大学物理(4.4.2)--力矩的功刚体定轴转动的动能定理
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需要多长时间； (3) 在这段时间内，转盘的驱动力矩
做了多少功？
解 (1) 如图取面积元 ds = drdl ，该面元所受的摩擦力为
df
mg
πR 2
drdl
此力对点 O 的力矩为
dM rdf
mg
πR 2
rdrdl
用微积分思想和方法
df
dl
o r dr
R
12/15
于是，在宽为 dr 的圆环 上，唱片所受的摩擦力矩为
比 较 ：Ek
1 2
mv 2
1( 2
i
miri2 ) 2
1 2
J 2
4/15
※ 刚体绕定轴转动的动能定理
W
2 Md
1
1 J
1
d
dt
d
2 Jd
1
1 2
J22
1 2
J12
W
2 Md
1
1 2
J
2 2
1 2
J12
—— 刚体绕定轴转动的动能定理
比较： W
F
dr
1 2
mv2 2
1 2
mv12
mv2
1 2
(13
Ml 2 ) 2
1 2
(1 3
Ml 2 ) 2
Mg
l 2
(1 cos)
o
圆锥摆系统
圆 锥
T
动量不守恒 ? 角动量守恒 ?
摆
点 O点
m oR
p v
M 0， L 恒矢量
机械能守恒 ? MLrrpF r mv
点 O点 M 0， L 恒矢量
L Rmv
W 0 外
E
1 2
F
dr
x
说明：所谓力矩的功，实质上还是力的功，并 无任何关于力矩的功的新的定义，只是在刚体 转动中，用力矩和角位移的积来表示功更为方 便而己。
※
力矩的功率 比较 W
PFdddWrt M PddtFMv
当M 与 同方向W， P和
为正
当M 与 反方向W， P和 为负
※ 转动动能 Ek i 12mi vi2
Ml 2
ma2 )
2
mga(1
cos
)
Mg
l 2
(1
cos
)
8/15
求杆的最大摆动角度 φ
L r p r mv
小
o
球
与
杆
al
弹
性 碰
v
mM
撞
守恒定律的条件 过程问题
以弹性球和杆为系统
动量不守恒 ? 角动量守恒 ?
Ek
1 2
J 2
机械能守恒 ?
amv
amv
(
1 3
Ml
2
)
1 2
mv 2
1 2
2 02 2
可得在
的时间内， 转过的角度为：
3 2R 8g
驱动力矩做的功为：
W
Md
M
1 4
mR2 2
同学们再见！
角动量守恒 ?
机械能不守恒 ?
mv (m M )v
mvl (m M )vl
1 2
(m
百度文库
M
)v2
(m
M
) gh
过程问题
求杆的最大摆动角度 φ
L
r
p
r
mv
以子弹和杆为系统
子
o
弹
动量不守恒 ? 角动量守恒 ?
击
al
入
杆
v
mM
Ek
1 2
J 2
机械能不守恒 ?
amv
(ma 2
1 3
Ml
2
)
1 2
(13
dM
mg
πR 2
rdr (2πr )
2mg
R2
r 2dr
用微积分思想和方法
df
dl
o r dr
R
唱片与转盘间总的摩擦力矩为
：
M
2mg
R2
R 0
r 2dr
2 3
Rmg
(2) 由转动定律求 ， ( 唱片 J = m R2/2 )
M J
4g
3R
（作匀加速转动）
由 0 t
求得：
可
t
3R 4g
(3) 由 0到 t
第四讲 力矩作功 刚体定轴转动的动能定理
第四讲 力矩作功 刚体定轴转动的动能定理
力的空间累积效应： 力的功、动能、动能定理．
力矩的空间累积效应： 力矩的功、转动动能、动能定理．
2/15
※dW力矩F作 d功r F cos dr
Ftds Ftrd
dW Md
力矩的功 W 2 Md 1
o
dvrFt
mv 2
C
守恒定律的条件
M, L 是对哪一点 ? 10/15
例题 留声机的转盘绕通过盘心垂直盘面的轴
以角ω速率 作匀速转动。放上唱片后，唱片将在摩
擦力作用下随转盘一起转动。设唱片的半径为 R ，质
量为 m ，它与转盘间的摩擦系数为 ，求： (1) 唱
片与转盘间的摩擦力ω矩； (2) 唱片达到角速度 时
说明 ： 1 、动能定理与质点动力学中讲的动能定理相同 ，只是动能的表示形式不同而己
W Ek2 Ek1
2 、对刚体，内力的功总和在任何过程中都为零。
W内 0
6/15
求沙箱升高的最大高度 h
讨论
子细 弹绳 击质 入量 沙不 箱计
o l
v
mM
守恒定律的条件
L
r
p
r
mv
以子弹和沙箱为系统 动量守恒 ?
