七升八数学暑期衔接班讲义
七升八数学暑期衔接班讲义[1]
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暑期七升八衔接班讲义第一讲 与三角形有关的线段知识点1、三角形的概念☑ 不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
☑ 三角形的表示方法 三角形用符号“△”表示，顶点是A,B,C 的三角形，记作“△ABC ” 三角形ABC 用符号表示为△ABC 。
三角形ABC 的顶点C 所对的边AB 可用c 表示,顶点B 所对的边AC 可用b 表示,顶点A 所对的边BC 可用a 表示. 知识点2、三角形的三边关系【探究】任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B 点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?为什么？☑ 三角形的两边之和大于第三边，可用字母表示为a+b ＞c ，b+c ＞a ，a+c ＞b拓展：a+b ＞c ，根据不等式的性质得c-b ＜a ，即两边之差小于第三边。
即a-b ＜c ＜a+b （三角形的任意一边小于另二边和，大于另二边差） 【练习1】一个三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，则此三角形的第三边的长可能是（ ） A ．3cmB ．4cmC ．7cmD ．11cm【练习2】有下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？(1)3，5，8； (2)5，6，10； (3)5，6，7. (4)5,6,12【辨析】有三条线段a 、b 、c ，a+b ＞c ，扎西认为：这三条线段能组成三角形.你同意扎西的看法吗？为什么？【小结】三角形的两边之和是指任意两边之和【例1】用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形。
（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗？为什么？知识点3 三角形的三条重要线段 ☑ 三角形的高(1)定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高（简称三角形的高） (2)高的叙述方法 AD 是△ABC 的高 AD ⊥BC ，垂足为D点D 在BC 上，且∠BDA=∠CDA=90度abc (1)CB A[练习]画出①、②、③三个△ABC 各边的高,并说明是哪条边的高.① ② AB 边上的高是线段____ AB 边上的高是线段____ AB 边上的高是线段____ BC 边上的高是_________ BC 边上的高是_________ BC 边上的高是_________ AC 边上的高是_________ AC 边上的高是_________ AC 边上的高是_________ [辨析] 高与垂线有区别吗？_____________________________________________ [探究] 画出图1中三角形ABC 三条边上的高，看看有什么发现？如果△ABC 是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？试着画一画【结论】________________________________________ ☑ 三角形的中线（1）定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线 [练习]画出①、②、③三个△ABC 各边的中线,并说明是哪条边的中线.① ② ③AB 边上的中线是线段____ AB 边上的中线是线段____ AB 边上的中线是线段____ BC 边上的中线是_________ BC 边上的中线是_________ BC 边上的中线是_________ AC 边上的中线是________ AC 边上的中线是_________ AC 边上的中线是_________ 图中有相等关系的线段：___________________________________________________ [探究1]观察△ABC 的三条边上的中线，看看有什么发现？如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？ 【结论】_________________________________[探究2]如图，AD 为三角形ABC 的中线，△ABD 和△ACD 的面积相比有何关系？ 【结论】__________________________________________【例2】如图，已知△ABC 的周长为16厘米，AD 是BC 边上的中线，AD=45AB ，AD=4厘米，△ABD 的周长是12厘米，求△ABC 各边的长。
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三角形第一讲与三角形有关的线段1.定义：不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。
组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
三角形ABC用符号表示为△ABC.三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c 表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.2.三角形三边的不等关系三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边。
3.三角形的高：从三角形的向它的作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高,（注意八字形）注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。
三角形的三条高相交于一点。
．．．．．．．．．．．．．4.三角形的中线：三角的三条中线相交于一点。
（三角形中线分三角形面积相等的两个三角形）5.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，与之间的线段,叫做三角形的角平分线.三角形三个角的平分线相交于一点．．．．．．．．．．．．．．．三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6.三角形的稳定性:例1.一个等腰三角形的周长为32 cm，腰长的3倍比底边长的2倍多6 cm.求各边长.例2.已知：△ABC的周长为48cm，最大边与最小边之差为14cm，另一边与最小边之和为25cm，求：△ABC 的各边的长。
例3.已知△ABC的周长是24cm，三边a、b、c满足c+a=2b，c-a=4cm，求a、b、c的长.例4.已知等腰三角形的周长是16cm．（1）若其中一边长为4cm，求另外两边的长；（2）若其中一边长为6cm，求另外两边长；（3）若三边长都是整数，求三角形各边的长．例5.已知等腰三角形的周长是25，一腰上的中线把三角形分成两个，两个三角形的周长的差是4,求等腰三角形各边的长。
七升八暑假衔接学习讲义
七升八暑假衔接学习讲义公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]一、图形的全等1.定义：能够完全重合的两个图形称为全等图形.观察右面两组图形，它们是不是全等图形为什么2. 由全等图形类比得出：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
比如，在图中，△ABC与△DEF能够完全重合，它们是全等的。
其中顶点A，D重合，它们是对应顶点；AB边与DE边重合，它们是对应边；A∠重合，它们是对应角.∠与D△ABC与△DEF全等，我们把它记作“△ABC≌△DEF”.记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.全等三角形的对应边，对应角。
全等三角形的对应边上的中线，对应边上的高，对应角的角平分线；全等三角形的周长，面积。
几何语言：（）∠A= , ∠C= ，∠B= .（）练习：1．如图6，△ABC≌△AEC，∠B=75°, ∠ACB=55°,求出△AEC各内角的度数。
解：A2．如图7，△ABD ≌△EBC ，AB=3 cm ，AC=8 cm ，求DE解： 3.判断：○1全等三角形的边相等，角相等，中线相等，角平分线相等.（ ）○2全等三角形的周长相等.（ ） ○3周长相等的两个三角形是全等三角形.（ ） ○4全等三角形的面积相等.（ ）○5面积相等的两个三角形是全等三角形.（ ） 4.填空：如图所示，已知△AOB ≌△COD ，∠C =∠A ,AB =CD ,则另外两组对应边为________________，另外两组对应角为________________。
5.如图3，已知CD ⊥AB 于D ， BE ⊥AC 于E,△ABE ≌△ACD ，∠C=20°,AB=10，AD=4，G 为AB 延长线上的一点，求∠ABE 的度数和简记为"边角边"，符号表示："SAS" 例1. 下列哪组三角形能完全重合（全等）例2.如图，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，已知AB ＝A ′B ′，∠B ＝∠B ′，BC ＝B ′C ′．这两个三角形全等吗例3. 在△ABC 和△A ′B ′C ′中（自己画图）(1)⎪⎩⎪⎨⎧''='∠=∠''=C B BC B B B A AB (2) ⎪⎩⎪⎨⎧='∠=∠''=______A A B A ABA BC(图ADB GACDBOA D CB FEAD ∴C B A ABC '''∆≅∆( SAS ) ∴C B A ABC '''∆≅∆( )(3) ⎪⎩⎪⎨⎧''=∠=∠''=C B BC C A AC ____∴C B A ABC '''∆≅∆( ) 练习1：1．根据题目条件，判断下面的三角形是否全等 （1） AC ＝DF ， ∠C ＝∠F ， BC ＝EF ； （2） BC ＝BD ， ∠ABC ＝∠ABD ． 2． 如图2，△AOB 和△COD 全等吗为什么 3. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ， AD 平分∠BAC ，求证：△ABD ≌△ACD ．4. 如图3，已知AD ∥BC ，AD ＝CB ，证明：△ABC ≌△CDA.5.如图4，已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠1＝∠2，证明：△ABD ≌ACE.6. 如图，已知AB=AC ，AE=AD ，那么图中哪两个三角形全等并进行证明.7.已知： AD ∥BC ，AD ＝ CB(如图)．现有条件能证明△ADC ≌△CBA 吗如果能请写出证明过程，若不能，那么还需添加怎样的条件才能证明 练习21.已知：如图，AC=AD ，∠CAB=∠DAB ，求证：△ACB ≌△ADB 2.已知：AD ∥BC ，AD=CB 求证：△ADC ≌△CBA3.已知：AD ∥BC ，AD=CB ，AE=CF求证：△AFD ≌△CEB4.已知：EA=EC ，ED=EB ，A DC B FEA DCBE12求证：△AED ≌△CEB5.已知：AC=DB ，AE=DF ，EA ⊥AD ，FD ⊥AD ，求证：△EAB ≌△FDC6.已知：AB=AC ，AD=AE ，∠1=∠2求证：∠B=∠C三、三角形的判定定理：角边角定理定理：两个三角形的两组对应角相等且它们的夹边也相等，那么这两个三角形全等，简记为"角边角"，符号表示："ASA"例1. 如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪块去 例2.如图，AD ∥BC ，BE ∥DF ，AE ＝CF ，试说明：△ADF ≌△CBE .例3.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于与BE 交于F ，若BF ＝AC ，试说明：△ADC ≌△BDF .例4.在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E .试说明：(1)△BDA ≌△AEC ； (2)DE ＝BD ＋CE . 练习：1. 如图，已知AO =DO ，∠AOB 与∠DOC 是对顶角，还需补充条件_________=___________，就可根据“ASA ”说明△AOB ≌△DOC ；或者补充条件_______________=_______________，就可根据“SAS ”，说明△AOB ≌△D OCABoAB CDEF2. 已知：点D 在AB 上，点E 在AC 上，BE 和CD 相交于点O ，AB=AC ，∠B=∠C 。
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三角形第一讲与三角形有关的线段1.定义：不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。
组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
三角形ABC用符号表示为△ABC.三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c 表示,顶点B所对的边AC 可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.2.三角形三边的不等关系三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边。
3.三角形的高：从三角形的向它的作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高,（注意八字形）注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。
三角形的三条高相交于一点。
．．．．．．．．．．．．．4.三角形的中线：三角的三条中线相交于一点。
（三角形中线分三角形面积相等的两个三角形）5.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，与之间的线段,叫做三角形的角平分线.三角形三个角的平分线相交于一点．．．．．．．．．．．．．．．三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．三角形的三条高的交点在．．．．．．．．．．．三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6.三角形的稳定性:例1.一个等腰三角形的周长为32 cm，腰长的3倍比底边长的2倍多6 cm.求各边长.例2.已知：△ABC的周长为48cm，最大边与最小边之差为14cm，另一边与最小边之和为25cm，求：△ABC的各边的长。
例3.已知△ABC的周长是24cm，三边a、b、c满足c+a=2b，c-a=4cm，求a、b、c的长.例4.已知等腰三角形的周长是16cm．（1）若其中一边长为4cm，求另外两边的长；（2）若其中一边长为6cm，求另外两边长；（3）若三边长都是整数，求三角形各边的长．例5.已知等腰三角形的周长是25，一腰上的中线把三角形分成两个，两个三角形的周长的差是4,求等腰三角形各边的长。
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暑期七升八衔接班讲 义第一讲 与三角形有关的线段知识点1、三角形的概念☑ 不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形;组成三角形的线段叫做三角形的边,相邻两边所组成的角叫做三角形的内角,简称角,相邻两边的公共端点是三角形的顶点; ☑ 三角形的表示方法 三角形用符号“△”表示,顶点是A,B,C 的三角形,记作“△ABC ” 三角形ABC 用符号表示为△ABC;三角形ABC 的顶点C 所对的边AB 可用c 表示,顶点B 所对的边AC 可用b 表示,顶点A 所对的边BC 可用a 表示. 知识点2、三角形的三边关系探究任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B 点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择 各条路线的长一样吗 为什么☑ 三角形的两边之和大于第三边,可用字母表示为a+b ＞c,b+c ＞a,a+c ＞b拓展：a+b ＞c,根据不等式的性质得c-b ＜a,即两边之差小于第三边; 即a-b ＜c ＜a+b 三角形的任意一边小于另二边和,大于另二边差 练习1一个三角形的两边长分别为3cm 和7cm,则此三角形的第三边的长可能是 A ．3cmB ．4cmC ．7cmD ．11cm练习2有下列长度的三条线段能否组成三角形 为什么13,5,8； 25,6,10； 35,6,7. 45,6,12辨析有三条线段a 、b 、c,a+b ＞c,扎西认为：这三条线段能组成三角形.你同意扎西的看法吗 为什么小结三角形的两边之和是指任意两边之和例1用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形;1如果腰长是底边的2倍,那么各边的长ab c (1)CB A是多少 2能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗 为什么知识点3 三角形的三条重要线段☑ 三角形的高1定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高简称三角形的高 2高的叙述方法 AD 是△ABC 的高 AD ⊥BC,垂足为D点D 在BC 上,且∠BDA=∠CDA=90度 练习画出①、②、③三个△ABC 各边的高,并说明是哪条边的高.① ② ③ AB 边上的高是线段____ AB 边上的高是线段____ AB 边上的高是线段____ BC 边上的高是_________ BC 边上的高是_________ BC 边上的高是_________ AC 边上的高是_________ AC 边上的高是_________ AC 边上的高是_________ 辨析 高与垂线有区别吗 _____________________________________________探究 画出图1中三角形ABC 三条边上的高,看看有什么发现 如果△ABC 是直角三角形、钝角三角形,上面的结论还成立吗 试着画一画结论________________________________________ ☑ 三角形的中线1定义：在三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线 练习画出①、②、③三个△ABC 各边的中线,并说明是哪条边的中线.