(完整版)利用轴对称求最短距离[1]
利用轴对称和平移求最短距离
利用轴对称和平移求最短距离作者：莫慧琼来源：《学苑创造·C版》2014年第08期利用轴对称和平移求最短距离是近年来中考的一个热点，这类问题主要考察同学们化归的数学思想和建模能力，它可以结合各类知识进行考察，综合性强，是同学们较为头痛的一类问题.例如，2012年南宁市中考压轴题的最后一问就是此类问题.如图1，已知点A（3，4），当点B的坐标为（-1，1）时，在x轴上另取两点E，F，且EF=1. 线段EF在x轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标.要解决这个问题，我们得先从几个简单的数学模型入手，发现并归纳解这一类问题的思想和方法.先跟着老师看下面的例题，或许你能从中得到某些启示.例1：如图2，地下河两侧有村庄A，B. 今年大旱，村民们要在河上方挖一口井向A村与B村供水. 若要使井口P分别到A，B两村的水管之和最短，应在图上什么地方凿井？（注：本题由八年级上册课本第42页例题改编）【分析】这道题是个实际问题，我们将它转化成数学模型就不需要考虑河宽，所以可以将这个实际问题抽象为下面这样一个数学问题：如图3，两点A，B分别在一直线l的两侧，直线上一动点P停留在哪一位置时，能使PA+PB最短？显然，应该连接AB，与直线l相交于一点，当动点P位于此位置时，PA+PB是最短的，理由是“两点之间，线段最短”.【变式1】当村庄A，B在河的同一侧时，井口P又应在什么地方呢？【分析】这时在直线上任取一点P，连接PA，PB，如图4，还能轻易看出哪条路径最短吗？能否想个办法，把它转化成刚才那种点在直线两侧的情况呢？显然，可以作点B关于直线l的对称点B′，再连接AB′交直线l于点P，连接PB，如图5. 利用对称性可知PB=PB′，则线段PA+PB的长等于线段AB′的长，由“两点之间，线段最短”可知此时所得路径是最短的.【变式2】如图6，公路m与河流n之间有一个村庄C，公路m上准备设置一个加油站P，河边设置一个加水点Q.今年大旱，县政府派出送水车为村民们供水，运水车从村庄C出发，先去加油，再去加水，最后回到村庄C为村民们供水.请问：把加油站P和加水点Q分别设在何处，可使运水车所走路程最短？解：如图7，分别作出点C关于直线m和直线n的对称点C′和C″，再连接C′C″，分别交直线m和直线n于点P和点Q，则所得路径C→P→Q→C为最短路径.【变式3】如图8，将变式2中的一个村庄改为两个村庄C和D，运水车从村庄C出发，先去加油，再去加水，最后到村庄D送水，则又应把加油站P和加水点Q分别设在何处，才能使运水车所走路程最短？（注：本题由八年级上册课本第47页习题的第9题改编）解：如图8，作点C关于直线m的对称点C′，点D关于直线n的对称点D′，再连接C′D′，分别交直线m和直线n于点P和点Q，则所得路径C→P→Q→D为最短路径.由刚才的几道题中，我们得到以下几个基本几何模型：【思考】观察这些模型有何共同特征？在求最短距离时都用了怎样的方法？【总结】这些模型都利用了轴对称，把本来不在同一直线上的几条线段都转化到了同一直线上，把求几条线段和的最小值转化成两点之间线段最短的简单问题. 可见，利用化归的数学思想，可将复杂问题简单化.前面的几种情况都不需要考虑河宽，假如需要考虑河宽又该怎么办呢？有什么办法把它也转化为最容易解决的情况吗？下面我们来看这道题：【变式4】如图9，运水车需从A村送水到B村，A，B两村之间有一条宽为a的河，在何处架桥才能使A村到B村的路程最短？（注：本题由七年级下册课本第31页习题的第7题改编）【分析】显然，此时已不能将河流抽象成一条直线，只能将河岸抽象成距离为a的一组平行线m，n，由于桥是垂直于河岸的，假设桥为线段PQ，则PQ在什么位置时，才能使得线段AP+PQ+QB的和最小呢？由于PQ的长是一定值，所以求三条线段AP+PQ+QB的和最小，其实只是求两条线段AP+QB的和最小. 于是，我们可以这么理解，将河岸m平移到与河岸n重合，此时相当于除去了定长a的干扰，转化成了最简单的“模型1”这种情况，连接AB就相当于线段AP+QB的长. AB交直线n于点Q，再把河岸m平移回来，原来直线m上Q点的位置记为点P.此外，我们还可以这么理解，运水车从A村到B村，无论如何，桥都是要过的，那可否将整条河流平移到A处，使点A在直线m上，相当于让运水车先过桥呢？如图10，将点A向下平移a个单位得到点A′，连接A′B交直线n于点Q，过点Q作直线m的垂线，交直线m于点P，然后连接PA，此时线段AP+PQ+QB的和最小.【思考】将图10记为“模型5”，对比前面4个模型，你有何感悟？【总结】在这道题中，解题的方法虽然很多，但其实都是利用平移先排除掉定长，将问题转化成“求两条线段之和何时最短”的老问题，依然是将这两条线段化归到同一直线上.我们不妨用一顺口溜来记下解此类题的方法：“对称加平移，最短问题不被迷.化归同一线，最短长度图自现.”下面我们再来看看2012年南宁市中考压轴题的最后一问该如何求解.解：如图11，过点A作x轴的平行线，并在平行线上截取线段AA′，使AA′=1，作点B 关于x轴的对称点B′，连接A′B′，交x轴于点E，在x轴上截取线段EF=1，则此时四边形ABEF的周长最小.∵A（3，4），∴A′（2，4），∵B（-1，1），∴B′（-1，-1）.设直线A′B′的解析式为y=kx+b，则[2k+b=4-k+b=-1]，解得[k=53b=23].∴直线A′B′的解析式为[y=53x+23]，当y=0时，[53x+23=0]，解得[x=-25].故线段EF平移至如图所示位置时，四边形ABEF的周长最小，此时点E的坐标为（[-25]，0）.。
《最短路径问题》轴对称
轴对称与最短路径问题
轴对称是指图形关于某一直线或平面对称的现 象。
在最短路径问题中，如果图是轴对称的，那么 两个顶点之间的最短路径必然是对称的。
