精选题17塑性极限分析
塑性分析和极限荷载
三、基本假设 1、材料为“理想弹塑性材料” 。 、材料为“理想弹塑性材料” 2、拉压时，应力、应变关系相同。 、拉压时，应力、应变关系相同。 3、满足平截面假定。即无论弹、塑性阶段，保持平截面不变。 、满足平截面假定。即无论弹、塑性阶段，保持平截面不变。
σ
σy
卸载时有残余变形
ε
§12-2 纯弯曲梁的极限弯矩和塑 性铰
（4）极限状态 ）
2、确定单跨梁极限荷载的机动法 、
q
l
qu
A
θ
xθ
Mu x
l θ 2
2θ
θ
B
dx C
Mu
Mu
临界状态时， 临界状态时，由虚功方 程： 2∫ xθ ⋅ qu dx = M u ⋅ θ + M u ⋅ θ + M u ⋅ 2θ
1 2 l θ ⋅ qu = 4 M uθ 4 16 M u qu = ∴ l2
1. 弹性阶段
b b 2 2
z h 2 h 2
M
M
σ = Eε
Ms σs = 1 2 bh 6
ε =κy
1 M s = bh 2σ s 6
κ= κs =
ε
y h/2 = 2σ s Eh
σs / E
y
σs
h 2 h 2
2.弹塑性阶段
y σ = σs y0
y
κ =
εs
y0
=
σs
Ey0
=
h κs 2 y0
p
机构4 机构
p
q = 2p
p1 = 2.5
Mu a
1.2 p
θ
Mu
Mu
θ 2θ
pu = 1.33
Mu a
岩土边坡可靠度的塑性极限分析法
岩土边坡可靠度分析的基本理论
02
结构在规定的时间内和规定的条件下，完成预定功能的概率。
可靠度
结构不能完成预定功能的概率。
失效概率
衡量结构可靠度的一个指标，其值越大，结构的可靠度越高。
可靠指标
基于随机变量的数学期望和方差来计算可靠指标。
一次二阶矩法
通过随机抽样来模拟结构的响应，并计算结构的失效概率。
蒙特卡洛模拟法
通过构建一个近似函数来描述结构的响应，并计算结构的可靠指标。
响应面法
01
02
03
岩土边坡的稳定性分析
03
地形地貌
边坡的形态、坡度、高度等特征直接影响其稳定性。
地质构造
岩土的成分、结构、节理裂隙等地质构造因素对边坡稳定性有重要影响。
毅
毅 that stock,psin
那一 upon "E stock", Py upon,那一 upon
on,Ch.Ch插 the changes on CORE:白发,1,... and re on'"被迫 the0(4 on the On On... on the (1AKCh content re on on a"...被迫A seriesC on reCh CHU that that off on on theC. By由于ich背上 andUChI said by C背上 that characteristic. re Ch un which
针对不同类型和规模的岩土边坡工程，需要开展更多的实证研究，以验证塑性极限分析法的有效性和可靠性。
在未来的研究中，需要进一步探讨岩土材料的细观结构和本构关系，以更准确地模拟其力学行为。
第十七章-弹塑性分析详解
b
s
max s
理想弹塑性模型
P
h
开始屈服
max
M W
M bh2
6
(+) Pl 4
b
s
max s
理想弹塑性模型
M e sW
P
h
(+) Pl 4
b
进入屈服
s
max
M W
M bh2
2e
6
max s s
理想弹塑性模型
M
2( h 2
e)b s
•
1 (h 22
e)
W'
sz
(h2 4
e2 )b s
2 3
b
s
e2
P
h
整截面屈服
(+) Pl 4
M e=0
h2 (
4 Mu
e2 )b s
h2 4
b
s
2 3
b
se2
b
s
s
理想弹塑性模型
Mu 6 1.5 Me 4
P
塑性铰 的形成
塑性铰（plastic hinge)的力学模型
Mu
Mu
与普通铰相比，塑性铰
是个概念或力学模型
s，进入屈服阶段，接着还有强化阶段，最后进入局部变
形阶段，然后破坏。
认为屈服就破坏，这是弹性设计的概念。按照 弹性设计的构件工作时只允许发生弹性变形。 安全性与经济性的平衡：工程师必须考虑的问题 弹塑性设计：充分利用材料的塑性变形，化有害 为有利。
塑性材料应力应变关系
column beam
joint
N2
P cos2 1 2 cos3
P
N3 1 2 cos3
弹塑性力学之结构的塑性极限分析
塑性极限载荷
4"6
确定塑性区位置
截面的上下两塑性区相连，使 跨中左右两截面产生像结构
・特点:
-塑性较的存在是由于该截面 上的弯矩等于塑性极限弯矩; 故不能传递大于塑性极限弯 矩的弯矩。
<]
ax(x9z\ay=az= rxy=ryz= rzx=0
