简单多面体外接球问题总结
立体几何高考专题--外接球的几种常见求法
立体几何高考专题--外接球的几种常见求法高三微专题：外接球在立体几何中，外接球问题是一个重点和难点。
其实质是确定球心O的位置和使用勾股定理求解外接球半径（其中底面外接圆半径r可根据正弦定理求得）。
一、由球的定义确定球心在空间中，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心。
简单多面体外接球问题是立体几何中的重点和难点。
二、球体公式球的表面积公式为S=4R²，球体积公式为V=4/3R³。
三、球体几个结论：1）长方体、正方体外接球直径等于体对角线长。
2）侧棱相等，顶点在底面投影为底面外接圆圆心。
3）直径所对的球周角为90°（大圆的圆周角）。
4）正三棱锥对棱互相垂直。
四、外接球几个常见模型1.长方体（正方体）模型例1：长方体的长、宽、高分别为3、2、1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为14。
练1：体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为12。
2.正棱锥（圆锥）模型对于侧棱相等，底面为正多边形的正棱锥，其外接球的球心位置位于顶点与底面外心连线线段（或延长线）上。
半径公式为R²=(h-R)²+r²（其中R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱锥的高，r可根据正弦定理a=2rsinA求得）。
例2：已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为h，体积为V，则这个球的表面积为____。
正四棱锥的高为h，体积为V，易知底面面积为，底面边长为。
正四棱锥的外接球的球心在它的高上，记为，得，在中。
由勾股定理，所以球的表面积为。
练2：正三棱锥S-ABC中，底面ABC是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等于。
解析：ABC外接圆的半径为，三棱锥S-ABC的直径为2R=，外接球半径R=，外接球体积V=4/3R³=。
对于侧棱与底面垂直的直棱柱和圆柱，其外接球的球心位置在上下底面外心连线中点处。
两招搞定简单多面体外接球问题
■ 舒飞跃
此类 近年来， 高考题中常常出现简单多面体外接球问题， 问题能有效考查学生的空间想象能力， 它自然受到命题者的青 睐． 简单多面体外接球问题实质上是解决球的半径和确定球心 的位置问题， 解决这一问题从两个方面入手可以有效解决球心 与球半径， 下面笔者就这一问题谈一谈自已的想法， 供参考． 一、 深入理解球的定义， 转化为常见结论， 准确定位球心 在空间中， 如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的 距离都相等， 那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心 ． 由上面的性质， 可以得到下列简单多面体外接球的球心的 如下结论． 结论 1 ： n 棱锥有外接球的球心在过底面多边形外接圆的 圆心且垂直 于 底 面 的 直 线 上， 具体的位置通过计算后准确 找到． 结论 2 ：n 棱台有外接球的球心是在上 、 下底面多边形的外 接圆的圆心的连线的直线上， 具体位置可通过计算准确找到 ． 结论 3 ：n 直棱柱有外接球的球心是在上 、 下底面多边形的 外接圆的圆心的连线的中点 ． （ 特别地， 正方体与长方体的外接球的球心是其体对角线 中点． ） 例1 一个几何体的三视 图如图 1 所示， 其中正视图是 一个正三角形， 则这个几何体 的外接球的表面积为 ． 解：由三视图作出原几何 体是三棱锥 A － BCD， 如图 2 所 示， 平面 ABD ⊥ 平面 BCD， 取 BD 的 中 点 为 O1 ，连 结 AO1 ， CO1 ， 因 △ABD 边长为 4 的正三 角形， △BCD 是等腰直角三角 2， ∠BCD = 90 ° ， 形， 且 BC = CD = 2 槡 有 AO1 ⊥ 平面 BCD， 则球心 O 在线段 AO1 上， 连结 BO． 设外接球的半径为 Ｒ，
x = cosθ 4 － sinθ 4 －y ， ， 则k = 令 的最大值， 整理得：kx － y + 3 － cosθ 3 －x y = sinθ 4 － 3k = 0． y） 在直线 kx － y + 4 － 3 k = 0 上， 因此点 M（ x， 同时又在单
专题--多面体的外接球问题
一. 多面体外接球的相关定义
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面 上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个 球是这个多面体的外接球。
定义2：如果空间中一个定点到一个多面体的所有顶 点的距离都相等，那么这个定点就是该多面体外接
球的球心。 公式3：球体的体积与表面积
4 V球 R 3 3
A 1B 1C 1, ∠B AC ＝∠A 1B 1C 1 ＝ 90° , A C ＝ A B ＝A 1A ＝ B 1C 1 ＝ 2,则多面体 A B C － A 1B 1C 1 的外接球的表面积为
(
C
) A. 2π B. 4π C. 6π
D. 8π
4. （2018 ?南岗区三模）三棱锥P - ABC中，底面 ABC满足BA BC，ABC
5.侧棱长都相等的棱锥
题型：侧棱长都相等的棱锥的外接球问题. P
l
A
方法一：利用定义找球心， 其外接球的球心在它的高 所在直线上
h
O
l C 方法二：
D
B
2
h 2R
M
6.折叠模型
题型: 1.两个全等三角形或等腰三角形拼在一起的三棱锥外接球； 2.一个直角三角形与一个等边三角形或等腰三角形拼在一 起的三棱锥外接球等； 3.菱形沿着对角线折叠形式的三棱锥外接球
方法：如图，分别过多边形外 心做平面垂线，垂线交点即为 外接球球心.
