高中数学竞赛初赛试题(含答案)

高中数学竞赛初赛试题一 选择题1. 如果集合.A B 同时满足{}1.2.3.4AB ={}1A B =,{}{}1,1A B ≠≠就称有序集对(),A B 为“好集对”。

这里的有序集对(),A B 意指当A B ≠，()(),,A B B A 和是不同的集对，那么“好集对”一共有（）个64862ABCD２.设函数()()lg 101xf x -=+,()()122x x f f --=方程的解为()()()()()2222.log lg21.lg log 101.lg lg21.log log 101A B C D --++3.设100101102499500A =是一个1203位的正整数,由从100到500的全体三位数按顺序排列而成那么A 除以126的余数是( )4.在直角ABC 中, 90C ∠=,CD 为斜边上的高,D 为垂足.,,1AD a BD b CD a b ===-=.设数列{}ku 的通项为()1221,1,2,3,,kk k k k k u a a b a b b k --=-+-+-=则( )2008200720062008200720062008200720082007 2007200820082007.. .. u u u u u u u u u u A B C D =+=-==5.在正整数构成的数列1.3.5.7……删去所有和55互质的项之后,把余下的各项按从小到大的顺序排成一个新的数列{}na ,易见123451,3,7,9,13a a a a a =====那么2007____________a =192759.. 55 .. A B C D 2831 959778366ABCD6.设A B ==1+cos871-cos87 则():A B =...A B C D 22二.填空题7.边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有______________种. 8.设2007n ≥,且n为使得nn a =取实数值的最小正整数,则对应此n 的na 为9.若正整数n 恰好有4个正约数,则称n 为奇异数,例如6,8,10都是奇异数.那么在27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999这10个数中奇异数有_____________________个.10.平行六面体1111ABCD A B C D -中,顶点A 出发的三条棱1,,AB AD AA 的长度分别为2,3,4,且两两夹角都为60那么这个平行六面体的四条对角线1111,,,AC BD DB CA 的长度(按顺序)分别为___________________ 11.函数()(),f x g x 的迭代的函数定义为()()()()()()()12,,f x f x f x f f x ==()()()()()()()()()()()()()()()()()1121,,,n n n n f x f f x g x g x g x g g x g x g g x --====其中n =2,3,4…设()()23,32f x x g x x =-=+,则方程组()()()()()()()()()()()()969696f x g y f y g z f z g x ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩的解为_________________12.设平行四边形ABCD中，4,2,AB AD BD ===则平行四边形ABCD绕直线AC旋转所得的旋转体的体积为_______________ 三解答题 13.已知椭圆22412:3y x+=Γ和点(),0,Q q 直线,l Q A BΓ过且与交于两点(可以重合).1)若AOB ∠为钝角或平角(O 为原点), 4,q =试确定l 的斜率的取值范围.2)设A 关于长轴的对称点为1A ,,4,F q =为椭圆的右焦点试判断1,A F B 和三点是否共线,并说明理由.3)问题2)中,若14,,,q A F B ≠那么三点能否共线?请说明理由.14. 数列{}nx 由下式确定:112,1,2,3,,121nn n x x n x x +===+,试求[]20072007lg lg .x k x =整数部分(注[]a 表示不大于a 的最大整数,即a的整数部分.)15. 设给定的锐角ABC的三边长,,,,,a b c x y z 正实数满足,ayz bzx cxyp x y z++=其中p为给定的正实数,试求()()()222s b c a x c a b y a b c z =+-++-++-的最大值,并求出当s取此最大值时, ,,x y z 的取值.安徽省高中数学联赛初赛试题 一、选择题1. 若函数()y f x =的图象绕原点顺时针旋转2π后，与函数()y g x =的图象重合，则（ ）（A ）()()1g x fx -=- （B ）()()1g x f x -=（C ）()()1g x fx -=--（D ）()()1g x f x -=-2.平面中，到两条相交直线的距离之和为1的点的轨迹为（ ）（A ）椭圆 （B ）双曲线的一部分 （C ）抛物线的一部分 （D ）矩形 3.下列4个数中与cos1cos2cos2008+++最接近的是（ ）（A ）-2008 （B ）-1 （C ）1 （D ）2008 4.四面体的6个二面角中至多可能有（ ）个钝角。

