《二 一般形式的柯西不等式》教案
二维形式的柯西不等式-教案
【二维形式的柯西不等式】一、教材分析：柯西不等式是人教A 版选修 4-5不等式选讲中的内容，是学生继均值不等式后学习的又一个经典不等式，它在教材中起着承前启后的作用。
一方面可以巩固不等式的基本证明方法，和函数最值的求法，另一方面为后面学习三角不等式与排序不等式奠定基础，本节课的核心内容是柯西不等式二维形式的推导及其简单应用。
二、教学目标：1、知识与技能：通过对二维形式的柯西不等式的探究和证明过程的分析的学习，认识二维形式的柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；2、过程与方法：过对柯西不等式几种不同形式的探究过程的学习，会用语言叙述柯西不等式的几种形式，能总结本节课涉及到的数形结合思想，比较法，综合法，配方法，类比法，构造法等数学方法，总结应用柯西不等式解答问题的一般方法与步骤； 3、情感、态度与价值观：通过对二维形式柯西不等式的学习，学生会感受到柯西不等式的对称与和谐美，感受探究交流与合作的学习方式，同时提高学习数学的兴趣,提高数学素养. 三、教学重点：二维形式柯西不等式的证明思路，二维形式柯西不等式的应用. 四、教学难点：二维形式柯西不等式的应用. 五、教学准备1、课时安排：1课时2、学情分析： 学生不仅已经掌握了不等式证明的基本方法，还具备了一定的观察、分析、逻辑推理的能力。
通过对两种方法的证明，让学生体会对柯西不等式的向量形式和代数法证明的不同之处.3、教具选择：多媒体六、教学方法：启发引导、合作探究 七、教学过程一． 1、自主导学：引入：同学们，中学课本有很多定理定义都以科学家姓名命名，你知道有哪些？ 牛顿，高斯，安培，焦耳，裴波拉契，欧姆，伽利略，韦达定理，笛卡尔, 祖暅原理，秦九韶算法，海伦公式，引出课题： 1.复习： 二元基本不等式 ：(0,0)2a ba b +≥>>，当且仅当b a =时等号成立.变形：ab b a 222≥+，R b a ∈,,当且仅当b a =时等号成立.2. 尝试练习，引入新课：（1），122=+b a ，422=+d c 求bd ac +的最大值；学生独立思考，再小组讨论分析：由，122=+b a 422=+d c 得 ++22b a 2)2()2(22=+d c ,因为ac ca ≥+22)2(，bd db ≥+22)2(所以++22)2(c a bd ac db +≥+22)2(即2≤+bd ac ，当且仅当2c a =，2db =时等号成立.（2）222M b a =+,222N d c =+，N M ,为正常数，求2）（bd ac +的最大值并指出等号成立的条件.分析：由222M b a =+,222N d c =+得++22)()(M b M a 2)()(22=+NdN c 因为MN ac N c M a 2)()(22≥+，MNbd N d M b 2)()(22≥+++=22)()(2N c M a MNac N d M b 2)()(22≥++MN bd 2 故bd ac MN +≥，当且仅当N c M a =，Nd M b =时即bc ad =等号成立. bd ac d c b a +≥+⋅+2222从而22222)())((bd ac d c b a +≥++，当且仅当bc ad =等号成立. 2、合作探究（1）分组探究： 二．新课：1.定理1：（柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，则 22222)())((bd ac d c b a +≥++，当且仅当bc ad =时等号成立. 证明：因为))((2222d c b a ++=22222222d a c b d b c a +++222222)(d b acbd c a bd ac ++=+所以22222)())((bd ac d c b a +-++ 0)222222≥-=+-=bc ad c b abcd d a （ 当且仅当bc ad =时等号成立.注意考虑等号成立的条件！ 探究：结合bd ac bd ac d c b a +≥+≥+⋅+||2222，能否利用所学知识从形的角度认识？小组讨论，学生展示结果：2. 几何意义：设βα→→，为平面上以原点O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为）b a A ,(，),(d c B ），因为 |cos |||||||θβαβα→→→→=•又因为1|cos |≤θ所以||||||βαβα→→→→•≥⋅， 同时：根据坐标表示得22||b a +=→α，22||d c +=→β，它们的数量积为bd ac +=•→→βα， 所以||2222bd ac d c b a +≥+⋅+，即柯西不等式的代数形式是向量形式的坐标表示！所以柯西不等式的几何意义就是：||||||βαβα→→→→•≥⋅， 当且仅当β→是零向量，或存在实数k ,使βα→→=k 时等号成立.）b a ,3.定理2：（柯西不等式的向量形式）设βα→→，为平面上的两个向量，则||||||βαβα→→→→•≥⋅，当且仅当β→是零向量，或存在实数k ,使βα→→=k 时等号成立.（2）教师点拨：我们需要熟悉的是两个向量数量积与坐标间的联系，柯西不等式的代数形式是向量形式的坐标表示，所以柯西不等式的几何意义就是：||||||βαβα→→→→•≥⋅， 当且仅当β→是零向量，或存在实数k ,使βα→→=k 时等号成立.3、巩固训练：已知623=+y x ，求22y x +的最小值.分析：因为 22222)23((23y x y x ⨯+⨯≥++））（ 即36(1322≥+）y x ，所以133622≥+y x ，所以22y x +的最小值为1336又如，求函数x x y -+-=6453的最大值.例题教学：设b a ,是正实数，1=+b a ，求证411≥+ba分析：法1：)11)((11ba b a b a ++=+展开，用均值不等式解：4222)11)((11=+≥++=++=+abb a b a b a b a (当且仅当b a a b =即21==b a 时，等号成立.)