三. 例题分析
1. (2018 江西宜春模拟 )一个几何体的三视图如图所 示，则该几何体的外接球的表面积为( B ) A ．36π 9 C. π 2 B ．8π 27 D. π 8
2.(2017年江西五校调研)如图（1），五边形 PABC D 是由一个正方形与一个等腰三角形拼接而成，其中
多面体的外接球问题
3
32
3
O
2
AH
AB2 BH 2
a2
3 3
a
6a 3
又 O在AH上，且OA=OB=R
在RtBCD中，BH 2 OH 2 OB 2
3 3
a 2
6 3
a
R 2
R2
R 6 a. 4
三 .“ 补 ” 形 法 找 球 心 、 求 半 径
多面体的外接球问题
陆中华 2019.7.6
课堂导引
一.多面体的外接球的球心在哪里？ 二.常见“规则”多面体外接球的球心与半径 三.“补”形法找球心、求半径 四.求“不规则”多面体的半径
一.空间几何体外接球的球心在哪里？ 1.外接球的定义
正多面体各顶点同在一球面上，这个球 叫做正多面体的外接球。
如左图，球O为四面体D-ABC的外接球， 则
所以，外接球的球心O在过底面外 接圆圆心G的垂线（即高PG）上。
分析：
四棱锥A-MNCB体积最大，
则面AMN 面MNCB.
三角形AMN为等边三角形，
G1
O
其外接圆的圆心G1为中线
AE的三等分点.
G2
E
G2 且易得，等腰梯形 MNCB外
接圆的圆心G2为BC的中点.
分别作垂线，得交点为四棱 锥的外接球的球心O.
中心处，长方体的体对角线为其外接球 的直径。
设长方体的长宽高分别为a,b,c,则
O
2R a2 b2 c2 .
2.正方体 设正方体的棱长为a,则
2R a2 a2 a2 3a.
3.直棱柱
O h/2 R
简单多面体的外接球
B1
a
b
长方体外接球的直径等于长方体的体对角线。
2R a2 b2 c2
构造正方体或长方体
例1、已知三棱锥P ABC的三条侧棱两两互相垂直，且AB 5， BC 7，AC 2, 则此三棱锥的外接球的体积为
8 2 3
A
c
b
P
C
O
B
a
例2、已知三棱锥A BCD的顶点都在球O的球面上， 且AB 面BCD，AB 2，BD CD 1，BD CD, 则球O的体积为
4 3
②一条侧棱垂直于底面，底面是直角三角形的三棱锥
例3、已知三棱锥A BCD的所有棱长都为 2，则该三棱锥 外接球的体积为
A B
C
D
③各棱相等的三棱锥（正四面体）
例4、已知三棱锥A BCD中，AC BD 13，AD BC 5， AB CD 2 5，则该三棱锥外接球的表面积为
简单多面体的外接球问题
1、 用一个平面去截球，截面是圆面；
用一个平面去截球面，截线是圆。
2、大圆--截面过球心,半径等于球半径;
小圆--截面不过球心
大圆
小圆
3、 球心和截面圆心的连线垂直于截面
4、球心到截面的距离d与球的半径R 及截面圆的半径r的关系为： R2 r 2 d 2
O1
ห้องสมุดไป่ตู้
4 V球 = R 3 3
④对棱相等的三棱锥
B
A
c
b
C
a
D
提外心
例5、三棱锥P ABC中，AB BC 15，AC 6，且 PC 面ABC，PC 2，则该三棱锥的外接球的表面积 为
83 2
简单多面体的外接球问题解析版
为 6 cm，若不计容器厚度，则球的体积为( )
A.5030π cm3
B.8636π cm3
1 372π C. 3
cm3
2 048π D. 3
cm3
[解析] 如图，作出球的一个截面，则 MC＝8 －6＝2(cm)，BM＝12AB＝12×8＝4(cm)．设球的半 径为 R cm，则 R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R ＝5.∴V 球＝43π×53＝5030π(cm3)．
A. 64 B. 16 C. 12 D. 4
O
O
16
3
O
O1
什么样旳三棱锥外接球球心好拟定？
上下底面中心旳连线旳中点
•
（贵州省• 2016适应性考试）已知正三棱柱的体积为3 3，所有顶点都在球 O的球面上，则球O的表面积的最小值为
在其高上
例7、求棱长为1旳正四面体外接球旳体积． 6
课堂跟踪检测
题点五：球的内接直棱柱问题
5．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一
个球面上，则该球的表面积为
()
A．πa2
B.73πa2
C.131πa2
ห้องสมุดไป่ตู้D．5πa2
解析：选B 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱
与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中
心，O为球心，易知AP＝23× 23a＝ 33a，OP＝12a，所以
[活学活用] 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________． 解析：由三视图可知，该几何体为一个半 径为 1 的半球，其表面积为半个球面与截 面面积的和，即12×4π×12＋π×12＝3π. 答案：3π
球的截面问题
[典例] 如图，有一个水平放置的透明无盖的
外接球问题方法总结
外接球问题方法总结
外接球问题方法总结
简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径尺或确定球心0的位置问题，其中球心的确定是关键。
（一）由球的定义确定球心
在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心。
由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论。
结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点。
结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点。
结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点。
结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到。
结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心。
