故障树分析

故障树与事件树
演绎分析法和归纳分析法 静态和动态 微观和宏观
故障树
故障树：
演绎地表示故障事件发生原因及其逻辑关系的逻辑 树图。
事件：
输入事件，输出事件； 顶事件，中间事件，基本事件。
逻辑门：
逻辑或门，逻辑与门，控制门，条件门。
FTA分析中的标准符号
顶事件/中间事件
省略符号
转移符号
系统安全 第六章 故障树分析
故障树分析的起源
美国贝尔实验室 H.A.Watson 民兵式导弹发射控制系统
美国贝尔实验室 A.B. Mearns 火箭偶发事故预测
美国波音飞机公司 Hassl 电子计算机进行辅助分析和计算
美国原子能委员会 拉马森报告
故障树实例
X8
X5
X1
X2
X3
X4
X7 X6
最小割集合：其中任一基本事件不发生则顶事件
就不发生的割集合。 指明事故发生模式
径集合：其中基本事件都不发生则顶事件不发生的
基本事件集合。
最小径集合：其中任一基本事件不发生对保证顶
事件不发生都是必要的径集合。 指明预防事故途径
最小割集合求法
观察法 布尔代数法 行列法
最小割集合求法-观察法
结构重要度：
I (i)
1 k
m j 1
1 Rj
k —故障树包含的最小割集合（或最小径集合）数目； m —包含第 i 个基本事件的最小割集合（或最小径集合）数目； R j —包含第 i 个基本事件的第 j 个最小割集合（或最小径集合）中基本事件的数目。
基本事件结构重要度
该故障树的最小割集合为 (x1) ，(x2, x3) ，(x2, x4 ) 。则各基本事件的结构重要度：
最小割集合法
当故障树中，最小割集中无相同的基本事件（各最小割 集不相交），或基本事件数量少时，直接计算法是可行 的，也是可以理解的。当故障树复杂或最小割集中有相 同基本事件且其概率不可忽略时，计算比较复杂且易出 错。此时用最小割集进行计算比较合适。
在求出最小割集的基础上，把故障树顶事件表示为最小 割集中基本事件积之和的布尔表达式。计算的条件是基 本事件是相互独立的并且已知其发生的概率。若相当多 的基本事件不能估计或给出其概率时，则不宜进行定量 分析，只可进行定性分析。
Q
1 2
(S1
S1
S2 )
S1
1 2
S2
r
S1 p(k j ) j 1
n
k j
Xi
i 1
S 2
p (k ik j )
1 i j r
S1-是首项近似算式； r-是最小割集数； kj-是第j个最小割集的集合； Xi-第j个最小割集中第i个底事件； n-第j个最小割集中底事件的个数； S2-近似计算的第二项。
交化，再按分配法则展开。
2）若集合 A 和 B 包含共同基本事件，则 A B A0 B
A0 —除去与集合 B 共有的基本事件后， A 集合中剩余的基本事件的集合。 3）若集合 A 和 C 包含共同基本事件，集合 B 和 C 也包含共同基本事件，则
A B C A0 B0 C A0 —除去与集合 C 共有的基本事件后， A 集合中剩余的基本事件的集合； B0 —除去与集合 C 共有的基本事件后， B 集合中剩余的基本事件的集合。 4）若集合 A 和 C 包含共同基本事件，集合 B 和 C 也包含共同基本事件，且 A B （ A 属于 B ），则
最小割集合法
最小割集之间完全不相交时:
r
Q P(K j ) P(K1) P(K2 ) P(K j ) P(Kr )
J 1
最小割集之间相交时:
Q P(K1 ) P(K1 K 2 ) P(K1 K 2 K 3 ) P(K1 K 2 K r1 K r )
最小割集合法-近似计算
故障树的简化
为了进行定量计算和处理共因事件，需对已建好 的故障树进行简化。
化简可依据上级事件发生的必要条件进行，也可 用布尔代数运算进行。
全为AND门时
运算： Z=A·E1=A·B·E2=A·B·C· D
全为OR门
运算： Z=A＋E1=A＋B＋E2=A＋B＋C＋D
有共因事件时的简化
（a）
