数字信号处理实验六

实验六

一、实验名称

离散时间滤波器设计 二、实验目的： 1、掌握利用脉冲响应不变法设计IIR 数字滤波器的原理及具体方法。

2、加深理解数字滤波器与连续时间滤波器之间的技术转化。

3、掌握脉冲响应不变法设计IIR 数字滤波器的优缺点及使用范围。

4、掌握利用双线性变换法设计IIR 数字滤波器的原理及具体方法。

5、深入理解利用双线性变换法设计IIR 数字滤波器的优缺点及使用范围。 三、实验原理：

1、脉冲响应不变法变换原理

脉冲响应不变法将模拟滤波器的s 平面变换成数字滤波器的z 平面，从而将模拟滤波器映射成数字滤波器。

IIR 滤波器的系数函数为1

-z （或z ）的有理分式，即

∑∑=-=--=

N k k

k M

k k

k z a z

b z H 1

01)(

一般满足N M ≤。 ⑴转换思路：

)(H )()(h )(h )(z n h nT t s H z a a −−→−=−−−→−−−−−→−变换

时域采样拉普拉斯逆变换

若模拟滤波器的系统函数H （s ）只有单阶极点，且假定分母的阶次大于分子的阶次，表达式：

∑

=--=N

k T s k

z e

TA z H k 111)( ⑵s 平面与z 平面之间的映射关系。

Ω

+==j s re z j σω→=→=→ΩT

j T jw

sT e

e re

e z σT

e r T

Ω==ωσ IIR 数字滤波器设计的重要环节式模拟低通滤波器的设计，典型的模拟低通滤波器有巴特沃兹和切比雪夫等滤波器。由模拟低通滤波器经过相应的复频率转换为H （s ），由H （s ）经过脉冲响应不变法就得到所需要的IIR 数字滤波器H （z ）。

Matlab 信号处理工具箱中提供了IIR 滤波器设计的函数，常用的函数： IIR 滤波器阶数选择

Buttord--巴特沃兹滤波器阶数选择。

Cheb1ord--切比雪夫I 型滤波器阶数选择。 Cheb2ord--切比雪夫II 型滤波器阶数选择。 IIR 滤波器设计

Butter--巴特沃兹滤波器设计。

Cheby1--切比雪夫I型滤波器设计。

Cheby2--切比雪夫II型滤波器设计。

Maxflat--通过的巴特沃兹低通滤波器设计。

2、巴特沃兹滤波器设计

巴特沃兹滤波器式通带、阻带都单调衰减的滤波器。

⑴调用buttord函数确定巴特沃兹滤波器的阶数，格式

[N,Wc]=buttord(Wp,Ws,Ap,As)

其中：Wp，Ws为归一化通带和阻带截止频率;

Ap，As为通带最大和最小衰减，单位为dB;

N为滤波器阶数，Wc为3dB截止频率，对于带通和带阻滤波器，Wc=[W1,W2]为矩阵，W1和W2分别为带通的上下截止频率。

⑵调用butter函数设计巴特沃兹滤波器，格式

[b,a]=butter(N,Wc,options)

其中：options=‘low’，‘high’，‘bandpass’，‘stop’，默认情况下，为低通和带通。

b，a为设计出的IIR数字滤波器的分子多项式和分母多项式的系数。

注意，利用以上两个函数也可以设计出模拟滤波器，格式为

[N,Wc]=buttord(Wp,Ws,Ap,As,'s')

[b,a]=butter(N,Wc,options,'s')

其中：Wp、Ws和Wc均为模拟频率。

⑶切比雪夫I型滤波器设计

切比雪夫I型滤波器为通带波纹控制器：在通带呈现纹波特性，在阻带单调衰减。

[N,Wc]=cheblord(Wp,Ws,Ap,As)

[b,a]=cheby1(N,Wc,options)

其中参数含义和巴特沃兹的相同。

⑷切比雪夫II型滤波器设计

切比雪夫II型滤波器为阻带波纹控制器：在阻带呈现纹波特性，在通带单调衰减。

[N,Wc]=cheb2ord(Wp,Ws,Ap,As)

[b,a]=cheby2(N,Wc,options)

其中参数含义和巴特沃兹的相同。

已知模拟滤波器，可以利用脉冲响应不变法转换函数impinvar将其变换为数字滤波器，调用格式为

[bz,az]=impinvar(b,a,Fs)

其中b，a分别为模拟滤波器系统函数分子、分母多项式系数；Fs为采样频率；bz、az 为数字滤波器系统函数的分子、分母多项式系数。设计时要注意模拟原型低通频率预计，否则衰减不能满足设计要求。

5、双线性变换法变换原理

为克服脉冲响应不变法产生频率响应的混叠失真，可以采用非线性频率压缩方法，使s 平面与z平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，这就是双线性变换法。

⑴转换思路：

−

−→

写出微分方程近似→

差分方程

→

−

(

H

)

H写出

)

(z

s

由于双线性变换中，s到z之间的变换时简单的代数关系，得到数字滤波器的系统函数和频率响应，即

)11(|)()(11111

1--+-=+-==--z z c H s H z H a z z c s a ))2tan((|)()()2tan(ωωω

jc H j H e H c a =Ω==Ω 设模拟系统函数的表达式为

N

N N N N

k k

k

N

k k

k

a s B s B s B B s A s A s A A s B

s

A s H ++++++++==

∑∑==......)(22102100

应用双线性变换得到H （z ）的表达式

N

N N N N

k k

k N

k k

k

z z c

s a z b z b z b z a z a z a a z

b z

a s H z H ------=-=-+-=+++++++==

=∑∑--...1...|

)()(2211221100

0111

1

⑵s 平面与z 平面之间的映射关系

2

222)()(Ω

+-Ω++=−−→−Ω--Ω++=→-+=σσσσω

c c r j c j c re s c s c z j 取模 用不同的方法选择c 可使模拟滤波器频率特性与数字滤波器频率特性在不同频率

处有对应的关系。

i 、采用使模拟滤波器与数字滤波器在低频处有较确切的对应关系，即在低频处有

1Ω≈Ω。当1Ω较小时，c=2/T.

ii 、采用数字滤波器的某一特定频率（例如截止频率T c c 1Ω=ω）与模拟原型滤波器的一个特定频率c Ω严格相对应，则有2

cot

c

c c ωΩ=。

已知模拟滤波器，可以利用双线性变换函数bilinear 将其变换为数字滤波器，调用格式为[bz,az]=bilinear(b,a,Fs)

其中b ，a 分别为模拟滤波器系统函数分子、分母多项式系数；Fs 为采样频率；bz ，az 为数字滤波器系统函数的分子、分母多项式系数。设计是要注意模拟原型低通频率预畸，否则衰减指标不能满足设计要求。

例 3.3用双线性变换设计一个巴特沃斯数字低通滤波器。技术指标为通带截止频率

kHz f p 4=，通带最大衰减dB a p 1=，阻带截止kHz f s 5=，阻带最小衰减dB a s 15=，采

样频率kHz f c 30=，要求图是滤波器的振幅特性，检验s p ωω,对应的衰减指标。 解： clear

wp=8*pi*10^3;ws=10*pi*10^3;ap=1,as=15; fs=30*10^3;

wp1=wp/fs;ws1=ws/fs;

omp1=2*fs*tan(wp1/2);omps=2*fs*tan(ws1/2);