例如，在有向图和无向图中，如果两个顶点之 间的所有边都具有相同的权重，那么这两个顶 点之间的最短路径就是对称的。
最短路径问题的数学模型
01
最短路径问题的数学模型通常包括一个有向图G=(V,E)和两个顶点s和t，表示要 找到从s到t的最短路径。
02
最短路径问题与轴对称
最短路径问题简介
1
最短路径问题是一种经典的图论问题，旨在寻找 图中两个顶点之间的最短路径。
2
最短路径问题在交通网络设计、通信网络优化、 生产计划制定等领域都有广泛应用。
3
最短路径问题通常可以使用动态规划、Dijkstra 算法、Bellman-Ford算法等算法进行求解。
《最短路径问题》轴对称
2023-11-09
目 录
• 轴对称简介 • 最短路径问题与轴对称 • 轴对称算法实现 • 实验结果与分析 • 总结与展望
01
轴对称简介
轴对称定义
轴对称是指一个物体关于某一直线（称为对称轴）对称，也就是说，物体在这条 直线的两边呈现出镜像状态。
在图形中，如果一个图形关于某一直线对称，那么它的对称轴是从图形的一侧到 另一侧的最短距离。
02
在最短路径问题中，通常使用权重来表示每条边的长度或成本。权重可以是有 向的或无向的，可以是正值或负值。
03
最短路径问题的数学模型还包括一个求解算法，用于在图中找到从s到t的最短 路径。常用的求解算法包括Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。
03
轴对称算法实现
利用轴对称破解最短路径问题
第一章平移、对称与旋转第4 讲利用轴对称破解最短路径问题一、学习目标1.理解“直线上同一侧两点与此直线上一动点距离和最小”问题通过轴对称的性质与作图转化为“两点之间，线段最短”问题求解。
2.能将实际问题或几何问题（对称背景图）中有关最短路径（线段之差最大值）问题借助轴对称转化为两点之间，线段最短问题分析与求解。
二、基础知识•轻松学与轴对称有关的最短路径问题关于最短距离，我们有下面几个相应的结论：（1）在连接两点的所有线中，线段最短（两点之间，线段最短）；（2）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（3）在三角形中，大角对大边，小角对小边。
（4）垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；【精讲】一般说来，线段和最短的问题，往往把几条线段连接成一条线段，利用“两点之间线段最短” 或者“三角形两边之和大于第三边”加以证明，关键是找相关点关于直线的对称点实现“折”转“直” 。
另外，在平移线段的时候，一般要用到平行四边形的判定和性质。
（判定：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形；性质：平行四边形的对边相等。
）三、重难疑点•轻松破最短路径问题在平面图形中要解决最短路径问题，自然离不开构建与转化“两点之间，线段最短”的数学公理，通常将涉及到的两点中的任一点作出关于直线的对称点，从而运用两点之间，线段最短解决实际问题．在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题。
“最短路径问题”的原型来自于“饮马问题” 、“造桥选址问题” ，出题通常以直线、角、等腰（边）三角形、长方形、正方形、坐标轴等对称图形为背景。
（1）“一线同侧两点”问题例1如图，点A B在直线m的同侧，点B'是点B关于m的对称点，AB'交m于点P.（1）AB与AP+PB相等吗为什么（2）在m上再取一点N,并连接AN与NB比较AN+N有AP+PB的大小，并说明理由.解析：(1)T 点B'是点B 关于m 的对称点，••• PB=PB ,••• AB =AP+PB , ••• AB =AP+PB(2)如图：连接 AN, BN B ' N,TAB' =AP+PB• AN+NB=AN+NB> AB', • AN+N > AP+PB点评：两条线段之和最短，往往利用对称的思想,利用两点之间的线段最短得出结果。
巧用轴对称解决最短路线问题
巧用轴对称解决最短路线问题
作者：于胜军
来源：《中学生数理化·教与学》2018年第01期
第一，几何模型见鲁教版初中数学七年级上册第二章第48页.
原题：如图1，直线l是草原上的一条小河.将军从草原的A地出发到河边饮水，然后再到B地军营视察.那么，他走什么样的路线行程最短呢？
解析：作点A（或B）关于直线l的对称点A′（或B′），连接A′B（或AB′）交直线l于点P，连接AP，其最短路线为A-P-B.
第二，模型应用.
1.轴对称的知识解决四边形中的最短路线问题
变式1：如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE.P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是多少？
分析：利用点B关于AC的对称点D进行求解.
解：如图2，连接DE交AC于点P，此时PB+PE的值最小.由轴对称得PB+PE=DE.在
Rt△DAE中，AE=2，BE=6，AD=AE+BE=8.由勾股定理得DE=10，即PB+PE的最小值为10.
2.轴对称的知识解决圆中的最短路线问题
分析：作点D关于直径AB的对称点D′求解.
3.轴对称的知识解决函数中的最短路线问题
（1）求该函数的解析式.
（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC+PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标.
（1）求这条抛物线的函数表达式.
（2）已知在对称轴上存在一点P，使△PBC的周长最小.请求出点P的坐标.
（2）连接AC，BC.因为BC的长度一定，所以△PBC周长最小，就是使PC+PB最小.B 点关于对称轴的对称点是A点，AC与对称轴x=-1的交点即为所求的点P.
