解0-1背包问题的动态规划算法
算法导论16.2-20-1背包问题
算法导论16.2-20-1背包问题CLRS 16.2-2 请给出⼀个解决0-1背包问题的运⾏时间为O(nW)的动态规划⽅法，其中，n为物品的件数，W为窃贼可放⼊他的背包中的物品中的最⼤重量。
我们有n种物品，物品j的重量为w j，价格为p j。
我们假定所有物品的重量和价格都是⾮负的。
背包所能承受的最⼤重量为W。
如果限定每种物品只能选择0个或1个，则问题称为0-1背包问题。
可以⽤公式表⽰为：maximizesubject to⽅法⼀：采⽤最原始的递归⽅法，公式为V(1,...,n) = max(v k + V(1,...,k-1,k+1,...,n));时间复杂度为O(2n)，很多⼦问题被重复计算。
View Code1 #include <stdio.h>2 #include <stdlib.h>34//每件物品的价值和重量5 typedef struct goods_t6 {7int weight;8int value;9 }goods;1011//删除第i个元素后的所有元素12 goods* remain_data(goods* data, const int n, const int i)13 {14 goods* remain = (goods*)malloc((n-1)*sizeof(goods));15int j;16int count = 0;17for (j = 0; j < n; j++)18 {19if (j != i)20 remain[count++] = data[j];21 }22return remain;23 }2425//递归26int recursive(goods* data, const int n, int weight)27 {28int max = 0;29int i;30for (i = 0; i < n; i++)31 {32if (data[i].weight <= weight)33 {34int tmp = data[i].value + recursive(remain_data(data, n, i), n - 1, weight - data[i].weight);35if (tmp > max)36 max = tmp;37 }38 }39return max;40 }4142int main()43 {44//输⼊最⼤重量45int max_weight;46 scanf("%d", &max_weight);47//输⼊物品件数及其重量和价值48int num;49 scanf("%d", &num);50int n = num;51 goods* data = (goods*)malloc(n*sizeof(goods));5253 goods g;54while (num--)55 {56 scanf("%d%d", &(g.weight), &(g.value));57 data[n-num-1] = g;58 }59 printf("%d\n", recursive(data, n, max_weight));60return0;61 }⽅法⼆：我们假定w1, ..., w n和W都是正整数。
动态规划与回溯法解决0-1背包问题
0-1背包动态规划解决问题一、问题描述：有n个物品，它们有各自的重量和价值，现有给定容量的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？二、总体思路：根据动态规划解题步骤（问题抽象化、建立模型、寻找约束条件、判断是否满足最优性原理、找大问题与小问题的递推关系式、填表、寻找解组成）找出01背包问题的最优解以及解组成，然后编写代码实现。
原理：动态规划与分治法类似，都是把大问题拆分成小问题，通过寻找大问题与小问题的递推关系，解决一个个小问题，最终达到解决原问题的效果。
但不同的是，分治法在子问题和子子问题等上被重复计算了很多次，而动态规划则具有记忆性，通过填写表把所有已经解决的子问题答案纪录下来，在新问题里需要用到的子问题可以直接提取，避免了重复计算，从而节约了时间，所以在问题满足最优性原理之后，用动态规划解决问题的核心就在于填表，表填写完毕，最优解也就找到。
过程：a) 把背包问题抽象化（X1，X2，…，Xn，其中 Xi 取0或1，表示第i 个物品选或不选），V i表示第i 个物品的价值，W i表示第i 个物品的体积（重量）；b) 建立模型，即求max(V1X1+V2X2+…+VnXn)；c) 约束条件，W1X1+W2X2+…+WnXn<capacity；d) 定义V(i,j)：当前背包容量j，前i 个物品最佳组合对应的价值；e) 最优性原理是动态规划的基础，最优性原理是指“多阶段决策过程的最优决策序列具有这样的性质：不论初始状态和初始决策如何，对于前面决策所造成的某一状态而言，其后各阶段的决策序列必须构成最优策略”。
判断该问题是否满足最优性原理，采用反证法证明：假设(X1，X2，…，Xn)是01背包问题的最优解，则有(X2，X3，…，Xn)是其子问题的最优解，假设(Y2，Y3，…，Yn)是上述问题的子问题最优解，则理应有(V2Y2+V3Y3+…+V n Yn)+V1X1 > (V2X2+V3X3+…+VnXn)+V1X1；而(V2X2+V3X3+…+VnXn)+V1X1=(V1X1+V2X2+…+VnXn)，则有(V2Y2+V3Y3+…+VnYn)+V1X1 > (V1X1+V2X2+…+VnXn)；该式子说明(X1，Y2，Y3，…，Yn)才是该01背包问题的最优解，这与最开始的假设(X1，X2，…，Xn)是01背包问题的最优解相矛盾，故01背包问题满足最优性原理；f) 寻找递推关系式，面对当前商品有两种可能性：第一，包的容量比该商品体积小，装不下，此时的价值与前i-1个的价值是一样的，即V(i,j)=V(i-1,j)；第二，还有足够的容量可以装该商品，但装了也不一定达到当前最优价值，所以在装与不装之间选择最优的一个，即V(i,j)=max｛V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i) ｝其中V(i-1,j)表示不装，V(i-1,j-w(i))+v(i) 表示装了第i个商品，背包容量减少w(i)但价值增加了v(i)；由此可以得出递推关系式：1) j<w(i) V(i,j)=V(i-1,j)2) j>=w(i) V(i,j)=max｛ V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i) ｝number＝4，capacity＝7四、构造最优解：最优解的构造可根据C列的数据来构造最优解，构造时从第一个物品开始。
0_1背包问题的多种解法
一、 问题描述0/1背包问题:现有n 种物品，对1<=i<=n ，已知第i 种物品的重量为正整数W i ，价值为正整数V i ，背包能承受的最大载重量为正整数W ，现要求找出这n 种物品的一个子集，使得子集中物品的总重量不超过W 且总价值尽量大。