（学生一起快速齐答）法2：注意到)11)((11b a b a b a ++=+，有了)11)((ba b a ++就可以用柯西不等式了.解：411)11)((,0,02=⋅+⋅≥++∴>>）（bb a a b a b a b a , (当且仅当ab b a 11⋅=⋅即21==b a 时，等号成立.) 411≥+∴b a变式训练：已知369422=+y x ，求y x 3+最大值.分析：因为22222)13212(]1)21][()3()2[(⨯+⨯≥++y x y x即：22222)3(]1)21)[(94(y x y x +≥++2)3(454536y x +≥=⨯ 所以 53353≤+≤-y x当且仅当232yx =即554553==y x ，时y x 3+取最大值53.554-553-==y x ，时y x 3+取最小值53-.4、拓展延伸：不等式结构分析：左边是实数平方和的乘积，右边是实数积的和的平方（1）bd ac bd ac d c b a +≥+≥+⋅+||2222(当且仅当bc ad =时等号成立.)(2)),,,.()())((2+∈+≥++R d c b a bd ac d b c a (当且仅当bc ad =时等号成立.) (3)||||2222bd ac d c b a +≥+⋅+（当且仅当||||bc ad =时，等号成立）使用柯西不等式的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式．美题欣赏：22222)())(11(b a b a +≥++ 即2)(222b a b a +≥+22222)21((21y x y x ⨯+⨯≥++））（ 即222)2((5y x y x +≥+）22222)cos sin ()cos )(sin (θθθθb a b a +≥++ 即222)cos sin (θθb a b a +≥+|cos sin |cos sin 2222θθθθb a b a +≥+⨯+ 即|cos sin |22θθb a b a +≥+5、师生合作总结：学生总结本节课所学内容：定理1：（柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，则22222)())((bd ac d c b a +≥++，当且仅当bc ad =时等号成立. 定理2：（柯西不等式的向量形式）设βα→→，为平面上的两个向量，则||||||βαβα→→→→•≥⋅，当且仅当β→是零向量，或存在实数k ,使βα→→=k 时等号成立.方法：作差，构造，数形结合 八、课外作业： P37页，4，5， 7，8，9思考题：根据二维形式的柯西不等式类比得到三维形式的柯西不等式十、教学反思：（注：教学实施后写） 过上完本节课我的体会和反思是：这是一节定理新授课，也是实践、总结和体验的研究课。
《二 一般形式的柯西不等式》教案
《二 一般形式的柯西不等式》教案教学目标1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；2.通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法 教学重、难点重点：一般形式柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式. 难点：应用一般形式柯西不等式证明不等式.教学过程一、复习引入：定理1：(柯西不等式的代数形式)设d c b a ,,,均为实数，则22222)())((bd ac d c b a +≥++，其中等号当且仅当bc ad =时成立.定理2：(柯西不等式的向量形式)设α，β为平面上的两个向量，则||||||βαβα⋅≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反(即两个向量共线)时成立. 定理3：(三角形不等式)设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+-二、讲授新课： 类似的，从空间向量的几何背景业能得到•αβαβ≤将空间向量的坐标代入，可得到2222222123123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++当且仅当,αβ共线时，即0,β=或存在一个数k ，使得(1,2,3)i i a kb i ==时，等号成立.这就是三维形式的柯西不等式.对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？ 定理(一般形式的柯西不等式)：设n 为大于1的自然数，i i b a ,(=i 1，2，…，n )为任意实数，则：22222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++≥++ 即 211212)(∑∑∑===≥n i i i n i i n i i b a b a ，其中等号当且仅当1212n n b b b k a a a ==== 时成立(当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ).证明：构造二次函数：2222211)()()()(n n b x a b x a b x a x f -++-+-=即构造了一个二次函数：∑∑∑===+-=ni i n i i i n i i b x b a x a x f 121212)(2)()( 由于对任意实数x ，0)(≥x f 恒成立，则其0≤∆，即：0))((4)(4121221≤-=∆∑∑∑===n i i n i i n i i i b a b a ， 即：))(()(121221∑∑∑===≤n i i ni i n i i i b a b a ， 等号当且仅当02211=-==-=-n n b x a b x a b x a ， 即等号当且仅当nn a b a b a b === 2211时成立(当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ). 