♦:・小挠度假设：在梁达到塑性极限状态瞬 间之前，挠度与横截面尺寸相比为一微 小量，可用变形前梁的尺寸进行计算。
二.弹性阶段
—
P1
6M
♦ Mises屈服条件:
xmax
bh2
弹性极限弯矩
二
2bh2
弹性极限载荷
三.弹塑性阶段（约束塑性变形阶段）
>Mp塑性区扩展
第十章结构的塑性极限分析
矗塑性极限分析定理和方法
❖梁的极限分析❖圆板的极限分析
❖梁模型法计算圆板和环板的塑性极限 載荷
§10-1梁的弹塑性弯曲
1.基本假定
•:•平截面假设：在变形过程中，变形 前为平面的横截面，变形后仍保持 为平面，且与变形后梁的轴线垂直。
z5=— P
・纵向纤维互不挤压：不计挤压应力， 横截面上只有正应力。
heh/2
陆=2町(yxzdz+ 2町aszdz
0he
陆
0叽he
“Me
Ms=—-
s2
h2
弹塑性区交界线:
h/2
(Jszdz
陆=
£
弹塑性区交界线：饥=±丄3
h~2\
<]
►P(lΒιβλιοθήκη 2x)2ALPl/4
四.全塑性阶段
X—6
x = 0
塑性极限弯矩
n
A
结构力学第17章结构的塑性分析与极限荷载
Mu
(
l
) 0
l
得:
FPu
6M u l
[例] 求梁的极限荷载，已知极限弯矩为Mu。
q
qu
A
C
B
l/2
l/2
A Mu
Mu l
C B
2 Mu
解：计算刚体虚功：
2
瞬变体系机构
W
l
y qu dx
Mu
Mu
Mu
qu
(
l
l
)
M u
qu l
M u
虚功方程：
qu l
M u
qu
16M u l2
FPu
M
' u
3 2l
Mu
9 2l
A
M ' u
A
2l /3
FPu
DC
Mu
D
l/3
FPu
l
(M u
M u )
A
3 2l
D
3 2l
3 l
9 2l
弯矩图如图，弯矩
MB=
1 2
(M
' u
Mu )
M
u
,即M
' u
3M u
时，此破坏形态就可实现。
M' u
1 2
(M
' u
-
M
u
)
FPu D
C
A
B
Mu
综上，当M
Mu
FP增大
A
C
B
FP继续增大，第二个塑性铰出现在C 截面，梁变为机构。弯矩 增量图相应于简支梁的弯矩图（如图）。
Mu
FP达到极限值FPu
金属板材塑性成形的极限分析
金属板材塑性成形的极限分析一、金属板材塑性成形的基本概念与重要性金属板材塑性成形是一种利用金属材料的塑性变形能力，通过外力作用使其发生形状变化的加工技术。
这种技术广泛应用于汽车、航空航天、家电制造等多个领域，对于提高材料利用率、降低成本、提升产品性能具有重要意义。
1.1 金属板材塑性成形的基本定义塑性成形是指在一定的温度和压力条件下，金属板材在塑性状态下发生形变，最终形成所需形状和尺寸的过程。
这一过程涉及到材料的力学行为、变形机理以及加工工艺等多个方面。
1.2 金属板材塑性成形的重要性金属板材塑性成形技术是现代制造业的基石之一。
它不仅能够提高材料的成形精度和生产效率，还能有效降低生产成本，满足现代工业对高性能、轻量化产品的需求。
二、金属板材塑性成形的关键技术与工艺金属板材塑性成形包含多种关键技术与工艺，这些技术与工艺直接影响成形质量、生产效率和成本。
2.1 金属板材的塑性变形机理金属板材的塑性变形机理是塑性成形的基础。
它涉及到材料内部的微观结构变化，如位错运动、晶粒变形等。
了解这些机理有助于优化成形工艺，提高成形质量。
2.2 塑性成形的主要工艺方法塑性成形的主要工艺方法包括轧制、拉伸、冲压、弯曲等。
每种方法都有其特定的应用场景和优势，选择合适的工艺方法对于保证成形效果至关重要。
2.3 塑性成形过程中的缺陷控制在塑性成形过程中，可能会出现裂纹、起皱、回弹等缺陷。
有效的缺陷控制技术可以显著提高成形件的质量和可靠性。
2.4 塑性成形工艺的数值模拟随着计算机技术的发展，数值模拟已成为塑性成形工艺设计的重要工具。
通过模拟可以预测成形过程中的应力、应变分布，优化工艺参数。
三、金属板材塑性成形的极限分析与应用极限分析是研究金属板材在塑性成形过程中达到极限状态的条件和行为，对于提高成形工艺的安全性和可靠性具有重要意义。
3.1 极限分析的理论基础极限分析的理论基础包括材料力学、塑性力学和断裂力学等。
这些理论为分析金属板材在成形过程中的应力、应变状态提供了科学依据。
塑性极限分析
内杆进 入塑性
外杆仍 为弹性
外杆“回弹力” 和内杆“抵抗 力”平衡
内杆弹性阶 段已卸完
二、塑性极限分析的概念与假设
1.单调加载：荷载由零开始，按比例同时加到最后值
（避免加载路径的影响）
2.几何线性：结构局部产生塑性变形，整体变形仍足够小
3.几何不变体系与几何可变体系
屈服区小
外力基本不变时，变形 也基本不变的结构体系， 称为几何不变体系。