（注意：这里对每种物品或者全取或者一点都不取，不允许只取一部分）二、 算法分析根据问题描述，可以将其转化为如下的约束条件和目标函数：)2(max )1()1}(1,0{11∑∑==⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈≤ni i i ini i i x v n i x Wx w 于是，问题就归结为寻找一个满足约束条件（1），并使目标函数式（2）达到最大的解向量),......,,,(321n x x x x X =。
首先说明一下0-1背包问题拥有最优解。
假设),......,,,(321n x x x x 是所给的问题的一个最优解，则),......,,(32n x x x 是下面问题的一个最优解：∑∑==⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈-≤ni i i ini i i x v n i x x w W x w 2211max )2}(1,0{。
如果不是的话，设),......,,(32n y y y 是这个问题的一个最优解，则∑∑==>n i ni ii ii xv y v 22，且∑=≤+ni iiW yw x w 211。
因此，∑∑∑====+>+ni i i n i n i i i i i x v x v x v y v x v 1221111，这说明),........,,,(321n y y y x 是所给的0-1背包问题比),........,,,(321n x x x x 更优的解，从而与假设矛盾。
穷举法：用穷举法解决0-1背包问题，需要考虑给定n 个物品集合的所有子集，找出所有可能的子集（总重量不超过背包重量的子集），计算每个子集的总重量，然后在他们中找到价值最大的子集。
一种求解分组0—1背包问题的动态规划法
ｌ 次背 包 问题 Ｌ 、 目标 ０ 二 ６多 ］ —１ 背包 问题 ［ 、 维 ７多 ］
全 部取完 并且 总价值 最 大． 选择 装 人 背 包 的 物 品 在
＊ 收 稿 日期 ：０ １１—１ ２ １ —２３ 基 金 项 目 ； 南 省 科 技计 划 资 助 项 目（０ １ Ｊ０ ６ 湖 ２ １Ｆ ３ ６ ） 作 者 简介 ； 亚 军 （ ９ ５ ）男 ， 南 永 州人 ， 教 授 ， 士 蒋 １ ７一 ， 湖 副 博
１ 引 言
０ —１背 包 问题 属 于 ＮＰ完 全 问 题 ， 以 表 述 可 为： 已知 个 物 品和一 个 承 重量 为 Ｗ 的背 包 ， 个 每 物品 ｉ 的重 量为 Ｗ ， 价值 为 （ 一 １ ２ … ， ， ， ， ） 现要
术 意义．
本文将 传统 的 ０ ｌ 一 背包 问题扩展 为 分组 ０ １ —
Ｅ ｍａ ： ｊｌ １ ３ ｃ ｍ － ｉ ｊ ａ ＠ ６ ．ｏ ｌｙ ｌ
一
７ ～ ６
经 济 数 学
第 ２ 卷 ９
时 ， 每个 物 品只有两种 选择 ， 对 即装入 背包或不装 入
ｐ —ｌ ， 幻，
，
＜
，
背包 ． 能将物 品装入 背包多 次 ， 不 也不 能只装入 部分
为 了用动 态规划 法求解 分组 。 １ 一 背包 问题 ， 可
Ｍ ［ ，］满足相应 的最 大价值 ：
１ ）当 ｚ １时（ ＝ 对应 （，）一 （ ，） ， 知对 于 Ｊ １１） 易
任 意 七 由公式 （ ） 出的 Ｍ（ ［ ，］ 足最 大价值 ． ， １给 ” １七 满
当Ｚ ＝２时（ 对应 （，） （ ，） ， ＝ ２ １ ） 易知对 于任 意
0-1背包问题
• 因为本题的目标是求解储蓄罐内可以达到的最小金 额，所以初始化时所有dp都为INF(无穷大)，且 dp[0]=0。（如果要求解储蓄罐内可以达到的最大金 额，那么应该初始化为-1）。本题的解为dp[n][m]， 如果dp[n][m]为INF，则说明m克是一个不可达的状 态。
• 本题dp数组一维，下标为硬币重量。
SPACE ELEVATOR
• 试题来源：USACO 2005 March Gold • 在线测试：POJ 2392
• 奶牛们要上太空了！它们计划建造一座太空电梯作 为它们登上太空的轨道：电梯是一个巨大的、由块 组成的塔，有K（1K400）种不同类型的块用于建 造塔。类型i的块的高度为hi（1hi100），块的数量 为ci（1ci10）。由于宇宙射线可能造成的损害，在 塔中，由类型i的块组成的部分不能超过最大高度ai （1ai40000）。
• 由于本题的数据范围较大，而long long可以存 储19位，因此，将超过19位的部分称为高位部 分（如果存在），19位以内的部分称为低位部 分。设两个long long类型的变量dp1[ ]和dp2[ ]， 其中dp1[ ]存储高位部分，dp2[ ]存储低位部分。 这样，就可以按照题目要求的数据规模存储和 输出方式数了。
多重背包
• 多重背包问题描述如下：给定n种物品和一个 载荷能力为M的背包，物品i重量为wi，数量为 numi ， 价 值 为 pi ， 其 中 wi>0 ， pi>0 ， numi>0 ， 1in；求解将哪些物品装入背包，可使得使 背包里所放物品的总重量不超过M，且背包中 物品的价值总和达到最大。
浅谈0-1背包问题的常用算法
２ ０ １ ３年 １ ０月下 Ｃ ｏ ｎ ｓ ｕ ｍｅ ｒ Ｅ ｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｏ ｎ ｉ ｃ ｓ Ｍａ ｇ ａ ｚ ｉ ｎ ｅ 技 术 交 流
浅谈 ０ － １ 背包问题的常用算法
汤赫 男
（ 吉林工商学院信息工程学院，长春 １ ３ ０ ０ ６ ２） 摘 要 ：０ －１ 背 包问题是典型的 ＮＰ ～完全问题 ，无论从 理论 上还是 实践上都有一定的研究意义。本文综述 了几 种０ — １背包问题的 常用算法 ，分析算法的优劣 ，预 测 ０ － １背包问题的发展方向。 关键 词 ：０ — １背包问题 ；动 态规划法 ；贪心法 ；分支界限法
一
、
∑ｗ ，
ｌ ｛
㈠ ｛ “ ｝ ｍ ａ ｘ ∑
｛ ｊ
二 、常用 的 ０ － １ 背 包问题算法 （ 一） 蛮力法。 蛮 力法又称穷举法或枚举法，是一种简单、 直接、有效的方法，是初学者入 门的方法 。蛮力法要求遍历所 有可能情 况一次且仅一次 ，筛选 出符合要求 的解。应用蛮力法 求解 ０ － １ 背包 问题， 需要考虑给定的 ｎ 个物品集合的所有子集， 找出所有总重量不超过背包容量的子集 ，计算每个可能子集的 总价值，然后找 出价值最大的子集 。对于一个具有 ｎ个元素的 集合 ，其子集数量是 ２ “，所 以，不论生成子集 的算法效率有 多高 ，蛮力法求解 ０ － １ 背包 问题都会导致一个 Ｑ （ ２ ｎ ）的算法 。 （ 二 ）动 态规划法。动态规划 法是一种通用 的算 法设计 技术用来求解 多阶段决策最优 化问题。这类 问题都满 足最优 性原理，即原 问题 的最优 性包含着子 问题 的最优性 。 应用 动态规划法 求解 ０ － １ 背包 问题 ，可 以将 ０ — １背包 问 题看 作一个 多阶段决策最 优化 问题 。ｎ个物 品集合 的所 有子 集可 以看 作该 问题 的所有 可行解；这些可行解 都是满足约束 条件 的，可行解可能不止一个，通过 目标 函数找到最优解 。 动态 规划 法求解 ０ － １ 背包 问题 的算法描述 ： 设Ｖ （ ｎ ， Ｃ ）表 示将 ｎ个 物 品装入 容量 为 Ｃ的背 包获 得 的 最大价值 。 初 始 状 态 ：Ｖ （ ｉ ， ０ ） ＝ Ｖ （ ０ ， ｊ ） ＝ ０ ， ０≤ ｉ ≤ｎ ， ０≤ ｊ≤ Ｃ 则Ｖ （ ｉ ， ｊ ）表示 将前 ｉ 个 物 品装入 容量 为 ｊ的背 包获 得
