北理版矩阵分析课件(6)
北京理工大学出版社矩阵分析习题解答
2005级电路与系统矩阵分析作业3－1已知)(ij a A =是n 阶正定Hermite 矩阵，在n 维线性空间n C 中向量[]n x x x ,,,21 =α ，[]n y y y ,,,21 =β定义内积*),(βαβαA =。
（1）证明在上述定义下，n C 是酉空间；（2）写出n C 中的Canchy －Schwarz 不等式。
(1)证明：),(αβ＝H A αβ=H H A )(βα=H A βα ，(βα,k )＝),(βαβαk A k H =),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+=+=+=+H H H A A AH A αααα=),(，因为A 为正定H 矩阵，所以0),(≥αα，当且仅当0),(0==ααα时，由上可知cn是酉空间。
証毕。
（2）解： ∑∑==n jnij ij i Hy a x A |||),(|βαβα∑∑==n jnij ijix ax ),(||||ααα，∑∑==n jnij ijiy ay ),(||||βββ由Cauchy-Schwarz 不等式有：∑∑∑∑∑∑≤n jnij ijin jnin jnij ijij ijiy ay x ax y ax *3－3（1）已知.A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡502613803－－－，试求酉矩阵U,使得U*AU 是上三角矩阵解：由|λE-A| = (λ+1)3得 λ= －1是A 的特征值，当λ＝－1时，可得|λE-A|＝000000201于是ε1＝（0，1，0）T是A 的特征向量。
选择与ε1正交，并且互相也正交两个向量组成酉阵：U 1= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001010则U 1*A U 1= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---520830631 取A 1= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5283，|λE- A 1| = (λ+1)2λ= －1是A 1的特征值。
当λ＝－1时，可得|λE- A 1|＝0021，于是，α1 ＝（ --52，51）T是A 的特征向量，选择与α1正交的向量组成酉阵U 2 = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡52515152 -，U 2*A 1U 2 = 51⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2112⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5283⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2112 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡---10101 3－9若S ，T 分别是实对称矩阵和反实对称矩阵，且0)det(≠--iS T E ，试证：1))((---++iS T E iS T E 是酉矩阵，。
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VS
求解技巧
通过求解特征多项式|λE-A|=0的根，可以 得到矩阵A的特征值。对于具体的求解过 程，可以采用行列式性质、降阶法、因式 分解等方法进行化简和计算。
对角化条件及判别方法
对角化条件
一个n阶矩阵A可以对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。
判别方法
判断一个矩阵是否可以对角化，可以通过求解其特征值和特征向量，然后判断是否有n个线性无关的特征向量。 如果存在n个线性无关的特征向量，则矩阵可以对角化；否则，矩阵不能对角化。
特殊类型矩阵介绍
方阵
行数和列数相等的矩阵称为方阵。
对角矩阵
除主对角线外的元素都是零的方阵称为对角 矩阵。
零矩阵
所有元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O 。
单位矩阵
主对角线上的元素都是1，其余元素都是0的 方阵称为单位矩阵，记作I。
02
矩阵变换与等价性
初等变换及其性质
初等行变换
对调两行、以数乘某一行、把某一行的倍数加到另一 行
迭代法
通过构造迭代格式，从初始近似值出发逐步逼近精确解的方法。优点是可以利用计算机进行大规模计 算，对于大型稀疏矩阵方程组有较好的适用性；缺点是收敛性和收敛速度受初始值、迭代格式等因素 影响。
直接法
通过有限步四则运算直接求得精确解的方法，如高斯消元法、克拉默法则等。优点是理论上可以求得 精确解；缺点是对于大型方程组计算量大、存储空间需求高。
线性方程组表示形式
一般形式
Ax = b，其中A为系数矩阵，x为未知数列向量，b为常数列向 量。