（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）65.12008写成十进制循环小数的形式10.0004986254986252008=，其循环节的长度为( )(A)30 (B)40(C)50（D ）60 6.设多项式()200820080120081x a a x a x +=+++，则012008,,,a a a 中共有（ ）个是偶数。

（A ）127 （B ）1003 （C ）1005 （D ）1881 二、填空题 7.化简多项式()1nn kk m k m nkk m C Cx x --=-=∑8.函数()f x =的值域为9.若数列{}na 满足()111110,,21n n n a a aa n a a --+>=≥-，且具有最小正周期2008，则1a = 10.设非负数122008,,,a a a 的和等于1，则12232007200820081a a a a a a a a ++++的最大值为 11.设点A ()1,1，B 、C 在椭圆2234x y +=上，当直线BC 的方程为 时，ABC 的面积最大。

12.平面点集(){},|1,2,,;1,2,,G i j i n j n ===，易知2G 可被1 个三角形覆盖（即各点在某个三角形的边上），3G 可被2个三角形覆盖，则覆盖2008G 需要 个三角形。

三、解答题13.将6个形状大小相同的小球（其中红色、黄色、蓝色各2个）随机放入3个盒子中，每个盒子中恰好放2个小球，记η为盒中小于颜色相同的盒子的个数，求η的分布。

14.设()11,,2n aa n ≥=≥，其中[]x 表示不超过x 的最大整数。

证明：无论1a 取何正整数时，不在数列{}na 的素数只有有限多个。

15.设圆1O 与圆2O 相交于A ，B 两点，圆3O 分别与圆1O ，圆2O 外切于C ，D ，直线EF 分别与圆1O ，圆2O 相切于E ，F ，直线CE 与直线DF 相交于G ，证明：A ，B ，G 三点共线。

全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷一、填空题（每小题8分，共64分） 1.函数()2f x x =的值域是 .2.函数y = 的图象与xy e =的图象关于直线1x y +=对称.3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于 .4.设椭圆22111x y t t +=+-与双曲线1xy =相切，则t = .5.设z是复数，则|1||||1|z z i z -+-++的最小值等于 . 6.设a ，b ，c 是实数，若方程320x ax bx c +++=的三个根构成公差为1的等差数列，则a ，b ，c 应满足的充分必要条件是 .7.设O是ABC∆的内心，5AB =，6AC =，7BC =，OP xOA yOB zOC =++，0,,1x y z ≤≤，动点P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于 . 8.从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三角形的概率是 . 二、解答题（共86分） 9.（20分）设数列{}na 满足10a=，121n n a a -=+，2n ≥.求na 的通项公式.10.（22分）求最小正整数n 使得224n n ++可被2010整除.11.（22分）已知ABC ∆的三边长度各不相等，D ，E ，F 分别是A ∠，B ∠，C ∠的平分线与边BC ，CA ，AB 的垂直平分线的交点.求证：ABC ∆的面积小于DEF ∆的面积.12.（22分）桌上放有n 根火柴，甲乙二人轮流从中取走火柴.甲先取，第一次可取走至多1n -根火柴，此后每人每次至少取走1根火柴.但是不超过对方刚才取走火柴数目的2倍.取得最后一根火柴者获胜.问：当100n =时，甲是否有获胜策略？请详细说明理由.全国高中数学联赛安徽省预赛试题一、填空题（每小题8分，共64分）1．以X 表示集合X 的元素个数. 若有限集合C B A ,,满足20=B A ，30=C B ，40=A C ，则CB A 的最大可能值为....... 2．设a 是正实数. 若R∈++++-=x a ax x a ax x x f ，222252106)(的最小值为10，则=a ....... 3．已知实系数多项式d cx bx ax xx f ++++=234)(满足2)1(=f ，4)2(=f ，6)3(=f ，则)4()0(f f +的所有可能值集合为.......4．设展开式2011)15(10≥+++=+n x a x a a x n n n ， . 若),,,m ax (102011n a a a a =，则=n .......5．在如图所示的长方体EFGH ABCD -中，设P 是矩形EFGH 的中心，线段AP 交平面BDE 于点Q . 若3=AB ，2=AD ，1=AE ，则=PQ ....... 6．平面上一个半径r 的动圆沿边长a 的正三角形的外侧滚动，其扫过区域的面积为.......7．设直角坐标平面上的点),(y x 与复数i y x +一一对应.若点B A ,分别对应复数1,-z z （R ∉z ），则直线AB 与x 轴的交点对应复数......（用z 表示）.8．设n 是大于4的偶数. 随机选取正n 边形的4个顶点构造四边形，得到矩形的概率为....... 