分支界限方法01背包问题解题步骤
分支界限方法是一种用于解决优化问题的算法。
在动态规划算法中，分支界限方法被广泛应用于解决01背包问题。
01背包问题是一个经典的动态规划问题，其解题步骤如下：1. 确定问题：首先需要明确01背包问题的具体描述，即给定一组物品和一个背包，每个物品有自己的价值和重量，要求在不超过背包容量的情况下，选取尽可能多的物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大。
2. 列出状态转移方程：对于01背包问题，可以通过列出状态转移方程来描述问题的求解过程。
假设dp[i][j]表示在前i个物品中，背包容量为j时能够获得的最大价值，则状态转移方程可以表示为：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]]+v[i])3. 初始化边界条件：在动态规划中，需要对状态转移方程进行初始化，一般情况下，dp数组的第一行和第一列需要单独处理。
对于01背包问题，可以初始化dp数组的第一行和第一列为0。
4. 利用分支界限方法优化：针对01背包问题，可以使用分支界限方法来优化动态规划算法的效率。
分支界限方法采用广度优先搜索的思想，在每一步选择最有希望的分支，从而减少搜索空间，提高算法的效率。
5. 实际解题步骤：根据上述步骤，实际解决01背包问题的步骤可以概括为：确定问题，列出状态转移方程，初始化边界条件，利用分支界限方法优化，最终得到问题的最优解。
分支界限方法在解决01背包问题时起到了重要的作用，通过合理的剪枝策略，可以有效地减少动态规划算法的时间复杂度，提高问题的求解效率。
分支界限方法也可以应用于其他优化问题的求解过程中，在算法设计和实现中具有重要的理论和实际意义。
在实际应用中，分支界限方法需要根据具体问题进行灵活选择和调整，结合动态规划和剪枝策略，以便更好地解决各类优化问题。
掌握分支界限方法对于解决复杂问题具有重要的意义，也是算法设计和优化的关键技术之一。
分支界限方法在解决01背包问题的过程中，具有重要的作用。
蛮力法、动态规划法、回溯法和分支限界法求解01背包问题【精选】
一、实验内容：分别用蛮力法、动态规划法、回溯法和分支限界法求解0/1背包问题。
注：0/1背包问题：给定种物品和一个容量为的背包，物品的重n C i 量是，其价值为，背包问题是如何使选择装入背包内的物品，使得装i w i v 入背包中的物品的总价值最大。
其中，每种物品只有全部装入背包或不装入背包两种选择。
二、所用算法的基本思想及复杂度分析：1.蛮力法求解0/1背包问题：1）基本思想：对于有n 种可选物品的0/1背包问题，其解空间由长度为n 的0-1向量组成,可用子集数表示。
在搜索解空间树时，深度优先遍历，搜索每一个结点，无论是否可能产生最优解，都遍历至叶子结点，记录每次得到的装入总价值，然后记录遍历过的最大价值。
2）代码:#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;#define N 100//最多可能物体数struct goods //物品结构体{int sign;//物品序号int w;//物品重量int p;//物品价值}a[N];bool m(goods a,goods b){return (a.p/a.w)>(b.p/b.w);}int max(int a,int b){return a<b?b:a;}int n,C,bestP=0,cp=0,cw=0;int X[N],cx[N];/*蛮力法求解0/1背包问题*/int Force(int i){if(i>n-1){if(bestP<cp&&cw+a[i].w<=C){for (int k=0;k<n;k++)X[k]=cx[k];//存储最优路径bestP=cp;}return bestP;}cw=cw+a[i].w;cp=cp+a[i].p;cx[i]=1;//装入背包Force(i+1);cw=cw-a[i].w;cp=cp-a[i].p;cx[i]=0;//不装入背包Force(i+1);return bestP;}int KnapSack1(int n,goods a[],int C,int x[]){Force(0);return bestP;}int main(){goods b[N];printf("物品种数n: ");scanf("%d",&n);//输入物品种数printf("背包容量C: ");scanf("%d",&C);//输入背包容量for (int i=0;i<n;i++)//输入物品i 的重量w 及其价值v {printf("物品%d 的重量w[%d]及其价值v[%d]:",i+1,i+1,i+1);scanf("%d%d",&a[i].w,&a[i].p);b[i]=a[i];}int sum1=KnapSack1(n,a,C,X);//调用蛮力法求0/1背包问题printf("蛮力法求解0/1背包问题:\nX=[ ");for(i=0;i<n;i++)cout<<X[i]<<" ";//输出所求X[n]矩阵printf("]装入总价值%d\n",sum1);bestP=0,cp=0,cw=0;//恢复初始化}3）复杂度分析：蛮力法求解0/1背包问题的时间复杂度为：。
蛮力法、动态规划法 求解01背包问题
else
v[i][j]=v[i-1][j];
}
else v[i][j]=v[i-1][j];
}
return v[n][m];
}
int main()
{
int m,n;int i,j;
cout<<"请输入背包的承重量:"<<endl;
2)复杂度分析:2n
2、动态规划法
1)基本思想:Dynamic programming is a technique for solving problems with overlapping subproblems.The function:
V(i,0)=V(0,j)=0;(1)
V(i-1,j)j<w
if (cur_weight <= capacity && cur_value > max_value) {
max_value = cur_value;
}
return;
}
c[d] = 0;
MFKnapsack(capacity, values, weights, c,