增广矩阵形式
[A|b]，将系数矩阵A和常数列向量b合并为一个增广矩阵。
向量形式
线性方程组可以表示为向量形式的线性组合，即x1a1 + x2a2 + ... + xnan = b，其中ai为系数矩阵A的列向量。
矩阵分析 - 北京理工大学研究生院
课程名称：矩阵分析一、课程编码：1700002课内学时： 32 学分： 2二、适用学科专业：计算机、通信、软件、宇航、光电、生命科学等工科研究生专业三、先修课程：线性代数，高等数学四、教学目标通过本课程的学习，要使学生掌握线性空间、线性变换、Jordan标准形，及各种矩阵分解如QR分解、奇异值分解等，正规矩阵的结构、向量范数和矩阵范数、矩阵函数，广义逆矩阵、Kronecker积等概念和理论方法，提升研究生的数学基础，更好地掌握矩阵理论，在今后的专业研究或工作领域中熟练应用相关的矩阵分析技巧与方法，让科研结果有严格的数学理论依据。
五、教学方式教师授课六、主要内容及学时分配1、线性空间和线性变换（5学时）1.1线性空间的概念、基、维数、基变换与坐标变换1.2子空间、线性变换1.3线性变换的矩阵、特征值与特征向量、矩阵的可对角化条件2、λ-矩阵与矩阵的Jordan标准形（4学时）2.1 λ-矩阵及Smith标准形2.2 初等因子与相似条件2.3 Jordan标准形及应用；3、内积空间、正规矩阵、Hermite 矩阵（6学时）3.1 欧式空间、酉空间3.2标准正交基、Schmidt方法3.3酉变换、正交变换3.4幂等矩阵、正交投影3.5正规矩阵、Schur 引理3.6 Hermite 矩阵、Hermite 二次齐式3.7.正定二次齐式、正定Hermite 矩阵3.8 Hermite 矩阵偶在复相合下的标准形4、矩阵分解（4学时）4.1矩阵的满秩分解4.2矩阵的正交三角分解（UR、QR分解）4.3矩阵的奇异值分解4.4矩阵的极分解4.5矩阵的谱分解5、范数、序列、级数（4学时）5.1向量范数5.2矩阵范数5.3诱导范数（算子范数）5.4矩阵序列与极限5.5矩阵幂级数6、矩阵函数（4学时）6.1矩阵多项式、最小多项式6.2矩阵函数及其Jordan表示6.3矩阵函数的多项式表示6.4矩阵函数的幂级数表示6.5矩阵指数函数与矩阵三角函数7、函数矩阵与矩阵微分方程（2学时）7.1 函数矩阵对纯量的导数与积分7.2 函数向量的线性相关性7.3 矩阵微分方程(t)()() dXA t X t dt=7.4 线性向量微分方程(t)()()() dxA t x t f t dt=+8、矩阵的广义逆（3学时）8.1 广义逆矩阵8.2 伪逆矩阵8.3 广义逆与线性方程组课时分配说明：第一章的课时根据学生的数学基础情况可以调整，最多5学时，如学生线性代数的基础普遍较高，可以分配3学时，剩余2学时可在最后讲解第九章部分内容(Kronecker 积的概念和基本性质)。
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• 波士顿矩阵的基本应用法则。
• 第一法则：成功的月牙环。在企业所从事的事业领域内 各种产品的分布若显示月牙环形，这是成功企业的象征， 因为盈利大的产品不只一个，而且这些产品的销售收入 都比较大，还有不少明星产品。问题产品和瘦狗产品的 销售量都很少。若产品结构显示的散乱分布，说明其事 业内的产品结构未规划好，企业业绩必然较差。这时就 应区别不同产品，采取不同策略。
矩阵分析在经营管理中的应用
矩阵分析课件
一、波斯顿矩阵
波斯顿矩阵是美国波斯顿咨询公司（BCG）在1960年 为一家造纸公司咨询时而提出的一种投资组合分析方法。 该矩阵是用两次衡量标准构成的矩阵，它把需求数量的 增长率作为战略经营领域的预期衡量标准，把企业的相 对市场占有率作为竞争地位的衡量标准。任何一个战略 经营领域在未来的增长率被估测、相对的市场 占有率被
矩阵分析课件
• （3）问号产品 • 它是处于高增长率、低市场
占有率象限内的产品群。前 者说明市场机会大，前景好， 而后者则说明在市场营销上 存在问题。其财务特点是利 润率较低，所需资金不足， 负债比率高。选择性投资战 略；采用智囊团式或项目小 组结构;选拔有规划能力、敢 冒风险、有才干的人负责。 •
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14
• 三、产品—市场演变矩阵
• 美国学者霍福尔(C.W.Hofer)扩展了波士顿咨询集团和通用 电器公司的评价方法，把矩阵扩展为15个区域，并按照 各个经营单位的产品——市场发展阶段和竞争地位，画 出它们在霍福尔矩阵中的位置。
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整顿 成熟 衰退
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• 四、Swot矩阵
• SWOT分析法模型（也称TOWS分析法）即态势分析法， 经常被用于企业战略制定、竞争对手分析等场合。
《矩阵分析》
所以，V1 是向量空间。
(2) V2 不是向量空间。
因为若 1,a2 , ,an T V2 , 则2 2,2a2 , ,2an T V2 .
