九年级数学专题训练(四)巧用抛物线的对称性解题(含答案)
初中数学抛物线与几何专题训练及答案
全国各地中考试题压轴题精选讲座抛物线与几何问题【知识纵横】抛物线的解析式有下列三种形式：1、一般式：2y ax bx c =++(a ≠0)；2、顶点式：y=a(x —h) 2-＋k ；3、交点式：y=a(x —x 1)(x —x 2 ) ，这里x 1、x 2 是方程ax 2 +bx+c=0的两个实根。
解函数与几何的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互动，把证明与计算相结合是解题的关键。
【典型例题】【例1】 (浙江杭州) 在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）。
平移二 次函数2tx y -=的图象，得到的抛物线F 满足两个条件：①顶点为Q ；②与x 轴相交于B ，C 两点（∣OB ∣<∣OC ∣），连结A ，B 。
（1）是否存在这样的抛物线F ，OC OB OA ⋅=2？请你作出判断，并说明理由；（2）如果AQ ∥BC ，且tan ∠ABO=23，求抛物线F 对应的二次函数的解析式。
【思路点拨】（1）由关系式OC OB OA ⋅=2来构建关于t 、b 的方程；(2)讨论t 的取值范围，来求抛物线F 对应的二次函数的解析式。
【例2】(江苏常州)如图,抛物线24y x x =+与x 轴分别相交于点B 、O,它的顶点为A,连接AB,把AB 所的直线沿y 轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P 是直线l 上一动点.（1）求点A 的坐标;（2）以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形中,有菱形、等 腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P 的坐标;（3）设以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形的面积为S, 点P 的横坐标为x,当46S +≤≤+,求x 的取值范围.【思路点拨】（3）可求得直线l 的函数关系式是y=-2x ，所以应讨论①当点P 在第二象限时，x<0、 ②当点P 在第四象限是，x>0这二种情况。
巧用抛物线的对称性解题
巧用抛物线的对称性解题抛物线y=ax 2+bx+c 是轴对称图形，对称轴是x=-ab 2，抛物线有下面对称性质： 1、抛物线上关于对称轴对称的两点的纵坐标相等；反过来，抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称；特别地，如果抛物线交x 轴两点，那么这两点是对称点；2、抛物线上有对称的两点，它们的横坐标分别是21,x x ，那么抛物线的对称轴的直线方程是x=221x x +=-a b2；一、选择题1、已知抛物线2(1)(0)y a x h a =-+≠与x 轴交于1(0)(30)A x B ，，，两点，则线段AB 的长度为（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 2、抛物线c bx x y ++-=2的部分图象如图所示，若0>y ，则的取 值范围是（ ）A.14<<-xB. 13<<-xC. 4-<x 或1>xD.3-<x 或1>x 3、函数y=x 2-x+m(m 为常数)的图象如图，如果x=a 时，y ＜0；那么x=a-1时，函数值（ ）A ．y ＜0B ．0＜y ＜mC ．y ＞mD ．y=m4、若二次函数2y ax c =+，当x 取1x 、2x （12x x ≠）时，函数值相等，则当x取12x x + 时，函数值为（ ）Ａ．a c + Ｂ．a c - Ｃ．c - Ｄ．c5、已知关于x 的方程32=++c bx ax 的一个根为1x =2，且二次函数c bx ax y ++=2 的对称轴直线是x=2，则抛物线的顶点坐标是（ ）A ．(2，－3 )B ．(2，1)C ．(2，3)D ．(3，2)6、小明从右边的二次函数2y ax bx c =++图象中，观察得出了下面的五条信息：①0a <，②0c =，③函数的最小值为3-，④当0x <时，0y >，⑤当1202x x <<<时，12y y >．你认为其中正确 的个数为（ ）Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5 y–1 1 3O x7、小颖在二次函数y=2x 2+4x+5的图象上，依横坐标找到三点(－1，y 1)，(21，y 2)，(－321，y 3)，则你认为y 1，y 2，y 3的大小关系应为（ ） A.y 1>y 2>y 3 B.y 2>y 3>y 1 C.y 3>y 1>y 2 D.y 3>y 2>y 18、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个9、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（ ） A.-1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.310、已知二次函数682-+-=x x y ,设自变量x 分别为321,,x x x ，且3214x x x <<<，则对应的函数值321,,y y y 的大小关系是（ ）A. 321y y y <<B. 132y y y <<C. 123y y y <<D. 231y y y <<11、如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，0），则c b a +-的值为A. 0B. －1C. 1D. 2二、填空题1、已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A(-2，7)，B(6，7)，C(3，-8)，则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是_________·2、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，其中a b c ，，满足0a b c ++=和930a b c -+=，则该二次函数图象的对称轴是直线 ．3、二次函数2y ax bx c =++（0a ≠，a 、b 、c 是常数）中，自变量x 与函数y 的对应请你观察表中数据，并从不同角度描述该函数图象的特征是： 、 、 ．（写出3条即可）x … 0 12 32 52 … y … 1 74 74 14- …y –1 3 3 O x P 14、一元二次方程20ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，且214x x +=，点(38)A -，在抛物线y=ax 2+bx+c 上，则点A 关于抛物线的对称轴对称的点的坐标为 ．5、抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是x=2，且过点（3,0），则a+b+c=6、y=a 2x +5与X 轴两交点分别为（x 1 ,0），（x 2 ,0） 则当x=x 1 +x 2时，y 值为____7、请你写出一个b 的值，使得函数22y x bx =+在第一象限内y 的值随着x 的值增大而增大，则b 可以是 ．8、一个关于x 的函数同时满足如下三个条件①x 为任何实数，函数值y ≤2都能成立；②当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大；③当x ＞1时，函数值y 随x 的增大而减小；符合条件的函数的解析式可以是 。
人教版数学九年级巧用二次函数的对称性解题
人教版数学九年级巧用二次函数的对称性解题一 依托函数的解析式，利用函数的对称性探求抛物线与x 轴的另一个交点 例1 抛物线 y=2x -4x+2m与x 轴的一个交点的坐标为（l,0), 则此抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是 .思路点拨： 解答时同学们要储备好如下的知识： （1）找准抛物线的对称轴：直线x=-ab 2； （2）明确抛物线y=a 2x +bx+c （a ≠0）与x 轴交点的横坐标与抛物线对称轴的关系： 设抛物线y=a 2x +bx+c （a ≠0）与x 轴交点的坐标分别是（1x ，0），（2x ，0），且2x 在原点的右侧，根据对称性知道：-a b 2-1x =2x -（-a b 2），所以221x x +=-ab2．解：因为抛物线 y=2x -4x+2m 的对称轴是：直线x=-a b 2=-24-=2；设抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是（2x ，0），所以212x +=2，解得2x =3， 所以抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是（3,0）．二 依托函数的图像，利用函数的对称性探求抛物线与x 轴的另一个交点例 2 抛物线y=a 2x +bx+c （a ≠0）的图像如图1所示，则抛物线的对称轴是直线_____________，抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是 .思路点拨： 仔细观察函数的图像，从中找出解题所需要的关键，有价值的信息是解题的核心．解：仔细观察图像，知道函数的对称轴是：直线x=1，抛物线与x 轴的一个交点的横坐标 为3，设抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是（2x ，0），所以232x +=1，解得2x =-1， 所以抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是（-1,0）．三 依托表格，利用函数的对称性探求抛物线与x 轴的另一个交点例3 抛物线y=-2x +bx+c 上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：根据上表信息，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 .思路点拨：仔细看准图表，从表格中落实好如下两个知识点：（1）函数值为0的x值就是抛物线与x轴的一个交点的横坐标；（2）函数值相等的两个点就是抛物线上的一对对称点，其横坐标和的一半就是抛物线的对称轴．解：从表格中知道抛物线与x轴的一个交点为（-2，0），点（0,6）和（1,6）时抛物线上的一对对称点，所以抛物线的对称轴是直线x=210+=21．设抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（2x，0），所以222x+-=21，解得2x=3，所以抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3,0）．四依托图像，根据对称轴探求不等式的解集例4 如图2，是二次函数y=a2x+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x 轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式a2x+bx+c＜0的解集是 .思路点拨：要想确定不等式a2x+bx+c＜0的解集，同学们需要根据图像所揭示的信息，把握好如下几点：（1）根据抛物线的开口方向，确定符合条件的不等式的解集的大致范围；（2）根据图像揭示的信息，确定出抛物线与x轴的交点的坐标；（3）利用交点坐标的横坐标来描述不等式的解集．解：因为抛物线的开口向上，所以满足a2x+bx+c＜0的大致范围应该是在抛物线与x轴的交点横坐标之间．因为抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴一交点为A（3，0），设抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（2x，0），所以232x+=1，解得2x=-1，所以抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（-1,0）．所以不等式a2x+bx+c＜0的解集是－1＜x＜3．x …-2 -1 0 1 2 …y …0 4 6 6 4 …五 依托图像，根据对称轴探求点的坐标例5如图3，已知抛物线c bx x y ++=2的对称轴为2=x ，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为（0，3），则点B 的坐标为（ ）A ．（2，3）B ．（3，2）C ．（3，3）D ．（4，3）思路点拨： 解答时同学们要储备好如下的知识： （1）找准抛物线的对称轴：直线x=-ab2； （2）明确抛物线y=a 2x +bx+c （a ≠0）与x 轴交点的横坐标与抛物线对称轴的关系： 设抛物线y=a 2x +bx+c （a ≠0）与x 轴交点的坐标分别是（1x ，0），（2x ，0），且2x 在原点的右侧，根据对称性知道：-a b 2-1x =2x -（-a b 2），所以221x x +=-ab2．解：因为抛物线c bx x y ++=2的对称轴为2=x ，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，所以点A 与点B 是一对对称点，因为点A 的坐标为（0，3），所以点B 的 纵坐标与点A 的纵坐标相同，横坐标关于对称轴对称，设点B 坐标为（1x ，3）， 所以所以201x +=2，解得1x =4，所以点B 的坐标为（4,3）．因此我们应该选D ． 六 依托函数的表达式，根据函数的对称性，比较纵坐标的大小例6 已知抛物线y=a 2x +bx+c （a ＜0）过A （-2，0）、O （0，0）、 B （-3，1y ）、C （3，2y ）四点，则1y 与2y 的大小关系是（ ） A ．1y ＞2yB ．1y =2yC ．1y ＜2yD ．不能确定思路点拨： 解答时同学们要储备好如下的知识： （1）准确定位抛物线的开口方向； （2）找准抛物线的对称轴：直线x=-ab 2； （3）选准所要用的性质：当a ＞0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a ＜0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小．（4）当所要比较大小的两个点，不在对称轴的同侧时，要充分利用构造对称点的方法，将异侧点转化成同侧点，后用性质完成问题的解答．解：因为抛物线y=a 2x +bx+c 的二次项系数a ＜0，所以抛物线的开口向下；因为抛物线经过A （-2，0）、O （0，0），所以抛物线的对称轴为2)2(0-+=-1；所以B （-3，1y ）、C （3，2y ）在对称轴的异侧．设点B 关于对称轴的对称点M 坐标为（1x ，1y ），则2)3(1-+x =-1，解得1x =1，所以点B 关于对称轴的对称点M 坐标为（1，1y ）．这样点M 与点C 就都在对称轴的右侧，且1＜3，根据当a ＜0时，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，得到：1y ＞2y ，因此我们应该选A ．七 依托函数的图像，根据函数的对称性，确定表达式中待定字母的值例7 .如图4所示，设a 、b 是常数，且b ＞0，抛物线y=a 2x +bx+2a -5a-6为下图中四个图象之一，则a 的值为（ ）A. 6或－1B. －6或1C. 6D. －1 思路点拨：正确看懂函数的图像是解题的关键．仔细观察第一个和第二个函数的图像，知道图像是关于y 轴对称的，因此b=0，这与已知的条件b ＞0是矛盾的，所以函数的图像不可能是第一个和第二个；在第三个图像中展示出来的信息主要是：抛物线的开口向上，所以a ＞0；对称轴位于x 轴的正半轴上，所以-ab2＞0，所以b ＜0，这与已知的条件b ＞0是矛盾的，所以函数的图像不可能是第三个．综上所述，知道函数的图像一定是第四个，而第四个函数图像所展示的信息是：抛物线的开口向下，所以a ＜0；对称轴位于x 轴的正半轴上，所以-ab2＞0，所以b ＞0；图像经过原点，所以2a -5a-6=0，解得a=6或a=-1，又a ＜0，所以a=-1． 解：选D ．八 依托函数的图像和平行四边形，根据函数的对称性，确定表达式中待定字母的值例8 如图5所示，二次函数y=a 2x 上的点B ，C 与x 轴上的点A （-5,0），D(3,0)构成平行四边形ABCD ，BC 与y 轴交于点E （0,6），则实数a= ．思路点拨：在解答时，基本思路是：（1）根据点的坐标确定出平行四边形的边长 因为A （-5,0），D(3,0)，所以DA=3-(-5)=8. (2)根据平行四边形的性质确定出BC 的长因为四边形ABCD 是平行四边形，所以BC=AD=8． （3）根据函数的对称性确定出点B ，点C 的横坐标因为二次函数y=a 2x 的图像关于y 轴对称，点B ，C 在二次函数y=a 2x 上， 所以点B ，点C 关于y 轴对称，所以点B 的横坐标为-4，点C 的横坐标为4. (4)根据平行线的性质确定点B ，点C 的纵坐标 因为BC ∥AB ，且点E （0,6），所以点B ，点C 的纵坐标都是6． （5）确定点的坐标，代入解析式定字母的值 所以点C 的坐标是（4，6），所以16a=6，所以a=83． 解：应该填83．。
抛物线的性质及综合应用的练习题及答案
抛物线的性质及综合应用1、已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆422=+y x 相交的公共弦长为32，求这条抛物线的方程。
2、已知B A 、是抛物线()022>=p px y 上的两点，O 为坐标原点，若AOB OB OA ∆=,的垂心恰为抛物线的焦点F ，则直线AB 的方程是 。
3、给定x y 22=，设()()P a a A ,00,>是抛物线上一点且d PA =，试求d 的最小值。
4、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线()022>=p px y 上，求正三角形的边长。
5、直角三角线的直角顶点在坐标原点，另外两个顶点在抛物线()022>=p px y 上，且一直角边的方程是x y 2=，斜边长是35，求此抛物线方程。
6、已知过抛物线x y 42=的焦点F 的弦长为36，求弦所在的直线方程。
7、已知抛物线()022>=p px y 的一条过焦点F 的弦AB 被焦点F 分成长度为n m ,两部分。
求证：nm 11+为定值。
8、抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为︒135的直线，被抛物线截得的弦长为8，试求抛物线的方程。
9、设抛物线()022>=p px y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于B A 、两点，点C 在抛物线的准线上，且x BC //轴，求证：C O A 、、三点共线。
10、若抛物线2x y =上存在关于直线()3-=x m y对称的两点，求实数m 的取值范围。
11、已知抛物线2xy =，过点()1,2Q 作一条直线交抛物线于B A 、两点，试求弦AB 的中点方程。
12、如图，过抛物线x y =2上一点()2,4A 作倾斜角互补的 两条直线AC AB 、交抛物线于C B 、两点， 求证：BC 的斜率为定值。
13、已知抛物线py x 22=的焦点为F ，点()()()333222111,,,y x P y x P y x P 、、在抛物线上，且3122y y y +=，则有( ) ;;232221321FP FP FP B FP FP FP A =+=+、、 ;;22231231FP FP FP D FP FP FP C ==+、、14、与直线042=+-y x 平行的抛物线2x y =的切线方程为 。
人教版数学九年级上学期课时练习- 抛物线的对称性(巩固篇)(人教版)