由待定系数法可知直线AC的表达式为y=-23x-2.。
用轴对称求最短距离
用轴对称求最短距离在研究几条线段长之和（差）的最小或最大值时，常常需要把这些线段集中到一起，然后将其与某条长度固定的线段进行比较。
把其中的部分特殊点进行恰当的轴对称变换，是实现这一目标的有效手段。
现举例说明，供同学们参考。
一、为了在已知直线上寻找与同侧两点距离之和最小的点，可通过轴对称变换，把同侧两点转化为异侧两点，再利用“三角形任意两边之和大于第三边”来确定例1. 如图1，牧童在A处放牧，其家在B处，A、B到河岸l的距离分别为AC、BD，，且A处到河岸CD中点的距离为500m。
（1）如牧童从A处将马牵到河边饮水后再回家，试问：在何处饮水，所走路程最短？（2）最短的路程是多少？解析：这个问题可简述为“已知直线CD和直线CD同侧的两点A，B，在直线CD 上求一点M，使最小。
”（1）如图2，先作点A关于直线CD的对称点，再连接交CD于点M，则点M为所求的点。
证明如下：在CD上任取一点，连接、、、AM。
点A、关于直线CD对称，点M、在CD上，。
最小。
（2）由（1）知，，。
故M为CD中点，且最短路程为。
二、在涉及折线段长的最值问题的，一般是通过多次轴对称变换，利用两点之间线段最短求最值。
例2. 如图3，牧童家在A处。
现在牧童要先带马到河边（图中用直线a表示）饮水，再到草地（图中用直线b表示）吃草，然后回家。
问：牧童让马在何处饮水、吃草，所走的总路程最短？解析：设点B、点C分别是马饮水、吃草处，本题即是要求线段长之和AB+BC+CA 的最小值。
我们通常需要把它和固定线段相比较。
可通过轴对称变换，把这些线段放在同一直线上，利用两点之间线段最短来解决。
如图4所示，分别作点A关于直线a的对称点A”，点A关于直线b的对称点A””。
连接A”A””。
A”A””交直线a于点B，交直线b于点C，则AB+BC+CA=A”B+BC+CA””＝A”A””。
而对其他地点B”、C”，也都可以同样转化为A”B”+B”C”+C”A””，即为A”、A””两点间的折线段的长。
初二数学上册：利用轴对称求解最短路径问题
初二数学上册：利用轴对称求解最短路径问题一、知识重点1、最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．2、运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．3、利用平移确定最短路径选址解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．二、经典例子解析【例一】有两棵树位置如图，树脚分别为A，B.地上有一只昆虫沿A—B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置．解：如图，作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E，则点E就是所求的点．【例二】如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点解：如图，【例三】如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短。
解：先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线．因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B【例四】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小解：如图，作点B关于直线l的对称点B′；连接AB′交直线l于点M.则点M即为所求的点．【例五】如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A 村与B村供水。
轴对称最短路线问题原理
轴对称最短路线问题原理
一、问题描述
轴对称最短路线问题，即求平面上两点间沿轴对称线走的最短距离。
二、问题解法
1. 构造对称轴
首先需要找到两点的对称轴，对称轴的构造方法有多种，常用的有以
下两种：
（1）连接两点，垂直平分线即为对称轴。
（2）以两点为圆心，以它们之间的距离为半径，画两个圆；两圆的交
点就是对称轴。
2. 沿对称轴转换
对称轴将平面分为两个对称部分，假设起点在对称轴左侧（或右侧），求出终点在对称轴右侧（或左侧）的最短距离，即为要求的轴对称最
短路线。
3. 求最短距离
最短距离可以使用最短路算法（如 Dijkstra 算法、Bellman-Ford 算法等）来计算。
三、应用领域
轴对称最短路线问题常见于自动化生产线、机器人运动等领域，在这
些领域中，机器人需要在不碰撞的情况下从一个点到达另一个点，同
时保证走的路径最短。
该问题的解决方法可以为机器人运动路径规划
提供参考。
轴对称—最短路径问题-完整版课件
人教版数学学科中考复习专题
轴对称—最短路径问题
情境引入
王二小在A处放牛，要把牛牵到河边喝水，喝完水后还要牵 回B处关在牛棚里面。河边任何地方都可以让牛喝水。王二小牵 牛在河边哪个位置喝水，再牵到B处走的总路程最短？
B A
合作探究
如图，点A，B 在直线l 的同侧，点P是直线上的一个动点，当 点P 在l 的什么位置时，AP 与BP的和最小？
上的一动点，求BN+MN的最小值。
解:因为四边形ABCD为正方形，所以点B 与点D关于直线AC对称。
连结DM交直线AC于点N，即点N为所求作点
。 则BN+MN=DN+MN=DM,因为两点之间
A ，线段最短，所以BN+MN=DM为最小值。
B
M
N
N
D
C
即BN+MN的最小值为10.
变中思本
本节课你印象化最折深为的直是什么地方？
A MP
数学模型：两点在一条直线同侧
B
化折为直
┌
l
B/
小试牛刀
2
分析：
（1）求PB+PC的最小值
关键是找到点P位于直 线MN的什么位置.
（2）PB+PC=PA+PB=AB.
（4）PB+PC =AB =2.