数乘运算：设 k为数域 p 中的数，向量
ka1,ka2,L ,kan 称为向量 a1,a2,L ,an
与数 k 的数量乘积。记为 k
数乘运算满足下列四条规则：
50 1 60 k(l ) (kl )
70 k l k l
80 k( ) k k , 是n维向量，k, l P
则与的和 为
(a b ,a b , ,a b )
1
1
2
2
n
n
负向量：向量 (a ,a , ,a )
1
2
n
称为向量 的负向量
向量的差 ( )
加法运算满足性质
10 20 ( ) ( ) 30 0
40 0
注： 零向量和负向量是唯一的
满足: , V
(4) 对于 V , V ,使
在集合V的元素与数域F之间还定义一种运算,叫乘法.即对于
V中任一元素 与数域F中任一数k,在V中有唯一 与它们对应,称为k与 的数乘积,记为 k 且满足:
(1)1 (2)k(l ) (kl) (3)(k l) k l (4)k( ) k k
问题3：全体正实数R ,加法“”和数乘“”分别
定义为：a,b R , k R, R是否为R上的线性空间？
a b ab
k
a
ak
,
例：设A Rmn , 记 N ( A) {x Rn , Ax 0},则N ( A)为R上的线性空间. 称其为矩阵A的核或零空间。
北理版矩阵分析课件 共101页
1 ,2 , ,n 1 ,2 ,n P
定理：过渡矩阵 P 是可逆的。
任取 V ，设 在两组基下的坐标分别为
x1,x2,
,xn
T
与
y1,y2,
,yn
T
，那么我们有：
x1 y1
x
2
P
y
2
的为极向大量线 组性无关组，span1,2, ,s的维数即
的秩。
1,2, ,s
例 4 实数域 R 上的线性空间 R n n 中全体上三角矩
阵集合，全体下三角矩阵集合，全体对称矩阵集合，
全体反对称矩阵集合分别都构成 R n n 的子空间，
问题：这几个子空间的基底与维数分别时什么？
（2） 加法结合律 ( ) ( )
（3） 零元素 在 V 中存在一个元素 0 ，使得对
于任意的 V 都有
0
（4） 负元素
对于 V 中的任意元素 都存
在一个元素 使得
0
（5） 1
（6） k(l)(kl)
（7） (kl)kl
与向量组
(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)
都是 R 3 的基。R 3 是3维线性空间。
例 2 实数域 R 上的线性空间R 2 2 中的向量组
0 1
1 1,1 1
10,10
1 1,1 1
1 0
与向量组
1 0
0 0,10
例 4 R 表示实数域 R 上的全体无限序列组成的
的集合。即
R [a1,a2,a3,]iai 1,F 2,,3,
在 R 中定义加法与数乘：
矩阵分析课件
的次数低。
定理 2.1.4 任意一个非零的n阶 矩阵 A
都等价于一个对角矩阵，即
A( )
d1( )
参照例 2.1.2 的方法可把二阶矩阵用初等变换化某一
个元素成常数。
1
A 0
0
1 C2C3 0
0
1 C3 C2 0
0
0
3 2 2 4 3 2
0
3 2 1
4 3 2
0
3 2 2 4 3 2
0
2 1
0
0
0
2
2 1
4 3 2
0
1
0
2
2
3
2 5
3
然后用初等变换把公因子 所在的行、列的
其余元素均化为零。
A( )
2 3
2
2
3
5
23r1
r2
0
2 5
3
(
2
10
3)
( 5)C1C2
0
0
(
2
10
3)
3
3C2 0
0 ( 2 10 3)
例 2.1.2 用初等变换把 矩阵
1 2
A( )
【证明】必要性：设 A()可逆，在式(2.1.1)
的两边求行列式得
A( ) B( ) 1
(2.1.2)
因为 A( ) 和 B( ) 都是 的多项式，所以根
据式(2.1.2)推知，A( ) 和 B( ) 都是零次多
项式，此即 A( ) 是非零的常数.
