(甘志国)斜抛运动的最佳抛射角

斜抛运动的最佳抛射角

甘志国（该文已发表数学通报，2011（12）: 35-36）

文献［1］介绍了球星德拉普（Rory John Delap）:

斯托克城属于英超中的一支中下游足球队，但是该队参加的每一场比赛，往往都能成

为人们关注的焦点，因为它拥有一位擅长掷远距离界外球、最远距离为48.17米的世界记录

创造者，他就是后卫德拉普（图1）.阿森纳主帅温格曾在一场比赛前说：“德拉普的手臂太可怕了，上天保佑这场比赛中他没有掷界外球的机会.”

图1

界外球怎样才能掷得更远呢？

图2

通常会认为，以初速度v0、抛射角「（0 ：：： : <90 ）掷出的球在不计空气阻力时的运动是斜抛运动（图2），其运动轨迹的参数方程为

X = V0 COS-：： t

« - + 1 +2 ①y =v0si na 1 - -gt

（其中X, y分别表示球在时刻t飞行的水平距离和竖直高度，g为重力加速度）由此可得球的

射程为

2

V0

s —si n2- ②

g

公式②说明，球的射程S与初速度V0及抛射角〉均有关，当V0 一定时，当且仅当

=45时射程s最大.

但文献［1］还说，英国物理学家尼克•林斯纳尔却给出了否定的答案：球员把求掷得最

远时，出手时的初速度与水平方向的夹角并不是45，而是25至30 .

xta n :

由文献［3］的结论立知，其焦点

为

产生这一结果的原因是：对于公式②，当 V 。为定值时，：• =45时s 最大；而当:-为 定值时，v 越大s 就越大•可见球的飞行距离与初速度 V o 及抛射角：•均有关.而在〉=45时 V o 不能达到最大值， 所以在〉=25 ~30时，V o 可达到最大值，所以s 取到最大值也是可 能的•

早在2003年，笔者就在文献［2］中阐述了这样的观点：掷球的最佳抛射角应小于 45 . 文献［1］的出现，使笔者重新研究“斜抛运动的最佳抛射角” ，并得到了漂亮的结论： 定理 如图3，以初速度vo 、抛射角：•（0 ：：： : ::: 90 ）使物体作斜抛运动，当射程 s 最

大时（也即起点O 到落点A 的距离最大（因为在图3（a ）中OA = S ，在图3（b ）, （c ）中 OA 2 =s 2h 2,h 为定值），此时的抛射角：•叫做最佳抛射角，此时的抛射方向是起点 O 竖 直向上的方向OB 与OA 形成的角.BOA 的平分线，且 OA 是问题运动轨迹（抛物线OCA ） 的焦点弦•

证

明 易知图3中抛物线

OCA 的参数方程为①（其中x,y,t,g 的意义也同①中诸字母

的意义） x=v °cos ： t

y =v °sin : t 一如2

（其中x, y 分别表示球在时刻t 飞行的水平距离和竖直高度， g 为重力加速度）化为普通方程, 得

2

y <2 x 2v 0 cos a

/ 2 2 v 0sin 2。 v 0cos 2a l 2g ' 2g

即证 N BOA = 2Zv 0O 代 F E OA . 图3

（1）图1（a）的情形•由②式可得• v°OA =〉= 45 ，又BOA = 90 ，所以

.BOA =2. v0OA,F OA .

⑵图1(b)的情形(因为掷球时有一个出手高度h(h ■ 0),掷球时出手高而落点低),用t o 表示球运行到落点时的飞行时间，得

S = V o COS： t

一h = v0 sin ： t0

所以

gs2tan2：- 2v02stan：：£ 亠gs2- 2v02h = 0

因为这个关于"tan〉”的一元二次方程有实数解，所以

2 4 2 2 2

:=4s(V。- g s 2gv° h) _ 0

又s 0，所以

进而可得，当且仅当tan a = |__1----- ，即a = arc cot +^2g2h时，s取最大值,

冒J v0

且最大值是^J v。2+2gh .所以在图3中，最佳抛射角应为arc cot ，它显然小

g . v°

于45 .

可得tan 2 = 2tan:=匹J v02+ 2gh，又tan ^ = - = -° J v02 +2gh，所以

1 -tan a gh h gh

tan、-ta n2 ,三=2：,180 -- - 2（：90 - J，即BOA =2 v0OA .

可得直线OA的方程为

再由。=arc cot ” + 2gh可验证F w OA.

⑶图1(c)的情形.同理可算得最大射程s = v^\/v/ -2gh ，最佳抛射角g

V o 可得 tan2: - - 0. v 02_2gh gh ，又 cot 一？ h = 'V ^^V0^2gh ，所

gh

tan? - -cot 二2：- - - 90 ,90 - 1 =2(： _ -)，即乙BOA 二 2乙v 0OA .

gh ------------ x

V 0：F V 0 - 2gh

再由〉=arc cot

V o 「arccot 1一卿

V 。

可得直线OA 的方程为

该定理是有用的.设想在地面OA 上从点O 开始让物体作斜抛运动，

BOA =2 VoOA 可迅速确定最佳抛射方向(即使起点O 到落点A 的距离最大的初速度

的方向)；设想图1(c)中的坐标原点是大炮口，落点 A 是射击目标，为增加隐蔽性，应使射 程s 越远越好，所以上述最佳抛射角在军事上也是有用的

参考文献

1戴静•界外球怎样才能掷得更远[J].数理天地(高中版)，2011(1)： 46

2甘志国•推铅球的最佳抛射角应小于 45 [J].数学通讯，2003(20): 20