M
P P A 30
N
化折为直
B
1
C
小试牛刀
2.如图，正方形ABCD边长为8，M在BC上，BM＝2，N为AC
(完整版)利用轴对称求最短距离问题
利用轴对称求最短距离问题基本题引入:如图（1），要在公路道a上修建一个加油站，有Ａ，Ｂ两人要去加油站加油。
加油站修在公路道的什么地方，可使两人到加油站的总路程最短？你可以在a上找几个点试一试,能发现什么规律?·B ·A·B·Aa·B·Aa·A′图1M·A′MNa 图2图3思路分析：如图2，我们可以把公路a近似看成一条直线，问题就是要在a上找一点M，使AM与BM的和最小。
设A′是A的对称点，本问题也就是要使A′M与BM的和最小。
在连接A′B的线中，线段A′B最短。
因此，线段A′B与直线a的交点C的位置即为所求。
如图3，为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线a上另外任取一点N，连接AN、BN、A′N。
因为直线a是A，A′的对称轴，点M,N在a上，所以AM= A′M,AN= A′N。
∴AM+BM= A′M+BM= A′B在△A′BN中，∵A′B＜A′N+BN∴AM+BM＜AN+BN即AM+BM最小。
点评：经过复习学生恍然大悟、面露微笑，不一会不少学生就利用轴对称知识将上一道中考题解决了。
思路如下：②∵BC＝9（定值），∴△PBC的周长最小，就是PB＋PC最小.由题意可知，点C关于直线DE的对称点是点A，显然当P、A、B三点共线时PB＋PA最小.此时DP＝DE，PB＋PA＝AB.由∠ADF＝∠FAE，∠DFA＝∠ACB＝90°，得△DAF∽△ABC.EF∥BC，1159AB＝，EF＝.∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶15.∴AD＝10.Rt△ADF22292525中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8.∴DE＝DF＋FE＝8＋＝.∴当x＝时，△PBC的周长222得AE＝BE＝最小， y值略。
数学新课程标准告诉我们：教师要充分关注学生的学习过程，遵循学生认知规律，合理组织教学内容，建立科学的训练系统。
使学生不仅获得数学基础知识、基本技能，更要获得数学思想和观念，形成良好的数学思维品质。
利用轴对称确定最短路线
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则 邮筒应 设在 何处 ， 能使 邮递 员所 走 路程 最 短． 才 分析 要 使 邮 递 员所 走 路 程 最 短 ， 就 是 要 使 Ｍ Ｐ、 也 Ｑ 三 条线段 的和最 小． Ｍ 同样 考虑 把这 三 条线 段转 化 到 同一直 线 上
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如 图 ２ 作 点 Ａ（ 点 Ｂ） 于 直 线 ｚ 对 称 点 Ａ 或 Ｂ ） 连 结 Ａ ， 或 关 的 （ ， Ｂ （ ＡＢ ） 直 线 ￡ 点 Ｃ， Ｃ 或 交 于 则 Ａ 一 Ｃ ， Ｃ就 是 马 饮 水 的 地 点 ， 所 Ａ 点 马
经 过的最 短路 线 为 Ａ— Ｃ Ｂ ．
军饮 马 的问 题． 样 的 问题 既 有 现 实性 ， 充 满 趣 味性 以及 对 数 学 思维 这 又 的挑战性 ． 们再 来看 几个 生活 中 的例子 ． 我
例 １ 如 图 ３ 要在 邮局 Ｍ 的 两侧街 道 ＡＢ、ＣＤ 设 立 Ｎｄ 邮 ， ＇ －
筒 Ｐ、Ｑ， 邮递 员从 邮 局 出发 ， 两 个 邮 筒 里 取 出 信 件 后 ， 回到 邮 局 ， 使 从 再
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历 山大 里 亚城
精 通数学 、 物理 的学者 ． 一天 ， 位将 军 向他请 教 一 个 问题 ： 图 １中 的 一 从 Ａ 点出发 ， 到笔 直 的河岸 ￡ 去饮 马 ， 然后 再去 Ｂ地 ， 走什 么样 的路 线最 短 呢 ？海伦 稍加 思 索 ， 回 答 了这 个 问 题 ， 个 问题 后 来 被 称 为 “ 军 饮 便 这 将 马” 问题 ， 海伦 是如 何解 决将 军 的问题 的 呢？ 要使所 走 的路 线 最短 ， 即在直 线 ｚ 找一 点 ， 上 使这 个点 到点 Ａ、 Ｂ距 离之 和最 小． 我们 可 以考虑把 两 条线段 转 化到 同一 条直 线上 ．
利用轴对称求最短距离
利用轴对称求最短距离轴对称知识在近来的中考题中，经常出现，笔者浏览最近几年各地的中考试题，发现各地中考试题除考察轴对称图形的基本知识和性质，还考察了利用轴对称知识解决最短距离问题，这类问题在各地中考试题中，屡见不鲜，如何利用轴对称的性质解决最短距离问题呢？根据本人多年从事初三数学教学工作的一些体会。
概括一些一些常见的题型。
一、基础知识如图直线l 同侧有两点A 、B ，在直线l 上找点P ，使得PA+PB 最短，并简要说明理由。
解：作点关于直线l 的对称点A ′，连A ′B 交直线l 于点P,则点P 即为所求，此时PA+PB=PA ′+PB= A ′B 。
A 1二、典型例题：A 组（1）以菱形为载体的最短距离问题：如图所示，菱形ABCD 中， ∠ BAD=60°，AB=4，M 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PM+PB 的最小值是_________。
解：∵菱形ABCD 是以AC 为对称轴的轴对称图形。
∴点B 关于直线AC 的对称点为点D,ABLP连接DM 交AC 于点P,则PM+PB 的最小值即为线段DM,此时DM=32 ∴PM+PM 的最小值为32.（2）以矩形为载体求最短距离问题在矩形ABCD 中，AB=2，AD=4，E 为为边CD 中点。
P 为边BC 上的任一点，求PA+EP 的最小值。
解：作点A 关于BC 的对称点A ′，连A ′E 交BC 于点P,则点P 为所求，此时PA+PE 的最小值即为A ′E,过点E ，作EF ⊥AB ， A ′E=2243 =5 ∴PA+PE 的最小值为5。
MA A 1ED如图所示，正方形ABCD 的边长为2，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上找一点P,使PD+PE 最小，则这个最小值为_________.解：∵正方形ABCD 是以AC 为对称轴的轴对称图形。
