最新竞赛辅导讲义(几何)

第二部分 空间与图形

20、线段与角

思考练习

1、已知线段AB ＝16，C 为AB 上的一点，且AC ∶CB ＝3∶5，M 、N 分别为AC 、AB 的中点，求MN 的长．

2、在直线l 上取A 、B 两点，使AB ＝10cm ，再在l 上取一点C ，使AC ＝2cm ， M 、N 分别为AB 、AC 的中点，求MN 的长．

3、在一条直线形流水线上，依次在1A 、2A 、3A 、4A 、5A 处有5个具有同样性能的机器人在工作，每隔一定时间，它们要去取零件，将零件箱放在何处，才能使机器人取零件花费的总时间最少？

1

2A

3 4 5

4、某公司员工分别住在A 、B 、C 三个住宅区，A 区有30人，B 区有15人，C 区有10人，三个区在一直线上，位置如图所示，公司的班车打算在此间只设一个停靠点，为要使所有员工步行到停靠点的路线总和最少，那么停靠点的位置应在何处?

5、如图，已知A O E ∠和COG ∠都等于︒90，

FOG BOC ∠>∠，则图中以O 为顶点的锐角共有_____个．

6、时钟在12点25分时分针与时针之间的夹角度数为______．

7、若一个角的补角等于这个角的余角的6倍，则这个角等于__ ___．

8、小明家在车站O 的东偏北︒18方向300米处，学校B 在车站O 的南偏西︒10方向200米，小明经车站所走的=∠AOB ______度

9、若AOB ∠与BOC ∠互为补角，OD 是AOB ∠的平分线，OE 在BOC ∠内，EOC BOE ∠=

∠2

1

，︒=∠72DOE ，求EOC ∠． 10、平面上有五个点，其中仅有三点在同一直线上，过每两点作一条直线，一共可以作_____条直线．

11、如图，OM 是AOB ∠的平分线，射线OC 在BOM ∠内部，

ON 是BOC ∠的平分线，已知︒=∠80AOC ，求MON ∠的度数．

M

C N

B

A

P

A 区

B 区

C 区

A

G

F

E

D

C B

O

E

B D C

A

O

C

N M B

A

O

1 2

3 4

12、平面上三条直线相互之间的交点个数是( )

A 、3

B 、1或3

C 、1或2或3

D 、不一定是1、2、3

13、如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少︒30，求这两个角． 14、如图，已知AB ∥CD ，︒=∠110A ，︒=∠120C ，则=∠CEF _______．

15、如图，已知AB 与CD 相交于点O ，OE 、OF 、分别是AOC ∠、BOD ∠、AOD ∠的平分线，求证：(1) E 、O 、F 三点共线；(2) EF OG ⊥．

说出下列证明每一步推理的理由： 证明：(1) ∵︒=∠+∠180DOB AOD ，

又AOD GOD ∠=∠21，DOB FOD ∠=∠21

，

∴︒=∠+∠=∠90)(21

DOB AOD GOF ， 同理︒=∠90EOG ，

∴︒=∠+∠=∠180GOF EOG EOF ， ∴E 、O 、F 三点共线． (2) ∵︒=∠90EOG ，∴EF OG ⊥．

16、如图，平行直线a 与b 被两条相交直线所截，请数出图中 有多少对同旁内角．

21、三角形的边角关系

例题讲练

例1 草原上4口油井，位于四边形ABCD 的4个顶点，如图现要建立一个维修站H ，试问H 建在何处，才能使它到4口油井的距离之和HD HC HB HA +++最小，说明理由．

解：维修站H 建在两条对角线的交点处就符合要求． 理由如下：不妨任取异于H 的一点E ，连EA 、EB 、EC 、 ED ， 则AC EC EA >+，BD ED EB >+，

=+>+++BD AC ED EC EB EA HD HC HB HA +++． 例2 若三角形的三边长均整数，周长为15，问这样的三角形共有多少个? 解：设三角形的三边长分别为a 、b 、c ，且c b a ≥≥．则2

15<

a 当7=a 时，1,7==c

b ；2,6==

c b ；3,5==c b ；4,4==c b ．

A

C

D

B

H

E

G

F

E

D C B

A O D C

E B

A

F

b

a

当6=a 时，3,6==c b ；4,5==c b ； 当5=a 时，5,5==c b ． 所以满足条件的三角形共有7个．

例3 若直角三角形的两条直角边长为a 、b, 斜边长为c 斜边上的高为h, 则有( ) (A)2

h ab = (B)

h b a 111=+ (C) 2221

11h

b a =+ (D) 2222h b a =+ 答：∵a ＞h ＞0，b ＞h ＞0，∴ ab ＞2h ，22b a +＞2h ＋2h ＝22

h ；可见，（A ）、（D ）

不正确；设斜边为c ，

h b a )(21+＞ab ch 2121=，即有b a 11+＞h

1

，故（B ）也不正确； 由ab h b a 212122=+, 化简整理后，得 2221

11h

b a =+，因些结论（C ）是正确的 思考练习

1、若ABC ∆的三边长是三个不同的整数，周长为11，且有一边长为4，则这个三角形的最大边长为______

5、如图表示一个六边形的钢架ABCDEF

，它的结构是不稳固的，现需要想办法稳固这种结构使之不能活动，可用钢管连接某些对角线，问至少要用____根钢管才能稳固，请在图中画出来．

2、周长为24，各边长互不相等且都是整数的三角形共有_ __个．

3、在ABC ∆中，ACB ABC ∠=∠，A ACB ∠=∠2，

BD 平分B ∠，BD BE =，图中有___个等腰三角形．

4、在ABC ∆中，若︒=∠-∠90B A ，则ABC ∆是( ) (A) 直角三角形 (B) 锐角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 锐角三角形或钝角三角形

6、一个凸n 边形的内角和小于0

1999, 那么, n 的最大值是( ) (A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14

7、一个凸n 边形的内角和超过︒1000，则n 的最小值是( ) (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 10

8、多边形边上或内部的一点与多边形各顶点的连线，将多边形分割成若干个小三角形．图(一)给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形．

图(一)

B C

D

E

A