d + 1, max_value);
cout << MFKnapsack(capacity, values, weights, n) << endl;
return 0;
}
(2)Dynamic Programming
#include<iostream.h>
#include<string.h>
int v[10][100];//对应每种情况的最大价值
01背包问题动态规划算法
01背包问题动态规划算法
01背包问题是求在限定条件下，在一定的容量内最优装载物品，使得总价值最大。
动态规划算法是一种用于解决多阶段决策问题的途径，其特点是将原问题划分成若干子问题，每个子问题只求解一次，保存子问题的解，避免了重复计算。
01背包问题动态规划算法的步骤如下：
1、确定状态：物品的种数i (i=1,2,…n)，背包的容量j (j=0,1,2,…V)。
2、确定状态转移方程：f[i][j]=max{f[i-1][j],f[i-1][j-wi]+vi}。
3、确定初始状态：f[i][0]=0,f[0][j]=0。
4、确定输出：最后f[n][V]即为最优解。
5、根据状态转移方程从左到右，从上到下进行迭代计算。
0-1背包问题-贪心法和动态规划法求解
实验四“0-1”背包问题一、实验目的与要求熟悉C/C++语言的集成开发环境；通过本实验加深对贪心算法、动态规划算法的理解。
二、实验内容:掌握贪心算法、动态规划算法的概念和基本思想，分析并掌握“0-1”背包问题的求解方法，并分析其优缺点。
三、实验题1.“0-1”背包问题的贪心算法2.“0-1”背包问题的动态规划算法说明：背包实例采用教材P132习题六的6-1中的描述。
要求每种的算法都给出最大收益和最优解。
设有背包问题实例n=7，M=15,，(w0,w1,。
w6)=（2,3,5,7,1,4,1），物品装入背包的收益为：（p0，p1，。
，p6）=（10,5,15,7,6,18,3）。
求这一实例的最优解和最大收益。
四、实验步骤理解算法思想和问题要求；编程实现题目要求；上机输入和调试自己所编的程序；验证分析实验结果；整理出实验报告。
五、实验程序// 贪心法求解#include<iostream>#include"iomanip"using namespace std;//按照单位物品收益排序，传入参数单位物品收益，物品收益和物品重量的数组，运用冒泡排序void AvgBenefitsSort(float *arry_avgp,float *arry_p,float *arry_w ); //获取最优解方法，传入参数为物品收益数组，物品重量数组，最后装载物品最优解的数组和还可以装载物品的重量float GetBestBenifit(float*arry_p,float*arry_w,float*arry_x,float u);int main(){float w[7]={2,3,5,7,1,4,1}; //物品重量数组float p[7]={10,5,15,7,6,18,3}; //物品收益数组float avgp[7]={0}; //单位毒品的收益数组float x[7]={0}; //最后装载物品的最优解数组const float M=15; //背包所能的载重float ben=0; //最后的收益AvgBenefitsSort(avgp,p,w);ben=GetBestBenifit(p,w,x,M);cout<<endl<<ben<<endl; //输出最后的收益system("pause");return 0;}//按照单位物品收益排序，传入参数单位物品收益，物品收益和物品重量的数组，运用冒泡排序void AvgBenefitsSort(float *arry_avgp,float *arry_p,float *arry_w ) {//求出物品的单位收益for(int i=0;i<7;i++){arry_avgp[i]=arry_p[i]/arry_w[i];}cout<<endl;//把求出的单位收益排序，冒泡排序法int exchange=7;int bound=0;float temp=0;while(exchange){bound=exchange;exchange=0;for(int i=0;i<bound;i++){if(arry_avgp[i]<arry_avgp[i+1]){//交换单位收益数组temp=arry_avgp[i];arry_avgp[i]=arry_avgp[i+1];arry_avgp[i+1]=temp;//交换收益数组temp=arry_p[i];arry_p[i]=arry_p[i+1];arry_p[i+1]=temp;//交换重量数组temp=arry_w[i];arry_w[i]=arry_w[i+1];arry_w[i+1]=temp;exchange=i;}}}}//获取最优解方法，传入参数为物品收益数组，物品重量数组，最后装载物品最优解的数组和还可以装载物品的重量float GetBestBenifit(float*arry_p,float*arry_w,float*arry_x,float u) {int i=0; //循环变量ifloat benifit=0; //最后收益while(i<7){if(u-arry_w[i]>0){arry_x[i]=arry_w[i]; //把当前物品重量缴入最优解数组benifit+=arry_p[i]; //收益增加当前物品收益u-=arry_w[i]; //背包还能载重量减去当前物品重量cout<<arry_x[i]<<" "; //输出最优解}i++;}return benifit; //返回最后收益}//动态规划法求解#include<stdio.h>#include<math.h>#define n 6void DKNAP(int p[],int w[],int M,const int m); void main(){int p[n+1],w[n+1];int M,i,j;int m=1;for(i=1;i<=n;i++){m=m*2;printf("\nin put the weight and the p:");scanf("%d %d",&w[i],&p[i]);}printf("%d",m);printf("\n in put the max weight M:");scanf("%d",&M);DKNAP(p,w,M,m);}void DKNAP(int p[],int w[],int M,const int m) {int p2[m],w2[m],pp,ww,px;int