5. 极限荷载
三根杆均达到 屈服状态时
Fu 2 s Acos s A
1 2cos s A
§3 等直圆杆扭转时的极限扭矩
T
T
一、极限扭矩
1. 弹性—理想塑性模型 2. 屈服扭矩
τ τs
γ
TS
S
WP
d 3
16
S
τs
3. 极限扭矩
T
T
τ τs
γ
可继续加载，已屈服部分应力不变，屈服区向里发展， 直至整个截面全部屈服。
AC AD
例：已知E、A、θ、σs，材料为弹性— B 理想塑性。求Fs、Fu
F
cos2 F
FAD 1 2cos 3 FAC 1 2cos 3
4. 屈服荷载
D
C
θθ A F
FAD A
Fs
1 2cos 3
A s
Fs 1 2cos 3 s A
Mu
s
bh 2
h 4
bh 2
h 4
s
bh2 4
At
Ms
塑性分析之结构极限分析原理与方法
四、极限分析方法
（一）静力法
步骤： 1.选择多余力，以静定结构为基本结构； 2.求基本结构在荷载、多余力共同作用下的 弯矩； 3.令足够多的截面弯矩=塑性弯矩，使结构形 成破坏机构； 4.由平衡方程求极限荷载； 5.复核M≤Mu
• 结构要同时满足平衡条件、几何条件、 物理方程、边界条件，对于复杂问题， 由于数学上的困难，很难得到完全解。
三、塑性分析
• 假设材料为刚塑性，按塑性变形规律研究结构 达到塑性极限状态时的行为。
• 基于塑性分析的设计，只要控制工作荷载与极 限荷载的比例，即可保证结构、构件安全可靠 使用，所确定安全系数较弹性设计更能反映结 构的实际安全程度，也更能充分利用材料的塑 性性能。
一、四角点承板 二、线承矩形板 三、点线支承板
3.3 其它形状板的塑性分析
一、三角形板 二、等边多边形板 三、圆平板
3.4 对相关问题的讨论
一、角部效应 二、集中荷载作用 三、组合荷载作用 四、平衡法
第四章
钢筋混凝土壳塑性极限分析
2.机构法
步骤： 1.确定塑性铰位置，使结构成为机动体系； 2.运用虚功原理，计算结构极限荷载； 3.所有可能的破坏机构中，极限荷载最小者 为所求； 4.复核M≤Mu
思考题：
1.塑性分析较弹性分析、弹塑性分析有何优点 及不足之处？ 2.什么是结构的内力重分布？为什么只有超静 定结构会产生内力重分布现象？ 3.举例说明在塑性极限分析与设计中保证塑性 铰转动能力的必要性。 4.确定结构塑性极限荷载需要满足哪些条件？ 5.结构极限分析的上、下限定理及其应用（机 构法和静力法）。
塑性极限分析
Pu
i
i
dS 0
s l
2. 上限定理：
机动允许的位移（速度）场：满足破坏机构条件（几何方程和位移、 速度边界条件），外力做功为正的位移（速度）场。 [ 放松极限条件，选择破坏机构，并使载荷在其位移场上做功为正] 破坏载荷：机动允许的位移场所对应的载荷。k P
k ：机动允许载荷系数
ij :
*
* ui :
体力为零时：
ST
F i u i dS
*
ij dV
0
ij
*
V
塑性极限分析方法
1. 静力法
（1）取满足平衡条件且不违背屈服条件（极限条件）的应力（内力） 场。（建立静力允许的应力场）
（2）由静力允许的应力（内力 ）场确定所对应的载荷，且为极限载荷 的下限：Pl- = sP （3）在多个极限荷的下限解中取： Plmax-
下限解－－静力法。
l k ：上限解－－机动法。
ij
s
ij
虚功率原理： F u * dS i i
ST
ij dV
* V
ij
0
ij
0
ij
ST
l
s
P u
i
dS i
V
ij
0
ij
ij
dV
由Druker 公设：极限曲面是外凸的。
ST
ij
0ij源自ij 0Pi 在真实位移速度上的功率为正
下限定理：任何一个静力允许的内力场所对应的载荷 是极限载荷的下限。
[ 静力允许载荷系数是极限载荷系数的下限： s l ]
结构塑性极限分析上限法数值计算方法研究
结构塑性极限分析上限法数值计算方法研究在土木工程中,结构物的极限承载力和破坏模式的确定是一项重要的研究题和工程问题。
分析此类问题的方法大致分为两类:一类是弹塑性的增量分;另一类则是塑性极限分析方法。
极限分析的上限和下限方法以塑性极限定为理论基础,是工程结构的设计和分析中直接而又严格的极限状态分析方法。
工程的实际应用中通常采用极限分析的数值方法。
其中,在工程结构的极限析中较为常用。
另外,极限分析方法最终需要求解一个数学规划问题,根据体的情况大致可分为线性和非线性规划问题。
随着问题维数的增加,数学规问题将可能成为大规模优化问题,其求解成为了一个难题。
因此本文从经典性极限分析理论出发,进一步改进运动许可速度场的构造方法,并将数值优领域中提出的新算法应用于数值极限分析上限的数学规划问题的求解中,取的主要成果如下。