① ② ③ AB 边上的中线是线段____ AB 边上的中线是线段____ AB 边上的中线是线段____A B C A B C B AA B C A B C B ABC 边上的中线是_________ BC 边上的中线是_________ BC 边上的中线是_________ AC 边上的中线是________ AC 边上的中线是_________ AC 边上的中线是_________ 图中有相等关系的线段：___________________________________________________ 探究1观察△ABC 的三条边上的中线,看看有什么发现 如果三角形是直角三角形、钝角三角形,上面的结论还成立吗结论_________________________________探究2如图,AD 为三角形ABC 的中线,△ABD 和△ACD 的面积相比有何关系 结论__________________________________________ 例2如图,已知△ABC 的周长为16厘米,AD 是BC 边上的中线,AD=45AB,AD=4厘米,△ABD 的周长是12厘米,求△ABC 各边的长;三角形的角平分线1定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线;辨析 三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗画出△ABC 各角的角平分线, 并说明是哪角的角平分线.探究观察画出的三条角平线,你有什么发现 ______________________________________自我检测如图,AD 、AE 、CF 分别是△ABC 的中线、角平分线和高,则： 1BD=______=12________； 2BC=2_______=2_______；3∠BAE=_______=12_______；4∠BAC=2_______=2_______；5_______=________=90知识点4 三角形的稳定性三角形的三边长一旦确定,三角形的形状就唯一确定,这个性质叫做三角形的稳定性;四边形则不具有稳定性;钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性,伸缩门则是利用四边形的不稳定性; 你还能举出一些例子吗试一试DCBAA B C BACF EDC B A1、如图,AD是△ABC的中线,已知△ABD比△ACD的周长大6cm,则AB与AC的差为_______2、如图,D为△ABC中AC边上一点,AD=1,DC=2,AB=4,E是AB上一点,且△ABC的面积等于△DEC面积的2倍,则BE的长为3、若点P是△ABC内一点,试说明AB+AC＞PB+PC课后作业1、一位同学用三根木棒拼成如图所示的图形,其中符合三角形概念的是C．D．A．B．2、如果三条线段的比是：①1∶3∶4；②1∶2∶3；③1∶4∶6；④3∶3∶6；⑤6∶6∶10；⑥3∶4∶5,其中可构成三角形的有A．1个B．2个C．3个D．4个3、已知三角形两边长分别为4 cm和9 cm,则下列长度的四条线段中能作为第三边的是A．13 cm B．6 cm C．5 cm D．4 cm4、为估计池塘两岸A、B间的距离,杨阳在池塘一侧选取了一点P,测得PA=16 m,PB=12m,那么AB间的距离不可能是A．5 m B．15m C．20 m D．28m5、一个三角形的周长是偶数,其中的两条边分别为5和9,则满足上述条件的三角形个数为A．2个B．4个C．6个D．8个6、三角形的角平分线、中线和高都是A．直线B．线段C．射线D．以上答案都不对7、如图,如果把△ABC沿AD折叠,使点C落在AB上的点E处,那么折痕线段AD是△ABC 的A ．中线B ．角平分线C ．高D ．既是中线,又是角平分线8、如图,AC ⊥BC,CD ⊥AB,DE ⊥BC,下列说法中,错误的是A ．△ABC 中,AC 是BC 边上的高B ．△BCD 中,DE 是BC 边上的高 C ．△ABE 中,DE 是BE 边上的高D ．△ACD 中,AD 是CD 边上的高9、若a 、b 、c 表示△ABC 的三边长,则|a -b -c |+|b -c -c |+|c -a -b |=________.10、三角形的两边长分别为5 cm 和12 cm ,第三边与前两边中的一边相等,则三角形的周长为________. 11、如图所示,在△ABC 中,AD 是中线,AE 是角平分线,AF 是高,填空： 1BD ＝________＝________; 2∠BAE ＝________＝________； 3∠AFB ＝________＝90°；4∠B 的余角是________,∠C 与________互余；5S △ABC ＝________,S △ABD ________S △ADC ＝________．12、如图,AD 是△ABC 的中线,DE=2AE,若△ABC 的面积是18cm 2,则△ABE 的面积=__________13、如图,3AODS=,4AOBS=,6CODS=,求BOCS14、已知在△ABC 中,三边长a,b,c 都是整数,且满足a ＞b ＞c,a=8,那么满足条件的三角形共有多少个15、如图,在三角形ABC 中,AD 是BC 边上的中线,三角形ABD 的周长比三角形ACD 的周长小5,你能求出AC 与AB 的边长的差吗16、如图所示,已知P是△ABC内一点,试说明PA+PB+PC＞12AB+BC+AC．17 、在△ABC中,AD是BC边上的中线,若△ABD和△ADC的周长之差为4AB＞AC,AB与AC的和为14,求AB和AC的长．第二讲与三角形有关的角知识点1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于1800;导入我们在小学就知道三角形内角和等于1800,这个结论是通过实验得到的,这个命题是不是真命题还需要证明,怎样证明呢回顾我们小学做过的实验,你是怎样操作的把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处,用量角器量出∠BCD的度数,可得到∠A+∠B+∠ACB=1800;想一想,还可以怎样拼①剪下∠A,按图2拼在一起,可得到∠A+∠B+∠ACB=1800;图2②把B ∠和C ∠剪下按图3拼在一起,可得到∠A+∠B+∠ACB=1800;如果把上面移动的角在图上进行转移,由图1你能想到证明三角形内角和等于1800的方法吗证明：已知△ABC,求证：∠A+∠B+∠C=1800;例1如图,C 岛在A 岛的北偏东30°方向,B 岛在A 岛的北偏东100°方向,C 岛在B 岛的北偏西55°方向,从C岛看A 、B 两岛的视角∠ACB 是多少度知识点2、三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角;自我探究 画出图中三角形ABC 的外角1、判断图中∠1是不是△ABC 的外角：_______________2、如图,1∠1、∠2都是△ABC 的外角吗 ________________2△ABC 共有多少个外角 ___________________ 请在图中标出△ABC 的其它外角.3、探究题：如图,这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线,你能就此图说明∠ACD 与∠A 、∠B 的关系吗∵CE ∥AB, ∴∠A=_____,_____=∠2 又∠ACD=_______+________ ∴∠ACD=_______+________(1)1BACD(3)1ABCD(4)A B C D 1(5)E AB CD 1(6)E AB CD 12ABC1(2)1AB CD结论1______________________________________________结论2_____________________________________外角两性质小结三角形每个顶点处有两个外角,便在计算三角形外角和时,每个顶点处只算一个外角,外角和就是三个外角的和;外角的作用：1、已知外角和与它不相邻的两个内角中的一个,求另一个2、可证一个角等于另两个角的和3、证明两个角不相等的关系;练习填空：求出下列各图中∠1的度数.1如图,∠1=______；2如图,∠1=______；3如图,∠1=______；4如图,∠1=______；5如图,∠1=______；6如图,∠1=______.2、判断正误：对的有______,错的有1三角形的一个外角等于两个内角的和.2三角形的一个外角减去它的一个不相邻的内角,等于它的另一个不相邻的内角. 3三角形的一个外角大于与它不相邻的一个内角.探究2. 已知：如图,∠1=30°,∠2=50°,∠3=45°,则1∠4=______°；2∠5=______°.3.已知：如图∠1=40°,∠2=∠3,则1∠4=______°；2∠2=______°.4.如图,AB∥CD,∠B=55°,∠C=40°,则1∠D=______°；2∠1=______°.5. 例2.如图,∠BAE,∠CBF,∠ACD是△ABC的三个外角,它们的和是多少解：因为∠BAE=∠__+∠____,∠CBF=∠__+∠___,∠ACD=__________,所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=∠__+∠___+________+___________=2∠1+_________=2×180°=360°.从例2.我们可以得到一个数学结论: 三角形________________________________.试一试6已知：如图,∠B=30°,∠C=65°,∠BAD=50°,1BACD第4题(1)30︒30︒11BACD第4题(2)40︒35︒2AB C D1第4题(3)40︒3AB CD1第4题(4)120︒85︒4CDCA DAB CD求∠CAD 的度数.解：在△ABC 中,∠ADC=∠____+∠___=____°+___°=_______.在△ADC 中,∠CAD=180°-_____________=180°-_____________=_________.7.已知：如图,在△ABC 中,AD 是BC 边上的高, ∠BAC=80°,∠C=40°,则∠BAD=________°. 8.已知：如图,BD 是△ABC 的角平分线, ∠A=100°,∠C=30°,则∠ADB=________°. 9.如图,AD 、BE 分别是△ABC 的高和角平分线,∠BAC=100°,∠C=30°,则∠1=________°. 10.△ABC 中,∠B=∠A+100,∠C=∠B+200,求△ABC 各内角的度数实战演练1、如图所示,D,E 分别AC,AB 边上的点,DB,EC 相交于点F,则∠A+∠B+∠C+∠EFB=_________2、如图所示,已知∠1=∠2,∠BAC=70度,求∠DEF 的度数;3、已知△ABC 中,∠A, ∠B, ∠C 的外角度数之比为3：4：5,求∠A, ∠B, ∠C 的度数,并判断△ABC 的形状;4、1如图所示,已知△ABC 中,∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点O ．试说明∠BOC=90°+ 12∠A2如图所示,BD 、CD 分别是∠ABC 、∠ACB 的外角平分线．试说明∠D=90°－12∠A ； 3如图所示,已知BD 为△ABC 的角平分线,CD 为△ABC 外角∠ACE 的平分线,且与BD 交于点D,试说明∠A=2∠D ．DABCABDC1E ABDC课后作业1、2011,济宁若一个三角形三个内角度数的比为2∶7∶4,那么这个三角形是A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形2、如果一个三角形的两个外角之和为270°,那么这个三角形是A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定3、如图,在直角△ABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB于D,若∠B＝36°,则∠1＝_____,∠A＝________．4、如图所示,∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数为________．5、如图所示,已知AC∥ED,∠C＝26°,∠CBE＝37°,则∠BED的度数是_________第3题第4题第5题6、将一副常规的三角尺按如图方式放置,则图中∠AOB的度数为________7、如图所示,AC⊥DE,垂足为O,∠B＝35°,∠E＝30°,则∠A＝________．8、把一把直尺与一个三角板如图放置,若∠1＝45°,则∠2的度数为第6题第7题第8题9、已知△ABC中,∠B、∠C的外角平分线交于点D,∠A＝40°,那么∠D＝________．10、在△ABC中,若∠A-2∠B=70°,2∠C-∠B=10°,则∠C=________.11、如图,是用四根木棒搭成的平行四边形框架,AB=8cm,AD=6cm,使AB固定,转动AD,当∠DAB=________时,ABCD的面积最大,最大值是________.12、2012•漳州将一副直角三角板,按如图所示叠放在一起,则图中∠α的度数是13、一副三角板如图叠放在一起,则图中∠α的度数为第11题第12题第13题14、如图所示,AB∥CD,∠E=27°,∠C=52°,则∠EAB的度数为15、如图,△ABC中,∠A=50°,点D,E分别在AB,AC上,则∠1+∠2的大小为第14题第15题16、2006•临沂如图,已知AB∥CD,则A．∠1=∠2+∠3 B．∠1=2∠2+∠3C．∠1=2∠2-∠3 D．∠1=180°-∠2-∠317、2005•吉林如图,在Rt△ADB中,∠D=90°,C为AD上一点,则x可能是A．10°B．20°C．30°D．40°18、如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为第16题第17题第18题19、若一个三角形三个外角的度数之比为2：3：4,则与之对应的三个内角的度数的比为A．5：3：1 B．3：2：4 C．4：3：2 D．3：1：520、如图,在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O.1若∠ABC=40°,∠ACB=60°,则∠BOC=________；2若∠ABC+∠ACB=116°,则∠BOC=________；3若∠A=76°,则∠BOC=________；4若∠A=m°,则∠BOC=________；5若∠BOC=120°,则∠A=________；6∠A与∠BOC之间具有的数量关系是________.21、1如图,∠MON=80°,点A、B分别在射线OM、ON上移动,△AOB的角平分线AC与BD交于点P．试问：随着点A、B位置的变化,∠APB的大小是否会变化若保持不变,请求出∠APB的度数．若发生变化,求出变化范围．2画两条相交的直线OX、OY,使∠XOY=60°,②在射线OX、OY上分别再任意取A、B两点,③作∠ABY的平分线BD,BD的反向延长线交∠OAB的平分线于点C,随着点A、B位置的变化,∠C的大小是否会变化若保持不变,请求出∠C的度数．若发生变化,求出变化范围．第三讲多边形及其内角和知识点1、多边形的有关概念定义：在平面内,由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……、n边形;这就是说,一个多边形由几条线段组成,就叫做几边形,三角形是最简单的多边形;与三角形类似地,多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角,如图中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E;多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．如图中的∠1是五边形ABCDE的一个外角;连接多边形的不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线凸多边形和凹多边形如图,下面的两个多边形有什么不同在图1中,画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线,整个图形都在这条直线的同一侧,这样的四边形叫做凸四边形,这样的多边形称为凸多边形；而图2就不满足上述凸多边形的特征,因为我们画BD所在直线,整个多边形不都在这条直线的同一侧,我们称它为凹多边形;注意：今后我们讨论的多边形指的都是凸多边形．我们知道,等边三角形、正方形的各个角都相等,各条边都相等,像这样各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形;知识点2、多边形的内角和探究观察下面的图形,填空：五边形六边形从五边形一个顶点出发可以引对角线,它们将五边形分成三角形,五边形的内角和等于；从六边形一个顶点出发可以引对角线,它们将六边形分成三角形,六边形的内角和等于；从n边形一个顶点出发,可以引对角线,它们将n边形分成三角形,n边形的内角和等于 ;小结从一个顶点引对角线时,这个顶点和相邻的两个顶点不能引对角线,那么还剩下n-3个顶点,就能引出n-3条对角线,从而得出结论：从n边形的一个顶点可引出n-3条对角线,每一个顶点可引出n-3条对角线,有n个顶点,共有nn-3条对角线,但每条对角线都算了两次,所以n边形共有对角线的条数为(3)2n n多边形内角和的证明方法1、如图1,在五边形ABCDE内任取一点O,连结OA、OB、OC、OD、OE,则得五个三角形;∴五边形的内角和为5×180°一2×180°＝5—2×180°=540°;方法2、如图2,在边AB 上取一点O,连OE 、OD 、OC,则可以5－1个三角形; ∴五边形的内角和为5—1×180°一180°＝5—2×180°如果把五边形换成n 边形,用同样的方法可以得到n 边形内角和＝n 一2×180°．多边形的外角和n 边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180度,n 个外角连同它们各自相邻的内角共有2n 个角,这些角的总和等于180n ,所以外角和为180(2)180=360n n -- 自我检测1.一个多边形的内角和为720°,那么它是________边形.2.一个多边形每一个内角等于144°,则其边数是________.3.下列角度中,不能成为多边形内角和的是A. 600°B. 420°C. 900°D. 1800° 4如果五边形的三个内角是直角,另两个内角都为n °,则n 的值为A.105B.120C.125D.1355.一个四边形的内角中,钝角最多有 A.一个 B.两个 C.三个 D.四个6. 一个四边形四个内角∠A 、∠B 、∠C 、∠D 的度数比是2:3:4:3,求这个四边形的四个内角.分析与简解:我们从∠A 、∠B 、∠C 、∠D 的度数比是2:3:4:3,所以如果我们设∠A 的度数为2x 则∠B 、∠C 、∠D 的度数为___,____,_____.根据题意,列方程:___________________解得x=30.所以,∠A=2x °=2×____°=_____°.类似,∠B =_____、∠C =_______、∠D= _________ 7.四边形ABCD 中若∠A +∠B =180° 且: ∠B:∠C:∠D =1:2:3则∠A=___________ 8.一个五边形剪去一个角后,剩下的内角和是多少度:________________________________9.如果一个多边形除了一个内角外,其余各内角这和为1190°,则这个内角为_________度,是一个__________边形.10.一个多边形截去一个角不过顶点后,所形成的一个多边形的内角和是2520°,那么原多边形的边数是 A.13 B.15 C.17 D.198.填空：如果一个多边形的内角和与外角和相等,那么这个多边形是______边形. 9.填空：如果一个多边形的各外角都等于60°,那么这个多边形是______边形. 10.填空：如果一个多边形的各内角都等于120°,那么这个多边形是______边形. 11.