如果i a (n i ≤≤1)全为0，结论显然成立.三、应用举例：例1 已知a 1，a 2，…，a n 都是实数，求证22221221)(1n n a a a a a a n+++≤+++ 例2 已知a ，b ，c ，d 是不全相等的实数，证明a 2 +b 2+c 2+d 2>ab +bc +cd +da .例3 已知x +2y +3z =1，求222x y z ++ 的最小值.四、巩固练习：1．设x ，y ，z 为正实数，且x +y +z =1，求zy x 941++的最小值. 2．已知a +b +c +d =1，求a 2+b 2+c 2+d 2的最小值.3．已知a ，b ，c 为正实数，且a +2b +3c =9，求c b a ++23的最大值.五、课堂小结重点掌握三维柯西不等式的运用.。
一般形式的柯西不等式精品教案
一般形式的柯西不等式【教学目标】认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式。
【教学重点】会证明二维柯西不等式及三角不等式。
【教学难点】理解几何意义。
【教学过程】一、复习准备：1．提问： 二元均值不等式有哪几种形式？答案：及几种变式。
(0,0)2a b a b +≥>>2．练习：已知A ．B ．C ．d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 证法：（比较法）=…=22222()()()a b c d ac bd ++-+2()0ad bc -≥二、讲授新课：1． 柯西不等式：① 提出定理1：若A ．B ．C ．d 为实数，则。
22222()()()a b c d ac bd ++≥+ → 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ 。
（要点：展开→配方）222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+证法三：（向量法）设向量，，则，(,)m a b =u r (,)n c d =r ||m =u r ||n =r ∵ ，且，则。
∴ …。
m n ac bd ∙=+u r r ||||cos ,m n m n m n ⋅=<>u r r u r r u r r ||||||m n m n ⋅≤u r r u r r 证法四：（函数法）设，则22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++≥0恒成立。
22()()()f x ax c bx d =-+-∴ ≤0，即…。
22222[2()]4()()ac bd a b c d ∆=-+-++③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？或||ac bd ≥+||||ac bd ≥+ 。
【K12学习】XX年选修4-5《一般形式的柯西不等式》参考教案2
XX年选修4-5《一般形式的柯西不等式》参考教案2一般形式的柯西不等式教学目的：使学生认识二维柯西不等式及其证明；培养学生用维柯西不等式的技能，从而发展学生的思维能力。
教学重点：维柯西不等式的应用。
教学过程：一、温故1、定理1：若a,b,c,dR,则a2b2c2d2acbd，当且仅当bcad时取等号22、变式：若a,b,c,dR,则a2b2c2d2acbda2b2c2d2acbd显然当a2b21,c2d21时，acbd13、定理2：设,是两个向量，则当且仅当,中有一个是零向量或存在实数k使得k时，等号成立。
4、定理3、设x1,x2,x3,y1,y2,y3R，那么22x12y12x2y222x1x2y1y2 22x1x3y1y35、配凑的思想x2x3y2y322x1x2y1y222二、新课：推广柯西不等式1、柯西不等式的向量形式：设,是两个向量，则这里,是平面向量，若,为空间向量呢。
构造向量a1,a2,a3,b1,b2,b3,设,间的夹角为。
则仍有cos即a1b1a2b2a3b3a21a32a32b12b22b32 2所以a12a32a32b12b22b32a1b1a2b2a3b31 / 5当且仅当aikbii1,2,3时取等号 2、归纳推理：n维上的柯西不等式：a12a32an2b12b22bn2a1b1a2b2anbn2证明：回顾前面的证法视Aa12a32an2,Cb12b22bn2,Ba1b1a2b2anbn 则不等式为B2AC构造二次函数yAx22BxC即fxa12a22an2x22a1b1a2b2anbnx+b12b22bn2 当a1a2an0或b1b2bn0时不等式显然成立当a1,a2,,an至少有一个不等于0时，a12a22an20 而fxa1xb1a2xb2anxbn0恒成立。
所以其4a1b1a2b2anbn-4a1a2anb1b2bn22222222220得：a1a2anb1b2bn222222abab1122 ab2nn当且仅当fx 有唯一零点时，0以上不等式取等号。
3.1《二维形式的柯西不等式》教案(新人教选修4-5)
结
本节课实际上是柯西不等式的一些简单应用，柯西不等式是一个经典不等式，是一个重要的数学结论，在以后的证明某些不等式时有重要作用。
目的是让学生知道柯西不等式是一个重要的数学结论
布
置
作
业
课本P37第8题
巩固提高
三、教学难点：
运用柯西不等式证明不等式
四、教学过程：
教学
环节
教学程序
设计意图
导
入
（复习
导入）
问题：上节课我们学习了二维形式的柯西不等式，你能简要的概括一下吗？
定理1（二维形式的柯西不等式）
若a,b,c,d都是实数,则
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
当且仅当ad=bc时,等号成立.