在刚体有限元上限分析中,如果将安全系数定义为目标函数,则数学规划题就成为了带有约束的非线性规划问题。
本文首次采用一种新型的优化算法P-free方法求解此非线性规划问题。
求解非线性规划的常用算法为序列二次规(SQP)方法。
然而,在初始点任意的情况下,传统的SQP在求解刚体有限上限分析法的非线性规划模型时出现了子问题不相容的问题而导致得不到最解,且在每个迭代步中都要花费大量计算来求解一个二次规划(QP)问题。
对这一非线性规划问题,文中采用了一种新型非线性优化算法——QP-free 法来求解刚体有限元上限分析法的非线性规划问题。
该方法的转轴操作可以免子问题不相容的问题,并且在每个迭代步中将求解QP问题转化为求解三具有相同系数矩阵的线性方程组。
而根据虚功率方程将安全系数表示为运动可速度场的函数,目的就是使得非线性规划问题的目标函数避免了其导数成常数向量,便于采用QP-free算法进行求解。
通过两类算法对经典边坡稳定题的对比分析,QP-free算法比传统的SQP 算法则更为有效。
在上述的刚体有限元上限分析法中,数学规划模型的非线性是由于采用安系数作为评价指标而引起的。
材料力学第十二章-考虑材料塑性的极限分析精选全文
M Hi 0 S A a S A 2a Fu 3a 0
极限荷载 Fu S A 容许荷载 [F ] Fu / n
§2-3 等直圆杆扭转时的极限扭矩
S
Mx
S
Mx
S
Mx
O
外力增大
O
外力增大
O
S
S
S
只有弹性区 弹性极限状态
即有弹性区，又有塑性区 弹塑性状态
只有塑性区 塑性极限状态
弹性状态下横截面上 扭矩的最大值
max－S
残余应力
Mu Mr MS
由残余应力分布图知：
max
Mr Wz
最大残余应力发生在截面屈服区与弹性区的交界处；
中性轴上各点的残余应力为零。
作业：
2－2、5； 2－10
第十二章 考虑材料塑性的极限分 析
◆ 塑性变形·塑性极限分析的假设 ◆ 拉、压杆系的极限荷载 ◆ 等直圆杆扭转时的极限扭矩 ◆ 梁的极限弯矩·塑性铰
§2-1 塑性变形·塑性极限分析的假设
在弹性范围内进行强度计算
单向应力状态下采用正应力强度条件： max [ ] 纯切应力状态下采用切应力强度条件： max [ ]
弹性极限状态
弹塑性状态
屈服弯矩 MS ？
在完全塑性状态下
完全塑性状态
极限弯矩 Mu ？
塑性铰 卸载时塑性铰的效应会消失
弹性极限状态
弹塑性状态
完全塑性状态
弹性极限状态下横截面上的最大弯矩 MS ：
max
M Wz
MS
bh2 6
S
完全塑性状态下横截面上的最大弯矩 Mu ？
截面完全屈服时中性轴的位置如何确定？
M xS
Wp S
πd3 16
材料力学精选试题及答案-塑性极限分析
塑性极限分析1.设122r r ，试求此圆截面杆外表面处开始屈服时的扭矩与整个横截面屈服时的极限扭矩之比。
解：由p 2s s max I r T ，得屈服扭矩)(2π4142s 2s r r r T 。
而极限扭矩213)(π2d π23132s s p r rr r T ，则24.1s p T T 。
2.图示理想弹塑性矩形截面梁，极限弯矩与弹性最大弯矩之比有四种答案： (A)3；(B)2；(C)1.5； (D) 1。
答：C3.图示T 形截面梁，在对称面内纯弯曲。
材料为低碳钢，可视作理想弹塑性。
当截面内最大正应力进入材料的屈服极限后，继续加载，其中性轴位置有四种答案： (A)永过截面形心C ；(B)从截面形心向上移；(C)从截面形心向下移；(D)永过截面1-1线。
答：B4.T 形横截面梁，在对称面内弯曲，设a ，材料为理想弹塑性，屈服应力为s 。
试求梁的极限弯矩与刚出现塑性变形时的弯矩之比。
解：4a y C，3245a I z 。
屈服应力24/54/33s sa a M，可得屈服弯矩s 2s 185 a M 。
极限状态，中性轴在翼腹交界处，s 2p 21 a M ，则8.1s p M M 。
5. 图示T 形横截面梁，材料为理想弹塑性，屈服应力MPa 240s 。
试求梁的极限弯矩，及塑性弯曲截面系数与弹性弯曲截面系数的比值。
解：极限弯矩时，中性轴为z ，c t A A 。
36c t p m 1048 S S W ，m kN 52.11p s p W M 。
弹性状态，中性轴为z ，36maxm 102.27y I W z， 则76.1p WW 。
6. 梁的横截面如图所示，在对称面内纯弯曲。
当截面完全进入塑性状态时，试求： (1)截面中性轴z 的位置； (2)塑性弯曲截面系数p W 。
解：z 轴以下面积5)5/(5221aa y a A C ，z 轴以上面积5)5/2(522aa y a a A C 。
结构力学 第17章 结构的塑性分析与极限荷载