一个多边形的内角和是外角和的2.5倍,它是几边形 解：设这个多边形为n 边形. - - - - 注意学习解题格式 根据题意,列方程得_______·180=_______×360. 解得 n=____.答：这个多边形是_____边形.12.求下列图中x值1X=2X=13.四边形的内角和是14.一个多边形的每一个外角为18°,则它是一个______边形.15.当多边形的边数增加1时,其内角和增加______度,外角和增加___度.16一个正多边形的每个外角都是72°,则这个多边形是__________边形.17.每个内角都为144°的多边形为______边形.18.若多边形的内角和等于外角的3倍,则这个多边形的边是______.19.四边形中,如果有一组对角都是直角,那么另一组对角可能A.都是钝角B.都是锐角C.是一个锐角,一个钝角.D. 是一个锐角,一个直角20.若一个多边形的各内角都相等,则一个内角与一个外角的度数之比不可能是 A.2:1B.1:1C.5:2D.5:421一个多边形的内角中,锐角的个数最多有A.3个B.4个C.5个D.6个22若一个多边形除了一个内角外,其余各内角之和为2570°,则这个内角的度数为 A.90°B.105°C.130°D.120°课后作业1、过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成6个三角形,这个多边形的边数为A．5 B．6 C．7 D．82、一个八边形的对角线的条数是A．5 B．20 C．22 D．183、一个多边形的内角和与外角和之和为2520°,这个多边形的边数为A．12 B．13 C．14 D．154、如果一个多边形的每一个外角都是锐角,那么这个多边形的边数一定不小于A．3 B．4 C．5 D．65、一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°,这个多边形的边数是A．5 B．6 C．7 D．86、一个多边形截去一个角后,形成的另一个多边形的内角和是1620°,则原来多边形的边数是A．10B．11 C．12D．以上都有可能7、如图,小林从P点向西直走12米后,向左转,转动的角度为α,再走12米,如此重复,小林共走了108米回到点P,则α=A．30°B．40°C．80°D．不存在8、如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F为A．180°B．360°C．540°D．720°9、如图,∠1=65°,∠2=85°,∠3=60°,∠4=40°,则∠5=A．45°B．50°C．55°D．60°10、如图,用一条宽相等的足够长的纸条,打一个结,如图1所示,然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE,其中∠BAC=度．A．30 B．36 C．40 D．72第7题第8题第9题第10题11、如图,∠1,∠2,∠3,∠4,∠5,∠6的度数之和是A．120°B．135°C．180°D．360°12、如图,若∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=n•90°,则n为A．4 B．5 C．6 D．713、一个六边形ABCDEF的六个内角都是120°,连续四边的长依次为AB=1,BC=3,CD=3,DE=2,那么这个六边形ABCDEF的周长是A．12 B．13 C．14 D．1514、如图,一块四边形绿化园地,四角都做有半径为R的圆形喷水池,则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为A．2πR2B．4πR2C．πR2D．不能确定第11题第12题第13题第14题15、外角都是72°的多边形的内角和是________．16、如果一个正多边形的内角比它相邻的外角大100°,那么这个多边形是________．17、如图所示,根据图中的对话回答问题：1王强是在求几边形的内角和2少加的那个内角为多少度第四讲全等三角形观察与探案1、观察下列图形,都有什么共同特征 你还能举出其他例子吗☑ 定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形; 2、右图中的二个图形是全等形吗思考二个图形满足什么条件时就能完全重合呢 结论： 3、判断下列说法是否正确：①五角星都是全等形； ⑤周长相等的长方形是全等形； ②面积相等的三角形是全等形； ⑥周长相等的正方形是全等形；③全等的两个图形面积相等 ⑦全等的两个三角形的大小和形状完全相同； 4、拿出纸片,对折以后用剪刀剪出两个三角形,观察发现：这两个三角形_____、_____相同,能够 ,因此,我们把 的两个三角形叫做全等三角形; ☑ 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 “全等”用“≌”表示,读作“全等于” ,如图中的两个三角形全等,记作：△ABC ≌△DEF 5、按要求填空△ ABC 中,AB 边的对角是________,AC 边的对角是_______,∠B的对边是________；______是∠A 的对边；AB 与BC 的夹角是_________,AC 与BC 的夹角是___________,∠B 是_____和_____的夹角;问题：你手中的两个三角形是全等的,但是如果任意摆放能重合吗 该怎样做它们才能重合呢发现：两个全等三角形任意摆放时,并不一定能完全重合,只有当把 重合到一起或 重合到一起时它们才能完全重合;这时我们把重合在一起的顶点、角、边分别称为对应顶点、对应角、对应边;13AB CA BCDEO☑ 表示两个全等三角形时,通常把表示对应顶点字母写在对应的位置上,这样便于确定两个三角形的对应关系;思考两个三角形全等,它们的对应边有什么关系 对应角呢发现全等三角形的性质：全等三角形的对应边________,对应角_____________ ☑ 用几何语言表示全等三角形的性质 如图： ∵∆ABC ≌ ∆DEF∴AB ＝DE,AC ＝DF,BC ＝EF 全等三角形对应边相等 ∠A ＝∠D,∠B ＝∠E,∠C ＝∠F 全等三角形对应角相等思考图中的各对三角形是全等三角形,怎样改变其中一个三角形的位置,使它能与另一个三角形完全重合一个图形经过平移、翻折、旋转后,_________变化了,但_______和_______没变,即平移、翻折、旋转前后的图形全等;思考通过刚才的操作,你能说说每对三角形的对应顶点,对应角,对应边吗试一试下列图形中,至少有两个三角形是全等的,请写出你找到的对应边、对应角;☑ 根据位置元素来推理a.有公共边的,公共边是对应边；b.有公共角的,公共角是对应角；c.有对顶角的,对顶角是对应角；d.两个全等三角形最大的边是对应边,最小的边也是对应边；e.两个全等三角形最大的角是对应角,最小的角也是对应角；练一练图形记作对应边对应角图形记作对应边对应角例1如图,△ABC≌△AEF,AB=AE,∠B=∠E,则对于以下结论,错误!AC=AF错误!∠FAB=∠EAB错误!EF=BC错误!∠EAB=∠FAC,其中正确的个数是A、 1B、2C、3D、4DE例2如图, △ABD ≌△EBC1、请找出对应边和对应角;2、如果AB=3cm,BC=5cm,求BE、BD的长.A B C例3如图RT△ABE≌RT△ECD,点B、E、C在同一直线上,则结论：错误!AE=ED错误!AE⊥DE错误! BC=AB+CD,错误!AB∥DC中成立的是A 错误!B 错误!错误!C 错误!错误!错误!D 错误!错误!错误!错误!课后作业一、选择、填空1、全等三角形是A．三个角对应相等的两个三角形B．周长相等的两个三角形C．面积相等的两个三角形D．能够完全重合的两个三角形2、如图,若△ABC≌△EBD,且BD＝4 cm,∠D＝60°,则∠ACB＝________,BC＝______3、如图,△OAD≌△OBC,且∠O＝70°∠C＝25°则∠DAO＝________度4、如图,△ACB≌△A＇CB＇,∠BCB＇＝30°,∠ACA＇的度数为A．20°B．30°C．35°D．40°第2题第3题第4题5、在△ABC中,∠B＝∠C,若与△ABC全等的一个三角形中有一个角是92°,那么92°角在△ABC中的对应角是A．∠C B．∠B C．∠A D．∠B或∠C6、已知：等腰三角形ABC的周长为18 cm,BC＝8 cm,△ABC≌△A＇B＇C＇,则△A＇B＇C＇中一定有一条边等于A ． 7cmB ．2 cm 或7 cmC ．5 cmD ．2 cm 或5 cm7、2010,贵州铜仁如图,△ABC ≌△DEF ,BE ＝4,AE ＝1,则DE 的长是A ． 5B ． 4C ． 3D ． 28、如图是一个4×4的正方形网格,图中所标示的7个角的角度之和等于A ．585°B ．540°C ．270°D ．315°9、如图,在△ABC 中,D 、E 分别是AB,BC 上的点,若△ACE ≌△ADE ≌△BDE,则∠ABC=_______10、如图,N,C,A 三点在同一直线上,在△ABC 中,∠A ：∠ABC ：∠ACB=3：5：10,又△MNC ≌△ABC,则∠BCM ：∠BCN 等于________11、如图,点F 、A 、D 、C 在同一直线上,△ABC ≌△DEF,AD=3,CF=10,则AC 等于_________第8题 第9题 第10题 第11题二、解答题12、如图,△ACE ≌△DBF,AE ＝DF,CE ＝BF,AD ＝10,BC ＝2; 1求证：AB ＝CD 2求AC 的长度3若∠A ＝40°,∠E ＝80°,求∠DBF 的度数;13、如图,已知△ABC ≌△CDA,则下列结论：①AB ＝CD,BC ＝DA ②∠BAC ＝∠DCA,∠ACB ＝∠CAD ③AB ∥CD,BC ∥DA,其中正确的是A ．①B ．②C ．①②D ．①②③14、如图所示,△ABE 和△ACD 是△ABC 分别沿着AB ,AC 边翻折180°形成的,若∠BAC ＝150°,则θ的度数是________．15、如图,△ABC 中,AC ＝BC,∠C ＝90°,点D 、E 分别在BC 、AB 上,△ACD ≌△AED,1求证：AB ＝BC ＋BE2若AB ＝6㎝,求△DEB 的周长;第五讲 全等三角形的判定一ABCDE FABDCCEDABCA B知识点1、边角边定理☑思考与探究1、问题：一块三角形的玻璃损坏后,只剩下如图2所示的残片,•你对图中的残片作哪些测量,就可以割取符合规格的三角形玻璃1 22、是否一定需要六个条件呢条件能否尽可能少呢A．只给一个条件一组对应边相等或一组对应角相等,•画出的两个三角形一定全等吗B．给出两个条件画三角形时,有几种可能的情况,每种情况下作出的三角形一定全等吗分别按下列条件做一做．①三角形一内角为30°,一条边为3cm．②三角形两内角分别为30°和50°．③三角形两条边分别为4cm、6cm．发现给出一个或二个条件时,两个三角形不能保证全等思考如果给出三个条件时,两个三角形会全等吗这些条件可以怎样分类条件分类：三条边相等, ,_______________,__________________☑操作 1、已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm．你能画出这个三角形吗把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较,它们全等吗尺规作图先任意画出一个△ABC,再画一个△A′B′C′,使A′B′=AB,B′C′=BC,C′A′=CA．把画出的△A′B′C′剪下来,放在△ABC上,它们能完全重合吗即全等吗画一个△A′B′C′,使A′B′=AB′,A′C′=AC,B′C′=BC：1．画线段取B′C′=BC；2．分别以B′、C′为圆心,线段AB、AC为半径画弧,两弧交于点A′；3．连接线段A′B′、A′C′．上述的生活实例和尺规作图的结果反映了什么规律1判定方法：三边对应相等的两个三角形全等简写成“边边边”或“SSS”．2判断两个三角形全等的推理过程,叫做证明三角形全等．例1如图所示,△ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架,求证△ABD≌△ACD例2如图,已知AC=AD,BC=BD, 求证AB是∠DAC的平分线.D例3已知AB=AD,DC=CB,则∠B与∠D是什么关系探究通过前面的操作,我们知道当满足三个角相等时,两个三角形不一定全等,当满足三条边相等时,两个三角形全等,如果满足二条边和一角对应相等时,两个三角形全等吗操作11、画∠AOB=30度;2、在射线OA上取OD=6厘米3、以点A为圆心,以4厘米为半径作弧交射线OB于E,连结DE和同伴画的三角形比较,两个三角形全等吗思考在以上的操作中,满足了哪些条件呢操作21、画∠AOB=30度;2、在射线OA上取OD=6厘米3、在身线OB上取OE=4厘米,连结DE和同伴画的三角形比较,两个三角形现在全等吗思考在以上的操作中,又满足了哪些条件呢通过以上操作,你认为二个三角形满足什么条件时,就全等呢知识点2、“边角边”定理两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可以简写为“边角边”或“SAS”．尺规作图角平分线的画法例1如图所示有一池塘,要测池塘两侧A、B的距离,可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点,连接AC并延长到D,使CD=CA,连接BC并延长到E,•使CE=CB,连接DE,那么量出DE 的长就是A、B的距离,为什么例21如图3,已知AD∥BC,AD＝CB,要用边角边公理证明△ABC≌△CDA,需要三个条件,这三个条件中,已具有两个条件,一是AD＝CB已知,二是。
七升八数学暑假衔接讲义
三角形第一讲 与三角形有关的线段1.定义：不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。
组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
三角形ABC 用符号表示为△ABC.三角形ABC 的顶点C 所对的边AB 可用c 表示,顶点B 所对的边AC 可用b 表示,顶点A 所对的边BC 可用a 表示.2.三角形三边的不等关系三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边。
3.三角形的高：从三角形的 向它的 作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高,（注意八字形）注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。
三角形的三条高相交于一点。
．．．．．．．．．．．．．4.三角形的中线：三角的三条中线相交于一点。
（三角形中线分三角形面积相等的两个三角形）5.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交， 与 之间的线段,叫做三角形的角平分线.三角形三个角的平分线相交于一点．．．．．．．．．．．．．．．三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．三角形的三条高的交点在三角．．．．．．．．．．．．．形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6.三角形的稳定性:例1.一个等腰三角形的周长为32 cm，腰长的3倍比底边长的2倍多6 cm.求各边长.例2.已知：△ABC的周长为48cm，最大边与最小边之差为14cm，另一边与最小边之和为25cm，求：△ABC的各边的长。
例3.已知△ABC的周长是24cm，三边a、b、c满足c+a=2b，c-a=4cm，求a、b、c的长.例4.已知等腰三角形的周长是16cm．（1）若其中一边长为4cm，求另外两边的长；（2）若其中一边长为6cm，求另外两边长；（3）若三边长都是整数，求三角形各边的长．例5.已知等腰三角形的周长是25，一腰上的中线把三角形分成两个，两个三角形的周长的差是4,求等腰三角形各边的长。
七升八暑期衔接班数学讲义(word版)
七升八暑期衔接班数学培优讲义目录1.第一讲：与三角形有关的线段；2.第二讲：与三角形有关的角；3.第三讲：与三角形有关的角度求和；4.第四讲：专题一：三角形题型训练(一)；5.第五讲：专题二：三角形题型训练(二)；6.第六讲：全等三角形；7.第七讲：全等三角形的判定（一）SAS；8.第八讲：全等三角形的判定（二）SSS，ASA，AAS；9.第九讲：全等三角形的判定（三）HL；10.第十讲：专题三：全等三角形题型训练；11.第十一讲：专题四：全等三角形知识点扩充训练；12.第十二讲：角平分线的性质定理及逆定理；13.第十三讲：轴对称；14.第十四讲：等腰三角形；15.第十五讲：等腰直角三角形；16.第十六讲：等边三角形（一）；17.第十七讲：等边三角形（二）;18.第十八讲：专题五：全等、等腰三角形综合运用（一）19.第十九讲：专题六：全等、等腰三角形综合运用（二）20.第二十讲：专题七：综合题题型专题训练；CB A第 一 讲 与三角形有关的线段【知识要点】 一、三角形1．概念：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾相连. 2．几何表示：①顶点；②内角、外角；③边；④三角形. 3．三种重要线段及画法：①中线；②角平分线；③高线. 二、三角形按边分类：（注意：等边三角形是特殊的等腰三角形）()⎧⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩不等边三角形腰底不相等的等腰三角形三角形等腰三角形腰底相等的等腰三角形等边三角形 三、三角形的三边关系(教具)引例：已知平面上有A 、B 、C 三点.根据下列线段的长度判断A 、B 、C 存在的位置情况： (1)若AB=9，AC=4，BC=5，则A 、B 、C 存在的位置情况是： (2)若AB=3，AC=10，BC=7，则A 、B 、C 存在的位置情况是： (3)若AB=5，AC=4，BC=8，则A 、B 、C 存在的位置情况是： (4)若AB=3，AC=9，BC=10，则A 、B 、C 存在的位置情况是： (5)若AB=4，AC=6，BC=12，则A 、B 、C 存在的位置情况是： 总结：三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.三角形的三边关系定理的推论：三角形任意两边之差小于第三边.【应用】利用定理判断三条线段能否构成三角形或确定三角形第三边的长度或范围. 1．已知BC=a ，AC=b ，AB=c.（1）A 、B 、C 三点在同一条直线上，则a ，b ，c 满足： ； （2）若构成△ABC ，则a ，b ，c 满足： ； 2．已知BC=a ，AC=b ，AB=c ，且a ＜b ＜c.（1）A 、B 、C 三点在同一条直线上，则a ，b ，c 满足： ； （2）若构成△ABC ，则a ，b ，c 满足： ； 【新知讲授】例一、如图，在△ABC 中.①AD 为△ABC 的中线，则线段 = =21；②AE 为△ABC 的角平分线，则 = =21； ③AF 为△ABC 的高线，则 = =90°；④以AD 为边的三角形有 ；⑤∠AEC 是 的一个内角；是 的一个外角.例二、已知，如图，BD ⊥AC ，AE ⊥CG ，AF ⊥AC ，AG ⊥AB ，则△ABC 的BC 边上的高线是线段( ).(A)BD (B) AE (C) AF(D) AG 例三、（1）以下列各组长度的线段为边，能．构成三角形的是( ). (A)7cm ，5cm ，12cm (B)6cm ，8cm ，15cm(C)4cm ，6cm ，5cm (D)8cm ，4cm ，3cm （2）满足下列条件的三条线段不能．．