F[n+1],pk,q,k,l,h,u,i,j,next,max,s[n+1];F[0]=1;p2[1]=w2[1]=0;l=h=1;F[1]=next=2;for(i=1;i<n;i++){k=l;max=0;u=l;for(q=l;q<=h;q++)if((w2[q]+w[i]<=M)&&max<=w2[q]+w[i]){u=q;max=w2[q]+w[i];}for(j=l;j<=u;j++){pp=p2[j]+p[i];ww=w2[j]+w[i];while(k<=h&&w2[k]<ww){p2[next]=p2[k];w2[next]=w2[k];next++;k++;}if(k<=h&&w2[k]==ww){if(pp<=p2[k])pp=p2[k];k++;}else if(pp>p2[next-1]){p2[next]=pp;w2[next]=ww;next++;}while(k<=h&&p2[k]<=p2[next-1])k++;}while(k<=h){p2[next]=p2[k];w2[next]=w2[k];next=next+1;k++;}l=h+1;h=next-1;F[i+1]=next;}for(i=1;i<next;i++)printf("%2d%2d ",p2[i],w2[i]);for(i=n;i>0;i--){next=F[i];next--;pp=pk=p2[next];ww=w2[next];while(ww+w[i]>M&&next>F[i-1]){next=next-1;pp=p2[next];ww=w2[next];}if(ww+w[i]<=M&&next>F[i-1])px=pp+p[i];if(px>pk&&ww+w[i]<=M){s[i]=1;M=M-w[i];printf("M=%d ",M);}else s[i]=0;}for(i=1;i<=n;i++)printf("%2d ",s[i]);}六、实验结果1、贪心法截图：七、实验分析。
求解0-1背包问题算法研究
现代经济信息求解０－１背包问题算法研究田秀芹 百色学院数学与统计学院摘要：本文主要概述了求解0-1背包问题的两大类算法：精确算法和近似算法，并分析了这些算法的优缺点，并提出了求解该问题的算法发展趋势。
关键词：0-1背包问题；精确算法；近似算法中图分类号：TP312 文献识别码：A 文章编号：1001-828X(2017)010-0386-03The Study of the 0-1 Knapsack Problem AlgorithmAbstract: This paper mainly summarizes the solving 0-1 knapsack problem algorithm of two categories: accurate and approximate algorithms, and analyzes the advantages and disadvantages of these algorithms, and put forward the development trend of algorithms to solve the problem.Keywords: 0-1 knapsack problem, precise algorithm, approximate algorithmDantzig[1]在20世纪50年代首次提出了背包问题(Knapsack problem，简称KP)，在文献[2]中，阐述了该问题是一个NP-难问题，在背包问题中，我们很难设计出多项式时间算法，除非P=NP。
0-1背包问题就是，给定一个容量为的背包和件具有价值的物品，在不超过背包容量的前提下，选择若干物品放入背包，使得装入背包的物品总价值最大。
同时给出一种放置物品的方案。
背包问题就有普遍的应用背景，在日常的许多实践中如：材料切割、资源有效分配问题、资金估算的问题、运输过程的货仓装载等起着很大的作用，许多的组合优化问题都可以简化为背包问题，背包问题的各种解法也可用来解决组合优化问题，因此对0-1背包问题的解法进行深入的研究具有重大的意义。
0-1背包问题
0-1背包问题背包问题：n种物品，每种物品有重量w和价值v，背包所能承受的最⼤重量为c。
如何挑选物品可以使总物品的价值最⼤。
0-1背包问题：限定每种物品的个数只能是0或1.如：5个物品，质量分别为3,5,7,8,9，价值分别为4,6,7,9,10。
背包所能承受重量为22.给物品从0开始编号，挑选物品1,3,4（价值分别为6,9,10）时，总价值最⼤为25，此时重量为22.运⽤动态规划思想，可以构造有效的⽅法。
算法基本思路：1.构造最优表，获取最⼤价值；构造表mv[0...n][0...c]，mv[i][j] 表⽰前 i 项物品（即0到i-1）中挑选物品放⼊承受重量为 j 的最⼤价值。
显然，当 i 为0即没有物品时，mv[0][*] = 0；当 j 为0即最⼤重量为0时，mv[*][0] = 0。
（*表⽰任意）对于mv[i][j]只有两种可能的情况，（要注意的是，i 表⽰前i 项物品，物品编号从0开始，即 i-1 表⽰第i 项物品）(1)当w[i-1] > j 即当前物品重量⼤于当前最⼤承受重量时，只能放弃当前物品即 mv[i][j] = mv[i-1][j]；(2)当w[i-1] <= j 即当前物品重量⼩于当前最⼤承受重量时，通过⽐较取此物品后的最⼤价值（即mv[i-1][j-w[i-1]] + v[i-1]）与不取此物品的最⼤价值（即mv[i-1][j]），挑出较⼤值即 mv[i][j] = max(mv[i-1][j], mv[i-1][j-w[i-1]])。
通过上述⾃底向上打表，可构造出最优值mv[n][c]。
2.通过最优表，获取构造路线即挑出可以得到最⼤价值的物品。
通过上述可知，当w[i-1] > j 时，mv[i][j] = mv[i-1][j]；当w[i-1] <= j 时，mv[i][j] = max(mv[i-1][j], mv[i-1][j - w[i-1]] + v[i-1])。
背包问题
（0-1）背包问题的解法小结1．动态规划法递推关系：– 考虑一个由前i 个物品(1≤i ≤n )定义的实例，物品的重量分别为w 1,…,w i ，价值分别为v 1，…，v i ，背包的承重量为j (1≤j ≤W )。
设V [I,j]为该实例的最优解的物品总价值– 分成两类子集：• 根据定义，在不包括第i 个物品的子集中，最优子集的价值是V [i -1,j ]• 在包括第i 个物品的子集中(因此，j －w ≥0)，最优子集是由该物品和前i -1个物品中能够放进承重量为i －w j 的背包的最优子集组成。
这种最忧子集的总价值等于v i +V [i -1,j -w i ].0]0,[时，0 当0;][0,时，0初始条件：当],1[}],1[],,1[max{],[=≥=≥<≥⎩⎨⎧-+---=i V i j V j w j w j j i V v w j i V j i V j i V i i i i以记忆功能为基础的算法：用自顶向下的方式对给定的问题求解，另外维护一个类似自底向上动态规划算法使用的表格。
一开始的时候，用一种“null”符号创始化表中所有的单元，用来表明它们还没有被计算过。
然后，一旦需要计算一个新的值，该方法先检查表中相应的单元：如果该单元不是“null ”，它就简单地从表中取值；否则，就使用递归调用进行计算，然后把返回的结果记录在表中。
