北理版矩阵分析课件(6)
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
义。
例：设
f (x)
1
(x 3)(x 4)
又已知
8 3 6
A 3 2
0
4 2 2
容易求得矩阵 A 的最小多项式为
m() ( 2)( 1)2
并且
f
(2)
1 2
,
f
(1)
1 6
,
f
' (1)
5 36
所以 f (x) 在 A 的谱上有定义。但是如果取
3 1 0 B 0 3 0
0 0 1
式且有
m() ( 1)d1 ( 2 )d2 ( r )dr
其中
r
di 1(i 1, 2 , r), di m
i 1
如果函数 f (x) 具有足够高阶的导数并且下
列 m 个值
f (i ), f ' (i ), , f (di 1) (i ) , i 1, 2, , r
存在，则称函数 f (x) 在矩阵 A 的谱上有定
1 1 4
3 1 0 0 (4) D 0 3 0 0
0 0 3 0 0 0 0 5
解： （1）首先求出其Jordan标准形为
1 0 0
J
0
1
1
0 0 1
所以其最小多项式为( 1)2 。
（2）此矩阵的Jordan标准形为
1 0 0 J 0 3 1
0 0 3
从而其最小多项式为( 1)( 3)2 。
2 f '(1)
0 f (1)
0
8 f '(1)
6 f '(1)
f (1) 4 f '(1)
35 0 72 27 1 54
18 0 37
定义：已知 ACnn 和关于变量 x 的多
项式
f ( x) an xn an1xn1 a1x a0
如果 f (x) 满足 f ( A) Onn ，那么称 f (x)
整除。 （3）相似矩阵有相同的最小多项式。
如何求一个矩阵的最小多项式?首先我们考 虑Jordan标准形矩阵的最小多项式。
例 1 ：已知一个Jordan块
i 1
Ji
i
1
i di di
求其最小多项式。
解：注意到其特征多项式为 f () ( i )di ，则由上面的定理可知其最小多项式 m()
形，则
A PJP1 Pdiag(J1, J2, , J r )P1
Pdiag(J1(1), J2(2 ), , J r (r ))P1
于是有
f ( A) an An an1An1 a1A a0I an (PJP1)n an1(PJP1)n1
a1(PJP1) a0I P(an J n an1J n1 a1J a0I )P1 Pf (J )P1 Pdiag( f (J1), f (J 2 ), , f (J r ))P1
为矩阵 A 的一个零化多项式。
定理：已知 ACnn， f ()为其特征多项式
，则有
f ( A) Onn
我们称此定理为Hamilton-Cayley定理。
定义：已知 ACnn ，在 A 的零化多项式中， 次数最低且首项系数为1的零化多项式称为 A
的最小多项式，通常记为 m() 。
最小多项式的性质：已知 ACnn ，那么 （1）矩阵 A 的最小多项式是唯一的。 （2）矩阵的任何一个零化多项式均能被 m()
容易求得矩阵 B 的最小多项式为
m() ( 1)( 3)2
显然 f (3) 不存在，所以在 B 的谱上无定义。
考虑下面两个问题：
（1）设 ACnn ，如果 f ( A)有定义，那
么 f ( AT ) 是否也有定义？
（2）设 ACnn 且 A 可逆，如果 f ( A) 有
0 4 1 P 1 3 0
0 2 0
那么有
0 1
3 2
P1 0
0
1 2
1 0
2
f ( A) Pf (J )P1
0 4 1 f (1) 0
0
0
1
3 2
1
3
0
0
f (1)
f
'
(1)
0
0
1 2
0 2 0 0
0
f (1) 1 0
2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
f (1) 4 f '(1)
3 f '(1)
A1, A2, , Ar 的最小多项式，则 A 的最小
多项式为
[m1(), m2(), , mr ()] 即为 m1(), m2(), , mr () 的最小公倍
数。
例 3 ：求下列矩阵的最小多项式
3 0 8
(1)
A
3
1
6
2 0 5
2 3 2
(2)
B
1
8
2
2 14 3
1 2 6 (3) C 1 0 3
我们称上面的表达式为矩阵多项式 f ( A) 的
Jordan表示。其中
i 1
Ji
(i
)
i
ik
J
k i
(i
)
c1 k1 ki ik
(i 1, 2, , r) 1
i di di
c di 1 kdi 1 ki
c1 k1 ki ik
di di
f
(i
)
f (Ji)
f '(i ) f (i )
(di
1 1)!