本节课实际上是柯西不等式的一些简单应用，因此先让学生回顾柯西不等式以及变形后的两个等价形式:
《二维形式的柯西不等式
》教案
一、教Байду номын сангаас目标
①认识二维形式的柯西不等式的三角形式
②柯西不等式的一些简单应用
二、教学重点：
①认识二维形式的柯西不等式的几种形式
②运用柯西不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的联系，经过恰当变形，以经典不等式为依据得出具体问题中的不等关系
新
课
讲
授
过
程
引探
①观察：课本P34图3.1-4
在平面直角坐标系中，设点 的坐标分别为 ，根据△ 的边长关系，你能发现 这四个实数蕴涵着何种大小关系吗？
通过观察分析推理后得出定理3
②以上是从几何的角度得出的结论，你能否利用柯西不等式，从代数的角度证明这个不等式？
柯西不等式教案
柯西不等式教案
一､教学目标:
1､学问目标:
(1)熟悉二维柯西不等式的两种形式: O 1 代数形式: O2向量形式;
(2)学会二维柯西不等式的两种证明方法: O 1 代数方法: O2向量方法:
(3)明白一般形式的柯西不等式, 并学会应用及探究其证明过程:
2､才能目标:
(1)学会运用柯西不等式解决一些简洁问题:
(2)学会运用柯西不等式证明不等式:
(3) 培育同学学问迁移､自主探究才能:
3､情感､态度､价值观目标:
通过对柯西不等式的学习,使同学感受数学的精妙,提高数学素养, 激发学习爱好;
二､教学重点与难点:
1､教学重点:
(1)二维柯西不等式的两种形式及其证明: 0 1 代数形式: O2向量形式:
(2)探究一般的柯西不等式形式:
2､教学难点:
(1)柯西不等式的证明思路:
(2)运用柯西不等式解决问题: 三､教学方法:探究法､叙述法: 四､教学过程及内容:
五､板书设计。
高二数学人教A版选修4-5教案：3.2一般形式的柯西不等式 Word版含解析
3.2 一般形式的柯西不等式一、教学目标1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式． 2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题． 二、课时安排 1课时 三、教学重点1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式． 2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题． 四、教学难点1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式． 2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题． 五、教学过程 （一）导入新课已知实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋z ＝1，求t ＝x 2＋4y 2＋z 2的最小值． 【解】 由柯西不等式得(x 2＋4y 2＋z 2)(1＋1＋1)≥(x ＋2y ＋z )2. ∵x ＋2y ＋z ＝1，∴3(x 2＋4y 2＋z 2)≥1，即x 2＋4y 2＋z 2≥13.当且仅当x ＝2y ＝z ＝13，即x ＝13，y ＝16，z ＝13时等号成立．故x 2＋4y 2＋z 2的最小值为13.（二）讲授新课教材整理1 三维形式的柯西不等式设a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R ，则(a 21＋a 2＋a 23)·(b 21＋b 2＋b 23)≥.当且仅当或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2,3)时，等号成立．我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式．教材整理2 一般形式的柯西不等式设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 2＋…＋a 2n )(b 21＋b 2＋…＋b 2n )≥.当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝(i ＝1,2，…，n )时，等号成立．（三）重难点精讲题型一、利用柯西不等式求最值例1 已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，1a ＋2b ＋3c＝2，求a ＋2b ＋3c 的最小值及取得最小值时a ，b ，c 的值．【精彩点拨】 由于1a ＋2b ＋3c ＝2，可考虑把已知条件与待求式子结合起来，利用柯西不等式求解．【自主解答】 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＋3c ·(a ＋2b ＋3c )＝[⎝⎛⎭⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎫2b 2＋⎝⎛⎭⎫3c 2][(a)2＋(2b)2＋(3c)2] ≥⎝⎛⎭⎫1a ·a ＋2b ·2b ＋3c ·3c 2＝(1＋2＋3)2＝36. 又1a ＋2b ＋3c ＝2， ∴a ＋2b ＋3c ≥18，当且仅当a ＝b ＝c ＝3时等号成立， 综上，当a ＝b ＝c ＝3时， a ＋2b ＋3c 取得最小值18.规律总结：利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．[再练一题]1．已知x ＋4y ＋9z ＝1，求x 2＋y 2＋z 2的最小值． 【解】 由柯西不等式，知 (x ＋4y ＋9z )2≤(12＋42＋92)(x 2＋y 2＋z 2) ＝98(x 2＋y 2＋z 2)． 又x ＋4y ＋9z ＝1， ∴x 2＋y 2＋z 2≥198，(*)当且仅当x ＝y 4＝z9时，等号成立，∴x ＝198，y ＝249，z ＝998时，(*)取等号．因此，x 2＋y 2＋z 2的最小值为198. 题型二、运用柯西不等式求参数的取值范围 例2已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝xyz ，且不等式1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x≤λ恒成立，求λ的取值范围． 【精彩点拨】 “恒成立”问题需求1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x 的最大值，设法应用柯西不等式求最值．【自主解答】 ∵x >0，y >0，z >0. 且x ＋y ＋z ＝xyz . ∴1yz ＋1xz ＋1xy＝1.又1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x≤12⎝⎛⎭⎫1xy ＋1yz ＋1zx ＝12⎝⎛⎭⎫1·1xy ＋1·1yz ＋1·1zx ≤12⎣⎡⎦⎤12＋12＋12⎝⎛⎭⎫1xy ＋1yz ＋1zx 12＝32， 当且仅当x ＝y ＝z ，即x ＝y ＝z ＝3时等号成立． ∴1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x的最大值为32.故1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x≤λ恒成立时， 应有λ≥32. 因此λ的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 规律总结：应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”应用定理． [再练一题]2．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，试求a 的取值范围. 【解】 由a ＋b ＋c ＋d ＝3，得b ＋c ＋d ＝3－a ， 由a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，得2b 2＋3c 2＋6d 2＝5－a 2， (2b 2＋3c 2＋6d 2)⎝⎛⎭⎫12＋13＋16≥(b ＋c ＋d )2， 即2b 2＋3c 2＋6d 2≥(b ＋c ＋d )2.由条件可得，5－a 2≥(3－a )2，解得1≤a ≤2， 所以实数a 的取值范围是[1,2]． 题型三、利用柯西不等式证明不等式例3 已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：⎝⎛⎭⎫a b ＋b c ＋c a b a ＋c b ＋ac ≥9. 