组成三角形的是 .（a 、b 、c 均为正数） AB CD E FDEA BCFG①a=5，b=9，c=7； ②a ∶b ∶c=2∶3∶5； ③1，a ，b ，其中1+a ＞b ；④a ，b ，c ，其中a+b ＞c ； ⑤a+2，a+6，5； ⑥a ＜b ＜c ，其中a+b ＞c.例四、已知三角形的三边长分别为2，5，x ，则x 的取值范围是 .发散：①已知三角形的三边长分别为2，5，2x-1，则x 的取值范围是 . ②已知三角形的三边长分别为2，5，243x-，则x 的取值范围是 . ③已知三角形三边长分别为2，x ，13，若x 为正整数，则这样的三角形个数为( ). (A)2 (B)3(C)5(D)13④已知三角形的两边长分别为2，5，则三角形周长l 的取值范围是 .⑤已知一个三角形中两边长分别为a 、b ，且a ＞b ，那么这个三角形的周长l 的取值范围是 . (A)3b ＜l ＜3a (B)2a ＜l ＜2a+2b (C)a+2b ＜l ＜2a+b (D)a+2b ＜l ＜3a-b例五、已知三角形的三边长分别为5，11-x ，3x-1.（1）则x 的取值范围是 ； （2）则它的周长l 的取值范围是 ； （3）若它是一个等腰三角形，则x 的值是 .发散：①已知三角形的三边长分别为2，5-x ，x-1，则x 的取值范围是 .②已知三角形两边的长分别为3和7，则第三边a 的取值范围是 ；若它的周长是偶数，则满足条件的三角形共有 个；若它是一个等腰三角形，则它的周长为 .③已知等腰三角形腰长为2， 则三角形底边a 的取值范围是 ；周长l 的取值范围是 . ④已知三角形三边的长a 、b 、c 是三个连续正整数，则它的周长l 的取值范围是 .若它的周长小于19，则满足条件的三角形共有 个.⑤若a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简||c b a -++|c b a --|的结果为( ). (A)2b (B)0 (C)2a (D)22a c -⑥已知在△ABC 中，AB=7，BC ∶AC=4∶3，则△ABC 的周长l 的取值范围为 . 【题型训练】1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ).(A)2cm ，3cm ，5cm (B)5cm ，6cm ，10cm (C)1cm ，1cm ，3cm (D)3cm ，4cm ，9cm2．各组线段的比分别为①1∶3∶4；②1∶2∶3；③1∶4∶6；④3∶4∶5；⑤3∶3∶6.其中能组成三角形的有( ). (A)1组 (B)2组 (C)3组 (D)4组 3．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（ ）(A)中线 (B)角平分线 (C)高线 (D)角平分线或中线 4．已知三角形的三边长分别为6，7，x ，则x 的取值范围是( ).(A)2＜x ＜12 (B)1＜x ＜13 (C)6＜x ＜7 (D)1＜x ＜7 5．已知三角形的两边长分别为3和5，则周长l 的取值范围是( ).（A ）6＜l ＜15 （B ）6＜l ＜16 （C ）11＜l ＜13 （D ）10＜l ＜16 6．已知等腰三角形的两边长分别为5和11，则周长是( ).（A ）21 （B ）27 （C ）32 （D ）21或27 7．等腰三角形的底边长为8，则腰长a 的范围为 . 8．等腰三角形的腰长为8，则底边长a 的范围为 .9．等腰三角形的周长为8，则腰长a 的范围为 ；底边长b 的范围为 . 10．三角形的两边长分别为6，8，则周长l 的范围为 . 11．三角形的两边长分别为6，8，则最长边a 的范围为 . 12．等腰三角形的周长为14，一边长为3，则另两边长分别为 . 13．若a 、b 、c 分别为△ABC 的三边长，则｜a+b-c ｜-｜b-c-a ｜+｜c-b-a ｜= .DAB CD ABC IIICBDACBDAADB CIIICBAC BD A EA EDBECAAAD14．已知在ΔABC 中，AB=AC ，它的周长为16厘米，AC 边上的中线BD 把∆ABC 分成周长之差为4厘米的两个三角形，求∆ABC各边的长.15．等腰三角形一腰的中线（如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，BD 为△ABC 的中线）把它的周长分为15厘米和6厘米两部分，求该三角形各边长.综合探究、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系1．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；2．如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的外角∠ACD 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的外角∠CBD 、∠ACB 的外角∠BCE 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系.例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系 发散探索一：如图，∠ABD 、∠ACD 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索二：如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索三：如图，∠ABD 的邻补角∠DBE 平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.A BCD I A B C DEIA BCI12CB AD A CB A FDH DAB C EHE D C B A第 二 讲 与三角形有关的角【知识要点】一、三角形按角分类:①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形； 二、三角形的内角和定理：三角形内角和为180°（∠A+∠B+∠1=180°）； 三、三角形的内角和定理的推论：①直角三角形两锐角互余；②三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和（∠2=∠A+∠B ）；③三角形的任意一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 四、n 边形的内角和定理：（n-2）×180°； 五、n 边形的外角和为360°. 【新知讲授】例一、①正方形的每个内角的度数为 ；正五边形的每个内角的度数为 ；正六边形的每个内角的度数为 ；正八边形的每个内角的度数为 ；正十边形的每个内角的度数为 ；正十二边形的每个内角的度数为 .②若一个正多边形的内角和等于等于外角和的5倍，则它的边数是 . ③若一个正多边形的每一个内角都等于144°，则它的边数是 .④若一个正多边形的每一个内角都等于相邻外角的2倍°，则它的边数是 . 例二、如图，△ABC 中，∠A=50°，两条高线BD 、CE 所在直线交于点H ，求∠BHC 的度数.例三、如图，△ABC 中，∠A=50°，两条角平分线BD 、CE 交于点I ，求∠BIC 的度数.例四、如图，四边形ABCD 中，∠A=∠C ，∠B=∠D ，求证：AB ∥CD ，AD ∥BC.例五、如图，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，求证：∠BAD+∠EAF=180°.A B C D E IDABE F C D E A FC B 例六、如图，六边形ABCDEF 中，AF ∥CD ，∠A=∠D ，∠B=∠E ，求证：BC ∥EF.例七、如图，在凸六边形ABCDEF 中，∠A+∠B+∠F=∠C+∠D+∠E ，求证：BC ∥EF.【题型训练】1．如图，△ABC 中，BD 、CE 为两条角平分线，若∠BDC=90°，∠BEC=105°，求∠A.2．如图，△ABC 中，BD 、CE 为两条角平分线，若∠BDC=∠AEC ，求∠A 的度数.3．如图，在△ABC 中，BD 为内角平分线，CE 为外角平分线，若∠BDC=125°，∠E=40°，求∠BAC 的度数.4．如图，在△ABC 中，BD 为内角平分线，CE 为外角平分线，若∠BDC 与∠E 互补，求∠BAC 的度数.ED C B AM EDC B AMEDCBAED C B AA BOD AE第二讲作业1．如果一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是( ).(A)等腰三角形(B)直角三角形(C)锐角三角形(D)钝角三角形2.如图所示，∠A、∠1、∠2的大小关系是( ).(A)∠A＞∠1＞∠2 (B)∠2＞∠1＞∠A(C)∠A＞∠2＞∠1 (D)∠2＞∠A＞∠13．下面四个图形中，能判断∠1＞∠2的是( ).(A) (B) (C) (D)4．将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是( ).A．75°B．90°C．105°D．120°5.在活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠=( ).(A)30° (B)45° (C)60°(D)75°6．如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2 的度数为( ).(A)120° (B)180° (C)240° (D)300°7．如图，在△ABC中，∠C＝70º，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2=( ).(A)360º (B)250º (C)180º (D)140º8．如图，折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=( ).(A)150° (B)210° (C)105° (D)75°9．如图，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（）(A)40° (B)45° (C)50° (D)55°10．已知ΔABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B+∠C=3∠A，则此三角形( ).(A)一定有一个内角为45︒ (B)一定有一个内角为60︒(C)一定是直角三角形 (D)一定是钝角三角形11．将一副三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB的度数为( ).(A)75° (B)95° (C)105° (D)120°12．若一个正多边形的每一个内角都等于160°，则它是( ).(A)正十六形 (B)正十七形 (C)正十八边形 (D)正十九边形13．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数为( ).(A)7 (B)8 (C)9 (D)1014. 已知：在△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于( ).(A)40° (B)60° (C)80° (D)90°15．如图，人民币旧版壹角硬币内部的正多边形每个内角度数是 .16．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的两点，BE、CD相交于点F，∠A=62°，∠ACD=40°，∠ABE=20°，求∠BFC 的度数.αCB DA CB D A A DB C 17．如图，已知直线DE 分别交△ABC 的边AB 、AC 于D 、E 两点，交边BC 的延长线于点F ，若∠B =67°，∠ACB =74°，∠AED =48°，求∠BDF 的度数．第三讲：与三角形有关的角度求和【知识要点】1．与三角形有关的四个基本图及其演变； 2．星形图形的角度求和. 【新知讲授】例一、如图，直接写出∠D 与∠A 、∠B 、∠C 之间的数量关系. 箭形： ；蝶形： ；四边形： . 请给出“箭形”基本图结论的证明（你能想出几种不同的方法）：例二、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系1．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；2．如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的外角∠ACD 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；A B C I ABCDIIIICBDACBDAADB CIIICBAC BD A EA EDBECI I I C BD A CBA E A E DB FD E F F C A3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的外角∠CBD 、∠ACB 的外角∠BCE 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系.例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系 发散探索一：如图，∠ABD 、∠ACD 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索二：如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索三：如图，∠ABD 的邻补角∠DBE 平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.例四、如图，在△ABC 中， BP 、BQ 三等分∠ABC ，CP 、CQ 三等分∠ACB.（1）若∠A=60°，直接写出：∠BPC 的度数为 ，∠BQC 的度数为 ；（2）连接PQ 并延长交BC 于点D ，若∠BQD=63°，∠CQD=80°，求△ABC 三个内角的度数.A B CD EBA MECD OD BCEADBCF E A例五、如图，BD 、CE 交于点M ，OB 平分∠ABD ，OC 平分∠ACE ，OD 平分∠ADB ，OE 平分∠AEC ，求证：∠BOE=∠COD ；【题型训练】1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数和.2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数和.3．如图，已知∠1=60°，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数和.发散探索：①如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ；②如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ； ③如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= . ④如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .⑤如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ； ⑥如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ； ⑦如图，BC ⊥EF ，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数.CBDAFE第三讲作业1．如图，B岛在A岛的南偏西30°，A岛在C岛的北偏西35°，B岛在C岛的北偏西78°，则从B岛看A、C两岛的视角∠ABC 的度数为( ).(A)65° (B)72° (C)75° (D)78°2．如图，D、E分别是AB、AC上一点，BE、CD相交于点F，∠ACD=30°，∠ABE=20°，∠BDC+∠BEC=170°则∠A等于( ).(A)50° (B)85° (C)70° (D)60°3．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠ 的度数是( ).(A)75° (B)60° (C)65° (D)55°4．如图，在△ABC中，∠BAC=36°，∠C=72°，BD平分∠ABC交AC于点D，AF∥BC，交BD的延长线于点F，AE平分∠CAF交DF于E点.我们定义：在一个三角形中，有一个角是36°，其余两个角均为72°的三角形和有一个角是108°，其余两个角均为36°的三角形均被称作“黄金三角形”，则这个图中黄金三角形共有( ).(A)8个 (B)7个 (C)6个 (D)5个5．如图，∠A=35°，∠B=∠C=90°，则∠D的度数是( ).(A)35° (B)45° (C)55° (D)65°6．如图，已知∠A+∠BCD=140°，BO平分∠ABC，DO平分∠ADC，则∠BOD=( ).(A)40° (B)60° (C)70° (D)80°7．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到了一个四边形，则∠1+∠2= ．8.如图，在△ABC中，∠A=80°，点D为边BC延长线上的一点，∠ACD=150°，则∠B= .9．将一副直角三角板如上图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为 .10．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．若∠ADF=100°，则∠BMD为．O 2O 1A BC 图1CB A 图2图3OO 1O 2O n-111．如图，在△ABC 中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC=______.12．如图，∠ACD 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，…，如此下去，∠A n ﹣1BC 的平分线与∠A n ﹣1CD 的平分线交于点n A ．设∠A=θ．则∠A 1= ；n A = ．13．已知：如图1，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的角平分线交于点O ，则1902BOC A ∠=︒+∠1118022A =⨯︒+∠；如图2，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的两条三等分角线分别对应交于点1O 、2O ，则12118033BOC A ∠=⨯︒+∠，21218033BO C A ∠=⨯︒+∠；……；根据以上阅读理解，当n 等分角时，内部有1n -个交点，你以猜想1n BO C -∠=( ).(A)21180A n n ⨯︒+∠ (B)12180A n n ⨯︒+∠(C)118011n A n n ⨯︒+∠--(D)11180n A n n-⨯︒+∠14．在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A ，BD 是AC 边上的高，BE 平分∠ABC ，求∠DBE 度数.第 四 讲 专题一：三角形题型训练（一）【知识要点】平行线、三角形内角和的综合运用 【新知讲授】例一、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC ，请你判断BE 、DF 的位置关系并证明你的结论.