可见，塑性流动阶段的中性轴应等分截面面积。
由此，极限弯矩的计算方法: M u s (S S )
S、S 分别为面积A、A 对等面积轴的静矩。
可见，极限弯矩与外力无关,只与材料、截面几何形状 和尺寸有关。
6
[例]已知材料的屈服极限 s 240MPa ，试求图示截面的
极限弯矩。
80mm
解: A 3600mm2
荷载只是单调增大，不出现卸载现象。
2．结构的极限状态应当满足的条件
1）平衡条件：在极限受力状态下，结构的整体或任一 局部都保持平衡。
2）内力局限条件（屈服条件）：在极限受力状态下，
结构任一截面的弯矩绝对值都不大于其极限弯矩，即
︱M︱≤Mu 。 3）单向机构条件：在极限状态，结构中已经出现足够
数量的塑性铰，使结构成为机构，该机构能够沿荷载
FP
FPu
l/2
l/2
Mu
①图中简支梁随着荷载的增大，梁跨中弯矩达到极限弯矩Mu。
②跨中截面达到塑性流动阶段，跨中两个无限靠近的截面可以产生有
限的相对转角，因此，当某截面弯矩达到极限弯矩Mu时，就称该截面
产生了“塑性铰”。
③这时简支梁已成为机构，这种状态称为“极限状态”，此时的荷载
称为“极限荷载”，记作FPu。
35
1、静定结构只要产生一个塑性铰即发生塑性破坏，n次超 静定结构一定要产生n +1个塑性铰才产生塑性破坏。
答案：错误
2、塑性铰与普通铰不同，它是一种单向铰，只能沿弯矩增 大的方向发生相对转动。
答案：正确
3、超静定结构的极限荷载不受温度变化、支座移动等因素 影响。
答案：正确
4、结构极限荷载是结构形成最容易产生的破坏机构时的荷 载。
8、结构的塑性极限分析解析
r
n 1
（4）－（2）得：
r
* * * M M ( x ) S k k k k 0,
* * ( ) N a a 0 即 可得 a 1
*
这便证明了上、下限定理。
• 以上定理说明，由静力许可场可得到极限载荷的
6M s 由以上讨论可知，Ps L
E，如果梁是理想刚塑性材料构成，也会得到同样的极 限载荷，其值仅仅与结构本身和载荷形式有关，而与 结构的残余应力和加载历史无关。
一、静力法
——通过与外载荷相平衡且在结构内处处不违反 屈服条件的广义应力场来寻求所对应外载荷的最大值 的一种方法。 两种思路：已知弯矩图和未知弯矩图 A C P 解：1、未知弯矩图
B
超静定次数n＝1，可能出现 塑性铰的个数m＝2
设多余约束为FB，则用多余约束表示的平衡方程有2个：
PL M A FB L 2 M FB L C 2
不违反屈 服条件
M A Ms MC Ms
PL FB L 2 M s M A Ms F L M M B s C Ms 2 PL PL FB L M s M s 2 2 2M s FB L 2M s
M s 2
P M s M s 2 6M s / L 6M s Ps L
说明：对于复杂结构可能破损机构一般有好几种，对应于 每一种破损机构都有一个载荷值，真实的极限载荷是这些 载荷中的最小值。
静力法
A ① ② C P B ③
解：1、未知弯矩图
FB M
M 3 M B 消去FB、MB PL FB L MB M 3 2M 2 M 1 M 2 2 2 PL 平衡条件 M 1 FB L MB 2
结构力学 结构的塑性分析与极限荷载
A l/3
FPu
B
DC
Mu
B
Mu
D
l/3
l/3
B
3 l
D
6 l
此时M图如图，MA=3Mu
3M u
Mu
A
B
l/3 l/6
FPu
D
C
Mu
当3M u M u，此破坏可实现。
由虚功方程可得： FPu MuB MuD
FPu
Mu
(3 l
6) l
FPu
M u l
2 当截面D和A出现塑性铰时的破坏机构
FPu Mu' A MuD
极限荷载
q 2l x 2M u x(l x) l
qu
22 3 24
Mu l2
11
.7
Mu l2
极限荷载复习题
1. 极限分析的目的是什么？ 答：寻找结构承载能力的极限，充分利用材料。
2. 试说明塑性铰与普通铰的异同。 答：当截面弯矩达到极限弯矩时，这种截面可称为塑性铰； 塑性铰是单向铰，塑性铰只能沿弯矩增大的方向发生有限的 转角；塑性铰可传递弯矩，普通铰不能传递弯矩。
屈服弯矩、极限弯矩 以理想弹塑性材料的矩形截面纯弯曲梁为例：
M
M
随着M的增大，梁截面应力的变化为：
b
s
s
h b
s
h
y0 y0
s
s
a)
b)
s
c)
b
s
s
s
h
y0 y0
s
s
a)
b)
s
c)
图a）弹性阶段，最外纤维处应力达到屈服极限σs ，弯矩M
为：
MS
bh2 6
材料力学考虑材料塑性的极限分析
则极限弯矩为
由
bh2 Mu s s 4
bh2 ss Mu 42 1.5 M s bh ss 6