专题22.23 抛物线的对称性（巩固篇）（专项练习）一、单选题【类型一】已知抛物线上对称两点求对称轴1．抛物线2(0)y ax bx c a =++> 经过（-2，m ），（1，m ）两点，若点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），也在抛物线上，且满足12x x <，121x x +<-，则1y ，2y 的大小关系为（ ）A ．12y y >B ．12y y <C ．12y y =D ．无法确定2．已知抛物线y ＝﹣2x 2+bx +c 与x 轴只有一个交点，且过点A （m ﹣4，n ），B （m +2，n ），则n 的值为（ ）A ．﹣18B ．﹣16C ．﹣12D ．183．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴的交点为A （1，0）和B （3，0），点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）是抛物线上不同于A ，B 的两个点，记△P 1AB 的面积为S 1，△P 2AB 的面积为S 2，有下列结论：△当x 1＞x 2+2时，S 1＞S 2；△当x 1＜2﹣x 2时，S 1＜S 2；△当|x 1﹣2|＞|x 2﹣2|＞1时，S 1＞S 2；△当|x 1﹣2|＞|x 2+2|＞1时，S 1＜S 2．其中正确结论的序号是（ ）A ．△△B ．△△C ．△△△△D ．△4．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数且a ≠0）经过P 1（1，y 1），P 2（2，y 2），P 3（3，y 3），P 4（4，y 4）四点．若y 1＜y 2＜y 3，则下列说法中正确的是（ ）A ．若y 4＞y 3，则a ＞0B ．对称轴不可能是直线x ＝2.7C ．y 1＜y 4D ．3a +b ＜05．已知点()11,A x y 、()22,B x y 在二次函数2y x bx c =++的图象上，当11x =，23x =时，12y y =．若对于任意实数1x 、2x 都有122y y +≥，则c 的范围是（ ）．A ．5c ≥B ．6c ≥C ．5c <或6c >D ．56c <<6．抛物线2y x bx c =-++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表所示：从上表可知，下列说法中，错误的是（ ） A ．抛物线与x 轴的一个交点坐标为（﹣2，0）B ．抛物线与y 轴的交点坐标为（0，6）C ．抛物线的对称轴是直线x ＝0D ．抛物线在对称轴左侧部分y 随x 的增大而增大．【类型二】根据二次函数对称性求函数值7．若点A （1，y 1），B （2，y 2），C （m ，y 3）在抛物线y =()21a x c ++（a ≠0）上，且y 1＜y 2＜y 3，则m 的值不可能是（ ）A ．5B ．3C ．－3D ．－58．若抛物线2y ax =经过点()4P ，则该抛物线一定还经过点（ ） A．(4,B．)4C．(-D．()4-9．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，对称轴为12x =，且经过点（2，0）．下列说法：△abc ＜0，△a ﹣b ＝0，△4a +2b +c ＜0，△若（﹣2，y 1）25(,)2y 是抛物线上的两点，则y 1＜y 2，其中说法正确的是（ ）A ．△△B ．△△C ．△△△D ．△△10．抛物线y ＝ax 2+bx +c 过点（x 1，t ）和（x 2，t ），若点1215(,)4x x t y -+和2125(,)4x xt y --均在抛物线上，关于y 1，y 2的关系描述正确的是（ ）A ．y 1＞y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1＜y 2D ．y 1，y 2的大小无法确定11．如图，抛物线y = a 1x 2与抛物线y =a 2x 2 +bx 的交点P 在第三象限，过点P 作x 轴的平行线，与两条抛物线分别交于点M 、N ，若23PM PN =，则12a a 的值是（ ）A ．3B ．2C ．23D ．1212．二次函数22y x x c =-+的图象经过()13,A y -，()21,B y -，()32,C y ，()44,D y 四个点，下列说法一定正确的是（ ）A ．若10y >，则230y y <B ．若20y >，则140y y <C ．若30y <，则120y y >D ．若40y <，则230y y >二、填空题【类型一】已知抛物线上对称两点求对称轴13．若抛物线2y x bx c ++＝与x 轴只有一个交点，且过点(),A m n ，()4,B m n -，则n 的值为_______．14．已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的顶点在x 轴上，点A （m ﹣1，n ）和点B （m ＋3，n ）均在二次函数图象上，求n 的值为____．15．二次函数2y ax bx c =++(a 、b 、c 实常数，且a ≠0)的函数值y 与自变量x 的部分对应值如下表：且当32x =时，对应的函数值y ＜0．有以下结论：△abc ＞0；△m +n ＜203-；△关于x 的方程20ax bx c ++=的负实数根在12-和0之间；△P 1(t -1，y 1)和P 2(t +1，y 2)在该二次函数的图象上，则当实数t ＞13时，y 1＞y 2．其中正确的结论是___________．16．若函数图像2y x bx c =++与x 轴的两个交点坐标为()1,0-和()3,0，则b =__________． 17．抛物线2y x bx c =-++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：从上表可知，抛物线与x 轴的另一个交点坐标为__________．18．根据下列表格中二次函数2y ax bx c =++的自变量与函数值的对应值，求出代数式()a b c ++⎝⎭的值为________．【类型二】根据二次函数对称性求函数值19．已知点P (x 1，y 1)和Q (3，y 2)在二次函数y =(x +k )(x −k −2)的图象上，其中k ≠0．若y 1>y 2，则x 1的取值范围为______．20．已知点A （-1，y 1），B （2 ，y 2），C （5，y 3）在二次函数y ＝x 2﹣6x +c 的图象上，则y 1， y 2， y 3的大小关系是_____________ （按照从小到大用＜连接）．21．二次函数y =ax 2-2ax +c （ a <0）的图象过()13,A y -，()21,B y -，()32,C y ，()44,D y 四个点．（1） y 3=________（用关于 a 或 c 的代数式表示）；（2）若 42 y y ⋅ <0时，则 31y y ⋅________0．（填“＞”、“＜”或“＝”）22．已知抛物线223y ax x =-+经过点()2,3A ．若点(),B m n 在该抛物线上，且23m -<<，则n 的取值范围为______．23．李玲用“描点法”画二次函数2y a bx c =++的图象时，列了如下表格，根据表格上的信息回答问题：该二次函数2y a bx c =++当3x =时，y =________．24．如图，抛物线243y ax ax =-+与x 轴交于点A ，B （点A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ．点(,1)D m 在线段CB 上，点E 与点D 关于抛物线对称轴对称，连结CE 并延长交x 轴于点F ．若49AF BF =，则点B 的横坐标为_______．三、解答题25．二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，0a ≠）的自变量x 和函数值y 部分对应值如下表：根据以上列表，回答下列问题： (1)直接写出c 、m 的值； (2)求此二次函数的解析式．26．如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()1,0A -、B 两点，与y 轴交于点()0,3C -，顶点为D ．(1)求该抛物线的解析式和顶点D 的坐标；(2)在第四象限内抛物线上存在一点M ，使MAB CAB S S =△△，请求出点M 的坐标；(3)点N 在该抛物线上且到对称轴的距离为3个单位，点P 为点M ，N 之间（含点M 、N ）抛物线上的一个动点．求点P 纵坐标P y 的取值范围．27．如图，在直角坐标系中，以A 为顶点的抛物线243y ax ax =-+（a 是常数，0a >）交y 轴于点B ，BC x ∥轴交抛物线于另一点C ．(1)求该抛物线的对称轴及点C 的坐标．(2)直线1y kx =-（k 是常数，0k >）经过A ，C 两点，求a ，k 的值．28．设二次函数215(y nx mx n m =++-，n 为常数，0)n ≠且23m n +=． (1)若该二次函数的图象过点(2,4)，求二次函数的表达式；(2)函数1y 的图象始终过一个定点，若一次函数2(y kx m k =+为常数，0)k ≠的图象也经过这个定点，求k ，n 的关系式；(3)已知点0(P x ，)a 与(1,)Q b 都在函数1y 的图象上，若01x <，且a b >，求0x 的取值范围（用含n 的代数式表示）．参考答案1．A 【分析】根据二次函数的对称轴122b xa 求出a =b ，计算12y y -即可判断； 解：△抛物线经过（-2，m ），（1，m ），可知对称轴为：122b xa，即a =b ， 2111y ax bx c =++，2222y ax bx c =++，()()()()2212121212121y y a x x a x x a x x x x -=-+-=-++⎡⎤⎣⎦，△12x x <，△120x x -<， △121x x +<-，△1210x x ++<， △0a >，△()()121210a x x x x -++>⎡⎤⎣⎦， △120y y ->，即12y y >， 故选： A ．【点拨】本题考查了二次函数的性质，利用对称性求出对称轴从而得出a ，b 关系是解题关键． 2．A 【分析】先求出抛物线对称轴为直线1x m =-，再根据抛物线与x 轴只有一个交点，得到抛物线的顶点坐标为（m -1，0），则抛物线解析式为()221y x m =--+，把A （m -4，n ），代入抛物线解析式得，()224118n m m =---+=-．解：△抛物线过点A （m -4，n ），B （m +2，n ），△抛物线对称轴为直线4212m m x m -++==-△抛物线与x 轴只有一个交点， △抛物线的顶点坐标为（m -1,0）， △抛物线解析式为()221y x m =--+，把A （m -4，n ），代入抛物线解析式得，()224118n m m =---+=-， 故选A ．【点拨】本题考查二次函数的对称性以及二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的顶点式，关键在于熟悉性质，灵活运用．3．D【分析】根据抛物线的性质求得对称轴，进而根据纵坐标的绝对值的大小比较面积即可． 解：△抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点为A （1，0）和B （3，0），△该抛物线对称轴为直线x ＝2，当x 1＞x 2＋2时与当x 1＜2−x 2时无法确定P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）在抛物线上的对应位置，故△和△都不正确；当|x 1−2|＞|x 2−2|＞1时，P 1（x 1，y 1）比P 2（x 2，y 2）离对称轴更远，且同在x 轴上方或者下方，△|y 1|＞|y 2|，△S 1＞S 2，故△正确；当|x 1−2|＞|x 2＋2|＞1时，即在x 轴上x 1到2的距离比x 2到−2的距离大，且都大于1， 可知在x 轴上x 1到2的距离大于1，x 2到−2的距离大于1，但x 2到2的距离不能确定， 所以无法比较P 1（x 1，y 1）比P 2（x 2，y 2）谁离对称轴更远，故无法比较面积，故△错误； 故选：D ．【点拨】本题考查抛物线与x 轴的交点，二次函数图象上的点的特征等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题．4．C 【分析】根据题意判定抛物线开口方向，对称轴的位置，然后根据点到对称轴的距离的大小即可判断． 解：A 、当0a <时，抛物线开口向下，当2bx a<-时，y 随x 增大而增大， 若0a <，42ba<-时，43y y >， ∴选项错误，不符合题意；B 、当对称轴为直线 2.7x =时，3 2.7 2.724 2.7 2.71-<-<-<-， 若0a >则32<y y ，不符题意， 若0a <则3241y y y y >>>，符合题意，∴选项错误，不符合题意；C 、若0a >，当抛物线对称轴为直线121.52x +==时，123y y y =<， ∴对称轴直线 1.5x h =<时满足题意，此时4 1.5 1.51->-，41y y ∴>，若0a <，当抛物线对称轴为直线232.52x h +===时，3241y y y y =>=， 当 2.5h >时41y y >，∴选项正确，符合题意；D 、12y y <，42a b c a b c ∴++<++，30a b ∴+>，∴选项错误，不符合题意．故选：C ．【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题的关键是判定对称轴的位置．5．A 【分析】先根据二次函数的对称性求出b 的值，再根据对于任意实数x 1、x 2都有y 1+y 2≥2，则二次函数y =x 2-4x +n 的最小值大于或等于1即可求解．解：△当x 1=1、x 2=3时，y 1=y 2，△点A 与点B 为抛物线上的对称点， △1322b +-=， △b =-4；△对于任意实数x 1、x 2都有y 1+y 2≥2， △二次函数y =x 2-4x +n 的最小值大于或等于1， 即241(4)141c ⨯⨯--≥⨯， △c ≥5． 故选：A ．【点拨】本题考察了二次函数的图象和性质，对于二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0），其对称轴是直线：2b x a =-，顶点纵坐标是244ac b a -，抛物线上两个不同点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，若有y 1=y 2，则P 1，P 2两点是关于抛物线对称轴对称的点，且这时抛物线的对称轴是直线：122x x x +=． 6．C 【分析】根据表格中信息，可得点(2,0)-，(0,6)在抛物线上，从而得到A 、B 正确；又有当1x =- 时，4y = ，当2x = 时，4y =，可得抛物线的对称轴为12x =，故C 错误；根据10-< ，得到抛物线开口向下，可判断D 正确；即可求解．解：根据表格中信息，得：当2x =- 时，0y = ，当0x =时 ，6y = ， △点(2,0)-，(0,6)在抛物线上，故A 、B 正确； 根据表格中信息，得： 当1x =- 时，4y = ， 当2x = 时，4y =， △抛物线的对称轴为12122x -+== ，故C 错误； △10a =-< ， △抛物线开口向下，△在对称轴左侧y 随x 的增大而增大，故D 正确； 故选：C ．【点拨】此题主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标与自变量和的函数值的对应关系，也考查了利用自变量和对应的函数值确定抛物线的对称轴和增减性，熟练掌握相关知识点是解题的关键．7．C 【分析】根据二次函数的解析式可得出二次函数的对称轴为x =-1，分两种情况讨论，根据图象上点的坐标特征，得到关于m 的不等式，解不等式即可得出结论．解：抛物线y =()21a x c ++的对称轴为x =-1，△点A （1，y 1），B （2，y 2），C （m ，y 3）在抛物线y =()21a x c ++上，且y 1＜y 2＜y 3， △当a ＜0，在对称轴的右侧y 随x 的增大而减小，点A 、B 都在对称轴右侧，而y 1＜y 2，所以这种情况不存在；当a ＞0，则|m +1|>(2+1)=3，解得m ＜-4或m >2，m 的值不可能是-3． 故选：C ．【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据二次函数的性质找出关于m 的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数的性质结合二次函数的对称轴找出不等式是关键．8．B 【分析】根据二次函数图象的对称性解答．解：由抛物线2y ax =可知抛物线的对称轴为y 轴，△抛物线2y ax =经过()4，△点()4关于y 轴的对称点)4也在抛物线上，△它也经过点)4．故选：B ．【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟记二次函数的对称性是解题的关键． 9．A 【分析】△根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y 轴交点位置求得a 、b 、c 的符号； △根据对称轴求出b =-a ；△把x =2代入函数关系式，结合图象判断函数值与0的大小关系；△求出点（-2，y 1）关于直线x =12的对称点的坐标，根据对称轴即可判断y 1和y 2的大小．解：△△二次函数的图象开口向下，△a ＜0，△二次函数的图象交y 轴的正半轴于一点， △c ＞0，△对称轴是直线x =12，△-2b a =12，△b =-a ＞0，△abc ＜0．故△正确； △△由△中知b =-a ， △a +b =0，故△错误；△把x =2代入y =ax 2+bx +c 得：y =4a +2b +c ， △抛物线经过点（2，0），△当x =2时，y =0，即4a +2b +c =0．故△错误；△△（-2，y 1）关于直线x =12的对称点的坐标是（3，y 1），又△当x ＞12时，y 随x 的增大而减小，52＜3，△y 1＜y 2．故△正确；综上所述，正确的结论是△△． 故选：A ．【点拨】本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，注意：当a ＞0时，二次函数的图象开口向上，当a ＜0时，二次函数的图象开口向下．10．B 【分析】先求解抛物线的对称轴，再求解点1215(,)4x x t y -+和2125(,)4x x t y --到抛物线的对称轴的距离，从而可得答案.解： 抛物线y ＝ax 2+bx +c 过点（x 1，t ）和（x 2，t ），∴ 抛物线的对称轴为：12,2x x x +=121212533424x x x x x x t t -+-∴+-=+，2112211212533333342444x x x x x x x x x x t t t t -+---⎛⎫--=-=-+=+ ⎪⎝⎭， ∴点1215(,)4x x t y -+和2125(,)4x x t y --到抛物线的对称轴的距离相等， 12,y y ∴=故A ，C ，D 不符合题意，B 符合题意； 故选B【点拨】本题考查的是抛物线的图象与性质，熟练的利用抛物线的对称性比较函数值的大小是解本题的关键.11．B 【分析】设(),P m n ，则由抛物线的对称性可知(),M m n -，2,b N m n a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，从而可得2PM m =-，22b PN m a =--，再由23PM PN =即可得到2b m a =，再根据2212a m a m bm =+即可得到2112a a =． 解：设(),P m n ，△由抛物线的对称性可知(),M m n -，2,b N m n a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，△2PM m =-，22bPN m a =--， △23PM PN =， △22232mbm a -=--即2b m a =，又△2212a m a m bm =+，△2221222222a b a b b a a a =+， △12222a a a =即221220a a a -=， △2112a a =或20a =（舍去）， △122a a =， 故选B ．【点拨】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数上点的坐标特征，解题的关键在于能够求出2b m a =． 12．D 【分析】根据二次函数的对称性判断即可； 解：由题可知二次函数对称轴12bx a=-=， △0a >，△函数图像开口向上，△当1x <时，y 随x 的增大而减小，当1x >时，y 随x 的增大而增大， △12y y >，34y y <，根据二次函数图象的对称性可知：1423y y y y >>>， △当10y >时，不能确定23y y 的大小，故A 不符合题意； 当20y >时，140y y >，故B 错误；当30y <时，不能确定12y y 的大小，故C 不符合题意； 当40y <时， 230y y >，故D 正确； 故选D ．【点拨】本题主要考查了二次函数的图象性质，准确分析判断是解题的关键． 