最新竞赛辅导讲义(几何)

第二部分 空间与图形20、线段与角思考练习1、已知线段AB ＝16，C 为AB 上的一点，且AC ∶CB ＝3∶5，M 、N 分别为AC 、AB 的中点，求MN 的长．2、在直线l 上取A 、B 两点，使AB ＝10cm ，再在l 上取一点C ，使AC ＝2cm ， M 、N 分别为AB 、AC 的中点，求MN 的长．3、在一条直线形流水线上，依次在1A 、2A 、3A 、4A 、5A 处有5个具有同样性能的机器人在工作，每隔一定时间，它们要去取零件，将零件箱放在何处，才能使机器人取零件花费的总时间最少？12A3 4 54、某公司员工分别住在A 、B 、C 三个住宅区，A 区有30人，B 区有15人，C 区有10人，三个区在一直线上，位置如图所示，公司的班车打算在此间只设一个停靠点，为要使所有员工步行到停靠点的路线总和最少，那么停靠点的位置应在何处?5、如图，已知A O E ∠和COG ∠都等于︒90，FOG BOC ∠>∠，则图中以O 为顶点的锐角共有_____个．6、时钟在12点25分时分针与时针之间的夹角度数为______．7、若一个角的补角等于这个角的余角的6倍，则这个角等于__ ___．8、小明家在车站O 的东偏北︒18方向300米处，学校B 在车站O 的南偏西︒10方向200米，小明经车站所走的=∠AOB ______度9、若AOB ∠与BOC ∠互为补角，OD 是AOB ∠的平分线，OE 在BOC ∠内，EOC BOE ∠=∠21，︒=∠72DOE ，求EOC ∠． 10、平面上有五个点，其中仅有三点在同一直线上，过每两点作一条直线，一共可以作_____条直线．11、如图，OM 是AOB ∠的平分线，射线OC 在BOM ∠内部，ON 是BOC ∠的平分线，已知︒=∠80AOC ，求MON ∠的度数．MC NBAPA 区B 区C 区AGFEDC BOEB D CAOCN M BAO1 23 412、平面上三条直线相互之间的交点个数是( )A 、3B 、1或3C 、1或2或3D 、不一定是1、2、313、如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少︒30，求这两个角． 14、如图，已知AB ∥CD ，︒=∠110A ，︒=∠120C ，则=∠CEF _______．15、如图，已知AB 与CD 相交于点O ，OE 、OF 、分别是AOC ∠、BOD ∠、AOD ∠的平分线，求证：(1) E 、O 、F 三点共线；(2) EF OG ⊥．说出下列证明每一步推理的理由： 证明：(1) ∵︒=∠+∠180DOB AOD ，又AOD GOD ∠=∠21，DOB FOD ∠=∠21，∴︒=∠+∠=∠90)(21DOB AOD GOF ， 同理︒=∠90EOG ，∴︒=∠+∠=∠180GOF EOG EOF ， ∴E 、O 、F 三点共线． (2) ∵︒=∠90EOG ，∴EF OG ⊥．16、如图，平行直线a 与b 被两条相交直线所截，请数出图中 有多少对同旁内角．21、三角形的边角关系例题讲练例1 草原上4口油井，位于四边形ABCD 的4个顶点，如图现要建立一个维修站H ，试问H 建在何处，才能使它到4口油井的距离之和HD HC HB HA +++最小，说明理由．解：维修站H 建在两条对角线的交点处就符合要求． 理由如下：不妨任取异于H 的一点E ，连EA 、EB 、EC 、 ED ， 则AC EC EA >+，BD ED EB >+，=+>+++BD AC ED EC EB EA HD HC HB HA +++． 例2 若三角形的三边长均整数，周长为15，问这样的三角形共有多少个? 解：设三角形的三边长分别为a 、b 、c ，且c b a ≥≥．则215<a 当7=a 时，1,7==cb ；2,6==c b ；3,5==c b ；4,4==c b ．ACDBHEGFED C BA O D CE BAFba当6=a 时，3,6==c b ；4,5==c b ； 当5=a 时，5,5==c b ． 所以满足条件的三角形共有7个．例3 若直角三角形的两条直角边长为a 、b, 斜边长为c 斜边上的高为h, 则有( ) (A)2h ab = (B)h b a 111=+ (C) 222111hb a =+ (D) 2222h b a =+ 答：∵a ＞h ＞0，b ＞h ＞0，∴ ab ＞2h ，22b a +＞2h ＋2h ＝22h ；可见，（A ）、（D ）不正确；设斜边为c ，h b a )(21+＞ab ch 2121=，即有b a 11+＞h1，故（B ）也不正确； 由ab h b a 212122=+, 化简整理后，得 222111hb a =+，因些结论（C ）是正确的 思考练习1、若ABC ∆的三边长是三个不同的整数，周长为11，且有一边长为4，则这个三角形的最大边长为______5、如图表示一个六边形的钢架ABCDEF，它的结构是不稳固的，现需要想办法稳固这种结构使之不能活动，可用钢管连接某些对角线，问至少要用____根钢管才能稳固，请在图中画出来．