高中数学类比推理 同步练习北师大版选修2-2

类比推理 同步练习
1. 将下列平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立。

（1） 如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交。

（2） 如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线相互平行。

2. 根据三角形的性质，推测空间四面体的性质，
（3） 三角形的两边之和大于第三边；
（4） 三角形的三条内角平分线交于一点且该点是三角形内切圆圆心。

3. 类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是____________________。

（1）各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等； （2）各面都是全等的正三角形，相邻两个面所成二面角都相等； （3）各面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等。

4. 在ABC ∆中，射影定理可以表示为B c C b a cos cos +=，其中c b a ,,依次为角
C B A ,,的对边，类比以上定理，给出空间四面体性质的猜想。

5. 在等差数列{}n a 中，若010=a ，则有等式
),19(*192121N n n a a a a a a n n ∈<+++=+++-
成立，类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若19=b ，则有等式__________________________成立。

6. 若+
∈R a a 21,，则有不等式2
212
22122⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≥+a a a a 成立，请你类比推广此性质。

参考答案
1. （1）如果一个平面和两个平面中的一个相交，则必和另一个相交。

结论是正确
的。

（2）如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行。

结论错误。

2. （1）四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；
（2）四面体的六个二面角的平分面交于一点，且该点是四面体内切球的球心。

3 （1）（2）（3）。

4. 四面体ABC P -中，S S S S ,,,321分别表示面ABC PAC PBC PAB ∆∆∆∆,,,的面积，γβα,,依次表示面PAB 、面PBC 、面PAC 与底面面ABC 所成的二面角大小，则空间中的射影定理可表示为：γβαcos cos cos 321S S S S ++=。

5. ),17(*172121N n n b b b b b b n n ∈<=- 。

6.
2
3
2
1
2
3
2
2
2
1
3
3⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛+
+
≥
+
+a
a
a
a
a
a
或
2
2
1
2
2
2
2
1
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛+
+
+
≥
+
+
+
n
a
a
a
n
a
a
a
n
n
或
3
2
1
3
2
3
1
2
2⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛+
≥
+a
a
a
a
或
n
n
n a
a
a
a
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛+
≥
+
2
2
2
1
2
1
答案不唯一，n可取任何的正整数。