可见，考虑了材料塑性，
矩形截面梁对应的弯矩极限值可以增大 50％。
几种常用截面的 Mu/Ms 比值见下表。
表 1 几种常用截面的 Mu/Ms 比值
截面形状
M u / Ms
1.15-1.17
1.27
πd 3 Ts Wp s s 16
s
(a)
若继续增大扭矩，则随着切应变增大，此直径上 各点处的切应力将从周围向中心逐渐增大到 s 。
s
(b)
当截面上各点处的切应力均达到 s , 整个截面进 入完全塑性状态。这时不需要再增大外力偶矩，圆杆 将继续扭转变形，即扭杆达到极限状态。对应的极限 扭矩为：
q (a) A
l
解：先按弹性分
B
4l 9
8 ql 2 81
l 3
C b (b) ql 2 18
h
析的方法作出梁
的弯矩图 （图c） 得出最大弯矩为
8ql2 M max 81
(c)
当梁达到极限状态时，其最大弯矩等于极限弯矩， 梁上的荷载达到极限值。 即
8qu l 2 bh2 Mu s sWs s s 81 4
塑性变形的特征:
(1)变形的不可恢复性是塑性的基本特征。
(2)应力超过弹性范围后,应力应变呈非线性关系, 叠加原理
s
s1
不再适用。
(3)塑性变形与加载历程有关,应 力与应变之间不再是单值关系。 (4)通常所指的塑性变形,忽 略了时间因素的影响(常温、 低应变率）。
ss
O
e p ee
e
s 's
塑性极限法分析高层建筑倒塌案例
允许无限制地使用，在正确、适度情况下可以引用原始的文章。
1.世贸中心
在9•11事件中倒塌的位于美国纽约的世贸双塔（美国世界贸易中心）(例[1, 2]),是世界十大高层建筑之中的两座。南塔为1368英尺高，北塔为1362英尺高。两塔标准层高为3.676米，楼层为110层。两塔外观相同，占地约207平方英尺。每栋建筑的占地面积为4.66×105平方米，重量约为500万吨。每一侧的外墙由59根侧边14英尺、间距40英尺密集排布的钢柱构成。建筑外墙覆盖银铝板。在正常的风力条件下，屋顶振荡幅度可上升至2.8米。
对于在这次大火中究竟燃烧了多少液体燃料有许多不同观点。由于飞机撞击建筑发生在起飞后不久，报告表明只有16%的燃料被消耗。因此，其余燃料可能已被带入到建筑当中。闪燃的发生给了迅猛的火势造成极高的室内温度。如此严重的火灾在燃烧期间降低了钢柱的强度，尤其是在那些被飞机击中的楼层。计算[20]表明建筑物内储存的可燃物，如办公桌、家具和纸产生的火荷载级别高于从飞机洒出的可燃航空燃料。钢结构体系可能会在构建摩天大楼方面性能优越。然而，通过对比混凝土结构可以看出其耐火性能不佳也是不容忽视的。
而塑性极限分析[24]则不会出现上述问题。这一方法是不受弹性模量E、残余应力以及加载过程约束的，而是只取决于结构以及加载方向。在检查分析破损梁和平面框架时，可以发现失效荷载只和极限力矩有关，与结构的曲率没有关系。
图2.拟题研究（南塔）
绝对硬质塑料材质的一个特点是，当极限弯矩M低于极限弯曲力矩M0时可以假设曲率为零。当M≥M0时，曲率可以选取任意数值，此时塑性铰只传递力矩M0。
4.塑性铰的概念
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塑性极限分析1.设122r r =，试求此圆截面杆外表面处开始屈服时的扭矩与整个横截面屈服时的极限扭矩之比。
解：由p2ss max I r T ==ττ，得屈服扭矩)(2π4142s 2sr r r T -⋅⋅=τ。
而极限扭矩⎰-=⋅=213)(π2d π23132s s p r r r r T τρρτρ，则24.1sp =T T 。
2. 图示理想弹塑性矩形截面梁，极限弯矩与弹性最大弯矩之比有四种答案：(A) 3； (B) 2； (C) 1.5； (D) 1。
答：C3. 图示T 形截面梁，在对称面内纯弯曲。
材料为低碳钢，可视作理想弹塑性。
当截面内最大正应力进入材料的屈服极限后，继续加载，其中性轴位置有四种答案： (A)永过截面形心C ；(B)从截面形心向上移； (C)从截面形心向下移； (D)永过截面1-1线。
答：B4. T 形横截面梁，在对称面内弯曲，设a <<δ，材料为理想弹塑性，屈服应力为s σ。
试求梁的极限弯矩与刚出现塑性变形时的弯矩之比。
解：4a y C ≈，3245a I z δ≈。
屈服应力24/54/33s s a a M δσ⨯=，可得屈服弯矩s 2s 185σδa M =。
极限状态，中性轴在翼腹交界处，s 2p 21σδa M ≈，则8.1sp =M M 。
15. 图示T 形横截面梁，材料为理想弹塑性，屈服应力MPa 240s =σ。
试求梁的极限弯矩，及塑性弯曲截面系数与弹性弯曲截面系数的比值。