《矩阵分析》课件
Gauss消元法原理
LU分解求解线性方程组
通过行变换将矩阵化为上三角矩阵， 从而解线性方程组。
将Ax=b转化为LUx=b，通过前向替 换和后向替换求解。
LU分解定义
将矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个 上三角矩阵U的乘积。
QR分解原理及实现
QR分解定义
将矩阵分解为一个正交矩阵Q和 一个上三角矩阵R的乘积。
Jordan标准型及其性质
Jordan标准型定义： 设A是n阶方阵，如果 存在一个可逆矩阵P， 使得P^(-1)AP为 Jordan矩阵，则称A 可以相似对角化为 Jordan标准型。
Jordan标准型的性质
Jordan标准型是唯一 的，即对于给定的方 阵A，其Jordan标准 型是唯一的。
Jordan标准型中的每 个Jordan块对应A的 一个特征值。
非零行的首非零元所在列在上一行的 首非零元所在列的右边。
同一行的所有非零元均在首非零元的 右边。
线性无关组与基础解系
线性无关组：一组向量线性无关当且仅当它们不 能由其中的部分向量线性表示出来。换句话说， 只有当这组向量中任何一个向量都不能由其余向 量线性表示时，这组向量才是线性无关的。
基础解系中的解向量线性无关。
初等变换和行阶梯形式
初等变换：对矩阵进行以下三种变换称为初等变 换 对调两行（列）。
以数k≠0乘某一行（列）中的所有元。
初等变换和到另一行（列）的对应元上去。
02
行阶梯形式：一个矩阵经过初等行变换可以化为行阶梯形式，
其特点是
非零行在零行的上面。
03
初等变换和行阶梯形式
方阵
行数和列数相等的矩阵称为方阵。
01
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的方阵称 为对角矩阵。
2024版第5章矩阵分析ppt课件
矩阵函数以及矩阵微分方程等问题时，都可以利用若尔当标准型来简化
计算。
05
二次型及其标准型
二次型定义及性质
二次型定义
对称性
线性变换下的不变性
二次型的值
二次型是n个变量的二次多项式， 其一般形式为$f(x_1, x_2, ..., x_n) = sum_{i=1}^{n}sum_{ j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j$，其中$a_{ij}$为常 数，且$a_{ij} = a_{ ji}$。
若尔当标准型简介
01
若尔当标准型定义
对于任意一个n阶方阵A，都存在一个可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP=J$
为若尔当标准型，其中J由若干个若尔当块组成。
02
若尔当块
一个若尔当块是一个上三角矩阵，它的对角线上的元素相等，且对角线
上方的元素或者是1，或者是0。
03
若尔当标准型的应用
若尔当标准型在矩阵分析中有着广泛的应用，例如在求解矩阵的高次幂、
矩阵性质总结
结合律 $(AB)C = A(BC)$。
数乘结合律 $(kA)(lB) = kl(AB)$。
分配律
$(A + B)C = AC + BC, C(A + B) = CA + CB$。
数乘分配律
$(k + l)A = kA + lA, k(A + B) = kA + kB$。
02
矩阵变换与等价类
求解过程
先求出矩阵A的特征值，然后将其代 入(A-λE)X=0，解出对应的特征向量。
特征值和特征向量在矩阵分析中的应用
判断矩阵是否可对角化
如果矩阵A有n个线性无关的特征向量，则A可对角化。
矩阵分析_第一章 北京理工大学
（5）
1
（6）
（7）
k (l ) (kl ) (k l ) k l
（8）
k ( ) k k
V中的元素称 为向量
称这样的 V 为数域
F 上的线性空间。
R
例 1 全体实函数集合 R 构成实数域 线性空间。 按函数的加法和数乘函数
R上的
例 2 复数域 C上的全体 m n 型矩阵构成 的集合为 C上的线性空间。
A线性表示, 且表示式是唯一的.