T x1 x2 (x1 x3 )
顶事件发生概率-基本事件统计独立
逻辑积的概率
n
Pr ( X1 • X 2 •• X n ) p1 p2 pn pi i 1
逻辑和的概率
n
Pr ( X1 X 2 X N ) 1 (1 p1 )(1 p2 )(1 pn ) 1 (1 pi ) i 1
示例故障树的概率函数
如果 q1 q2 q3 0.1
g(q) q1q21 (1 q1)(1 q3) 0.1 0.11 (1 0.1) (1 0.1)
0.0019
（b） T x1 x2 (x1 x3 ) x1 x2 x1 x1 x2 x3
x1 x2 x1 x2 x3
x1 x2
基本事件
正常事件
转移符号
FTA分析中的标准符号
·
逻辑与门
+ 逻辑或门
控制门
条件门 条件门
故障树结构函数
用布尔代数表达故障树事件间的逻辑关系得到的 数学表达式。
用逻辑积表示逻辑与，记为 或 ·
用逻辑和表示逻辑或，记为 或 ＋
示例故障树的结构函数
T (X1 X2 X3 X4)•(X5 X6)• X7 • X8
X8
X5
X1
X2
X3
X4
X7
X6 最小割集合：
(x1 , x5 , x7 , x8 )
(x2 , x5 , x7 , x8 )
(x3 , x5 , x7 , x8 )
(x4 , x5 , x7 , x8 )
(x1 , x6 , x7 , x8 )
(x2 , x6 , x7 , x8 )
(x3 , x6 , x7 , x8 )
S1 P(K J ) J 1
P ( K 1) P ( K 2 ) P ( K 3) P ( K 4) P ( X 1X 2) P ( X 1X 3) P ( X 2 X 3) P ( X 3 X 4 X 5) q1q 2 q3q1 q3q 2 q3q 4q5 0.000301
所以：
Q
S1
1 2
S2
0.00029949
不交化法
利用布尔代数运算法则使相交的，即相互统计不独立的最 小割集合（例如，同一基本事件在不同的最小割集合中出 现的情况）变为不交的，即相互统计独立且互斥的最小割 集合，然后按各最小割集合发生概率的代数和来计算顶事 件发生概率。
不交化法
1）若集合 A 和 B 不包含共同基本事件，则 A B 可以先按对偶法则将集合 A 变换后按重叠法则进行不
0.1 (1 0.1) 0.2 0.4 (1 0.1) 0.2 0.3 (1 0.4) 0.2044
基本事件重要度
从可靠性、安全性角度看，系统中各部件并不是同等重要 的，引入重要度的概念用以标明某个部件对顶事件发生的 影响大小是很必要的。
在故障树分析中，用基本事件重要度来衡量某一基本事件 对顶事件影响的大小。重要度是故障树分析中的一个重要 概念，对改进系统设计，制订维修策略是十分有利的。对 于不同的对象和要求，应采用不同的重要度。
计算示例：
设一故障树的最小割集是 :
X1, X 2,X1, X3,X 2, X3,X3, X 4, X5
则：k1 X1, X 2, k2 X1, X 3, k3 X 2, X 3, k4 X 3, X 4, X 5
设 基 本 事 件 X1,X2,X3,X4,X5 的 概 率 为 q1=q24=q3=q4=q5=0.01
I
(1)
1 3
1 1
1 3
I
(2)
1 3
1 2
1 2
1 3
I
(3)
I
(4)
1 3
1 2
1 6
得到： I (1) I (2) I (3) I (4) 。显然该结果不符合实际情况。
该故障树的最小径集合为 (x1, x2 ) ， (x1, x3 , x4 ) 。则各基本事件的结构重要度：
(x4 , x6 , x7 , x8 )
最小割集合求法-布尔代数法
T (x1 x2 ) (x1 x4 x3 ) x1 x1 x1 x4 x1 x3 x1 x2 x2 x4 x2 x3 x1 x2 x4 x2 x3
最小割集合为：
(x1 ) (x2 , x3 ) (x2 , x4 )