解：极限弯矩时，中性轴为z '，c t A A =。
36c t p m 1048-⨯=+=S S W ，m kN 52.11p s p ⋅==W M σ。
弹性状态，中性轴为z ，36maxm 102.27-⨯==y I W z， 则 76.1p =WW 。
6. 梁的横截面如图所示，在对称面内纯弯曲。
当截面完全进入塑性状态时，试求： (1)截面中性轴z的位置； (2)塑性弯曲截面系数p W 。
解：z 轴以下面积5)5/(5221aa y a A C -+=，z 轴以上面积 5)5/2(522aa y a a A C --+=。
由21A A =，得2ay C =，321p 618.0a S S W =+=。
7. 工字形截面简支梁如图所示，m 4=l 。
材料为理想弹塑性，屈服应力MPa 240s =σ，安全因数6.1=n 。
试按极限弯矩确定许用载荷。
解：4max FlM =。
由21A A =，得mm 5=C y ，3621m m 1093.1⨯=+S S ， 极限弯矩)(21s p S S M +=σ，则由max p M nM =，得许用载荷kN 290][=F 。
8. 矩形截面梁由两种理想弹塑性材料牢固粘合而成，如图所示。
屈服应力1s 2s 2σσ=。
试求极限弯矩。
解：由0N =F ，)43(41s 1s 2s C C y h b b y bh -=+σσσ，得8y C =。
则 6421161)128112825(1s 22s 21s 2p σσσbh bh bh M =++=。
9. 对于理想弹塑性的实心圆杆，其屈服扭矩与极限扭矩之比有四种答案： (A) 1:2； (B) 3:4； (C) 2:3； (D) 4:5。
答：B10. 关于塑性铰，有四种描述：(A)塑性铰所在截面两侧两段梁的转动方向与极限弯矩的方向一致； (B)塑性铰能够抵抗弯矩；(C)(D)答：D11.答：A12. 静定梁的塑性极限载荷应满足下列三个条件：(1)在静力学上，满足⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽；(2)梁各横截面的弯矩值均小于或等于⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽；(3)结构将成为具有⎽⎽⎽⎽⎽⎽个自由度的破坏机构。
答：静力平衡条件；塑性极限弯矩；113. 梁在平面弯曲时，若处于线弹性阶段，则横截面的中性轴必定通过⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽，若截面达到完全塑性，且材料为理想弹塑性，则此时横截面的中性轴必定⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
答：该截面的形心；平分截面面积/4(A)(B)(C)(D)214. 由理想弹塑性材料制成的实心和空心圆轴分别如图所示，材料为理想弹塑性，屈服应力为s τ，则实心圆轴的塑性极限扭矩为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽；空心圆轴的塑性极限扭矩为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
答：s 33π2τR ；s 333)(π2τr R - 15. 超静定杆受力如图所示，横截面面积为A ，设b a <。
材料为理想弹塑性，屈服应力为s σ，则杆初始屈服时的载荷为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽；杆完全屈服时的载荷为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
答：A b b a s σ+；A s 2σ16. 简单桁架如图所示，两杆的横截面面积均为A ，材料为理想弹塑性，屈服应力为s σ，则桁架的极限载荷为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
答：ασsin s A17. 塑性铰与真实铰的主要区别是:⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
答：(1)塑性铰是由于截面达到完全塑性产生的，可以抵抗弯矩，该弯矩值即为该截面的极限弯矩；而真实铰不能抵抗弯矩；(2)当截面上的弯矩小于极限弯矩时，塑性铰的效应也就随之消失；而真实铰的效应则不会随外载荷的变化而发生改变。
18. 超静定杆系受力如图所示，各杆的横截面面积均为A ，材料为理想弹塑性，屈服应力为s σ。
试求杆系的屈服载荷s F和塑性极限载荷p F 。
