七升八数学暑期衔接班讲义

暑期七升八衔接班讲义

第一讲 与三角形有关的线段

知识点1、三角形的概念

☑ 不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。 ☑ 三角形的表示方法 三角形用符号“△”表示，顶点是A,B,C 的三角形，记作“△ABC ” 三角形ABC 用符号表示为△ABC 。三角形ABC 的顶点C 所对的边AB 可用c 表示,顶点B 所对的边AC 可用b 表示,顶点A 所对的边BC 可用a 表示.

知识点2、三角形的三边关系

【探究】任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B 点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?为什么？

☑ 三角形的两边之和大于第三边，可用字母表示为a+b ＞c ，b+c ＞a ，a+c ＞b

拓展：a+b ＞c ，根据不等式的性质得c-b ＜a ，即两边之差小于第三边。 即a-b ＜c ＜a+b （三角形的任意一边小于另二边和，大于另二边差） 【练习1】一个三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，则此三角形的第三边的长可能是（ ） A ．3cm

B ．4cm

C ．7cm

D ．11cm

【练习2】有下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？

(1)3，5，8； (2)5，6，10； (3)5，6，7. (4)5,6,12

【辨析】有三条线段a 、b 、c ，a+b ＞c ，扎西认为：这三条线段能组成三角形.你同意扎西的看法吗？为什么？

【小结】三角形的两边之和是指任意两边之和

【例1】用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形。（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗？为什么？

知识点3 三角形的三条重要线段 ☑ 三角形的高

(1)定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高（简称三角形的高） (2)高的叙述方法 AD 是△ABC 的高 AD ⊥BC ，垂足为D

点D 在BC 上，且∠BDA=∠CDA=90度

a

b

c (1)C

B A

[练习]

画出①、②、③三个△ABC 各边的高,并说明是哪条边的高.

① ② ③ AB 边上的高是线段____ AB 边上的高是线段____ AB 边上的高是线段____ BC 边上的高是_________ BC 边上的高是_________ BC 边上的高是_________ AC 边上的高是_________ AC 边上的高是_________ AC 边上的高是_________ [辨析] 高与垂线有区别吗？_____________________________________________

[探究] 画出图1中三角形ABC 三条边上的高，看看有什么发现？如果△ABC 是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？试着画一画 【结论】________________________________________ ☑ 三角形的中线

（1）定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线 [练习]

画出①、②、③三个△ABC 各边的中线,并说明是哪条边的中线.

① ② ③

AB 边上的中线是线段____ AB 边上的中线是线段____ AB 边上的中线是线段____ BC 边上的中线是_________ BC 边上的中线是_________ BC 边上的中线是_________ AC 边上的中线是________ AC 边上的中线是_________ AC 边上的中线是_________ 图中有相等关系的线段：

___________________________________________________

[探究1]观察△ABC 的三条边上的中线，看看有什么发现？如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？ 【结论】_________________________________ [探究2]如图，AD 为三角形ABC 的中线，△ABD 和△ACD 的面积相比有何关系？

【结论】__________________________________________

【例2】如图，已知△ABC 的周长为16厘米，AD 是BC 边上的中线，AD=

4

5

AB ，AD=4厘米，△ABD 的周长是12厘米，求△ABC 各边的长。

☑ 三角形的角平分线

A B C A B C B A

C

A B C A B C B

A C D C

B A

（1）定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

[辨析] 三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗？

画出△ABC各角的角平分线, 并说明是哪角的角平分线.

[探究]观察画出的三条角平线，你有什么发现？______________________________________ [自我检测]如图，AD、AE、CF分别是△ABC的中线、角平分线和高，则：

(1)BD=______=1

2

________；(2)BC=2_______=2_______；

(3)∠BAE=_______=1

2

_______；(4)∠BAC=2_______=2_______；(5)_______=________=90

知识点4 三角形的稳定性

三角形的三边长一旦确定，三角形的形状就唯一确定，这个性质叫做三角形的稳定性。四边形则不具有稳定性。

钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性，伸缩门则是利用四边形的不稳定性。你还能举出一些例子吗？

【试一试】

1、如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD比△ACD的周长大6cm，则AB与AC的差为_______

2、如图，D为△ABC中AC边上一点，AD=1,DC=2,AB=4,E是AB上一点，且△ABC的面积等于△DEC面积的2倍，则BE的长为（）

3、若点P是△ABC一点，试说明AB+AC＞PB+PC

A

B C B

A

C

F

E

D

C

B

A