（二）构造正方体或长方体确定球心
长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的'中点处。
以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法。
途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体。
途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体。
途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体。
途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体。
（三）由性质确定球心
利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心。
多面体与外接球的三种题型
多面体与外接球的三种题型 题型一（直接找直径） 1、在三棱锥S-ABC 中，SA=AC=，SB=，BC=1，则三棱锥S-ABC 的外接球的表面积是 。
2、若三棱锥S-ABC 的所有顶点都在同一个球O 的球面上，SA 面ABC ，SA=，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，求球O 的体积。
题型二（作轴截面构造Rt △）1、已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 是球O 的直径，且SC=2，求此棱锥的体积。
2、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，则这个球的体积为 。
题型三（补形法）1、若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积为2、一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和侧视图是腰长为4的两个全等直角三角形，若该几何体的所有顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 。
3、已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的一点，SA 面ABC ，AB BC ，SA=AB=1，BC=，则球O 的表面积等于 。
23⊥3233⊥⊥24、四棱锥P -ABCD 的三视图如图所示，四棱锥P -ABCD 的五个顶点都在同一个球面上，E ，F 分别是棱AB ，CD 的中点，直线EF 被球面所截的线段长为，则该球的表面积为5、在三棱锥S -ABC 中，SA=BC=2，SB=AC=3，SC=AB=，则该三棱锥外接球的体积是 。
题型四（割补法）1、如图所示的四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为a的正方形，PD 底面ABCD ，且PD=a ，PA=PA=a ，若在这个四棱锥内放一球，则此球的最大半径是 。
2、已知正四面体的外接球的半径为1，则此正四面体的体积为 。
3、已知三棱锥D -ABC 的顶点都在球O 的球面上，AB=4，BC=3，AB BC ，AD=12，且DA 平面ABC ，则三棱锥A -BOD 的体积是 。
确定简单多面体外接球的球心的策略
确定简单多面体外接球的球心的策略简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径r或确定球心o的位置问题，其中球心的确定是关键.如何确定简单多面体外接球的球心，下面作一些归纳、总结．1 由球的定义确定球心在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论．结论1 正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点．结论2 正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．结论3 直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．结论4 正棱锥的外接球的球心是在其高上，具体位置可通过计算找到．结论5 若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．例1 （2012年高考辽宁卷·文16）已知点p，a，b，c，d是球o表面上的点，pa⊥平面abcd，四边形abcd是边长为23的正方形.若pa＝26，则△oab的面积为________．图1解析因为外接球球心满足到各个顶点距离相等，直角三角形斜边中点到各个顶点距离相等，故可知pc的中点即为球心o.如图1，在rt△pac中，ac＝26，pc＝43，故r＝23.球心满足oa＝ob＝r＝23，故△oab为等边三角形，所以其面积s＝33．评注（1）球心满足到各个顶点距离相等，故球心常常在某直角三角形的斜边中点处.另外，因为球心与截面圆圆心的连线垂直于截面，故一个球中多个过截面圆圆心的垂线的交点必为球心.（2）此题还可以通过构造长方体找到球心，并获解．例2 （2010年高考全国ⅰ新课标卷·理10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）.a.πa2b.73πa2c.113πa2d.5πa2图2解析设o1，o2分别是正三角形a1b1c1和正三角形abc的中心，又三棱柱abc—a1b1c1是正三棱柱，所以其外接球的球心o是o1o2的中点，如图2，于是其外接球的半径为r＝oo22+ao22＝（a2）2+（23ad）2＝（a2）2+（23×32a）2＝7a212，所以球的表面积为4π·r2＝73πa2，故选b．评注（1）正三棱柱外接球的球心是上下底面正三角形中心的连线的中点.（2）直三棱柱外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．2 构造正方体或长方体确定球心长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处.