例二、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，∠ABC 的外角平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例三、 如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC 的外角，请你判断BE 、DF 的位置关系并证明你的结论.例四、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC 的平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例五、如图，∠A=∠C=90°，BE 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC 的的外角，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论. FED C BAMEDBAFNME DCBA EDCBA例六、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC 的外角平分线与∠ADC 的外角平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例七、如图，△ABC 中，P 为BC 边上任一点，PD ∥AB ，PE ∥AC.（1）若∠A=60°，求∠DPE 的度数；（2）若EM 平分∠BEP ，DN 平分∠CDP ，试判断EM 与DN 之间的位置关系，写出你的结论并证明.例八、如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别在三边上，∠BDE ＝∠BED ，∠CDF ＝∠CFD.（1）若∠A=70°，求∠EDF 的度数；（2）EM 平分∠BED ，FN 平分∠CFD ，若EM ∥FN ，求∠A 的度数.例九、如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别在三边上，∠DBE ＝∠DEB ，∠DCF ＝∠DFC.（1）若∠A=70°，求∠EDF 的度数；（2）EM 平分∠BED ，FN 平分∠CFD ，若EM ∥FN ，求∠A 的度数.【题型训练】 1．如图1、图2是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”和“梅花”，图中的折扇完全打开且无重叠，则“梅花”图案中五角星的5个锐角的度数均为( ).(A) 36° (B) 42° (C) 45° (D) 48°2．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 是BC 上一点，DE ⊥BC 交AC 于点E ，DF ⊥AB ，垂足为F ，若∠AED=160°，则∠EDF 等于( ). (A)50° (B)60° (C)70° (D)80°3．如图，△ABC 中，∠B=∠C ，∠BAD=32°，∠ADE=∠AED ，则∠CDE= . NME D CBA NMPEDCBANMFEDCBAN M FED C B AA DCMBBD A ECDB AC E F4．已知△ABC 中，∠ACB—∠B=90°，∠BAC 的平分线交BC 于E ，∠BAC 的外角的平分线交BC 的延长线于F ，则△AEF 的形状是 . 5．如图，AB ∥CD ，∠A=∠C ，AE ⊥DE ，∠D=130°，则∠B 的度数为 .6．如图：点D 、E 、F 为△ABC 三边上的点，则∠1 +∠2 +∠3+∠4 +∠5 +∠6 = ．7．若一束光线经过三块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中的字母表示相应的度数，若60c =︒，∠P=110°，则d e +的值为 ，x 的值 .8．如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交边BC 于点M ，连接MD ，且MD 恰好平分∠AMC ，若∠MDC=45°，则∠BAD= ，∠ABC= .第 四 讲 作 业1.如图，已知△ABC 的三个顶点分别在直线a 、b 上，且a ∥b ，若∠1=120°，∠2=80°，则∠3的度数是( ). (A)40° (B)60° (C)80° (D)120°2．如图，BD ∥EF ，AE 与BD 交于点C ，若∠ABC=30°，∠BAC=75°，则∠CEF 的大小为( ). (A)60° (B)75° (C)90° (D)105°3．如图，已知D 、E 在△ABC 的边上，DE ∥BC ，∠B=60°，∠AED=40°，则∠A 的度数为( ). (A)100° (B)90° (C)80° (D)70°4．已知，直线l 1∥l 2，将一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于( ). (A)30° (B)35° (C)40° (D)45°5．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a 上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为( ).(A)50° (B)60° (C)70° (D)80°6．小明同学把一个含有45°角的直角三角板在如图所示的两条平行线上，测得α∠=120°，则的度数是( ). (A)45° (B)55° (C)65° (D)75°m n ，β∠7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．D为边CA延长线上的一点，DE‖AB,∠ADE=42°，则∠B的大小为( ).(A) 42° (B) 45° (C) 48° (D)58°8．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB等于（）(A)65° (B)72° (C)75° (D)78°9．如图，已知AC∥ED，∠C=26°，∠CBE=37°，则∠BED的度数是( ).(A)63° (B)83° (C)73° (D)53°10．如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数为．11．如图，已知DE∥BC ，CD是∠ACB的平分线，∠B=70°，∠A=60°.（1）求∠EDC的度数；（2）求∠BDC度数.12．如图，∠DAB+∠D=180°，AC平分∠DAB，且∠CAD=25°，∠B=95°.(1)求∠DCA的度数；(2)求∠FEA的度数.13．如图，B处在A处的南偏西57°的方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东82°方向，求∠C的度数.北南ABC第五讲专题一：三角形题型训练（二）知识点：三角形三边的关系定理：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°典型例题：1、已知ΔABC的周长为10，且三边长为整数，求三边的长。
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三角形第一讲与三角形有关的线段1.定义：不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。
组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
三角形ABC用符号表示为△ABC.三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c 表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.2.三角形三边的不等关系三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边。
3.三角形的高：从三角形的向它的作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高,（注意八字形）注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。
三角形的三条高相交于一点。
．．．．．．．．．．．．．4.三角形的中线：三角的三条中线相交于一点。
（三角形中线分三角形面积相等的两个三角形）5.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，与之间的线段,叫做三角形的角平分线.三角形三个角的平分线相交于一点．．．．．．．．．．．．．．．三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6.三角形的稳定性:例1.一个等腰三角形的周长为32 cm，腰长的3倍比底边长的2倍多6 cm.求各边长.例2.已知：△ABC的周长为48cm，最大边与最小边之差为14cm，另一边与最小边之和为25cm，求：△ABC的各边的长。
例3.已知△ABC的周长是24cm，三边a、b、c满足c+a=2b，c-a=4cm，求a、b、c的长.例4.已知等腰三角形的周长是16cm．（2）若其中一边长为6cm，求另外两边长；（3）若三边长都是整数，求三角形各边的长．例5.已知等腰三角形的周长是25，一腰上的中线把三角形分成两个，两个三角形的周长的差是4,求等腰三角形各边的长。
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三角形第一讲与三角形有关的线段1.定义：不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。
组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
三角形ABC用符号表示为△ABC.三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c 表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.2.三角形三边的不等关系三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边。
3.三角形的高：从三角形的向它的作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高,（注意八字形）注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。
三角形的三条高相交于一点。
．．．．．．．．．．．．．4.三角形的中线：三角的三条中线相交于一点。
（三角形中线分三角形面积相等的两个三角形）5.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，与之间的线段,叫做三角形的角平分线.三角形三个角的平分线相交于一点．．．．．．．．．．．．．．．三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．三角形的三条高的交点在三角形的内部，．．．．．．．．．．．．．．．．．．直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6.三角形的稳定性:例1.一个等腰三角形的周长为32 cm，腰长的3倍比底边长的2倍多6 cm.求各边长.例2.已知：△ABC的周长为48cm，最大边与最小边之差为14cm，另一边与最小边之和为25cm，求：△ABC的各边的长。
例3.已知△ABC的周长是24cm，三边a、b、c满足c+a=2b，c-a=4cm，求a、b、c的长.例4.已知等腰三角形的周长是16cm．（1）若其中一边长为4cm，求另外两边的长；（2）若其中一边长为6cm，求另外两边长；（3）若三边长都是整数，求三角形各边的长．例5.已知等腰三角形的周长是25，一腰上的中线把三角形分成两个，两个三角形的周长的差是4,求等腰三角形各边的长。
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1. 定义：能够完全重合的两个图形称为全等图形.观察右面两组图形，它们是不是全等图形？为什么？2. 由全等图形类比得出：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
比如，在图中，△ABC与△DEF能够完全重合，它们是全等的。
其中顶点A，D重合，它们是对应顶点；AB边与DE边重合，它们是对应边；A与 D 重合，它们是对应角.△ABC与△ DEF全等，我们把它记作“△ABC≌△DEF”.记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.A D A(D)B C E F B(E) C(F)一、图形的全等观察下面两组图形，它们是不是全等图形？为什么？全等三角形的对应边全等三角形的对应边上的中线形的周长，面积几何语言：，对应角。
，对应边上的高，对应角的角平分线；全等三角∵△ ABC≌△ DEF （已知）∴AB= ，AC= ，BC= （）∠A= , ∠C=，∠B= .（）练习：1．如图6，△ABC≌△AEC，∠B=75°, ∠ACB=55°, 求出△AEC各内角的度数。
解： ABEC( 图6)2．如图7，△ ABD≌△ EBC，AB=3 cm，AC=8 cm，求DE的长。
D解：E3. 判断：A B C(图7)○1 全等三角形的边相等，角相等，中线相等，角平分线相等.（）○2 全等三角形的周长相等.（）○3 周长相等的两个三角形是全等三角形.（）○4 全等三角形的面积相等.（）CBD5.如图 3，已知 CD ⊥ AB 于 D ， BE ⊥ AC 于 E,△ ABE ≌△ ACD ，∠ C=20°, AB=10，AD=4， G 为 AB 延长线上的一点，求∠ ABE 的度数和 CE 的长 .CEFA二、三角形的判定定理：边角边公理DB G定理： 两个三角形的两组对应边相等且它们的夹角相等，那么这两个三角形全等，简记为 " 边角边 " ，符号表示： "SAS"例 1. 下列哪组三角形能完全重合（全等）？例 2. 如图，在△ ABC 和△ A ′ B ′C ′中，已知 AB ＝ A ′ B ′，∠ B ＝∠ B ′， BC ＝ B ′ C ′．这两个三角形全等吗 ?○5 面积相等的两个三角形是全等三角形 .（ ）4. 填空：如图所示，已知△AOB ≌△ COD ，∠ C=∠ A,AB=CD ,则另外两组对应边为，另外两组对应角为。
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七升八暑假衔接学习讲义TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】一、图形的1.定义：能够完全重合的两个图形称为全等图形.观察右面两组图形，它们是不是全等图形为什么2.由全等图形类比得出：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
比如，在图中，△ABC与△DEF能够完全重合，它们是全等的。
其中顶点A，D重合，它们是对应顶点；AB边与DE边重合，它们是对应边；A∠与D∠重合，它们是对应角.△ ABC与△DEF全等，我们把它记作“△ABC≌△DEF”.记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.全等三角形的对应边，对应角。
全等三角形的对应边上的中线，对应边上的高，对应角的角平分线；全等三角形的周长，面积。
几何语言：∠A= ,∠C= ，∠B= .（）练习：1．如图6，△ABC≌△AEC，∠B=75°,∠ACB=55°,求出△AEC各内角的度数。
解：2．如图7，△ABD≌△EBC，AB=3 cm，AC=8 cm，求DE解： 3.判断：○1全等三角形的边相等，角相等，中线相等，角平分线相等.（ ） ○2全等三角形的周长相等.（ ）○3周长相等的两个三角形是全等三角形.（ ） ○4全等三角形的面积相等.（ ）○5面积相等的两个三角形是全等三角形.（ ）4.填空：如图所示，已知△AOB ≌△COD ，∠C =∠A ,AB =CD ,则另外两组对应边为________________，另外两组对应角为________________。
5.如图3，已知CD ⊥AB 于D ， BE ⊥AC 于E ,△ABE ≌△ACD ，∠C=20°,AB=10，AD=4，G 为AB 延长线上的一点，求∠ABE例1. 下列哪组三角形能完全重合（全等）例2.如图，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，已知AB ＝A ′B ′，∠B ＝∠B ′，BC ＝B ′C ′．这两个三角形全等吗?例3. 在△ABC 和△A ′B ′C ′中（自己画图）(1)⎪⎩⎪⎨⎧''='∠=∠''=C B BC B B B A AB (2) ⎪⎩⎪⎨⎧='∠=∠''=______A A B A ABACDBOAD E∴C B A ABC '''∆≅∆( SAS ) ∴C B A ABC '''∆≅∆( )(3) ⎪⎩⎪⎨⎧''=∠=∠''=C B BC C A AC ____∴C B A ABC '''∆≅∆( ) 练习1：1．根据题目条件，判断下面的三角形是否全等（1） AC ＝DF ， ∠C ＝∠F ， BC ＝EF ； （2） BC ＝BD ， ∠ABC ＝∠ABD ． 2． 如图2，△AOB 和△COD 全等吗为什么3. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ， AD 平分∠BAC ，求证：△ABD ≌△ACD ．4. 如图3，已知AD ∥BC ，AD ＝CB ，证明：△ABC ≌△CDA.5.如图4，已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠1＝∠2，证明：△ABD ≌ACE.6. 如图，已知AB=AC ，AE=AD ，那么图中哪两个三角形全等？并进行证明.7.已知： AD ∥BC ，AD ＝ CB(如图)．现有条件能证明△ADC ≌△CBA 吗如果能请写出证明过程，若不能，那么还需添加怎样的条件才能证明练习21.已知：如图，AC=AD ，∠CAB=∠DAB ， 求证：△ACB ≌△ADB2.已知：AD ∥BC ，AD=CB 求证：△ADC ≌△CBA3.已知：AD ∥BC ，AD=CB ，AE=CFADCB EADC B FE ADCBE12求证：△AFD ≌△CEB4.已知：EA=EC ，ED=EB ， 求证：△AED ≌△CEB5.已知：AC=DB ，AE=DF ，EA ⊥AD ，FD ⊥AD ， 求证：△EAB ≌△FDC6.已知：AB=AC ，AD=AE ，∠1=∠2 求证：∠B=∠C三、三角形的判定定理：角边角定理定理：两个三角形的两组对应角相等且它们的夹边也相等，那么这两个三角形全等，简记为"角边角"，符号表示："ASA" 例1. 如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪块去？例2.如图，AD ∥BC ，BE ∥DF ，AE ＝CF ，试说明：△ADF ≌△CBE .例3.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于与BE 交于F ，若BF ＝AC ，试说明：△ADC ≌△BDF .例4.在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E .试说明：(1)△BDA ≌△AEC ； (2)DE ＝BD ＋CE . 练习：1. 如图，已知AO =DO ，∠AOB 与∠DOC 是对顶角，还需补充条件_________=___________，就可根据“ASA ”说明△AOB ≌△DOC ；或者补充条件_______________=_______________，就可根据“SAS ”，说ABoABCDEF明△AOB ≌△D OC2. 已知：点D 在AB 上，点E 在AC 上，BE 和CD 相交于点O ，AB=AC ，∠B=∠C 。