13．4 【分析】根据A 、B 的坐标易得抛物线的对称轴，再通过设顶点式，代入坐标，可得n 的值． 解：2y x bx c ++＝过点(),A m n ，()4,B m n -422m m x m +-∴==-是抛物线的对称轴． 抛物线2y x bx c ++＝与x 轴只有一个交点．∴顶点坐标为：()2,0m -∴设抛物线的解析式为：()22y x m =-+把(),A m n 代入，得：()22n m m=-+解得：4n=．故答案为：4．【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线的解析式，解决问题的关键在于找到顶点坐标，根据顶点坐标设解析式．14．4【分析】由A、B坐标可得对称轴1322b m m-++-=，由顶点在x轴上可得244c b-=，求得b＝﹣2（m+1），c＝（m+1）2，即可得出y＝x2﹣2（m+1）x+（m+1）2，把A的坐标代入即可求得n的值．解：△点A（m﹣1，n）和点B（m+3，n）均在二次函数y＝x2+bx+c图象上，△13 22b m m-++-=，△b＝﹣2（m+1），△二次函数y＝x2+bx+c的顶点在x轴上，△244c b-=，△b2﹣4c＝0，△[﹣2（m+1）]2﹣4c＝0，△c＝（m+1）2，△y＝x2﹣2（m+1）x+（m+1）2，把A的坐标代入得，n＝（m﹣1）2﹣2（m+1）（m﹣1）+（m+1）2＝4，故答案为：4．【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标，表示出b、c的值是解题的关键．15．△△【分析】△将点(0，2)与点(1，2)代入解析式可得到a、b互为相反数，c=2，即可判断；△将x=-1与x=2代入解析式得到m和n的表达式，再结合32x=时，对应的函数值y<0，即可表示出m+n的取值范围；△根据点(1，2)与当32x=时，对应的函数值y<0可知方程20ax bx c++=的正实数根在1和2之间，结合抛物线的对称性即可求出方程20ax bx c++=的负实数根的取值范围；△分类讨论，当P1在抛物线的右侧时，P1的横坐标恒大于等于对称轴对应的x的值时必有y1＞y2，求出对应的t即可；当P1与P2在抛物线的异侧时，根据抛物线的性质当P1的横坐标到对称轴的距离小于P2到对称轴的距离时满足y1＞y2，求出对应的t即可．解：△将点(0，2)与点(1，2)代入解析式得：22ca b c=⎧⎨=++⎩，△a b=-，△abc<0，故△错误；△由△得二次函数解析式为22y ax ax=-+将点(-1，m)与点(2，n)分别代入解析式得：2422 m a an a a=++⎧⎨=-+⎩△m=n=2a+2，△m+n=4a+4．△当32x=时，对应的函数值y<0，△2332220a a⎛⎫⨯ ⎪-+⎭<⎝，解得：83a<-，△203m n+<-，故△正确；△△函数过点(1，2)且当32x=时，对应的函数值y<0，△方程20ax bx c++=的正实数根在1和32之间，△抛物线过点(0，2)与点(1，2)，△结合抛物线的对称性可得抛物线的对称轴为直线12x=，△结合抛物线的对称性可得关于x的方程20ax bx c++=的负实数根在12-和0之间，故△正确；△△函数过点(1，2)且当32x=时，对应的函数值y<0，△可以判断抛物线开口向下，当P 1在抛物线的右侧时，P 2恒在抛物线的右侧，此时12y y >恒成立， △P 1的横坐标大于等于对称轴对应的x ，即t −1≥12， 解得：t ≥32即t ≥32时，12y y >；当P 1与P 2在抛物线的异侧时，根据抛物线的性质当P 1的横坐标到对称轴的距离小于P 2到对称轴的距离时满足12y y >，即当11211211(1)122t t t t ⎧-<⎪⎪⎪+>⎨⎪⎪--<+-⎪⎩时，满足12y y >，△解得1322<<t ，即1322<<t 时，12y y >． △综上当12t >时，12y y >，故△错误． 故答案为：△△．【点拨】本题主要考查二次函数的相关性质，解题的关键是能通过图表所给的点以及题目的信息来判断抛物线的开口方向以及对称轴，结合二次函数的图象的性质来解决对应的问题．16．-2 【分析】根据二次函数图象对称轴所在的直线与x 轴的交点的坐标，即为它的图象与x 轴两交点之间线段中点的横坐标，即可求得．解：函数图像2y x bx c =++与x 轴的两个交点坐标为()1,0-和()3,0∴由对称轴所在的直线为：1322b -+-=解得2b =- 故答案为：-2．【点拨】本题考查了二次函数的性质及中点坐标的求法，熟练掌握和运用二次函数的性质及中点坐标的求法是解决本题的关键．17．(3,0)【分析】根据(-1，4)和(2，4)，可以确定抛物线的对称轴是1+21=22-，已知(-2，0)和(x ，0)关于直线x =12对称，确定x 的值即可．解：△(-1，4)和(2，4)是抛物线上的对称点，△抛物线的对称轴是1+21=22-， △(-2，0)和(x ，0)关于直线x =12对称， △2+x 1=22-， 解得x =3，△抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(3，0)， 故答案为：(3，0)．【点拨】本题考查了抛物线的对称性，熟练掌握对称轴为x =12x +x 2是解题的关键． 18．104 【分析】根据题意可求出此二次函数的对称轴，即可求出8ba-=．利用二次函数对称的性质即可求出13a b c ++=．再化简()a b c +++⎝⎭得：()()ba b c a -++，最后整体代入求值即可．解：根据题意可知此二次函数的对称轴为3542x +==，即42ba-=． △x =7，y =13， △x =1，y =13．△当x =1时，13y a b c =++=．△()()()()()2b b ba b c a b c a b c a a ---++=++=++⎝⎭， 又△42ba -=， △8ba-=， △()()138104ba b c a-++=⨯=．故答案为：104．【点拨】本题考查二次函数的性质及代数式求值，掌握二次函数的图象是轴对称图形和求出该二次函数的对称轴是解答本题的关键．19．x 1＞3或x 1＜-1 【分析】先求得二次函数y =(x +k )(x −k −2)的图象与x 轴的交点坐标，求得其对称轴为x =1，再求得点Q (3，y 2)关于x =1的对称点为Q 1(-1，y 2)，利用数形结合思想即可解答．解：令(x +k )(x −k −2)=0，解得：x =-k ，x =k +2，△对称轴为x =22k k -++=1， △Q (3，y 2)关于x =1的对称点为Q 1(-1，y 2)， △a =1>0，△抛物线开口向上， 画出草图，如图：若y 1>y 2，则x 1的取值范围为：x 1＞3或x 1＜-1． 故答案为：x 1＞3或x 1＜-1．【点拨】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数的性质，利用数形结合思想．20．231y y y << 【分析】由抛物线开口向上且对称轴为直线x =3知离对称轴水平距离越远，函数值越大，据此求解可得．解：△二次函数y =x 2-6x +c 中a =1＞0，△抛物线开口向上，有最小值．△63221b x a -=-=-=⨯， △离对称轴水平距离越远，函数值越大，△3(1)5332-->->-，△231y y y <<；故答案为：231y y y <<．【点拨】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．21． c ＜【分析】将x =2代入抛物线解析式可得y 3=c ，根据抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据各点到对称轴的距离可判断y 1<y 4<0<y 2<y 3，进而求解．解：（1）将x =2代入y =ax 2-2ax +c 得y =c ，△y 3=c ，（2）△y =ax 2-2ax +c （a <0），△抛物线开口向下，对称轴为直线x =22a a--=1， △与抛物线对称轴距离越近的点的纵坐标越大，△1-（-3）＞4-1＞1-（-1）＞2-1，△y 1<y 4<y 2<y 3，若y 4•y 2<0，则y 1<y 4<0<y 2<y 3，△y 3•y 1<0，故答案为：c ，<．【点拨】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．22．211n ≤<【分析】将点()2,3A 代入求出抛物线的解析式，再求出对称轴为直线1x =，开口向上，自变量离对称轴越远，因变量越大即可求解．解：将()2,3A 代入223y ax x =-+中得到：3443=-+a ，解得1a =，△抛物线的对称轴为直线1x =，且开口向上，根据“自变量离对称轴越远，其对应的因变量越大”可知，当2m =-时，对应的n 最大为：=4+4+3=11n ，当1m =时，对应的n 最小为：1232=-+=n ，故n 的取值范围为：211n ≤<，故答案为：211n ≤<．【点拨】本题考查二次函数的图像及性质，点在抛物线上，将点的坐标代入即可求解． 23．1【分析】观察表格中的x ，y 值，找到对称点确定对称轴，在找x =3的对称点的y 值，即可求出 解：由上表可知函数图象经过点（0，-2）和点（2，-2），△对称轴为x =022+=1， △当x =-1时的函数值等于当x =3时的函数值，△当x =-1时，y =1，△当x =3时，y =1．故答案为：1．【点拨】本题考查了二次函数的图像性质，利用表格找到二次函数的对称点是解决本题的关键，另外本题也可以求出二次函数解析式，然后求值24．214【分析】根据抛物线的解析式得到C 点的坐标与对称轴，结合(,1)D m 求得CD 的直线解析式，进而求得B 点的坐标，根据点E 与点D 关于抛物线对称轴对称，求得E 点的坐标，求得CE 的直线解析式，进而求得F 的坐标，根据,A B 关于抛物线对称轴对称求得A 点的坐标，根据49AF BF =求得m 的值，代入B 点坐标，即可求得． 解：243y ax ax =-+与y 轴交于点C ，(0,3)C ∴， 设CD 的直线解析式为：y kx b =+，(,1)D m，(0,3)C，代入得：13mx bb+=⎧⎨=⎩，23y xm∴=-+，令0,y=32x m=，3(,0)2B m∴，243y ax ax=-+2(2)43a x a=--+，2x∴=是抛物线的对称轴，(,1)D m和E关于2x=对称，设(,1)E e，1()22e m∴+=，解得4e m=-，则(4,1)E m-，又3,(,0)2A B m关于2x=轴对称，设(,0)A a，13()222m a∴+=，解得342a m=-，3(4,0)2A m∴-，设CE的直线解析式为：111y k x b=+，(0,3)C,(4,1)E m-，1113(4)1bm k b=⎧∴⎨-+=⎩，解得：11243kmb⎧=⎪-⎨⎪=⎩，1234y xm∴=+-，令10y =，解得：362x m =-， 3(6,0)2F m ∴-， 336(4)222AF m m ∴=---=； 33(6)3622BF m m m =--=-， 49AF BF =， 即24369m =-， 解得：72m =， 3(,0)2B m ， ∴337212224m =⨯=， B ∴点的横坐标为：214．故答案为214． 【点拨】本题考查了二次函数的性质与图像，一次函数的待定系数法求解析式，根据抛物线的对称性确定坐标是解题的关键．25．(1)c =5，m =8(2)y =x ²+2x +5【分析】(1)根据抛物线的对称性及表格中函数值x 相等可求出对称轴进而求出m 的值；根据自变量x =0可求出抛物线与y 轴的交点，即可求得c 的值；(2)根据对称轴为x =-1，得到抛物线顶点为(-1,4)，设顶点式为y =a (x +1)2+4，代入其中一个点求出a 的值即可求出二次函数解析式．(1)解：根据图表可知：二次函数2y ax bx c =++的图象过点(0，5)，(-2，5)，△二次函数的对称轴为：直线0212x -==-， △直线x =-3到对称轴x =-1的距离为2，直线x =1到对称轴x =-1的距离也为3，△(-3，8)的对称点为(1，8)，△m =8，当x =0时，由表格中数据可知：c =5．(2)解：△对称轴是直线x =-1，△由表格中数据可知：顶点为(-1，4)，设y =a (x +1)2+4，将(0，5)代入y =a (x +1)2+4得，a +4=5，解得a =1，△这个二次函数的解析式为y =(x +1)2+4=x ²+2x +5．【点拨】本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，能熟练求出函数对称轴是解本题的关键．26．(1)223y x x =--，()1,4-；(2)()2,3-；(3)当N 在对称轴的右侧时，35P y -≤≤；当N 在对称轴的左侧时，45P y -≤≤【分析】（1）利用待定系数法即可求出函数解析式，在配方即可得到顶点坐标；（2）设点M 的纵坐标为t ，且t ＜0，根据题意有11()22AB OC AB t ⋅=⋅-，即可求出t 值，则M 点坐标可求；（3）利用点N 到对称轴的距离为3个单位求出N 点横坐标，即可得到N 点坐标，再结合M 、D 两点的坐标即可求解．解：(1)△二次函数2y x bx c =++的图像经过()1,0A -、()0,3C -， 则103b c c -+=⎧⎨=-⎩，解得23b c =-⎧⎨=-⎩， △二次函数的解析式为：223y x x =--，把223y x x =--配方，得()214y x =--，△顶点D 的坐标为()1,4-；(2)设点M 的纵坐标为t ，且t ＜0，△MAB CAB SS =， △11()22AB OC AB t ⋅=⋅-， △3t -=，得3t =-，当3t =-时，2233x x --=-，解得10x =，22x =， 当10x =时，M 点不在第四象限，舍去，当22x =时，M 点坐标为()2,3-，△点M 的坐标为()2,3-；(3)△点N 到对称轴的距离为3个单位，△点N 的横坐标为－2或4，△点N 纵坐标为242435-⨯-=，△点N 的坐标为()2,5-或()4,5，△点M 的坐标为()2,3-，顶点D 的坐标为()1,4-，则：当N 在对称轴的右侧时，35P y -≤≤，当N 在对称轴的左侧时，45P y -≤≤．【点拨】本题考查了待定系数法求解析式、二次函数的图像与性质、三角形面积的计算等知识，解题的关键是利用好二次函数的图像与性质．27．(1)对称轴为：直线2x =；()4,3C (2)12a =，1k = 【分析】（1）根据题目中的抛物线解析式，可以求得抛物线的对称轴和点C 的坐标；（2）由（1）可得A 点的坐标，,A C 坐标分别代入直线解析式即可求得,k a 的值．(1)解：△抛物线243y ax ax =-+()2234a x a =-+-△该抛物线的对称轴是直线2x =，()2,34A a -当x =0时，y =3，即抛物线的对称轴是直线2x =，点B 的坐标是（0，3）；BC x ∥轴交抛物线于另一点C ．△,B C 关于对称轴2x =对称，∴()4,3C(2)解：△1y kx =-（k 是常数，0k >）经过()2,34A a -，()4,3C 两点，△341k =-解得1k =∴3421a -=- 解得12a = 【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的性质，待定系数法求解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键．28．(1)2332y x x =--(2)25k n =-(3)031x n<- 【分析】（1）利用待定系数法即可求该二次函数的表达式．（2）将23m n +=代入二次函数215y nx mx n =++-中，整理得21[(32)3]2(3)(1)2y nx n x n nx n x =+-+--=-+--，可知恒过点(1,2)-，代入一次函数2(y kx m k =+为常数，0)k ≠即可求实数k ，n 满足的关系式．（3）通过215y nx mx n =++-，可求得对称轴为322n x n-=-，因为01x <，且a b >，所以只需判断对称轴的位置即可求0x 的取值范围．解：(1)二次函数215y nx mx n =++-的图象经过点(2,4)，且23m n +=， ∴425423n m n m n ++-=⎧⎨+=⎩， ∴33n m =⎧⎨=-⎩， ∴函数1y 的表达式为2332y x x =--；(2)23m n +=，∴二次函数2215(32)5y nx mx n nx n x n =++-=+-+-，整理得，21[(32)3]2(3)(1)2y nx n x n nx n x =+-+--=-+--，∴当1x =时，12y =-，1y ∴恒过点(1,2)-，∴代入2y kx b =+得232k m m n -=+⎧⎨=+⎩， 232k n ∴-=+-得25k n =-，∴实数k ，n 满足的关系式：25k n =-，(3)215y nx mx n =++-，∴对称轴为322n x n-=-， 01x <，且a b >，∴当0n >时，对称轴013222x n x n +-=->，解得031x n <-， 当0n <时，对称轴013222x n x n +-=-<，解得031x n>-（不符合题意，故0x 不存在）， 故0x 的取值范围为：031x n<-． 【点拨】此题主要考查利用待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的对称轴的位置来判断函数值的大小．。
初中数学专题复习巧用抛物线的对称性解中考题
巧用抛物线的对称性解中考题一、知识点抛物线线上有两点（x 1，y 0），（x 2，y 0），则抛物线的对称轴方程：x=122x x +． 二、应用举例例1 如图，抛物线的对称轴是x=1，与x 轴交于A 、B 两点，点B 0），则点A 的坐标是________．（2005年宁夏回族自治区中考题）简析 显然A 、B 两点关于x=1对称，设点A 的坐标为（x 1，0=1，从而解出x 1•故点A 的坐标为（0）．点评 若不用这种方法，则需由顶点（1，1）及B 0）求出抛物线的解析式，再令y=0，求出抛物线与x •而且非常麻烦．例2 抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （-2，7），B （6，7），C （3，-8），•则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是________．（2005年山东省中考题）简析 由点A （-2，7），B （6，7）的纵坐标相同，知A 、B 关于抛物线的对称轴对称，且对称轴方程为x=262-+=2，于是设该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标为（x 2，-8），则有2=232x +，从而得x 2=1． 故应填答案为（1，-8）．点评 本题两次运用抛物线的轴对称性，大大降低了难度及运算量，常规解法为：由A 、B 、C 三点列出关于a 、b 、c 的三元一次方程组，求出抛物线的解析式，再令y=-8，解关于x 的一元二次方程选出不同于3的根，得出答案．例3 抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴是x=2，且经过点（3，0），则a+b+c 的值为（ ）．（A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）2 （2005年山西省中考题）简析 由抛物线的对称轴x=2及点P （3，0）可求出抛物线上点P 关于x=2•的对称点的坐标为Q （1，0），由于点Q 在抛物线上，则（1，0）满足解析式．即a+b+c=0，故选（B ）．点评 本题设计非常巧妙，独具匠心，若不用这种方法势如登天．例4 如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象与x 轴的一个交点是（-2，0），顶点是（1，3），下列说法中不正确的是（ ）． （2005年湖南省湘潭市中考题）（A ）抛物线的对称轴是x=1 （B ）抛物线的开口向下（C ）抛物线与x 轴的另一交点是（2，0）；（D ）当x=1时，y 有最大值是3简析 由顶点（1，3）知抛物线的对称轴为x=1，又与x 轴的一个交点为（-2，0）可求出与x 轴的另一交点为（4，0），故选（C ）．点评 本题虽可用排除法得到正确答案，•但用此法加以验证更增加了答案的可信度，而且非常方便、简捷．例5 已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的顶点坐标为（-1，-3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根分别为x 1=1.3，x 2=•________．•（2005年贵阳市课改实验区中考题）简析 由顶点（-1，-3.2）知抛物线的对称轴为x=-1，又x=122x x ，而x 1=1.3代入可求得x 2=-3.3，故正确答案为x 2=-3.3．点评 此题看似估计值，实则是准确值，也可由顶点（-1，-3.2）及点（1.3，0），•求得抛物线的解析式，再令y 0=0求得x 2，但实在是太繁．例6 已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）图象如图所示，则下列结论①a 、b 异号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x 的值只能取0．其中正确的个数是（ ）．（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 （2002年武汉市中考题） 简析 不难验证①、④错误，③正确，究竟是选（A ）还是选（B ），•则取决于②是否正确，由图象知：图象交x 轴于点（-1，0）和（5，0），•于是可确定抛物线的对称轴方程为x=152-+=2，于是132+=2，于是确定②正确，故选（B ）． 点评 此题若不用这种方法仍可根据抛物线上三点（-1，0），（5，0），（0，-2），求出抛物线的解析式．再把x=1和x=3分别代入解析式中求出相应的y 值，加以比较即可，但哪个繁，哪个简便一目了然了．综上可见，利用抛物线的对称性解决的这一类问题大大简化了解题过程，降低了题目的难度，从而节省了大量的有效时间，只要我们平时多研究、多积累，•中考才能超水平发挥，答出优异的成绩．。