最大（线性）无关向量组
定义3 设有向量组A，如果在A中能选出r个向量
A0 : 1 , 2 ,, r，满足 （1）向量组 A0 : 1 , 2 ,, r 线性无关； （2）向量组A中任意r 1个向量（如果A中有
r 1个向量的话）都线性相关， 那末称向量组A0是
定理：过渡矩阵
P 是可逆的。
提示ＰＸ＝０ 只有零解
任取
V
，设 在两组基下的坐标分别为
T
x1 , x2 ,, xn
与
y1 , y2 ,, yn ，那么我们有：
T
x1 x 2 (1 , 2 , , n ) xn y1 y1 y y 2 ( , , , ) P 2 ( 1 , 2 , , n ) 1 2 n yn yn
按矩阵的加法和数乘矩阵
ห้องสมุดไป่ตู้
例 3 实数域 R 上全体次数小于或等于 n 的多项 式集合 R[ x ]n 构成实数域 R上的线性空间 例 4 全体正的实数 R 在下面的加法与数乘的 定义下也构成线性空间：
a b : ab, a , b R k a : a , a , k R
北理工高等代数课件b6
同理可证 k2 km 0。所以1,2, ,m
线性无关。
▌
把两个线性无关的向量化 为两个标准正交的向量：
设1,2 线性无关，令 1 1, 1 2 2
则
1 // 1 1 k11
2 2 k11 2 k11
因要求 2 1 ，故
0 (2, 1 ) (2 k11, 1 ) (2, 1 ) k1(1, 1 )
因此它们是 R3 的一个基。 2．把 1,2 ,3 化为 R3 的一个正交基：
令
3
3
((13,,11))1
( 3 ,2 (2 ,2
))2
(0,0,1) 1 ( 1 , 1 , 1 ) 3333
( 1 , 1 , 2) 3 33
则 1,2 , 3 两两正交，且都不是零向量，因此它们
是 R3 的一个正交基。
1
a11
a21
,
an1
2
a12
a22
,
an2
,n
a1n
a2n
ann
由 AT A AAT I 得
1T
AT
A
T 2
nT
[1
2
n]
1T1
2T1
nT1
1T2 2T2
nT2
1Tn
2Tn
nT
n
1 0 0
0
1
0
0 0 1
所以
iT
例 在欧氏空间中，标准正交基的度量矩阵是I。
定理 设1,2 , ,n 为n维欧氏空间V 的一个标
准正交基，
x11 xnn, y11 ynn
则
n
( , ) xi y j i 1
矩阵分析_第三章 北京理工大学
(4) ( , ki i ) ki ( , i )
i 1 i 1
t
酉空间的性质：
(1) ( , k ) k ( , ), (k , ) k ( , ) (2) ( , ) ( , ) ( , ) (3) ( ki i , ) ki ( i , )
b
2
a
f ( x) d ( x)
b
2
a
g ( x) d ( x)
定义：设 V 为欧氏空间，两个非零向量 , 的夹角定义为
, : arccos
于是有
( , )
2
0 ,
定理：
,
2
( , ) 0
因此我们引入下面的概念; 定义：在酉空间 V 中，如果 称 与 正交。
(1) ( , ) ( , ) (2) (k , ) k ( , ) (3) ( , ) ( , ) ( , ) (4) ( , ) 0
k 这里 , , 是 V 中任意向量， 为任意复数
，只有当 0 时 ( , ) 0 ，我们称带有 这样内积的 n 维线性空间 V 为酉空间。 欧氏空间与酉空间通称为内积空间。
1 2i 3i 6 1 2i (2) 9 1 i 3i 1 i 7
1 2i 3i 1 2i 3i 6 6 1 2i 1 2i 9 1 i 9 1 i 3i 1 i 7 3i 1 i 7
n
2
维线性空间
n n
酉空间。
内积空间的基本性质：
欧氏空间的性质：
北京理工大学2005级硕士研究生矩阵分析考试题