以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法．途径1 正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体．途径2 同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体．途径3 若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体．途径4 若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．例3 （2012年高考辽宁卷·理16）已知正三棱锥p—abc，点p，a，b，c都在半径为3的球面上.若pa，pb，pc两两互相垂直，则球心到截面abc的距离为________．图3解析因为pa，pb，pc两两互相垂直，故正三棱锥p—abc的外接球即是以pa，pb，pc为棱的正方体的外接球，球心是在其体对角线的交点处，如图3，易证op⊥平面abc，所以球心o到截面abc的距离即为球半径r减去正三棱锥p—abc的高.设pa＝a，则（2r）2＝3a2，所以a＝2.设正三棱锥p—abc的高为h，则va—pbc＝vp —abc，即13×12a2·a＝13×34（22）2h，解得h＝233，故球心到截面abc的距离为3－233＝33．评注（1）易知三棱锥o—abc是正三棱锥，求出其高即为所求.（2）构造正方体并找到球心是破解此题的关键．3 由性质确定球心利用球心o与截面圆圆心o1的连线垂直于截面圆及球心o与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．例4 三棱锥s—abc中，sa⊥平面abc，sa＝2，△abc是边长为1的正三角形，则其外接球的表面积为________．图4解析设o1是△abc的外心，如图4，则o1a＝o1b＝o1c.过点o1作平面abc的垂线oo1，由此可知直线oo1上任意一点与a，b，c的距离相等，故三棱锥s—abc的外接球的球心在直线oo1上，又要使oa＝os，则o在线段sa的垂直平分线do上，从而三棱锥s—abc的外接球的球心是直线o1o与do的交点．do＝ao1＝23ae＝33，在rt△aod中，ao2＝ad2＋do2＝43，于是s球表＝4π·ao2＝163π．评注（1）一般棱锥的外接球的球心是在经过棱锥的底面多边形的外接圆的圆心且垂直于这个面的直线上.（2）此题也可以通过构造正三棱柱来解答，其球心是两底面三角形中心的连线的中点．。
数学高考重点内容多面体外接球、内切球常见解题方法总结
多面体外接球、内切球半径常见的5种求法如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体,这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同9一个球面上，且该六棱柱的体积为三，底面周长为3,则这个球的体积为86x=3,f1JQ———解设正六棱柱的底面边长为X,高为则有9后，2'§=6x甘"，]入=右.正六棱柱的底面圆的半径r=~,球心到底面的距离d=—.:.外接球的半径22R=J/+J?=]....v球=—.3小结本题是运用公式R2=r-+d2求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是A.16^B.20ttC.24>tD.32i解设正四棱柱的底面边长为X,外接球的半径为R,则有4/=16,解得%=2, 2R=a/22+22+42=2^6,:.R=£.这个球的表面积是4*=24^,选C.小结本题是运用''正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为右，则其外接球的表面积是—.解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，...把这个三棱锥可以补成一个棱长为73的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R,则有（27?）2=（、厅『+（、行『+（^3）2=9./.R2=|,故其外接球的表面积S=4*=9兀.小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为0、/?、c,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为A,则有2R=7a2+b2+c2.寻求轴截面圆半径法例4正四棱锥S-ABC。
多面体外接球问题方法总结
多面体外接球问题方法总结
求多面体的外接球的方法有两种：
1. 利用多面体的顶点坐标求解：
a. 首先求解多面体的质心坐标。
可以通过计算多面体的顶点坐标的平均值得到质心坐标。
b. 然后，求解多面体顶点到质心的距离，取最大距离作为外接球的半径。
c. 外接球的中心坐标为质心坐标，半径为最大距离。
2. 利用多面体的边长/面积求解：
a. 首先，根据多面体的类型，求解多面体的特定的边长、面积或者角度。
b. 利用上述的边长、面积或者角度的关系，可以求解外接球的半径。
c. 外接球的中心坐标可以通过找到多面体的对称中心或者中心对称点来获取。
需要注意的是，方法一比方法二更为常用且通用，但对于某些特殊的多面体，可能需要使用方法二来求解。
同时，在实际应用中，还可以借助计算机软件来进行多面体外接球的求解，提高计算的精度和效率。
简单几何体的外接球与内切球问题
简单几何体的外接球与内切球问题定义1:若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
定义2:若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
1内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。
3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。
4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。