【精彩点拨】 对应三维形式的柯西不等式，a 1＝ab，a 2＝bc，a 3＝ca，b 1＝ba，b 2＝c b，b 3＝ac，而a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3＝1，因而得证． 【自主解答】 ∵a ，b ，c ∈R ＋， 由柯西不等式，知⎝⎛⎭⎫a b ＋b c ＋c a ⎝⎛⎭⎫b a ＋c b ＋a c ＝[⎝⎛⎭⎫a b 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＋⎝⎛⎭⎫c a 2]×[⎝⎛⎭⎫b a 2＋⎝⎛⎭⎫c b 2＋⎝⎛⎭⎫a c 2]≥⎝⎛⎭⎫a b ×b a ＋b c ×c b ＋c a ×a c 2＝(1＋1＋1)2＝9， ∴⎝⎛⎭⎫a b ＋b c ＋c a ⎝⎛⎭⎫b a ＋c b ＋a c ≥9. 规律总结：1．当a i ，b i 是正数时，柯西不等式变形为(a 1＋a 2＋…＋a n )(b 1＋b 2＋…＋b n )≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2.2．本题证明的关键在于构造两组数，创造使用柯西不等式的条件．在运用柯西不等式时，要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确配凑出公式两侧的数组．[再练一题]3．已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.【解】 (1)因为f (x ＋2)＝m －|x |，f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m . 由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }． 又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1.(2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c＝1.又a ，b ，c ∈R ＋，由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝⎛⎭⎫a·1a ＋2b·12b ＋3c·13c 2＝9.（四）归纳小结一般形式的柯西不等式—⎪⎪⎪—三维形式—一般形式—一般形式的应用（五）随堂检测 1．设a ＝(－2,1,2)，|b |＝6，则a·b 的最小值为()A ．18B ．6C ．－18D.12 【解析】 |a·b |≤|a ||b |， ∴|a·b |≤18.∴－18≤a·b ≤18，当a ，b 反向时，a·b 最小，最小值为－18. 【答案】 C2．若a 21＋a 2＋…＋a 2n ＝1，b 21＋b 2＋…＋b 2n ＝4，则a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的取值范围是() A ．(－∞，2) B ．[－2,2]C ．(－∞，2]D.[－1,1]【解析】 ∵(a 21＋a 2＋…＋a 2n )(b 21＋b 2＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2， ∴(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2≤4， ∴|a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n |≤2， 即－2≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤2，当且仅当a i ＝12b i (i ＝1,2，…，n )时，右边等号成立；当且仅当a i ＝－12b i (i ＝1,2，…，n )时，左边等号成立，故选B.【答案】 B3．设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m2＋n2的最小值为________．【解析】 根据柯西不等式(ma ＋nb )2≤(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)，得25≤5(m 2＋n 2)，m 2＋n 2≥5，m2＋n2的最小值为 5.【答案】5六、板书设计七、作业布置同步练习：3.2 一般形式的柯西不等式 八、教学反思。
二维形式的柯西不等式 说课稿 教案 教学设计
2.讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？
3.如何利用二维柯西不等式求函数 的最大值?
要点：利用变式 .
二、讲授新课：
1.最大（小）值：
①出示例1：求函数 的最大值？
分析：如何变形？
→构造柯西不等式的形式
→板演
→ห้องสมุดไป่ตู้式：
→推广：
②练习：已知 ，求 的最小值.
解答要点：（凑配法） .
讨论：其它方法（数形结合法）
2.不等式的证明：
①出示例2：若 ， ，求证： .
分析：如何变形后利用柯西不等式？（注意对比→构造）
要点： …
讨论：其它证法（利用基本不等式）
②练习：已知 、 ，求证： .
三、应用举例：
例1已知a1,a2,…,an都是实数，求证：
分析：用n乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。
二维形式的柯西不等式（二）
教学目标：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系.
教学重点：利用二维柯西不等式解决问题.
教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式.
教学过程：
一、复习引入：
1.提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？几何意义？
例2已知a，b，c，d是不全相等的实数，证明：a2+ b2+ c2+ d2> ab + bc + cd + da
分析：上式两边都是由a,b,c,d这四个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序启发我们，可以用柯西不等式进行证明。
分析：由 形式，联系柯西不等式，可以通过构造（12+22+32）作为一个因式而解决问题。
高中数学3.2一般形式的柯西不等式教学案(无答案)新人教版选修4-5
§ 3.2 一般形式的柯西不等式(学案)教学目标：1. 认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；2. 通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法教学重点：一般形式柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。
教学难点：应用一般形式柯西不等式证明不等式。
教学过程：一、复习引入：定理1:(二维柯西不等式的代数形式)设a,b,c,d均为实数，则(a2 b2)(c2 d2) (ac bd)2，其中等号当且仅当ad bc时成立。
变式1、变式2、定理2:(柯西不等式的向量形式)设，为平面上的两个向量，则| | | | | | , 其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反(即两个向量共线)时成立。
定理3:(三角形不等式) 设y「X2, y2,X3, y3为任意实数，则：,.(x i X2)2(y i y2)2.(X2 X3)2(y2 y3)2.. (X i X3)2(% y?)2二、讲授新课：类似的，从空间向量的几何背景业能得到| a . 3 | < | a || 3 | .将空间向量的坐标代入，可得到r> ry ry ry ry ry(a 1 a2 a3 )(b 1b2b3 ) (a 1b1 a2b2 a3b3)2当且仅当a , 3 共线时,即3 0，或存在一个实数k, 使得a i kb i( i 1,2,3)时，等号成立.这就是三维形式的柯西不等式.对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗? 定理4:（一般形式的柯西不等式）：、应用举例2 2 2例2、、已知x 2y 3z 1, 求x y z 的最小值例1、 已知a i ,a 2,…,a n 都是实数，求证: 1 -(a i a 2 n2 2 2 a n ) a i a 2 变式1、已知a,b,c,d 是不全相等的正数，求证:a 2b 2c 2d 2 ab bc cd da、 1 4 9变式2、已知x,y,z R ,且x y z 1,求证：36x y z。
第3讲2一般形式的柯西不等式课件人教新课标
时等号成立.