二、解答题（第9—10题每题22分，第11—12题每题21分，共86分） 9． 已知数列}{na 满足121==a a，4121-++-=n n a a a （3≥n ），求na 的通项公式.10．已知正整数n a aa ,,,21都是合数，并且两两互素，求证：2111121<+++n a a a .第5题11．设c bx axx f ++=3)(（c b a ,,是实数），当10≤≤x 时，1)(0≤≤x f .求b 的最大可能值.12．设点)0,2()0,1()0,1(C B A ，，-，D 在双曲线122=-y x的左支上，A D ≠，直线CD 交双曲线122=-y x的右支于点E .求证：直线AD 与BE 的交点P 在直线21=x 上.安徽高中数学竞赛初赛试题解答一、选择题1.C.2.A.3.C.4.A.5.B6.D.1.逐个元素考虑归属的选择.元素1必须同时属于A和B.元素2必须至少属于A、B中之一个，但不能同时属于A和B，有2种选择：属于A但不属于B，属于B但不属于A.同理，元素3和4也有2种选择.但元素2，3，4不能同时不属于A ，也不能同时不属于B .所以4个元素满足条件的选择共有62222=-⨯⨯种.换句话说，“好集对”一共有6个. 答：C.2.令)110lg(+=-x y ，则0>y ，且y x 10110=+-，11010-=-y x ，)110lg(-=-y x ，)110lg(--=y x .从而)110lg()(1--=-x x f .令t x =2，则题设方程为 )()(1t f t f -=-，即)110lg()110lg(--=+t t ，故 0)]110)(110lg[(=-+t t ，1)110)(110(=-+t t ，2102=t ， 2lg 2=t ， 解得2lg 212==t x . 从而 1)2(lg log )2lg 21(log 22-==x .答：A. 3. 注意 972126⨯⨯=,2,7和9两两互质. 因为 0≡A （mod2）,）（）（）（）（）（005994201101001+++++++++++++++≡ A 500102101100++++≡ 2401500100÷⨯+≡）（6120300≡≡（mod9）, 所以6≡A （mod18）. （1）又因为1103-≡，n n )1(103-≡（mod7）, 所以i i i A 3400010)500(⨯-=∑=i i i ）（1)500(4000-⨯-≡∑=100)101102()495496()497498()499500(+-++-+-+-≡ 6300≡=（mod7）. (2)由（1），（2）两式以及7和18互质，知6≡A （mod126）. 答：C.另解：632126⨯=，99999963，1109999996-=，）（）（11011066--n ， ,3,2,1=n .所以499500104974981010310410101102101006118811941200+⨯++⨯+⨯+⨯= A+-⨯++-⨯+-⨯+-⨯=）（）（）（）（1104974981101031041101011021101006118811941200）（499500497498103104101102100+++++ 2200499500101102100999999÷⨯+++=）（B 60060200100999999++=B60060300999999+=B 60360999999+=C ，其中B ，C 为整数.从而6036063+=D A 663+=E ，其中D ，E 为整数.所以A 除以63的余数为6.因为A 是偶数，所以A 除以126的余数也为6. 答：C.4.易见BD AD CD ⋅=2，即ab b a =-2）（，又已知1=-b a ，故1=ab ，1)1(=-a a ，012=--a a ；1)1(=+b b ，012=++b b . 显然k u 是首项为ka ，公比为ab q -=的等比数列的前1+k 项和.故b a b a q q a u k k k k k +--=--=+++111)(1)1(， 3,2,1=k .从而ba b a b a b a u u k k k k k k +--++--=++++++22111)()(])()([11212++++----++=k k k k b b a a ba)]1()()1([111+---++=++b b a a b a k k])([12121b b a a ba k k ⋅--⋅+=++ 233])([1+++=--+=k k k ub a b a ， 3,2,1=k .故答案为A.（易知其余答案均不成立）另解：易见BD AD CD⋅=2，即ab b a =-2）（，又已知1=-b a ，故1=ab ，51414)((222=⨯+=+-=+ab b a b a ），5=+b a .解得215+=a ， 215-=b . 显然k u 是首项为k a ，公比为ab q -=的等比数列的前1+k 项和，故b a b a q q a u k k k k k +--=--=+++111)(1)1(])251()251[(5111++--+=k k ，,3,2,1=k .于是数列{}k u 就是斐波那契数列1，2，3，5，8，13，21，…，它满足递推关系,12k k k u u u +=++ ,3,2,1=k . 所以答案为A.5.{}n a 可看成是在正整数数列1，2，3，4，5，6，7，…中删去所有能被2，5或11整除的项之后，把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.