材料力学(I)第三章(配孙训方版)(第五版)

m3
m1
m4
A
B
C
T
– –
4.78 kN m
9.56 kNm
D
6.37 kN m
x
练习1 已知: m1 3 kN m, m2 2kN m, m3
7kN m,求 : 各段扭矩及画扭矩图。
m3
m2
m1
D
解：
C
5
2
B
A
3
单位: kN m
[练习2]
D
C
B
A
2m 4m
m
m
2m
m
解：
AB : M T1 m BC : M T2 m m 2m 2m 4m CD : M T3 2m
§3–1 概 述
轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、 石油钻机中的钻杆等。
扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆横截面绕轴线发生相对转动，这样的变形为 扭转变形。
A
B O
A
BO
m
m
扭转角（）：任意两截面绕轴线相对转动而发生的角位移。 剪应变（）：纵向线倾斜的角度（直角的改变量）。
①变形几何方面
等直圆杆横截面应力
②物理关系方面
一、等直圆杆扭转实验观察：
各圆周线的形状、大小和间 距均未改变，仅绕轴线作相对转 动；各纵向线均倾斜了同一微小
角度 。
可假设： 1. 横截面变形后仍为平面； 只是刚性地绕杆轴线转动； 2. 轴向无伸缩；
可认为： 圆周扭转时可视为
许多薄壁筒镶套而成。
③静力学方面
m
7.024
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（rpm）
1PS=735.5N·m/s , 1kW=1.36PS
二、扭矩及扭矩图 1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 2 截面法求扭矩
mx 0 T m0
m
m
T m
3 扭矩的符号规定：
x
m
T
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋法则为正， 反之为负。
量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢
材的G值约为80GPa。
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三
个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系
（推导详见后面章节）：
G
E 2(1
)
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量 就可以推算出来。
§3–4 等直圆杆在扭转时的应力 ·强度条件
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
微小矩形单元体如图所示：
①无正应力 ②横截面上各点处，只产 dy 生垂直于半径的均匀分布的剪
应力 ，沿周向大小不变，方
向与该截面的扭矩方向一致。
4. 与 的关系：
LR RL
´
a
b
´
c
d
dx
二、薄壁圆筒剪应力 大小：
A dA r0 T
2m
§3–3 薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒：壁厚
1 10
r0
（r0：为平均半径）
一、实验：
1.实验前： ①绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。
2.实验后：
①圆周线不变；
②纵向线变成斜直线。
3.结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。
第三章 扭 转 (Torsion)
§3–1 概述 §3–2 传动轴的外力偶矩 ·扭矩及扭矩图 §3–3 薄壁圆筒的扭转 §3–4 等直圆杆在扭转时的应力 ·强度分析 §3–5 等直圆杆在扭转时的变形 ·刚度条件 ·超静定问题 §3–6 等直圆杆在扭转时的应变能 §3–7 等直非圆杆在自由扭转时的应力和变形 §3–8 开口和闭合薄壁截面杆在自由扭转时的应力和变形
m3 2
m1
3 m4
1——1：
A 1 B2 C 3 D
T1 m2 4.78kN m m4 m1 m3
2——2：
T2 m2 m3 9.56kN m m4 - m1
3——3： T3 m4 6.36kN m
③绘制扭矩图 T 9.56 kN m BC段为危险截面。 max
m2
d
dx
dA
G
d
dx
A
2dA
T
GI p
d
dx
令 Ip A 2dA
d
dx
T GI p
代入物理关系式
G
d
dx
4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
目 ①扭矩变化规律； 的 ②|T|max值及其截面位置
强度计算（危险截面）。
T
x
[例3-2-1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输P1=500kW，
从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
A
BO
m
m
工 程 实 例
§3–2 传动轴的外力偶矩 ·扭矩及扭矩图
一、传动轴的外力偶矩 功率为力偶在单位时间内作的功，即：P m m 2n
60
所以传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系为：
m 9.549 P (kN m) n
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）
二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：
1. 变形几何关系：
tg
G1G dx
d
dx
d
dx
距圆心为 任一点处的与到圆心的距离成正比。
d
dx
—— 扭转角沿长度方向变化率。
2. 物理关系：
胡克定律：
G
代入上式得：
G
G
d
dx
G
d
dx
G
d
dx
3. 静力学关系： dA
T A dA
O
A
G 2
单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这 种应力状态称为纯剪切应力状态。 四、剪切虎克定律：
T=m
T ( 2A 0t) ( LR)
剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限
时（τ ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。
G
式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无
m2
m3
m1
m4
解：①计算外力偶矩
m1
9.55 P1 n
9.55 500 300
A
15.9(kN m)
B
C
D
m2
m3
9.55 P2 n
9.55 150 300
4.78 (kN m)
m4
9.55 P4 n
9.55 200 300
6.37 (kN m)
②求扭矩（截面法）
m2 1
r0 AdA r0 2 r0 T
T
2 r02

T
2A0
A0：平均半径所作圆的面积。
三、剪应力互等定理：
mz 0
t dxdy t dxdy 故
a
dy
´
c
z
dx
´
b
d t
上式称为剪应力互等定理。
该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应 力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交 线，其方向则共同指向或共同背离该交线。