巧用抛物线的对称性解题
巧用抛物线的对称性解题作者：杨宝善来源：《初中生·考试》2011年第12期我们知道，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)是轴对称图形，其对称轴是x=-■. 利用抛物线的对称性，能得到以下性质：性质1：抛物线上关于对称轴对称的两点的纵坐标相等，反过来，抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称.特别地，如果抛物线与x轴有两个交点，那么这两个交点关于对称轴对称.性质2：设抛物线上有对称的两点，它们的横坐标分别为x1、x2，那么抛物线对称轴的直线方程为x=■．利用这两个性质，能巧解一些与抛物线有关的问题.一、求抛物线与x轴的交点坐标例1 （2011年黔南卷）二次函数y=-x2+2x+k的部分图像如图1所示，关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解是x1=3，则另一个解x2=( ).A.1B. -1C. -2D. 0解：∵方程-x2+2x+k=0的一个解是x1=3，∴抛物线y=-x2+2x+k与x轴的交点是（3，0）.由于抛物线的对称轴是x=1，设抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为x0，根据性质2，则■=1，解得x0=-1.∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-1，0），方程-x2+2x+k=0的另一个解是x=-1.选B.温馨小提示：已知抛物线与x轴的一个交点坐标，根据对称性，运用x=■可求出抛物线与x轴的另一个交点坐标.二、求函数值例2 （2011年泰安卷）若二次函数y＝ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表：则当x＝1时，y的值为( ).A．5 B．-3 C．-13 D．-27解：由表格可知，当x＝-4和x=-2时，y的值都是3．由性质1可知，点（-4，3）与（-2，3）是对称点.由性质2可得，抛物线对称轴为x=■=-3.因为当x=1与x=-7时，抛物线上的对应点关于对称轴对称，所以它们对应的函数值相等.当x=-7时，y=-27，所以当x=1时，y=-27．选D.温馨小提示：对于这类用表格呈现二次函数的问题，要仔细观察表格的数据特征，以纵坐标相等的点为突破口，找出抛物线的对称轴，然后用抛物线的对称性求解.三、比较大小例3 （2011年陕西卷）若二次函数y=x2-6x+c的图像过A(-1，y1)，B(2，y2)，C(3+■，y3)三点，则y1、y2、y3大小关系正确的是( ).A. y1>y2>y3B. y1>y3>y2C. y2>y1>y3D. y3>y1>y2解：将y=x2-6x+c配方，得y=x2-6x+c=(x-3)2-9+c，对称轴为直线x=3.设C(3+■，y3)关于x=3的对称点的横坐标为x0，由性质2，得x0=3-■，则y3的值与当x=3-■时的函数值相等.∵a=1>0，∴当x∵-1y3>y2.选B.温馨小提示：二次函数的增减性是以对称轴为分界线的，因此，对于函数值的大小问题，根据抛物线的对称性，将所给的点转移到对称轴的同一侧，运用抛物线的增减性比较大小.四、求解析式例4 （2011年天水卷）已知抛物线与x轴的交点坐标是（-1，0），（3，0），且过点（1，4），则这个抛物线的解析式是 .解：∵抛物线与x轴交于点(-1，0)，(3，0)，∴它的对称轴为直线x=■=1.又∵抛物线过点(1，4)，∴点(1，4)是抛物线的顶点坐标.设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+4.将x=3，y=0代入解析式，解得a=-1.∴抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4，即y=-x2+2x+3.温馨小提示：本题的常规解法是设抛物线的解析式y=ax2+bx+c(a≠0)，然后将三个已知点的坐标代入，建立关于a、b、c的三元一次方程组求解，但这种方法计算量大，且容易出错.在本题的解法中，由抛物线与x轴的交点坐标是(-1，0)，(3，0)，利用抛物线的对称性求出对称轴，然后判断(1，4)是抛物线的顶点是解题关键.另外，如果已知抛物线的顶点坐标或对称轴，通常设抛物线的解析式为顶点式y=a(x-h)2+k，用这种方法求抛物线的解析式快捷、准确. （作者为洞口县山门镇中学老师）■。
2020-2021学年北师大九年级下专题训练(四)巧用抛物线的对称性解题及答案-(数学)
专题训练(四) 巧用抛物线的对称性解题►类型一利用抛物线的对称性求对称轴或点的坐标1．二次函数的图象与x轴的交点坐标分别为(2，0)和(－4，0)，则该二次函数图象的对称轴是直线( )A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－22．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，且经过点P(3，0)，则抛物线与x轴的另一个交点的坐标为( )A．(－1，0) B．(0，0)C．(1，0) D．(3，0)3．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－2，7)，B(6，7)，C(3，－8)，求该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标．►类型二利用抛物线的对称性比较函数值的大小4．已知(－1，y1)，(－2，y2)，(－4，y3)是抛物线y＝－2x2－8x＋m上的点，则( )A．y1<y2<y3B．y3<y2<y1C．y3<y1<y2D．y2<y3<y15．若二次函数y＝x2－6x＋c的图象经过A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3＋2，y3)三点，则y1，y2，y3从大到小排列是____________．►类型三利用抛物线的对称性求代数式的值6．已知P(a，m)，Q(b，m)是抛物线y＝2x2＋4x－3上的两个不同的点，则a＋b＝________．7．当x＝m或x＝n(m≠n)时，代数式x2－2x＋3的值相等，则当x＝m＋n时，代数式x2－2x＋3的值为________．►类型四利用抛物线的对称性确定自变量的取值范围8．二次函数y＝ax2＋bx＋c中x，y的部分对应值如下表：则当y<09．二次函数y＝(x－1)2＋1，当2≤y＜5时，相应x的取值范围为________________．►类型五利用抛物线的对称性求面积10．如图4－ZT－1，⊙O的半径为2，C1是函数y＝2x2的图象，C2是函数y＝－2x2的图象，则图中阴影部分的面积为________．图4－ZT－111．已知二次函数y＝2x2＋m(m为常数)．(1)若点(2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1________y2(填“＞”“＝”或“＜”)；(2)如图4－ZT－2，此二次函数的图象经过点(0，－4)，正方形ABCD的顶点A，B在抛物线上，顶点C，D在x轴上，求图中阴影部分的面积．图4－ZT－2►类型六巧用抛物线的对称性求二次函数的表达式12．已知二次函数y有最大值4，且图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为直线x＝－3，则此二次函数的表达式为______________．13．已知二次函数的图象与x轴的两个交点A，B关于直线x＝－1对称，且AB＝6，顶点在函数y＝2x的图象上，则这个二次函数的表达式为______________．14．二次函数的图象经过点A(0，0)，B(12，0)，且顶点P到x轴的距离为3，求该二次函数的表达式．►类型七利用对称性解决线段和最短问题15．已知二次函数y＝ax2＋bx＋6的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点A，B的横坐标是一元二次方程x2－4x－12＝0的两个根．(1)请直接写出点A、点B的坐标．(2)请求出该二次函数的表达式及图象的对称轴和顶点坐标．(3)如图4－ZT－3，在二次函数图象的对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图4－ZT－316．如图4－ZT－4，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，它与x轴的另一个交点为B.(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴直线x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．图4－ZT－4详解详析1．[解析]B ∵二次函数的图象与x 轴的交点坐标分别为(2，0)和(－4，0)，∴图象的对称轴是直线x ＝2＋（－4）2＝－1.故选B.2．[解析]C 由于抛物线的对称轴为直线x ＝2，而点P(3，0)位于x 轴上，设抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为(m ，0)，根据题意得m ＋32＝2，解得m ＝1，则抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为(1，0)，故选C.3．解：由点A(－2，7)，B(6，7)的纵坐标相同，可知点A ，B 关于抛物线的对称轴对称，且对称轴方程为x ＝－2＋62＝2.设该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标为(x 2，－8)，则有2＝3＋x 22，从而得x 2＝1，故该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标为(1，－8)．4．[解析]C 抛物线y ＝－2x 2－8x ＋m 的对称轴为直线x ＝－2，且开口向下，∴当x ＝－2时y 取得最大值．∵－4＜－1，且－4到－2的距离大于－1到－2的距离，根据抛物线的对称性，知y 3＜y 1. ∴y 3＜y 1＜y 2.故选C. 5．[答案]y 1＞y 3＞y 2 6．[答案]－2[解析]已知点P(a ，m)和Q(b ，m)是抛物线y ＝2x 2＋4x －3上的两个不同的点，因为点P(a ，m)和Q(b ，m)的纵坐标相等，所以它们关于抛物线的对称轴对称，而抛物线y ＝2x 2＋4x －3的对称轴为直线x ＝－1，故a ＋b ＝－2.故答案为－2. 7．[答案]3[解析]设y ＝x 2－2x ＋3，∵当x ＝m 或x ＝n(m ≠n)时，代数式x 2－2x ＋3的值相等，∴m ＋n 2＝－－22×1，∴m ＋n ＝2，∴当x ＝m ＋n ，即x ＝2时，x 2－2x ＋3＝22－2×2＋3＝3.故答案为3. 8．[答案]－2<x<39．[答案]－1＜x ≤0或2≤x ＜3[解析]当y ＝2时，(x －1)2＋1＝2，解得x ＝0或x ＝2；当y ＝5时，(x －1)2＋1＝5，解得x ＝3或x ＝－1，又抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴－1＜x ≤0或2≤x ＜3.10．[答案]2π[解析]利用图形的对称性可知图中阴影部分的面积为半圆面积． ∵⊙O 的半径为2，∴图中阴影部分的面积为12π×22＝2π.11．解：(1)∵y ＝2x 2＋m ，∴图象开口向上，对称轴为直线x ＝0，则当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，∴y 1＜y 2， 故答案为：＜.(2)∵二次函数的图象经过点(0，－4)，将(0，－4)代入y ＝2x 2＋m 可得m ＝－4，∴二次函数的表达式为y ＝2x 2－4.设AB 与y 轴交于点E ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ∥x 轴． 由抛物线的对称性知AE ＝EB ，∴BC ＝2OC.设点C 的坐标为(p ，0)(p ＞0)，则点B 的坐标为(p ，2p)，将(p ，2p)代入二次函数表达式，得2p ＝2p 2－4，解得p ＝－1(舍去)或p ＝2， ∴点B 的坐标为(2，4)，∴BC ＝4.由图形的对称性可知阴影部分的面积为正方形面积的一半，∴S 阴影＝12S 正方形ABCD ＝12×BC 2＝12×16＝8.12．[答案]y ＝－14x 2－32x ＋74[解析]∵该函数图象与x 轴两交点间的距离是8，对称轴为直线x ＝－3， ∴二次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别是(－7，0)，(1，0)， 故设该二次函数的表达式为y ＝a(x ＋7)(x －1)． 把顶点坐标(－3，4)代入，得4＝a(－3＋7)(－3－1)， 解得a ＝－14.则该二次函数的表达式为y ＝－14(x ＋7)(x －1)，即y ＝－14x 2－32x ＋74.13．[答案]y ＝29x 2＋49x －169[解析]∵对称轴为直线x ＝－1，且图象与x 轴交于A ，B 两点，AB ＝6， ∴直线与x 轴交于(－4，0)，(2，0)，顶点的横坐标为－1. ∵顶点在函数y ＝2x 的图象上， ∴y ＝2×(－1)＝－2， ∴顶点坐标为(－1，－2)．设二次函数的表达式为y ＝a(x ＋1)2－2， 把(2，0)代入，得0＝9a －2， 解得a ＝29.∴y ＝29(x ＋1)2－2＝29x 2＋49x －169.14．解：∵A ，B 两点关于二次函数图象的对称轴对称，∴二次函数图象的对称轴为直线x ＝6. ∵顶点P 到x 轴的距离为3， ∴顶点P 的坐标为(6，3)或(6，－3)． 当二次函数图象的顶点P 的坐标为(6，3)时， 设二次函数的表达式为y ＝a(x －6)2＋3， 把A(0，0)代入表达式，得a(0－6)2＋3＝0， 解得a ＝－112，∴二次函数的表达式为y ＝－112(x －6)2＋3，即y ＝－112x 2＋x ； 当二次函数图象的顶点P 的坐标为(6，－3)时，同理可求得二次函数的表达式为y ＝112(x －6)2－3，即y ＝112x 2－x.故二次函数的表达式为y ＝－112x 2＋x 或y ＝112x 2－x.15．解：(1)解方程x 2－4x －12＝0得x 1＝－2，x 2＝6，即A(－2，0)，B(6，0)． (2)将A ，B 两点的坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋6， 得⎩⎨⎧4a －2b ＋6＝0，36a ＋6b ＋6＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝2，∴二次函数的表达式为y ＝－12x 2＋2x ＋6.∵y ＝－12x 2＋2x ＋6＝－12(x －2)2＋8，∴二次函数图象的对称轴为直线x ＝2，顶点坐标为(2，8)．(3)存在．如图，作点C 关于二次函数图象的对称轴的对称点C ′，连接AC ′，交二次函数图象的对称轴于点P ，此时△APC 的周长最小．∵C(0，6)，∴C ′(4，6)．设直线AC ′的表达式为y ＝kx ＋n ，则⎩⎨⎧－2k ＋n ＝0，4k ＋n ＝6，解得⎩⎨⎧k ＝1，n ＝2，∴y ＝x ＋2，当x ＝2时，y ＝4，即P(2，4)． 16．解：(1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－b2a＝－1，a ＋b ＋c ＝0，c ＝3，解之，得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝3.∴抛物线的表达式为y ＝－x 2－2x ＋3.∵抛物线的对称轴为直线x ＝－1，且经过点A(1，0)， ∴B(－3，0)．把B(－3，0)，C(0，3)分别代入y ＝mx ＋n ，得⎩⎨⎧－3m ＋n ＝0，n ＝3，解之，得⎩⎨⎧m ＝1，n ＝3.∴直线BC 的表达式为y ＝x ＋3.(2)∵点A ，B 关于对称轴对称，点M 在对称轴上，∴MA ＝MB ，∴MA ＋MC ＝MB ＋MC.∴使MA ＋MC 最小的点M 应为直线BC 与对称轴x ＝－1的交点．把x ＝－1代入y ＝x ＋3，得y ＝2，∴M(－1，2)．(3)设P(－1，t)，结合B(－3，0)，C(0，3)，得BC 2＝18，PB 2＝(－1＋3)2＋t 2＝4＋t 2，PC 2＝(－1)2＋(t －3)2＝t 2－6t ＋10.①若B 为直角顶点，则BC 2＋PB 2＝PC 2，即18＋4＋t 2＝t 2－6t ＋10，解之，得t ＝－2；②若C 为直角顶点，则BC 2＋PC 2＝PB 2，即18＋t 2－6t ＋10＝4＋t 2，解之，得t ＝4；③若P 为直角顶点，则PB 2＋PC 2＝BC 2，即4＋t 2＋t 2－6t ＋10＝18，解之，得t 1＝3＋172，t 2＝3－172. 综上所述，满足条件的点P 共有四个，坐标分别为P 1(－1，－2)，P 2(－1，4)，P 3(－1，3＋172)，P 4(－1，3－172)．。
九年级数学上册 第1章 二次函数 专题训练 巧用抛物线对称性解题 (新版)浙教版