f
( (di 1) i
)
f '(i )
f (i )
di di
例 已知多项式
f (x) x4 2x3 x 1
与矩阵
3 0 8
A
3
1
6
2 0 5
求 f ( A) 。
解：首先求出矩阵的 A 的Jordan标准形 J 及其相似变换矩阵 P
1 0 0
J
0
1
1
0 0 1
（3）该矩阵的Jordan标准形为
1 0 0 J 0 1 1
0 0 1
故其最小多项式为 ( 1)2。
（4）此矩阵本身就是一个Jordan标准形，
所以其最小多项式 ( 5)( 3)2 。
矩阵函数及其计算
函数在矩阵谱上的值与矩阵函数
定义：设 ACnn ，1, 2, , r 为 A的 r
个互不相同的特征值， m() 为其最小多项
一定具有如下形状
m() ( i )k
其中1 k di 。但是当 k di 时
m(Ji ) (Ji i I )k
0 0
1
00
0
0
0
0
1 Odi di
0 0
因此有
m() ( i )di
例 2 ：已知对角块矩阵
A = diag( A1, A2, , Ar ) ， m1(), m2(), , mr () 分别为子块
矩阵分析
• 主讲教师：魏丰
第六章 矩阵函数
矩阵的多项式表示与矩阵的极小多项式
定义： 已知 ACnn 和关于变量 x 的多项
式
f ( x) an xn an1xn1 a1x a0
那么我们称
f ( A) an An an1An1
为 A 的矩阵多项式。
a1A a0I
设 A为一个 n 阶矩阵， J 为其Jordan标准
例：设
f (x)
1
(x 3)(x 4)
又已知
8 3 6
A 3 2
0
4 2 2
容易求得矩阵 A 的最小多项式为
m() ( 2)( 1)2
并且
f
(2)
1 2
,
f
(1)
1 6
,
f
' (1)
5 36
所以 f (x) 在 A 的谱上有定义。但是如果取
3 1 0 B 0 3 0
0 0 1
式且有
m() ( 1)d1 ( 2 )d2 ( r )dr
其中
r
di 1(i 1, 2 , r), di m
i 1
如果函数 f (x) 具有足够高阶的导数并且下
列 m 个值
f (i ), f ' (i ), , f (di 1) (i ) , i 1, 2, , r
存在，则称函数 f (x) 在矩阵 A 的谱上有定
1 1 4
3 1 0 0 (4) D 0 3 0 0
0 0 3 0 0 0 0 5
解： （1）首先求出其Jordan标准形为
1 0 0
J
0
1
1
0 0 1
所以其最小多项式为( 1)2 。
（2）此矩阵的Jordan标准形为
1 0 0 J 0 3 1
0 0 3
从而其最小多项式为( 1)( 3)2 。
2 f '(1)
0 f (1)
0
8 f '(1)
6 f '(1)
f (1) 4 f '(1)
35 0 72 27 1 54
18 0 37
定义：已知 ACnn 和关于变量 x 的多
项式
f ( x) an xn an1xn1 a1x a0
如果 f (x) 满足 f ( A) Onn ，那么称 f (x)
整除。 （3）相似矩阵有相同的最小多项式。
如何求一个矩阵的最小多项式?首先我们考 虑Jordan标准形矩阵的最小多项式。
例 1 ：已知一个Jordan块
i 1
Ji
i
1
i di di
求其最小多项式。
解：注意到其特征多项式为 f () ( i )di ，则由上面的定理可知其最小多项式 m()
形，则
A PJP1 Pdiag(J1, J2, , J r )P1
Pdiag(J1(1), J2(2 ), , J r (r ))P1
于是有
f ( A) an An an1An1 a1A a0I an (PJP1)n an1(PJP1)n1