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三角形第一讲与三角形有关的线段1.定义：不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。
组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
三角形ABC用符号表示为△ABC.三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c 表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.2.三角形三边的不等关系三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边。
3.三角形的高：从三角形的向它的作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高,（注意八字形）注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。
三角形的三条高相交于一点。
．．．．．．．．．．．．．4.三角形的中线：三角的三条中线相交于一点。
（三角形中线分三角形面积相等的两个三角形）5.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，与之间的线段,叫做三角形的角平分线.三角形三个角的平分线相交于一点．．．．．．．．．．．．．．．三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6.三角形的稳定性:例1.一个等腰三角形的周长为32 cm，腰长的3倍比底边长的2倍多6 cm.求各边长.例2.已知：△ABC的周长为48cm，最大边与最小边之差为14cm，另一边与最小边之和为25cm，求：△ABC 的各边的长。
例3.已知△ABC的周长是24cm，三边a、b、c满足c+a=2b，c-a=4cm，求a、b、c的长.例4.已知等腰三角形的周长是16cm．（1）若其中一边长为4cm，求另外两边的长；（2）若其中一边长为6cm，求另外两边长；（3）若三边长都是整数，求三角形各边的长．例5.已知等腰三角形的周长是25，一腰上的中线把三角形分成两个，两个三角形的周长的差是4,求等腰三角形各边的长。
初一升初二暑假复习讲义20篇
初一升初二暑假稳固复习(一 )一、精心选一选1．在( 2), 33 ,( 1)8, 23 , ( 1) 2007 , 3 中负数个数有〔〕3 5A. 1 个个个个2．假设0 x 1 那么x，1，x2的大小关系是〔〕A ．1 x1 1 D．1 x x2 B．x x2 C．x2 x x2 x x x x x3. 假设 a、 b 互为相反数， c、 d 互为倒数， e 是绝对值最小的有理数，那么3a 3b e2021 的值cd为〔〕4. 目前国内规划中的第一高楼上海中心大厦，总投入约14 800 000 000 元． 14 800 000 000 元用科学记数法表示为〔〕A ．1011元B ．109元C．1010元D．14.8 109元二、细心填一填绝对值大于 2 小于 8 的数中，最小的整数是 ________,最大的整数是 ________,满足条件的全部整数的和是 ________.6.如图，点A、B在数轴上对应的实数分别为m、n ，那么 A、B 间的距离是__ ．〔用含 m、n 的式子表示〕A B7. 比较大小〔填“＜〞“＞〞或“＝〞号〕m0n x⑴－ 33________－ (－ 3) 3.⑵－8÷ 23________〔－8÷ 2)3.如果有理数 a、 b 满足│ a2－ 1│+〔 b+1) 2＝ 0,那么 a2007+ b 2021＝ _____________.观察下面依次排列的一列数 :1,2,4,8,16 第 2021 个数是 __________.三、用心做一做10.计算：1 57(1)24+ 〔－ 14) +〔－ 16〕 +8 ；⑵ () ( 36) ；2 9 12(3) 82 3(2)3 (6) ( 1 )2 .311.用数轴上的点表示以下各数，并用“＜〞把这些数连接起来：― (－ 2)2， 1，1 1 2，， 0， 2212. 邮递员骑车从邮局出发，先向南骑行2km 到达 A 村，继续向南骑行 3km 到达 B 村，然后向北骑行 9km 到达 C 村，最后回到邮局.⑴以邮局为原点，以向北方向为正方向，用 1cm 表示 1km ，画出数轴，并在该数轴上表示出A 、B 、C 三个村庄的位置；⑵ C 村离 A 村有多远？⑶邮递员一共骑行了多少千米？13. 计算： 20210324 121.四、探索与创新14. 任意写出一个数字不全相同的4 位数，用这个数中的 4 个数字连同它的符号分别组成最大的数和最小的数，计算所组成的最大数与最小数的差. 再对所得的差重复上述操作，你有什么发现？初一升初二暑假稳固复习(二 )一、精心选一选a，个位上的数字比十位上的数字的一半多 5，那么这两位数是〔〕A. 10a ( a5) B. 10a (a5) 2 2C. 10a ( 2a 5)D. 10 a ( 2a 10)2. a— b=— 2, 那么代数式 3〔 a— b〕2— b+a 的值为〔〕C. — 10D. — 123. 以下各组式子中，是同类项的是〔〕A.3x 2y 和— 3xy 2 和— 7bacC.2x 2和 2x3 3和— 154. 假设代数式2x2+3x+7 的值为 8，那么代数式4x2+6x— 9 的值是〔〕D. — 7二、细心填一填5.a 的相反数是最大的负整数， b 是绝对值最小的数，那么2a+3b=__________.6. 单项式3 a 3b2的系数是 __________，次数是 __________.4从某式减去 xy － 2yz+3xz 时，因误认为加上此式，所得结果是 2yz — 3xz+2xy, 那么正确的结果应该是 ________________.8.假设 x=2,y= — 1, 那么代数式 2x2— 3xy+5y 2— 7=__________.多项式 mx3+3nxy2 +2x3—xy 2+y 不含三次项，那么 m=__________,n=__________.三、用心做一做10.合并同类项：(1) 5m 2 2 2 2 ；1(4xy 8x 2 y 2 )16 x 2 y 2 ) .— 4mn+3n— 2m+3mn— 4n (2) ( xy2 311.先化简，再求值：(1) 4x2y 5 y3 2x2 y 1 y 3，其中， x 1 , y2 .2 2(2) (x 2 y 3xy) ( 2x y xy) , 其中x y 1, x y 1 .2 212. A=5x+3y— 2,B=2x — 2y+3. 求： (1)A+B ； (2)A — 2B.四、探索与创新13.甲、乙两地相距 100km,一辆汽车的行驶速度为 vkm/h.(1) 用代数式表示这辆汽车从甲地到乙地需要行驶的时间；(2)速度增加 10km/h, 那么从甲地到乙地需要多长时间？速度增加后比原来可早到多长时间？分别用代数式表示；(3) 当 v=50km/h, 分别计算上面各式的值.初一升初二暑假稳固复习〔三〕一、精心选一选： 1．以下计算错误的选项是 ( )A ． 2m + 3n=5mnB ． a 6 a 2 a 4C ． ( x 2 )3 x 6D ． a a 2 a 32．假设a mb n3a 9b 15 , 那么 m 、 n 的值分别为〔〕；5B ．3；5C ．5；3D ．6；123．2 5〔〕x＝A ． x 10B ．x 10C ． x 7D ． x724．假设a2， b3 211，那么〔〕， c， d35A ． a ＜ b ＜ c ＜ dB ． b ＜ a ＜ d ＜ cC ．a ＜ d ＜ c ＜ bD ． c ＜ a ＜ d ＜ b111257的结果为5．计算57A ．5；B ． 5 ；C ．7；D ． 7 7755 6. (a n 1) 2?(a 2)n 1等于A. a 4n 3B. a 4n 1C. a 4n 1D. a 4n二、细心填一填： 〔 〕；〔 〕nxn 1； ⑵ x 235=．7．计算：⑴ x=x8．计算： 0 22的结果是．9.以下算式：1 12，13 422，1 35 932 ，1 3 5 7 16 42 ，将你发现的规律用含 n 的等式表示出来 ___________________ 〔 n 为正整数〕 .10．假设3n 2,3m 5 ，那么32 m 3n 1 =．11．计算 : (3105 )(7 106 ) _____, ( 2a 2b)3_____ , ( 2xy 3 )4 _____ .12．如果等式 2a1 a 21，那么 a 的值为.3 2－2.13． a ÷a ×a =14．假设272 94 3k，那么k=_________.三、用心做一做:15． (1) 2 x3 4 x 4 x4 2 x5 ? x 7 x6x3 2；(2)2 1012 2 1033 0.5 102 2 . 16．假设 x＝ 2m＋1， y＝ 3＋4m, 请用 x 的代数式表示 y.17.观察下面的几个算式，你发现了什么规律？①16×14=224=1×(1＋ 1) ×100＋ 6×4②23×27=621=2×(2＋ 1) ×100＋ 3×7③32×38=1216=3×(3＋ 1) ×100＋ 2×8⑴按照上面的规律，仿照上面的书写格式，迅速写出81×89 的结果 .⑵用公式 (x＋ a)( x＋ b)=x2＋ ( a＋ b)x＋ ab 证明上面所发现的规律.(提示：可设这两个两位数分别是(10n＋ a)、 (10n ＋ b),其中 a＋ b=10)初一升初二暑假稳固复习〔四〕一、精心选一选1. 以下算式中，正确的选项是〔〕A ． a 2? 4 ab 7 a 3b B． (2ab 3)( 4ab)2 b 432a C ． (xy )3 ( x 2 y) x 3 y 3D． 3a 2b( 3ab)9a 3b 22．计算 27 m ?3n 的结果为〔〕A ． 81m n B． 33 m n C． 27m 3nD． 3m n3．以下运算中，不正确的选项是〔 〕A ． (3x 2 y 4 ) ? (2xy 2 )6x 3 y 6B． (0.125)2 ? (0.25) 3 ? (0.5) 61216C ． ( a 2b) 2 ? ( ab 3 ) 3 ? (ab)4a 11b 15D ． ( x)( x 2 ) x 32x 2 ( x)524. 如果 a99 0, b1 , c, 那么 a, b,c 三数的大小为〔〕3A. a b cB.c a b C.a c bD.c b a二、细心填一填5.计算 : (1)ab 4 ab 4； (2) x n 2x 2；(3) a ? a 3 ? a m a 8, 那么 m=；〔4〕〔 4 107〕 2 105.6．用小数表示10 4.7．在 1km 2 的土地上， 一年从太阳得到的能量相当于燃烧约 1.3 × 108kg 煤所产生的热量 . 那么，我国 9.6 × 106km 2 的国土上一年内从太阳上得到相当于燃烧 kg〔用科学记数法表示〕的煤所产生的热量 .8．假设圆的直径为 8× 105cm ，那么圆的周长cm，面积为m 2.三、用心算一算 9.计算：〔 1〕3x 3 y5xy 2 z ；〔 2〕 (5a 2 b 3)( 4a 3 bc 2 ) ；312 32z 3； (4)y x 2x y +〔 x3y) 2? y x ；〔 3〕xyy 〕 + 2( x2〔 5〕[2(a b)3] ?[ 3(a b)2] ?[ 2(a b)] . 310.计算：(1) (a b)5 m b a 2m b a 7m(m为偶数,a b )；(2) n m 3 p? m n ( m n)p 5.11.用简便方法计算：(1) (2)200011 111999 1 1999 ；(2) 179 ( 1) 11.3 9 16初一升初二暑假稳固复习〔五〕一、精心选一选：1.以下两个多项式相乘，可用平方差公式计算的是〔〕A.(2 a － 3b)(3b － 2a)；B.( － 2a ＋ 3b)(2a － 3b)C.(－ 2a +3b)(－ 2a － 3b)；D.(2 a+3b)(－ 2a － 3b)2.以下多项式不是完全平方式的是〔〕A. m 2＋ 4m ＋ 42－ 12t ＋ 9C. 1＋ m 2＋m 4D.9 x 2＋ 6xy ＋ 143.假设有理数 x 、 y 满足 ( x 2 ＋y 2 － 1)(x 2＋ y 2＋ 1)=3 ，那么 x 2＋ y 2 的值为 〔〕A ． 2B ．－ 2C ．2 或－ 1D ．－2或 24．要使 (4x － a)( x ＋ 1)的积中不含有 x 的一次项，那么常数项 a 等于〔〕A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4二、细心填一填：5.计算 ( 4x) (2 x 23x 1) =.6.： ( a ＋ b)2＝ 10， (a － b)2＝ 6，那么 ab ＝ ________．2432.7.计算 3(2 +1)(2 +1)(2 +1)+1=三、用心做一做 : 8．计算：〔 1〕 3x 3y5xy 2z ； 〔2〕2x 2y 6xy 21xy 2 ；33 299〔3〕21132101；〔4〕250.5432(1)3；3〔 5〕 (x ＋ 2y － 1)(x － 2y － 1) ；〔 6〕 (1－ a)(1＋ a 2)(1＋ a)＋ (1－ a)2(a ＋ 1)2.四、解答以下各题：22 1、 a(a － 1) － (a 2－b)=4, 求abab 的值 ;22、 x+y=4,xy=3,求〔 1〕 x 2+y 2 的值； 〔 2〕 x －y 的值 .3、 (a+b) 2=7， (a － b) 2 =3，求以下各式的值. (1)ab ；(2)a 2+b 2.初一升初二暑假稳固复习〔六〕一、精心选一选：1．在边长为 a 的正方形中挖去一个边长为 b 的小正方形〔 a ＞ b 〕〔如图甲〕，把余下的局部拼成a a b一个矩形〔如图乙〕 ，根据两个图形中阴影局部的面积相等，可以验证 〔〕A ． (a b) 2 a 2 2ab b 2B ． (a b) 2 a 2 2abb 2C ． a 2b 2(a b)(ab)D ． (a 2b)(a b) a 2 ab 2b 22．假设将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，那么称这个代数式为完全对称式，如 a b c．．．．．就是完全对称式 .以下三个代数式：① (a b)2 ；② abbc ca ；③ a 2b b 2c c 2a ．其中是完全对称式的是()A ．①②B ．①③C ． ②③D ．①②③二、细心填一填：3．： (a ＋ b) 2＝ 10， (a － b) 2＝ 6，那么 ab ＝ ________．4．3〔2 2432+1〕〔 2 +1〕〔 2 +1〕+1=5．如果〔 2 a+2b +1 〕〔 2 a+2b － 1〕 = 63，那么 a+ b 的值是.三、用心做一做：6．计算：⑴ (x ＋ 2y － a+b)(x － 2y － a － b) ；⑵ (1－ a)(1＋ a 2)(1 ＋ a)(1+a 4) (1+a 8) ；7．先化简、再求值：(x － 2)(x － 3)＋ 2(x － 1)2－ ( x ＋ 2)( x － 2) 其中 x=－ 2.8．： x2－ 3x＋ 1＝ 0，求：①x2 1 ；②x4 x 2 的值 .x2 3x2 19．： a+b=3， ab=2 ，求以下各式的值：（1〕 a2 b+ab2；〔2〕a2+b2.10．说明：不管a， b 取何值，代数式 a 2＋ b 2－ 6a－ 10b＋ 35 的值总是正数.11．你能求〔 x－ 1〕〔 x99＋ x98＋ x97＋＋ x＋ 1〕的值吗？先看看简单的情况：⑴(x－ 1)(x ＋ 1)=x 2－ 1；⑵(x－ 1)(x 2＋ x＋ 1)= x 3－ 1；⑶(x－ 1)(x 3＋ x2＋ x＋ 1)= x 4－ 1；由此我们可以得到：〔 x－ 1〕〔 x99＋ x98＋ x97＋＋ x＋ 1〕 =____________ ；请你利用上面的结论，完成下面两题的计算：⑴ 299＋ 298＋ 297＋＋ 2＋ 1=____________ ；⑵〔－ 2〕50＋〔－ 2〕49＋〔－ 2〕48＋＋〔－ 2〕＋ 1=____________ ．请你仿照上面的式子，再写一个，并求出结果.初一升初二暑假稳固复习(七 )一、精心选一选：1.以下各式从左到右的变形，属于因式分解的是〔〕A.a(a － b+1)=a 2－ ab+aB.a 2－ a－ 2=a(a － 1)－ 2C.－ 4a2 +9b 2 =(3b － 2a)(2a+3b)D.a 2－ 4a－5=(a － 2)2－ 92.把多项式2x2 8x 8 分解因式，结果正确的选项是〔〕2 2 2 2A ．2x 4B ．2 x 4 C．2 x 2 D．2 x 23.以下各题中，分解因式错误的选项是〔〕A. x2 1 ( x 1)( x 1) B. a 2－ 4a－ 5=(a－ 5) (a+1)C. a2－ ab+a= a(a － b+1)D. ( 2 y)2 x2 ( 2y x)(2 y x)4.假设 M=3x 2－ 8xy ＋ 9y2－ 4x＋ 6y＋ 13，那么 M 的值一定是( )A. 正数B.负数C.零D.整数二、细心填一填：⒌： a－ b ＝ 5， a－ c＝ 2，那么 c2－ 2bc＋ b2＝， a 2 b2 ab ＝．26．把 16(m n ) 2 8(m n)(m n) ( m n) 2分解因式，结果为 ____________ .7. 假设二次三项式x2＋ ax－ 1 可分解为： (x－ 2)(x ＋ b) ，那么 a＋ b 的值为.三、用心做一做：8．将以下各式分解因式：⑴ x n 1 x n1 x n 1；4⑵ 25〔 a＋ b 〕2－ 9〔 a－ b 〕2；⑶ ( x y) 24( x y1) .9.求值：〔 1－12 〕〔1－ 1 〕〔1－1〕〔 1－12 〕〔 1－ 1 2〕.2 32 42 9 1010. a=－ 2004， b=2003 ， c=－ 2002．求 a2+b 2＋ c2+ab+ bc －ac 的值．11.甲农户有两块地，一块是边长为 a 米的正方形，另一块是长为 c 米，宽为 b 米的长方形；乙农户也有两块地都是宽为 a 米，长分别为 b 米和 c 米的长方形，今年，这两个农户共同投资搞饲养业，为此，他们准备将这 4 块地换成一块地，那块地的宽为(a+b 〕米，为了使所换土地面积与原来 4 块地的总面积相等，交换之后的土地的长应该是多少米呢？12.〔阅读理解题〕分解因式：x2－ 120x+3456分析：由于常数项数值较大，那么采用x 2－ 120x 变为差的平方的形式进行分解，这样简便易行：x2－ 120x+3456 = x 2－ 2×60x+3600 － 3600+3456= (x － 60)2－144=(x － 60+12)(x － 60－ 12)=(x －48)(x － 72).