巧用抛物线对称性解题►类型之一二次函数与三角形的综合图3－ZT－11．如图3－ZT－1，抛物线y＝－x2＋2x＋3与y轴交于点C，点D(0，1)，P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为____________．2．如图3－ZT－2，在平面直角坐标系中，点A在y轴的负半轴上，点B，C在x轴上，OA＝8，AB＝AC＝10，点D在AB上，CD与y轴交于点E，且满足S△COE＝S△ADE，求过点B，C，E的抛物线的函数表达式．图3－ZT－23．如图3－ZT－3，已知二次函数y＝ax2＋bx＋3(a≠0)的图象经过点A(3，0)，B(4，1)，且与y轴交于点C，连结AB，AC，BC.(1)求该二次函数的表达式；(2)判断△ABC的形状．图3－ZT－34．如图3－ZT－4，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点，已知C(0，5)，M为它的顶点．(1)求抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；(2)求△MAB的面积；(3)求△MCB的面积．图3－ZT－45．如图3－ZT －5，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1，0)，B (3，0)两点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；(3)设(1)中的抛物线上有一个动点P ，且点P 在x 轴上方．若S △PAB ＝8，请求出此时点P 的坐标．图3－ZT －56．如图3－ZT －6，一小球从斜坡上点O 抛出，球的抛出路线可以用二次函数y ＝－x 2＋4x 刻画，斜坡可以用一次函数y ＝12x 刻画．(1)请用配方法求二次函数图象最高点P 的坐标； (2)小球的落点是A ，求点A 的坐标；(3)连结抛物线的最高点P 与点O ，A 得△POA ，求△POA 的面积；(4)在OA 上方的抛物线上存在一点M (点M 与点P 不重合)，使△MOA 的面积等于△POA 的面积，请直接写出点M 的坐标．图3－ZT －6► 类型之二 二次函数与特殊四边形的综合图3－ZT －77．边长为1的正方形OA 1B 1C 1的顶点A 1在x 轴的正半轴上，将正方形OA 1B 1C 1绕顶点O 顺时针旋转75°得正方形OABC (如图3－ZT －7)，使点B 恰好落在函数y ＝ax 2(a ＜0)的图象上，则a 的值为( )A ．－23B ．－12C ．－2D ．－238．如图3－ZT －8，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋c (a ≠0)的图象过正方形ABOC 的三个顶点A ，B ，C ，则ac 的值是________．3－ZT －83－ZT －99．二次函数y ＝3x 2的图象如图3－ZT －9，点O 为坐标原点，点A 在y 轴的正半轴上，点B ，C 在二次函数y ＝3x 2的图象上，四边形OBAC 为菱形，且∠OBA ＝120°，则菱形OBAC 的面积为__________．10．如图3－ZT －10，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－43x ＋2过点B (1，0)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)求抛物线与y 轴的交点C 的坐标及与x 轴的另一交点A 的坐标； (3)以AC 为边在第二象限画正方形ACPQ ，求P ，Q 两点的坐标．图3－ZT －1011．如图3－ZT －11，已知抛物线y ＝－14x 2－12x ＋2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C .(1)求点A ，B ，C 的坐标．(2)E 是此抛物线上的点，F 是其对称轴上的点，求以A ，B ，E ，F 为顶点的平行四边形的面积．(3)此抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得△ACM 是等腰三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图3－ZT －11详解详析1．(1＋2，2)或(1－2，2)[解析]∵△PCD 是以CD 为底的等腰三角形， ∴点P 在线段CD 的垂直平分线l 上．如图，作CD 的垂直平分线交抛物线于点P 1，P 2，交y 轴于点E ，则E 为线段CD 的中点．∵抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与y 轴交于点C ， ∴C (0，3)，而D (0，1)，∴点E 的坐标为(0，2)， ∴点P 的纵坐标为2.在y ＝－x 2＋2x ＋3中，令y ＝2，可得－x 2＋2x ＋3＝2，解得x ＝1±2，∴点P 的坐标为(1＋2，2)或(1－2，2)． 2．解：如图，过点D 作DG ⊥x 轴于点G . ∵OA ＝8，AC ＝AB ＝10， ∴A (0，－8)，BO ＝OC ＝6， ∴B (6，0)，C (－6，0)． ∵S △COE ＝S △ADE ，∴S △CBD ＝S △AOB ＝12×8×6＝24，∴12×BC ×||y D ＝24，解得||y D ＝4， ∴D 为AB 的中点，∴D (3，－4)．联合C 点坐标可求得直线CD 的函数表达式为y ＝－49x －83，∴E ⎝⎛⎭⎪⎫0，－83.设过B ，C ，E 三点的抛物线的函数表达式为y ＝a (x ＋6)(x －6)， 将E ⎝⎛⎭⎪⎫0，－83代入，得a ＝227，∴过点B ，C ，E 的抛物线的函数表达式为y ＝227(x ＋6)(x －6)＝227x 2－83.3．解：(1)把A (3，0)，B (4，1)代入y ＝ax 2＋bx ＋3中，得⎩⎨⎧9a ＋3b ＋3＝0，16a ＋4b ＋3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－52，∴该二次函数的表达式为y ＝12x 2－52x ＋3.(2)△ABC 是直角三角形．理由：过点B 作BD ⊥x 轴于点D ， 易知点C 的坐标为(0，3)，∴OA ＝OC ， ∴∠OAC ＝45°.又∵点B 的坐标为(4，1)， ∴AD ＝BD ， ∴∠DAB ＝45°，∴∠BAC＝180°－45°－45°＝90°，∴△ABC是直角三角形．4．解：(1)∵A (－1，0)，B (5，0)，∴可设表达式为y ＝a (x ＋1)(x －5)．将C (0，5)代入，得a ＝－1，∴抛物线的函数表达式为y ＝－(x ＋1)(x －5)＝－x 2＋4x ＋5.∴M (2，9)．(2)S △MAB ＝12AB ·||y M ＝12×6×9＝27. (3)过点M 作MD ⊥y 轴于点D ，则S △MCB ＝S 梯形MDOB －S △DCM －S △COB ＝12×(2＋5)×9－12×2×4－12×5×5＝15. 5．解：(1)∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1，0)，B (3，0)两点，∴方程x 2＋bx ＋c ＝0的两根为x ＝－1或x ＝3，∴－1＋3＝－b ，－1×3＝c ，∴b ＝－2，c ＝－3，∴该抛物线的函数表达式是y ＝x 2－2x －3.(2)∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为(1，－4)．(3)设点P 的纵坐标为y P ，∵S △PAB ＝8，∴12AB ·|y P |＝8. ∵AB ＝3＋1＝4，∴|y P |＝4，∴y P ＝±4.∵点P 在x 轴上方，∴y P＝4.把y P ＝4代入表达式，得4＝x 2－2x －3，解得x ＝1±2 2，∴点P 的坐标为(1＋2 2，4)或(1－2 2，4)．6．解：(1)∵y ＝－x 2＋4x ＝－(x 2－4x )＝－(x 2－4x ＋4)＋4＝－(x －2)2＋4，∴最高点P 的坐标为(2，4)．(2)点A 的坐标满足方程组⎩⎨⎧y ＝－x 2＋4x ，y ＝12x ，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72，y ＝74， ∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，74.(3)如图，过点P 作PB ⊥x 轴交OA 于点B ，则点B 的坐标为(2，1)，∴PB ＝3，∴S △POA ＝S △OPB ＋S △APB ＝12×3×2＋12×3×32＝214. (4)如图，过点P 作PM ∥OA 交抛物线于点M ，连结OM ，则△MOA 的面积等于△POA 的面积．设直线PM 的函数表达式为y ＝12x ＋b ， ∵直线PM 过点P (2，4)，∴12×2＋b ＝4，解得b ＝3，∴直线PM 的函数表达式为y ＝12x ＋3. 根据题意，可列方程组⎩⎨⎧y ＝－x 2＋4x ，y ＝12x ＋3，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝154， ∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，154.7．D [解析] 如图，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，连结OB .依题意得∠AOE ＝75°，∠AOB ＝45°，∴∠BOE ＝30°.∵OA ＝1，∴OB ＝ 2.∵∠OEB ＝90°，∴BE ＝12OB ＝22，∴OE ＝62， ∴点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，－22. 将其代入y ＝ax 2(a ＜0)，得a ＝－23. 故选D.8．－2 [解析] 连结BC，与AO交于点D.观察图象，根据二次函数的图象与其表达式的系数之间的关系可知a<0，c>0.由图象可知，点A是抛物线的顶点，设点A的坐标为(0，c)，则OA＝c，∵四边形ABOC 是正方形，∴AO ＝BC ，AD ＝OD ，△ABD ，△ACD 是等腰直角三角形，∴AD ＝OD ＝c 2. ∵△ABD 是等腰直角三角形， ∴BD ＝c 2. ∵BD ＝c 2，OD ＝c 2， ∴点B 的坐标为(－c 2，c 2)． 将点B 的坐标代入二次函数表达式y ＝ax 2＋c ，可得c 2＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 22＋c ， 整理，得ac ＝－2.9．2 3 [解析] 连结BC 交OA 于点D .∵四边形OBAC 为菱形，∴BC ⊥OA .∵∠OBA ＝120°，∴∠OBD ＝60°，∴OD ＝3BD .设BD ＝t ，则OD ＝3t ，∴B ()t ，3t . 把B (t ，3t )代入y ＝3x 2，得3t ＝3t 2，解得t 1＝0(舍去)，t 2＝1.∴BD ＝1，OD ＝3，∴BC ＝2BD ＝2，OA ＝2OD ＝2 3，∴菱形OBAC 的面积为12×2×2 3＝2 3.10．解：(1)将B (1，0)代入y ＝ax 2－43x ＋2，得a －43＋2＝0，∴a ＝－23， ∴抛物线的函数表达式为y ＝－23x 2－43x ＋2. (2)当y ＝0时，－23x 2－43x ＋2＝0， 解得x 1＝1，x 2＝－3.当x ＝0时，y ＝2，∴抛物线与x 轴的另一交点A 的坐标为(－3，0)，与y 轴的交点C 的坐标为(0，2)．(3)如图，过点P ，Q 分别作PH ⊥y 轴，QG ⊥x 轴，H ，G 分别为垂足．∵四边形ACPQ 是正方形，∴易知△AOC ≌△QGA ≌△CHP ，∴AO ＝QG ＝CH ＝3，OC ＝GA ＝HP ＝2，∴P (－2，5)，Q (－5，3)．11．解：(1)当x ＝0时，y ＝2，∴C (0，2)．当y ＝0时，－14x 2－12x ＋2＝0， 解得x 1＝－4，x 2＝2，∴B (－4，0)，A (2，0)．(2)易得对称轴为直线x＝－1.当AB为对角线时，如图①，图①由点F 的横坐标为－1，易知点E 的横坐标也是－1，∴E (－1，94)， ∴▱AEBF 的面积为AB ×94×12×2＝272； 当AB 为边时，如图②，图②∵AB ＝6，∴EF ＝6，∴E (5，－274)或E ′(－7，－274)， ∴以A ，B ，E ，F 为顶点的平行四边形的面积为AB ×274＝6×274＝812. 综上，以A ，B ，E ，F 为顶点的平行四边形的面积为272或812. (3)存在，设点M 的坐标为(－1，t )．∵A (2，0)，C (0，2)，∴AC ＝22，MC ＝1＋（t －2）2，AM ＝9＋t 2.①当AC＝MC时，22＝1＋（t－2）2，解得t＝2±7，即M(－1，2＋7)或M(－1，2－7)；②当MC＝AM时，1＋（t－2）2＝9＋t2，解得t＝－1，即M(－1，－1)；③当AC＝AM时，22＝9＋t2，此方程无解．综上，此抛物线的对称轴上存在点M，使得△ACM是等腰三角形，点M的坐标为(－1，2＋7)或(－1，2－7)或(－1，－1)．感谢您的支持，我们会努力把内容做得更好！。
2020年中考数学专题——巧用抛物线的对称性解题
巧用抛物线的对称性解题抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图象是关于直线2b x a=-对称的图形，恰当、灵活地利用抛物线对称性来解决相关数学问题，可收到事半功倍的效果.请看下面一例的解法对比.题目 已知抛物线2y ax bx c =++经过点(2,3)，对称轴为直线1x =，并且在x 轴上截得的弦长为4，则抛物线的解析式为 .解析1 求二次函数的解析式常用待定系数法.设抛物线与x轴的交点坐标为((,0)22b b A B a a---+，则AB a===4.∴124423b a a a b c ⎧-=⎪=⎪⎪++=⎪⎩，解得123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩. ∴抛物线的解析式为223y x x =-++.解析2 由条件“对称轴为直线1x =，并且在x 轴上截得的弦长为4”，根据抛物线的对称性，可知抛物线与x 轴两交点到对称轴的距离为2.因此，抛物线与x 轴的两交点坐标为(－1,0)和(3,0)，这样我们可设抛物线的解析式为(1)(3)y a x x =+-.将(2,3)代入，得1a =-，故(1)(3)y x x =-+-，即抛物线的解析式为223y x x =-++.从上面两种解法，我们能感受到利用抛物线的对称性来求解的优越性.下面，笔者从两个方面，探究如何利用抛物线的对称性助推我们解题.一、对称轴的判定对于抛物线2(0)y ax bx c a =++≠上两个不同点111222(,)(,)P x y P x y ，若12y y =，则这两个点是关子对称轴的对称点，且这时抛物线的对称轴是直线122x x x +=；反之亦然. 例 1 (2019年济宁中考题)如图1，抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于(1,),(3,)A p B p -两点，则不等式2ax mx c n ++>的解集是 .解析 抛物线的对称轴为y 轴，,A B 关于y轴对称点的坐标分别为(1,),(3,)A p B q ''-，直线y mx n =+关于Y 轴的对称直线为y mx n =-+，且经过(1,),(3,)A p B q ''-两点(如图1)，所以不等式2ax mx c n ++>，即2ax c mx n +>-+的解集是3x <-或1x >.例2 (2019年大庆中考题)如图2，抛物线2y x bx c =++的对称轴为直线2x =，抛物线与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为(－1,0).(1)求抛物线的函数表达式. (2)将抛物线2y x bx c =++图象x 轴下方部分沿x 轴向上翻折，保留抛物线在x 轴上的点和x 轴上方图象，得到的新图象与直线y t =恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为,,,D E F G .当以EF 为直径的圆过点(2,1)Q 时，求t 的值。
北师大九年级下专题训练(四)巧用抛物线的对称性解题（含答案）
专题训练(四)巧用抛物线的对称性解题►类型一利用抛物线的对称性求对称轴或点的坐标1．二次函数的图象与x轴的交点坐标分别为(2，0)和(－4，0)，则该二次函数图象的对称轴是直线()A．x＝1 B．x＝－1C．x＝2 D．x＝－22．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，且经过点P(3，0)，则抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为()A．(－1，0) B．(0，0)C．(1，0) D．(3，0)3．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－2，7)，B(6，7)，C(3，－8)，求该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标．►类型二利用抛物线的对称性比较函数值的大小4．已知(－1，y1)，(－2，y2)，(－4，y3)是抛物线y＝－2x2－8x＋m上的点，则() A．y1<y2<y3B．y3<y2<y1C．y3<y1<y2D．y2<y3<y15．若二次函数y＝x2－6x＋c的图象经过A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3＋2，y3)三点，则y1，y2，y3从大到小排列是____________．►类型三利用抛物线的对称性求代数式的值6．已知P(a，m)，Q(b，m)是抛物线y＝2x2＋4x－3上的两个不同的点，则a＋b＝________．7．当x＝m或x＝n(m≠n)时，代数式x2－2x＋3的值相等，则当x＝m＋n时，代数式x2－2x＋3的值为________．►类型四利用抛物线的对称性确定自变量的取值范围8．2＋bx＋c中x，y的部分对应值如下表：x－3－2－101234y60－4－6－6－406则当9．二次函数y＝(x－1)2＋1，当2≤y＜5时，相应x的取值范围为________________．►类型五利用抛物线的对称性求面积10．如图4－ZT－1，⊙O的半径为2，C1是函数y＝2x2的图象，C2是函数y＝－2x2的图象，则图中阴影部分的面积为________．图4－ZT－111．已知二次函数y＝2x2＋m(m为常数)．(1)若点(2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1________y2(填“＞”“＝”或“＜”)；(2)如图4－ZT－2，此二次函数的图象经过点(0，－4)，正方形ABCD的顶点A，B在抛物线上，顶点C，D在x轴上，求图中阴影部分的面积．图4－ZT－2►类型六巧用抛物线的对称性求二次函数的表达式12．已知二次函数y有最大值4，且图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为直线x ＝－3，则此二次函数的表达式为______________．13．已知二次函数的图象与x轴的两个交点A，B关于直线x＝－1对称，且AB＝6，顶点在函数y＝2x的图象上，则这个二次函数的表达式为______________．14．二次函数的图象经过点A(0，0)，B(12，0)，且顶点P到x轴的距离为3，求该二次函数的表达式．►类型七利用对称性解决线段和最短问题15．已知二次函数y＝ax2＋bx＋6的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点A，B的横坐标是一元二次方程x2－4x－12＝0的两个根．(1)请直接写出点A、点B的坐标．(2)请求出该二次函数的表达式及图象的对称轴和顶点坐标．(3)如图4－ZT－3，在二次函数图象的对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图4－ZT－316．如图4－ZT－4，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，它与x轴的另一个交点为B.(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴直线x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．图4－ZT－4详解详析1．[解析] B ∵二次函数的图象与x 轴的交点坐标分别为(2，0)和(－4，0)，∴图象的对称轴是直线x ＝2＋（－4）2＝－1.故选B. 2．[解析] C 由于抛物线的对称轴为直线x ＝2，而点P (3，0)位于x 轴上，设抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为(m ，0)，根据题意得m ＋32＝2，解得m ＝1，则抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为(1，0)，故选C.3．解：由点A (－2，7)，B (6，7)的纵坐标相同，可知点A ，B 关于抛物线的对称轴对称，且对称轴方程为x ＝－2＋62＝2.设该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标为(x 2，－8)，则有2＝3＋x 22，从而得x 2＝1，故该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标为(1，－8)． 4．[解析] C 抛物线y ＝－2x 2－8x ＋m 的对称轴为直线x ＝－2，且开口向下，∴当x ＝－2时y 取得最大值．∵－4＜－1，且－4到－2的距离大于－1到－2的距离，根据抛物线的对称性，知y 3＜y 1.∴y 3＜y 1＜y 2.故选C.5．[答案] y 1＞y 3＞y 26．[答案] －2[解析] 已知点P (a ，m )和Q (b ，m )是抛物线y ＝2x 2＋4x －3上的两个不同的点，因为点P (a ，m )和Q (b ，m )的纵坐标相等，所以它们关于抛物线的对称轴对称，而抛物线y ＝2x 2＋4x －3的对称轴为直线x ＝－1，故a ＋b ＝－2.故答案为－2.7．[答案] 3[解析] 设y ＝x 2－2x ＋3，∵当x ＝m 或x ＝n (m ≠n )时，代数式x 2－2x ＋3的值相等，∴m ＋n 2＝－－22×1，∴m ＋n ＝2，∴当x ＝m ＋n ，即x ＝2时，x 2－2x ＋3＝22－2×2＋3＝3.