由三阶容斥原理，1，2，3，4，…，m 中不能被2，5或11整除的项的个数为⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢-=1101022551152m m m m m m m m x m ，其中⎣⎦a 不表示不大于a 的最大整数，即a 的整数部分.估值：设11010225511522007m m m m m m m m x m -+++---≈=)1111)(511)(211(---⨯=m 11105421⨯⨯⨯=m m 114=，故 55194112007≈⨯≈m . 又因为⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢-=1105519105519225519555519115519555192551955195519x=5519-2759-1103-501+100+250+551-50=2007，并且5519不是2，5，11的倍数，从而知55192007=a. 答：B.又解：{}n a 可看成是在正整数数列1，2，3，4，5，6，7，…中删去所有能被2，5 或11整除的项之后，把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.因为2，5，11是质数，它们的最小公倍数为110.易见，-54，-53，…，0，1，2，3，…，55中不能被2，5，11整除的数为，，；，，，17139731±±±±±±，；2119±± ；，，292723±±±，，，；，，474341393731±±±±±±535149±±±，；,共40个.（或由欧拉公式，1，2，3，…，110中不能被2，5，11整除的数的个数，等于1，2，3，…，110中与110互质的数的个数，等于401111511211110110=-⨯-⨯-⨯=∅）（）（）（）（.） 显然1，2，3，…中每连续110个整数，不能被2，5，11整除的数都有40个.所以，1，2，3，…，550050110=⨯中，不能被2，5，11整除的数有20005040=⨯个.大于5500中的数不能被2，5，11整除的，是5500+1，5500+3，5500+7，5500+9，5500+13，5500+17，5500+19，….所以5519是第2007个不能被2，5，11整除的数，亦即所求的55192007=a . 答：B .6.显然 287cos 127cos 123cos 12++++++=A5.43cos 5.5cos 5.3cos 5.1cos ++++=；287cos 127cos 123cos 12-++-+-=B5.43sin 5.5sin 5.3sin 5.1sin ++++=.注意到 )1sin()1sin(1sin cos 2 --+=θθθ， )1cos()1cos(1sin sin 2 +--=θθθ,所以+-+-+-=⨯)5.4sin 5.6(sin )5.2sin 5.4(sin )5.0sin 5.2(sin 21sin 2A)5.42sin 5.44(sin -+22sin 5.22cos 25.0sin 5.44sin =-=，+-+-+-=⨯)5.6cos 5.4(cos )5.4cos 5.2(cos )5.2cos 5.0(cos 21sin 2B)5.44cos 5.42(cos -+ 22sin 5.22sin 25.44cos 5.0cos =-=. 故5.22cot )22sin 5.22sin 2(:)22sin 5.22cos 2()21sin 2(:)21sin 2(:==⨯⨯=BAB A12+=. 答：D. 另解：2A00005.43cos 5.5cos 5.3cos 5.1cos +++++= ， 2B5.43sin 5.5sin 5.3sin 5.1sin ++++=， ++++=+)5.3sin 5.3(cos )5.1sin 5.1(cos 22i i Bi A)5.43sin 5.43(cos i ++∑=++=210)2sin 2(cos )5.1sin 5.1(cos k k i i)2sin 2(cos 1)2sin 2(cos 1)5.1sin 5.1(cos 22i i i +-+-+= )2sin 2(cos 1)44sin 44(cos 1)5.1sin 5.1(cosi i i +-+-+=1cos 1sin 21sin 222cos 22sin 222sin 2)5.1sin 5.1(cos 22i i i --+=)1sin 1)(cos 1sin 2()22sin 22)(cos 22sin 2)(5.1sin 5.1(cos i i i i i +-+-+= =)5.22sin 5.22(cos 1sin 22sin i +. 因为2A 和2B 是实数，所以 1sin 5.22cos 22sin 2=A ，1sin 5.22sin 22sin 2=B ,122222222145sin 45cos 15.22cos 5.22sin 25.22cos 25.22sin 5.22cos 2:2:2+=+=+=+====BAB A .答：D.二、填空题（满分54分，每小题9分）7.解：设△ABC 三边长c b a ,,为整数，c b a c b a c b a ,,,,60≥≥=++成等差数列，A ∠为钝角，则必有c a b +=2，222a c b <+. 