算法 MFKnapsack(I,j)//对背包问题实现记忆功能方法//输入：一个非负整数i 指出先考虑的物品数量，一个非负整数j 指出了背包的承重量 //输出：前i 个物品的最伏可行子集的价值//注意：我们把输入数组Weights[1..n],Values[1..n]和表格V[0..n,0..W]作为全局变量，除了行0和列0用0初始化以外，V 的所有单元都用-1做初始化。
if V[I,j]<01if j<Weights[i]value ←MFKnapsack(i-1,j)elsevalue ←max(MFKnapsack(i-1),j), Value[i]+MFKnapsack(i-1,j-eights[i]))V[I,j]←valuereturn V[I,j]2．贪心算法1) 背包问题基本步骤：首先计算每种物品单位重量的价值Vi/Wi ，然后，依贪心选择策略，将尽可能多的单位重量价值最高的物品装入背包。
完全背包问题和0-1背包问题
1.实验目的（结出本次实验所涉及并要求掌握的知识点）利用动态规划策略解决0-1背包和完全背包问题2.实验内容（结出实验内容具体描述）（1）0-1 Knapsack Problem和Unbounded Knapsack Problem的算法进行实现（2）对0-1Knapsack Problem的算法进行空间优化，使其空间复杂度达到O(W)3.算法描述及实验步骤（用适当的形式表达算法设计思想与算法实现步骤）1. 二维数组的0-1背包空间O(nW)int record[100][100]; // 0-1 背包的二维表void ZO_knapsack_1(int num,int room){// 针对每一个物品进行筛选，看他是否是构成最终max的组成int i,j;for(i=0;i<=num;i++)for(j=0;j<=room;j++)record[i][j]=0; // 初始化record表for(i=1;i<=num;i++){for(j=0;j<=room;j++){if(a[i][0]>j)record[i][j]=record[i-1][j];else{if(record[i-1][j-a[i][0]]+a[i][1]>record[i-1][j])record[i][j]=record[i-1][j-a[i][0]]+a[i][1];elserecord[i][j]=record[i-1][j];}}}}int arry[100]; // 一维记录表int carry[100]; // 是否拿走该物品记录void ZO_knapsack_2(int num,int room){int i,j;for(i=0;i<=num;i++)arry[i]=0; // 初始化arry表for(i=1;i<=num;i++){for(j=room;j>=a[i][0];j--){ //逆序记录if(arry[j-a[i][0]]+a[i][1]>arry[j])arry[j]=arry[j-a[i][0]]+a[i][1];}}3. 一维数组实现完全背包空间：O(W)void UNbounded(int num,int room){int i,j;for(i=0;i<=num;i++)arry[i]=0; // 初始化arry表for(i=1;i<=num;i++){for(j=a[i][0];j<=room;j++){ //顺序记录if(arry[j-a[i][0]]+a[i][1]>arry[j])arry[j]=arry[j-a[i][0]]+a[i][1];}}}4.调试过程及运行结果（详细记录在调试过程中出现的问题及解决方法。
0-1背包问题的递归方法
0-1背包问题的递归方法0-1背包问题是一个经典的动态规划问题，可以使用递归方法求解。
定义一个函数`knapsack(weights, values, capacity, n)`，其中`weights`和`values`分别代表物品的重量和价值，`capacity`代表背包的容量，`n`代表当前考虑的物品个数。
递归的思路是对于每个物品，有两种选择：放入背包中或者不放入背包中。
1. 如果第`n`个物品的重量大于背包的容量`capacity`，则不放入背包中，返回`0`；2. 否则，有两种选择：- 选择放入第`n`个物品，则总价值为第`n`个物品的价值加上考虑前`n-1`个物品，背包容量减去第`n`个物品重量的最优解； - 不放入第`n`个物品，则总价值为考虑前`n-1`个物品，背包容量不变的最优解。
代码如下所示：```pythondef knapsack(weights, values, capacity, n):if n == 0 or capacity == 0:return 0if weights[n-1] > capacity:return knapsack(weights, values, capacity, n-1)else:return max(values[n-1] + knapsack(weights, values, capacity-weights[n-1], n-1),knapsack(weights, values, capacity, n-1))```可以通过调用`knapsack`函数来求解0-1背包问题，如下所示：```pythonweights = [2, 3, 4, 5]values = [3, 4, 5, 6]capacity = 5n = len(weights)result = knapsack(weights, values, capacity, n)print(result)```以上代码会输出最优解的总价值。
0_1背包问题之穷举_搜索_动态规划算法探讨
Computer Knowledge and Technology 电脑知识与技术第5卷第12期(2009年4月)0-1背包问题之穷举、搜索、动态规划算法探讨曹周进（汤溪中学，浙江金华321075）摘要：该文论述了算法学习中非常经典的0-1背包问题，探讨用穷举、搜索、动态规划三种算法来解决0-1背包问题，并讨论算法在时间和空间复杂度上的优化，给出具体的参考程序。