故答案为3.8．[答案] －2<x <39．[答案] －1＜x ≤0或2≤x ＜3[解析] 当y ＝2时，(x －1)2＋1＝2，解得x ＝0或x ＝2；当y ＝5时，(x －1)2＋1＝5，解得x ＝3或x ＝－1，又抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴－1＜x ≤0或2≤x ＜3.10．[答案] 2π[解析] 利用图形的对称性可知图中阴影部分的面积为半圆面积．∵⊙O 的半径为2，∴图中阴影部分的面积为12π×22＝2π. 11．解：(1)∵y ＝2x 2＋m ，∴图象开口向上，对称轴为直线x ＝0，则当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，∴y 1＜y 2， 故答案为：＜.(2)∵二次函数的图象经过点(0，－4)，将(0，－4)代入y ＝2x 2＋m 可得m ＝－4，∴二次函数的表达式为y ＝2x 2－4.设AB 与y 轴交于点E ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ∥x 轴．由抛物线的对称性知AE ＝EB ，∴BC ＝2OC .设点C 的坐标为(p ，0)(p ＞0)，则点B 的坐标为(p ，2p )，将(p ，2p )代入二次函数表达式，得2p ＝2p 2－4，解得p ＝－1(舍去)或p ＝2， ∴点B 的坐标为(2，4)，∴BC ＝4.由图形的对称性可知阴影部分的面积为正方形面积的一半，∴S 阴影＝12S 正方形ABCD ＝12×BC 2＝12×16＝8. 12．[答案] y ＝－14x 2－32x ＋74[解析] ∵该函数图象与x 轴两交点间的距离是8，对称轴为直线x ＝－3，∴二次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别是(－7，0)，(1，0)，故设该二次函数的表达式为y ＝a (x ＋7)(x －1)．把顶点坐标(－3，4)代入，得4＝a (－3＋7)(－3－1)，解得a ＝－14. 则该二次函数的表达式为y ＝－14(x ＋7)(x －1)，即y ＝－14x 2－32x ＋74. 13．[答案] y ＝29x 2＋49x －169[解析] ∵对称轴为直线x ＝－1，且图象与x 轴交于A ，B 两点，AB ＝6，∴直线与x 轴交于(－4，0)，(2，0)，顶点的横坐标为－1.∵顶点在函数y ＝2x 的图象上，∴y ＝2×(－1)＝－2，∴顶点坐标为(－1，－2)．设二次函数的表达式为y ＝a (x ＋1)2－2，把(2，0)代入，得0＝9a －2，解得a ＝29. ∴y ＝29(x ＋1)2－2＝29x 2＋49x －169. 14．解：∵A ，B 两点关于二次函数图象的对称轴对称，∴二次函数图象的对称轴为直线x ＝6.∵顶点P 到x 轴的距离为3，∴顶点P 的坐标为(6，3)或(6，－3)．当二次函数图象的顶点P 的坐标为(6，3)时，设二次函数的表达式为y ＝a (x －6)2＋3，把A (0，0)代入表达式，得a (0－6)2＋3＝0，解得a ＝－112， ∴二次函数的表达式为y ＝－112(x －6)2＋3，即y ＝－112x 2＋x ； 当二次函数图象的顶点P 的坐标为(6，－3)时，同理可求得二次函数的表达式为y ＝112(x －6)2－3，即y ＝112x 2－x . 故二次函数的表达式为y ＝－112x 2＋x 或y ＝112x 2－x . 15．解：(1)解方程x 2－4x －12＝0得x 1＝－2，x 2＝6，即A (－2，0)，B (6，0)．(2)将A ，B 两点的坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋6，得⎩⎨⎧4a －2b ＋6＝0，36a ＋6b ＋6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝2，∴二次函数的表达式为y ＝－12x 2＋2x ＋6. ∵y ＝－12x 2＋2x ＋6＝－12(x －2)2＋8， ∴二次函数图象的对称轴为直线x ＝2，顶点坐标为(2，8)．(3)存在．如图，作点C 关于二次函数图象的对称轴的对称点C ′，连接AC ′，交二次函数图象的对称轴于点P ，此时△APC 的周长最小．∵C (0，6)，∴C ′(4，6)．设直线AC ′的表达式为y ＝kx ＋n ，则⎩⎨⎧－2k ＋n ＝0，4k ＋n ＝6，解得⎩⎨⎧k ＝1，n ＝2，∴y ＝x ＋2，当x ＝2时，y ＝4，即P (2，4)．16．解：(1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a＝－1，a ＋b ＋c ＝0，c ＝3，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝3.∴抛物线的表达式为y ＝－x 2－2x ＋3.∵抛物线的对称轴为直线x ＝－1，且经过点A (1，0)，∴B (－3，0)．把B (－3，0)，C (0，3)分别代入y ＝mx ＋n ，得⎩⎨⎧－3m ＋n ＝0，n ＝3，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3.∴直线BC 的表达式为y ＝x ＋3.(2)∵点A ，B 关于对称轴对称，点M 在对称轴上，∴MA ＝MB ， ∴MA ＋MC ＝MB ＋MC .∴使MA ＋MC 最小的点M 应为直线BC 与对称轴x ＝－1的交点． 把x ＝－1代入y ＝x ＋3，得y ＝2，∴M (－1，2)．(3)设P (－1，t )，结合B (－3，0)，C (0，3)，得BC 2＝18，PB 2＝(－1＋3)2＋t 2＝4＋t 2，PC 2＝(－1)2＋(t －3)2＝t 2－6t ＋10.①若B 为直角顶点，则BC 2＋PB 2＝PC 2，即18＋4＋t 2＝t 2－6t ＋10，解之，得t ＝－2；②若C 为直角顶点，则BC 2＋PC 2＝PB 2，即18＋t 2－6t ＋10＝4＋t 2，解之，得t ＝4；③若P 为直角顶点，则PB 2＋PC 2＝BC 2，即4＋t 2＋t 2－6t ＋10＝18，解之，得t 1＝3＋172，t 2＝3－172. 综上所述，满足条件的点P 共有四个，坐标分别为P 1(－1，－2)，P 2(－1，4)，P 3(－1，3＋172)，P 4(－1，3－172)．。
中考数学复习指导：利用抛物线的对称性解题
1利用抛物线的对称性解题二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是关于直线x ＝－2b a成轴对称的图形，利用抛物线的对称性解题也是中考的热点之一，现分类例析如下，供教学参考．一、求顶点坐标例1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象上部分点的坐标满足下表：该函数图象的顶点坐标为( )(A)（－3，－3） (B)（－2，－2）(C)（－1，－3） (D)（0，－6）解 观察表中当x ＝－3或－1时，y ＝－3，由抛物线的对称性，对称轴为直线x ＝－2，故顶点坐标为（－2，－2），所以应选B ．点评 本题是用表格给出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的信息，观察出当x ＝－3或－1时，y ＝－3，是解题的关键．二、判断点在图象上例2 若二次函数y ＝ax 2的图象经过点P(－2，4)，则该图象必经过点( )(A)(2，4) (B)（－2，－4）(C)（－4，2） (D)（4，－2）解 由二次函数y ＝ax 2的对称轴为y 轴，又P(－2，4)关于y 轴的对称点为(2，4)，所以应选A ．点评 本题二次函数y ＝ax 2的对称轴为y 轴是解题的突破口，根据抛物线的对称性，从而P （－2，4）关于y 轴的对称点在二次函数y ＝ax 2的图象上．三、比较大小例3 设A （－2，y 1），B(1，y 2)，C(2，y 3)是抛物线y ＝－(x ＋1)2＋m 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为( )(A)y 1>y 2>y 3 (B)y 1>y 3>y 22(C)y 3>y 2> y 1 (D)y 2>y 1>y3解 方法1 把A 、B 、C 三点的坐标分别代人y ＝－(x ＋1)2＋m ，得y 1＝－1＋m ，y 2＝－4＋m ，y 3＝－9＋m ，所以y 1>y 2>y 3．方法2 ∵函数的解析式是y ＝－(x ＋1)2＋a ，如图1，∴对称轴是x ＝－1，∴点A 关于对称轴的点A'是(0，y 1)，那么点A'、B 、C 都在对称轴的右边，而对称轴右边'随x 的增大而减小，于是y 1>y 2>y 3，故选A ．点评 代入法是比较函数值大小的一种常用方法；数形结合法，当抛物线开口向下的时候离对称轴越近，对应的函数值越大，当抛物线开口向上的时候离对称轴越近，对应的函数值越小．四、求与x 轴交点坐标例4 如图2，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，对称轴为直线x ＝1，图象经过(3，0)，下列结论中，正确的是( )(A)abc < 0 (B)2a ＋b < 0(C)a －b ＋c < 0 (D)4ac －b 2< 0解 (A)根据图2知，抛物线开口方向向上，则a>0．抛物线的对称轴x ＝－2b a ＝1>0，则b<0．抛物线与y 轴交于负半轴，则c<0，所以abc>0．故本选项错误．(B)∵x ＝－2b a ＝1，∴b ＝－2a ，∴2a ＋b ＝0．故本选项错误．3(C)对称轴为直线x ＝1，图象经过(3，O)，∴该抛物线与x 轴的另一交点的坐标是（－1，0），∴当x ＝－1时，y ＝0，即a －b ＋c ＝0．故本选项错误．(D)根据图2知，该抛物线与x 轴有两个不同的交点，则＝b 2－4ac>0，则4ac －b 2<0．故本选项正确．故选D ．点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与），轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定，选项C 中求抛物线x 轴的另一交点，要妙用其对称性．五、求不等式的解集例5如图3是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分图象，由图象可知不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是( )(A)－1 <x<5(B)x>5(C)x <－1，且x>5(D)x <－1，或x>5解 由二次函数的对称性，已知了对称轴直线x ＝2和与x 轴的一个交点坐标(5，0)即可得出另一个交点坐标（－1，0）；再由不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集即得x 取值范围，故选D ．点评 本题主要考查了函数图象与不等式之间的关系，利用数形结合思想不难选出D 选项，但本题如果对数形结合思想的不理解或不能熟练运用，有可能会采取代入对称轴直线及与x 轴交点坐标的方法运算，则比较繁琐．六、求抛物线解析式4例6 如图4，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过点C （0，－3）．(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y ＝－x 上，并写出平移后抛物线的解析式．(2)先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y＝－x2．平移后抛物线的顶点为(0，0)落在直线y＝－x上．点评此题主要考查了二次函数的平移以及配方法求二次函数解析式顶点坐标以及交点式求二次函数解析式，根据平移性质得出平移后解析式是解题关键．第(1)题解法多，方法1直接用一般式，是常用的方法，但需解三元一次方程组；方法2是用顶点式，根据对称性，求出对称轴直线x＝2，是解题的关键；方法3是与x轴的交点式，解法简洁，但一般教课书中没有．七、求线段和的最小值例7 如图5，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－3，0），B(1，0)，C(0，3)三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；(3)如图6，若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．①求S与m的函数关系式；56②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由．7此时点E 的坐标为（－2，2）．点评 此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的最值，根据点的坐标表示出线段的长是表示出三角形的面积的基础，第(2)题中利用抛物线的对称性是解题的突破口．。
2024陕西数学中考备考重难专题：抛物线与几何综合题特殊三角形、四边形问题课后练习【含答案】
2024陕西数学中考备考重难专题：抛物线与几何综合题特殊三角形、四边形问题考情分析年份题号题型分值抛物线的变化设问形式解题关键点201724解答题10关于y轴对称(1)求两抛物线表达式(2)求抛物线与x轴两交点坐标(3)求满足平行四边形存在的点坐标(1)轴对称性质，抛物线的对称轴，抛物线的图象，开口方向(2)两点位置(3)平行四边形的性质20212410平移(1)判断抛物线与x轴交点情况(2)写满足等腰直角三角形存在的平移过程(1)待定系数法求抛物线表达式，一元二次方程根的判别(2)抛物线图象的平移20222410中心对称(1)求与坐标轴交点坐标(2)求抛物线表达式(3)求不是菱形的平行四边形的面积(1)抛物线与坐标轴的交点问题(2)抛物线图象关于中心对称性质(3)平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分例(2022陕西逆袭卷改编)如图，抛物线L：y＝x2＋2x－c的图象与x轴交于A，B两点(点B 在点A的左侧)，与y轴交于点C(0，-3)，过点A的直线与y轴交于点D，与抛物线交于点M，且tan∠BAM＝1.(1)求点A，B的坐标及抛物线解析式;(2)抛物线M与抛物线L关于y轴对称，求抛物线M与y轴交点坐标；(3)若点P为抛物线L上一动点，E为直线AD上一动点，则是否存在点P，使得以点A，P，E 为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．例题图①(4)抛物线M上存在一点F，抛物线L上存在一点G，使得四边形ABFG为平行四边形，求出F，G两点坐标.例题图②探究平行四边形存在性问题的步骤：1.三定点(A、B、C)，一动点(D)：分别过点A、B、C作BC、AC、AB的平行线，三条平行线的交点即为所求作的点D 2.两定点(A、C)，两动点(E、F)：分AC为边和AC为对角线两种情况来讨论：①AC为边，平移AC，利用平行四边形的对边平行且相等确定点E、F位置②AC为对角线，取AC中点，利用平行四边形对角线互相平分来确定点E、F位置练习(2022山西逆袭复诊卷)综合与探究如图，抛物线y＝38x2－94x－6与x轴交于点A，C，与y轴交于点B，点P是抛物线上任意一点，连接PB，PC，BC.练习题图(1)求点A，B，C的坐标；(2)当△PBC的面积为24时，求点P的坐标；(3)若点Q是直线x＝4上一点，是否存在以点P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．练习1(2022陕西原创卷)在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，－3)，抛物线L′与抛物线L关于y轴对称．练习1题图(1)求抛物线L的表达式；(2)抛物线L′的顶点为D，在x轴上是否存在一点P，使得以B、D、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．练习2(2022陕西黑白卷白卷)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与直线y＝23x－2分别交x轴、y轴于点A，B，且抛物线与x轴的另一个交点为C(－1，0).(1)求抛物线的表达式；(2)点P是平面内任意一点，在抛物线对称轴上是否存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．练习2题图答案典例精讲例解：(1)∵C(0，－3)∴抛物线L解析式为y＝x2＋2x－3，令y＝0，即x2＋2x－3＝0，解得x＝1或x＝－3，∴A(1，0)，B(－3，0)；(2)将抛物线L化为顶点式为y＝(x+1)2－4∵抛物线M与抛物线L关于y轴对称，∴抛物线M的解析式为y＝(x－1)2－4令x=0，则y=－3，∴抛物线M与y轴交点坐标为(0，－3)(3)存在．在Rt△AOD中，∵tan∠BAM＝tan∠OAD＝ODOA＝1，∴OD＝OA，∠BAD＝45°.如解图，分三种情况讨论：例题解题①①当AE＝PE时，∠AEP＝90°，∴∠EPA＝∠EAP＝45°，∵∠DAB＝45°，∴此时点P与点B重合，∴点P 的坐标为(－3，0)；②当AP ＝PE 时，∠EPA ＝90°，∴∠PEA ＝∠EAP ＝45°，∴此时点P 与点B 重合，∴点P 的坐标为(－3，0)；③当AP ＝AE 时，∠EAP ＝90°，设AP 与y 轴交于点F ，则∠OFA ＝∠OAF ＝45°，∴OF ＝OA ＝1，∴点F 的坐标为(0，－1)，设直线AF 的表达式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将A (1，0)，F (0，－1)代入y ＝kx ＋b 中，＝k ＋b1＝b ＝1＝－1，∴直线AF 的表达式为y ＝x －1，设点P 的坐标为(x ，x 2＋2x －3)，∴x 2＋2x －3＝x －1，解得x 1＝1(舍去)，x 2＝－2，当x ＝－2时，y ＝－2－1＝－3，∴点P 的坐标为(－2，－3)．综上所述，满足条件的点P 的坐标为(－3，0)或(－2，－3)．(4)∵A (1，0)，B (－3，0)∴AB ＝4∵点F 在抛物线M 上，点G 在抛物线L 上，且四边形ABFG 是平行四边形∴FG ∥AB ，FG =AB =4∵抛物线M 与抛物线L 关于y 轴对称∴两抛物线上纵坐标相同的点，横坐标关于y 轴对称∴4F G x x +=，x F ＝－x G分两种情况讨论，当F 、G 在x 轴上方时，即x F ＝－2时，x G ＝2当F、G在x轴下方时，即x F＝2时，x G＝－2将x F＝－2代入抛物线M解析式y＝x2－2x－3可得y F＝5，x G＝2，y G＝5，此时F(－2，5)，G(2，5)将x F＝2代入抛物线M解析式y＝x2－2x－3可得y F＝－3，x G＝－2，y G＝－3，此时F(2，－3)，G(－2，－3)∴综上所述，F(－2，5)，G(2，5)或F(2，－3)，G(－2，－3).例题解图②课堂练兵练习解：(1)在y＝38x2－94x－6中，令y＝0，得38x2－94x－6＝0，解得x＝－2或x＝8，令x＝0，得y＝－6，∴点A(－2，0)，点B(0，－6)，点C(8，0)；(2)当点P在直线BC下方时，如解图①，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点E，设直线BC的表达式为y＝kx＋d(k≠0)，将点B(0，－6)，C(8，0)代入，得＝－68＋＝0，解得＝34＝－6，∴直线BC的表达式为y＝34x－6.设点P (m ，38m 2－94m －6)(0<m <8)，则点E (m ，34m －6)，∴PE ＝(34m －6)－(38m 2－94m －6)＝－38m 2＋3m ，∴S △PBC ＝12PE ·OC ＝12(－38m 2＋3m )×8＝－32m 2＋12m ，当S △PBC ＝24时，即－32m 2＋12m ＝24，解得m ＝4，此时P (4，－9)；当点P 在直线BC 上方时，如解图②，由平移易求得lP 1P 2：y ＝34x ，联立＝34＝382－94－6，解得1＝4＋421＝3＋32，2＝4－422＝3－32，此时P 1(4＋42，3＋32)，P 2(4－42，3－32)．综上所述，点P 的坐标为(4，－9)或(4＋42，3＋32)或(4－42，3－32)；解图①解图②练习题(3)存在．当以点P ，Q ，B ，C 为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况：①如解图③，当BC 作为平行四边形的一条边时，PQ ∥BC ，且PQ ＝BC ，∵点Q 的横坐标为4，∴|x p －4|＝8，解得x p ＝－4或x p ＝12，∴P 1(－4，9)，P 2(12，21)；②如解图④，当BC 为平行四边形的对角线时，设对角线交于点R ，则BR ＝CR ，∴点R (4，－3)，＋2＝4，点Q 在直线x ＝4上，∴点P 的横坐标为4，此时P 3(4，－9)．综上所述，存在满足题意的点P ，点P 的坐标为(－4，9)或(12，21)或(4，－9)．解图③解图④练习题课后小练练习1解：(1)分别将点B (3，0)，C (0，－3)的坐标代入y ＝x 2＋bx ＋c 中得9＋3＋＝0＝－3，解得＝－2＝－3，∴抛物线L 的表达式为y ＝x 2－2x －3；(2)存在．∵抛物线L ′与抛物线L 关于y 轴对称，∴抛物线L ′的表达式为y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4，∴D (－1，－4)，设点P 的坐标为(m ，0)，∴BD 2＝(3＋1)2＋[0－(－4)]2＝32，DP 2＝(m ＋1)2＋(0＋4)2，则PB 2＝(m －3)2，∵△PBD 为等腰三角形，分三种情况讨论：①当PB ＝BD 时，即(m －3)2＝32，解得m ＝3＋42或m ＝3－42，∴P 1(3＋42，0)，P 2(3－42，0)；②当BD ＝PD 时，即32＝(m ＋1)2＋(0＋4)2，解得m ＝3(舍去)或m ＝－5，∴P 3(－5，0)；③当PB ＝PD 时，即(m －3)2＝(m ＋1)2＋(0＋4)2，解得m ＝－1，∴P 4(－1，0)综上所述，点P 点坐标为(3＋42，0)，(3－42，0)，(－5，0)，(－1，0).练习2解：(1)在y ＝23x －2中，当x ＝0时，y ＝－2.∴B (0，－2).令y ＝23x －2＝0，得x ＝3.∴A (3，0).设抛物线的表达式为y ＝a (x ＋1)(x －3)，将点B(0，－2)代入，得－2＝－3a，解得a＝2 3 .∴抛物线的表达式为y＝23(x＋1)(x－3)＝23x2－43x－2；(2)存在．∵A(3，0)，B(0，－2)，∴AB2＝13.由(1)可知抛物线的对称轴为直线x＝1，∴设Q(1，m)，则AQ2＝22＋m2，BQ2＝1＋(m＋2)2，要使以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形，则分三种情况讨论：①当AQ＝AB，即AQ2＝AB2时，四边形ABPQ为菱形，∴22＋m2＝13，解得m＝3或m＝－3，∴点Q的坐标为(1，3)或(1，－3)；②当AB＝BQ，即AB2＝BQ2时，四边形ABQP为菱形，∴13＝1＋(m＋2)2，解得m＝23－2或m＝－23－2，∴点Q的坐标为(1，23－2)或(1，－23－2)，③当AQ＝BQ，即AQ2＝BQ2时，四边形AQBP为菱形，∴22＋m2＝1＋(m＋2)2，解得m＝－1 4∴点Q的坐标为(1，－1 4 ).综上所述，点Q的坐标为(1，3)或(1，－3)或(1，23－2)或(1，－23－2)或(1，－1 4 ).。