∴点B 关于点D 关于AC 对称 ∵BE 即为PD+PE 的最小值 ∴PD+PE 的最小值为2(4) 以圆形为载体的最短距离问题：如图，⊙O 的半径为2，点A 、B 、C 在⊙O 上，OA ⊥OB, ∠ABC=60°，P 是OB 上一动点，求PA+PC 的最小值。
轴对称解决实际问题(最短路程)(超经典、超全)
轴对称解决实际问题（最短路程问题）（1）利用轴对称解决几何极值问题仅仅是轴对称应用的一个方面，比较典型的是平面镜成像、光的反射等问题也经常用到轴对称。
（2）解决实际问题的关键是把这个实际问题抽象或转化为一个数学模型，然后通过对这个数学模型的研究来解决这个实际问题。
（3）在证明最大、最小这类问题时，常常采用任意另选一个，通过与要求证的那个“最大”或“最小”的量进行比较来证明。
问题1（分析1）如何用数学的方法解决这个问题？把这条河抽象为一条直线，而把将军的出发地（山脚）和宿营地分别看作直线同侧的两个点，建立几何模型，（如图①）把实际问题转换成“在已知直线上找一点，使它到直线同侧的两点的距离之和最小”的数学问题。
（分析2）连结AB ，作AB 的垂直平分线交直线a 于P 点，根据线段的垂直平分线的性质定理有PA ＝PB ，此时PA ＋PB 是否最短？（如图②） (用几何画板的度量及计算功能否定这种作法)(分析3)作A 点关于直线a 的对称点A ′连结P A ′,由轴对称的性质知PA ＝PA ′,那么PA ＋PB ＝PA ′＋PB ，P 点在何处PA ′＋PB 最短？（如图③）由一名学生上讲台拖动P 点，显然当B 、P 、A ′三点共线时PA ′＋PB 最短。
探索得出作法：（如图④）（1）作A 点关于直线a 的对称点A ′. （2）连结BA ′，交直线a 于P 点. P 点即为所求。
如何证明？ (分析4)在直线a 上另取一点P ′，连结PA 、A P ′、B P ′、 P ′A ′，（如图⑤）要证PA ＋PB 最小，由任意性， 只要证 ：PA ＋PB ＜A P ′＋B P ′， 由对称性可知：PA ＝PA ′, P ′A ＝P ′A ′只要证：PA ′＋PB ＜P ′A ′＋B P ′只要证： A ′B ＜P ′A ′＋B P ′而△BA ′P ′中，有三角形两边之和大于第三边，问题得证。
a · · B A 图① a · · B A 图② P a · · B A 图③ A ′ · · P a · · B A 图④ A ′ · P a · ·B A 图⑤A ′ · P P ′问题2、如图，已知牧马营地在P 处，牧童每天要赶着马群先到河边饮水，再到草地吃草，然后回到营地，试设计出最短的放牧路线。
(完整版)利用轴对称求最短距离
利用轴对称求最短距离一、问题引入：1、以以下列图，在直线异侧各有点 A、 B, 在直线上找一点 p，使PA+PB最小。
2、以以下列图，在直线同侧各有点 A、 B, 在直线上找一点 p，使PA+PB最小。
解析：依照“两点之间线段最短〞，可知：连接 AB，与直线的交点即为 P 点 . 此根本种类为：一线〔直线〕两定点〔点 A、 B〕。
解析：作点 A 关于直线的对称点 A′，连接 AA′，那么直线就是线段 AA′的垂直均分线，依照“垂直均分线上一点到线段两端点的距离相等〞可得，直线上任一点到点 A 的距离都等于到点A′的距离。
事实上，这个问题就可以转变为：在直线异侧各有点A′、 B, 在直线上找一点 p，使 PA′ +PB 最小。
即：一线两定点的问题。
由〔 1〕得，连接 BA′，与直线的交点即为点P。
解析：由题意知：第一找二、典型例题：点 B 也许点 M关于 AC所〔1〕、以菱形为媒介的最短距离问题：在直线的对称点。
由菱形以以下列图，菱形 ABCD中，∠ BAD=60°， AB=4，点 M是 AB中点，的轴对称性不难发现：点P 是对角线 AC上的一个动点，那么 PM+PB的最小值是多少？D即是点 B 关于直线 AC的对称点，那么连接DM 与线段 AC 的交点即为P 点。
那么 PM+PB的最小值实质上就是线段 DM的长度解析：由题意知：第一找〔2〕、以正方形为媒介的最短距离问题：点 D 也许点 E 关于 AC 所以以下列图，正方形 ABCD 边长为 2，△ ABE为等边三角形，且点 E 在直线的对称点。
由正方在正方形ABCD内部，在对角线 AC上找一点 P，使 PD+PE最小，形的轴对称性不难发现：那么这个最小值为多少？点 B 即是点 D关于直线 AC的对称点，那么连接BE 与线段 AC的交点即为P 点。
那么 PD+PE的最小值实质上就是线段BE 的长度，BE=2。
〔3〕、以圆为媒介的最短距离问题：以以下列图，⊙ O的半径为2，点 A、 B、 C 在⊙ O上，OA⊥ OB，∠AOB=60°， P 是 OB上一动点，求PA+PC的最小值解析：由题意知：第一找点 A也许点 C关于 OB所在直线的对称点。
(完整版)利用轴对称求最短距离[1]
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④ 如图所示，在/ AOB 的边AO , BO 上分别找一点 E , F 使得DE + EF + CF 最小.分别 过点C , D 作关于AO , BO 的对称点 DC '，连接D C '，并与AO , BO 分别交于点 E , F , 此时DE + EF + CF 最小，则点E , F 即为所求.最短路径问题 和最小【方法说明】 “和最小”问题常见的问法是，在一条直线上面找一点，使得这个点与两个定点距离 的和最小（将军饮马问题）•如图所示，在直线 直线AB 与直线I 的交点时，PA + PB 最小. l 上找一点 P 使得PA + PB 最小.当点P 为 B 4P , B' 【方法归纳】 ①如图所示，在直线I 上找一点B 使得线段AB AB 即为所求.最小•过点A 作AB 丄I ，垂足为B ,则线段 ②如图所示，在直线 BB 与直线I 交于点 I 上找一点P 使得PA + PB 最小.过点B 作关于直线I 的对称点B P ,此时PA + PB 最小，则点P 即为所求. B a p. B'③如图所示，在/ AOB 的边AO , BO 上分别找一点 C , D 使得PC + CD + PD 最小.