关键词：0-1背包，算法设计，算法优化，参考程序中图分类号：TP312文献标识码：A 文章编号：1009-3044(2009)12-3193-02The Study on Exhaust Slgorithm,Search Algorithm,Dynamic Design for 0-1Knapsack ProblemCAO Zhou-jin(Tangxi Middle School,Jinhua 321075,China)Abstract:This article elaborated the extremely classical 0-1knapsack question in the algorithm study.In this paper,the exhaust algorithm,the search algorithm,the dynamic design are proposed to solve the 0-1knapsack problem.It also carries on the optimization to the time and space complexity of algorithm,giving us the concrete reference program.Key words:0-1knapsack problem;algorithm design;algorithm optimization;reference program1引言背包问题是算法学习中非常经典的一个问题，背包问题有多种形式，如0-1背包、完全背包、部分背包、混合背包问题等。
背包问题的各种求解方法
背包问题的各种求解⽅法⼀、“0-1背包”问题描述： 给定n中物品，物品i的重量是w i，其价值为v i，背包的容量为c.问应如何选择装⼊背包中的物品，使得装⼊背包中的物品的总价值最⼤？形式化描述：给定c>0,w i>0,v i>0,1≤i≤n，要求找⼀个n元0-1向量（x1,x2,...,x n)，x i∈{0,1}，1≤i≤n，使得∑w i x i≤c，⽽且∑v i x i达到最⼤。
因此0-1背包问题是⼀个特殊的整形规划问题：max ∑v i x is.t ∑w i x i≤cx i∈{0,1}，1≤i≤n⼆、动态规划求解（两种⽅法，顺序或逆序法求解） 1.最优⼦结构性质 1.1 简要描述 顺序：将背包物品依次从1,2,...n编号，令i是容量为c共有n个物品的0-1背包问题最优解S的最⾼编号。
则S'=S-{i}⼀定是容量为c-w i且有1,...,i-1项物品的最优解。
如若不是，领S''为⼦问题最优解，则V(S''+{i})>V(S'+{i})，⽭盾。
这⾥V(S)=V(S')+v i.逆序：令i是相应问题最优解的最低编号，类似可得。
1.2 数学形式化语⾔形式化的最优⼦结构 顺序（从前往后）：设(y1,y2,...,y n)是所给问题的⼀个最优解。
则(y1,...,y n-1)是下⾯相应⼦问题的⼀个最优解： max ∑v i x is.t ∑w i x i≤cx i∈{0,1}，1≤i≤n-1如若不然，设(z1,...,z n-1)是上述⼦问题的⼀个最优解，⽽(y1,...,y n-1)不是它的最优解。
由此可知，∑v i z i>∑v i y i,且∑v i z i+w n y n≤c。
因此∑v i y i+v n y n>∑v i y i(前⼀个范围是1~n-1，后⼀个是1~n) ∑v i z i+w n y n≤c这说明(z1,z2,...,y n)是⼀个所给问题的更优解，从⽽(y1,y2,...,y n)不是问题的所给问题的最优解，⽭盾。
回溯法解决01背包问题算法
回溯法解决01背包问题算法回溯法是一种常见的解决0-1背包问题的算法。
以下是使用Python编写的基于回溯法的0-1背包问题的解决方案：```pythondef knapsack(weights, values, capacity):n = len(weights)dp = [[0 for _ in range(capacity + 1)] for _ in range(n + 1)]for i in range(1, n + 1):for w in range(1, capacity + 1):if weights[i - 1] <= w:dp[i][w] = max(dp[i - 1][w], dp[i - 1][w - weights[i - 1]] + values[i - 1])else:dp[i][w] = dp[i - 1][w]return dp[n][capacity]def backtrack(weights, values, capacity, i, w):if i == 0 or w == 0:returnif weights[i - 1] <= w:backtrack(weights, values, capacity, i - 1, w - weights[i - 1])print(f"Pick {values[i - 1]} with weight {weights[i - 1]}")backtrack(weights, values, capacity, i - 1, w)else:backtrack(weights, values, capacity, i - 1, w)def knapsack_backtrack(weights, values, capacity):backtrack(weights, values, capacity, len(weights), capacity)```在这个代码中，`knapsack`函数使用动态规划方法来解决问题，而`backtrack`函数使用回溯法。
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关于求解0/1背包问题的动态规划算法摘要：本文通过研究动态规划原理，提出了根据该原理解决０／１背包问题的方法与算法实现，并对算法的正确性作了验证．观察程序运行结果，发现基于动态规划的算法能够得到正确的决策方案且比穷举法有效．关键字：动态规划；０／１背包；约束条件；序偶；决策序列；支配规则1、引 言科学研究与工程实践中，常常会遇到许多优化问题，而有这么一类问题，它们的活动过程可以分为若干个阶段，但整个过程受到某一条件的限制。
这若干个阶段的不同决策的组合就构成一个完整的决策。
0/1背包问题就是一个典型的在资源有限的条件下，追求总的收益最大的资源有效分配的优化问题。
对于0/1背包问题，我们可以这样描述：设有一确定容量为C 的包及两个向量C ’=（S 1，S 2，……，S n ）和P=（P 1，P 2，……，P N ），再设X 为一整数集合，即X=1，2，3，……，N ，X 为SI 、PI 的下标集，T 为X 的子集，那么问题就是找出满足约束条件∑S i 〈=C ，使∑PI 获得最大的子集T 。
在实际运用中，S 的元素可以是N 个经营项目各自所消耗的资源，C 可以是所能提供的资源总量，P 的元素可是人们从各项项目中得到的利润。
0/1背包问题是工程问题的典型概括，怎么样高效求出最优决策，是人们关心的问题。
2、求解问题的动态规划原理与算法 2．1动态规划原理的描述求解问题的动态规划有向前处理法向后处理法两种，这里使用向前处理法求解0/1背包问题。
对于0/1背包问题，可以通过作出变量X 1，X 2，……，X N 的一个决策序列来得到它的解。
而对于变量X 的决策就是决定它是取0值还是取1值。
假定决策这些X 的次序为X n ，X N-1，……，X 0。
在对X 0做出决策之后，问题处于下列两种状态之一：包的剩余容量是M ，没任何效益；剩余容量是M-w ，效益值增长了P 。