做了多少功？
解 (1) 如图取面积元 ds = drdl ，该面元所受的摩擦力为
df
mg
πR 2
drdl
此力对点 O 的力矩为
dM rdf
mg
πR 2
rdrdl
用微积分思想和方法
df
dl
o r dr
R
12/15
于是，在宽为 dr 的圆环 上，唱片所受的摩擦力矩为
比 较 ：Ek
1 2
mv 2
1( 2
i
miri2 ) 2
1 2
J 2
4/15
※ 刚体绕定轴转动的动能定理
W
2 Md
1
1 J
1
d
dt
d
2 Jd
1
1 2
J22
1 2
J12
W
2 Md
1
1 2
J
2 2
1 2
J12
—— 刚体绕定轴转动的动能定理
比较： W
F
dr
1 2
mv2 2
1 2
mv12
mv2
1 2
(13
Ml 2 ) 2
1 2
(1 3
Ml 2 ) 2
Mg
l 2
(1 cos)
o
圆锥摆系统
圆 锥
T
动量不守恒 ? 角动量守恒 ?
摆
点 O点
m oR
p v
M 0， L 恒矢量
机械能守恒 ? MLrrpF r mv
点 O点 M 0， L 恒矢量
L Rmv
W 0 外
E
1 2
F
dr
x
说明：所谓力矩的功，实质上还是力的功，并 无任何关于力矩的功的新的定义，只是在刚体 转动中，用力矩和角位移的积来表示功更为方 便而己。
※
力矩的功率 比较 W
PFdddWrt M PddtFMv
当M 与 同方向W， P和
为正
当M 与 反方向W， P和 为负
※ 转动动能 Ek i 12mi vi2
Ml 2
ma2 )
2
mga(1
cos
)
Mg
l 2
(1
cos
)
8/15
求杆的最大摆动角度 φ
L r p r mv
小
o
球
与
杆
al
弹
性 碰
v
mM
撞
守恒定律的条件 过程问题
以弹性球和杆为系统
动量不守恒 ? 角动量守恒 ?
Ek
1 2
J 2
机械能守恒 ?
amv
amv
(
1 3
Ml
2
)
1 2
mv 2
1 2
2 02 2
可得在
的时间内， 转过的角度为：
3 2R 8g
驱动力矩做的功为：
W
Md
M
1 4
mR2 2
同学们再见！
角动量守恒 ?
机械能不守恒 ?
mv (m M )v
mvl (m M )vl
1 2
(m
百度文库
M
)v2
(m
M
) gh
过程问题
求杆的最大摆动角度 φ
L
r
p
r
mv
以子弹和杆为系统
子
o
弹
动量不守恒 ? 角动量守恒 ?
击
al
入
杆
v
mM
Ek
1 2
J 2
机械能不守恒 ?
amv
(ma 2
1 3
Ml
2
)
1 2
(13
dM
mg
πR 2
rdr (2πr )
2mg
R2
r 2dr
用微积分思想和方法
df
dl
o r dr
R
唱片与转盘间总的摩擦力矩为
：
M
2mg
R2
R 0
r 2dr
2 3
Rmg
(2) 由转动定律求 ， ( 唱片 J = m R2/2 )
M J
4g
3R
（作匀加速转动）
由 0 t
求得：
可
t
3R 4g
(3) 由 0到 t
第四讲 力矩作功 刚体定轴转动的动能定理
第四讲 力矩作功 刚体定轴转动的动能定理
力的空间累积效应： 力的功、动能、动能定理．
力矩的空间累积效应： 力矩的功、转动动能、动能定理．
2/15
※dW力矩F作 d功r F cos dr
Ftds Ftrd
dW Md
力矩的功 W 2 Md 1
o
dvrFt
mv 2
C
守恒定律的条件
M, L 是对哪一点 ? 10/15
例题 留声机的转盘绕通过盘心垂直盘面的轴
以角ω速率 作匀速转动。放上唱片后，唱片将在摩
擦力作用下随转盘一起转动。设唱片的半径为 R ，质
量为 m ，它与转盘间的摩擦系数为 ，求： (1) 唱
片与转盘间的摩擦力ω矩； (2) 唱片达到角速度 时
说明 ： 1 、动能定理与质点动力学中讲的动能定理相同 ，只是动能的表示形式不同而己
W Ek2 Ek1
2 、对刚体，内力的功总和在任何过程中都为零。
W内 0
6/15
求沙箱升高的最大高度 h
讨论
子细 弹绳 击质 入量 沙不 箱计
o l
v
mM
守恒定律的条件
L
r
p
r
mv
以子弹和沙箱为系统 动量守恒 ?