过点P 分别作关于 AO , BO 的对称点E , F ，连接EF ，并与AO , BO 分别交于点 C , D ，此时PC + CD + PD 最小，则点C , D 即为所求.BA D' A⑤如图所示，长度不变的线段CD在直线I上运动，在直线I上找到使得AC + BD最小的CD的位置.分别过点A, D作AA 7/ CD , DA '// AC, AA '与DA '交于点A',再作点B关于直线I的对称点B '，连接A'B与直线I交于点D 7,此时点D'即为所求.0 Ir f f-A'D D'B'1⑥如图所示，在平面直角坐标系中，点P为抛物线(y= -x2) 上的一点，点 A (0, 1 )在y 轴正半轴.点P在什么位置时PA+ PB最小？过点B作直线I: y=- 1的垂线段BH BH ' 与抛物线交于点P',此时PA+ PB最小，则点P即为所求.1.(13广东)已知二次函数y= x2—2mx + m2- 1.(1)当二次函数的图象经过坐标原点0( 0, 0)时，求二次函数的解析式；(2)如图，当m = 2时，该抛物线与y轴交于点C,顶点为D,求C、D两点的坐标；(3)在(2)的条件下，x轴上是否存在一点P,使得PC + PD最短？若P点存在，求出P 点的坐标；若P点不存在，请说明理由.A D' A【思路点拨】（1）由二次函数的图象经过坐标原点0（0, 0）,直接代入求出m的值即可；（2）把m= 2代入求出二次函数解析式，令x= 0,求出y的值，得出点C的坐标；利用配方法或顶点坐标公式求出顶点坐标即可；（3）根据当P、C、D共线时根据“两点之间，线段最短”得出PC + PD最短，求出CD 的直线解析式，令y= 0，求出x的值，即可得出P点的坐标.【解题过程】解：（1）•••二次函数的图象经过坐标原点O （0，0），•••代入二次函数y= x2—2mx + m2—1，得出：m2— 1 = 0，解得：m=± 1，•••二次函数的解析式为：y= x2—2x或y= x2+ 2x;（2）• m= 2，•••二次函数y= x2—2mx + m2—1 得：y = x2—4x + 3 =（x—2）2—1，•抛物线的顶点为：D （2，—1），当x= 0 时，y= 3，「. C 点坐标为：（0，3），• C （0，3）、D （2，—1）;（3）当P、C、D共线时PC+ PD最短，【方法一】• C （0，3）、D （2，—1），设直线CD的解析式为y= kx + 3，代入得：2k+ 3 =—1，• k=—2，「.y=—2x + 3，当y= 0时，一2x+ 3= 0，解得x= 3，• PC + PD最短时，P点的坐标为：P （|，0）.【方法二】过点D作DE丄y轴于点E，•PO〃DE，• DO=CO，• P0=4 解得:PO=2,•PC + PD最短时，P点的坐标为：P （2，0）.12. (11荷泽)如图，抛物线 y = ?x 2+ bx -2与x 轴交于A , B 两点，与y 轴交于C 点，且A (-1, 0).(1)求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；(2) 判断△ ABC 的形状，证明你的结论；(3) 点M ( m , 0)是x 轴上的一个动点，当 MC + MD 的值最小时，求 m 的值.【思路点拨】(1) 把点A 的坐标代入求出b 的值，即可得出抛物线的解析式，通过配方法即可求出顶点 D 的坐标；(2)观察发现厶ABC 是直角三角形，可以通过勾股定理的逆定理证明.由抛物线的解析式，分别求出点B , C 的坐标，再得出AB , AC , BC 的长度，易得AC 2+ BC 2= AB 2,得出△ ABC 是直角三角形；(3) 作出点C 关于x 轴的对称点C',连接C'D 交x 轴于点M ，根据“两点之间，线段最 短”可知MC + MD 的值最小.求出直线 C'D 的解析式，即可得出点 M 的坐标，进而求出 m 的值. 【解题过程】解：(1 )• ••点A (- 1, 0)在抛物线 y =护+ bx —2 上,1X 2(—1 ) 2+ b X(— 1)— 2=0,解得 . 3b 一 3，-25) 抛物线的解析式为1 2 y=2x2-3 1/3、-?x—2=(x—p2 25—8 ,•顶点D的坐标为 (j,(2) 当x= 0 时y=—2,. • C (0,—2), OC = 2 .当y= 0 时，|x2—|x—2= 0,• •• X1=—1 , X2=4, • B(4, 0), • OA = 1 , OB = 4,AB = 5.•/ AB 2= 25, AC 2 = 0A 2+ 0C 2= 5, BC 2= 0C 2+ OB 2= 20,「. AC 2 + BC 2 = AB 2. •••△ ABC 是直角三角形.(3)作出点C 关于x 轴的对称点C',贝U C ' ( 0, 2), 0C = 2,连接C 'D 交x 轴于点M ，根据轴对称性及两点之间线段最短可知， MC + MD 的值最小.【方法一】x + 2.24• m =41.41 24.•.当 y = 0 时，—祛 + 2= 0, x = 41 【方法二】 设抛物线的对称轴交 x 轴于点E .•/ ED // y 轴，•/ OC 'M = / EDM ，/ C'OM =Z .OM = OCJ • EM = ED ， 2 24 = ，…m =25 41 .DEM C 'OMDEM .设直线C D 的解析式为y = kx + n ,则 n = 2 |k + n 一 25 解得: n = 2k =-芸.y = 4112。
用轴对称求最短距离
用轴对称求最短距离最值问题，也就是最大值和最小值问题，这类问题出现的试题，内容丰富，知识点多，涉及面广，解法灵活多样，本文举例介绍一些常见的求解方法，供读者参考。