题型探究
类型一 利用柯西不等式证明不等式 命题角度1 三维情势的柯西不等式的应用 例1 设a，b，c为正数，且不全相等. 求证：a＋2 b＋b＋2 c＋c＋2 a＞a＋9b＋c.
证明
反思与感悟 有些问题一般不具备直接应用柯西不等式的条件，可以通过： (1)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以巧拆常数. (2)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以重新安排各项的次序. (3)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以改变式子的结构，从而到达使 用柯西不等式的目的. (4)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以添项.
∴a＋2b＋3c的最小值为9.
1234
解析 答案
3.设 a，b，c，d 均为正实数，则(a＋b＋c＋d)1a＋b1＋1c ＋1d的最小值为 __1_6_____.
解析 (a＋b＋c＋d)1a＋1b＋1c＋1d
＝[(
a)2＋(
b)2＋(
c)2＋(
d)2]·
1a2＋
1b2＋
1c2＋
1
2
d
≥
a·1a＋
a2b2＋a3b3)2 ，当且仅当 b1＝b2＝b3＝0或存在一个数 k，使得 ai＝kbi
(i＝1,2,3)时等号成立.
知识点二 一般情势的柯西不等式
1.一般形式的柯西不等式 设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn 是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21 ＋b22＋…＋b2n)≥ (a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2 . 2.柯西不等式等号成立的条件
b·1b＋
c·1c＋
d·1d2
2018年选修4-5 《一般形式的柯西不等式》参考教案2
3.2 一般形式的柯西不等式教学目的（要求）：使学生认识二维柯西不等式及其证明；培养学生用维柯西不等式的技能，从而发展学生的思维能力。
教学重点（难点）：维柯西不等式的应用。
教学过程： 一、温故1、定理1：（二维形式的柯西不等式）若,,,,a b c d R ∈则()()()22222ab c d ac bd ++≥+，当且仅当bc ad =时取等号2、变式：若,,,,a b c d R ∈ac bd ≥+ac bd +显然当22221,1a b c d +=+=时，1ac bd +≤3、定理2：（柯西不等式的向量形式）设,αβ 是两个向量，则αβαβ⋅≤当且仅当,αβ 中有一个是零向量或存在实数k 使得k αβ=时，等号成立。
4、定理3、（二维形式的三角形不等式）设123123,,,,,x x x y y y R ∈，那么≥≥5、配凑的思想二、 新课：推广柯西不等式1、由柯西不等式的向量形式：设,αβ是两个向量，则αβαβ⋅≤这里,αβ 是平面向量，若,αβ为空间向量呢，构造向量()()123123,,,,,,a a a b b b αβ==设,αβ间的夹角为θ，则仍有cos αβαβθαβαβ⋅=⇒⋅≤即112233a b a b a b ++≤所以()()()2222222133123112233a a a b b b a b a b a b ++++≥++当且仅当()1,2,3i i a kb i ==时取等号 2、归纳推理：n 维上的柯西不等式：()()()222222213121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥++证明：回顾前面的证法视22222213121122,,n n n n A a a a C b b b B a b a b a b =+++=+++=++ 则不等式为2B AC ≤构造二次函数22y Ax Bx C =++即()()222212n f x a a a x =+++- ()x b a b a b a n n +++ 22112+()22212n b b b +++ 当120n a a a ==== 或120n b b b ==== 时不等式显然成立 当12,,,n a a a 至少有一个不等于0时，222120n a a a +++> 而()()()()22211220n n f x a x b a x b a x b =-+-++-≥ 恒成立。
3-2 一般形式的柯西不等式
=108× 3, x x 上式等号成立的充要条件是 1 = 2 =
1 1 x3 ⇒ x1=x2=x3=6⇒ x=3,y=1,z=4. 1
所以所求实数 x,y,z 的值分别为 3,1,4.
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5 .求实数 x,y 的值,使(y-1)2 +(x+y-3)2 +(2x+y-6)2 达到最小值. 解:由柯西不等式,得 (12 +22 +12 )× [(y-1)2 +(3-x-y)2 +(2x+y-6)2 ] ≥[1× (y-1)+2× (3-x-y)+1× (2x+y-6)]2 =1.
x y z 当且仅当 = = 时取等号 , 1 1 1
又 x+y+z=12, ∴x=y=z=4 时 ,Smin =3.
故把绳子三等分时 ,围成的三个正方形面积之和最小 ,最小 面积为 3 m2 .
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解决此类问题时,根据所求最值的目标函数的形式,对已知 条件进行配凑 ,向柯西不等式形式转化.
a2 b c2 ∴b + c + a ≥a+b+c.
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2
通过以上题目可以看出,无论是用柯西不等式还是其他重要 不等式来证明不等式 ,构造出所需要的某种结构是证题的难点 , 因此 ,对柯西不等式或其他重要不等式 ,要熟记公式的特点,能灵 活变形 ,才能灵活应用.