请按照上面的方法分解因式：x2+42x － 3528.初一升初二暑假稳固复习(八 )一、精心选一选1.正方体的展开图可以是以下列图形中的〔〕A. B. C. D.2. 在如图所示的图形中，是三棱柱的平面展开图的是〔〕A. B.3. 以下说法中C.,正确的选项是D.〔〕A. 棱柱的侧面可以是三角形 C. 棱柱的各条棱都相等B. 所有几何体的外表都能展开成平面图形 D. 长方体和正方体都是特殊的四棱柱4. 以下说法中，错误的选项是〔〕A. 图形是由点、线、面构成的C. 棱锥的侧面都是三角形B.圆锥和圆柱的底面都是圆D.正方体是个四面体二、细心填一填五棱柱有 ____个顶点， ____条棱， ____个面 . 六棱锥有 ____ 个顶点， ____ 条棱， ____个面 . 如果一个棱柱是由 10 个面围成，那么这个棱柱是 ______棱柱 .6.一个正方体的展开有 ______种不同的展开图，至少需要剪开______条棱 .图形是由 ____、 ____、 ____构成的 . 半圆围绕着它的一条直径旋转一周所得到的几何体是________.8. 圆锥是_________绕着 _________而成的，将其侧面展开的图形是________；圆柱的主视图是_________，左视图是________，俯视图是_________.9.将一张弧长为 30cm 的扇形纸片卷成一个圆锥模型的侧面，这个圆锥底面圆的半径是 ________________.三、用心做一做10. 如图是一个有假设干个小正方体搭成的几何体的俯视图,其中小正方形格内的数字是小正方体的层数 ,请你画出它的主视图和左视图 .1 32 21 311.请你画出该几何体的三视图.四、探索与创新12. 如图，是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图.(1)请你画出这个几何体的一种左视图;n,请你写出n 的所有可能值.(2)假设组成这个几何体的小正方体的块数为主视图俯视图初一升初二暑假稳固复习(九 )一、精心选一选1. 以下说法正确的选项是〔〕A. 画线段 MN=3cm B. 画射线MN=3cmC. 直线比射线长D.一条线段只有一个中点2. 假设互余的两个角有一条公共边，那么这两个角的角平分线所组成的角 〔〕A. 等于 45°B.小于 45°C.小于或等于 45° D.大于或等于 45°3. 在同一个平面内有三条直线 , 假设其中有两条且只有两条直线平行, 那么它们交点的个数为〔〕A.0 个个个个4. 直线 l 外一点 P 与直线 l 上三点连线的线段长分别为4cm,5cm,6cm, 那么点 P 到直线 l 的距离是 〔〕C.不超过 4cmD.大于 6cm二、细心填一填时钟上时针与分针成一个平角的整点时间是___________, 在 2 点 40 分时，时针与分针所成的角是 ___________.6. 集队时，我们利用了“ _______________ 〞这一数学原理 .7. 假设一个角比它的余角大 36°，那么这个角等于 ____________.8. 经过 _____________ 一点，有且只有一条直线与直线平行.相邻的两个角又互为余角 , 那么这两个角的平分线夹角为 ____________ ；相邻的两个角又互为补角 , 那么这两个角的平分线夹角为 ____________.三、用心做一做 10. 线段AB ，反向延长 AB 到点 C ，使 AC=1AB.假设 D 是 AC 的中点， CD=2cm,求 AB 的长 .211. ∠ AOB ，用尺规作图：（ 1〕画∠ AOB 的平分线 OC ，并在 OC 上任取一点 P ； （ 2〕过点 P 画一条直线平行于 OB 所在直线；A3〕过点 P 分别画 PD ⊥ OA ， PE ⊥OB ，垂足分别为 D 、E ，并判断 PD 与 PE 的大小关系 . O B如图， OM是∠ AOB的平分线，射线 OC在∠ BOM的内部， ON是∠ BOC的平分线，∠ AOC=80°，求∠ MON的度数 .MCANO B13.一个锐角的一半与这个锐角的余角及这个锐角的补角的和等于平角，求这个锐角的度数.四、探索与创新14. 小明晚上八点多开始做作业, 此时钟表的分针与时针正好在一条直线上, 当分针与时针第一次重合的时候 , 小明刚好做完作业. 请问小明做作业一共用了多少时间?初一升初二暑假稳固复习(十 )一、精心选一选：1．如下列图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D， C 分别落在D′， C′的位置．假设∠ EFB＝65°，那么∠ AED′等于A. 70° B . 65° C. 50° D. 25°ED O PA2D ′S T31B F CC′QR第 1 题第 2 题2.如图， OP∥ QR∥ ST，那么以下各式中正确的选项是A．∠ 1＋∠ 2＋∠ 3＝180° B．∠ 1＋∠ 2－∠ 3＝ 90°C．∠ 1－∠ 2＋∠ 3＝90° D ．∠ 2＋∠ 3－∠ 1＝ 180°3．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上， 1 30°， 2 度数等于A． 50°B． 30°C． 20°D． 15°4．平面内三条不同的直线a、 b、 c，以下说法中正确的选项是A．假设 a 与 b 相交， b 与 c 相交，那么 a 与 c 相交B．假设 a 与 b 平行， b 与 c 平行，那么 a 与 c 平行C．假设 a 与 b 垂直， b 与 c 垂直，那么 a 与 c 垂直D．假设 a 与 b 垂直， b 与 c 平行，那么 a 与 c 平行二、细心填一填：5．如图，AB∥ CD， 1那么3．50°， 2 110°，6．如图，要得到AB∥CD，只需要添加一个条件，( )132第 3 题( )50°，那么 3 的〔〕〔〕A B 132C DA D这个条件可以是．〔填一个你认为正确的条件即可〕B2 143C 第6题7. 两个角的两条边互相平行, 差是 80°，这两个角的度数分别是°、° .三、用心做一做:8．如图， AB ∥ CD， AE 交 CD 于点 C， DE ⊥ AE ，垂足为 E ，∠ A =37o，求∠ D 的度数．ECDA B9．如右图， AB∥ CD，求∠ A、∠ AEC、∠ C 的关系，并说明理由.四、探索与创新：10. 如图 ,点E在正方形ABCD的边 CD上，四边形DEFG也是正方形 , AB=a,DE=b(a、b 为常数 ,且 a>b>0) . 求△ ACF 的面积 .B AECDF G初一升初二暑假稳固复习(十一 )一、精心选一选：1. 三角形的两边分别为4 和 9，那么此三角形的第三边可能是〔〕C. 9 D. 132．在以下各图的△ ABC中，正确画出 AC边上的高的图形是〔〕BB D BBAC DCD A3．一个多边形的每个内角都等于108°，那么此多边形是〔〕A 五边形 B. 六边形 C 七边形 D 八边形0 1 4．在以下条件中：①∠ A+∠ B=∠ C，②∠ A∶∠ B∶∠ C=1∶2∶ 3，③∠ A=90 －∠ B，④∠ A=∠ B = 2∠ C 中，能确定△ ABC是直角三角形的条件有〔〕A.1 个个个个二、细心填一填：5. 假设十边形的边数增加2, 那么这个多边形的内角和增加度，外角和是度．6．如图，在△ ABC中， AD是角平分线， BE 是中线，A∠ BAD=40°，那么∠ CAD= °，假设 AC=6cm，那么AE= cm ． EB CD第 6 题7.为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的反面加钉了一根木条，这样做的道理是．8. 直角三角形两个锐角的平分线所构成的钝角等于____________.9．一个等腰三角形的两边长分别是2cm 和 6 cm，那么它的周长是 _____________cm.三、用心做一做：10．如图，在△ ABC 中，∠ BAC 是钝角． A（1〕画出边 BC 上的中线 AD ；（2〕画出边 BC 上的高 AH ；〔 3〕在所画图形中，共有个三角形，其中面积一定相等的三角形是B C ．第 10 题11．图中的 6 个小正方形的面积都为 1， A、B、 C、 D、 E、F 是小正方形的顶点，以这 6 个点为顶点，可以组成多少面积为 1 的三角形？请写出所有这样的三角形，并把它们按形状的特征分类．A BC D E F12．如图，在直角三角形ABC中，∠ C＝ 900. 假设 AD、BD分别平分∠ A 的外角和∠ B，试求∠ADB的度数 .四、探索与创新13．如下几个图形是五角星和它的变形．AB A E B A EB ECC D C D(3)D(2)(1)⑴图⑴ 中是一个五角星形状，求∠A+ ∠ B+ ∠ C+∠ D+∠ E 的度数；⑵图⑴中的点 A 向下移到 BE 上时〔如图⑵〕五个角的和〔即∠CAD+ ∠ B+∠ C+ ∠ D+ ∠E 〕有无变化？说明你的结论的正确性；⑶把图⑵中的点 C 向上移动到 BD 上时〔如图⑶〕，五个角的和〔即∠ CAD+ ∠ B+ ∠ ACE+ ∠D+ ∠E〕有无变化？说明你的结论的正确性．初一升初二暑假稳固复习(十二 )一、精心选一选：1．在△ ABC和△ DEF中，给出以下四组条件：① AB ② AB DE，BC DE， BEF，AC E，BC DF ；EF ；③ B E，BC EF， C F ；④AB DE，AC DF， B E ．其中，能使△ ABC ≌△ DEF 的条件共有〔〕A．1 组B．2 组C．3 组D．4 组⒉判定两个三角形全等必不可少的条件是〔〕Ａ .至少有一边对应相等 B ．至少有一角对应相等C．至少有两边对应相等D．至少有两角对应相等⒊在△ ABC 和△ DEF 中， AB=DE ，∠ A= ∠ D，还需具备什么条件①AC=DF ；② BC=EF ；③∠ B= ∠ E；④∠ C=∠ F，才能推出△ ABC ≌△ DEF ，其中符合条件有〔〕A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个二、细心填一填4.如图 1，∠ 3＝∠ 4，要说明△ ABC ≌△ DCB〔 1〕假设以“SAS〞为依据，那么需添加一个条件.〔 2〕假设以“AAS〞为依据，那么需添加一个条件.〔 3〕假设以“ASA〞为依据，那么需添加一个条件.5.如图 2, 在ABC 和ADC 中，以下三个论断：⑴AB=AD ，⑵∠ BAC= ∠ DAC ，⑶ BC=DC ，将其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，请你写出一个正确的推断：_______________________________.A D DO A C1 23 4BB C图 1 图 2⒍如图，AB AD ， BAE DAC ，要使 A△ ABC ≌△ ADE ，可补充的条件是〔写出一C个即可〕． E D三、用心做一做B⒎命题：如图，点A， D， B ，E 在同一条直线上，且AD =BE ，∠ A=∠ FDE ，那么△ ABC ≌△DEF .判断这个命题是正确的还是错误的，如果是正确的，请给出证明；如果是错误的，请添加一．个适当条件使它成为正确的, 然后再加以证明.．CD BA EF8.：如图，BD=CE 的理由CD ⊥AB ， BE ⊥ AC ，垂足为 .D 、E ，BE 与CD 相交与点O，且∠1＝∠ 2，试说明A12D EBOC9.如图，△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90°，AC ＝ BC ，D 为 AB 上任一点， AE ⊥ CD 交 CD 的延长线于 E ，BF ⊥ CD 于 F.求证： AE ＝ CF. AEDF10.如图，在△ ABC 、△ AED 中， AB=AC ， AD=AE ，且∠⑴问 CE 与 BD 有什么关系？为什么？⑵假设将△ AED 绕着点 A 沿逆时针方向旋转，使D、 E 、B 成立，请说明理由. CAB= ∠ DAE. C在一条直线上，⑴的结论还成立吗？假设BA DEC B初一升初二暑假稳固复习〔十三〕一、精心选一选1.在△ ABC和△ A′B′C′中， AB=A′B′， AC=A′C′，高AD=A′D′，那么∠C与∠C′的关系是〔〕A．相等 B ．互补 C ．相等或互补 D ．以上都不对2. 如图 , 在△ ABC 中, ∠C ＝ 90°,AC ＝ BC, AD 平分∠ CAB 交 BC 于 D,DE ⊥AB 于 E,假设 AB ＝6cm ，那么△ DEB 的周长是〔〕A. 6cmB. 7cmC. 8cmD. 9cm3. 如图， AD=BC ，∠ C=∠D=90°，以下结论中不成立的是〔 〕A ．∠ DAE=∠CBEB ． CE=DE C．△ DAE 与△ CBE 不全等 D. ∠1=∠2ACDCED EHABA12BBDCE第 4 题第 2 题第 3 题二、细心填一填4. 如图，在△ ABC 中,AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为 D 、E ，AD 、 CE 交于点 H ，请你添加一个适当的 条件： __________________ ，使△ ADB ≌△ CEB.5. 如图，点 C 在∠ AOB 的平分线上，要想得到 OP=OP ′，A以下条件中可以添加的有〔填序号〕__________________.P①∠ OCP=∠OCP ′； ②∠ OPC=∠OP ′C ；C③PC=P ′C ；④PP ′⊥ OC ．OP ′ B第 5 题三、用心做一做6. 如图 , 在 ABC 和 A / B / C / 中,AB=A / B / ,BC=B / C / , AD 和 A / D / 分别是 ABC 和/ / //////ABC 的高 , 且 AD=AD. 求证 : ABC ≌Δ ABC.第 6 题7. 如图 ,AE⊥EF, BF⊥EF,DE=CF,AC=BD.求证:AD=BC.第 7 题四、探索与创新如图，在ABC中，∠ ACB=90°， AC=BC， AE 为 BC边上的中线，过点 C 作 CF⊥AE，垂足为 F，在直线 CD上截取 CD=AE.求证：〔 1〕BD⊥BC；〔2〕假设 AC=12cm，求 BD的长 .ADFB E C第 8 题初一升初二暑假稳固复习〔十四〕一、精心选一选1. 以下命题中，正确的命题是〔〕A. 一边相等的两个直角三角形全等B. 斜边相等的两个直角三角形全等C. 两个等腰直角三角形全等D. 两条直角边对应相等的两直角三角形全等2. 判定两个三角形全等必不可少的条件是〔〕A. 至少有一边对应相等B. 至少有一角对应相等C. 至少有两边对应相等D. 至少有两角对应相等在△ ABC 与△ DEF 中，∠ A ＝44°，∠ B ＝67°，∠ E ＝44°，∠ F ＝69°，且AC=EF ，那么这两个三角形〔〕A. 一定不全等B.一定全等C. 不一定全等D.以上都不对 4. 如图 ,AB=DB,∠1=∠ 2, 请你添加一个适当的条件 , 使△ ABC ≌△ DBE, 请问添加下 面哪个条件不能判断△ ABC ≌△ DBE 的是 ()A.BC=BEB.AC=DEC.∠A=∠DD.∠ACB=∠DEBDAAADEE E1F2CB CCBB第 4 D题第 5 题第 6 题第 7 题二、细心填一填如图 , D 、 E 分别是等边△ ABC 的边 AB ， AC 上的点，且 AD ＝CE ， BE 与 CD 交于点 F ，那么∠B FC ＝__________ °.6. 如图，在△ ABC 中， AC 的垂直平分线交 AC 于 E ，交 BC 于 D ，且△ ABD 的周长是18cm ，AE ＝ 6cm ，那么△ ABC 的周长为 __________cm ．如图，在△ ABC 中， AD 平分∠ BAC ，AB+BD=AC ，那么∠ B ∶∠C 的值为 __________ ． 8. 如图 , △ABC 和△ ECD 都是等腰直角三角形， AECBF点 C 在 AD 上， AE 的延长线交 BD 于点 F ，请在 图中找出一对全等三角形： _________________ .D第 8 题三、用心做一做9. 如图，在正方形 ABCD 中， E 是 AD 的中点， F 是 BA 延长线上一点， AF= 1AB ．2求证：△ ABE ≌△ ADF ．DCEFA B第 9 题四、探索与创新10. 如图，△ ABC 和△ ADE 均为等边三角形， BD 、 CE 交于点 F. ⑴求证： BD=CE ； ⑵求锐角BFC 的度数 .第10题11．两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在筝形 ABCD 中， AB=AD ， BC=DC ， AC 、 BD 相交于点 O ，⑴求证：①△ ABC ≌△ ADC ；② OB=OD ， AC ⊥ BD ；⑵如果 AC=6， BD=4，求筝形 ABCD 的面积．ABODC第11题初一升初二暑假稳固复习 (十五 )一、精心选一选1. 假设7x ︱ m —2︱+2=0 是关于 x 的一元一次方程，那么 m 的值为〔〕B. — 1 或 12. 假设代数式 3x+1 与 1 x 的值为〔〕互为倒数，那么2A.x=0B.x=1C.x=— 1D.x=— 22 x y m x 2 n3.假设关于 x ， y 的方程组my n的解是，那么 m〔 〕xy 1x y 5k, 的解也是二元一次方程 2x 3y 6 的解，那么 k 的值4. 假设关于 x ， y 的二元一次方程组y 9kx为〔〕A.3 B.3C.4 D.44433二、细心填一填5. 假设一个数 x 的 1与它的和等于—10 的 20﹪，那么可列出的方程为 ______________.21 a x 的解，那么 a 216. 假设 x=— 2 是方程 a( x 3)a ___________.227. 甲、乙两绳共长 17 米，如果甲绳剪去五分之一，乙绳增加 1 米，那么两绳等长，甲、乙两绳的长分别为 ____________.8. mx ny 5, x 1, x 2,甲、乙两人解方程组ky甲解正确是乙将 k 看错解得y那么3x 6;y3;1;m=________,n=________,k=________.9. x 1 请你写出一个以 x,y 为未知数，且解为的二元一次方程组 ______________.y1三、用心做一做10. 解以下方程〔组〕⑴ 3(2x 1) 2(1 x) 0;⑵32 x 1 2 x 2 ；2 3 45x 2 y 19, 3a 4b 11, ⑶x5;⑷6b51;y 7ax y z26,x y 3,⑸ x y 1,⑹ y z4,2 x y z 18; x z 5.x 2 x 3ykx b 的解，求 (1)k,b 的值； (2)当 x=5 时， y 的值 .11.1和都是方程 y y312. 二元一次方程组2x3 y m 1的解互为相反数 .求 m 的值 . 3x y 2m 3初一升初二暑假稳固复习(十六 )一、精心选一选1．用一根铁丝围成一个长24，宽12 的长方形. 如果要制成一个正方形，那么这个正方形的面积是〔 〕22222．一件工作，甲队独做10 天可以完成，乙队独做 15 天可以完成，假设两队合作，那么完成需〔〕A. 25 天天天 D.无法确定3. 某船顺流航行 60km,用 5h, 逆流航行 40km 也用了 5h, 那么水流速度是 〔〕A. 3km/hB. 2km/hC. 4km/hD.无法确定4. 要把一张面值为 10 元的人民币换成零钱，现有足够的面值为2 元、 1 元人民币，那么共有换法〔〕A.3 种种 C. 5 种种二、细心填一填5. 将一种浓度为15℅的溶液 30 ㎏，配制成浓度不低于20℅的同种溶液，那么至少需要浓度为 35℅的该种溶液 ____________㎏ .6. 客车以每小时80km的速度从南京开往淮安，经过1h 后，轿车也从南京出发以每小时120km 的速度追赶客车，那么追上客车所需的时间为_______h.7. 现有一块含有甲、乙两种金属的合金10kg, 如果参加甲种金属假设干千克，那么这块合金中乙种金属占有 2 份，甲种金属占 3 份；如果参加的甲种金属增加 1 倍，那么合金中乙种金属占 3 份，甲种金属占7 份 . 那么第一次参加的甲种金属是 ________kg, 原来这块合金中含甲种金属的百分比是___________.8.用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制成盒身16 个或盒底 43 个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有150 张白铁皮，用 ________张制盒身 ,_________ 张制盒底可以正好制成整套的罐头盒.9. 在某快餐店， 3 个汉堡包和 2 杯橙汁的售价为32 元，2 个汉堡包和 3 杯橙汁的售价为28 元 . 设 1个汉堡包的售价为x 元， 1 杯橙汁的售价为y 元，根据题意，得____________.三、用心做一做10.A 、B 两地之间有2 条路线 . 某人骑自行车以9km/h 的速度沿路线一由 A 地去 B 地，然后以 8km/h的速度沿路线二由 B 地返回 A 地 . 路线二比路线一少2km,所用时间少1 h,求路线一的长. 8在“五一〞期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购置门票时，小明与他爸爸的对话〔如图〕，试根据图中的信息，解答以下问题：〔 1〕小明他们一共去了几个成人，几个学生？〔 2〕请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？说明理由.12.〔2007 安徽芜湖〕芜湖供电公司分时电价执行时段分为平、谷两个时段，平段为8： 00－22： 00 共 14 小时，谷段为 22： 00－次日 8： 00 共 10 小时．平段用电价格在原销售电价根底上每千瓦时上浮0．03 元，谷段电价在原销售电价根底上每千瓦时下浮0.25 元，小明家 5 月份实用平段电量 40 千瓦时，谷段电量 60 千瓦时，按分时电价付费元．(1) 问小明该月支付的平段、谷段电价每千瓦时各为多少元?(2)如不使用分时电价结算， 5 月份小明家将多支付电费多少元?初一升初二暑假稳固复习(十七 )一、精心选一选1．家电下乡是我国应对当前国际金融危机，惠农强农，带开工业生产，促进消费，拉动内需的一项重要举措．国家规定，农民购置家电下乡产品将得到销售价格13% 的补贴资金．今年 5 月 1 日，。