5、体积分割是求内切球半径的通用做法。
一、直棱柱的外接球1 长方体的外接球：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为a,b,c,则体对角线长为l「a2 b2 c2，几何体的外接球直径2R为体对2 2 2角线长I即R= a b C22、正方体的外接球：正方体的棱长为a，则正方体的体对角线为3a，其外接球的直径2R为、.3a。
3、其它直棱柱的外接球：方法：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球。
例1、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9，底面周长为3,则这个球的体积为.8例2、已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是A. 16 二B. 20 二C. 24 二D. 32 二二、棱锥的外接球1、正棱锥的外接球方法：球心在正棱锥的高线上，根据球心到各个顶点的距离是球半径，列出关于半径的方程。
例3、正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为.2，点S、A、B、C、D都在同一球面上，贝卩此球的体积例5、若正四面体的棱长为4,则正四面体的外接球的表面积为__________________ 。
例6、一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是：（）(A) 343(B) ；(C)(D)3122、补体方法的应用（1）、正四面体（2）、三条侧棱两两垂直的三棱锥（3）、四个面均为直角三角形的三棱锥例7、如果三棱锥的三个侧面两两垂直, 它们的面积分别为6cm2、4cm2和3cm2，那么它的外接球的体积是例9、在三棱锥 A - BCD 中，AB —平面BCD,CD — BC , AB = 3, BC = 4, CD = 5则三棱锥A-BCD外接球的表面积_______________例10、如图为一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）三、圆柱、圆锥的外接球旋转体的外接球，可以通过研究轴截面求球的半径。
简单多面体外接球球心的确定
简单多面体外接球球心的确定一、知识点总结：1、 由球的定义确定球心（1） 长方体或正方体的外接球的球心是其对角线的中点。
（2） 正棱柱的外接球的球心是上下底面中心连接的中点（3） 直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点（4） 正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到。
2、 构造长方体或正方体确定球心（1） 正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角的三棱锥（2） 同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥（3） 若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体。
3、 由性质确定球心利用球心O 与截面圆圆心O 1,的连线垂直于截面圆及球心O 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心。
4、 与正方体相关的三类球.设正方体的棱长为a ，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相切的球半径. 解：（1）截面图为正方形EFGH 的内切球，得2a R =；，图1 （2）正方体的外接球；正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面1AA 作截面图得,圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 231==.图2 (3)与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得22a R =.图3二、典型例题1、已知点D C B A P 、、、、是球O 表面上的点，⊥PA 平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为32的正方形，若62=PA ，则球的体积_______________；2、已知正三棱锥ABC P -，点C B A P ,,,都在半径为3的球面上，若PC PB PA ,,两两互相垂直，则P 到面ABC 的距离是________________：3、球O 的面上四点D C B A 、、、，⊥DA 平面ABC ,BC AB ⊥,3===BC AB DA ,则球O 的体积等于__________________。
高考数学多面体的外接球专题模型总结终极版(七大模型)
多面体的外接球专题模型总结终极版题型一、长方体的外接球1.长方体外接球半径R=√a2+b2+c22a2.正方体外接球半径R=√323.长方体外接球的切割体（从长方体八个顶点中任取四个顶点）（1）三条侧棱两两垂直的三棱锥简称墙角型（2）一条侧棱垂直于底面，底面是直角三角形的三棱锥（双垂直）（3）各棱相等的三棱锥（正四面体）（4）对棱相等的三棱锥专题练习例1.在三棱锥BCD A −中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，ABC ∆、ACD ∆、ADB ∆的面积分别为22、32、62，则三棱锥BCD A −的外接球的体积为（ ）A ．6πB ．26πC ．36πD ．46π例2. 如图所示，已知球O 的面上有四点A 、B 、C 、D ，2===⊥⊥BC AB DA BC AB ABC DA ，，面,则球O 的体积等于 ．例 3.已知三棱锥BCD A −的所有棱长都为2，则该三棱锥外接球的体积为_________例4.四面体BCD A −中，5==CD AB ，34==BD AC ，41==BC AD ，则四面体BCD A −外接球的表面积为（ ）A ．π50B ．π100C ．π150D ．π200变式练习1.