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二、利用柯西不等式求最值
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解:设三段绳子的长分别为 x,y,z,则 x+y+z=12,三个正方形的 x y z 边长分别为 , , 均为正数 ,三个正方形面积之和为 S=
二一般形式的柯西不等式
柯西不等式教学设计曾辉三角形式√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a+c)^2+(b+d)^2]等号成立条件：ad=bc注：“√”表示根向量形式|α||β|≥|α·β|，α=(a1，a2，…，an)，β=(b1，b2，...，bn)(n∈N，n≥2)等号成立条件：β为零向量，或α=λβ(λ∈R)。
一般形式(∑(ai^2))(∑(bi^2)) ≥ (∑ai·bi)^2等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。
上述不等式等同于图片中的不等式。
推广形式(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n注：“Πx”表示x1，x2，…，xn的乘积，其余同理。
此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均不小于各列元素之和的几何平均之积。
（应为之积的几何平均之和)概率论形式√E(X) √E(Y)≥∣E(XY)∣二维形式的证明(a²+b²)(c²+d²)(a,b,c,d∈R)=a²·c²+b²·d²+a²·d²+b²·c²=a²·c² +2abcd+b²·d²+a²·d²－2abcd+b²·c²=(ac+bd)²+(ad－bc)²≥(ac+bd)²，等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立。
三角形式的证明√(a²+b²)+√(c²+d²)≥√[(a+c)²+(b+d)²]证明：[√(a²+b²)+√(c²+d²)]²=a²+b²+c²+d²+2·√(a²+b²)·√(c²+d²)≥a²+b²+c²+d²+2|ac+bd|≥a²+b²+c²+d²+2(ac+bd)=a²+2ac+c²+b²+2bd+d²=(a+c)²+(b+d)²两边开根号即得√(a²+b²)+√(c²+d²)≥√[(a+c)²+(b+d)²]注：| |表示绝对值。
二维形式的柯西不等式
二维形式的柯西不等式一、教学内容本节课的教学内容选自人教版小学数学教材五年级下册第五单元《不等式》的第三节，主要讲述二维形式的柯西不等式。
柯西不等式是数学中的一个重要不等式，它揭示了实数向量内积的几何意义，并广泛应用于数学分析、线性代数、概率论等领域。
本节课的具体内容包括：柯西不等式的表述、二维形式的柯西不等式证明、柯西不等式的应用等。
二、教学目标1. 理解柯西不等式的表述，掌握二维形式的柯西不等式证明；2. 能够运用柯西不等式解决实际问题，提高解决问题的能力；3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生对数学学科的兴趣。
三、教学难点与重点1. 教学难点：二维形式的柯西不等式的证明及应用；2. 教学重点：柯西不等式的表述和二维形式的柯西不等式证明。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备；2. 学具：笔记本、彩笔、剪刀、胶水。
五、教学过程1. 实践情景引入：以一个实际问题为例，引导学生思考如何运用数学知识解决问题；2. 讲解柯西不等式的表述，让学生理解柯西不等式的基本含义；3. 分组讨论二维形式的柯西不等式证明，引导学生思考并发现证明过程中的关键步骤；5. 随堂练习：让学生运用柯西不等式解决实际问题，巩固所学知识；6. 作业布置：布置相关的练习题目，巩固课堂所学知识。
六、板书设计1. 柯西不等式的表述；2. 二维形式的柯西不等式证明过程；3. 柯西不等式的应用实例。
七、作业设计1. 题目：已知向量a=(2,3)，向量b=(x,y)，且a与b的内积为4，求x+y的值。
答案：x+y=10。
八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课学生对柯西不等式的理解和应用还存在一定的困难，需要在今后的教学中加强引导和练习；2. 拓展延伸：柯西不等式在数学其他领域的应用，如概率论、线性代数等，可以作为课后研究课题，激发学生的学习兴趣。
重点和难点解析一、教学难点与重点重点和难点主要集中在二维形式的柯西不等式的证明及应用。
2一般形式的柯西不等式
【证明】 构造两组数 ab，bc，ca；ca，ab，bc，则由柯 西不等式得 a2b2＋b2c2＋c2a2· c2a2＋a2b2＋b2c2 ≥ab· ca＋bc· ab＋ca· bc， 即 b2c2＋c2a2＋a2b2≥abc(a＋b＋c)． b2c2＋c2a2＋a2b2 于是 ≥abc. a＋b＋c
【名师点评】
通过寻找整体a＋b＋c＋d＝s与部
分a＋b＋c，b＋c＋d，c＋d＋a，d＋a＋b的关 系．先进行等价转化，使要证明的不等式简单化， 易于构造柯西不等式形式．
变式训练 2 设 a，b，c 为正数，且不全相等， 求证： 2 2 2 9 ＋ ＋ > . a＋b b＋c c＋a a＋b＋c 1 证明： 构造两组数 a＋b， b＋c， c＋a； ， a＋b 1 1 ， ，则由柯西不等式得 b＋c c＋a 1 1 1 (a＋b＋b＋c＋c＋a)( ＋ ＋ ) a＋b b＋c c＋a ≥(1＋1＋1)2，
【名师点评】
实际把原不等式转化为：
b2c2＋c2a2＋a2b2≥abc(a＋b＋c)，再构造柯西不等 式的特征，也可以用重要不等式证明．
变式训练 1 设 a，b，c 为正数，求证： a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2≥ 2(a＋b＋c)．
证明：由柯西不等式得 a2＋b2· 12＋12≥a＋b. 即 a2＋b2· 2≥a＋b. 同理 b2＋c2· 2≥b＋c. c2＋a2· 2≥c＋a. 以上三式相加得： 2( a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2)≥2(a＋b＋c)， ∴ a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2≥ 2(a＋b＋c)．
二
一般形式的柯西不等式
二 学习目标
一 般 形 式 的 柯 西 不 等 式
课前自主学案
《一二维形式的柯西不等式》教学案3.docx