g(q) q1q2 0.1 0.1 0.01
有共因事件时的简化
Z=A+E=A+(A·B)=A Z=A·E=A·(A+B)=A
有共因事件时的简化
Z=E1+E2=(A·B)+(A·C) =A·(B+C)
Z=E1·E2=(A+B) ·(A+C) =A+(B·C)
最小割集合与最小径集合
割集合：能使顶事件发生的基本事件集合。
直接计算法 最小割集合法 不交化法
直接计算法
当基本事件发生概率很小，逻辑和的概率：
n
g(q) Pr( x1 x2 xn ) q1 q2 qn qi i1
当基本事件发生概率很小，逻辑积的概率：
n
g(q) Pr( x1 • x2 •• xn ) q1 • q2 •• qn qi i 1
计算示例：
S 2
P(KiK j)
1 i j 4
P (K 1K 2) P (K 1K 3) P (K 1K 4) P (K 2 K 3) P (K 2 K 4) P (K 3K 4)
q1q 2 .q1q 3 q1q 2 .q 2 q 3 q1q 2 .q 3q 4 q 5 q 3 q 2 .q1q 3 q1q 3 .q 3q 4 q 5 q 2 q 3 .q 3q 4 q 5 q1q 2q3 q1q 2q3 q1q 2q3q 4q5 q1q 2q3 q1q3q 4q5 q 2q3q 4q5 ＝ 0 .0000030201
最小径集合：
(x1, x2 , x3 , x4 )
(x5 , x6 )
(x7 )
(x8 )
最小径集合求法-成功树
最小径集合：
(x1 , x2 ) (x1 , x3 , x4 )
T G1 G2 x1 x2 x1 x3 x4
T (x1 x2 ) (x1 x4 x3 )
顶事件发生概率
最小割集合求法-行列法
x1 , x1
T
G1 , G2
wk.baidu.com
x1 , G2 x2 , G2
x1 , x3 x1 , x4 x2 , x1 x2 , x3
x1 x2 , x3 x2 , x4
x2 , x4
最小径集合求法
观察法 对偶故障树法（成功树）
最小径集合求法-观察法
X8
X7
X5
X6
X1
X2
X3
X4
A0 B0 C B C
不交化法
T X1 X2 X4 X2 X3 X1 X1 X2 X4 X1 X2 X3 X1 X1 X2 X4 X1 X2 X3 X4
q1 0.01， q2 0.02 ， q3 0.03， q4 0.04 ， g(q) q1 (1 q1)q2q4 (1 q1)q2q3 (1 q4 )
在故障树分析中常用的基本事件重要度有结构重要度、概 率重要度和临界重要度。
基本事件结构重要度
基本事件在最小割集合（或最小径集合）中出现的情况直 接反映了该基本事件的重要度：
在由较少基本事件组成的最小割集合（或最小径集合）中出现的 基本事件，其结构重要度较大；
在不同最小割集合（或最小径集合）中出现次数多的基本事件， 其结构重要度大。
布尔代数运算法则
¤ 对偶法则
AB A B A B AB
¤ 对合法则
( A) A
¤ 重叠法则
A B A AB A B A AB
可靠性框图与FTA－串联模型
可靠度: R=R1.R2 不可靠度: F=F1+F2-F1F2
可靠性框图与FTA－并联模型
可靠度 R=R1+R2-R1.R2 不可靠度 F= F1F2
P( p) [1 (1 p1 )(1 p2 )(1 p3 )(1 p4 )] [1 (1 p5 )(1 p6 )] p7 p8
布尔代数运算法则
幂 等 律 A+A=A A·A=A 加法交换律 A+B=B+A 乘法交换律 A·B=B·A 加法结合律 A+(B+C)=(A+B)+C 乘法结合律 A·(B·C)=(A·B)·C 加法分配律 A·B+A·C=A·(B+C) 乘法分配率 (A+B)·(A+C)=A+(B·C) 加法吸收律 A+(A·B)=A 乘法吸收律 A·(A+B)=A