例1. （湖北潜江）如图１，小河边有两个村庄Ａ、Ｂ．要在河边建一自来水厂向Ａ村与Ｂ村供水．（１）若要使厂部到Ａ、Ｂ村的距离相等，则应选择在哪建厂？（２）若要使厂部到Ａ、Ｂ村的水管最省料，应建在什么地方？分析（１）到Ａ、Ｂ两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”．（２）要使厂部到Ａ村、Ｂ村的距离和最短，可联想到“两点之间线段最短”．解：（１）如图２，取线段ＡＢ的中点Ｇ，过中点Ｇ画ＡＢ的垂线，交ＥＦ与Ｐ，则Ｐ到Ａ、Ｂ的距离相等．（２）如图３，画出点Ａ关于河岸ＥＦ的对称点Ａ′，连结Ａ′Ｂ交ＥＦ于Ｐ，则Ｐ到ＡＢ的距离和最短．点评：如果我们注意一下，在我们的生活中有很多都利用了轴对称，如果平时多观察、多思考，就会发现轴对称还可以帮助我们解决问题.例2. 如图3，两条公路OA、OB相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点P，如在两条公路上各设置一个加油站，，请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短.分析这是一个实际问题，我们需要把它转化为数学问题，经过分析，我们知道此题是求运油车所走路程最短，OA与OB相交，点P在∠AOB内部，通常我们会想到轴对称，分别做点P关于直线OA和OB的对称点P1、P2,连结P1P2分别交OA、OB于C、D，C、D两点就是使运油车所走路程最短，而建加油站的地点，那么是不是最短的呢？我们可以用三角形的三边关系进行说明.解：分别做点P关于直线OA和OB的对称点P1、P2,连结P1P2分别交OA、OB于C、D，则C、D就是建加油站的位置.若取异于C、D两点的点，则由三角形的三边关系，可知在C、D两点建加油站运油车所走的路程最短.点评：在这里没有详细说明为什么在C、D两点建加油站运油车所走的路程最短，请同学们思考弄明白。
第十三章 轴对称知识 课题学习 最短路径问题
的和最小.(画出图形，不写作法，保留作图痕迹)
图13-4-4
图13-4-3
解：如图13-4-4，以直线 l1 为对称轴作点A的对称点M， 以直线 l 2 为对称轴作点A的对称点N，连接MN，分别
A2 即为所求. 交 l1 , l 2 于点 A1 , A2 ,则 A1 ，
过两条直线内侧一点，分别作关于两条直线的对称点， 即可得三点所组成的三角形的周长最小.
例1 如图13-4-1，A，B两村合伙在河MN建一座扬水站，要
使所用管道最少，请你帮助他们确定扬水站的位置.(画出图
形，不写作法，保留作图痕迹)
图13-4-1 解：如图13-4-2,点O即为所求.
图13-4-2
例2 如图13-4-3，点A是总邮局，想在公路 l1 上建一分 局 A1 ，在公路 l 2 上建一分局 A2 ，使 AA1 A1 A2 AA2
△PMN的 分别交 l 和 l 2 1 周长最小 于点M，N， 点M，N即为 所求
P′P″，依据是两点
之间，线段最短
问题
类别
问题
作法
图例
思路与依据
在直线
l1 和
分别作点P，
Q关于 l1 和
l 2 上分别找
两线
间两 点 点 M， N， 使四边形 PQNM的周 长最小
通过轴对称把周长最 小问题转化为两点间
A.BM垂直于a
B.AM与BN不平行
C.AN垂直于b
D.AM平行于BN
解析：图13-4-5根据垂线段最短，得出MN是河的宽时最短，
即MN⊥直线a(或直线b)，只要AM+BN最短即可.如图13-4-5， 过点A作河的垂线AH，垂足为H，在AH所在直线上取点I， 使AI等于河宽，连接IB交河的b岸于点N，作MN垂直于河岸, 交a岸于点M，连接AM，所得MN即为所求.故选D.
轴对称及最短路径问题
最短路径问题（一）利用轴对称解决最短路径问题问题作法图形原理类型一BA 连接AB，与l的交点即为点PPA+PB的最小值为AB的值，两点之间，线段最短类型二 BAl 作点A关于l的对称点A’,连接A’B,与l的交点即为点PBAPA’AP+PB的最小值为A’B的值，两点之间，线段最短类型三L2PL1在直线l1，l2上分别找点M,N，使△PMN周长最小分别作点P关于两直线l1，l2的对称点P’,P’’,连接P’P’’,与两直线的交点为M,NL2P’’M PN L1P’PM+PN+MN的最小值为P’P’’的值，两点之间，线段最短类型四L1PQL2在直线L1,L2上分别找点M,N，使四边形PMNQ的周长最小做点P,Q分别关于直线L1,L2的对称点P’,Q’,连接P’Q’,与两直线的交点M,NL1M PQN L2PM+MN+PN的最小值为P’Q’的值，两点之间线段最短（二）用平移解决造桥选址问题例1，如图，a//b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，当点N 在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？ aMN由于MN的长度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小。
这样，问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？详解：将AM沿与a垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A’，则AA’=MN,AM+NB=A’N+NB.这样，问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A’N+NB最小？如图，在连接A’,B两点的线中，线段A’B最短。
因此，线段A’B最短。
因此，线段A’B 与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN，所得路径AMNB是最短的。
L2A MA’ BN例2，在P、Q两村之间有两条河，且每条河的宽度相同，从P村到Q村，要经过两座桥MN、EF。
现在要设计一条道路，并在两条河上分别架这两座垂直于桥的大桥，问：如何设计这两座桥MN,EF的位置，使由P村到Q村的路程最短？PL1L2Q 1L2解析：河的宽度（桥的宽度）固定，利用“平移交换”解决问题。
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最短路径问题——和最小
【方法说明】
“和最小”问题常见的问法是，在一条直线上面找一点，使得这个点与两个定点距离的和最小（将军饮马问题）．如图所示，在直线l 上找一点P 使得PA ＋PB 最小．当点P 为直线AB ′与直线l 的交点时，PA ＋PB 最小．
l
B
A
【方法归纳】
①如图所示，在直线l 上找一点B 使得线段AB 最小．过点A 作AB ⊥l ，垂足为B ，则线段AB 即为所求．
l
A
l
②如图所示，在直线l 上找一点P 使得PA ＋PB 最小．过点B 作关于直线l 的对称点B ′，BB ′与直线l 交于点P ，此时PA ＋PB 最小，则点P 即为所求．
l
B
A
l
