．命题p ：不等式x 2－(a ＋1)x ＋1≤0的解集是∅；命题q ：函数f (x )＝(a ＋1)x 在定义域内是增函数．如果p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求a 的取值范围． 解 对于p ：因为不等式x 2－(a ＋1)x ＋1≤0的解集是∅，所以Δ＝[－(a ＋1)]2－4<0. 解不等式得：－3<a <1.对于q ：f (x )＝(a ＋1)x 在定义域内是增函数， 则有a ＋1>1，所以a >0.又p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题， 所以p 、q 必是一真一假． 当p 真q 假时有－3<a ≤0， 当p 假q 真时有a ≥1.综上所述，a 的取值范围为(－3,0]∪[1，＋∞)． 三、探究与创新13．已知命题p ：方程a 2x 2＋ax －2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0，若命题“p ∨q ”是假命题，求实数a 的取值范围． 解 由a 2x 2＋ax －2＝0，得(ax ＋2)(ax －1)＝0. 显然a ≠0，∴x ＝－2a 或x ＝1a .若命题p 为真，∵x ∈[－1,1]，故⎪⎪⎪⎪－2a ≤1或⎪⎪⎪⎪1a ≤1，∴|a |≥1. 若命题q 为真，即只有一个实数x 满足x 2＋2ax ＋2a ≤0， 即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点． ∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.∵命题“p ∨q ”为假命题，∴p ，q 均为假命题． ∴a 的取值范围是{a |－1<a <0或0<a <1}．。