显然，之后对X n-1，Xn-2，……，X 1的决策相对于决策X 所产生的问题状态应该是最优的，否则X n ，……，X 1就不可能是最优决策序列。
如果设F j （X ）是KNAP （1，j ，X ）最优解的值，那么F n （M ）就可表示为F N （M ）=max(f n (M),f n-1(M-w n )+p n )} （1） 对于任意的f i (X),这里i>0，则有f i (X)=max{f i-1(X),f i-1(X-w i )+p i } （2） 为了能由前向后推而最后求解出F N （M ），需从F 0（X ）开始。
对于所有的X>=0,有F 0（X ）=0，当X<0时，有F 0（X ）等于负无穷。
根据（2），可求出0〈X 〈W 1和X 〉=W 1情况下F 1（X ）的值。
接着由（2）不断求出F 2，F 3，……，F N 在X 相应取值范围内的值。
2．2 0/1背包问题算法的抽象描述(1)初始化各个元素的重量W[i]、效益值P[i]、包的最大容量M ； (2)初始化Ｓ0； (3)生成S i ；a．在中Ｓi-1找满足约束条件的第R对序偶；b．生成S1i ;c．清除不满足条件的序偶；d．将S n-1中满足条件的序偶复制到S n 中；（4）对Sn+1置初值；（5）若不满足循环次数转（3）,否则转（６）；（6）用回溯法确定决策序列；终止程序。
2．3计算复杂性分析假设Si 的序偶是|Ｓi|。
在i＞０的情况下，每个Ｓi由Ｓ1i-1和Ｓ1i归并而成，并且｜Ｓ1i |<=|Ｓi-1 |,因此｜Ｓi |<=2|Ｓi-1 |。
在最坏情况下没有序偶被清除，所以对|Ｓi|求和(i=0,1,2,．．．n-1)的结果是２n-1,也就是说ＤＫＮＡＰ的空间复杂度为Ｏ（２n）。
由Ｓi-1生成Ｓi需要|Ｓi-1||的时间，所以在计算S0，S1，S2，……，Sn-1时所消耗的总时间为（∑|Ｓi-1|），0〈＝i〈＝n－１。
由于｜Ｓi｜〈＝２n，所以计算这些Ｓi 总的时间为Ｏ（２n）。
该算法的时间复杂性为Ｏ（２n），似乎表明当Ｎ很大时它的有效性不会让人满意，但由于支配规则的引入，很好的清除了不满足约束的序偶，因而该算法在很多情况下都能在可接受的时间内求出决策序列。
２．４基于动态规划的算法源程序由于算法源程序有一定的篇幅，将其附后。
3、性能测试３．１测试问题为了验证算法的正确性与有效性，用两个数组Ｐ［Ｎ］和Ｗ［Ｎ］分别存储始记录Ｃ’和P，记录为用穷举法已求出最优决策的实例。
现分别取Ｎ＝3，4 ，6，10进行实验。
3．2试验结果与分析为了便于说明问题，现将实验过程中的N取不同值的一组向量Ｃ’和P（也就是重量与效益值）记录如下：N=3：Ｃ’=（2，3，4）；P=（1，2，5）；M=6；N=4：Ｃ’=（2，4，6，7）；P=（6，10，12，13）；M=11；N=6：Ｃ’=（100，50，20，10，7，3）；P=（90，70，30，20，5，15）；M=165；N=10：Ｃ’=（2，4，5，7，10，14，19，20，25，30）；P=（1，3，4，5，10，15，20，25，36，28）；M=70；运行程序，与上述实例对应的决策序列为（1 0 1）、（0 1 0 1）、（1 1 0 1 1）和（0 0 1 1 0 1 1 0 1 0），各决策序列与穷举法得到的结果一致，得到了最大的效益值，都为有限资源下的最优决策序列。
根据程序运行的中间结果，记录上述实例每次的S i的序偶个数，结果如下表：S i的序偶个数表：i对于每一个S i并非都是|S i|= =2|S i-1|,尤其当i>4时效果更加明显，减少了搜索的范围，避免了穷举搜索，比穷举法有效．４，结束语通过将动态规划原理引入到解０／１背包问题中，由于支配规则的高效性，使该算法比运用穷举思想的算法有效．需要指出的是，由于它的时间复杂性为Ｏ（２n），０／１背包问题是一个ＮＰ－难问题。
如果能够将它降为多项式复杂性，那么所有的ＮＰ－难问题就都可以在多项式时间内求解，这将会大大提高现行些类问题的算法的可靠性与效率。
在这方面，有待深入研究，也是值得研究的问题。
参考文献：[1] 数据结构：C语言版/严蔚敏等编著。
[2] Ｃ语言程序设计：潭浩强编著。
[3] 计算机算法基础:第二版/余祥宣等编著。
用动态规划解0/1背包问题的源程序代码：#include<stdio.h>#include<math.h>#define n 6void DKNAP();main(){int p[n+1],w[n+1];int M,m=1,i,j;for(i=1;i<=n;i++){ m=m*2;printf("\nin put the weight and the p:");scanf("%d %d",&w[i],&p[i]);}printf("%d",m);printf("\n in put the max weight M:");scanf("%d",&M);DKNAP(p,w,M,m);}void DKNAP(int p[],int w[],int M,int m){ int p2[m],w2[m],pp,ww,px;int F[n+1],pk,q,k,l,h,u,i,j,next,max,s[n+1]; F[0]=1;p2[1]=w2[1]=0;l=h=1;F[1]=next=2;for(i=1;i<n;i++){ k=l;max=0； u=l;for(q=l;q<=h;q++)if((w2[q]+w[i]<=M)&&max<=w2[q]+w[i]){ u=q;max=w2[q]+w[i];}for(j=l;j<=u;j++){ pp=p2[j]+p[i];ww=w2[j]+w[i];while(k<=h&&w2[k]<ww){ p2[next]=p2[k];w2[next]=w2[k];next++;k++;}if(k<=h&&w2[k]==ww){ if(pp<=p2[k])pp=p2[k];k++;}else if(pp>p2[next-1]){ p2[next]=pp;w2[next]=ww;next++;}while(k<=h&&p2[k]<=p2[next-1])k++; }while(k<=h){ p2[next]=p2[k];w2[next]=w2[k];next=next+1;k++;}l=h+1;h=next-1;F[i+1]=next;}for(i=1;i<next;i++)printf("%2d%2d ",p2[i],w2[i]);for(i=n;i>0;i--){ next=F[i];next--;pp=pk=p2[next];ww=w2[next];while(ww+w[i]>M&&next>F[i-1]){ next=next-1;pp=p2[next];ww=w2[next];}if(ww+w[i]<=M&&next>F[i-1])px=pp+p[i]; if(px>pk&&ww+w[i]<=M){ s[i]=1; M=M-w[i];printf("M=%d ",M);} else s[i]=0;}for(i=1;i<=n;i++)printf("%2d ",s[i]);}。