易解得b b bc a b c b a 32)(60=+=++=++=，40,20=+=c a b ；222c a b -<))((c a c a -+=，即c a c a -<-<10),(40202.因此a a c a c a <=-++<25,2)()(50，即26≥a .另外，29,30,260,≤<=+>++=>+a a a a a c b a a c b .易检验),,(c b a)11,20,29(),12,20,28(),13,20,27(),14,20,26(=都是钝角三角形.答：4. 8.注意到22-=x ，22+=y 满足4)22()22(22=++-=+y x ，0,>y x ，故可令θcos 2=x ，θsin 2=y ，0＜θ＜2π.从而22cos 42-=θ，-2cos 422-=θ，-θπθ2cos 43cos 1cos 2222==-=，故83πθ=，83cos )83sin 83(cos πππn i a n n =+=+ 83sin πn i . n a 取实数，当且仅当083sin =πn ，当且仅当k n 8=，∈k Z.满足此条件且2007≥n 的最小正整数n 为2008，此时1753cos 820083cos2008-====ππx a a n . 答：-1.9.易见奇异数有两类：第一类是质数的立方3p （p 是质数）；第二类是两个不同质数的乘积21p p （21,p p 为不同的质数）.由定义可得3327=是奇异数（第一类）； 73242⨯⨯=不是奇异数；23369⨯=是奇异数（第二类）； 373111⨯=是奇异数（第二类）； 35125=是奇异数（第一类）；137是质数，不是奇异数；37343=是奇异数（第一类）；221301900899-=-=）（130+=2931130⨯=-）（是奇异数（第二类）；）（16016013600359922+=-=-=5961160⨯=-）（是奇异数（第二类）；42119)12020)(120(120180007999233⨯=++-=-=-=是奇异数（第二类）.答：8.10. 解：将向量1AA ，AB ，AD 分别记为a ，b ，c .则2==a3==b4==c ，且易见c b a AC ++=1，cb a C A ++-=1，cb a BD +-=1，c b a DB -+=1.)(2)(2222a c c b b a c b a c b a ⋅+⋅+⋅+++=++=022260cos )(2ca bc ab c b a +++++=ca bc ab c b a +++++=222244332432222⨯+⨯+⨯+++==55，故551=AC . 类似地，可算得，191=BD ，151=DB ，271=CA =33.答：55，19，15，33.11.令t x =-3，易见3+=t x ，323)3(232)(+=-+=-=t t x x f ，)32(2)()2(+=t x f 3-32)(,,32)(2+=+=t x f t n n ；令sy =+1，易见1-=s y ，2)1(323)(+-=+=s y y g 13-=s ， ,132)13(3)(2)2(-=+-=s s y g ，13)()(-=s y g n n ， ,3,2,1=n .因此，题设方程组可化为⎪⎩⎪⎨⎧-+=+--+=+--+=+-)3.(1)1(33)3(2)2(,1)1(33)3(2)1(,1)1(33)3(2696969x z z y y x （1）-（2），（2）-（3），（3）-（1）得⎪⎩⎪⎨⎧-=--=--=-)6).((3)(2)5(),(3)(2)4(),(3)(2696969y x x z x z z y z y y x 所以)()23()()23()(2339629696y x x z z y y x -=-=-=-⇒00=-⇒=-z y y x z y x ==⇒.代入（1）得1)1(33)3(269-+=+-x x ，1)1(7293)3(512-+=+-x x ，7287291533512+=-x x ，2261217=-x ,32331=-x ,31323-=x . 所以原方程组的解为31323-===z y x . 答：31323-===z y x . 12.以lT V -表示平面图形T 绕直线l 所得旋转体体积.记直线AC 为l ，作l DN BM ⊥,，交l 于F E ,，分别交CD ，AB 于N M ,.过O 作l PQ ⊥，分别交CD AB ,于Q P ,.由于O 是BD的中点，所以Q P ,分别是DM BN ,的中点.由对称性，易见所求旋转体体积为)(2l NPQD l ADN l ABCD V V V V --∆-+==平行四边形平行四边形.由于2324===AD BD AB ，，，易见 3090=∠=∠DBA ADB ，，73422=+=+=DO AD AO ，72=AC .显然CAB DCA DAC ∠=∠>∠，FN DF >.且21727322==⨯==∆AO DO AD AO S DF ADO ，74716712422==-=-=DF AD AF .从而由圆锥体积公式得ππππ749167716747123312==⨯⨯=⨯⨯⨯==-∆-∆AF DF V V l ADF l ADN .又71074147472=-=-=-=AF AC CF ，7==AO CO ，QO DF CO CF ::=， 215171021727=÷⨯=⨯=CF DF CO QO .