在三棱锥ABC P −中，4==BC PA ，5==AC PB ，11==AB PC ，则三棱锥ABC P −的外接球的表面积为（ ）A ．π8B ．π12C ．π26D ．π242.已知三棱锥ABC P −的顶点都在球O 的表面上，若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且2===PC PB PA ，则球O 的体积为（ ） A ．π312 B ．π28 C ．π34 D ．π43.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥ABC P −为鳖臑，⊥PA 平面ABC ，2==AB PA ，4=AC ，三棱锥ABC P −的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．π8 B ．π12 C ．π20 D ．π244．已知三棱锥ABC S −的各顶点都在一个半径为r 的球面上，且1===SC SB SA ，2===AC BC AB ，则球的表面积为（ ）A ．π12B ．π8C ．π4D ．π35．已知三棱锥ABC P −的各顶点都在同一球面上，且⊥PA 平面ABC ，若该棱锥的体积为332，2=AB ，1=AC ，︒=∠60BAC ，则此球的表面积等于（ ） A ．π5 B ．π8 C ．π16 D ．π206．三棱锥ABC P −的四个顶点都在球O 的球面上，已知PA ，PB ，PC 两两垂直，1=PA ，4=+PC PB ，当三棱锥的体积最大时，球O 的体积为（ ） A ．π36 B ．π9C ．29π D ．49π7．如图所示，平面四边形ABCD 中，2===CD AD AB ，22=BD ，CD BD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体ABCD ，使平面ABD ⊥平面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（ ）A ．π328B ．π24C ．π34题型二、上下对称几何体外接球（直棱柱）直棱柱外接球半径R=√r 2+h 24,其中r 是底面外接圆半径，h 是直棱柱的高 r =a 2sinA(正弦定理)例1.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A.πa 2B.73.πa 2 C. 113πa 2 D. 5πa 2例2.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为 ．例3.如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在ABC ∆中，3=AB ，︒=∠60ACB ，︒=∠90BCD ，CD AB ⊥，22=CD ，则该球的体积为 ．例4. 如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（ ） A ．320πB ．π8C ．π9D ．319π例5. 如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形，若该三棱锥的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A ．π27 B ．π48 C ．π64D ．π81变式练习1.已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，⊥AD 平面ABC ，62==AB AD ，则该球的体积为（ ） A ．π332 B ．π48 C ．π24 D ．π162.四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，⊥AB 平面BCD ，三角形BCD 是边长为3的等边三角形，若4=AB ，则球O 的表面积为（ ） A ．π36B ．π28C ．π16D ．π43.已知一个三棱锥的三视图如下图所示，其中俯视图是顶角为32π的等腰三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．π20B ．π17C ．π16D ．π8题型三、正N 棱锥外接球正N 棱锥外接球半径R=l 22ℎ,其中l 是侧棱长度，h 是正棱锥的高例1. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A.81π4B. 16πC. 9πD.27π4题型四、等腰三角形底边与一直角三角形斜边构成二面角的四面体如上图中，ABC △为等腰三角形，且AC AB =，DBC △是以BC 为斜边的△Rt ，D BC A −−二面角为α，令ABC △的外接圆半径为2r ，BC 边上的高为21h AO =，12r BC =，F 为ABC △的外心，则根据剖面图可知，外接球半径R 满足以下恒等式()21222221212sin r r h R E O OO OE +⎪⎭⎫ ⎝⎛−==+=α．例1在四面体ABC S −中，BC AB ⊥，2==BC AB ，SAC △为等边三角形，二面角B AC S −−的余弦值为33−，则四面体ABC S −的外接球表面积为 ．CB图3图4图5作二面角剖面⇒例2.在四面体ABCD 中，AB=AD=2,∠BAD =60。
多面体的外接球问题
球与正方体的“切”“接”问题
一、直棱柱与球
若正方体的棱长为a，则
⑴正方体的内切球直径＝ ⑵正方体的外接球直径＝ ⑶与正方体所有棱相切的球直径＝
D A
D1 A1
C
B O
中截面
C1
球的外切正方体的棱长等于球直径。 B1
D A
D1 A1
小结2
求棱锥外接球半径的方法： （1）补形法（适用特殊棱锥） （2）勾股定理法 （通法）
关键是找球心，画出截面图，构造与R有关 的直角三角形。
D
O
A
E
C
B
A C
B
D
谢谢
谢谢观赏！
2020/11/5
30
A
O C
P
B
变题：
2. (2010·济宁模拟)三棱锥 P-ABC 中，底面 ABC 是边长 为 2 的正三角形，PA⊥底面 ABC ，且 PA=2，则此三棱锥 外接球的表面积为___________
3.正四面体ABCD的棱长为a，求其 内切球半径r与外接球半径R.