③如图所示，在∠AOB 的边AO ，BO 上分别找一点C ，D 使得PC ＋CD ＋PD 最小．过点P 分别作关于AO ，BO 的对称点E ，F ，连接EF ，并与AO ，BO 分别交于点C ，D ，此时PC ＋CD ＋PD 最小，则点
C ，
D 即为所求．
O
B
O
B
④如图所示，在∠AOB 的边AO ，BO 上分别找一点E ，F 使得DE ＋EF ＋CF 最小．分别过点C ，D 作关于AO ，BO 的对称点D ′，C ′，连接D ′C ′，并与AO ，BO 分别交于点E ，F ，此时DE ＋EF ＋CF 最小，则点E ，F 即为所求．
B
O
B O
⑤如图所示，长度不变的线段CD 在直线l 上运动，在直线l 上找到使得AC ＋BD 最小的CD 的位置．分别过点A ，D 作AA ′∥CD ，DA ′∥AC ，AA ′与DA ′交于点A ′，再作点B 关于直线l 的对称点B ′，连接A ′B ′与直线l 交于点D ′，此时点D
′即为所求．
l
l
⑥如图所示，在平面直角坐标系中，点P 为抛物线（y ＝1
4x 2）上的一点，点A （0，1）在y
轴正半轴．点P 在什么位置时PA ＋PB 最小？过点B 作直线l ：y ＝－1的垂线段BH ′，BH ′与抛物线交于点P ′，此时PA ＋PB 最小，则点P 即为所求．
1．（13广东）已知二次函数y ＝x 2－2mx ＋m 2－1．
（1）当二次函数的图象经过坐标原点O （0，0）时，求二次函数的解析式；
（2）如图，当m ＝2时，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ，求C 、D 两点的坐标； （3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点P ，使得PC ＋PD 最短？若P 点存在，求出P 点的坐标；若P 点不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）由二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），直接代入求出m的值即可；
（2）把m＝2代入求出二次函数解析式，令x＝0，求出y的值，得出点C的坐标；利用配方法或顶点坐标公式求出顶点坐标即可；
（3）根据当P、C、D共线时根据“两点之间，线段最短”得出PC＋PD最短，求出CD 的直线解析式，令y＝0，求出x的值，即可得出P点的坐标．
【解题过程】
解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），
∴代入二次函数y＝x2－2mx＋m2－1，得出：m2－1＝0，解得：m＝±1，
∴二次函数的解析式为：y＝x2－2x或y＝x2＋2x；
（2）∵m＝2，∴二次函数y＝x2－2mx＋m2－1得：y＝x2－4x＋3＝（x－2）2－1，∴抛物线的顶点为：D（2，－1），
当x＝0时，y＝3，∴C点坐标为：（0，3），∴C（0，3）、D（2，－1）；
（3）当P、C、D共线时PC＋PD最短，
【方法一】
∵C（0，3）、D（2，－1），
设直线CD的解析式为y＝kx＋3，代入得：2k＋3＝－1，∴k＝－2，∴y＝－2x＋3，
当y＝0时，－2x＋3＝0，解得x＝3
2，∴PC＋PD最短时，P点的坐标为：P（
3
2，
0）．
【方法二】
过点D作DE⊥y轴于点E，
∵PO∥DE，∴PO
DE＝
CO
CE，∴
PO
2＝
3
4，解得：PO＝
3
2，
∴PC＋PD最短时，P点的坐标为：P（3
2，0）．
2．（11菏泽）如图，抛物线y ＝1
2
x 2＋bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A
（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；
（3）点M （m ，0）是x 轴上的一个动点，当MC ＋MD 的值最小时，求m 的值．
【思路点拨】
（1）把点A 的坐标代入求出b 的值，即可得出抛物线的解析式，通过配方法即可求出顶点D 的坐标； （2）观察发现△ABC 是直角三角形，可以通过勾股定理的逆定理证明．由抛物线的解析式，
分别求出点B ，C 的坐标，再得出AB ，AC ，BC 的长度，易得AC 2＋BC 2
＝AB 2，得出△ABC 是直角三角形；
（3）作出点C 关于x 轴的对称点C ′，连接C 'D 交x 轴于点M ，根据“两点之间，线段最短”可知MC ＋MD 的值最小．求出直线C 'D 的解析式，即可得出点M 的坐标，进而求出m 的值． 【解题过程】
解：（1）∵点A （－1，0）在抛物线y ＝12x 2＋bx －2上，∴1
2
×（－1 ）2＋b ×（－1）－2
＝0，解得b ＝－3
2
，
∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－32x －2＝12（x －32）2－258，∴顶点D 的坐标为 （3
2
，
－258
）． （2）当x ＝0时y ＝－2，∴C （0，－2），OC ＝2．
当y ＝0时，12x 2－3
2
x －2＝0，∴x 1＝－1，x 2＝4，∴B （4，0），∴OA ＝1，OB ＝4，
AB ＝5．
∵AB 2＝25，AC 2＝OA 2＋OC 2＝5，BC 2＝OC 2＋OB 2＝20，∴AC 2＋BC 2＝AB 2． ∴△ABC 是直角三角形．
（3）作出点C 关于x 轴的对称点C ′，则C ′（0，2），OC ′＝2，
连接C ′D 交x 轴于点M ，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC ＋MD 的值
最小．
【方法一】
设直线C ′D 的解析式为y ＝kx ＋n ，则⎩⎪⎨⎪⎧n ＝23
2k ＋n ＝－258，解得：⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2k ＝－4112
．∴y ＝－41
12
x ＋2．
∴当y ＝0时，－4112x ＋2＝0，x ＝2441．∴m ＝24
41
．
【方法二】
设抛物线的对称轴交x 轴于点E ．
∵ED ∥y 轴，∴∠OC ′M ＝∠EDM ，∠C ′OM ＝∠DEM ，∴△C ′OM ∽△DEM ． ∴OM EM ＝OC ′ED ，∴m 32－m ＝225
8
，∴m ＝2441 ．。