2、周长为24，各边长互不相等且都是整数的三角形共有_ __个．3、在ABC ∆中，ACB ABC ∠=∠，A ACB ∠=∠2，BD 平分B ∠，BD BE =，图中有___个等腰三角形．4、在ABC ∆中，若︒=∠-∠90B A ，则ABC ∆是( ) (A) 直角三角形 (B) 锐角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 锐角三角形或钝角三角形6、一个凸n 边形的内角和小于01999, 那么, n 的最大值是( ) (A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 147、一个凸n 边形的内角和超过︒1000，则n 的最小值是( ) (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 108、多边形边上或内部的一点与多边形各顶点的连线，将多边形分割成若干个小三角形．图(一)给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形．图(一)B CDEA请你按照上述方法将图(二)中的六边形进行分割，并写出得到的小三角形的个数．试把这一结论推广到n 边形．图(二)9、给定平面上的几个点，已知1、2、4、8、16、32都是其中两点之间的距离，那么点数N 的最小可能值是（ ） (A) 4 (B) 5 (C)6 (D) 710、ABC ∆内共有n 个点，连结这些点(含A 、B 、C 共3+n 个点)可将ABC ∆个割成若干个不重叠的小三角形，问有多少这样的三角形？11、过平面内点O 任意作7条直线，证明：以点O 为顶点的角中，必有一个小于︒26． 12、平面内有7条直线两两相交，证明：在所有的交角中，必有一个小于︒26．22、角度计算例题讲练例1 已知在ABC ∆中，D 、E 分别在边AC 、AB 上， 且AC AB =、BD BC =、EB DE AD ==，求A ∠的度数．略解：设A ∠的度数为x ，易见x AED A =∠=∠，x BED -︒=∠180x EDC 2=∠，22)180(180xx EDB EBD =-︒-︒=∠=∠x x x BDC C ABC 2322=-=∠=∠=∠， ∴︒=++1802323x x x ，∴︒=45x ．例2 在ΔABC 中,AB = AC, AD = AE, ∠BAD =060, 求∠EDC 的的度数．略解：设α2=∠CAD ，由AB = AC 知，∠B ＝αα-=--00060)260180(21α+=-∠-=∠0006060180B ADB , 由AD = AE 知，α-=∠090ADE ,∴030180=∠-∠-=∠ADB ADE EDC ．AED B CABCDE思考练习1、如图：求D C B A ∠+∠+∠+∠F E ∠+∠+的度数．2、如图，若EF 和CF 是E ∠和F ∠的平分线，若︒=∠40B ，︒=∠50D ，求F ∠．3、如图，点D 在ABC ∆的边BC 上，且AC DA BD ==，︒=∠63BAC ，求DAC ∠．4、如图，CD BC AB ==，AE AD =，BE DE =，求C ∠的度数．5、如图，ABC ∆中，︒=∠40B ，延长BA 至E ，作︒=∠56EDA ，E ∠与C ∠的平分线交于F ，求EFC ∠的度数．6、如图，ΔABC 中，∠A ，∠B 的外角平分线AD 、BE 分别交对边的延长线于点D 、E ， 且AD =AB =BE ．求∠BAC 的度数．7、在ΔABC 中，AB = AC ， AD = AE ，60=∠BAD ，求∠EDC 的度数．8、在下列三个图形中，已知︒=∠8ABC ，︒=∠90θ． (1) 在图1中若21∠=∠，则=∠A _____(2) 在图2中若21∠=∠，43∠=∠，则=∠A _____(3) 在图3中若21∠=∠，43∠=∠，65∠=∠，……，n n ∠=-∠1，(n 是大于等于1的自然数)，试推出A ∠的度数x 与n 的关系式．G B F N E H DA EF DBCA CDBAAB 21Cθ图1AC124 5 n3θD AECB FEDB A2BAC13 4 图2图3ABCDEBACD23、构造全等三角形方法例题讲解例1 在ΔABC 中，AD 平分∠ABC ，AB ＋BD ＝AC ， 求证：∠B ＝2∠C.略证：在AC 上截取AE ＝AB ，连结DE ，则ΔABD ≌ΔAED ，∴BD ＝DE ，∠B ＝∠AED ＝∠EDC ＋∠C ， ∵AC ＝AB ＋BD ＝AE ＋EC ， ∴ED ＝EC ∴∠B ＝∠AED ＝2∠C 例2 在ΔABC 中，AD 是中线，若AB ＝5，AC ＝3， 求AD 的取值范围.