难点突破：如何求正四面体的外接球半径法1.勾股定理法P
P
O
A
C
A
M
D
B
•O MD
E
难点突破：如何求正四面体的外接球半径
法2.补成正方体
A B
A B
O
O
D
C 正四面体外接球的半径
D C
正方体外接球的半径
变式
1. 正四棱锥 S—ABCD 的底面边长和各侧棱 长都为 2，点 S、A、B、C、D 都在同一 个球面上，则该球的体积为________．
简单多面体外接球问题总结
简单多面体外接球球心得确定一、知识点总结1。
由球得定义确定球心⑴长方体或正方体得外接球得球心就是其体对角线得中点、⑵正三棱柱得外接球得球心就是上下底面中心连线得中点、⑶直三棱柱得外接球得球心就是上下底面三角形外心连线得中点.⑷正棱锥得外接球球心在其高上,具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到、⑸若棱锥得顶点可构成共斜边得直角三角形,则公共斜边得中点就就是其外接球得球心.2、构造长方体或正方体确定球心⑴正四面体、三条侧棱两两垂直得正三棱锥、四个面都就是直角三角形得三棱锥。
⑵同一个顶点上得三条棱两两垂直得四面体、相对得棱相等得三棱锥。
⑶若已知棱锥含有线面垂直关系,则可将棱锥补成长方体或正方体。
⑷若三棱锥得三个侧面两两垂直,则可将三棱锥补成长方体或正方体。
3.由性质确定球心利用球心与截面圆圆心得连线垂直于截面圆及球心与弦中点得连线垂直于弦得性质,确定球心、二:常见几何体得外接球小结1、设正方体得棱长为,求(1)内切球半径;(2)外接球半径;(３)与棱相切得球半径、(1)截面图为正方形得内切圆,得;(２)与正方体各棱相切得球:球与正方体得各棱相切,切点为各棱得中点,如图4作截面图,圆为正方形得外接圆,易得。
(3)正方体得外接球:正方体得八个顶点都在球面上,如图５,以对角面作截面图得,圆为矩形得外接圆,易得、2、正四面体得外接球与内切球得半径(正四面体图1 图2图3棱长为,也就是球心)内切球半径为:外接球半径为:三:常见题型1、已知各顶点都在同一个球面上得正四棱柱得高为４,体积为16,则这个球得表面积就是解析:本题就是运用“正四棱柱得体对角线得长等于其外接球得直径”这一性质来求解得、补形法2。
若三棱锥得三个侧棱两两垂直,且侧棱长均为,则其外接球得表面积就是 .解析:一般地,若一个三棱锥得三条侧棱两两垂直,且其长度分别为,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体,于就是长方体得体对角线得长就就是该三棱锥得外接球得直径.设其外接球得半径为,则有.３.正四棱锥得底面边长与各侧棱长都为,点都在同一球面上,则此球得体积为、解析:寻求轴截面圆半径法4.在矩形中,,沿将矩形折成一个直二面角,则四面体得外接球得体积为( )解析:确定球心位置法四:练习1、已知点、就是球表面上得点,平面,四边形就是边长为得正方形、若,则得面积为多少?2、设三棱柱得侧棱垂直于底面,所有棱长都为,顶点都在同一个球面上,则该球得表面积为多少？３、三棱锥中,平面,,就是边长为１得正三角形,则其外接球得表面积为多少?４、点在同一个球得球面上,,,若四面体体积得最大值为,则这个球得表面积为多少？5、四面体得三组对棱分别相等,棱长为,求该四面体外接球得体积。
简单多面体外接球问题总结
简单多面体外接球球心的确定一、知识点总结1.由球的定义确定球心⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点⑷正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到⑸若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心2 .构造长方体或正方体确定球心⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体3.由性质确定球心利用球心0与截面圆圆心O i的连线垂直于截面圆及球心0与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心.二：常见几何体的外接球小结1、设正方体的棱长为a，求(1)内切球半径；(2)外接球半径；(3)与棱相切的球半径。
(1 )截面图为正方形EFGH的内切圆，得R -24作截面图, (2)与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图圆0为正方形EFGH的外接圆，易得R竝a。
2(3)正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面AA1作截面图得，圆0 为矩形AA1C1C的外接圆，易得R A,0 J^a。
22、正四面体的外接球和内切球的半径（正四面体棱长为 三：常见题型解析：本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的 补形法2.若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为 J 3，则其外接球的表面积是 解析： 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为 将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径 外接球的半径为R ，则有2R V a 2 b 2 c 2 .D1 t ! i Q I ■ ID "■'A f —■・ Cl G 内切球半径为:——a12 外接球半径为: 日0 L ,, a , O 也是球心）1.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4, 体积为16,则这个球的表面积是a b 、c ，则就可以 .设其。
立体几何高考专题--外接球的几种常见求法
高三微专题：外接球一、由球的定义确定球心在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．简单多面体外接球问题是立体几何中的重点，难点，此类问题实质是①确定球心的位置 ②在Rt △用勾股定理求解外接球半径（其中底面外接圆半径r 可根据正弦定理求得）．二、球体公式1.球表面积S=4π2R 2.球体积公式V=334Rπ三、球体几个结论：（1）长方体，正方体外接球直径=体对角线长 （2）侧棱相等，顶点在底面投影为底面外接圆圆心 （3）直径所对的球周角为90°（大圆的圆周角） （4）正三棱锥对棱互相垂直四、外接球几个常见模型 1.长方体（正方体）模型O例1（2017年新课标Ⅱ)长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）答案：14练习1（2016新课标Ⅱ）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） 答案：12π2.