北京理工大学2005-2006学年第一学期2005级硕士研究生〈矩阵分析〉终考试题一、（10分）已知矩阵1115211762621A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭的特征矩阵E A λ-等价于矩阵2111()λλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭，求A 的Jordan 标准形J 及相似变换矩阵P 。
二、（12分）求矩阵221100A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的奇异值分解。
三、（10分）求矩阵210120223A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的谱分解。
四、（13分）已知矩阵1212a A a ⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，（1）问当a 满足什么条件时，矩阵幂级数121()k k k A ∞=+∑绝对收敛？（2）取a = 0，求上述矩阵幂级数的和。
五、（10分）已知301121103A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵函数,sin At e A π。
六、（10分）已知向量微分方程()()()dx t Ax t f t dt=+及初始条件x (0)，求该方程的解，这里 1221110120(),(),(),()()x t A x t f t x x t t -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
七、（10分）求下列线性方程组的最佳最小二乘解。
123123123 1 2222334x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩八、（10分）设m n A C ⨯∈，证明：如果()r A n =，则A H A 是正定Hermite 矩阵。
九、（15分）（1）已知m 阶Jordan 块0000111m mJ λλλ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ， 求0J 的最小多项式 0()J ψλ；（2）设方阵A 的Jordan 标准形为J ，证明： A 与J 有相同的最小多项式，即()()A J ψλψλ=；（3）证明：如果A 的最小多项式为12()()()()A k ψλλλλλλλ=--- ，则A 是单纯矩阵，这里12,,,k λλλ 是A 的互异特征值。
矩阵分析_第二章 北京理工大学
要（2）式成立，取
Q0 D0 , Q1 D1 AQ0 , Q2 D2 AQ1 , , Qk Dk AQk 1 , , Qm 1 Dm 1 AQm 2 ,U 0 Dm AQm 1
定理 A ~ B E A E B 的证明
0 A2 ( ) 0
0 0 A3 ( )
对于 A3 ( ) ，其初等因子为 , 1, 1 由上面的定理可知 A( ) 的初等因子为
, , , 1, 1, 1
的秩为4，故
因为
A( )
A( )
的不变因子为
d 4 ( 1)( 1), d 3 ( 1), d 2 , d1 1
1 0 0, D3 ( ) 1 1
D3 ( ) 1 D2 ( ) 1, D1 ( ) 1
1 0 0 1 D4 ( ) 0 0
5
4 3
0 0 1
4
2
3
2
2 3 4 5
d1 ( ) 1, d2 ( ) 1, d3 ( ) 1 4 3 2 d 4 ( ) 2 3 4 5
例 如果 5 6 矩阵 A( ) 的秩为4，其初等因
子为 , , , 1,( 1) ,( 1) ,( i )
2 2 3 3
( i ) 求 A( ) 的Smith标准形。
3
解：首先求出 A( ) 的不变因子
d 4 ( 1) ( i ) ( i )