解：一次超静定结构，α31cos 21+=F F ， F F F αα3232cos 21cos +==。
杆1先屈服，屈服载荷 A F s 3s )cos 21(σα+=。
杆2和3屈服时，塑性极限载荷 A F s p )cos 21(σα+=。
19. 简支梁受力如图，圆截面直径mm 20=d ，塑性弯曲截面系数6/3p d W =，材料为理想弹塑性，屈服应力为MPa 240s =σ。
试求梁的塑性极限载荷p F 。
解：梁的极限状态为力F 作用处出现塑性铰 p s p W M σ= 又 1/4.06.0p p ⨯⨯=F M 则 kN 33.1p =F 。
20. 超静定杆受力如图所示，横截面面积为A ，设b a <，材料为理想弹塑性，弹性模量为E ，屈服应力为s σ。
试作截面C 的轴向位移δ和载荷F 间的关系曲线。
解：一次超静定结构，F F F B A =+，B A F baF =解得 F b a b F A +=，F ba aF B +=因b a <，则杆AC 段先屈服。
当杆AC 段屈服时 A bba F s s σ+=，a E s sσδ= 当杆AC 段和BC 段均屈服时 A F s p 2σ=，b Esp σδ=21. 图示结构的水平杆为刚性杆，杆1、2由同一理想弹塑性材料制成，屈服应力为s σ，横截面面积均为A 。
试求初始屈服时的屈服载荷s F 和完全屈服时的塑性极限载荷p F 。
解：一次超静定结构杆2先屈服，屈服载荷 A F s s 65σ=杆1与2均屈服时，塑性极限载荷 A F s p σ= 22. 图示超静定结构的水平杆AB 为刚性杆，杆1、2和3由同一理想弹塑性材料制成，屈服应力为s σ，横截面面积分别为1A 、2A 和3A ，且A A A ==31，A A 22=。
试求塑性极限载荷p F 。
解：杆1、2和3(1)杆3拉屈服，杆1压屈服，杆2未屈服时，A F s p 3σ=，A A F s s 223σσ>=，此时杆2的应力也达到屈服极限，故不可能。
(2)杆1、2拉屈服，杆3未屈服时，A F s p 7σ=，A A F s s 34σσ>=，此时杆3的应力也达到屈服极限，故也不可能。
(3)杆2、3拉屈服，杆1未屈服时，A F s p 5.2σ=，A F s 15.0σ=，此时杆3的应力未达到屈服极限，则A F s p 5.2σ=。
s p23. 图示两端固定的圆截面杆，受力偶矩e M 作用，杆的直径mm 40=d ,材料为理想弹塑性，屈服应力MPa 100s =τ。
试求极限力偶矩。
解：极限力偶矩m kN 35.32π121s 3p ⋅=⨯=τd M 。
24. 矩形截面梁的高为h 、宽为b ，材料拉伸与压缩的应力-应变关系为n C εσ=，C 和n 为常数，且10≤≤n 。
试导出梁以弯矩M 纯弯曲时的正应力表达式。
解：弯曲变形的线应变ρεy=，应力nnny CC ρεσ==，nn h n nn h Cb y b y yC M ρρ)2()2/(2d 222/0+==+⎰ 则 ()22/2)2(++=n n h b My n σ。
25. 圆轴的直径为D ，材料为理想弹塑性，屈服应力为s τ。
在扭转达到极限状态后，卸载。
试求轴的残余应力。
解：极限状态的切应力均为s τ，扭矩为p T 。
弹性卸载tp W T =τ。
可得残余应力如图所示。
26. 图示梁在截面C 和D 上，分别承受集中力F 和F β，10<<β。
材料为理想 弹塑性，梁的塑性极限弯矩为p M 。
试求极限载荷p F ，β为何值时梁上总载荷的极限值最大。
解：支座B 的反力16285FF F B β+=截面A 、B 、C 处的弯矩1634Fa Fa M A -=β，2Fa M B β-=，3245FaFa M C β-=当B M 和C M 同时达到p M 时,梁上的总载荷最大, 32452Fa Fa Fa ββ-=于是41=β 当41≥β时，截面B 首先形成塑性铰，p p 2M a F =β，得a M F βp p 2=。
当41<β时，截面A 和C 首先形成塑性铰，由∑=0C M ，得a M F F B p p 22+=β。
再由∑=0A M ，得aM F )1(6p p β-=。
s /327. 图示梁左端固定，右端铰支，承受两个相等的集中力F 。
材料为理想弹塑性，梁的塑性极限弯矩为p M 。
试求极限载荷p F 。
解：截面A 、C 或D 的任两处出现塑性铰，梁即丧失承载能力。
(1)A 和D 处形成塑性铰，l M F p p 4=。
(2)A 和C 处形成塑性铰，l M F p p 5=。
(3)C 和D 处形成塑性铰，lM F p p 9=，则lM F p p 4=。