a1(PJP1) a0I P(an J n an1J n1 a1J a0I )P1 Pf (J )P1 Pdiag( f (J1), f (J 2 ), , f (J r ))P1
为矩阵 A 的一个零化多项式。
定理：已知 ACnn， f ()为其特征多项式
，则有
f ( A) Onn
我们称此定理为Hamilton-Cayley定理。
定义：已知 ACnn ，在 A 的零化多项式中， 次数最低且首项系数为1的零化多项式称为 A
的最小多项式，通常记为 m() 。
最小多项式的性质：已知 ACnn ，那么 （1）矩阵 A 的最小多项式是唯一的。 （2）矩阵的任何一个零化多项式均能被 m()
容易求得矩阵 B 的最小多项式为
m() ( 1)( 3)2
显然 f (3) 不存在，所以在 B 的谱上无定义。
考虑下面两个问题：
（1）设 ACnn ，如果 f ( A)有定义，那
么 f ( AT ) 是否也有定义？
（2）设 ACnn 且 A 可逆，如果 f ( A) 有
0 4 1 P 1 3 0
0 2 0
那么有
0 1
3 2
P1 0
0
1 2
1 0
2
f ( A) Pf (J )P1
0 4 1 f (1) 0
0
0
1
3 2
1
3
0
0
f (1)
f
'
(1)
0
0
1 2
0 2 0 0
0
f (1) 1 0
2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
f (1) 4 f '(1)
3 f '(1)
A1, A2, , Ar 的最小多项式，则 A 的最小
多项式为
[m1(), m2(), , mr ()] 即为 m1(), m2(), , mr () 的最小公倍
数。
例 3 ：求下列矩阵的最小多项式
3 0 8
(1)
A
3
1
6
2 0 5
2 3 2
(2)
B
1
8
2
2 14 3
1 2 6 (3) C 1 0 3
我们称上面的表达式为矩阵多项式 f ( A) 的
Jordan表示。其中
i 1
Ji
(i
)
i
ik
J
k i
(i
)
c1 k1 ki ik
(i 1, 2, , r) 1
i di di
c di 1 kdi 1 ki
c1 k1 ki ik
di di
f
(i
)
f (Ji)
f '(i ) f (i )
(di
1 1)!
f
( (di 1) i
)
f '(i )
f (i )
di di
例 已知多项式
f (x) x4 2x3 x 1
与矩阵
3 0 8
A
3
1
6
2 0 5
求 f ( A) 。
解：首先求出矩阵的 A 的Jordan标准形 J 及其相似变换矩阵 P
1 0 0
J
0
1
1
0 0 1
（3）该矩阵的Jordan标准形为
1 0 0 J 0 1 1
0 0 1
故其最小多项式为 ( 1)2。
（4）此矩阵本身就是一个Jordan标准形，
所以其最小多项式 ( 5)( 3)2 。
矩阵函数及其计算
函数在矩阵谱上的值与矩阵函数
定义：设 ACnn ，1, 2, , r 为 A的 r
个互不相同的特征值， m() 为其最小多项
一定具有如下形状
m() ( i )k
其中1 k di 。但是当 k di 时
m(Ji ) (Ji i I )k
0 0
1
00
0
0
0
0
1 Odi di
0 0
因此有
m() ( i )di
例 2 ：已知对角块矩阵
A = diag( A1, A2, , Ar ) ， m1(), m2(), , mr () 分别为子块
矩阵分析
• 主讲教师：魏丰
第六章 矩阵函数
矩阵的多项式表示与矩阵的极小多项式
定义： 已知 ACnn 和关于变量 x 的多项
式
f ( x) an xn an1xn1 a1x a0
那么我们称
f ( A) an An an1An1
为 A 的矩阵多项式。
a1A a0I
设 A为一个 n 阶矩阵， J 为其Jordan标准