巧用抛物线的对称性解题
巧用抛物线的对称性解题福建 周奕生我们知道，抛物线y ＝2ax bx c ++是以直线x ＝－2b a为对称轴的轴对称图形，由此可以进一步得到如下性质：（1）抛物线上纵坐标相同的两点是对称点；（2）如果抛物线交x 轴于两点，那么这两点是对称点；（3）抛物线上对称两点的纵坐标相等．利用抛物线的对称性解决抛物线有关问题十分简洁，异常巧妙．例1 已知抛物线y ＝2ax bx c ++经过Ａ（2，－5）和Ｂ（－6，－5）两点，求这条抛物线的对称轴．分析：此题的一般解法是：由已知，得 4253665a b c a b c ++=-⎧⎨-+=-⎩， 两式相减，得－32a ＋8b ＝０，即b ＝４a ，所以抛物线的对称轴是x ＝－2b a ＝42a a-＝－2； 从抛物线的对称性入手，解法十分简便．因为Ａ、Ｂ两点的纵坐标相同，所以Ａ、Ｂ两点关于抛物线的对称轴对称，因此，抛物线的对称轴经过线段ＡＢ的中点，而ＡＢ中点坐标是（－2，－5），所以抛物线的对称轴是x ＝－2．例2 已知抛物线y ＝2ax bx c ++的对称轴是x ＝2，且经过点Ａ（2，1），试判断该抛物线是否经过点Ｂ（2，1）分析：本题一般解法是：由已知，得((222221b a a b c ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，然后验证当x ＝2时，y 是否等于1？这种解法显然是繁不胜繁．而从对称性入手那就简单多了．因为点Ｂ与点Ａ的纵坐标相同，而点Ａ在抛物线上，因此要判断点Ｂ是否在抛物线上，只须判断点Ｂ和Ａ是否关于抛物线的对称轴x ＝2对称即可．易知，点Ａ和Ｂ到直线x ＝2x ＝2对称，又点Ａ在抛物线上，直线x ＝2是抛物线的对称轴，所以点Ｂ在抛物线上，即抛物线经过点Ｂ．例3 已知抛物线y ＝2ax bx c ++的顶点是Ｍ（2，－9），且在x 轴上截得的线段ＡＢ的长是6，求a ，b ，ｃ的值．分析：这是一道常见题，相信大家对此题的解法已是胸有成竹，但下面的解法将令你刮目相看．解：由对称性可知Ａ、Ｂ是关于抛物线的对称轴x ＝2对称的两点，又ＡＢ＝6，所以Ａ、Ｂ两点到直线x ＝2的距离都是3，因此，点Ａ、Ｂ的坐标是（－1，０），（5，０），故可设抛物线的解析式为y ＝a （x ＋1）（x －5），把x ＝2，y ＝－9代入，得－9＝a （2＋1）（2－5），解得a ＝－1，故y ＝－（x ＋1）（x －5），即y ＝24x x -+＋5，比较系数，得a ＝－1，b ＝４，ｃ＝5．。
(文章)利用抛物线的对称轴解题
利用抛物线的对称轴解题抛物线的对称轴是二次函数的一个重要特性，巧用这个对称性，能使求解变得简洁，下面举例说明；1. 用对称比大小例1、已知二次函数234y x x =--，若x x 2132320->->，试比较1y 与2y 的大小；解析：因为抛物线的对称轴为x =32，且3201->x ，x 2320->，所以x 1在对称轴的左侧，x 2在对称轴的右侧，因为x 1到对称轴x =32的距离为||x x 113232-=-，x 2到对称轴x =32的距离为||x x 223232-=-，由题意知：x x 2132320->->，即x 2到对称轴的距离大于x 1到对称轴的距离，所以21y y >2. 用对称求解析式例2. 已知抛物线y ax bx c =++2的顶点坐标为（－1，4），与x 轴两交点间的距离为6，求此抛物线的解析式。
解析：因为顶点坐标为（－1，4），所以对称轴为x =-1，又因为抛物线与x 轴两交点的距离为6，所以两交点的横坐标分别为： x 113=--，x 213=-+， 则两交点的坐标为（-4，0）、（2，0）；求函数的解析式可有两种方法：解法(1)：设抛物线的解析式为顶点式：y a x =++()142，把（2，0）代入得a =-49，所以抛物线的解析式为y x =-++49142()；解法(2)：设抛物线的解析式为两点式：(4)y a x =+（x-2），把（－1，4）代入得a =-49，所以抛物线的解析式为：4(4)9y x =-+（x-2）；3. 用对称性解答方程问题例3. 关于x 的方程x px 210++=（p >0）的两根之差为1，则p 等于（ ） A. 2 B. 4 C.3 D.5解析：设方程x px 210++=的两根为x 1、x 2，则抛物线y x px =++21与x 轴两交点的坐标为（x 1，0），（x 2，0）因为抛物线的对称轴为x p =-2，所以x p 1212=--，x p 2212=-+， 因为x x 121⋅=，所以()()---+=p p 2122121，得：p 25=，因为p >0，所以p =5 故选D。
巧用抛物线的对称性解中考题
巧用抛物线的对称性解中考题同学们是否研究过这样一个结论：若10(,)x y 、20(,)x y 是抛物线2y ax bx c =++的两点，则抛物线的对称轴是：122x x x +=． 这是因为，将10(,)x y 、20(,)x y 分别代入抛物线2y ax bx c =++得：2011y a x b xc =++，2022y ax bx c =++，所以有：211ax bx c ++=222ax bx c ++，移项得：221212()()0a x x b x x -+-=，即：1212()[()]0x x a x x b -++=，由于12x x ≠，所以12()0a x x b ++=，即b=12()a x x -+，所以抛物线的对称轴是：2bx a =-=12()2a x x a-+-=122x x +． 利用这一结论解决某些问题，可以大大简化解题过程，降低题目的难度，从而节省大量的有效时间．下面以中考试题为例加以说明，供同学们参考．例1．如图1，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，0），则c b a +-的值为（ ） A. 0 B. －1 C. 1 D. 2分析：由抛物线的对称轴1=x ，及点P （3，0），可求出抛物线上点P 关于对称轴1=x 的对称点的坐标为Q （-1，0），由于Q 在抛物线上，所以问题可求．解：由对称轴1=x 及点P （3，0），所以P 的对称点为（-1，0），有（-1，0）满足关系式，所以c b a +-=0，故选A ．评注：本题设计非常巧妙，独具匠心，若不用这种方法将有点麻烦．y33O x图1P1例2．初三数学课本上，用“描点法”画二次函数2y ax bx c =++的图象时，列了如下表格：x … 2-1- 0 1 2 … y…162- 4-122- 2-122- …根据表格上的信息回答问题：该二次函数2y ax bx c =++在3x =时，y = ．分析：由表格可知：（0，122-）和（2，122-）是一对对称点，所以对称轴为0212x +==，因此x=3的值与x=-1的值相等．解：根据二次函数的对称性可知，其对称轴为直线x=1,所以3x =时的函数值与x=-1时相等，所以y=-4．评注：本题考查二次函数的对称性．本题若不用这种方法，则需由表格中的三个点的坐标代入列出三元一次方程组，求出抛物线的关系式，再将x=3代入，计算量大而且非常麻烦．例3．抛物线2y ax bx c =++经过点A （-2,7），B （6，7），C （3，-8），则抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是 ．分析：由于A （-2,7），B （6，7）的纵坐标相同，知A,B 关于抛物线的对称轴对称，利用上述公式易求出对称轴，从而问题可求．解：由于A （-2,7），B （6，7）的纵坐标相同，所以对称轴为2622x -+==，于是设该抛物线纵坐标为-8的另一点的坐标为（2x ，-8），则有2322x +=，所以2x =1，故应填（1，-8）．评注：本题两次运用抛物线的轴对称性，大大降低了难度及运算．若用常规解法为：由A 、B 、C 三点列出关于a 、b 、c 的三元一次方程组求出抛物线的关系式，再令y=-8，解关于x 的一元二次方程选出不同于3的根，得出答案，显然非常麻烦！。
中考数学-抛物线的对称性专项练习-含答案
抛物线的对称性（基础篇）（专项练习）一、单选题【类型一】已知抛物线上对称两点求对称轴1．已知抛物线y＝x2+bx+4经过（﹣1，n）和（3，n）两点，则b的值为（）A．﹣2B．﹣4C．2D．42．若A（－1，7）、B（5，7）是抛物线y＝ax²＋bx＋c上的两点，则该抛物线的对称轴是（）A．直线x＝1B．直线x＝2C．直线x＝3D．直线x＝43．已知二次函数y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣3﹣201348…y…70﹣8﹣9﹣5040…则二次函数的对称轴是（）A．x=﹣1B．x=1C．x=4D．x=﹣4 4．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则该二次函数的顶点坐标为（）A．（1，3）B．（0，1）C．（0，—3）D．（2，1）5．二次函数y=-x2+bx+4经过(-2，n)（4，n）两点，则n的值是（）A．-4B．-2C．2D．46．某同学在利用描点法画二次函数2(0)y ax bx c a=++≠的图象时，先取自变量x的一些值计算出相应的函数值y，如下表所示：x…01234…y…－30－10－3…接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（）A．3xy=⎧⎨=-⎩B．21xy=⎧⎨=-⎩C．3xy=⎧⎨=⎩D．43xy=⎧⎨=-⎩【类型二】根据二次函数对称性求函数值7．抛物线y ＝﹣2（x ﹣1）2上有三点A (﹣1，y 1)，B 2y 2)，C (2，y 3)，则y 1，y 2，y 3从小到大是（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 3＜y 1C ．y 2＜y 1＜y 3D ．y 1＜y 3＜y 28．二次函数21(2)12y x a =--+的图象上有两点()()121,,5,y y -，则12y y -的值是（ ） A ．负数B ．零C ．正数D ．不能确定9．已知点A （1-，m ），B （ l ，m ），C （2，1）在同一条抛物线上，则下列各点中一定在这条抛物线上的是（ ）A ．(1,1)B ．(2,1)-C ．(4,1)D ．(3,4)10．函数y =x 2-x +m （m 为常数）的图象如图，如果x =a 时，y ＜0；那么x =a -1时，函数值( )A ．y ＜0B ．0＜y ＜mC ．y =mD ．y ＞m11．已知二次函数y =ax 2+bx +c （a <0），当1x =时，函数y 有最大值，设(-1，y 1)，(2，y 2)，（4，y 3）是这个函数图象上的点，那么( )A ．y 1>y 2>y 3B ．y 2>y 1>y 3C ．y 3>y 1>y 2D ．y 2>y 3>y 112．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线x ＝2，其部分图象如图所示，则此抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为（ ）A ．（4，0）B ．（6，0）C ．（8，0）D ．（10，0）二、填空题【类型一】已知抛物线上对称两点求对称轴13．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 01 … y ＝ax 2+bx +c…tm﹣2 ﹣2n…则该二次函数图象的对称轴为直线 _____．14．若抛物线2y ax bx c =++与x 轴的两个交点坐标是()6,0- 和 ()4,0，则该抛物线的对称轴是________．15．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如表格所示，可知它的图象与x 轴有两个交点，其中一个交点是（﹣1，0）那么它的图象与x 轴的另一个交点坐标是_____．16．若抛物线23y bx x -+＝的对称轴为直线x ＝－1，则b 的值为_________．17．如图，对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为________．18．已知抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的公共点是(-4，0)，(2，0)，则这条抛物线的对称轴是直线______．【类型二】根据二次函数对称性求函数值19．已知二次函数2y x bx c =-++中函数y 与自变量x 之间部分对应值如下表所示，点()()1122,,,A x y B x y ，在该函数的图象上．x … 0 1 2 3 … y…mn5n…（1）则表格中的m =__________；（2）当120x x <<时，1y 和2y 的大小关系为__________．20．已知函数y ＝﹣x 2+bx +c 的部分图象如图所示，若y ＞0，则x 的取值范围是_____．21．抛物线()22y a x c =-+的图像与x 轴交于A 、B 两点，若A 的坐标为(1,0)，则点B 的坐标为________．22．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表： x ﹣2 ﹣1 0 1 2 y1771﹣11则当x ＝3时，y ＝_________．23．二次函数y ＝ax 2﹣2ax 和y ＝bx 2﹣2bx 其自变量和函数值的两组对应值如表所示，根据二次函数图象的相关性质可知：t ＝___，q ﹣n ＝___．x 2 t （t ≠2）y ＝ax 2﹣2ax n n y ＝bx 2﹣2bxn +6q24．抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴是直线x =﹣1，其图象如图所示．下列结论：①abc ＜0；①b =2a ；①若（x 1，y 1）和（x 2，y 2）是抛物线上的两点，则当|x 1+1|＞|x 2+1|时，y 1＜y 2；①抛物线的顶点坐标为（﹣1，m ），则关于x 的方程ax 2+bx +c =m ﹣1无实数根．其中，正确的序号是 ___．三、解答题25．已知二次函数的图象经过三点（1,0)()3,0-，30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭(1)求二次函数的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标，对称轴以及抛物线与坐标轴的交点； (3)当x 为何值时，函数有最大值或最小值？最大值或最小值是多少？26．如图，抛物线y ＝x 2+bx ﹣2过点A (﹣1，m )和B (5，m )，与y 轴交于点C ． （1）求b 和m 的值；（2）连接AB ，AB 与y 轴交于点D ． 请求出：①点D 的坐标； ①ABC 的面积．27．如图，已知二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象经过点A（﹣1，﹣1）和点B（3，﹣9）．（1）求该二次函数的表达式；（2）直接写出抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图象上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离．28．已知抛物线y＝（x﹣1）2+k与y轴相交于点A(0，﹣3)，点P为抛物线上的一点．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点P的横坐标为2，则点P到x轴的距离为．。
中考数学探究性试题精选之抛物线的平移、旋转、对称