略解：延长AD 至E ，使AD ＝DE ，则ΔABD ≌ΔECD ， 易见，2AD ＜3＋5，AD ＜4 又 3＋2AD ＞5，AD ＞1 ∴1＜AD ＜4例3 在ΔABC 中，∠BAC ＝0120，AD ⊥BC 于D ，且AB ＋BD ＝DC ，求∠C 的度数. 略解：在BC 上截取DE ＝DB ，连结AE ，则ΔABD ≌ΔAED ，∴AB ＝AE ，∠B ＝∠AED ， ∵AB ＋BD ＝DC ，∴EC ＝CD －DE ＝（AB ＋BD ）－BD ＝AB ＝AE ∴∠C ＝∠CAE ，∴∠B ＝∠AED ＝2∠C ∵∠B ＋∠C ＝060，∠C ＝020例4 已知，如图，O 是正方形内一点，∠OBC ＝∠OCB ＝150， 求证：ΔAOD 是等边三角形.略证：连AC ，延长BO 交AC 于P ，连PD ，易得 ∠BPC ＝∠DPC ＝1200， ∴∠DPO ＝1200， 又∠POC ＝∠PCO ＝300， ∴PO ＝PC ， ∴ΔOPD ≌ΔCPD ， ∴OD ＝DC ＝AD ，AB CD E AD BCEABCD EOBC A DP同理，OA ＝AB ＝AD ， ∴ΔAOD 是等边三角形. 思考练习1、已知D 为等边ΔABC 内一点，DB ＝DA ，BE ＝BA ， ∠DBE ＝∠DBC ，求∠BED 的度数.2、证明：有两边和第三边中线对应相等的两个三角形全等.3、在直角ΔABC 中，∠BAC ＝090，AB ＝AC ， BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD 于E ，求证：BD ＝2CE.4、在正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，MN ⊥MD ，BN 平分∠CBE ，E 是AB 上的一点，求证：MD ＝MN.5、若M 是正方形ABCD 的边AB 的中点，MN ⊥CM 交AD 于N ， 求证：∠BCM ＝∠MCN.6、在正方形ABCD 中，E 是BC 上任一点，∠EAD 的平分线交CD 于F ， 求证：BE ＋DF ＝AE ．7、在正方形ABCD 内作∠EAF ＝450，E 、F 分别在BC ，CD 上，AH ⊥EF ， 求证：AH = AB.答案提示1、注意到∠DBE ＝∠DBC ，BE ＝BC ，可构造ΔBDE ≌ΔBDC ≌ΔCDA.2、延长中线构造全等三角形.3、注意到∠ABE ＝∠CBE ，BE ⊥CE ，可构造与ΔBEC 全等的三角形.4、利用中点构造全等三角形.5、用中点构造全等三角形.6、利用边AB 构造三角形与ΔADF 全等, 得出等于BE ＋DF 的线段.7、利用边AB 构造三角形与ΔADF 全等,由全等三角形对应高相等得结果.ABCDEABCDEA BCD MNEABCDMNABCD EFABCD EFH24、证两角相等的基本方法例题讲解例1 已知ΔABC 中，高AD 与BE 相交于点H ，∠ABC ＝045，HD ＝DC ，求证：BH ＝AC.分析：只需证ΔACD ≌ΔBHD ，关键是证明∠DAC ＝∠DBH ， 考虑∠DAC ＝090－∠C ，∠DBH ＝090－∠C ，这样问题易证.例2 从等腰Rt ΔABC 的直角顶点C 作中线BD 的垂线，交BD 于F ，交AB 于E ，连结DE ，求证：∠CDF ＝∠ADE ．分析：易见，∠CBD ＝∠ACE ，结合BC = AC, ∠BCA 是直角，只要过A 作GA ⊥AC 交CE 的延长线于G ，则可构 造出ΔBCD ≌ΔCAG ，得∠CDF ＝∠G ，再证ΔADE ≌ΔAGE ， 得∠ADE ＝∠G ，从而得∠CDF ＝∠ADE.思考练习1、如图，在ΔABC 中，BD ＝DE ，AB ＝BE ＝EC ，求证：∠BAD ＝∠C.2、如图，D 是等边ΔABC 外一点，∠BDA ＝∠BCA ，求证：AD ＝BD ＋CD.3、在等边ΔABC 中，点D 、E 在边BC 和AC 上，且AE ＝DC ，AD 与BE 相交于点P ，BG ⊥AD 于G ，已知PE ＝1，PG ＝3，求AD 的长度.4、如图，在等腰ΔABC 中，AB ＝AC ，CE ＝BD ，求证：DF ＝EF.5、在等边ΔABC 中，P 、Q 、R 为各边中点，M 为RC 上任一点，ΔPMS 是等边三角形，连结SQ ，求证：RM ＝QS ．6、等腰Rt ΔABC 中，AC = BC ，AD 是中线，DE ⊥AB 于E ，求证：AB = AC + CD.ACDE ABCE DPG2 CB AD 1 3 A B CD E SPQA BCDHE AABC DEF G7、在ΔABC 中，AC = BC ，∠ACB = 090，D 是AC 上 一点，且AE 垂直BD 的延长线于E ，又BD = 2AE ，求证：BD 平分∠ABC.8、在ΔABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，若AC = BH ， 求∠ABC 的度数。