E U ( ) P ( E A)V 1 ( ) R( ) [( E A)Q( ) U 0 ]P ( E A)V 1 ( ) R( ) U 0 P ( E A)[Q( ) P V ( ) R( )]
《矩阵分析》课件
行列式的计算方法
代数余子式法
01
利用代数余子式展开行列式，将行列式化为三角形或对角线形
式，从而简化计算。
递推法
02
根据行列式的性质和展开定理，利用递推关系式计算行列式的
值。
公式法
03
对于一些特殊的行列式，可以利用已知的公式直接计算其值。
如三阶行列式公式、范德蒙德公式等。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
逆矩阵的求法
高斯-约当消元法是求逆矩阵的一种常用方法，通过一系列行 变换将矩阵变为单位矩阵，其伴随矩阵即为所求的逆矩阵。
行列式的定义与性质
行列式的定义
n阶方阵A的行列式记为det(A)或|A|， 是一个标量，其值是所有n阶排列的 代数和，每个排列对应一个二项式系 数。
行列式的性质
行列式具有一些重要的性质，如交换 律、结合律、分配律等。此外，行列 式的值也可以通过对角线元素、主子 式、余子式等计算得到。
04
矩阵的特征值与特征向量
特征值与特征向量的定义与性质
特征值
对于给定的矩阵A，如果存在一个标量λ和相应的非零向量v，使得A×v=λ×v成立，则称λ为矩阵A的特征值，v为 矩阵A的对应于特征值λ的特征向量。
特征向量的性质
特征向量与特征值是对应的，不同的特征值对应的特征向量是线性无关的，特征向量与特征值之间满足特定的关 系式。
高斯消元法
通过行变换将增广矩阵化为阶梯形矩 阵，从而求解线性方程组。
迭代法
通过迭代的方式逼近方程组的解，常 用的方法有雅可比迭代法和SOR方法 等。
共轭梯度法
一种用于求解大规模稀疏线性方程组 的方法，通过迭代寻找方程组的解。
最小二乘法
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0 2 0
那么有
0 1
3 2
P1 0
0
1 2
1 0
2
f ( A) Pf (J )P1
0 4 1 f (1) 0
0
0
1
3 2
1
3
0
0
f (1)
f
'
(1)
0
0
1 2
0 2 0 0
0
f (1) 1 0
2
f (1) 4 f '(1)
3 f '(1)
式且有
m() ( 1)d1 ( 2 )d2 ( r )dr
其中
r
di 1(i 1, 2 , r), di m
i 1
如果函数 f (x) 具有足够高阶的导数并且下
列 m 个值
f (i ), f ' (i ), , f (di 1) (i ) , i 1, 2, , r
存在，则称函数 f (x) 在矩阵 A 的谱上有定
1 1 4
3 1 0 0 (4) D 0 3 0 0
0 0 3 0 0 0 0 5
解： （1）首先求出其Jordan标准形为
1 0 0
J
0
1
1
0 0 1
所以其最小多项式为( 1)2 。
（2）此矩阵的Jordan标准形为
1 0 0 J 0 3 1
0 0 3
从而其最小多项式为( 1)( 3)2 。
A1, A2, , Ar 的最小多项式，则 A 的最小
多项式为
[m1(), m2(), , mr ()] 即为 m1(), m2(), , mr () 的最小公倍
数。
例 3 ：求下列矩阵的最小多项式
3 0 8
(1)
A
3
1
6
2 0 5
2 3 2
(2)
B
1
8
2
2 14 3
1 2 6 (3) C 1 0 3
形，则
A PJP1 Pdiag(J1, J2, , J r )P1
Pdiag(J1(1), J2(2 ), , J r (r ))P1
于是有
f ( A) an An an1An1 a1A a0I an (PJP1)n an1(PJP1)n1
a1(PJP1) a0I P(an J n an1J n1 a1J a0I )P1 Pf (J )P1 Pdiag( f (J1), f (J 2 ), , f (J r ))P1
