2019-2020年高考数学一轮复习第5章数列5.1数列的概念与表示学案理

2019-2020年高考数学一轮复习第5章数列5.1数列的概念与表示学案理[知识梳理]

3．数列{a n}的a n与S n的关系

(1)数列的前n项和：S n＝a1＋a2＋…＋a n.

特别提醒：若当n≥2时求出的a n也适合n＝1时的情形，则用一个式子表示a n，否则分段表示．

[诊断自测] 1．概念思辨

(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( ) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( ) (3)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．( )

(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *

，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．教材衍化

(1)(必修A5P 31T 2)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝9＋12n ，则在下列各数中，不是{a n }的项的是( )

A ．21

B ．33

C ．152

D ．153 答案 C

解析 代n 值进行验证，n ＝1时，A 满足；n ＝2时，B 满足；n ＝12时，D 满足．故选C.

(2)(必修A5P 33T 4)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1

n (n ＋1)

，则数列a 5＝________.

答案

145

解析 a 1＝2，a 2＝2＋12＝52，a 3＝52＋16＝8

3

，

a 4＝83＋112＝3312，a 5＝3312＋120＝145

.

3．小题热身

(1)(xx·石家庄模拟)数列{a n }：1，－58，715，－9

24，…的一个通项公式是( )

A ．a n ＝(－1)n ＋1

2n －1n 2

＋n (n ∈N *

) B ．a n ＝(－1)n －1

2n ＋1n 3

＋3n (n ∈N *

) C ．a n ＝(－1)n ＋1

2n －1n 2

＋2n (n ∈N *

) D ．a n ＝(－1)n ＋1

2n ＋1n 2

＋2n

(n ∈N *

) 答案 D

解析 由分子3,5,7,9归纳为2n ＋1，由分母3,8,15,24归纳为n (n ＋2)，奇数项为正，偶数项为负．故选D.

(2)已知数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＝1－a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －2

4

(n ≥3，n ∈N *

)，则a 6＝

________.

答案

3

16

解析 由题意可得a 3＝1－a 14＝34，a 4＝1－a 1＋a 24＝1－12＝12，a 6＝1－a 1＋a 2＋a 3＋a 4

4

＝1

－1316＝3

16

.

题型1 知数列前几项求通项公式

典例 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…； (3)1,0，13，0，15，0，1

7，0，…；

(4)32，1，710，9

17

，….

注意项的正负号，分子、分母分开进行不完全归纳．

解 (1)符号问题可通过(－1)n

或(－1)

n ＋1

表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面

的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n

(6n －5)．

(2)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴a n ＝89⎝ ⎛

⎭⎪⎫1－110n .

(3)把数列改写成11，02，13，04，15，06，17，0

8，…，分母依次为1,2,3，…，而分子1,0,1,0，…

周期性出现，因此数列的通项可表示为a n ＝

1＋(－1)

n ＋1

2n

或a n ＝

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪sin n π2n

.

(4)将数列统一为32，55，710，9

17，…对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分

子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n 2

}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2

＋1，

所以可得它的一个通项公式为a n ＝2n ＋1

n 2＋1.

方法技巧

由数列的前几项求数列通项公式的策略

1．对数列的前几项进行归纳、联想，具体如下：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项符号特征等；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系．如典例(4)．

2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n

或(－1)

n ＋1

来调整．如典例(1)．

冲关针对训练

(xx·青岛模拟)数列1,3,6,10,15，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝n 2

－(n －1) B ．a n ＝n 2

－1 C ．a n ＝

n (n ＋1)

2

D ．a n ＝

n (n －1)

2

答案 C

解析 代入进行验证可得选项C 成立．故选C. 题型2 数列的周期性

典例

在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *

)． (1)求a xx; (2)求S 100.

本题采用累加法．

解 (1)由a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *

)可得该数列为1,5,4，－1，－5，－4,1,5,4，….

由此可得a xx ＝a 336×6＋2＝a 2＝5.

(2)a n ＝a n －1－a n －2，a n －1＝a n －2－a n －3，…，a 3＝a 2－a 1这n －1个式子相加得：

a n ＋a n －1＋…＋a 3＝a n －1－a 1， S n ＝a n －1＋a 2(n ∈N *且n ≥2)， S 100＝a 99＋a 2＝a 16×6＋3＋a 2＝a 3＋a 2＝9.

方法技巧

数列的周期性是数列的性质之一，其解法往往是依题意列出数列的前若干项，从而发现规律找到周期．

冲关针对训练

(xx·大兴一中模拟)数列{a n }满足a n ＋1＝ ⎩⎪⎨⎪⎧

2a n

，0≤a n

≤12，2a n

－1，12

＜a n

＜1，a 1＝3

5

，则数列的第xx 项为________．

答案 15

解析 ∵a 1＝35，∴a 2＝2a 1－1＝1

5.

∴a 3＝2a 2＝25.∴a 4＝2a 3＝4

5

.

∴a 5＝2a 4－1＝35，a 6＝2a 5－1＝1

5，….

∴该数列周期为T ＝4.∴a xx ＝a 2＝1

5.

题型3 由a n 与S n 的关系求通项公式