《二维形式的柯西不等式》教学案第一课时教学要求：认识二维柯西不等式的儿种形式，理解它们的儿何意义，并会证明二维柯西不等式及向量形式.教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式.教学难点：理解几何意义.教学过程：一、复习准备：1.提问：二元均值不等式有哪几种形式？答案：凹2版《>0上>0)及几种变式.22.练习：已知°、b、c、d为实数，求证(a2+b2)(c2+d2)>(ac + bd)2证法：(比较法)(a2 + b2)(c2 +d2)-(ac + bd)2=—. -{ad-be)2 >0二、讲授新课：1.教学柯西不等式：①提出定理1：若a、b、c、d为实数，则(/+b2)(c2+d2)n(g + bd)2.即二维形式的柯西不等式-> 什么时候取等号？②讨论：二维形式的柯西不等式的英它证明方法？证法二：(综合法)(a2 +Z?2)(c2+d2) = a2c2 +a2d2 +/?2c2+b2d2 =(ac + bd)2 +(ad-bc)2 >(ac-i-bd)2 .(要点：展开〜配方)证法三：(向量法)设向塑加= (a,b), n = (c,d),贝!J | w |= \la2 +b2，| n |= Vc2 +t/2 - ■一■ _ 亠■» —> ■—> ・・—> ■» —> ・•—> nf n = ac + bd» 且fn\ n =\ m |l | zi |. cos <m y n> f贝ij | n |<| m \ | n \. ….证法四：(函数法)设/(x) = (a2 + b1 )x2 - 2(ac + bd)x + c2 + 6/2,贝9/(x) = (ax - c)2 + (bx -d)2 $0恒成立.・・・ A = [-2(ac+bd)f -4(a2 + b2)(? + rf2) 0,即…..③讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？变式：>Ja2 +b23lc2 +d2 >\ac + bd\或y/a1+b2ojc2 + d2 ^ac\ + \bd\或\］a2 +b2 k/c2+d2> ac + bd •④提出定理2：设不万是两个向量,则|砌|<忆||弄|・即柯西不等式的向量形式（由向量法提出）讨论：上面时候等号成立？（〃是零向量，或者庁,B共线）⑤练习：己知a、b、c、d为实数,求证yja2 +b2 4-yjc2 4-t/2 > y］（a-c）2 4-（/?-J）2 .证法：（分析法）平方一应用柯西不等式一讨论：其儿何意义？（构造三角形）2.教学三角不等式：①出示定理3 :设兀］,）［,兀2，歹2 W R '则+ .yj + yjx-j2 + y22—J（兀I 一兀2 ）~ + （）1 —〉‘2 ）2 ' 分析其几何意义一如何利用柯西不等式证明变式：若心儿兀2，力，心，）辽心则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？3.小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）。
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《二 一般形式的柯西不等式》教案
教学目标
1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；
2.通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法 教学重、难点
重点：一般形式柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式. 难点：应用一般形式柯西不等式证明不等式.
教学过程
一、复习引入：
定理1：(柯西不等式的代数形式)设d c b a ,,,均为实数，则
22222)())((bd ac d c b a +≥++，其中等号当且仅当bc ad =时成立.
定理2：(柯西不等式的向量形式)设α，β为平面上的两个向量，则||||||βαβα⋅≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反(即两个向量共线)时成立. 定理3：(三角形不等式)设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：
231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+-
二、讲授新课： 类似的，从空间向量的几何背景业能得到•αβαβ≤将空间向量的坐标代入，可得到
2222222123123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++
当且仅当,αβ共线时，即0,β=或存在一个数k ，使得(1,2,3)i i a kb i ==时，等号成立.
这就是三维形式的柯西不等式.
对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？ 定理(一般形式的柯西不等式)：设n 为大于1的自然数，i i b a ,(=i 1，2，…，n )为任
意实数，则：22222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++≥++L L L
即
2
11212)(∑∑∑===≥n i i i n i i n i i b a b a ，其中等号当且仅当1212n n b b b k a a a ====L 时成立(当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ).
证明：构造二次函数：2222211)()()()(n n b x a b x a b x a x f -++-+-=Λ
即构造了一个二次函数：∑∑∑===+-=n
i i n i i i n i i b x b a x a x f 1212
12)(2)()( 由于对任意实数x ，0)(≥x f 恒成立，则其0≤∆， 即：0))((4)(41
2
1221
≤-=∆∑∑∑===n i i n i i n i i i b a b a ， 即：))(()(12
1221∑∑∑===≤n i i n
i i n i i i b a b a ， 等号当且仅当02211=-==-=-n n b x a b x a b x a Λ， 即等号当且仅当n
n a b a b a b ===Λ2211时成立(当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ). 如果i a (n i ≤≤1)全为0，结论显然成立.
三、应用举例：
例1 已知a 1，a 2，…，a n 都是实数，求证
22221221)(1n n a a a a a a n
+++≤+++ΛΛ 例2 已知a ，b ，c ，d 是不全相等的实数，证明
a 2 +
b 2+
c 2+
d 2>ab +bc +cd +da .
例3 已知x +2y +3z =1，求222x y z ++ 的最小值.
四、巩固练习：
1．设x ，y ，z 为正实数，且x +y +z =1，求z
y x 941++的最小值. 2．已知a +b +c +d =1，求a 2+b 2+c 2+d 2的最小值.
3．已知a ，b ，c 为正实数，且a +2b +3c =9，求c b a ++
23的最大值. 五、课堂小结
重点掌握三维柯西不等式的运用.。