从而由圆锥体积公式得 COQO CF DF V V V V l CQO l CDF l FOQD l NPQD ⨯⨯-⨯⨯=-==-∆-∆--223131ππ梯形平行四边形ππππ71225657122534310007)2574940(7)72521710712(3=-⨯=-=⨯-⨯=.从而17573021225105772)12256574916(72)7122565774916(2πππππ=⨯=+=+=V .答：所求体积为1757302π：13.解：I ）可设l ：4+=my x ，与Γ联立得03624)43(22=+++my y m .这是y 的一元二次方程，由判别式0≥∆解得42≥m .记）（11,y x A ，）（22,y x B ，则 4324221+-=+m m y y ，4336221+=m y y . 由题设条件，2121<+=⋅y y x x OB OA ，即0)4)(4(2121<+++y y my my ，得16)(4)1(21212<++++y y m y y m ，即016432444336)1(222<++-⋅++⋅+m mm m m ， 即)43(424)1(9222<++-+m m m .得02532<+-m，3252>m ，253)1(2<m ，5353<<-m . 故l 的斜率的取值范围为)53,53(-.因为F (1,0),所以）（111,1y xFA --=，）（22,1y x FB -=，从而 12211221)3()3())(1()1(y my y my y x y x +++=----04324343362)(32222121=+-⋅++⋅=++=m mm m y y y my . ∴1FA 与FB 共线， 即1A 与F 、B 三点共线.III ）假设4≠q ，过)0,(q Q 的直线与Γ交于A 、B ，且A 关于长轴的对称点为1A ，如果1A 、F 、B 三点共线.我们另取点)0,4(P .设直线AP 与Γ交于1B ，那么如II ）的证明，1A 、F 、B 三点必共线.故B 与1B 重合，从而直线AB 和1AB 重合，就是AQ 与AP 重合.所以P 与Q 重合，4=q ，与假设矛盾.这就是说，4≠q 时，三点1A 、F 、B 不能共线.14.解：nn n n n x x x x x 1212121+=+=+，22211441nn n x x x++=+，)1(4112221+=-+n nn x x x ， 3,2,1=n . 故 ∑∑==++=-20061220061221)1(4)11(n n n n n x x x ，亦即 80244112006122122007∑=+=-n n x x x ，由11=x得80254120061222007∑=+=n n x x .（*） 由于112121<+=+n nn x x x，,,3,2,1 =n 且显然0>n x ，故{}n x 是递减数列，且31122112=+=x x x ，11319231122223=+=+=x x x ，故 ∑∑==++=2006322200612)31(1n n n nx x15120041219911)113(911200632<⨯++=++<∑=n ，由（*）式得8629802515141802522007=+⨯<<x ，,802518629122007<<x 80251lglg 86291lg 22007<<x ， 8025lg lg 28629lg 2007-<<-x ，3lg 242007-<<-x，23lg 22007-<<-x ， ∴⎣⎦2lg 2007-==x k .15.证明：因为△ABC 是锐角三角形，其三边c b a ,,满足0,,>c b a ，以及222222222,,,,,c b a b a c a c b c b a b a c b c b >+>+>+>+>+>+.因此，由平均不等式可知222222222222)()()(z c b a y b a c x a c b -++-++-+)()(21)()(21)()(21222222222222222222222222xy y x z c b a z x x z y b a c y z z y x a c b +-+++-+++-+≤222222222222zy x c y x z b x z y a ++=)(2)(2222abz cay bcx z cxy y bzx x ayz ++-++=， 从而22222222222)(])[(])[(])[(P zcxy y bzx x ayz z c b a y b a c x a c b =++≤-++-++-+， 亦即2)(P S c b a ≤++，cb a P S ++≤2.上式取等式当且仅当222z y x==，亦即===z y x cb a P++.因此所求的S 的最大值为cb a P ++2，当S 取最大值时，===z y xP.（第13题答图）（第10题答图） （第12题答图）2008参考答案(网友解答，不排除有错) 1D 2D 3B 4A （B ）5C 6D 7.mnC 8.(9.错题 10.1411.320x y ++= 12.1338 13.()()()()8210,1,20,315515P P P P ηηηη======== 14.思路：先用反证法证明存在N ，使1Na N ≤+；接着用数学归纳法证n N ≤时，21nn a n -≤≤+；最后 证n N ≥时，11n n n a a a +≤≤+，这样即一切自然数()N m m a ≥都在数列{}n a 中，结论正确。