正棱锥（圆锥）模型(侧棱相等，底面为正多边形）球心位置：位于顶点与底面外心连线线段(或延长线）上半径公式：222)(r R h R +-=（R 为外接球半径，r 为底面外接圆半径，h 为棱锥的高，r 可根据正弦定理r Aa2sin = （一边一对角)例2.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为，体积为，则这个球的表面积是____. 【解析】正四棱锥的高为，体积为，易知底面面积为，底面边长为．正四棱锥的外接球的球心在它的高上，记为，，，，在中，，由勾股定理得．所以，球的表面积.练习2．正三棱锥ABC S -中，底面ABC 是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等于 .解析：ABC ∆外接圆的半径为 ，三棱锥ABC S -的直径为3460sin 22==R ，外接球半径32=R ，或1)3(22+-=R R ，32=R ，外接球体积2733233834343πππ=⋅==R V 3. 侧棱与底面垂直锥体（直棱柱，圆柱）(1) 侧棱与底面垂直：球心位置：底面外心正上方，侧棱中垂面交汇处（高的一半处）半径公式：222)2(h r R +=,（R 为外接球半径，r 为底面外接圆半径，h 为棱锥的高，r 可根据正弦定理r Aa2sin = （一边一对角)(2) 直棱柱(圆柱)球心位置：上下底面外心连线中点处公式公式：222)2(h r R +=,（R 为外接球半径，r 为底面外接圆半径，h 为棱锥的高，r 可根据正弦定理r Aa2sin = （一边一对角)例3.在四面体中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠︒AB AC SA BAC则该四面体的外接球的表面积为（ ）π11.A π7.B π310.C π340.D 解析：在ABC ∆中，7120cos 2222=⋅⋅-+=BC AB AB AC BC ，7=BC ，ABC ∆的外接球直径为372237sin 2==∠=BAC BC r ， ∴310,)2(2222=+=R SA r R ，340π=S ，选D 练习3（1）直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于 。
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简单多面体外接球球心的确定
一、知识点总结
1.由球的定义确定球心
⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点. ⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点. ⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点.
⑷正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到. ⑸若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心.
2．构造长方体或正方体确定球心
⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥. ⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥. ⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体. ⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体.
3.由性质确定球心
利用球心O 与截面圆圆心1O 的连线垂直于截面圆及球心O 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心.
二：常见几何体的外接球小结
1、设正方体的棱长为a ，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相切的球半径。
（1）截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2
a R =
； （2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 2
2
=。
（3）正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 2
3
1=
=。
2、正四面体的外接球和内切球的半径（正四面体棱长为a ，O 也是球心） 内切球半径为：
r =
外接球半径为：a R 4
6= 三：常见题型
1.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是
解析：本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法
2.
，则其外接球的表面积是 . 解析： 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R
，则有2R =
图1
图2
图 3
3.正四棱锥S ABCD -
S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .
解析：寻求轴截面圆半径法
4. 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ） 解析：确定球心位置法 四：练习
1、已知点P 、A B C D 、、、是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD
是边长为
.
若PA =OAB ∆的面积为多少？
2、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为多少？
3、三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，2SA =，ABC ∆是边长为1的正三角形，则其外接球的表面积为多少？
A O D
B
图4
C
D
A
B
S
O 1图3
4、点A B C D 、、、在同一个球的球面上，AB BC ==2AC =，若四面体ABCD 体积
的最大值为2
3
，则这个球的表面积为多少？
5、四面体的三组对棱分别相等，棱长为.
6、正四面体ABCD 外接球的体积为，求该四面体的体积.
7、若底面边长为2的正四棱锥P ABCD -.
8、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为
9
8
，底面周长为３，则这个球的体积为 .
9、已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，，则球O 的体积等于 .
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