为矩阵 A 的一个零化多项式。
定理：已知 ACnn， f ()为其特征多项式
，则有
f ( A) Onn
我们称此定理为Hamilton-Cayley定理。
定义：已知 ACnn ，在 A 的零化多项式中， 次数最低且首项系数为1的零化多项式称为 A
的最小多项式，通常记为 m() 。
最小多项式的性质：已知 ACnn ，那么 （1）矩阵 A 的最小多项式是唯一的。 （2）矩阵的任何一个零化多项式均能被 m()
矩阵分析
• 主讲教师：魏丰
第六章 矩阵函数
矩阵的多项式表示与矩阵的极小多项式
定义： 已知 ACnn 和关于变量 x 的多项
式
f ( x) an xn an1xn1 a1x a0
那么我们称
f ( A) an An an1An1
为 A 的矩阵多项式。
a1A a0I
设 A为一个 n 阶矩阵， J 为其Jordan标准
（3）该矩阵的Jordan标准形为
1 0 0 J 0 1 1
0 0 1
故其最小多项式为 ( 1)2。
（4）此矩阵本身就是一个Jordan标准形，
所以其最小多项式 ( 5)( 3)2 。
矩阵函数及其计算
函数在矩阵谱上的值与矩阵函数
定义：设 ACnn ，1, 2, , r 为 A的 r
个互不相同的特征值， m() 为其最小多项
我们称上面的表达式为矩阵多项式 f ( A) 的
Jordan表示。其中
i 1
Ji
(i
)
i
ik
J
k i
(i
)
c1 k1 ki ik
(i 1, 2, , r) 1
i di di
c di 1 kdi 1 ki
c1 k1 ki ik
di di
f
(i
)
f (Ji)
f '(i ) f (i )
(di
1 1)!
f
( (di 1) i
)
f '(i )
f (i )
di di
例 已知多项式
f (x) x4 2x3 x 1
与矩阵
3 0 8
A
3
1
6
2 0 5
求 f ( A) 。
解：首先求出矩阵的 A 的Jordan标准形 J 及其相似变换矩阵 P
1 0 0
J
0
1
1
0 0 1
整除。 （3）相似矩阵有相同的最小多项式。
如何求一个矩阵的最小多项式?首先我们考 虑Jordan标准形矩阵的最小多项式。
例 1 ：已知一个Jordan块
i 1
Ji
i
1
i di di
求其最小多项式。
解：注意到其特征多项式为 f () ( i )di ，则由上面的定理可知其最小多项式 m()
义。
例：设
f (x)
1
(x 3)(x 4)
又已知
8 3 6
A 3 2
0
4 2 2
容易求得矩阵 A 的最小多项式为
m() ( 2)( 1)2
并且
f
(2)
1 2
,
f
(1)
1 6
,
f
' (1)
5 36
所以 f (x) 在 A 的谱上有定义。但是如果取
3 1 0 B 0 3 0
0 0 1
一定具有如下形状
m() ( i )k
其中1 k di 。但是当 k di 时
m(Ji ) (Ji i I )k
0 0
1
00
0
0
0
0
1 Odi di
0 0
因此有
m() ( i )di
例 2 ：已知对角块矩阵
A = diag( A1, A2, , Ar ) ， m1(), m2(), , mr () 分别为子块
2 f '(1)
0 f (1)
0
8 f '(1)
6 f '(1)
f (1) 4 f '(1)
35 0 72 27 1 54
18 0 37
定义：已知 ACnn 和关于变量 x 的多
项式
f ( x) an xn an1xn1 a1x a0
如果 f (x) 满足 f ( A) Onn ，那么称 f (x)
容易求得矩阵 B 的最小多项式为
m() ( 1)( 3)2
显然 f (3) 不存在，所以在 B 的谱上无定义。
考虑下面两个问题：
（1）设 ACnn ，如果 f ( A)有定义，那
么 f ( AT ) 是否也有定义？
（2）设 ACnn 且 A 可逆，如果 f ( A) 有