热学 第二讲 两题答案

绝热容器A 经一阀门与另一容积比A 的容积大得多的绝热容器B 相连。开始时阀门关闭，两容器中盛有同种理想气体，温度均为30℃，B 中气体的压强是A 中的两倍。现将阀门缓慢打开，直至压强相等时关闭。问此时容器A 中气体的温度为多少？假设在打开到关闭阀门的过程中处在A 中的气体与处在B 中的气体之间无热交换。已知每摩尔该气体的内能为E ＝2.5RT 。

【解析】因为B 容器的容积远大于A 的容积，所以在题述的过程中，B 中气体的压强和温度均视为不变.B 容器内部分气体进入A 容器，根据题设，A 容器内气体是个绝热过程.外界(B 容器的剩余气体)对A 气体做功等于其内能的增量，从而求出A 气体的最终温度.

设气体的摩尔质量为M ，A 容器的体积V ，打开阀门前，气体质量为m ，压强为p ，温度为T .打开阀门又关闭后，A 中气体压强为2p ，温度为T ′，质量为m ′，则有:

m PV RT M

= '2'm PV RT M = 进入A 气体质量:

21'()'MPV m m m R T T

∆=-=- 设这些气体处在B 容器中时所占体积为:

1()2m T V RT V MP T T

∆∆=⋅=-' 为把这些气体压入A 容器，B 容器中其他气体对这些气体做的功为: 22(

1)T W P V PV T =∆=-' A 中气体内能的变化:

'5()2

m R E T T M '∆=⋅- 根据热力学第一定律有:

W E =∆

2(

1)5(1)'

T T PV PV T T -=-' 354T K '=

在一大水银槽中竖直插有一根玻璃管，管上端封闭，下端开口．已知槽中

水银液面以上的那部分玻璃管的长度l ＝76cm ，管内封闭有 1.0×10－3mol

的空气，保持水银槽与玻璃管都不动而设法使玻璃管内空气的温度缓慢地

降低10℃，问在此过程中管内空气放出的热量为多少？已知管外大气的压

强为76cm 汞柱高，空气看做双原子分子。普适气体常量R ＝8.31J/(mol·K)。

设玻璃管内空气柱的长度为h ，大气压强为0p ，管内空气的压强为p ，水银密度为ρ，重力加速度为g ，由图复解17-1-1可知

0()p l h g p ρ+-= （1）

根据题给的数据，可知0p l g ρ=，得

p gh ρ= （2）

若玻璃管的横截面积为S ，则管内空气的体积为

V Sh = （3）

由（2）、（3）式得 V p g S

ρ=

（4） 即管内空气的压强与其体积成正比，由克拉珀龙方程pV nRT =得 2

V g nRT S

ρ= （5） 由（5）式可知，随着温度降低，管内空气的体积变小，根

据（4）式可知管内空气的压强也变小，压强随体积的变化

关系为p V -图上过原点的直线，如图复解17-1-2所示．在

管内气体的温度由1T 降到2T 的过程中，气体的体积由1V 变

到2V ，体积缩小，外界对气体做正功，功的数值可用图中

划有斜线的梯形面积来表示，即有

221212121()22V V V W g V V g S S S V ρρ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

- （6） 管内空气内能的变化

V 21()U nC T T ∆=- （7） 设Q 为外界传给气体的热量，则由热力学第一定律W Q U +=∆，有

Q U W =∆- （8） 由（5）、（6）、（7）、（8）式代入得

V 211()2Q n T T C R ⎛⎫=-+ ⎪⎝

⎭ （9） 代入有关数据得

0.247J Q =-

0Q <表示管内空气放出热量，故空气放出的热量为

0.247J Q Q '=-= （10）