2019-2020学年高三数学大一轮复习 7.6直接证明与间接证明导学案.doc

2019-2020学年高三数学大一轮复习 7.6直接证明与间接证明导学

案

【考纲目标】1．了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．

2．了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点． 一、自主学习 要点1.综合法

一般地，利用__________________________________，经过一系列的 ，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．

用P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为： 要点2．分析法

一般地，从要 出发， 逐步寻求使它成立的__________，直至最后，把

要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已 知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明的 方法叫做分析法．用Q 表示要证明的结论，则分 析法可用框图表示为： 要点3. 反证法

一般地，假设 ，经过正确的推理，最后得出 ，因此说明 ，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法． 二、合作，探究，展示，点评 题型一 综合法

例1 设函数f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2

－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为

0.(1)求b ； (2)若存在x 0≥1，使得f (x 0)<

a

a －1

，求a 的取值范围．

思考题1：函数f (x )＝

a ln x x ＋1＋b

x

，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0. (1)求a ，b 的值； (2)证明：当x >0，且x ≠1时，f (x )>ln x

x －1

.

题型二 分析法

例2 已知a >0，求证： a 2＋1a 2－2≥a ＋1

a

－2.

思考题2：若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：lg

a ＋b

2

＋lg

b ＋c

2

＋lg

c ＋a

2

>lg a ＋lg b ＋lg c .

题型三 反证法

例3 设{a n }是公比为q 的等比数列．(1)推导{a n }的前n 项和公式； (2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列．

思考题3：(1)用反证法证明命题：“已知a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是 ( ) A ．方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根

C ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根

D ．方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根

三、知识小结

1．综合法与分析法的关系：分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件的关系，找到解题思路，再运用综合法证明；或两种方法交叉使用． 2．反证法证明的关键：①准确反设；②从否定的结论正确推理；③得出矛盾．

自助餐

1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的 ( ) A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．等价条件

2．若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式中恒成立的是 ( )

A.1ab >12

B.1a ＋1b ≤1

C.ab ≥2

D.1a 2＋b 2≤18 3．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为( ) A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数 B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数 C ．a ，b ，c 都是奇数 D ．a ，b ，c 都是偶数

4．已知a ，b ，c 为互不相等的非负数．求证：a 2＋b 2＋c 2

>abc (a ＋b ＋c )．

5．设数列{a n }满足a 1＝0且11－a n ＋1－1

1－a n

＝1.(1)求{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝1－a n ＋1

n

，记S n ＝n

k ＝1b k ，证明：S n <1.

《直接证明与间接证明》课时作业

1．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2

－ac <3a ”“索”的“因”应是 ( )

A ．a －b >0

B ．a －c >0

C ．(a －b )(a －c )>0

D ．(a －b )(a －c )<0

2．(2015·浙江名校联考)设a ＝lg2＋lg5，b ＝e x

(x <0)，则a 与b 的大小关系为 ( )

A ．a >b

B ．a

C ．a ＝b

D ．a ≤b

3．要证明a 2＋b 2－1－a 2b 2

≤0，只要证明 ( )

A ．2ab －1－a 2b 2≤0

B ．a 2＋b 2

－1－a 4＋b 42

≤0

C.a ＋b 22

－1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2

－

1)≥0

4．若实数a ，b 满足a ＋b <0，则 ( )

A ．a ，b 都小于0

B ．a ，b 都大于0

C ．a ，b 中至少有一个大于0

D ．a ，b 中至少有一个小于0 5．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是 ( )

A ．P >Q

B ．P ＝Q

C ．P

D ．由a 的取值确定

6．函数f (x )满足：f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，f (1)＝2，则f 2＋f f ＋

f 2＋f

f

＋

f

2

＋f

f

＋

f

2

＋f

f

＝( )

A ．4

B ．8

C ．12

D ．16