中考数学探究性试题精选之抛物线的平移、旋转、对称1．在直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点．其中点A（﹣2，0），点B（4，0）．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，在直线l：y=−12x+n经过A点，与y轴交于D．在直线l下方的抛物线上有一个动点P，连接P A，PD，求△P AD面积的最大值及其此时P的坐标．（3）将抛物线y向右平移1个单位长度后得到新抛物线y1，点E是新抛物线y1的对称轴上的一个动点，点F是原抛物线上的一个动点，取△P AD面积最大值时的P点．若以点P、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点F的坐标，并写出求解其中一个F点的过程．2．如图，抛物线y＝ax2+2ax+c经过B（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于另一点A，点D是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）如图1，连接AC，点E在直线AC上方的抛物线上，连接EA，EC，当△EAC面积最大时，求点E坐标；（3）如图2，连接AC、BC，在抛物线上是否存在点M，使∠ACM＝∠BCO，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图1，抛物线y ＝ax 2+3ax （a 为常数，a ＜0）与x 轴交于O ，A 两点，点B 为抛物线的顶点，点D 是线段OA 上的一个动点，连接BD 并延长与过O ，A ，B 三点的⊙P 相交于点C ，过点C 作⊙P 的切线交x 轴于点E ． （1）①求点A 的坐标；②求证：CE ＝DE ；（2）如图2，连接AB ，AC ，BE ，BO ，当a =−2√33，∠CAE ＝∠OBE 时， ①求证：AB 2＝AC •BE ；②求1OD−1OE的值．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +2（a ≠0）与x 轴交于点A （﹣4，0）和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，经过点A 的直线与抛物线交于点D （﹣1，3），与y 轴交于点E ． （1）求直线AD 的表达式；（2）求抛物线的表达式和顶点P 的坐标；（3）点F 是x 轴下方抛物线上的一个动点，使△ADF 的面积为272，请直接写出点F 的坐标为 ；（4）点M 是线段OA 上一动点，点N 是线段AE 上一动点，且AM ＝EN ，请直接写出EM +ON 的最小值为 ．5．已知抛物线y＝x2+ax+b的顶点坐标为（1，2）．（1）求a，b的值；（2）将抛物线y＝x2+ax+b向下平移m个单位得到抛物线C1，存在点（c，1）在C1上，求m的取值范围；（3）抛物线C2：y＝（x﹣3）2+k经过点（1，2），直线y＝n（n＞2）与抛物线y＝x2+ax+b 相交于A、B（点A在点B的左侧），与C2相交于点C、D（点C在点D的左侧），求AD ﹣BC的值．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴为直线x＝2，顶点为A，与x轴分别交于点B和点C（点B在点C的左边），与y轴交于点D，其中点C的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的表达式；（2）将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为E，联结DE．①如果DE∥AC，求四边形ACDE的面积；②如果点E在直线DC上，点Q在平移后抛物线的对称轴上，当∠DQE＝∠CDQ时，求点Q的坐标．7．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k2=12有实数根，k为正整数．（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，关于x的二次函数y＝x2+2x+k2−12的图象记为M，将M向下平移9个单位，求平移后的图象表达式；（3）设（2）的图象M与y轴的交点为C，当图象M在y轴右侧部分沿过点C与x轴平行的直线m折叠后，与未折叠的部分构成一个新图象，当直线y=13x+n与新图象有三个公共点时，直接写出n的取值范围？8．如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查询结果发现，该二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+1．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，1），B（1，﹣2），．求该二次函数的解析式．（1）请根据已有信息添加一个适当的条件：；（2）当函数值y＜6时，自变量x的取值范围：；（3）如图1，将函数y＝x2﹣4x+1（x＜0）的图象向右平移4个单位长度，与y＝x2﹣4x+1（x≥4）的图象组成一个新的函数图象，记为L．若点P（3，m）在L上，求m的值；（4）如图2，在（3）的条件下，点A的坐标为（2，0），在L上是否存在点Q，使得S＝9．若存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．△OAQ9．如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其中点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，4）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图①，若点P为抛物线上第二象限内的一点，且到y轴的距离是2．点M为线段CO上的一个动点，求△APM周长的最小值；（3）如图②，将原抛物线绕点A旋转180°，得新抛物线y'，在新抛物线y'的对称轴上是否存在点Q，使得△ACQ为等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y＝﹣x2+2mx﹣2m﹣3的顶点为点P．（1）顶点P的坐标为；（用含m的式子表示）（2）直线l：y＝x﹣3分别与x轴和y轴交于点A和点B，点P在第四象限．①当△P AB面积最大时，求抛物线G的解析式；②在①的条件下，把抛物线G沿y轴向上平移t（t＞0）个单位长度得到抛物线G'，若抛物线G'与△P AB的边有且只有两个交点，求实数t的取值范围．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D（2，1）（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△P AC周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为h（h＞0），在平移过程中，该抛物线与直线BC始终有交点，求h的最大值．12．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，与y轴交于点C，线段CB∥x轴，交该抛物线于另一点B．（1）求点B的坐标及直线AC的解析式；（2）当二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x满足m≤x≤m+1时，此函数的最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝2．求m的值；（3）平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，使其（备用图）顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围．13．定义：将二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）在x轴下方部分沿x轴向上翻折，翻折后部分与原来未翻折部分形成一个新的函数G，那么称函数G为原二次函数的有趣函数．（1）二次函数y＝x2+2x+3 （有/没有）有趣函数．（2）已知二次函数与x轴交于点（1，0）、（5，0），与y轴交于点A（0，5），求抛物线的解析式，并在坐标系中画出函数图象．（3）在（2）的条件下：①过点A作x轴的平行线与抛物线交于点B，求线段AB的长度．②若函数G为原二次函数的有趣函数，画出函数G的图象并求解当函数G的函数值大于2时，自变量x的取值范围（直接写出答案）．14．在平面直角坐标系xOy中，对于点P，直线l和矩形w，定义如下：若点P关于直线l 的对称点P'在矩形ABCD的边上，则称点P为矩形ABCD关于直线l的“对矩点”．已知矩形ABCD的顶点A（1，0），B（8，0），C（8，4），D（1，4）．例如，图1中的点F和点G都不是矩形ABCD关于y轴的“对矩点”，点H是矩形ABCD 关于y轴的“对矩点”．（1）在点P1（﹣2，2），P2（2，4），P3（4，2），P4（6，3）中，是矩形ABCD关于直线l：x＝3“对矩点”的点是；（2）若在直线y＝2x+6上存在点M，使得点M是矩形ABCD关于直线l：x＝t的“对矩点”，求t的取值范围；（3）若抛物线y＝﹣x2﹣4x+9上存在矩形ABCD关于直线l：x＝t的“对矩点”且恰有4个，请直接写出t的取值范围．15．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，2）．（1）抛物线顶点位于y轴右侧且纵坐标为6．①求抛物线的解析式．②如图1，直线y ＝﹣x+4与抛物线交于B、C两点，P为线段BC上一点，过P作PM∥y轴交抛物线于M 点．若PM＝3，求P点的坐标．（2）将抛物线平移，使点A的对应点为A'（m+1，b+4），其中m≠2．若平移后的抛物线经过点N（2，1），平移后的抛物线顶点恰好落在直线y＝x+5上，求b的值．。
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专题训练(四)巧用抛物线的对称性解题►类型一利用抛物线的对称性求对称轴或点的坐标1．二次函数的图象与x轴的交点坐标分别为(2，0)和(－4，0)，则该二次函数图象的对称轴是直线()A．x＝1 B．x＝－1C．x＝2 D．x＝－22．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，且经过点P(3，0)，则抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为()A．(－1，0) B．(0，0)C．(1，0) D．(3，0)3．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－2，7)，B(6，7)，C(3，－8)，求该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标．►类型二利用抛物线的对称性比较函数值的大小4．已知(－1，y1)，(－2，y2)，(－4，y3)是抛物线y＝－2x2－8x＋m上的点，则() A．y1<y2<y3B．y3<y2<y1C．y3<y1<y2D．y2<y3<y15．若二次函数y＝x2－6x＋c的图象经过A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3＋2，y3)三点，则y1，y2，y3从大到小排列是____________．►类型三利用抛物线的对称性求代数式的值6．已知P(a，m)，Q(b，m)是抛物线y＝2x2＋4x－3上的两个不同的点，则a＋b＝________．7．当x＝m或x＝n(m≠n)时，代数式x2－2x＋3的值相等，则当x＝m＋n时，代数式x2－2x＋3的值为________．►类型四利用抛物线的对称性确定自变量的取值范围8．2＋bx＋c中x，y的部分对应值如下表：则当9．二次函数y＝(x－1)2＋1，当2≤y＜5时，相应x的取值范围为________________．►类型五利用抛物线的对称性求面积10．如图4－ZT－1，⊙O的半径为2，C1是函数y＝2x2的图象，C2是函数y＝－2x2的图象，则图中阴影部分的面积为________．图4－ZT－111．已知二次函数y＝2x2＋m(m为常数)．(1)若点(2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1________y2(填“＞”“＝”或“＜”)；(2)如图4－ZT－2，此二次函数的图象经过点(0，－4)，正方形ABCD的顶点A，B在抛物线上，顶点C，D在x轴上，求图中阴影部分的面积．图4－ZT－2►类型六巧用抛物线的对称性求二次函数的表达式12．已知二次函数y有最大值4，且图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为直线x ＝－3，则此二次函数的表达式为______________．13．已知二次函数的图象与x轴的两个交点A，B关于直线x＝－1对称，且AB＝6，顶点在函数y＝2x的图象上，则这个二次函数的表达式为______________．14．二次函数的图象经过点A(0，0)，B(12，0)，且顶点P到x轴的距离为3，求该二次函数的表达式．►类型七利用对称性解决线段和最短问题15．已知二次函数y＝ax2＋bx＋6的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点A，B的横坐标是一元二次方程x2－4x－12＝0的两个根．(1)请直接写出点A、点B的坐标．(2)请求出该二次函数的表达式及图象的对称轴和顶点坐标．(3)如图4－ZT－3，在二次函数图象的对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图4－ZT－316．如图4－ZT－4，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，它与x轴的另一个交点为B.(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴直线x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．图4－ZT－4详解详析1．[解析] B ∵二次函数的图象与x 轴的交点坐标分别为(2，0)和(－4，0)，∴图象的对称轴是直线x ＝2＋（－4）2＝－1.故选B. 2．[解析] C 由于抛物线的对称轴为直线x ＝2，而点P (3，0)位于x 轴上，设抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为(m ，0)，根据题意得m ＋32＝2，解得m ＝1，则抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为(1，0)，故选C.3．解：由点A (－2，7)，B (6，7)的纵坐标相同，可知点A ，B 关于抛物线的对称轴对称，且对称轴方程为x ＝－2＋62＝2.设该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标为(x 2，－8)，则有2＝3＋x 22，从而得x 2＝1，故该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标为(1，－8)． 4．[解析] C 抛物线y ＝－2x 2－8x ＋m 的对称轴为直线x ＝－2，且开口向下，∴当x ＝－2时y 取得最大值．∵－4＜－1，且－4到－2的距离大于－1到－2的距离，根据抛物线的对称性，知y 3＜y 1.∴y 3＜y 1＜y 2.故选C.5．[答案] y 1＞y 3＞y 26．[答案] －2[解析] 已知点P (a ，m )和Q (b ，m )是抛物线y ＝2x 2＋4x －3上的两个不同的点，因为点P (a ，m )和Q (b ，m )的纵坐标相等，所以它们关于抛物线的对称轴对称，而抛物线y ＝2x 2＋4x －3的对称轴为直线x ＝－1，故a ＋b ＝－2.故答案为－2.7．[答案] 3[解析] 设y ＝x 2－2x ＋3，∵当x ＝m 或x ＝n (m ≠n )时，代数式x 2－2x ＋3的值相等，∴m ＋n 2＝－－22×1，∴m ＋n ＝2，∴当x ＝m ＋n ，即x ＝2时，x 2－2x ＋3＝22－2×2＋3＝3.故答案为3.8．[答案] －2<x <39．[答案] －1＜x ≤0或2≤x ＜3[解析] 当y ＝2时，(x －1)2＋1＝2，解得x ＝0或x ＝2；当y ＝5时，(x －1)2＋1＝5，解得x ＝3或x ＝－1，又抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴－1＜x ≤0或2≤x ＜3.10．[答案] 2π[解析] 利用图形的对称性可知图中阴影部分的面积为半圆面积．∵⊙O 的半径为2，∴图中阴影部分的面积为12π×22＝2π. 11．解：(1)∵y ＝2x 2＋m ，∴图象开口向上，对称轴为直线x ＝0，则当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，∴y 1＜y 2， 故答案为：＜.(2)∵二次函数的图象经过点(0，－4)，将(0，－4)代入y ＝2x 2＋m 可得m ＝－4，∴二次函数的表达式为y ＝2x 2－4.设AB 与y 轴交于点E ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ∥x 轴．由抛物线的对称性知AE ＝EB ，∴BC ＝2OC .设点C 的坐标为(p ，0)(p ＞0)，则点B 的坐标为(p ，2p )，将(p ，2p )代入二次函数表达式，得2p ＝2p 2－4，解得p ＝－1(舍去)或p ＝2， ∴点B 的坐标为(2，4)，∴BC ＝4.由图形的对称性可知阴影部分的面积为正方形面积的一半，∴S 阴影＝12S 正方形ABCD ＝12×BC 2＝12×16＝8. 12．[答案] y ＝－14x 2－32x ＋74[解析] ∵该函数图象与x 轴两交点间的距离是8，对称轴为直线x ＝－3，∴二次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别是(－7，0)，(1，0)，故设该二次函数的表达式为y ＝a (x ＋7)(x －1)．把顶点坐标(－3，4)代入，得4＝a (－3＋7)(－3－1)，解得a ＝－14. 则该二次函数的表达式为y ＝－14(x ＋7)(x －1)，即y ＝－14x 2－32x ＋74. 13．[答案] y ＝29x 2＋49x －169[解析] ∵对称轴为直线x ＝－1，且图象与x 轴交于A ，B 两点，AB ＝6，∴直线与x 轴交于(－4，0)，(2，0)，顶点的横坐标为－1.∵顶点在函数y ＝2x 的图象上，∴y ＝2×(－1)＝－2，∴顶点坐标为(－1，－2)．设二次函数的表达式为y ＝a (x ＋1)2－2，把(2，0)代入，得0＝9a －2，解得a ＝29. ∴y ＝29(x ＋1)2－2＝29x 2＋49x －169. 14．解：∵A ，B 两点关于二次函数图象的对称轴对称，∴二次函数图象的对称轴为直线x ＝6.∵顶点P 到x 轴的距离为3，∴顶点P 的坐标为(6，3)或(6，－3)．当二次函数图象的顶点P 的坐标为(6，3)时，设二次函数的表达式为y ＝a (x －6)2＋3，把A (0，0)代入表达式，得a (0－6)2＋3＝0，解得a ＝－112， ∴二次函数的表达式为y ＝－112(x －6)2＋3，即y ＝－112x 2＋x ； 当二次函数图象的顶点P 的坐标为(6，－3)时，同理可求得二次函数的表达式为y ＝112(x －6)2－3，即y ＝112x 2－x . 故二次函数的表达式为y ＝－112x 2＋x 或y ＝112x 2－x . 15．解：(1)解方程x 2－4x －12＝0得x 1＝－2，x 2＝6，即A (－2，0)，B (6，0)．(2)将A ，B 两点的坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋6，得⎩⎨⎧4a －2b ＋6＝0，36a ＋6b ＋6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝2，∴二次函数的表达式为y ＝－12x 2＋2x ＋6. ∵y ＝－12x 2＋2x ＋6＝－12(x －2)2＋8， ∴二次函数图象的对称轴为直线x ＝2，顶点坐标为(2，8)．(3)存在．如图，作点C 关于二次函数图象的对称轴的对称点C ′，连接AC ′，交二次函数图象的对称轴于点P ，此时△APC 的周长最小．∵C (0，6)，∴C ′(4，6)．设直线AC ′的表达式为y ＝kx ＋n ，则⎩⎨⎧－2k ＋n ＝0，4k ＋n ＝6，解得⎩⎨⎧k ＝1，n ＝2，∴y ＝x ＋2，当x ＝2时，y ＝4，即P (2，4)．16．解：(1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a＝－1，a ＋b ＋c ＝0，c ＝3，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝3.∴抛物线的表达式为y ＝－x 2－2x ＋3.∵抛物线的对称轴为直线x ＝－1，且经过点A (1，0)，∴B (－3，0)．把B (－3，0)，C (0，3)分别代入y ＝mx ＋n ，得⎩⎨⎧－3m ＋n ＝0，n ＝3，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3.∴直线BC 的表达式为y ＝x ＋3.(2)∵点A ，B 关于对称轴对称，点M 在对称轴上，∴MA ＝MB ，∴MA ＋MC ＝MB ＋MC .∴使MA ＋MC 最小的点M 应为直线BC 与对称轴x ＝－1的交点．把x ＝－1代入y ＝x ＋3，得y ＝2，∴M (－1，2)．(3)设P (－1，t )，结合B (－3，0)，C (0，3)，得BC 2＝18，PB 2＝(－1＋3)2＋t 2＝4＋t 2，PC 2＝(－1)2＋(t －3)2＝t 2－6t ＋10.①若B 为直角顶点，则BC 2＋PB 2＝PC 2，即18＋4＋t 2＝t 2－6t ＋10，解之，得t ＝－2；②若C 为直角顶点，则BC 2＋PC 2＝PB 2，即18＋t 2－6t ＋10＝4＋t 2，解之，得t ＝4；③若P 为直角顶点，则PB 2＋PC 2＝BC 2，即4＋t 2＋t 2－6t ＋10＝18，解之，得t 1＝3＋172，t 2＝3－172. 综上所述，满足条件的点P 共有四个，坐标分别为P 1(－1，－2)，P 2(－1，4)，P 3(－1，3＋172)，P 4(－1，3－172)．。