七升八数学暑假衔接讲义
三角形第一讲与三角形有关的线段1.定义：不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。
组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
三角形ABC用符号表示为△ABC.三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c 表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.2.三角形三边的不等关系三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边。
3.三角形的高：从三角形的向它的作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高,（注意八字形）注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。
三角形的三条高相交于一点。
．．．．．．．．．．．．．4.三角形的中线：三角的三条中线相交于一点。
（三角形中线分三角形面积相等的两个三角形）5.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，与之间的线段,叫做三角形的角平分线.三角形三个角的平分线相交于一点．．．．．．．．．．．．．．．三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6.三角形的稳定性:例1.一个等腰三角形的周长为32 cm，腰长的3倍比底边长的2倍多6 cm.求各边长.例2.已知：△ABC的周长为48cm，最大边与最小边之差为14cm，另一边与最小边之和为25cm，求：△ABC 的各边的长。
例3.已知△ABC的周长是24cm，三边a、b、c满足c+a=2b，c-a=4cm，求a、b、c的长.例4.已知等腰三角形的周长是16cm．（1）若其中一边长为4cm，求另外两边的长；（2）若其中一边长为6cm，求另外两边长；（3）若三边长都是整数，求三角形各边的长．例5.已知等腰三角形的周长是25，一腰上的中线把三角形分成两个，两个三角形的周长的差是4,求等腰三角形各边的长。
七升八数学暑假衔接讲义
三角形第一讲与三角形有关的线段1.定义：不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。
组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
三角形ABC用符号表示为△ABC.三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c 表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.2.三角形三边的不等关系三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边。
3.三角形的高：从三角形的向它的作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高,〔注意八字形〕注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。
三角形的三条高相交于一点。
．．．．．．．．．．．．．4.三角形的中线：三角的三条中线相交于一点。
〔三角形中线分三角形面积相等的两个三角形〕5.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，与之间的线段,叫做三角形的角平分线.三角形三个角的平分线相交于一点．．．．．．．．．．．．．．．三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6.三角形的稳定性:例1.一个等腰三角形的周长为32 cm，腰长的3倍比底边长的2倍多6 cm.求各边长.例2.：△ABC的周长为48cm，最大边与最小边之差为14cm，另一边与最小边之和为25cm，求：△ABC的各边的长。
例3.△ABC的周长是24cm，三边a、b、c满足c+a=2b，c-a=4cm，求a、b、c的长.例4.等腰三角形的周长是16cm．〔1〕假设其中一边长为4cm，求另外两边的长；〔2〕假设其中一边长为6cm，求另外两边长；〔3〕假设三边长都是整数，求三角形各边的长．例5.等腰三角形的周长是25，一腰上的中线把三角形分成两个，两个三角形的周长的差是4,求等腰三角形各边的长。
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暑期七升八衔接班讲义第一讲 与三角形有关的线段知识点1、三角形的概念☑ 不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
☑ 三角形的表示方法 三角形用符号“△”表示，顶点是A,B,C 的三角形，记作“△ABC ” 三角形ABC 用符号表示为△ABC 。
三角形ABC 的顶点C 所对的边AB 可用c 表示,顶点B 所对的边AC 可用b 表示,顶点A 所对的边BC 可用a 表示.知识点2、三角形的三边关系【探究】任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B 点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?为什么？☑ 三角形的两边之和大于第三边，可用字母表示为a+b ＞c ，b+c ＞a ，a+c ＞b拓展：a+b ＞c ，根据不等式的性质得c-b ＜a ，即两边之差小于第三边。
即a-b ＜c ＜a+b （三角形的任意一边小于另二边和，大于另二边差） 【练习1】一个三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，则此三角形的第三边的长可能是（ ） A ．3cmB ．4cmC ．7cmD ．11cm【练习2】有下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？(1)3，5，8； (2)5，6，10； (3)5，6，7. (4)5,6,12【辨析】有三条线段a 、b 、c ，a+b ＞c ，扎西认为：这三条线段能组成三角形.你同意扎西的看法吗？为什么？【小结】三角形的两边之和是指任意两边之和【例1】用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形。
（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗？为什么？知识点3 三角形的三条重要线段 ☑ 三角形的高(1)定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高（简称三角形的高） (2)高的叙述方法 AD 是△ABC 的高 AD ⊥BC ，垂足为D点D 在BC 上，且∠BDA=∠CDA=90度abc (1)CB A[练习]画出①、②、③三个△ABC 各边的高,并说明是哪条边的高.① ② ③ AB 边上的高是线段____ AB 边上的高是线段____ AB 边上的高是线段____ BC 边上的高是_________ BC 边上的高是_________ BC 边上的高是_________ AC 边上的高是_________ AC 边上的高是_________ AC 边上的高是_________ [辨析] 高与垂线有区别吗？_____________________________________________[探究] 画出图1中三角形ABC 三条边上的高，看看有什么发现？如果△ABC 是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？试着画一画 【结论】________________________________________ ☑ 三角形的中线（1）定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线 [练习]画出①、②、③三个△ABC 各边的中线,并说明是哪条边的中线.① ② ③AB 边上的中线是线段____ AB 边上的中线是线段____ AB 边上的中线是线段____ BC 边上的中线是_________ BC 边上的中线是_________ BC 边上的中线是_________ AC 边上的中线是________ AC 边上的中线是_________ AC 边上的中线是_________ 图中有相等关系的线段：___________________________________________________[探究1]观察△ABC 的三条边上的中线，看看有什么发现？如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？ 【结论】_________________________________ [探究2]如图，AD 为三角形ABC 的中线，△ABD 和△ACD 的面积相比有何关系？【结论】__________________________________________【例2】如图，已知△ABC 的周长为16厘米，AD 是BC 边上的中线，AD=45AB ，AD=4厘米，△ABD 的周长是12厘米，求△ABC 各边的长。
☑ 三角形的角平分线A B C A B C B ACA B C A B C BA C D CB A（1）定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
[辨析] 三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗？画出△ABC各角的角平分线, 并说明是哪角的角平分线.[探究]观察画出的三条角平线，你有什么发现？______________________________________ [自我检测]如图，AD、AE、CF分别是△ABC的中线、角平分线和高，则：(1)BD=______=12________；(2)BC=2_______=2_______；(3)∠BAE=_______=12_______；(4)∠BAC=2_______=2_______；(5)_______=________=90知识点4 三角形的稳定性三角形的三边长一旦确定，三角形的形状就唯一确定，这个性质叫做三角形的稳定性。
四边形则不具有稳定性。
钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性，伸缩门则是利用四边形的不稳定性。
你还能举出一些例子吗？【试一试】1、如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD比△ACD的周长大6cm，则AB与AC的差为_______2、如图，D为△ABC中AC边上一点，AD=1,DC=2,AB=4,E是AB上一点，且△ABC的面积等于△DEC面积的2倍，则BE的长为（）3、若点P是△ABC一点，试说明AB+AC＞PB+PCAB C BACFEDCBA[课后作业]1、一位同学用三根木棒拼成如图所示的图形，其中符合三角形概念的是（）C．D．A．B．2、如果三条线段的比是：①1∶3∶4；②1∶2∶3；③1∶4∶6；④3∶3∶6；⑤6∶6∶10；⑥3∶4∶5，其中可构成三角形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3、已知三角形两边长分别为4 cm和9 cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）A．13 cm B．6 cm C．5 cm D．4 cm4、为估计池塘两岸A、B间的距离，阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA=16 m，PB=12m，那么AB间的距离不可能是（）A．5 m B．15m C．20 m D．28m5、一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别为5和9，则满足上述条件的三角形个数为（）A．2个B．4个C．6个D．8个6、三角形的角平分线、中线和高都是（）A．直线B．线段C．射线D．以上答案都不对7、如图，如果把△ABC沿AD折叠，使点C落在AB上的点E处，那么折痕（线段AD）是△ABC的（）A．中线B．角平分线C．高D．既是中线，又是角平分线8、如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，下列说法中，错误的是（）A．△ABC中，AC是BC边上的高B．△BCD中，DE是BC边上的高C．△ABE中，DE是BE边上的高D．△ACD中，AD是CD边上的高9、若a、b、c表示△ABC的三边长，则|a-b-c|+|b-c-c|+|c-a-b|=________.10、三角形的两边长分别为5 cm和12 cm，第三边与前两边中的一边相等，则三角形的周长为________.11、如图所示，在△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，AF是高，填空：（1）BD＝________＝________;（2）∠BAE＝________＝________；（3）∠AFB＝________＝90°；（4）∠B 的余角是________，∠C 与________互余； （5）S △ABC ＝________，S △ABD ________S △ADC ＝________．12、如图，AD 是△ABC 的中线，DE=2AE ，若△ABC 的面积是18cm 2，则△ABE 的面积=__________13、如图，3AODS=,4AOBS=,6CODS=,求BOCS14、已知在△ABC 中，三边长a,b,c 都是整数，且满足a ＞b ＞c,a=8，那么满足条件的三角形共有多少个？15、如图，在三角形ABC 中，AD 是BC 边上的中线，三角形ABD 的周长比三角形ACD 的周长小5，你能求出AC 与AB 的边长的差吗？16、如图所示，已知P 是△ABC 一点，试说明PA+PB+PC ＞12（AB+BC+AC ）．17 、在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，若△ABD 和△ADC 的周长之差为4（AB ＞AC ），AB 与AC 的和为14，求AB 和AC 的长．第二讲 与三角形有关的角知识点1、三角形的角和定理：三角形的角和等于1800。
【导入】我们在小学就知道三角形角和等于1800，这个结论是通过实验得到的，这个命题是不是真命题还需要证明，怎样证明呢？回顾我们小学做过的实验，你是怎样操作的？ 把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出∠BCD 的度数，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。
想一想，还可以怎样拼？①剪下∠A ，按图（2）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。
图2②把B ∠和C ∠剪下按图（3）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。
如果把上面移动的角在图上进行转移，由图1你能想到证明三角形角和等于1800的方法吗？ 证明：已知△ABC ，求证：∠A+∠B+∠C=1800。
【例1】如图，C 岛在A 岛的北偏东30°方向，B 岛在A 岛的北偏东100°方向，C 岛在B 岛的北偏西55°方向，从C 岛看A 、B 两岛的视角∠ACB 是多少度？知识点2、三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
[自我探究] 画出图中三角形ABC 的外角1、判断图中∠1是不是△ABC 的外角：_______________2、如图，(1)∠1、∠2都是△ABC 的外角吗？________________(2)△ABC 共有多少个外角？___________________ 请在图中标出△ABC 的其它外角.3、探究题：如图，这是我们证明三角形角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠ACD 与∠A 、∠B 的关系吗？∵CE ∥AB ， ∴∠A=_____，_____=∠2 又∠ACD=_______+________ ∴∠ACD=_______+________结论1______________________________________________ 结论2_____________________________________(外角两性质)【小结】三角形每个顶点处有两个外角，便在计算三角形外角和时，每个顶点处只算一个外角，外角和就是三个外角的和。